[r]
(1)Sở giáo dục đào tạo phú th
Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trờng THPT chuyên hùng vơng Năm học 2009-2010
Môn Toán
(Dành cho tất thí sinh)
Thi gian 120 không kể thời gian giao đề Đề thi cú trang
Câu 1(2 điểm): Cho biểu thức P= x
x2−3x +2+
1
x −1+
x −2 §KX§: x ± 2;
a)Rót gän P
b)Tìm x để P+x=7 ta có
Câu 2(2 điểm): Cho PT bậc 2: x2+2(m-1)x+m2-m+1=0 (1)
a)Giải phơng trình với m=-1
b)Tỡm m để phơng trình(1) có nghiệm x1;x2 thoả mãn |x1|+|x2|=4
Câu 3(2 điểm):
a) V thị y=2x+3; y=x2 hệ trục toạ độ
b) Toạ độ giao điểm đồ thị nghiệm hệ sau
¿
y=2x+3
y=x2
{
Câu (3 điểm):Cho tam giác nhọn ABC trực tâm H;góc BAC=600 gọi D; E chân
-ng cao k t B;C ti AC;AB;I trung điểm BC a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp b)Chứng minh tam giác IDE
c) Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp Δ ABC Chng minh AHO cõn
Câu 5(1 điểm) : Cho x;y;z số thực dơng cho xyz=x+y+z+2 Chøng minh r»ng: P=
√xy+ √yz+
1 √zx≤
3
-Hết -Họ tên thí sinh SBD
S giáo dục đào tạo phú thọ
K× thi tuyển sinh vào lớp 10 trờng THPT chuyên hùng vơng Năm học 2009-2010
Môn Toán
(Vũng 2: Dành cho thí sinh thi vào chun Tốn) Thời gian 150 khơng kể thời gian giao đề
§Ị thi cã trang
§Ị chÝnh Thøc
(2)Câu 1(2 điểm): Cho hệ phơng trình
¿ mx− y=2;(1)
x+my=5;(2)
¿{
¿
(m lµ tham sè) a) Chøng minh hƯ cã nghiƯm nhÊt víi mäi m
b) Tìm m để hệ có nghiệm(x;y) thoả mãn x+y=5
Câu 2(1 điểm): Tìm số nguyên dơng x;y;z thoả mãn x3-y3=z2 ú y
nguyên tố (z;3)=(z;y)=1
Câu 3(3điểm): a)Gải phơng trình :
(x+1)2009+(x+1)2008(x+2)+(x+1)2007(x+2)2++(x+1)(x+2)2008+(x+2)2009=0
b)Cho x;y số thực thoả mÃn điều kiện x+y=5
4
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A=4
x+
1 4y
C©u 4: (3 ®iÓm) Cho Δ nhän ABC néi tiÕp (O) ®iÓm P n»m Δ cho
∠ BAP= ∠ PBC; CAP= PCB.AP cắt BC M a)Chứng minh M trung điểm BC
b)Gọi H trực tâm ABC Chứng minh tứ giác BHPC nội tiếp ()
c)Đờng trung trực AP cắt BC Q.Chứng minh r»ng QA tiÕp xóc víi (O);QP tiÕp xóc víi ()
Câu 5(1 điểm): Cho số thực không ©m a;b;c cho ab+bc+ca=3 Chøng minh r»ng
P=
a2+2+
1
b2+2+
1
c2+21
