1Chứng minh rằng hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng 1 Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua điểm cố định... 1thøc Ta cã..[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2009 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) C©u I 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh x − x +2=2 √ x − x +1 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ x − y + xy=1 x + y= y +3 ¿{ ¿ 13 2009 13 + +2009 C©u II thøc 1) T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè 2) Víi a, b lµ nh÷ng ch÷ sè thùc d¬ng, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu P= a+b √ a( a+5 b)+ √ b (4 b +5 a) Câu III Cho hình thoi ABCD Gọi H là giao điểm hai đờng chéo AC và BD Biết bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC a và bán kính đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABD b»ng b 1) Chøng minh r»ng AH = a BH b 2) TÝnh diÖn tÝch h×nh thoi ABCD theo c¸c b¸n kÝnh a, b C©u IV Víi a, b, c lµ nh÷ng sè thùc d¬ng, chøng minh r»ng a2 b2 c2 a+b +c + + ≥ 2 2 2 √3 a +8 b + 14 ab √3 b +8 c +14 bc √3 c +8 a +14 ca Cán coi thi không giải thich gì thêm ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2009 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) C©u I 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh 14 √ x+35+ √ x +1=84+ √ x 2+36 x +35 2) Chøng minh r»ng (2) n −1 ¿4 ¿ 4+ ¿ n− + + + ¿ 4 4+1 +3 Víi mäi n nguyªn d¬ng C©u II 1) T×m sè nguyªn d¬ng n cho tÊt c¶ c¸c sè n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 là nguyên tố 2) Mçi lÇn cho phÐp thay thÕ cÆp sè (a,b) thuéc tËp hîp M ={ (16 , 2) ,(4 , 32) ,(6 , 62), (78 ,8) } cặp số (a + c, b + d) đó cÆp sè (c, d) còng thuéc M Hỏi sau số hữu hạn lần thay ta có thể nhận đợc tập hợp các cÆp sè M 1={(2018 ,702), (844 , 2104) ,(1056 , 2176),( 2240 ,912) } hay kh«ng? C©u III Cho đờng tròn (O) và (O’) cắt hai điểm A và B Trên đờng thẳng AB ta lÊy mét ®iÓm M bÊt kú cho ®iÓm A n»m ®o¹n BM ( M ≠ A) Từ điểm M kẻ tới đờng tròn (O’) các tiếp tuyến MC và MD (C và D là c¸c tiếp điểm, C nằm ngoài (O)) Đờng thẳng AC cắt lần thứ hai đờng tròn (O) điểm P và đờng thẳng AD cắt lần thứ hai đờng tròn (O) Q §êng th¼ng CD c¾t PQ t¹i K 1)Chứng minh hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng 1) Chứng minh M thay đổi thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn qua điểm cố định C©u IV Gi¶ sö x,y,z lµ nh÷ng sè thùc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ≤ x , y , z ≤2 vµ x+ y + z = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña biÓu thøc : 4 M =x + y + z +12 ( − x ) (1 − y )(1− z) Trờng đại học khoa học tự nhiên Thi tuyÓn sinh líp 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2009 