Tuyển tập đề thi toán chuyên Hà Nội Amsterdam Nguyễn Huệ Chu Văn An

Mọi thông tin liên hệ, mọi ý kiến đóng góp xin gửi về hòm thư điện tử: hieu.phannhat3112gmail.com hoặc nhathieu.htagroupgmail.com rất nhiều tài liệu hay cho học sinh lớp 9 nói riêng và học sinh THCS, THPT nói chung đang chờ các độc giả khám phá. chân thành cám ơn các bạn đã ủng hộ

TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG CHUYÊN TP HÀ NỘI Edit by: Nhật Hiếu Mail: hieu.phannhat3112@gmail.com HÀ NỘI, Tháng - 2015 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 MỤC LỤC ĐỀ SỐ (Năm học 2000 – 2001 – V1) ĐỀ SỐ (Năm học 2000 – 2001 – V2 – Toán - Tin) ĐỀ SỐ (Năm học 2001 – 2002 – V1) ĐỀ SỐ (Năm học 2001 – 2002 – V2 – Toán - Tin) ĐỀ SỐ (Năm học 2002 – 2003 – V1) ĐỀ SỐ (Năm học 2002 – 2003 – V2 – Toán - Tin) ĐỀ SỐ (Năm học 2003 – 2004 – V1) ĐỀ SỐ (Năm học 2003 – 2004 – V2 – Toán - Tin) ĐỀ SỐ (Năm học 2004 – 2005 – V1) 10 ĐỀ SỐ 10 (Năm học 2004 – 2005 – V2 – Toán - Tin) 11 ĐỀ SỐ 11 (Năm học 2005 – 2006 – V1) 12 ĐỀ SỐ 12 (Năm học 2005 – 2006 – V2 – Toán - Tin) 13 ĐỀ SỐ 13 (Năm học 2006 – 2007 – V2 – Toán - Tin) 14 ĐỀ SỐ 14 (Năm học 2007 – 2008 – V2 – Toán - Tin) 15 ĐỀ SỐ 15 (Năm học 2008 – 2009 – V2 – Toán - Tin) 16 ĐỀ SỐ 16 (Năm học 2009 – 2010 – V2 – Toán - Tin) 17 ĐỀ SỐ 17 (Năm học 2010 – 2011 – V2 – Toán - Tin) 18 ĐỀ SỐ 18 (Năm học 2011 – 2012 – V2 – Toán - Tin) 19 ĐỀ SỐ 19 (Năm học 2012 – 2013 – V2 – Toán - Tin) 20 ĐỀ SỐ 20 (Năm học 2013 – 2014 – V2 – Toán - Tin) 21 ĐỀ SỐ 21 (Năm học 2014 – 2015 – V2 – Toán - Tin) 22 Ghi chú: V1: đề thi dành cho tất thí sinh (ngày thi thứ nhất) V2: đề thi dành cho lớp thi chuyên Toán - Tin NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ (Năm học 2000 – 2001 – V1) (Ngày thi 15/06/2000) – 150 phút Bài I (3 điểm) Cho biểu thức P  2x  x x 1 x x    x x x x x Rút gọn P So sánh P với Với giá trị x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức nhận P giá trị nguyên Bài II (3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y  mx  parabol (P) y  x Vẽ parabol (P) đường thẳng (d) m = Chứng minh với m, đường thẳng (d) qua điểm cố định cắt parabol (P) hai điểm phân biệt Tìm giá trị m để diện tích tam giác OAB (đơn vị diện tích) Bài III (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 2a, có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax, By vuông góc với AB Một đường thẳng (d) thay đổi cắt Ax M, cắt By N cho có AM BN  a Chứng minh ∆AOM đồng dạng với ∆BNO góc MON vuông Gọi H hình chiếu O MN, chứng minh đường thẳng (d) tiếp xúc với nửa đường tròn cố định H Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆MON chạy tia cố định Tìm vị trí đường thẳng (d) cho chu vi ∆AHB đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn theo a NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ (Năm học 2000 – 2001 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi 16/06/2000) – 150 phút Bài (2 điểm) Tìm tất giá trị x để hàm số y  x  x  16  x  x  đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Bài (2 điểm) Tìm k để phương trình  x    x  x  2k  1  5k  6k  3  x  Bài (3 điểm) Cho góc nhọn xOy điểm C cố định thuộc tia Ox Điểm A di chuyển tia Ox phía đoạn OC, điểm B di chuyển tia Oy cho có CA = OB Tìm quỹ tích tân đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Bài (2 điểm) Tìm số a, b, c biết abc   a  b  c Bài (1 điểm) Một lớp có số học sinh đạt loại giỏi môn học (trong 11 môn) vượt 50% Chứng minh có học sinh xếp loại giỏi từ môn trở lên NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ (Năm học 2001 – 2002 – V1) (Ngày thi 21/06/2001) – 150 phút Bài I (2 điểm)  x 2 x 3 x 2  x  Cho biểu thức P     :2  x 3  x 1  x 5 x 6 2 x Rút gọn P Tìm x để   P Bài II (3 điểm) Cho phương trình x  m2    mx (1) Tìm tham số m để phương trình có nghiệm nhất, tính nghiệm với m   Tìm