Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên - Phổ thông Năng khiếu TP.HCM năm học 2018-2019 (có đáp án)

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh , nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều [r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Năm học 2018 – 2019 HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10 Mơn thi: TỐN (chun)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Bài (1,5 điểm) Cho phương trình x2  x m 1  mx2  x 2  với m tham số

a) Tìm m để phương trình (1) (2) có nghiệm dương phân biệt

b) Giả sử điều kiện câu a) thỏa mãn, gọi x ,x1 2 nghiệm (1) x ,x3 4là nghiệm (2) Chứng minh x x x1 3x x x2 4x x x3 1x x x4 25

Bài (2 điểm) Cho a, b hai số nguyên thỏa mãn a3 b3 a) Chứng minh a3b3  a b

b) Chứng minh a3b3a2b2

c) Tìm tất số x, y, z, t nguyên cho x3y3z2t2 z3 t3 x2y2 Bài (2 điểm) Cho An 2018n2032n1964n1984n với n số tự nhiên

a) Chứng minh với số tự nhiên n An chia hết cho 51 b) Tìm tất số tự nhiên n cho An chia hết cho 45

Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Một đường tròn qua B, C cắt cạnh AB, AC E F; BF cắt CE D Lấy điểm K cho tứ giác DBKC hình bình hành

a) Chứng minh KBCđồng dạng với DFE, AKCđồng dạng với ADE

b) Hạ DM vng góc với AB, DN vng góc với AC Chứng minh MN vng góc với AK c) Gọi I trung điểm AD, J trung điểm MN Chứng minh đường thẳng Ị qua trung điểm cạnh BC

d) Đường thẳng Ị cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN T I T Chứng minh AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DTJ

Bài (1,5 điểm) Đội văn nghệ trường THCS có học sinh Nhà trường muốn thành lập nhóm tốp ca, nhịm gồm học sinh, (mỗi học sinh tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau) Biết hai nhóm tốp ca có chung nhiều học sinh

LỜI GIẢI CHI TIẾT: Bài 1:

a) Xét phương trình (1): x2  x m

Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt:

0 1

1

0

4 0 m m S m m P m                                          

Xét phương trình (2): mx2  x

Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

0 1 4 0

0 1 1

0

0 4

0

0

0 m

m m m

m m S m m P m                                                        

Vậy để (1) (2) có hai nghiệm dương phân biệt m  

b) Theo định lí Viet ta có:

1 2 4 1 x x

x x m

x x m x x m                 Ta có:    

1 3 4

2

1

1

1

1

x x x x x x x x x x x x

x x

x x x x

m m dpcm m            

Bài 2: a,bZ ,a3b30

a) a3b3 0 ab a 2abb20 Do

2 2

2

0

2

b b

a abb a    Dấu “=” xảy   a b (loại)

2

0

a ab b

Ta có a3b3 a b

  2   

1

a b a ab b *

     

Do

2

2

0

1

a ab b

a ab b

a,b Z

   

    

 

 nên (*)

Vậy a3b3 a b dấu “=” xảy a b     



0 a b     



1 a b       b) Do a    b a b

TH1: a    b b a

Ta có: a3b3a2b2 a3 1 a3a2 1 a2 a2 a 0

a

  a1 (đúng aZ)

Vậy a3b3a2b2 dấu “=” xảy a;b  0;       ; ; ;1 1; ; ;1 0 TH2: a b

Ta có: 3   2  2 2  2 2

2

a b  ab a abb  a abb a b  a b a b Bài 3:

a) Do 20181964mod32018n1964nmod3

   

20321984 mod3 2032n1984n mod3

n

A

 

Ta lại có 20181984mod172018n1984nmod17

   

20321964 mod17 2032n1964n mod17 17

n

A

 

Do 3 17; 1 nên An51n

b) An2018n2032n1964n1984n Ta xét trường hợp n để An5 Ta có An  2 n2n2.  1n mod 5

Do n lẻ An2mod5 (không thỏa)

Với  

4 n 2 k 2

n kA  .     mod (thỏa)

Với 4 2 2 24k 2 8 2 1 5

n

n k A  .      mod (không thỏa)

Vậy An5n4

Ta xét trường hợp n để An9

Ta có: An2n  2 n2n4nmod9  

2n 4n mod9

   1n 2n mod9

 

Vì 2 9;  1 2n1 9

Với n3k với k Ta có    

2 k 1k

n

A      mod  k chẵn

Với n3k1 với k Ta có    

2 k 1k

n

A     .   mod (khơng thỏa) Với n3k2 với k Ta có 23k 1 4 1k 1 9

n

A       mod (không thỏa)

Vậy để An45n12 Bài 4:

a) tứ giác BEFC nội tiếp nên DEF DBC DFE DCB Vì BDCK hình bình hành nên DBC KCB

DCB KBC

  

Do đó, DEF KCB, DFE  KBC nên KBC ~DFE g.g  Ta có AEC ABK ABK ABD+ DBK= ACE+ DCK  

ACK

 

Vì KBC ~ DFE cmt  DE EF 1

CK BC

   

Mặt khác AEF ~ ACB g.g  EF AE 2

BC AC

   

Từ (1) (2) suy DE AE

CK  AC  AKC ~ADE c.g.c 

b) Ta có EAD KAF (hai góc tương ứng hai tam giác đồng dạng)

Mà tứ giác AMDN nội tiếp nên ANM  ADM Vậy ANMKAN EADADM 90o nên MNAK

c) Gọi P, V, U trung điểm BC, BD, CD Ta có I tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác AMDN Vậy MI = NI hay IJ đường trung trực MN

Tam giác MBD NCD có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MV NU

Nên MVPU ; NUVP

Vậy VPUD hình bình hành DVP DUP Mặt khác, EBF ECF MVD DUN

 

MVP NUP MVP PUN c.g.c

       

PM PN

  hay P thuộc trung trực MN Từ suy IJ qua trung điểm P MN

d) Vì IT MN tam giác IMN cân I nên IT đường kính (IIMN)

2

90o

INT IJ IT IN ID

     

nên DIJ ~TID c.g c   IDJ  ITD

Bài 5:

a) Giả sử ngược lại, có bạn A tham gia nhóm tốp ca Xét nhóm tốp ca mà bạn tham gia, nhóm, ngồi A chung cịn có bạn khác, giả sử B1, B2; B3, B4; B5,

B6; B7, B8 Theo giả thiết tất bạn đơi khác nhau, mâu thuẫn ta có

bạn

b) Vì bạn tham gia khơng q nhóm tốp ca nên số lượt tham gia nhóm khơng q 3 24 Suy số nhóm khơng vượt q 24

3  Ta cách xếp để có nhóm bảng sau

HS1 HS2 HS3 HS4 HS5 HS6 HS7 HS8

N1 X x x

N2 x x x

N3 x X x

N4 X x X

N5 X x x

N6 X x x

N7 x x x

N8 x x X

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác

TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia