[r]
(1)GVHD Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao Phỳ Th
Thivào lớp 10 hệ chuyên Đại học s phạm Hà nội
Vòng 1
Dành cho thí sinh (ngày 11 tháng năm 2007)Câu
Cho a>2 chứng minh đẳng thức
a2−3a −(a −1)
√
a2−4+2a2+3a −(a+1)
√
a2−4+2√
a+2
a −2= 1− a 1+a Gi¶i
Biến đổi vế trái ital VT=a
2
−3a −(a −1)
√
a2−4+2a2+3a −(a+1)
√
a2−4+2√
a+2
a −2
(a2+3a+2)−(a+1)
√
a2−4+¿.√
a+2 a −2(a2−3a+2)−(a −1)
√
a2−4+¿¿ ital VT =(a −1)(a −2)−(a −1)√
(a−2)(a+2) (a+1)(a+2)−(a+1)√
(a −2)(a+2)√
a+2
a −2 √a+2−√a −2
¿ √a+2
√a−2
¿
(a+1)(√a+2)¿
ital VT=¿ ital VYT=(a−1)(√a−2)(√a−2−√a+2)
¿ C©u 2
Cho hµm sè y=x2 , y=-x+2
1.Xác định toạ độ giao điểm hai đồ thị cho toạ độ trung điểm I AB biết A có toạ độ dơng
1.Xác định toạ độ M thuộc y=x2 cho tam giác MAB cân M
Giải 1.toạ độ A, B nghiệm hệ
y=x2
y=− x+2 ⇔
¿y=− x+2
x2+x −2=0 ⇔
¿y=− x+2
x=1
¿ x=−2
¿ ¿⇔
¿ x=1; y=1
¿ ¿ x=−2; y=4
¿ ¿{
¿ ¿ ¿ ¿
(2)xI xI=
1+(−2)
2 =− 2; yI=
1+4
2 =
2;Vay :I
(
−12 ; 2
)
Gọi điểm M thuộc y=x2 M có toạ độ M(xM;xM2) v× tam giác MAB cân nên
MA=MB ta có MA2=(x
M-1)2+(xM2-1)2;MB2=(xM+2)2+(xM2-4)2
MA=MB nªn (xM-1)2+(xM2-1)2=(xM+2)2+(xM2-4)2 ⇔ xM2- xM-3=0
Δ=13; xM1=1+√13
2 ⇒yM1=xM1
=7+√13
2 ; ¿
7−√13 xM2=
1−√13
2 ⇒yM2=xM2 2=❑❑
2
Có điểm M thoả mÃn điều kiện toán M1
(
1+132 ;
7+13
)
; M2(
1−√13 ;
7−√13
)
C¸ch kh¸c:Lập phơng trình đờng thẳng qua IM vng góc với đờng thẳng y=-x+2 Gọi phơng trình đờng thẳng d qua IM có dạng y=ax+b(a 0) Vì d qua I
(
−12 ;
2
)
nên x= 12 y=
2 thay vµo y=ax+b ta cã −1
2a+b=
2(1) d y=-x+2 nên a=1 thay vào (1) ta có b=3 phơng trình d qua IM y=x+3 ,vì M y=x2 nên hồnh độ M thoả mãn phơng trình x2-x-3=0
Gi¶i x1=1+√13
2 ; x2=
1−√13
2 toạ độ M1
(
1+√132 ;
7+√13
)
; M2(
1−√13 ;
7−√13
)
C©u 2Cho phơng trình x2+6x+6a-a2=0 (1) a tham số
1.Với giá trị a phơng tr×nh cã nghiƯm?
