Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định. Dạng 1: Tìm điều kiện xác định[r]
(1)CHƯƠNG 2: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Chủ đề 1: Phân thức đại số, tính chất phân thức Phân thức đại số
Một phân thức đại số (phân thức) có dạng A
B, A B, đa thức và B khác đa thức 0 A tử thức, B mẫu thức.
Mỗi đa thức số coi phân thức với mẫu thức Hai phân thức
A B
C
D gọi A D B C. Tính chất phân thức
A A M
B B M
: : A A N
BB N (với M N B, , đa thức khác đa thức 0)
A A A
B B B
A A
B B
(với B đa thức khác đa thức 0)
Dạng 1: Hai phân thức nhau
Để chứng minh
A C
B D có hai cách: Chứng minh A D B C
Áp dụng tính chất phân thức:
A A M
B B M
: : A A N
B B N (M N, 0)
Ví dụ: Chứng minh phân thức sau nhau:
1
2
1
3
x x x
x x x
2
2
3
3
x x y x y
x x x y
Giải
1
2
1
3
x x x
x x x
Ta có
2
1
x x x x x
,
x3x24x3 x3 x1 x3 x1 x32
Suy
2
2
2
1
1
3
x x x
x x x x x x
x x x
(2)Vậy
2
1
3
x x x
x x x
2
2
3
3
x x y x y
x x x y
.
Ta có
2
3
x y x x y x x y
x y
x x x x y x x y
Vậy
2
3
3
x x y x y
x x x y
.
BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh đa thức sau nhau:
1
2
3 30
4
2
x x x x
x
2
3
2
2
x x
x x x x
3
2
2
2
1
x x
x
x x
4
2 2 3 2
1
x x x x
x x
5
3
64
3
3 16
x x
x
x x x
6
2
2 7 10
2
x x x x
x x
Bài 2: Hãy tìm đa thức A trường hợp sau:
1
A x
x x 2
2
15 10
3
A x x
x x
3
2
2
4 4
6
x x x
x x A
4
2
3 2
2
x x x
A x
5
3
64
16
x A
x x
6
2
5 10 29 10
10 27
x x x
A x x
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN phân thức Với a0 (a số)
2
P x a f x m m
: Giá trị nhỏ P x m f x 0
2
P x a f x m m
(3) Với a0 P x 0
a P x
nhỏ (hoặc lớn nhất) P x lớn (hoặc nhỏ nhất)
Ví dụ: Tìm GTLN (GTNN) phân thức sau:
1
2 2 3
4
x x
A
2
10 2
B
x x
Giải
1
2
2
2
2 2 1 2 1 2 1
4 4
x x
A x x x x
Vì
2
1
x x
nên
2
1 1
1
4 x 2 2 x Dấu xảy khi: x 1 x1
Vậy A đạt giá trị nhỏ
2 x1.
2
2
2
10 10 10
2 2 1 1
B
x x x x x
Vì
2
1
x x
nên
2
1 1
x x
Suy
2
10 10
1
x x
Dấu xảy khi: x 0 x1
Vậy B đạt giá trị lớn 10 x1 BÀI TẬP
1
2
4 4
5
x x
2 15
2
x x
3
18
4x x 4
27 3x 15x 20
5
2
6
2
x x
x x
6
2
1
2
x x
x x
(4)Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức Rút gọn phân thức
Phân tích tử mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung
Chia tử mẫu cho nhân tử chung, phép tính tương tự rút gọn phân số Quy đồng mẫu nhiều phân thức
Tìm mẫu thức chung
Phân tích mẫu thức phân thức cho thành nhân tử
Mẫu thức chung tích nhân tử cho (nhân tử không lặp lại) Đối với số,nhân tử chung BCNN chúng, luỹ thừa ta chọn luỹ thừa có số mũ cao
Quy đồng mẫu thức Tìm mẫu thức chung
Tìm nhân tử phụ phân thức
Nhân tử mẫu phân thức với nhân tử phụ tương ứng
Dạng 1: Rút gọn phân thức
Phân tích tử mẫu thành nhân tử Áp dụng tính chất phân thức
A A C
B BC
Ví dụ: Rút gọn phân thức sau:
1
2
3
4
x x
x
2
2 2
4 2
2
3
x y x y
x y x y
Giải
1
2
2
3
3
4 2
x x x x
x x x
x x x x x
2
2
2 2
2
3 2
2 1
2 2 1 2
3 3 3 3