giá trị m để phương trình (1) nhận x   nghiệm Gọi m1 , m2 hai nghiệm phương trình (1) (ẩn m) Tìm x để m1 , m2 số đo hai cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền 2 Bài III (4 điểm) R tiếp xúc A Trên đường tròn (O) lấy điểm B cho AB = R điểm M cung lớn AB Tia MA cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai N Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB Q cắt đường tròn (O’) P Cho hai đường tròn (O), bán kính R đường tròn (O’) bán kính Chứng minh ∆OAM ~ ∆O’AN Chứng minh độ dài đoạn thẳng NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M Tứ giác ABQP hình gì? Vì sao? Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn tính giá trị lớn theo R Bài IV (1 điểm) Cho biểu thức A   x2  y  xy  2x  y Tìm cặp số (x; y) để biểu thức A đạt giá trị lớn tìm giá trị lớn NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ (Năm học 2001 – 2002 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi 21/06/2001) – 150 phút Bài (2 điểm) Cho a, b, c, d > Chứng minh 1 16 64 Khi xảy dấu     a b c d abcd đẳng thức?   Tổng quát hóa chứng minh toán với n số dương xi i  1, n; n  N ; n  Bài (2 điểm) Cho phương trình: m x    x   Giải phương trình với m = 10 Tìm m để phương trình có hai nghiệm Bài (3 điểm) Cho đường tròn (O; R), dây cung cố định AB = a < 2R, điểm C di chuyển cung lớn AB cho tam giác ABC có góc nhọn Các đường cao AA’, BB’, CC’ đồng quy H Gọi I M trung điểm CH AB Chứng minh điểm I chạy cung tròn cố định đường thẳng MI trung trực A’B’ Hai đường phân giác góc CAH CBH cắt K Tính độ dài đoạn IK theo R a Bài (2 điểm) Chứng minh với k  R ta tìm n  N cho:  n  2001k  n   2002  k Bài (1 điểm) Cho đường tròn đường tròn có điểm chung Chứng minh đường tròn qua điểm NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ (Năm học 2002 – 2003 – V1) (Ngày thi 21/06/2002) – 150 phút Bài I (3 điểm) Cho biểu thức P  x 1 x2 x 1   x 1 x x 1 x  x 1 Rút gọn P Tìm giá trị lớn biểu thức Q   x P Bài II (3 điểm) Cho hệ phương trình hai ẩn x; y với m tham số (1)  mx  y      m  x  y  m (2) Giải hệ phương trình với m   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai đường phương trình (1) (2) a Chứng minh với giá trị m, đường thẳng (1) qua điểm có định B đường thẳng (2) qua điểm cố định C b Tìm m để giao điểm A hai đường thẳng thỏa mãn điều kiện góc BAC vuông Tính diện tích tam giác ABC ứng với giá trị m Bài III (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC điểm A nửa đường tròn (A khác B C) Hạ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng hai nửa đường tròn đường kính HB HC, chúng cắt AB AC E F Chứng minh AE.AB = AF.AC Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn đường kính HB HC Gọi I K hai điểm đối xứng với H qua AB AC Chứng minh ba điểm I, A, K thẳng hàng Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B nửa đường tròn (O) M, chứng minh MC, AH, EF đồng quy NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ (Năm học 2002 – 2003 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi 22/06/2002) – 150 phút Bài (2 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức: A  x  2001 x  2002  x2 x Bài (2 điểm) Cho đa thức P0  x   x3  22 x  x  15 Với n  * ta có Pn  x   Pn1  x  n  Tính hệ số x P21  x  Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC, trực tâm H Lấy K đối xứng với H qua BC Chứng minh tứ giác ABKC nội tiếo đường tròn (O) Gọi M điểm di chuyển cung nhỏ AC đường tròn (O) Chứng minh trung điểm I KM chạy cung tròn cố định Gọi E F hình chiếu vuông góc M đừog thẳng AB AC Chứng minh đường thẳng EF qua trung điểm đoạn thẳng HM Bài (1.5 điểm) Trong tập * xét số P = 1.2.3 (n – 1).n S = + + + + (n – 1).n Hãy tìm số n ( n  ) cho P chia hết cho S Bài (1.5 điểm) Trên đường tròn cho sẵn 2000 điểm phân biệt Người ta gán số vào điểm, từ điểm theo chiều kim đồng