-Hết -Họ tên thí sinh SBD
Sở giáo dục đào tạo phỳ th
Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trờng THPT chuyên hùng vơng Năm học 2009-2010
Môn Toán
(Vũng 2: Dnh cho thớ sinh thi vào chun Tốn-Tin ) Thời gian 150 khơng kể thời gian giao đề
§Ị thi cã trang Câu 1(2 điểm):
Cho phng trỡnh bc 2: x2-2(m-1)x+2m-4=0 ( m tham số)
a)Chøng minh phơng trình có nghiệm phân biệt
b)Gi x1,x2 nghiệm phơng trình Tìm m để P=x12+x22 t
Câu 2(2 điểm):
a)Giải phơng trình: x3
+x2+3x+3+2x=x2+3+2x2+2x
b)Giải hệ phơng trình:
¿
4x2+4x − y2=−1
4x2−3 xy
+y2=1
¿{
¿
(3)C©u 3(2 ®iĨm):
a)Chứng minh với số a.b.c đơi phân biệt
bc
(a − b)(a −c)+
ca
(b− c)(b −a)+
ab
(c − a)(c −b)=1
a) Cho ba số a.b.c đơi phân biệt Tìm giá trị nhỏ biểu thức
Câu 4(3 điểm):Cho đờng tròn (O1) (O2) cắt điểm phân biệt A B
đờng thẳng vung góc với AB B cắt (O1) C cắt (O2) D ng thng quay
quanh B cắt (O1) (O2) E F
a)Chứng minh tỉ số AE
AF không đổi
b)Các đờng thẳng EC ;DF cắt G Chứng minh tứ giác AEGF nội tiếp c) Chứng minh EF quay quanh B tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ gíac AEGF ln thuộc đờng trịn cố định
Câu 5(1 điểm):Trên mặt phẳng cho 2009 điểm cho điểm chúng đỉnh tam giác có diện tích khơng vợt q Chứng minh 2009 điểm cho nằm tam giác có diện tích khơng lớn
-HÕt -Họ tên thí sinh SBD
kì thi tuyển sinh THPTchuyên hùng vơng Năm học 2009-2010
Môn Toán ( không chuyên)
Thời gianl àm 120 phút-ngày thi 25 tháng năm 2009 Câu 1(2 điểm): Cho biÓu thøc P= x
2
x2−3x+2+
1
x −1+
x −2 §KX§: x ± 2;
a)Rót gän P
b)Tìm x để P+x=7 ta có
H
íng dÉn
a) P= x
(x −2)(x −1)+
1
x −1+
x −2=
x2+x −2+x −1 (x −2)(x −1) =
x2+2x −3 (x −2)(x −1)=
(x+3)(x −1) (x −2)(x −1)=
x+3
x −2
b)Tìm x để P+x=7 ta có HD:
x=5
¿
x=2(loai)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿P+x=
x+3
x −1+x=
x2+3
x −1=3⇔x
2
+3=7x −7⇔x2−7x+10=0
⇔(x −2)(x 5)=0
Vậy x=5 P+x=7
Câu 2(2 ®iĨm): Cho PT bËc 2: x2+2(m-1)x+m2-m+1=0 (1)
a)Giải phơng trình với m=-1
b)Tỡm m phng trình(1) có nghiệm x1;x2 thoả mãn |x1|+|x2|=4
H
(4)a)ta cã x2+2(m-1)x+m2-m+1=0 ⇔ x2 -4x+3=0