M«n : to¸n (vßng 1) Thời gian làm bài :120 phút (Không kể thời gian phát đề) C©u I 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh x − x +2=2 √ x − x +1 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ x − y + xy=1 x + y= y +3 ¿{ ¿ Híng dÉn 1)§KX§: ∀ x ∈ R √ x − x +1 −1 ¿2=0 ¿ ¿ 2 x − x +2=2 √ x − x +1 ⇔ x − x+1 −2 √ x − x +1+1=0 ⇔ ¿ Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1=0;x2=1 (3) 2) x − y +xy=1 x+ y= y +3 ⇔ ¿ y =1− x − xy x 2+ xy − x − y +2=0 ⇔ ¿ y =1− x − xy (x − 1)( x + y −2)=0 ¿ ⇔ ¿ y =1− x − xy x=1 ¿ x=2− y ¿ ¿⇔ ¿ ¿ ¿ x=2− y ¿ y 2+ y −3=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x=1 ¿ y − y=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ y=0 ¿ x=1 ¿ ¿ ¿ VËy hÖ cã nghiÖm (x;y)=(1;0);(1;1); (5;-3) C©u II 1)thøc Ta cã 1) T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè 1313+ 66 +20092009 Híng dÉnd¬ng, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu 2) Víi a, b lµ nh÷ng ch÷ sè thùc a+b 13 2009 2008 13 =( 13 ) 13 ≡3(modP= 10); 6a(≡6 (mod 10); 2009 =( 2009 ) 2009≡ 9( mod 10) a+5 b)+ b (4 b +5 a) √ √ 1313+ 66 +20092009 ≡3+ 6+9 ≡ 8(mod 10) (4) nªn 1313+ 66 +20092009 cã tËn cïng lµ 2)¸p dông B§T C« si cho sè d¬ng 9a vµ 4a+5b ta cã √ a( a+5 b)≤ a+ a+5 b =13 a+5 b 2 9b vµ 4b+55 ta cã √ b( b+5 a) ≤ b+ b+ a =13 b+5 a 2 3(a+ b) Nªn P≥ 18 a+18 b = nªn Min(P)= a=b Cách khác áp dụng bất đẳng thức Bunhicôpsky dãy √ a ; √ b vµ d·y √ a+5 b ; √ b+5 a ta cã ( √ a( a+ b)+ √b (4 b+5 a)) ≤(a+b)(9 a+9 b)⇔ √ a(4 a+ b)+ √b (4 b+5 a)≤ 3( a+b) a+b ≥ √a (4 a+5 b)+ √ b(4 b+5 a) Min (P)= √ a+5 b = √ b+5 a ⇔ a+ b = b+ a ⇔ ab+ b2=4 ab+5 a ⇔ a=b a b √a √b ⇔ B Câu III Cho hình thoi ABCD Gọi H là giao điểm hai đờng chéo AC và BD íng dÉn BiÕt r»ng b¸n kÝnh đờng tròn ngoại H tiÕp tam giác ABC a và bán kính đờng tròn A ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABD b»ng b a-Tam K a gi¸c BKO1 dd tam gi¸c O2KA nªn 1) Chøng minh r»ng AH = BH a = b O1 B = O1 K = O1 K =TgB O1 H O2 A theo AK c¸cBK 2) TÝnh diÖn tÝch h×nh thoibABCD b¸n kÝnh 1a, b D Mµ AH =tgB1 nªn a = AH BH C O2 b BH b-Theo a ta cã HB= b HA a Δ vu«ng BO2H ta cã BH2+O2H2=O2B2 nªn b2 b2 2 2 b − AH ¿ =b ⇔ AH + b − bAH+ AH =b ⇔ AH − bAH+ AH2=0 a a ¿ ¿ b AH2 +¿ a 2 a 2+ b2 ¿ ¿ S ABCD =2 AH BH= a3 b3 ¿ (5) C©u IV Víi a, b, c lµ nh÷ng sè thùc d¬ng, chøng minh r»ng a2 b2 c2 a+b +c + + ≥ 2 2 2 √3 a +8 b + 14 ab √3 b +8 c +14 bc √3 c +8 a +14 ca Híng dÉn √ a2 +8 b2 +14 ab=√(3 a+ 2b)(a+4 b)≤ a+2 b =2 a+3 b ta cã c =2 b+3 c √ b2+ c 2+14 cb= √(3 b+2 c)(b+4 c) ≤ b+6 a =2 c+3 a √ c2 +8 a2+ 14 ac=√(3 c +2 a)(c +4 a)≤ c +6 Ta cã 2 a b c P= + + 2 2 √ a +8 b +14 ab √ b + c +14 bc √ c + a2+ 14 ca a2 b2 c2 P≥ + + =Q a+3 b