hồ ta đếm tiếp điểm gán số vào điểm thứ 2, lại đếm tiếp điểm gán số đến điểm gán 2003 Trong 2000 điểm cho, có điểm gán số nhiều lần điểm không gán số, tìm số tự nhiên nhỏ gán vị trí với số 2003 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ (Năm học 2003 – 2004 – V1) (Ngày thi 20/06/2003) – 150 phút Bài I (3 điểm) x2  x x  x  x  1 Cho biểu thức P    x  x 1 x x 1 Rút gọn P Tìm giá trị nhỏ P x Tìm x để biểu thức Q  nhận giá trị số nguyên P Bài II (3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y   x đường thẳng (d) qua điểm I(0; -1), có hệ số góc k Viết phương trình đường thẳng (d) Chứng minh với giá trị k, (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Gọi hoành độ A B x1 x2, chứng minh x1  x2  Chứng minh tam giác OAB vuông Bài III (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 2a, có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn (O) đường kính AB nửa đường tròn (O’) đường kính AO Trên (O’) lấy điểm M (khác A O), tia OM cắt (O) C, gọi D giao điểm thứ hai CA với (O’) Chứng minh tam giác ADM cân Tiếp tuyến C (O) cắt tia OD E, xác định vị trí tương đối đường thẳng EA (O) (O’) Đường thẳng AM cắt OD H, đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) điểm thứ hai N Chứng minh ba điểm A, M N thẳng hàng Tại cị trí M cho ME song song với AB, tính độ dài đoạn thẳng OM theo a NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ (Năm học 2003 – 2004 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi 23/06/2003) – 150 phút Bài (1.5 điểm) Cho hai số tự nhiên a b, chứng minh a  b2 chia hết cho a b chia hết cho Bài (2 điểm) 2 1   Cho phương trình      m  x   x 1 Giải phương trình với m = 15 Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài (2 điểm) Cho x, y số nguên dương thỏa mãn x  y  2003 Tìm giác trị lớn nhỏ biểu thức: P  x  x  y   y  y  x  Bài (3 điểm) Cho đường tròn (O) với dây BC cố định (BC < 2R) điểm A cung lớn BC (A khác B, C điểm cung) Gọi H hính chiếu A BC, E F hình chiếu B C đường kính AA’ Chứng minh HE  AC Chứng minh ∆HEF ∽ ∆ABC Khi A di chuyển, chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định Bài (1.5 điểm) Lấy điểm miền tứ giác để với đỉnh ta điểm, điểm thẳng hàng Biết diện tích tứ giác 1, chứng minh tồn tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh cho có diện tích không vượt Tổng quát hóa 10 toán cho n giác lồi với n điểm nằm miền tròn đa giác NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ (Năm học 2004 – 2005 – V1) (Ngày thi 18/06/2004) – 150 phút Bài I (2 điểm)  x 1 x 1  x Cho biểu thức P        x  x  x    Rút gọn P P  2 Tìm x để x Bài II (2 điểm) Cho phương trình x   m   x  m  3m   (m tham số) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với m Tìm m để tỉ số hai nghiệm phương trình có giá trị tuyệt đối Bài III (2 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d) có phương trình 2kx   k  1 y  (k tham số) Với giá trị k đường thẳng (d) song song với đường thẳng y  x Khi tính góc tạo (d) tia Ox Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn Bài IV (4 điểm) Cho góc vuông xOy hai điểm A, B cạnh Ox (A nằm O B), điểm M cạnh Oy Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA, MB điểm thứ hai C, E Tia OE cắt đường tròn (T) điểm thứ hai F Chứng minh điểm O, A, E, M nằm đường tròn, định tâm đường tròn Tứ giác OCFM hình Tại sao? Chứng minh hệ thức OE.OF  BE.BM  OB2 Xác định vị trí điểm M để tứ giác OCFM hình bình hành, tìm mối quan hệ OA AB để tứ giác hình thoi 10 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 10 (Năm học 2004 – 2005 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi 19/06/2004) – 150 phút Bài (2 điểm) Chứng minh số tự nhiên 1   1 A  1.2.3 2003.2004 1       2003 2004   chia hết cho 2005 Bài (2 điểm) Cho phương trình x   m  3x   m Giải phương trình m = 2 Tìm m để phương trình