NhÈm Vi-Ðt a+b+c=1+(-4)+3=0 PT cã nghiƯm ph©n biÖt x1=1;x2=3
b)
ta cã Δ❑ =(m-1)2-( m2-m+1)=m2 -2m+1-m2+m-1=-m 0 m 0 víi m 0 Theo
Vi-Ðt ta cã
¿
x1+x2=2(1−m)
x1.x2=m2−m+1
¿{
¿
tõ GT ta cã |x1|+|x2|¿
=16⇔x1
+x2
+2|x1|.|x2|=16
¿ (*)
v× m −
1 2¿
2 +3
4>0
x1.x2=m2−m+1=¿
nªn |x1|.|x2|=x1.x2
(∗)⇔(x1+x2)2=16⇔4(m2−2m+1)=16⇔m2−2m −3=0
NhÈm Vi-Ðt a-b+c= 1-(-2)+(-3)=0; m1=-1;m2=3 >0 loại m=-1 |x1|+|x2|=4
Cõu 3(2 điểm):a) Vẽ đồ thị y=2x+3; y=x2 hệ trục toạ độ
b) Toạ độ giao điểm đồ thị nghiệm hệ sau
H ớng dẫn
Câu (3 điểm):Cho tam giác nhọn ABC trực tâm H;góc BAC=600 gọi D; E ch©n
đ-ờng cao kẻ từ B;C tới AC;AB;I trung điểm BC b) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp b)Chứng minh tam giác IDE
c) Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp Δ ABC Chứng minh Δ AHO cân
b) Toạ độ giao điểm đồ thị nghiệm hệ sau
y=x2
y=2x+3
⇔ ¿x2−2x −3=0
y=2x+3
⇔ ¿ ¿
x=−1
y=1
¿ ¿ ¿
x=3
¿
y=9
¿ ¿
K I
H E
D
C O
B
(5)a)Chøng minh tø gi¸c BEDC néi tiÕp ta cã ∠ BEC= ∠ BDC=900 theo quy tÝch
cung chứa góc tứ giác BEDC nội tiêp đờng trịn tâm I đờng kính BC
b)Chứng minh tam giác DIE Ta có tam giác BEC,BDC vng E ;D có EI;DI trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên DI=EI ( cựng bng na BC)
mặt khác AED= ACB (cïng bï ∠ BED) ; ∠ BAC chung nªn Δ AED ® d víi Δ ACB suy
DE BC=
AD
AB=Cosin 60
0 =1
2 nªn DE=
2 BC DE=DI=EI nên Δ DIE
c)Chøng minh tam gi¸c AHO c©n
Kẻ đờng kính AK ta có tứ giác BHCK hình bình hành nên H;I;K thẳng hàng Trong tam giác AHK có OI đờng trung bình nên AH=2.OI
Trong tam giác vuông IOC (vuông I ) cã ∠ IOC=
2 ∠ BOC= ∠ BAC=600
nên OC=2.OI mà OC=OA nên AH=AO suy tam giác AHO cân A (đpcm) Câu 5(1 điểm) : Cho x;y;z số thực dơng cho xyz=x+y+z+2
Chøng minh r»ng: P=
√xy+ √yz+
1 √zx≤
3 H
íng dÉn
Tõ gi¶ thiÕt ta cã (1+x)(1+y)+(1+y)(1+z)+(1+z)(1+x)=(1+x)(1+y)(1+z)
⇔ 1+x+
1 1+y+
1 1+z=1
Đặt
1+x=ax=
1
a1=
1a a =
b+c
a ;(vi :a+b+c=1) T¬ng tù
1+y=b⇒y=
a+c
b ;
1
1+z=c⇒y=
a+b
c Nªn P=√ab
(b+c)(a+c)+√
bc
(a+b)(a+c)+√
ac
(b+c)(a+b)
áp dụng Bất đẳng thức Cô-Si cho số dơng ta có √ab(b+c)(a+c)≤
1 2(
b b+c+
a
a+c) ; √ bc
(a+b)(a+c)≤ 2(
b b+a+
c a+c); √ac(b+c)(a+b)≤
1 2(
c b+c+
a a+b)
VËy P≤1
2(
b b+c+
c b+c+
a a+b+
b a+b+
a a+c+
c a+c)=
3
Dêu “=” x¶y a=b=c hay x=y=z=2
Thi tuyển sinh THPT chuyên hùng Vơng
(6)Thêi gianl µm bµi 150 phót-ngµy thi 26 tháng năm 2009
Câu 1(2 điểm): Cho hệ phơng trình
mx y=2;(1)
x+my=5;(2)
{
¿
(m lµ tham sè) c) Chøng minh hƯ cã nghiƯm nhÊt víi mäi m
d) Tìm m để hệ có nghiệm(x;y) thoả mãn x+y=5
H
íng dÉn
a)
¿ mx− y=2;
x+my=5;
⇔ ¿y=mx−2;
x+m(mx−2)=5;
⇔
¿y=mx−2;(1) (m2+1)x=2m+5;(2)
¿{
¿
Ta cã m2
+1>0 víi mäi m nªn PT(2) cã nghiƯm nhÊt víi mäi mÝuy hƯ cã
nghiƯm nhÊt víi mäi m b)Tõ (2) x=2m+5
m2+1 thay vào (1) ta đợc y=
5m−2
m2+1
Vì x+y=5 nên 7m+3
m2+1=55m
−7m+2=0 NhÈm Vi-Ðt a+b+c=5+(-7)+2=0 m1=1;m2=2
5
Câu 2(1 điểm): Tìm số nguyên dơng x;y;z thoả mãn x3-y3=z2 y
nguyªn tè (z;3)=(z;y)=1
H
íng dÉn
tõ GT ta cã (x − y)[(x − y)2+3 xy]=z2 Ta cã (x;y)=1 v× nÕu (x;y) khác
Thì (x y)[(x y)2+3 xy]⋮y⇒z2⋮y tr¸i GT (z;y)=1
Ta cịng cã (x-y) không chia hết cho Vì x-y chia hết cho z chia hết cho trái GT
đặt x-y=k2;x2+xy+y2=t2 ( k;t Z) z=k.t
Ta cã 4t2=4x2+4xy+4y2 ⇔ 3y2 =4t2-4x2 -4xy -y2=(2t+2x+y)(2t-2x-y) v× y nguyªn
(7)¿2t+2x+y=3y2
2t −2x − y=1 (1)
¿ ¿ 2t+2x+y=1
¿
2t −2x − y=3y2
¿ ¿
(2)
¿ ¿ ¿
(1) ⇔ 3y2-1=2(2x-y)=2(k2+3y) ⇔ k2+1=3(y2-k2+2y) ⋮ 3 suy k2+1 ⋮ 3 v«
lý k2+1 không chia hết cho 3
(2) ⇔ y2-3=2(2x+y)=2(2k2+3y) ⇔ (y-3)2-4k2=12 ⇔ (y-3+2k)(y-3-2k)=12
Từ tìm đợc y=7 thay vào ta có x=8;z=13
Câu 3(3điểm): a)Gải phơng trình :
(x+1)2009+(x+1)2008(x+2)+(x+1)2007(x+2)2++(x+1)(x+2)2008+(x+2)2009=0
b)Cho x;y số thực thoả mÃn điều kiện x+y=5
4
Tìm giá trị nhỏ biểu thøc A=4
x+
1 4y
H
ớng dẫn
a)Đặt x+1=a;x+2=b ta có
a2009+a2008..b+a2007.b2++a.b2008+b2009=0
⇔ (a-b)( a2009+a2008..b+a2007.b2+………+a.b2008+b2009)=0 ⇔ a2010-b2010=0
⇔ a2010=b2010 ⇔ a=b hc a=-b
Víi a= b ta cã x+1=x+2 v« nghiƯm
Víi a=-b ta cã x+1=-x-2 ⇔ 2x=-3 ⇔ x=−3
2
b)áp dụng bất đẳng thức Bunhicôpsky cho dãy √x ;√y x y
1 ;
ta cã
(x+y)(4
x+
1
4y)≥(2+
1 2)
2 =25
4 ⇔(
x+
1 4y)≥5
Min(A)=5
¿
x+y=5
4
x
2=2y ⇔ ¿x=1
y=1
4 ¿{
¿
C¸ch kh¸c : ¸p dụng BĐT Cô-Si ta có
4
x+4x 2
4
x 4x=8;
1
4y+4y ≥2√
1
(8)Min (A)=5
