• ðịnh lí viet vẫn ñúng cho phương trình bậc hai với vệ số phức B.[r]
(1)1 CHUYÊN ðỀ: SỐ PHỨC
Chủ đề 1: Các phép tính số phức modun số phức A Tóm tắt lý thuyết:
a) Dạng ñại số số phức: z= +a bi, ( ,a b∈ℝ,i2 = −1) b) Số phức liên hợp số phức z= +a bi z= −a bi c) Mơ đun số phức z= +a bilà z = +a bi = a2+b2 d) Tổng, hiệu, nhân hai số phức: Cho z= +a bi, 'z = +a' b i'
z+z'=(a+a') (+ b b i+ ') z−z'=(a−a') (+ b b i− ') z z '=aa bb'- ' (+ ab'+a b i' ) e) Số phức nghịch ñảo, phép chia số phức:
2 2
( )( )
a bi a bi z
z
a bi a bi a bi a b z
− = = − = − =
+ − + +
'
' z
z z z
−
=
B Các dạng tập:
Loại 1: Các phép tính số phức
Bài ( Cð KA,B-2009-CTC): Tìm phần thực phần ảo số phức z biết:
(1+i) (2−i z) = + + +8 i (1 )i z
Bài: (KA 2010) Tìm phần ảo số phức z biết z=( 2+i) (12 − )i Cho số phức z thỏa mãn
(1 )
i z
i
− =
− Tìm modun số phức z iz+
Bài: (KB-2011 CTNC) Tìm phần thực phần ảo số phức
3
1
1 i z
i
+
=
+
Bài: (KD-2011 CTC) Tìm số phức z, biết : z−(2 )+ i z= −1 9i Bài: (KB-2011 CTC) Tìm số phức z, biết: z i
z
+
− − =
Bài: (Cð 2010 – CTC): Cho số phức z thỏa mãn ñiều kiện (2 )− i z+(4+i z) = − +(1 )i Tìm phần thực phần ảo z
Bài : Xét ñiểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số , (1 )(1 ),2
1
i i
i i
i i
+
− +
− −
a) Chứng minh ABC tam giác vuông cân
b) Tìm số phức biểu diễn điểm D, cho ABCD hình vng Bài : Giải phương trình sau:
a) (2−i z) − =4 b)
1
i i
z
i i
+ − +
=
− +
Bài : Giải phương trình sau:
a) z+2z= −2 4i b) z2+ =z Bài : Giải phương trình
4 z i z i
+
=
−
Bài: (Cð 2011 – CTC) Cho số phức z thỏa mãn (1 )+ i z2 + =z 4i−20 Tính modun z
Loại 2: Các toán modun số phức
(2)2
• Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức có modun thỏa mãn điều kiện cho trước ( thẳng, tròn, elip, parabol )
• Giải phương trình liên quan đến modun số phức
Bài : (KA-09) Gọi z z1, 2là hai nghiệm phức phương trình z2+2z+10=0 Tính giá trị biểu thức
2
1
A= z + z
Bài: (KA-2011 CTNC) Tính mơđun số phức z, biết: (2z – 1)(1 + i) + (z+1)(1 – i) = – 2i Bài: (KD-09) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
(3 ) z− − i =
Bài: (KB-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (1 )
z i− = +i z
Bài : (KB-09) Tìm số phức z thỏa mãn: z−(2+i) = 10, z z=25 Bài: (KD-2010) Tìm số phức z thỏa mãn: z = 2, z2 số ảo Bài: (KA-2011 CTC) Tìm tất số phức z, biết z2 = z2+z Bài : Tìm số phức z z2+ z =0
Bài : Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện sau
a) z+ = −2 i z b) z− + + =4 z 10 c) z−4i + +z 4i =10 Bài : Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện sau 2 z i− = − +z z 2i (Parabol)
Bài : Tìm số phức thỏa mãn hệ
1
1 z
z i z i
z i
− = −
−
=
+
( Bằng PP hình học)
Bài : Tìm số phức thỏa mãn hệ
12
8
4 z
z i z z
− = −
−
=
+
( Bằng PP tính modun)
Chủ ñề 2: Dạng lượng giác số phức A Tóm tắt lý thuyết:
1 Dạng lượng giác số phức: z=r(cosϕ+isinϕ) (r > 0) dạng lương giác z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0) Trong đó:
r= a2+b2 mơđun z
ϕ acgumen z thỏa cos sin
a r b r ϕ ϕ
=
=
2 Nhân chia số phức dạng lượng giác z=r(cosϕ+isinϕ), z'=r' cos '( ϕ +isin 'ϕ ) z z '=r r ' cos (ϕ ϕ+ ')+isin(ϕ ϕ+ ')
cos( ') sin( ')
' '
z r
i
z = r ϕ ϕ− + ϕ ϕ−
(3)3 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: số phức z=r(cosϕ+isinϕ) (r > 0) có hai bậc hai
