Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn AB... Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn AB.[r]
(1)GVHD Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao –Phú Thọ
Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt ã nam
Tr
ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
§Ị chÝnh thøc
đề thi tuyển sinh
Vµo khèi trung häc phỉ thông chuyên năm 2009
Môn thi: Toán học
(Dùng cho thí sinh thi vào trờng chuyên) Thời gian làm :120 phút
Câu 1: Cho biĨu thøc
A=
√
20a+92+√
a4+16a2+64B=a4+20a3+102a2+40a+200
a-Rót gän A
b- Tìm a để A+B=0
C©u 2:Hai công nhân làm công việc 18 h xong.Nếu ngêi thø nhÊt lµm 6h
và ngời thứ làm 12 h đợc 50% cơng việc.Hỏi làm riêng ngời hồn thành cơng việc bao lâu?
Câu 3: Cho Parabol y= x2 đờng thẳng (d) có phơng trình y=mx+1
a- Chøng minh (d) cắt (P) điểm phân biệt A;B với m b- Gọi A(x1;y1) B(x2;y2) Tìm giá trị lín nhÊt cđa
M=(y1-1)(y2-1)
C©u 4:Cho tam giác ABC với AB=5;AC=35;BC=10 Phân giác BK góc ABC
c¾t
đờng cao AH;trung tuyến AM tam giác ABC O T (K AC;H, M BC) a-Tính AH
b-TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c AOT
Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :
(x+
√
1+x2)(y+√
1+y2)=1Chøng minh x+y=0
Ghi : Cán coi thi không giải thích thêm
Họ tên thí sinh sè b¸o danh
Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã Tr
ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
§Ị chÝnh thøc
đề thi tuyển sinh
Vµo khèi trung häc phỉ thông chuyên năm 2009
Môn thi: Toán học
(Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán chuyên Tin;Thời gian làm :150 phút )
Câu Các số thực x, y thoả mÃn xy2 vµ xy≠−√2 Chøng minh r»ng biĨu
thøc
sau không phụ thuộc vào x, y P=
(
3
√2 xy x2y2−3
√4+
xy−√32 xy+2√32
)
2 xy xy+√32 −
xy xy−√32
Câu 2 1) Cho phơng trình x2+bx+c=0 , tham số b c thoả
m·n
(2)nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 cho x1=x2
+x2
1) Gi¶ sử (x, y, z) nghiệm hệ phơng tr×nh: ¿
x 3+
y 12−
z 4=1 x
10+ y 5+
z 3=1 ¿{
HÃy tính giá trị A = x + y + z
C©u 3 Ba số nguyên dơng a, p, q thỏa mÃn điều kiÖn: i) ap + chia hÕt cho q
ii) aq + chia hÕt cho p Chøng minh a>pq
2(p+q)
Câu Cho đờng tròn (O) đờng kính AB điểm C thuộc đờng trịn (C không
trùng với A, B trung điểm cung AB) Gọi H hình chiếu vng góc C AB Đờng trịn (O1) đờng kính AH cắt CA E, đờng trịn (O2) đờng kính BH cắt
CB F
1) Chứng minh tứ giác AEFB tứ giác nội tiếp
2) Gi (O3) tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D điểm đối xứng
cña C qua O Chøng minh ba điểm H, O3, D thẳng hàng
3) Gọi S giao đờng thẳng EF AB, K giao điểm thứ hai SC với đờng trịn (O) Chứng minh KE vng góc với KF
Câu 5 Một hình vng có độ dài đợc chia thành 100 hình chữ nhật có chu
vi (hai hình chữ nhật điểm chung) Kí hiệu P chu vi hình chữ nhật 100 hình chữ nhật nµy
1) Hãy cách để chia P = 2,02 2) Hãy tìm giá trị lớn ca P
Đại học s phạm hà nội
Thi tuyển sinh vào khối THPT chuyên năm 2009
Môn thi: Toán học
(Dùng cho thí sinh thi vào khối chuyên) Thời gian làm :120 phút
H
íng dÉn
Ta cã
a2 +8¿2
¿ ¿ ¿ a+10¿2
¿ ¿ 20a+92+√¿
¿
A=
√
20a+92+√
a4+16a2+64=√¿B=( a4+20a3+10a2)+2(a2+ 20a+100)=a2(a+10)2+2(a+10)2==(a+10)2(a2+2) A=|a+10|≥0 ;B=(a+10)2(a2+2) 0;A+B 0 dÊu “=” a=-10
C©u 1: Cho biĨu thøc
A=
√
20a+92+√
a4+16a2+64 B=a4+20a3+102a2+40a+200a-Rót gän A
b- Tìm a để A+B=0
C©u 3: ( điểm) Giải hệ phơng trình
¿
x2+y2+2(x+y+xy)=0(1)
x2
+y2+4x −2y+4=0(2)
¿{
(3)H
íng dÉn
Gọi thời gian ngời thứ làm xong cơng việc x (h) x>18 Gọi thời gian ngời thứ hai làm xong công việc y (h) x>18 h ngời thứ làm đợc
x (CV); h ngời thứ hai làm đợc
y (CV) h hai ngời làm đợc
18 (CV) ta cã PT: x+
1 y=
1 18 (1)
ngời thứ làm 6h ngời thứ làm 12 h đợc 50% cơng việc.ta có PT:
x+ 12
y = (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ
¿
x+
y= 18
x+ 12
y = ⇔ ¿1
x+ y=
1 18
x+
y= 12 ⇔ ¿1
x= 36 y=
1 36 ⇔ ¿x=36
y=36
¿{
¿
Vậy mội đội đội riêng 36 h xong
H
íng dÉn
a-xÐt hÖ PT:
¿ y=x2
y=mx+1
⇔ ¿y=x2
x2−mx−1=0
¿{
¿
Câu 2:Hai công nhân làm công việc 18 h xong.Nếu ngời thứ làm 6h ngời thứ làm 12 h đợc 50% cơng việc.Hỏi làm riêng ngời hồn thành cơng việc bao lâu?
