HD de thi Toan KHTN 20102011

2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B).. Câu III[r]

(1)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010

MƠN THI: TỐN (Vịng 1)

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I

1) Giải hệ phương trình ¿

3x2+8y2+12 xy=23 x2

+y2=2

¿{

¿ 2) Giải phương trình

√2x+1+3

√

x

−

x

√

x

Câu II

1) Tìm tất số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức

(1+x2)(1

+y2)+4 xy+2(x+y) (1+xy)=25

2) Với số thực a, ta gọi phần nguyên số a số nguyên lớn không vượt a ký hiệu [a] Chứng minh với n ngun dương ta ln có

[

7 3+

n2+n+1 n(n+1)

]

n

Câu III

Cho đường trịn (O) với đường kính AB = 2R Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) A ta lấy điểm C cho góc ACB=300 Gọi H giao

điểm thứ hai đường thăng BC với đường trịn (O)

1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R

2) Với điểm M đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O điểm N (khác B) Chứng minh bốn điểm C, M, N, H nằm đường trịn tâm đường trịn ln chạy đường thẳng cố định M thay đổi đoạn thẳng AC

Câu IV

Với a,b số thực thoả mãn đẳng thức (1+a)(1+b)=9

4 , tìm giá trị

nhỏ biểu thức P=

√

a

√

b

_ Cán coi thi khơng giải thich thêm.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

(2)

Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Câu I

3) Giải phương trình √x+3+√3x+1=4

5x2+2y2+2 xy=26 3x+(2x+y) (x − y)=11

¿{

¿

Câu II

3) Tìm tất số nguyên dương n để n2+391 số phương

4) Giả sử x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện x+y+z=1

Chứng minh

√xy+z+

√

x

y

≥

Câu III

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn M điểm nằm tam giác Kí hiệu H hình chiếu M cạnh BC P, Q, E, F hình chiếu H đường thẳng MB, MC, AB, AC Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng

1) Chứng minh M trực tâm tam giác ABC 2) Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp

Câu IV

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác xếp theo thứ tự

a1, a2, ., a2010 , ta đánh dấu tất số d¬ng tất số mà tổng với số sè liên tiếp liền sau số dương (Ví dụ với dãy số -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 số đánh dấu

a2=−4, a3=4, a4=−1, a5=2 )

Chứng minh dãy số cho có số dương tổng tất số đánh dấu số dương

_ Cán coi thi không giải thich thêm.

Ghi chó : C¸n bé coi thi không giải thích thêm

Họ tên thí sinh sè b¸o danh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUN NĂM 2010

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I

(3)

¿

3x2+8y2+12 xy=23 x2

+y2=2

¿{

¿ 6) Giải phương trình

√2x+1+3

√

x

−

x

√

x

H

íng dÉn

1) Cộng hai phơng trình ta đợc

3x2+8y2+12 xy=23 x2

+y2=2 ⇔

¿4x2+9y2+12 xy=25

¿ x2+y2=2

⇔ 2x+3y¿2=25

¿ x2+y2=2

¿ ¿ ¿ Ta cã hai hÖ

¿

2x+3y=5 x2+y2=2

¿{

¿

Vµ

¿

2x+3y=−5 x2+y2=2

¿{

¿ Giai ta đợc Hệ PT có nghiệm

(x ; y)∈

{

;

(

;

17

13

)

;

−

;−

;

(

−

;

−17 13

)

}

§KX§ x ≥−1

(4)

a=3

¿ b=1

¿ √2x+1=3

¿

√

x

−

x

¿

2x+1=3

¿

4x2−2x+1=1

¿

2x+1=3

¿

2x(2x −1)=0

¿ x=1

¿ x=0

¿ x=1

2

¿ ¿ ¿

⇔¿

¿

⇔¿

¿

⇔¿

¿

⇔¿

¿ ¿ ¿ √2x+1+3

√

x

2

2x+1=3+

x

()a+3b=3+abaab3+3b(a3)(1 b)=0

Phơng trình có nghiÖm x1=1; x2=0; x3=1 Câu II

5) Tìm tất số ngun khơng âm (x, y) thoả mãn đẳng thức

(1+x2)(1

+y2)+4 xy+2(x+y) (1+xy)=25

6) Với số thực a, ta gọi phần nguyên số a số nguyên lớn không vượt a ký hiệu [a] Chứng minh với n ngun dương ta ln có

[

7 3+

n2+n+1 n(n+1)