là cos sin
2
r ϕ +i ϕ
r cos2 isin2
ϕ ϕ
− +
B Các dạng tập:
Loại 1: Các tốn xác định agument số phức
Cách giải: biến ñổi z dạng z=r(cosϕ+isinϕ) (r > 0), ϕ agument z Bài : Tìm modun acgumen số phức
a) − +4 3i b) sin cos
4 i
π π
−
Bài : Cho số phức z= −1 sinϕ+icosϕ (0 ) π ϕ
< < Tìm agumen số phức z Bài : Cho số phức z có modun ϕ acgumen
a) Tìm acgumen số phức z z
b) Tìm acgumen số phức z+z cosϕ≠0
Loại 2: Các toán xác ñịnh số phức z dựa vào ñiều kiện agument
Bài: Xét số phức z thỏa mãn điều kiện 2z− 2−i =1
a) Tìm tập hợp ñiểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện b) Trong số phức cho tìm số phức có acgumen dương nhỏ Bài: Tìm số phức z cho
3 z i z i
− =
+ z+1 có agument π
−
Bài: Xác ñịnh tập hợp ñiểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z cho số phức 2 z z
− + có
một acgumen π
Loại 3: Dạng lượng giác số phức
Bài: ðưa số phức sau dạng lượng giác
a) A= −(1 i) (15 +i 3)8 b)
1
i B
i
− =
+ c)
7 10 ( ) (1 ) C= −i −i Bài: Tìm phần thực phần ảo số phức sau:
a)
12
1
(1 ) ( )
i z
i
+ =
+ b)
5
2 (cos sin ) (1 )
3
z = π −i π i + i
Bài: Biết rắng số phức z thỏa mãn ñiều kiện z 1 z
+ = Hãy tính z2010 20101 z
+
Bài: Cho số phức
m i z
i
+
= −
Tìm m ngun dương để z số thực, số ảo
Chủ ñề 3: Giải phương trình tập số phức A Tóm tắt lý thuyết:
Cần nắm vững:
• Cách khai bậc hai số phức
• Cách giải phương trình bậc hai tập số phức:
(4)4
2
4
B AC
∆ = −
+∆ ≠0: (*) có hai nghiệm phân biệt 1,2
B z
A − ± δ
= , (δ bậc hai ∆) + ∆ =0: (*) có nghiệm kép: 1 2
2
B
z z
A
= = −
Chú ý: Nếu z0 ∈ C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) • Phương trình phức bậc n có n nghiệm phức
• ðịnh lí viet cho phương trình bậc hai với vệ số phức B Các dạng tập:
Loại 1: Giải phương trình bậc hai tập số phức
Bài: ( Cð A,B 2009 - CTNC): Giải phương trình sau tập số phức 4z 7i z 2i z i
− −
= −
−
Bài: (Cð CTNC 2010) Giải phương trình:z2− +(1 i z) + + =6 3i 0trên tập số phức Bài: Giải phương trình sau tập số phức (1−i z) 2−2(1 )+ i z− =4 0
Bài: Giải phương trình sau tập số phức (2 )− i z2+(4i−3)z+ − =1 i 0 (Viet)
Bài: (Cð 2011 –CTNC) Cho số phức z thỏa mãn z2−2(1+i z) +2i=0Tìm phần thực phần ảo 1 z
Loại 2: Phương trình qui bậc hệ phương trình
Bài: Giải phương trình sau tập số phức (z2+z)2+4(z2+z) 12− =0 Bài: Giải phương trình sau tập số phức
2
4 1 0
2 z
z −z + + + =z
Bài: Giải hệ phương trình hai ẩn sau tập số phức 2 2
4
z z i
z z i
+ = +
+ = −
Bài: Giải hệ phương trình hai ẩn sau tập số phức 3 33(1 ) 9( )
z w i
z w i
+ = +
+ = − +
BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Tìm số phức z (2+3i)z=z-1
Bài 2: Giả sử M ñiểm mặt phẳng tọa ñộ biễu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn ñiều kiện sau:
a) z− + =1 i b) 2+ > −z z c) 1≤ + − ≤z i
Bài 3: Xác ñịnh tập hợp ñiểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện sau: a) z+ + =z b) z2−( )z =4
Bài 4: Tìm tập hợp ñiểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z i z i
+
+ số thực
Bài 5: Cho số phức z có modun ϕ acgumen Tìm acgumen số phức sau: a)
2z
− b) z2−z,nếu sin 0 ϕ ≠
c) z2+z os3 0
c ϕ ≠
Bài 6: Giải phương trình z2−( os +i sin )c ϕ ϕ z+( os sin )i=0c ϕ ϕ Bài 7: Giải phương trình (z2+3z+6)2+2 (z z2+3z+6) 3− z2 =0 Bài 8: Giải phương trình z4−4z3+7z2−16z+12=0
Bài 9: Giải hệ w
w
z i
iz
− =
− =