có nghiệm Bài (2 điểm) Giải bất phương trình sau: 25 x  x    x  x Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ hai đường cao BE, CF Biết góc BAC  600 , tính độ dài EF theo BC = a Trên nửa đường tròn đường kính BC không chứa E, F lấy điểm M Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc M BC, CE, EB Tìm giá trị nhỏ BC CE EB   tổng S  MH MI MK Bài (1 điểm) Cho đa giác có chu vi 1, chứng minh có hình tròn bán r  đa giác 11 chứa toàn NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 11 (Năm học 2005 – 2006 – V1) (Ngày thi 24/06/2005) – 150 phút Câu I (2 điểm) Cho biểu thức: P  x x 1 x x 1 x 1   x x x x x a Rút gọn biểu thức P b Tìm x để P  Câu II (2 điểm) Cho bất phương trình  m  1 x   2m  x (m tham số) a Giải bất phương trình với m   2 b Tìm m để bất phương trình nhận giá trị x > nghiệm Câu III (2 điểm) Trong măt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): x  y  a2  parabol (P) : y  ax (a tham số dương) Tìm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Chứng minh A, B nằm bên phải trục tung Gọi u, v theo thứ tự hoành độ A, B Tính giá trị hoành độ A, B Tìm giá  trị nhỏ biểu thức T  u  v uv Câu IV (3 điểm) Đường tròn tâm O có dây cung AB cố định I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB, dựng tia Ax vuông góc với đường thẳng MI H cắt tia BM C a Chứng minh ∆AIB ∆AMC tam giác cân b Khi điểm M di động cung lớn AB chứng minh điểm C di chuyển cung tròn cố định c Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác AMC đạt giá trị lớn Câu V (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC trung tuyến AM, ACB   , AMB   Chứng minh rằng:  sin   cos     sin  12 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 12 (Năm học 2005 – 2006 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi / /2005) – 150 phút Câu (2 điểm) Cho P   a  b  b  c  c  a   abc với a, b, c số nguyên Chứng minh a  b  c chia hết cho P chia hết cho Câu (2 điểm)  x  y 4  13  x y  m Cho hệ phương trình  2  xy  x  y   m a Giải hệ phương trình với m = – 10 b Chứng minh không tồn giá trị M để hệ có nghiệm Câu (2 điểm) Ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức    Xét hệ thức P  x  y  z x y z a Chứng minh P  x  y  3z  b Tìm giá trị nhỏ P Câu (3 điểm) Cho tam giác ∆ABC, lấy điểm D, E, F theo thứ tự cạnh BC, CA, AB cho AEDF tứ giác nội tiếp Trên tia AD lấy điểm P (D nằm A P) cho DA.DP  DB.DC a Chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp, hai tam giác ∆DEF, ∆PCB đồng dạng với b Gọi S S1 diện tích hai tam giác ∆ABC, ∆DEF Chứng minh S  EF    S1  AD  Câu (1 điểm) Cho hình vuông ABCD 2005 đường thẳng đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: a/ Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vuông b/ Mỗi đường thẳng chia hình vuông thành hai phần có tỉ số diện tích 0.5 Chứng minh 2005 đường thẳng có 502 đường đồng quy 13 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 13 (Năm học 2006 – 2007 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi 17/06/2006) – 150 phút Câu (2 điểm) x6  x2  Cho phương trình ẩn x: (*)   2a  1  2a   x3 x a Giải phương trình (*) a = b Tìm a để phương trình có nhiều hai nghiệm dương phân biệt Câu (2 điểm) Cho dãy số tự nhiên 2, 6, 30, 210 đước xác định sau: Số hạng thứ k tích k số nguyên tố (k = 1, 2, 3, ) Biết tồn hai số hạng dãy số có hiệu 30000 Tìm hai số hạng Câu (2 điểm) Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn:  2x y2  z4    1  2   x y  xy   x    x   x   Câu (3 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Gọi C điểm tùy ý nửa đường tròn, D hình chiếu vuông góc C AB Tia phân giác góc ACD cắt đường tròn đường kính AC điểm thứ hai E, cắt tia phân giác góc ABC H a Chứng minh AE // BH b Tia phân giác góc CAB cắt đường tròn đường kính AC điểm thứ hai F, cắt CE I Tính diện tích tam giác FID trường