Câu 3: Cho Parabol y= x2 đờng thẳng (d) có phơng trình y=mx+1
a- Chøng minh (d) cắt (P) điểm phân biệt A;B với m b- Gọi A(x1;y1) B(x2;y2) Tìm giá trị lín nhÊt cđa
(4)xÐt PT x2-mx-1=0 cã Δ
=m2+4>0
b-y1=mx1+1;y2=mx2+1;M=m2.x1x2 mµ x1;x2 lµ nghiƯm PT x2-mx-1=0 theo ViÐt
x1x2=-1 nªm M=-m2 Max(M)=0
H
íng dÉn
H
íng dÉn
a-Đặt CH=x BH=10-x ta có áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABH;ACH AH2 =AB2 -BH2 =25-x2 ; AH2 =A2C -H2C =45-(10-x)2
Ta cã PT : 25-x2 =45-(10-x)2 ⇔ 25-x2 =45-100+20x-x2 ⇔ 20x=80 ⇔ x=4
nên AH=3
b-áp dụng tính chất phân giác AO OH=
AB BH=
5 4⇒
AO AH=
5
9 ; SAOB=
5
9SAHB=
10 ; SABT=1
2SABM=
15 ; SAOT=SABT− SAOB=
15 −
10 =
5
12 (®vdt)
H
íng dÉn
Ta cã :
2 ¿ 1+x❑¿❑
x −√¿(x+
√
1+x2)(y+√
1+y2)(x −√
1+x2)=(|)2 ¿ 1+x❑¿❑
x (y+
1+y2)=(|)(1)Câu 4:Cho tam giác ABC với AB=5;AC=35;BC=10 Phân giác BK góc
ABC cắt
ng cao AH;trung tuyến AM tam giác ABC O T (K AC;H, M BC)
a-TÝnh AH
b-TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AOT
O T
M H
K
B C
A
Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :
(x+
√
1+x2)(y+√
1+y2)=1 (5)T¬ng tù
2 ¿ 1+x❑¿❑
x+√¿2 ¿ 1+y❑¿❑ y −√¿−(|)=(|)(2)
Céng (1) vµ (2) Ta cã
− y −
√
1+y2− x −√
1+x2=x −√
1+x2+y −√
1+y2⇔− y − x=x+y⇔x+y=0Vậy x+y=0 (đpcm)
Đại học s phạm hà nội
Môn thi: Toán học
(Dùng riêng cho thí sinh thi vào lớp chuyên toán chuyên tin) Thời gian lµm bµi :150
H
íng dÉn
P=
(
√2 xy x2y2−3
√4+ xy−3
√2 xy+2√32
)
2 xy xy+√3 2−
xy xy−3
√2
(xy−√32)
¿
(xy+√32)( +xy−
√2 2(xy+√32)¿)
2 xy xy+√32 −
xy xy−√32 xy+√32¿2
¿ ¿ ¿ 2√32 xy
¿ P=
4√32 xy+x2y2−2√32 xy+√34 2(xy+√32)(xy−√32)
2 xy xy+√32 −
xy
xy32= P=
Câu Các số thực x, y thoả mÃn xy2 xy2 Chứng minh biểu thức
sau không phụ thuộc vào x, y P=
(
3
√2 xy x2y2−3
√4+ xy−3
√2 xy+2√32
)
2 xy xy+√32 −
xy xy−3
√2
C©u 2
1) Cho phơng trình x2
+bx+c=0 , ú tham số b c thoả mãn
đẳng thức b + c = Tìm giá trị b c để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 cho x1=x22+x2
1) Giả sử (x, y, z) nghiệm hệ phơng trình:
x 3+
y 12
z 4=1 x
10+ y 5+
z 3=1 ¿{
¿
(6)H
íng dÉn
a)Theo gi¶ thiÕt ta cã Δ=b2−4c>0
¿ x1+x2=− b
b+c=4
x1.x2=c
x1=x22+x2
⇔ ¿Δ=b2−4c ≥0
x1.x2− x1− x2=4
x1.x2=c
x1=x22+x2
⇔ ¿Δ=b2−4c>0
x1.=x2+4
x2−1 x1.x2=c
x2+4
x2−1=x2
+x2
⇔ ¿Δ=b2−4c>0
b+c=4
x1.x2=c
x2+4
x2−1=x2