]

n

H

ớng dẫn

1)Phá ngoặc

(1+x2)(1+y2)+4 xy+2(x+y) (1+xy)=251+y2+x2+x2y2+4 xy+2(x+y) (1+xy)=25 y+1¿2=25

x+1¿2¿

xy+1+x+y¿2=25⇔¿

x+y¿2=25⇔¿ ¿

xy+12+2(x+y) (1+xy)+

(5)

x,y không ©m nªn (x+1)(y+1)=5 ta cã

x+1

y+1

x

y

(x;y) {(0;4);(4;0)} 2) xÐt kk2+k+1

(k+1)= k2 k(k+1)+

k+1 k(k+1)=

k (k+1)+

1 k=1−

1 k+1+

1

k(k∈N) Thay k lần lợt từ đến n ta có

[

7 3+

n2+n+1

n(n+1)

]

[

−

2+1+1− 3+

1

2+ ++ 1− n+

1 n−1+1−

1 n+1+

1 n

]

[

n

−

n+1

]

[

n

n+1

]

n

;

n

Câu III

Cho đường trịn (O) với đường kính AB = 2R Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) A ta lấy điểm C cho góc ACB=300 Gọi H giao

điểm thứ hai đường thăng BC với đường tròn (O)

3) Tính độ dài đưêng thẳng AC, BC khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R

4) Với điểm M đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O điểm N (khác B) Chứng minh bốn điểm C, M, N, H nằm đường tròn tâm đường tròn ln chạy đường thẳng cố định M thay đổi đoạn thẳng AC

H

íng dÉn

j

N C

H

O

A B

M

1)XÐt tam giác vuông ABC ( vuông A)có AB=2R;gúc ACB=300 Nên

BC=4R;

áp dụng Pi-Ta-Go AC=

(6)

áp dụng hệ thức lợng AH BC=AB AC⇒AH=AB AC

BC =

2R 2√3R

4R =R√3 vËy AH= R√3

2) Ta cã Do ∠ACB =∠HAB=300 suy ∠HNB=∠HAB=300 nªn

∠C+∠MNH=1800 nên tứ giác CMNH nội tiếp tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác

này thuộc trung trực HC cố định

Câu IV

Với a,b số thực thoả mãn đẳng thức (1+a)(1+b)=9

4 , tìm giá trị

nhỏ biểu thức P=

√

a

√

b

H

ớng dẫn

áp dụng BBĐT Bu nhi acãpky cho d·y a2;1 vµ 1; ta cã a

2

+4¿2⇔

√

a

≥a

2

+4

√17 (1);Dau :=⇔a= 17(a4+1)≥¿

b2;1 vµ 1; ta cã b

+4¿2⇔

√

b

≥b

2

+4

√17 (2);Dau :=⇔b= 17(b4+1)≥¿

Tõ (1)&(2) ta cã P≥a

2

+b2+8

17 () Mặt khác Từ GT ta cã a+b+ab=

Lại áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si cho ta có ¿

a2+1 4≥ a b2+1

4≥ b a2+b2

2 ≥ab

⇔3

2(a

2

+b2)+1

2≥(a+b+ab)= 4⇔a

2

+b2≥1

2;Dau:=⇔a=b=

¿{ {

¿ Thay Vµo (*) ta cã P≥

1 2+8

√17=

√17

V©y Min(P)=√17

2 ⇔a=b=

_

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I

7) Giải phương tr×nh √x+3+√3x+1=4

5x2+2y2+2 xy=26 3x+(2x+y) (x − y)=11

¿{

¿

H

(7)

1) §KX§ x ≥−1

3 ; x=1 Thảo mÃn xét x< VT<4 (loại); x>1 thìVT>4

(loại)

Cách khác

x+3+3x+1=4x+3=43x+1;(3x+14x ≤5) ⇒x+3=16−8√3x+1+3x+1;⇔8√3x+1=2x+14⇔4√3x+1=x+7

⇔48x+16=x2+14x+49⇔x2−34x+33=0⇔(x −1)(x −33)=0⇔ x=1(t/m)

¿ x=33;(loai)

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

5x2+2y2+2 xy=26 3x+(2x+y) (x − y)=11

⇔

¿5x2+2y2+2 xy=26

3x+2x2−xy− y2=11 ⇔

¿5x2+2y2+2 xy=26

6x+4x2−2 xy−2y2=22

¿

⇔

¿5x2+2y2+2 xy=26

9x2+6x+1=49 ⇔

¿5x2+2y2+2 xy=26

3x+1¿2=49

¿

⇔

¿ ¿ ¿

5x2+2y2+2 xy=26

¿

3x+1=7

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

5x2+2y2+2 xy=26

¿

3x+1=−7

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

⇔

¿ Víi x=−8

3 thay vµo PT(1) v« nghiƯm

Với x=2 thay vào PT(1) ta đợc y=1 y=-3

(8)