b+3 c c+ a ¸p dông B§T Bunhiacopsky cho d·y a b c ; ; vµ √ a+3 b ; √2 b+3 c ; √ c+3 a √2 a+3 b √ b+3 c √ c+3 a Ta cã a+b +c ¿ ⇔ Q≥ (a+b+ c) Q(5 a+5 b +5 c)≥¿ vËy P≥ Q ≥ (a+ b+c ) DÊu “=” x¶y khi a=b=c C¸ch kh¸c: Chøng minh Q ( a+b+ c) ¸p dông B§T C«-Si 2 a a+3 b a a a a+ b a −3 b + ≥ ⇔ ≥ − = a+ b 25 a+3 b 25 25 2 b b −3 c c c −3 a ≥ ; ≥ b+ c 25 c+ a 25 VËy Q≥ t¬ng tù a −3 b b −3 c c −3 a a+ b+c + + = 25 25 25 -Trờng đại học khoa học tự nhiên M«n : to¸n (vßng 2) Thời gian làm bài :150 phút (Không kể thời gian phát đề) (6) C©u I 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh 14 √ x+35+ √ x +1=84+ √ x 2+36 x +35 2) Chøng minh r»ng n −1 ¿4 ¿ 4+ ¿ n− + + + ¿ 4 4+1 +3 Víi mäi n nguyªn d¬ng Híng dÉn 1)§KX§: x ≥ −1 §Æt √ x+35=a ; √ x +1=b ;(a> ; b ≥0) a=6 ¿ b=14 ¿ x=1; (T /m) ¿ x=195 ; (T /m) ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ 14 x+35+ x +1=84+ x +36 x +35 ⇔ 14 a+6 b − 84 −ab=0 ¿ √ √ ¿ √ ⇔(a −6)(14 −b)=0 ⇔ 2).Dïng ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc * Với n=1 đúng giả sử đúng với n=k ta có Sk= k2 ; ta phải chứng minh đúng với n=k+1 nghĩa là k +1 k +1¿ ¿ k +1 ¿2 +1 4¿ ¿ S k+1 =¿ (7) k +1 ¿4 ¿ k +1¿ ¿ k +1 ¿ +1 ¿ k +1 ¿4 ¿ k +1¿ ¿ k +1 ¿2 +1 ¿ k +1 ¿4 ¿ 4+¿ 4¿ ¿ 4+¿ 4¿ ¿ 4+¿ ¿ 2( k +1)−1 S k+ 1=S K + ¿ k +1 ¿ ¿ k +1 ¿2 +1 ¿ k +1 ¿2 (4 k +1)− k [ (k +1 ¿2 +1) ] ¿ ¿ 4( k +1 ¿ +1) [ ]( k 2+1) Ta cã : ¿ k +1 ¿4 ¿ ¿ 4¿ ¿ ¿ ¿ C¸ch kh¸c: đặt a=2n-1( n N ❑¿ xÐt tæng qu¸t a 1 = − 4+ a a − a+2 a +2 a+ ( ) thay n lÇn lît tõ ;2;3;4;… Ta cã a lÇn lît 1;3;5;7;… Ta cã C©u II n− 1+1¿ +1 ¿ n− 1+1¿ 2+1 ¿ ¿ ¿ 1 1 S= − + − + − ¿ 5 13 1) T×m sè nguyªn d¬ng n cho tÊt c¶ c¸c sè n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 là nguyên tố 2) Mçi lÇn cho phÐp thay thÕ cÆp sè (a,b) thuéc tËp hîp M={ (16 , 2) ,(4 , 32),(6 , 62), (78 ,8) } cặp số (a + c, b + d) đó cặp sè (c, d) còng thuéc M Hỏi sau số hữu hạn lần thay ta có thể nhận đợc tập hợp các cặp sè M 1={(2018 ,702), (844 , 2104) ,(1056 , 2176),(2240 ,912) } hay kh«ng? (8) Híng dÉn 1) Víi n<6 kh«ng cã sè nµo tho¶ m·n Víi n=6 tho¶ m·n Víi n>6 n cã d¹ng n=7k;7k+1;7k+2;7k+3;7k+4;7k+5;7k+6 ( (k ∈ N ❑ ) n=7k th× n+7 ⋮ 7; n=7k+1 th× n+13 ⋮ 7; n=7k+2 th× n+5 ⋮ n=7k+3 th× n+25 ⋮ 7; n=7k+4 th× n+17 ⋮ 7; n=7k+5 th× n+37 ⋮ 7; n=7k+6 th× n+1 ⋮ Vậy có n=6 thoả mãn đề bài 2) Ta thÊy a-b ⋮ 7;(a+c)-(b+d)=((a-b)+(c-d)) ⋮ mµ 2014-844=1170=167x7+1 Không chia hết cho sau số hữu hạn lần thay ta không thể nhận đợc tËp hîp c¸c cÆp sè M 1={(2018 ,702), (844 , 2104) ,(1056 , 2176),( 2240 ,912) } Híng dÉn C©u III Cho đờng tròn (O) và (O’) cắt hai điểm A và B Trên đờng thẳng AB ta lÊy mét ®iÓm M bÊt kú cho ®iÓm A n»m ®o¹n BM ( M ≠ A) Từ điểm M kẻ tới đờng tròn (O’) các tiếp