2 Giả sử x1,x2 hai nghiệm phơng trình Tìm a để x2=x13-8x1
Gi¶i 1.Để phơng trình (1) có nghiệm
0 Ta cã a −3¿
2
≥0 Δ❑
=9−(6a a2)=a26a+9= 2.Vì
0 theo Vi-ét Gt ta cã x1+x2=−6
¿ x1.x2=6a − a
2
x2=x13−8x1 ⇔
¿x1+x2=−6
x1.x2=6a − a2
x13−7x1+6=0
¿
⇔
¿x1=−6− x2(1)
x1.x2=6a −a2(2) (x1−1)(x1−2)(x1+3)=0(3)
¿{ {
¿ ¿ ¿
(3)(3)
⇔
x1=1
¿ x1=2
¿ x1=−3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Víi x1=1 thay vµo (1) x2=-7 thay x1,x2 vµo (2) ta cã a2-6a-7=0 ⇔ (a+1)(a-7)=0
⇔ a=-1 a=7 (*)
Với x1=2 thay vào (1) x2=-8 thay x1,x2 vµo (2) ta cã a2-6a-16=0 ⇔ (a+2)(a-8)=0
⇔ a=-2 hc a=8 (**)
Víi x1=-3 thay vµo (1) x2=-3 thay x1,x2 vµo (2) ta cã a2-6a+9=0 ⇔ (a-1)2=0
⇔ a=3 (***)
Tõ (*),(**),(***) ta có a{2;1;3;7;8} x2=x13-8x1
Câu (trang sau) Câu
Giải phơng trình
x+22
¿ ¿ x2
¿
§KX§ x -2 Gi¶i x2=6
¿ 3x2+6x+2=0
¿ x=√6
¿ x=−√6
¿ x=−3+√3
3 ¿ x=−3−√3
3 ¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿
¿
(1)⇔x2=(x2+4x+4)(3x2−6x −3) ⇔3x4+6x3−16x2−36x −12 ⇔3x4−18x2
+6x3−36x+2x2−12=0 ⇔(x2−6)(3x2+6x+2)=0
Vậy phơng trình (1) có nghiÖm x1=√6;x2=−√6; x3=−3+√3
3 ; x4=
(4)Câu5
1.Xét điểm A,X,H,O,Y ta có ∠ AXO= ∠ AHO= ∠ AYO=900 theo quü tÝch
đờng tròn điểm A,X,H,O,Y nằm (O1) ng kớnh AO.Mt khỏc
AXY cân A
nªn ∠ AXY= ∠ AYX= ∠ ABC= ∠ ACB ( cïng b»ng 1800−∠BAC
2 )
∠ AHX= ∠ AYX ( gãc néi tiÕp (O1) ch¾n cung AX)
mà AYX= ABC nên AHX= ∠ ABC
Ta cã ∠ ABC+ ∠ XHZ=1800 (kÒ bï ) nªn ∠ XBZ+ ∠ XHZ=1800
Nªn tứ giác BXHZ nội tiếp (O2) (đpcm)
T
ơng tự YCZ+ YHZ=1800 nên tứ giác CYHZ nội tiếp (O
4) (đpcm)
2.GọiAZ cắt (O) K,BH cắt XZ I ta cã ∠ BHZ= ∠ BXZ (1)( néi tiÕp ch¾n cung BZ (O2) mặt khác BXZ= XKZ (2)( cïng b»ng nưa s® cung XZ
của (O) Từ (1) (2) ∠ BHZ= ∠ XKZ vị trí đồng vị Nên BH//XK hay IH//XK xét Δ KXZ có H trung điểm KZ ( đờng kính vng góc với dây) ,HI//XK nên I trung điểm XZ
hay BH ®i qua trung diĨm XZ (đpcm).
ơng tựT CH ®i qua trung ®iĨm YZ (®pcm)
Thivµo lớp 10 hệ chuyên Đại học s phạm Hà nội
Vòng 2
Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán-Tin(ngày 12 tháng năm 2007)
C©u 1 Cho biĨu thøc P= √x+1
x√x+x+√x:
x2−√x;Q=x
4
−7x2+15 ( Víi x>0, x 1) 1.Rót gän P
2.Với giá trị x Q-4P đạt giá trị nhỏ Giải
B
X Y
Z
O H
I
K A
(5)√
x(¿x+√x+1).√x(√
x3−1)¿
P= √x+1
x√x+x+√x: x2−
√x=
√x+1
¿ P=
√x+1
√
x(¿x+√x+1).√x(√x −1)(x+√x+1)=x −1 Q-4P=x4-7x2+15-4(x-1)=(x4-8x2+16)+(x2-4x+4)-1=(x2-4)+(x-2)2-1 −1Min(Q-4P)=-1 x=2 C©u
Cho số x, y thoả mÃn x4+x2y2+y4=4 (1) ; x8+x4y4+y8=8(2)
Tính giá trị A=x12 +x2 y2 +y12
Gi¶i
(2) ⇔ (x4+y4)2-x4y4=8 (3) Tõ (1) ⇔ x4+y4=4-x2y2 (4) Thay vµo (3)
Ta cã (4-x2y2 )2-x4y4=8 ⇔ 16-8x2y2+x4y4-x4y4=8 ⇔ x2y2=1
Thay vµo (4) ta cã x4+y4=3
A=x12 +x2 y2 +y12=(x4+y4)3-3x4y4(x4+y4)+x2y2
Thay x2y2=1 ,x4+y4=3 vµo A
A=34-3.3+1=19
Câu
1.Tĩm tất số nguyên dơng cho 2(x+y)+xy=x2+y2
2.Cho tam giỏc ABC cóđộ dài ba cạnh a, b,c cho a2 +b2>5c2.