hợp tam giác c Trên đoạn BH lấy điểm K cho HK = HD Gọi J giao điểm AF BH Xác định vị trí C để tổng khoảng cách từ cá điểm I, J, K đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn Câu (1 điểm) Chứng minh 2007 số khác tùy ý lấy từ tập A  1, 2,3, , 20062007  có hai số x, y thỏa mãn:  2007 x  2007 y  14 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 14 (Năm học 2007 – 2008 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi / /2007) – 150 phút Bài (3 điểm) Cho phương trình: x2  y  2xy  2x  10 y   (1) a Tìm nghiệm (x; y) phương trình (1) thỏa mãn x2  y  10 b Tìm nghiệm nguyên phương trình (1) Bài (4 điểm) Cho điểm A di chuyển đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R (A không trùng với B C) Trên tia AB lấy M cho B trung điểm AM Gọi H hình chiếu vuông góc A lên BC I trung điểm HC a Chứng minh M chuyển động đường tròn cố định b Chứng minh ∆AHM ∽ ∆CIA c Chứng minh MH ⊥ AI d MH cắt đường tròn (O) E F, AI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai G Chứng minh tổng bình phương cạnh tứ giác AEGF không đổi Bài (1 điểm) Tìm số nhỏ số nguyên dương bội 2007 có chữ số cuối 2008 Bài (1 điểm) Cho lưới hình vuông kích thước x Người ta điền vào ô lưới số –1; 0; Xét tổng số tíng theo cột, theo hàng theo đường chéo Chứng minh tất tổng tồn hai tổng có giá trị Bài (1 điểm) Tính tổng sau theo n (n thuộc tập hợp số tự nhiên khác 0): S  2n 1  2.2n 3    n  1  n 15 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 15 (Năm học 2008 – 2009 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi / /2008) – 150 phút Bài (2 điểm)   x  19  y    m  2008  y  Cho hệ phương trình    y  19  x    m  2008  x  a Giải hệ phương trình m = 2008 b Chứng minh hệ phương trình cho có không nghiệm m  2008 Bài (2 điểm) Với số tự nhiên n, ta đặt an  3n2  6n  13 Chứng minh rằng: Nếu hai số ai, ak không chia hết cho chia cho dư khác   ak  chia hết cho Tìm số tự nhiên n lẻ để an số phương Bài (2 điểm) Cho a số thay đổi thỏa mãn 1  a  Tìm giá trị lớn b cho bất đẳng thức sau đúng:  a   b  1    a2   a2  b   Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Vẽ hai đường tròn (O1) (O2) có đường kính AB AC Gọi H giao điểm thứ hai (O1) (O2) Đưởng thẳng d thay đổi qua A cắt đường tròn (O1) (O2) điểm D, E cho A nằm D E Chứng minh đường trung trực đoạn DE qua điểm cố định đường thẳng d thay đổi Xác định vị trí đường thẳng d để diện tích tứ giác BDEC đạt giá trị lớn nhẩt Tính giá trị lớn theo b c, với b = AC, c = AB Đường thẳng qua trung điểm đoạn DE vuông góc voeid BC cắt BC K Chứng minh KB  BD  KH Bài (1 điểm) Cho A tập hợp gồm phần tử tập hợp {0; 1; 2; ; 14} Chứng minh tồn hai tập hợp B1 B2 tập hợp A (B1, B2 khác khác tập hợp rỗng) cho tổng hợp tất phần tử tập hợp B1 tổng tất phần tử tập hợp B2 16 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 16 (Năm học 2009 – 2010 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi / /2009) – 150 phút Bài (3 điểm)  n  8 A  48 có giá trị số nguyên dương n5 b Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn đẳng thức: x  y  y  y  3x   a Tìm số nguyên dương n để Bài (2 điểm)  x  1 y  x  Giải hệ phương trình (ẩn x, y, z)  y  1 z  y  2  z  1 x  z Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi BD CE hai đường cao tam giác ABC Chứng minh AD.AC = AE.AB Tia AO cắt BC A1 căý cung nhỏ BC A2, tia BO cắt AC B1 cắt cung nhỏ AC B2 Tia CO cắt AB C1 cắt cung nhỏ AB C2 AA BB CC Chứng minh    A1 A B1B C1C Từ A vẽ tia Ax vuông góc với DE Cho BC cố định, điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC có góc nhọn Chứng minh tia Ax qua điểm cố định Bài (1 điểm) Cho đa thức P  x   x  ax  bx  cx  d (a, b, c, d số) Biết P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30 Hãy tính giá trị biểu thức P 12   P  8   25 10 Bài (1 điểm) Chứng minh rằng: Nếu ba điểm A, B, C điểm