Câu II

1)Tìm tất số nguyên dương n để n2

+391 số phương

2)Giả sử x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện x+y+z=1

Chứng minh

√xy+z+

√

x

y

≥

H

íng dÉn

1)ta có n2

+391 số phơng nên n2+391=k2 (k∈N) n2

+391=k2⇔(n − k)(n+k)=−391 mµ 391=-1.391=1.(-391)=-17.23=17.(-23)

Ta cã n-k<n+k nªn

n-k -391 -1 -23 -17

n+k 391 17 23

n -195( lo¹i) 195 -3(loai)

VËy n =3 hc n=195 2) √xy+z+

√

x

2

+2y2

1+√xy ≥1.⇔√xy+z+

√

x

2+2y2≥1+

xy

áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho dÃy x ; y vµ 1; ta cã x+y¿2⇒

√

x

y

≥ x

y

2(x2+y2)

Nên xy+z+

x

y

z

x

y

√xy+z+x+y ≥1+√xy⇔√xy+z+1− z ≥1+√xy⇔√xy+z ≥ z+√xy ⇔xy+z ≥ z2

+2z√xy+xy⇔z − z2≥2z

√xy⇔1− z ≥2√xy⇔x+y ≥2√xy(dung)

DÊu “=” x¶y x=y=1− z =

1

C¸ch kh¸c ta cã

x+y ≥2√xy⇔x+y+z ≥ z+2√xy⇔1≥ z+2√xy⇔z ≥ z2+2z√xy

¿

√xy+z¿2⇔√xy+z ≥√xy+z(1) ⇔xy+z xy+z2+2zxy=

áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho dÃy x ; y vµ 1; ta cã x+y¿2⇒

√

x

y

≥ x

y

2(x2+y2)≥¿ (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã √xy+z+

√

x

y

≥

⇔

z

√

x

y

≥

DÊu “=” X¶y x=y=1− z =

1 Câu III

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn M điểm nằm tam giác Kí hiệu H hình chiếu M cạnh BC P, Q, E, F hình chiếu H đường thẳng MB, MC, AB, AC Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng

3) Chứng minh M trực tâm tam giác ABC 4) Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp

H

(9)

P

Q E

F M

H B

C A

1)V× t giác BEPH nội tiếp nên EHB =EPB (1) E;P;Q thẳng hàng nên

MPQ =EPB (2) Vỡ t giác MQHP nội tiếp nên ∠MPQ =∠MHQ (3) Ta có ΔMHC vng H có HQ⊥MC suy ∠MCH=∠MHQ (4) từ (1); (2) ; (3) ; (4) ta có ∠EHB =∠MCH vị trí đồng vị nên HE//CM mà

HEABCMAB()

Tơng tự BMAC(**)

từ (*) (**) ta có M trực Tâm tam giác ABC

2)Vì M trực tâm tam giác ABC nên A,M,H thẳng hàng ta có

AEH=900;AFH=900 nờn t giỏc AEHF nội tiếp đờng kính AH nên ∠AFE=∠AHE ( nội tiếp chắn cung AE) mà ∠EBH =∠AHE ( phụ

∠BHE )

VËy ∠AFE =∠EBH mµ ∠AFE+∠EFC=1800⇔∠EBH +∠EFC=1800

Nên tứ giác BEFC nội tiếp

Cõu IV

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác xếp theo thứ tự

a1, a2, ., a2010 , ta đánh dấu tất số âm tất số mà tổng với sè số liên tiếp liền sau số dương (Ví dụ với dãy số -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 số đánh dấu

a2=−4, a3=4, a4=−1, a5=2 )

Chứng minh dãy số cho có số dương tổng tất số đánh dấu số dương

H

íng dÉn

Xét số đợc đánh dấu a1;a2;a3 an (n N ;n<2010

-Nếu dÃy có tất số dơng ta có đpcm

-Nu cú s âm đợc đánh dấu thi liền sau số âm phải số dơng cho tổng số âm với số liền sau ln dơng ( Giá trị tuyệt đối số số tổng d-ơng lớn GTTĐ số âm) suy số liền sau số âm đợc đánh dấu Tổng số đợc đánh dấu tổng dơng nên Tổng số đợc đánh dấu dơng ( đpcm)

(10)