tuyến MC và MD (C và D là c¸c tiếp điểm, C nằm ngoài (O)) Đờng thẳng AC cắt lần thứ hai đờng tròn (O) điểm P và đờng thẳng AD cắt lần thứ hai đờng tròn (O) Q §êng th¼ng CD c¾t PQ t¹i K 1) Chứng minh hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng 2) Chứng minh M thay đổi thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn qua điểm cố định M P A C D K O' O B Q 1)ta cã ∠ DCB= ∠ DAB (Ch¾n cungBD) ∠ DAB = ∠ QPB (ch¾n cungBQ) Nªn ∠ DCB= ∠ QPB(1) ∠ DBC= ∠ PAQ( cïng bï ∠ DAC) ∠ PAQ = ∠ PBQ ( ch¨n cung PQ) Nªn ∠ DBC= ∠ PBQ(2) Tõ (1) ;(2) ta cã Δ BCD ® d víi Δ BPQ (g.g) 2)theo a) th× ∠ DCB= ∠ QPB nªn tứ giác KPCB nội tiếp nên đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c KCP lu«n ®i qua điểm B cố định M thay đổi (9) C©u IV Gi¶ sö x,y,z lµ nh÷ng sè thùc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ≤ x , y , z ≤2 vµ x+ y + z = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña biÓu thøc : M =x + y + z +12 ( − x ) (1 − y )(1− z) Híng dÉn Gi¶ sö x,y,z lµ nh÷ng sè thùc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ≤ x , y , z ≤2 vµ x+ y + z = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña biÓu thøc : M =x + y + z +12 ( − x ) (1 − y )(1− z) Giải: cách đặt 1-x=a;1-y=b;1-z=c thì a+b+c=0 nên a3+b3+c3=3abc vµ −1 ≤ a ; b ; c ≤ M=(1-a)4+(1-b)4+(1-c)4+12abc=a4+b4+c4-4(a3+b3+c3-3abc)+6(a2+b2+c2)-4(a+b+c) +3 M= a4+b4+c4+6(a2+b2+c2)+3 ¸p dông B§T Bunhiacopsky cho d·y a;b;c vµ 1;1;1 ta cã 3(a2+b2+c2) (a+b+c)2=0 Nªn a2+b2+c2 DÊu “=” x¶y a=b=c=0 ¸p dông B§T Bunhiacopsky cho d·y a2;b2;c2 vµ 1;1;1 ta cã 3(a4+b4+c4) (a2+b2+c2)2=0 ⇔ a4+b4+c4 DÊu “=” x¶y a=b=c=0 Vậy M suy (M)= a=b=c=0 đó x=y=z=1 MÆt kh¸c a2+b2+c2=(1-x)2+(1-y)2+(1-z)2=3-2(x+y+z)+x2+y2+z2= x2+y2+z2-3 Gi¶ sö x ≤ y ≤ z ≤ ; ta cã x2+y2+z2-3=(x+y)2-2xy+z2 -3 (3-z)2 +z2-3=2z2-6z+6 x2+y2+z2-3=2z2-6z+6= z − + ≤2 v× 0<z ( 2) 2 suy a2+b2+c2 ta cã a2;b2;c2 [ ; ] nªn (a4+b4+c4) ( a2+b2+c2) suy M 7(a2+b2+c2)+3 17 Max(M)=17 (a;b;c)=(-1;0;1) vµ c¸c ho¸n vÞ hay (x;y;z) =(0;1;2)vµ c¸c ho¸n vÞ C¸ch 2:thay x4+y4+z4=(x2+y2+z2)2-2(x2y2+y2z2+z2x2) Mµ x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)=9-2a (đặt xy+yz+zx=a) x2y2+y2z2+z2x2=(xy+yz+xz)2-2xyz(x+y+z)=a2-6xyz 12(1-x)(1-y)(1-z)=12(1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz)=12a-12xyz-24 Nªn M=(9-2a)2-2(a2-6xyz)+ 12a-12xyz-24=81-36a+4a2-2a2+12xyz+12a-12xyz-24 M=2a2-24a+57=2(a-6)2-15 (*) Ta cã x2+y2+z2 xy+yz+zx ⇔ (x+y+z)2 3(xy+yz+zx) nªn a Ta còng cã (2-x)(2-y)(2-z) ⇔ 8-4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)-xyz -3 ⇔ xy+yz+zx 2+xyz hay a vËy a thay suy -4 (a-6) Hay 16 (a-6)2 vµo (*) M 17 Vậy Min(M)= a=3 đó x=y=z=1; Max(M) =17 a=2 đó (x;y;z)=(0;1;2) và các hoán vị (10)