nằm đường tròn (O) cho tam giác ABC có góc nhọn chi vi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC không lớn chi vi đường tròn (O) 17 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 17 (Năm học 2010 – 2011 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi 24/06/2010) – 150 phút Bài (2 điểm) Cho n số nguyên, chứng minh A  n3  11n chia hết cho Tìm tất số tự nhiên n để B  n4  3n2  số nguyên tố Bài (2 điểm) Cho phương trình:  m2  2m   x   m2  2m   x   Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm tất giá trị m để x12  x22  x1 x2  x1 x2  1 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức S  x1  x2 Bài (2 điểm) Cho a bất kỳ, chứng minh rằng: a 2010  2010 a 2010  2009 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: y  x  x    x  x    Bài (3 điểm) Cho đường tròn (O; R) điểm M nằm đường tròn Đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O; R) hai điểm E, F Chứng minh giao điểm I đoạn thẳng OM với đường tròn (O; R) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ∆MEF Cho A điểm thuộc cung EF chứa điểm M đường tròn đường kính OM (A khác E, F) Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF điểm B Chứng minh OA.OB = R2 Cho biết OM = 2R N điểm thuộc cung EF chứa điểm I đường tròn (O; R) (N khác E F) Gọi d đường thẳng qua F vuông góc với đưởng thẳng EN điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM điểm K (K khác F) Hai đường thẳng FN KE cắt điểm Q R Chứng minh rằng: PN PK  QN QK  Bài (1 điểm) Giải phương trình: x8  x7  x5  x4  x3  x   18 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 18 (Năm học 2011 – 2012 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi 24/06/2011) – 150 phút Bài (2,0 điểm) Với a   b giải phương trình:  a  b  x   a  b3  x  a  b    x - y - xy   2 Giải hệ phương trình  2  x  y  Bài (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho n2 -9n -3 chia hết cho n -11 Với ba số x, y, z không âm thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: A = x  y  z Bài (3,5 điểm) Trên đường tròn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm N cho AN = R M điểm thay đổi cung nhỏ BN (M không trùng với B, N) Gọi I giao điểm AM BN Đường thẳng qua điểm I vuông vuông góc với AB cắt tia AN điểm C Chứng minh ba điểm B, C, M thẳng hàng Xác định vị trí điểm M để chu vi tứ giác ABMN lớn Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH thuộc đường thẳng cố định M thay đổi cung nhỏ BN Đường thẳng qua M điểm cung AB không chứa điểm M cắt AB điểm D Chứng minh MD MD + không đổi M thay đổi cung nhỏ BN MA MB đường tròn (O; R) Bài (1,5 điểm) Tìm tất ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn: xyz  x - z  Bài (1,0 điểm) Chứng minh từ 53 số tự nhiên chọn 27 số mà tổng chúng chia hết cho 27 19 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 19 (Năm học 2012 – 2013 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi 23/06/2012) – 150 phút Bài (2,0 điểm) Chứng minh n số nguyên n5  5n3  6n chia hết cho 30 Giả sử n số tự nhiên thỏa mãn điều kiện n  n  1  không chia hết cho Chứng minh 2n2  n  không số phương Bài (3,0 điểm)   x - y - x   Giải hệ phương trình:  2  x - xy  y -    x2 Xét số x, y, z thỏa mãn điều kiện x2  y  z  2012 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  xy - yz - zx Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn (O ; R ) dây cung BC cố định (BC < 2R) Điểm A di động đường tròn (O ; R ) cho tam giác ABC tam giác nhọn Gọi AD đường cao H trực tâm tam giác ABC Đường thẳng chứa phân giác góc BHC cắt AB, AC điểm M, N Chứng minh tam giác AMN tam giác cân Gọi E, F hình chiếu D đường thẳng BH, CH Chứng minh OA  EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác góc BAC K Chứng minh đường thẳng HK qua điểm cố định Bài (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: ( x  1)( y  