+x2
¿ ⇔ ¿Δ=b2−4c>0
b+c=4
x1.x2=c
x2
−2x2−4=0
⇔ ¿Δ=b2−4c>0
b+c=4
x1.x2=c
(x2−2)(x22−2x2+2)=0
⇔ ¿Δ=b2−4c>0
b=−8
c=12
x1.=6
x2=2
¿{ { { {
¿ ¿ ¿
(7)b)
¿ x 3+
y 12−
z 4=1 x
10+ y 5+
z 3=1 ⇔
¿4x+y −3z=12
3x+6y+10z=30
⇔7(x+y+z)=42⇔A=6
¿{
¿
H
íng dÉn
xÐt pq=1 ta cã ®pcm xÐt :pq>1
(ap+1)(aq+1)⋮pq⇔a2pq+ap+aq+1⋮pq⇔a(p+q)+1⋮pq⇔a ≥pq−1
p+q
xÐt hiÖu pq−1 p+q −
pq
2(p+q)=
pq−1
2(p+q)>0 (vì pq>1) nên a>
pq 2(p+q)
Cách khác :
(ap+1)(aq+1)⋮pq⇔a2pq+ap+aq+1⋮pq⇔ap+aq+1⋮pq⇒ap+aq+1≥pq
Ta cã ap+2 aq>ap+aq+1≥pq⇒2a(p+q)>pq⇔a>pq
2(p+q) (đpcm)
H ớng dẫn
Câu 3 Ba số nguyên dơng a, p, q thỏa mÃn điều kiện: i) ap + chia hết cho q
ii) aq + chia hÕt cho p Chøng minh a>pq
2(p+q)
Câu Cho đờng trịn (O) đờng kính AB điểm C thuộc đờng trịn (C khơng trùng với A, B trung điểm cung AB) Gọi H hình chiếu vng góc C AB Đờng trịn (O1) đờng kính AH cắt CA E, đờng trịn (O2) đờng kính BH cắt
CB t¹i F
1) Chøng minh tø giác AEFB tứ giác nội tiếp
2) Gi (O3) tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D điểm đối xứng
cña C qua O Chứng minh ba điểm H, O3, D thẳng hàng
3) Gọi S giao đờng thẳng EF AB, K giao điểm thứ hai SC với đờng trịn (O) Chứng minh KE vng góc với KF
1
K
S
O3 I
D
F E
O2
O1 H
O
A B
C a) ta cã tứ giác CEHF hình chữ nhật
Ta có ∠ CFE= ∠ EAB ( cïng b»ng
∠ CHE) nên tứ giác AEFB nội tiếp b)Kẻ trung trực EF cắt HD O3 chứng
minh O3 l tõm đờng trịn ngoại tiếp
tø gi¸c AEFB
Chứng minh đợc CD EF tam giác CHD có IO3là ng trung bỡnh
Nên O3O AB mà OA=OB nên O3O lµ
trung trực AB nên O3 tâm đờng
(8)c) ∠ BFS= ∠ BKS (cùng bù EFB) nên tứ giác BFKS nội tiÕp suy ∠
FKS= ∠ FBA
mµ ∠ FBA= ∠ CEF nªn ∠ FKS= ∠ CEF nªn tø gi¸c CEFK néi tiÕp suy ∠ EKF= ∠ ECF=900 hay FK vu«ng gãc víi EK
H
íng dÉn
a-cách chia cạnh thành 100 phần qua điểm chia kẻ đờng thẳng // cạnh ta đợc 100 hình vng có chu vi P=2,02
Chia cạnh thành x phần cạnh lại y phần (x,y N*)
Ta có xy=100 gọi kích thớc hình chữ nhật a,b th× a=1
x, b=
y P= xy=
2(x+y)
xy =
x+y
50 ; P (max )khi x+y (max) Mà (x;y)=(1;100);(2;50);(4;25);(5;20);(10;10) có cặp (1;100) thoả mãn Khi P(max)=2,02
Câu 5 Một hình vng có độ dài đợc chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi (hai hình chữ nhật khơng có điểm chung) Kí hiệu P chu vi hình chữ nhật 100 hình chữ nhật