Sở Gd - đt Hà Nội ===***=== Vòng 2 Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Đề THI CHUYÊN Toán Năm học 2010-2011 Thời gian 150 phút Ngy 23-6-2010 ===***=== Bài I. (2 điểm) 1) Cho n là số nguyên, chứng minh A = n 3 + 11n chia hết cho 6. 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n 4 3n 2 + 1 là số nguyên tố Bài II. (2 điểm) Cho phơng trình: (m 2 + 2m + 2)x 2 (m 2 2m + 2)x 1 = 0 Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình đã cho. 1) Tìm các giá trị của m để : x 1 2 + x 2 2 = 2x 1 x 2 (2x 1 x 2 1) 2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x 1 + x 2 Bài III. (2 điểm) 1) Cho a bất kì, chứng minh rằng: 2010 2010 a + 2010 > 2 a + 2009 2) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phơng trình: y 2 x(x 2)(x 2 2x + 2) = 0 Bài IV( 3 điểm) Cho đờng tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đờng tròn . Đờng tròn đờng kính OM cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm E, F. 1) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đờng tròn (O;R) là tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác MEF. 2) Cho A là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm M của đờng tròn đờng kính OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng minh OA. OB = R 2 . 3) Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đờng tròn (O; R) (N khác E và F). Gọi d là đờng thẳng qua F và vuông góc với đờng thẳng EN tại điểm P, d cắt đờng tròn đờng kính OM tại điểm K (K khác F). Hai đờng thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: PN . PK + QN . QK 2 3 2 R Bài V. (1 điểm) Giải phơng trình: x 8 x 7 + x 5 x 4 + x 3 x + 1 = 0 ===***=== Một số gợi ý đề chuyên toán 2010-2011 hà nội Bài I. (2 điểm) 1) Cho n là số nguyên, chứng minh A = n 3 + 11n chia hết cho 6. 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n 4 3n 2 + 1 là số nguyên tố Gợi ý : 1) A = (n- 1)n(n + 1) + 12n Mỗi hạng tử chia hết cho 2 và 3 . suy ra điều phải chứng minh 2) B =(n 2 n - 1).(n 2 + n - 1) n 2 n 1 < n 2 + n 1. để B là số nguyên tố thì n 2 n 1= 1 suy ra n = - 1(loại), n = 2 thoả mãn Bài II. (2 điểm) Cho phơng trình: (m 2 + 2m + 2)x 2 (m 2 2m + 2)x 1 = 0 Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình đã cho. 1) Tìm các giá trị của m để : x 1 2 + x 2 2 = 2x 1 x 2 (2x 1 x 2 1) 2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x 1 + x 2 Gợi ý : 1) dễ có phơng trình luôn có nghiệm với mọi m. Theo vi et : ++ = ++ + =+ 22 1 22 22 2 21 2 2 21 mm xx mm mm xx thay vào , tìm đợc m 2) S = 22 22 2 2 ++ + mm mm . Sau đó xét hiệu S ( 223 ) và hiệu S ( 223 + ) ta tìm đợc max, min. Hoặc dùng phơng pháp đenta Bài III. (2 điểm) 1) Cho a bất kì, chứng minh rằng: 2010 2010 2010 2 2009 a a + > + 2) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phơng trình: y 2 x(x 2)(x 2 2x + 2) = 0 Gợi ý : 1) 200921)2009(2010 201020102010 +++=+ aaa . Suy ra điều phảI chứng minh Dấu bằng không xẩy ra. 2. Đặt (x - 1) 2 = t 0 phơng trình có dạng : y 2 (t- 1)(t + 1) = 0 Hay (y - t)(y + 1)= - 1. giải theo ớc số Bài IV( 3 điểm) Cho đờng tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đờng tròn . Đ ờng tròn đờng kính OM cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm E, F. 1) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đờng tròn (O;R) là tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác MEF. 2) Cho A là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm M của đờng tròn đờng kính OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng minh OA. OB = R 2 . 3) Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đờng tròn (O; R) (N khác E và F). Gọi d là đờng thẳng qua F và vuông góc với đờng thẳng EN tại điểm P, d cắt đờng tròn đờng kính OM tại điểm K (K khác F). Hai đờng thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: PN . PK + QN . QK 2 3 2 R Gợi ý : (các bạn tự vẽ hình nhé) 1) Ta dễ có ME, MF là tiếp tuyến của đờng tròn (O), từ đó dễ chứng minh đợc cung EI = cung FI của đờng tròn (O). Dễ dàng chứng minh đợc EI, FI, MI là các đờng phân giác của tam giác MEF. 2) Gọi EF cắt OM tại H. Dễ chứng minh đợc : OA.OB = OH.OM = OE 2 . 3) Ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp MEF và MEF đều có cạnh bằng 3R . Sử dụng góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây để chứng minh FQ EK. Ta có PN. PK + QN.QK = 2.S KPNQ KN.QP dấu bằng khi KN PQ. (*) Mà N là trực tâm EKF, nên KN = 2. IH = R (1) Ta có KPQ đồng dạng với KEF , nên 2 1 == KE KP EF PQ PQ = 2 3R (2) Thay (1), (2) vào (*) ta có điều phải chứng minh. dấu bằng khi KN PQ hay N, I trùng nhau Bài V. (1 điểm) Giải phơng trình: x 8 x 7 + x 5 x 4 + x 3 x + 1 = 0 Gợi ý : Nếu x 1Thì VT = (x 8 x 7 ) + (x 5 x 4 ) + (x 3 x) + 1 1 không có nghiệm Nếu 1> x > 0Thì VT = (x 5 x 7 ) + (x 3 x 4 ) + (1 x) + x 8 > 0 không có nghiệm Nếu x 0 thì VT > 1 không có nghiệm Vậy pt vô nghiệm . dạng với KEF , nên 2 1 == KE KP EF PQ PQ = 2 3R (2) Thay (1), (2) vào (*) ta có điều phải chứng minh. dấu bằng khi KN PQ hay N, I trùng nhau Bài V. (1 điểm) Giải phơng trình: x 8 x 7 + x 5 . 1)(t + 1) = 0 Hay (y - t)(y + 1)= - 1. giải theo ớc số Bài IV( 3 điểm) Cho đờng tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đờng tròn . Đ ờng tròn đờng kính OM cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm E, F. 1). với đờng thẳng EN tại điểm P, d cắt đờng tròn đờng kính OM tại điểm K (K khác F). Hai đờng thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: PN . PK + QN . QK 2 3 2 R Gợi ý : (các bạn tự