z)  xyz  Bài (1,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn bán kính 2cm Chứng minh số 17 điểm A1, A2,…, A17 nằm tứ giác ABCD tìm hai điểm mà khoảng cách hai điểm không lớn cm 20 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 20 (Năm học 2013 – 2014 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi / /2013) – 150 phút Bài ( điểm) Tìm tất số tự nhiên n để 72013  3n có chữ số hàng đơn vị Cho a, b số tự nhiên lớn p số tự nhiên thỏa mãn 1   p a2 b2 Chứng minh p số phương Bài ( điểm) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2  y  2xy  2x  y   2  2 x  xy  y  y   Gải hệ phương trình:  2  3x  y  x  12  Bài ( điểm) Với a, b số thực thỏa mãn a  b  4ab  4a  4b2 , tìm giá trị lớn A  20  a  b3    a  b   2013 Bài ( điểm) Cho tam giác ABC không cân Đường tròn (O) tiếp xúc với BC, AC, AB M, N, P Đường thẳng NP cắt BO, CO E, F Chứng minh OEN , OCA bù Chưng minh bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn Gọi K tâm đường tròn nội tiếp tam giác OEF Chứng minh O, M, K thẳng hàng Bài ( điểm) Trong mặt phẳng cho điểm A1, A2, A3, , A6 điểm thẳng hàng điểm có điểm có khoảng cách nhỏ 671 Chứng minh điểm cho tồn điểm đỉnh tam giác có chu vi nhỏ 2013 21 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 21 (Năm học 2014 – 2015 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi 24/06/2014) – 150 phút Bài (2.0 điểm) Giải phương trình x  x      2x  1   x  y  1  y  3 Giải hệ phương trình  2  x  x  12 y   y  Bài (2.5 điểm) Chứng minh n số nguyên dương 25n  n  4n  3n  5n  chia hết cho 65 Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 y  xy  x2  3x   Tìm số tự nhiên  a1; a2 ; a3 ; ; a2014  thỏa mãn a1  a2  a3   a2014  20142  2 2 a1  a2  a3   a2014  2014  Bài (1.5 điểm) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  , tìm giá trị lớn biểu thức Q x y z   x  x  yz y  y  zx z  z  xy Bài (3.0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H trung điểm BC M điểm thuộc đoạn thẳng BH (M khác B) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA cho CN  BM Gọi I trung điểm MN Chứng minh bốn điểm O, M, H, I thuộc đường tròn Gọi P giao điểm OI AB Chứng minh tam giác MNP tam giác Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ Bài (1.0 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước  n (3 hàng, n cột, n số tự nhiên lớn 1) tạo ô vuông nhỏ kích thước  Mỗi ô vuông nhỏ tô màu xanh đỏ Tìm số n bé để với cách tô màu tìm hình chữ nhật tạo ô vuông nhỏ cho ô vuông nhỏ góc hình chữ nhật màu 22 [...]...  KH 2 Bài 5 (1 điểm) Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kỳ của tập hợp {0; 1; 2; ; 14} Chứng minh rằng tồn tại hai tập hợp B1 và B2 của tập hợp A (B1, B2 khác nhau và khác tập hợp rỗng) sao cho tổng hợp tất cả các phần tử của tập hợp B1 bằng tổng tất cả các phần tử tập hợp B2 16 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 16 (Năm học 2009 – 2010 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi / /2009) – 150 phút Bài 1 (3... đường tròn nội tiếp tam giác OEF Chứng minh O, M, K thẳng hàng Bài 5 ( điểm) Trong mặt phẳng cho 6 điểm A1, A2, A3, , A6 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 3 điểm luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 671 Chứng minh rằng trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác có chu vi nhỏ hơn 2013 21 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 21 (Năm học 2014 – 2015 – V2 – Toán - Tin)... mãn hai điều kiện: a/ Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông b/ Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ số diện tích là 0.5 Chứng minh rằng trong 2005 đường thẳng đó có ít nhất 502 đường đồng quy 13 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 13 (Năm học 2006 – 2007 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi 17/06/2006) – 150 phút