¿
x=4x
1 y=4y x ; y>0; x+y=5
4 ⇔
¿x=1
y=1
4 { {
Câu 4: (3 điểm) Cho Δ nhän ABC néi tiÕp (O) ®iĨm P n»m Δ cho
∠ BAP= ∠ PBC; ∠ CAP= PCB.AP cắt BC M a)Chứng minh M trung điểm BC
b)Gọi H trực tâm Δ ABC Chøng minh tø gi¸c BHPC néi tiÕp (ϖ)
c)Đờng trung trực AP cắt BC Q.Chứng minh r»ng QA tiÕp xóc víi (O);QP tiÕp xóc víi (ϖ)
a)Ta có ABM đd BPM (gg) nên BM
PM = AM
BM ⇔BM
2
=AM PM(1)
Ta cã Δ ACM ®d Δ CPM (gg) nªn CM
PM = AM
CM ⇔CM
2
=AM PM(2)
Từ (1) ta có BM=CM hay M trung điểm BC b)Chứng minh tứ giác BHPC nội tiếp đờng trịn (ϖ)
Theo tÝnh chÊt trùc t©m ∠ BHC+ ∠ BAC =1800 (3) theo tÝnh chÊt tæng ba gãc
trong tam gi¸c ∠ BPC+ ∠ PBC+ ∠ PCB=1800 mµ ∠ PBC= ∠ BAP; ∠
PCB= ∠ CAP nªn
∠ BPC+ ∠ PBC+ ∠ PCB= ∠ BPC+ ∠ PAB+ ∠ PAC= ∠ BPC+BAC=1800
(4)
Q1 Q2
Q
I
H
M O
B C
A
(9)Từ (3) (4) ta có ∠ BPC= ∠ BHC theo QT cung chứa góc minh tứ giác BHPC nội tiếp đờng tròn (ϖ) (đpcm)
c)Gäi trung trực AP cắt AP I
Ta có QB.QC=(QM-BM)(QM+BM)=QM2-BM2
Ta cã Δ ABM ®d Δ BPM (gg) nªn
BM PM =
AM
BM ⇔BM
2
=AM PM=(MI−IP)(MI+IP)=MI2−IP2
áp dụng định lý Pi ta go cho cho tam giác vng QMI ta có QM2=QI2+IM2
VËy QB.QC= QI2+IM2-MI2+IP2= QI2+IP2= QI2+IA2 mà theo Pitago cho tam giác
vuông QIA ta có QI2+IA2 =QA2 nên AQ2=QB.QC hay QA tiÕp tun cđa (O)
Ta có QA=QP nên AQ2=QB.QC suy QP tiếp tuyến đờng tròn (ϖ) (pcm)
Cách khác:
kẻ tiếp tuyến A (O) cắt BC Q1;kẻ tiếp tuyến P () cắt BC Q2
Q1AB đ d Δ Q1CA (gg) nªn
Q1B Q1A
=Q1A
Q1C =AB
AC ⇒
Q1B Q1C
=AB
AC2(1)
Δ Q2PB ® d Δ Q2CP (gg) nªn
Q2B Q2P
=Q2P
Q2C
=PB PC⇒
Q2B Q2C
=PB
2
PC2(2)
Ta cã Δ ABM ®d Δ BPM (gg) nªn BM
PM = AB BP (3)
Ta có ACM đd CPM (gg) nên CM
PM = AC CP (4)
Mµ BM=CM (5) Tõ (3);(4);(5) ta cã AB
AC= PB PC(6)
Tõ (1);(2);(6) ta cã Q1B Q1C
=Q2B
Q2C
mà Q1;Q2 thuộc tia CB nên Q1trùng Q2
Măt khác từ (1) ta có Q1A2=Q1B.Q1C; từ (2) ta cã Q2P2=Q2B.Q2C;
Nªn Q1A=Q1P nªn Q1 thuéc trung trực AP hay Q1 Q2Q
Câu 5(1 điểm): Cho số thực không âm a;b;c cho ab+bc+ca=3 Chøng minh r»ng
P=
a2 +2+
1
b2 +2+
1
c2 +2≤1
HD:
3−2P= a
a2 +2+
b2 b2
+2+
c2 c2
+2
¸p dụng BĐT Bunhiacôpsky cho dÃy a2
+2;b2+2;c2+2
Vµ a
√a2
+2
; b
√b2
+2
; c