Chøng minh r»ng c<a, c<b
Gi¶i
1 2(x+y)+xy=x2+y2 x2-(y+2)x+y2-2y=0 (1) coi phơng trình (1) phơng trình
bậc ẩn x tham số y phơng trình (1) có nghiệm nguyên x điều kiện cần số phơng Ta có =(y+2)2-4(y2-2y)=y2+4y+4-4y2+8y=16-3(y-2)2 16
0≤ Δ≤16 , Δ chÝnh ph¬ng
Δ =0 3(y-2)2=16 (Loại y Z )
=1 3(y-2)2=15 (y-2)2=5 (Loại y Z )
Δ =4 ⇒ 3(y-2)2=12 ⇒ (y-2)2=4 ⇒ y=4 y=0
Với y=4 thay vào (1) ta cã :x2-6x+8=0 ⇔ (x-2)(x-4)=0 ⇔ x=2 hc x=4
Víi y=0 thay vµo (1 )ta cã: x2- 2x=0 ⇔ x(x-2)=0 ⇔ x=0 hc x=2
Δ =9 ⇒ 3(y-2)2=7 (Loại y Z )
=16 3(y-2)2=0 ⇒ y=2 thay vµo (1) ta cã x2-4x=0 x(x-4)=0 x=0
hoặc x=4
Vạy phơng trình có nghiệm (x;y)=(2;4);(4;4);(0;0);(2;0);(0;2);(4;2) 2.Từ GT ta có a2+b2>5c2 => (a+b)2>5c2+2ab
Giả sử c a,c b 2c a+b =>4c2 (a+b)2>5c2+2ab (V« lý)
NÕu c a ,c<b c<a,c b tơng tự Vậy c<a,c<b (đpcm) Cách khác: Giả sử c a , ta có a2 c2 (1) ,
MỈt khác theo BĐT tam giác b<a+c 2c suy b2 4c2 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã a2+b2 5c2trái GT c<a
* Giả sử c b ta có b2 c2 (3)
Mặt khác theo BĐT tam giác a<a+c 2c suy a2 4c2 (4)
Từ (3) (4) ta có a2+b2 5c2trái GT c<b
Vậy c<a,c<b (đpcm) Câu 4:
A M B
D F
O
(6)1.XÐt Δ AMG; Δ AME cã ∠ AMG chung, ∠ MAG= ∠ MEA (cïng b»ng ∠ GFD)
Nên Δ AMG đồng dạng Δ EMA (g.g) suy AM
EM = MG
MA ⇔MA
2
=ME MG (1) (đpcm) 2.Xét MBG MEC có BMG chung
∠ MBG= ∠ MEC ( bù với ∠ GBC) Nên Δ MBG đồng dạng Δ MEC (g.g) suy MG
MC = MB
ME ⇔ME MG=MB MC (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã
MA2=MB.MC=(AB-AM)(AC-AM)=AB.AC-AB.AM-AM.AC+AM2
⇔ AB.AC=AB.AM+AC.AM
⇔1=AB AM
AB AC +
AC AM AB AC ⇔1=
AM AC +
AM AB ⇔
1 AM=
1 AB+
1
AC (đpcm) Câu Chia hình chữ nhật ABCD (AB=CD=4cm,AD=BC=3cm)
Thnh cỏc đa giác AEFG,GDKHF,HKCMN,MNPB,PNHFE đờng chéo đa giác ln EN=
√
EB2+BN2=√4+1=√5 Vì có điểm mà có đa giác theo ngun tắc Đi-Rích-lê tồn điểm thuộc đa giác khoảng cách điểm nhỏ đờng chéo đa giác
VËy tồn sáu điểm mà khoảng cách chúng nhỏ bằng 5 cm. (®pcm)
A B
C D
E
F
G H
N
M P