Câu 1 (2 điểm) x6  1 x2  1 Cho phương trình ẩn x: (*)   2a... tổng các số được tíng theo từng cột, theo từng hàng và theo đường chéo Chứng minh rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau Bài 5 (1 điểm) Tính tổng sau theo n (n thuộc tập hợp các số tự nhiên khác 0): S  2n 1  2.2n 3    n  1 2  n 15 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 15 (Năm học 2008 – 2009 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi / /2008) – 150 phút Bài 1 (2 điểm)  ... giác OCFM là hình gì Tại sao? 3 Chứng minh hệ thức OE.OF  BE.BM  OB2 4 Xác định vị trí điểm M để tứ giác OCFM là hình bình hành, tìm mối quan hệ giữa OA và AB để tứ giác là hình thoi 10 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 10 (Năm học 2004 – 2005 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi 19/06/2004) – 150 phút Bài 1 (2 điểm) Chứng minh rằng số tự nhiên 1 1   1 1 A  1.2.3 2003.2004 1       2003 2004... Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn bán kính 2cm Chứng minh trong số 17 điểm A1, A2,…, A17 bất kì nằm trong tứ giác ABCD luôn có thể tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó không lớn hơn 1 cm 20 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 20 (Năm học 2013 – 2014 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi / /2013) – 150 phút Bài 1 ( điểm) 1 Tìm tất cả các số tự nhiên n để 72013  3n có chữ số hàng đơn vị là 8... lớn AB chứng minh rằng điểm C di chuyển trên một cung tròn cố định c Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMC đạt giá trị lớn nhất Câu V (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A có AB < AC và trung tuyến AM, ACB   , AMB   Chứng minh rằng:  sin   cos    1  sin  2 12 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 12 (Năm học 2005 – 2006 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi / /2005) – 150 phút Câu 1 (2... Bài 3 (3,5 điểm) Trên đường tròn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm N sao cho AN = R và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BN (M không trùng với B, N) Gọi I là giao điểm của AM và BN Đường thẳng đi qua điểm I và vuông vuông góc với AB cắt tia AN tại điểm C 1 Chứng minh ba điểm B, C, M thẳng hàng 2 Xác định vị trí của điểm M để chu vi của tứ giác ABMN là lớn nhất 3 Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp... (3.0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trung điểm của BC M là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng BH (M khác B) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho CN  BM Gọi I là trung điểm của MN 1 Chứng minh bốn điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn 2 Gọi P là giao điểm của OI và AB Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều 3 Xác định vị trí của điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất Bài 5... đường tròn (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn thì chi vi của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC không lớn hơn chi vi của đường tròn (O) 17 NhËt HiÕu Tel: 01699.54.54.52 ĐỀ SỐ 17 (Năm học 2010 – 2011 – V2 – Toán - Tin) (Ngày thi 24/06/2010) – 150 phút Bài 1 (2 điểm) 1 Cho n là số nguyên, chứng minh A  n3  11n chia hết cho 6 2 Tìm tất cả các số tự nhiên n để B  n4  3n2  1 là số nguyên tố Bài ... – V2 – Toán - Tin) 21 ĐỀ SỐ 21 (Năm học 2014 – 2015 – V2 – Toán - Tin) 22 Ghi chú: V1: đề thi dành cho tất thí sinh (ngày thi thứ nhất) V2: đề thi dành cho lớp thi chuyên Toán - Tin... 2007 – V2 – Toán - Tin) 14 ĐỀ SỐ 14 (Năm học 2007 – 2008 – V2 – Toán - Tin) 15 ĐỀ SỐ 15 (Năm học 2008 – 2009 – V2 – Toán - Tin) 16 ĐỀ SỐ 16 (Năm học 2009 – 2010 – V2 – Toán - Tin)... 17 ĐỀ SỐ 17 (Năm học 2010 – 2011 – V2 – Toán - Tin) 18 ĐỀ SỐ 18 (Năm học 2011 – 2012 – V2 – Toán - Tin) 19 ĐỀ SỐ 19 (Năm học 2012 – 2013 – V2 – Toán - Tin) 20 ĐỀ SỐ 20