√c2+2
Ta cã
a+b+c¿2
(a2
+b2+c2+6)( a
a2+2+
b2 b2+2+
c2 c2+2)≥¿
(10)nªn
a+b+c¿2 ¿
a+b+c¿2 ¿ ¿ ¿ 3−2P ≥¿
DÊu “=” x¶y a=b=c=1
Thi tuyển sinh THPT chuyên hùng Vơng
Môn Toán (Chuyên Tin học)
Thời gianl àm 150 phút-ngày thi 27 tháng năm 2009 Câu 1(2 điểm):
Cho phơng trình bậc 2: x2-2(m-1)x+2m-4=0 ( m l tham s)
a)Chứng minh phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt
b)Gọi x1,x2 nghiệm phơng trình Tìm m để P=x12+x22 đạt
H
ớng dẫn
a) Để phơng trình có nghiệm phân biệt với m
>0;∀m
Ta cã
m−2¿2+1>0 voi∀m
m−1¿2−
(2m−4)=m2−4m+5=¿
Δ❑
=¿
( ®pcm)
b)V× Δ❑
>0;∀m theo Vi-Ðt ta cã
¿
x1+x2=2(m−1)
x1.x2=2m −4
¿{
¿
ta cã
m −1¿2−2(2m−4)
¿ 2m−3¿2
+3≥3
x1+x2¿
−2x1x2=4¿
¿
P=x12+x22=¿
Vậy Min(P)=3 m=3
2 Câu 2(2 điểm):
a)Giải phơng trình: x3
+x2+3x+3+2x=x2+3+2x2+2x
b)Giải hệ phơng trình:
4x2
+4x y2=1
4x2−3 xy
+y2=1
¿{
¿ H
íng dÉn
(11)√x+1−1=0
¿ √x2
+3−√2x=0
¿ √x+1=1
¿ √x2
+3=√2x
¿
x=0;Thoaman
¿
x2−2x
+3=0;(vonghiem)
¿ ¿ ¿ ⇔¿
¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿
√x3
+x2+3x+3+√2x=√x2+3+√2x2+2x⇔√(x+1)(x2+3)+√2x=√x2+3+√2x(x+1)
⇔√x+1(√x2+3−√2x)−(√x2
+32x)=0(x+11)(x2+32x)=0
Vậy phơng trình cã nghiÖm x=0 b)
4x2
+4x − y2=−1
4x2−3 xy+y2=1
⇔
¿4x2+4x+1=y2
4x2−3 xy
+y2=1
⇔ 2x+1¿2=y2
¿ 4x2−3 xy
+y2=1
¿ ⇔
¿ ¿ ¿ ¿
y=2x+1
¿
4x2−3 xy+y2=1
¿ ¿ ¿
Với y=2x+1 thay vào phơng trình ta cã
4x2-3x(2x+1)+(2x+1)2=1 ⇔ 4x2-6x2-3x+4x2+4x+1=1 ⇔ 2x2+x=0 ⇔ x(2x+1)=0
x=0 hc x= −1
2 víi x=0 th× y=1;víi x=
−1
2 th× y=0
Với y=-(2x+1) thay vào phơng trình ta có
4x2+3x(2x+1)+(2x+1)2=1 ⇔ 4x2+6x2+3x+4x2+4x+1=1 ⇔ 14x2+7x=0 ⇔ 7x(2x+1)
=0
x=0 x= 1
2 với x=0 y=-1;với x=
−1
(12)HÖ cã nghiƯm (x;y)=(0;1);( −1
2 ;0¿ ;(0;-1); C¸ch kh¸c:
(1) 4x2+4x y2+1=0 (*) coi PT(*) phơng trình bËc Èn x tham sè y GPT theo
CT nghiÖm Δ❑=4+4 y2−4=4y2≥0
PT(*) cã nghiÖm
x=−2+√4y
4 ¿
x=−2−√4y
4 ¿ ⇔
¿
x=−1+|y|
2 ¿
x=−1−|y|
2 ¿
x=−1+y
2 ¿
x=−1− y
2 ¿
y=2x+1
¿
y=−2x −1
¿ ¿ ¿ ⇔¿
¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿ ¿
sau giải nh trờn
Câu 3(2 điểm):
a)Chng minh rng vi số a.b.c đơi phân biệt
bc
(a − b)(a −c)+
ca
(b− c)(b −a)+
ab
(c − a)(c −b)=1
c) Cho ba số a.b.c đơi phân biệt Tìm giá trị nhỏ biểu thức
b − c¿2 ¿
c −a¿2 ¿
a −b¿2 ¿ ¿ ¿
P=a
¿
H
íng dÉn
(13)bc
(a − b)(a −c)+
ca
(b− c)(b −a)+
ab
(c − a)(c −b)=
bc
(a− b)(a − c)−
ca
(b −c)(a − b)+
ab
(a − c)(b− c)
¿bc(b − c)−ca(a− c)+ab(a − b)
(a −b)(b − c)(a −c) =
bc(b− c)−ca2+c2a+a2b −ab2 (a −b)(b −c)(a −c)
bc(b − c)+a2(b − c)− a(b −c)(b+c) (a− b)(b − c)(a − c) =
(b −c)(bc+a2−ab−ac) (a −b)(b− c)(a −c) =
(a − b)(b −c)(a − c) (a − b)(b −c)(a − c)=1
b)
b − c¿2 ¿
c −a¿2 ¿
a −b¿2 ¿
+2(ab
(b− c)(c − a)+
bc
(c − a)(a −b)+
ac
(b − c)(a − b))≥0
¿
b − c¿2 ¿
c −a¿2 ¿
a −b¿2 ¿
−2(ab
(c − b)(c − a)+
bc
(a −c)(a −b)+
ac
(b − c)(b − a))≥0
¿
b − c¿2 ¿
c −a¿2 ¿
a −b¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(b −ca + b c − a+
c a − b)
2 =a
2
¿
Câu 4(3 điểm):Cho đờng tròn (O1) (O2) cắt điểm phân biệt A B
đờng thẳng vung góc với AB B cắt (O1) C cắt (O2) D mt ng thng quay
quanh B cắt (O1) (O2) E F
a)Chứng minh tỉ số AE
AF không đổi
(14)H
íng dÉn
a)Chøng minh tØ sè AE
AF không đổi
xét tam giác ΔCAD; ΔEAF có ∠ ACD= ∠ AEF; ∠ ADC= ∠ AFE nên ΔCAD đồng dạng ΔEAF (g.g) nên AC
AE= AD AF ⇔
AE AF=
AC
AD ( khụng i)
a) Vì CD AB nên A;O1C thẳng hàng A;O2;;D thẳng hàng nên AEG=
AFG=900 ∠ AEG+ ∠ AFG=1800 nên tứ giác AEGF nội tiếp đờng tròn
tâm I đờng kính AG
c)Tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác AEGF thuộc trung trực AE;AF mà AE;AF day (O1);(O2) nên trung trực AE;AF qua O1;O2 gi trung trc AE;
cát I I trung điểm AG ta có O1IO2+ ∠ EAF=1800 mµ ∠
EAF= ∠ CAD suy ∠ O1IO2=1800- ∠ CAD (không đổi) O1O2 cố định nên I
chuyển động cung chứa góc 1800- ∠ CAD dựng O 1O2
Câu 5(1 điểm):Trên mặt phẳng cho 2009 điểm cho điểm chúng đỉnh tam giác có diện tích khơng vợt q Chứng minh 2009 điểm cho nằm tam giác có diện tích khơng lớn
H
íng dÉn
I
G
F
D
C B
A
O1 O2
E
F M
N
A
C
(15)Gọi A;B;C điểm 2009 điểm cho cho SABC lớn
SABC≤1 qua đỉnh tam giác ABC ta kẻ ờng thẳng // với cạnh tam giác ABC chúng cắt tạo thành tam giác MNP ta có SMNP=4.SABC ta
chøng minh 2009 ®iĨm nằm tam giác MNP giả sử có diểm Q nằm bên MNP ta có SACQ>SABC > vô lý SABC Max