x y y xy y y y
x y x y
xy y xy xy
xy xy xy xy y y y y
BÀI TẬP
1
2
3
6
x y xy
x y
2
2
2
15
9
xy y
x y
3
2
2
3
64 64
x xy y
x y
4
2
2
3
3
x xy y
x xy y
(5)5
2
3
x xy x y
x y x y
6
2
3
10 15
xy x y xy x y
7
2
2
8
x y x y
xy x y
8
2
2
3
x x
x x
9
3
3
2
x x x
x x
10
2
4
6
x x
x x
11
2
3
10 25
5 25 125
x x
x x x
12
2
3 25
7 10
x x x
x x
Dạng 2: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức Rút gọn phân thức
Phân tích mẫu thức phân thức thành nhân tử
Viết nhân tử chung nhân nhân tử phụ mẫu thức
Ví dụ: Quy đồng mẫu thức phân thức sau:
1 2
5 ;
3x 15x x 25 2
1
; ;
1 1
x x
x x x
Giải
1 2
5
;
3x 15x x 25
2
5
3x 15x3x x5
,
2
3
25 5
x x x
Mẫu thức chung: 3x x 5 x 5
5
3 5
x
x x x
,
3
5 5
x
x x x x x
2
1
; ;
1 1
x x
x x x
2 1 1 1
x x
x x x
,
3
3
1 1
x x
(6)Mẫu số chung:
2
1 1
x x x x
2
1
1 1
x x x
x x x x
,
2
1
1 1
x x x
x x x x
,
3
1 1
x x
x x x x
BÀI TẬP
1
x
x
4
x x
2
1 ; ;
2 4
x
x x x
3
2
1
4
x
x x
25
x x 4
2
2
1 1
; ;
3 2
x x x x
5 2
5
; ;
4
x x x
x x x x x
6.
2
3 2
5
; ;
6 12 8 64
x x
x x x x x x
7
2 3
2
7 12; 25 ; 4 16
9 125 16
x x x x x x x x
x x x x
8.
2
2 ; ;
4 6
x x x
x x x x x x
Chủ đề 3: Các phép toán với phân thức đại số Phép cộng, trừ phân thức đại số
Cộng, trừ hai phân thức mẫu thức:
A C A C
B B B
Cộng, trừ hai phân thức khác mẫu thức:
Quy đồng hai mẫu thứcThực cộng, trừ hai phân thức mẫu thức Giao hoán:
A C C A
B D D B
Kết hợp:
A C E A C E
B D F B D F
Phép trừ phân thức:
A C A C
B D B D
Phép nhân phân thức dại số Giao hoán:
A C C A
B D D B
Kết hợp:
A C E A C E
B D F B D F
(7) Phân phối với phép cộng, trừ:
A C E A C E
B D F B D F
Phép chia phân thức đại số
:
A C A D
B DB C ( với B C D, , 0)
1
:
A A A
C
B B C BC ( D
C đươc gọi phân thức nghịch đảo C D)
:C D A D
A A
D C C
Phép chia phân thức có tính chất phép nhân phân thức Dạng 1: Thực phép tính:
Thực phép tính theo qui tắc Rút gọn phân thức
Ví dụ: Thực phép tính sau
1
2
3
3
x
x x x x 2
1
3
x
x x x
3
2
3
18
15
x y z
z x y
4
2
2
25
:15
x y
xy x
Giải
1
2
2 2
2
3 3
3 3
3 3 3 3
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
2
2
3 3
1 6
3 3 3 3
2
3 12 6
3 3 3 3
x x x
x x
x x x x x x x x x
x
x x x x
x x x x x x x
3
2 2 2
3
18 . 18 2
15 15
x y z x y z z z
z x y z x y x x
4
2 5
2
2
25 :15 25 . 25
3 15 15
x y x y x y y
xy
x x xy x xy
BÀI TẬP Phép cộng phép trừ phân thức:
1
3
4 30
x x
x x
2
1 1
2
x x x
x x x
(8)3 2 25 15
5 25
x
x x x
4
1 1
2
x x x
x x x
5
1 1
1 1
x x x x 6 2
9
9
x y y
x y x xy
7
1
3
x
x x x
8 2
3
2 1
x x
x x x x x
9
2
1 3x
x y x y y x
10
2 2
2y x y xy xy 2x
x y y x x y
11 2
6 16
3 10 21
x x x x
x x x x
12
2
6
3 10 21
x x x x
x x x x
13 2
3
2 1
x x
x x x x x
14.
2 2
2 2
2 10 24 14 48
x x x x x x x x Phép nhân phép chia phân thức:
1 2
x y xy
x y xz yz
2
3
2
9 4
2 3
x y x y
x xy y x y
3
2 2
2
2
x y x y
x xy y x xy y
4
2 2
2
2
x y x y
x xy y x xy y
5
2
1 . x y
x
y x y x y
6
2
2
25. 5
1 5
x x x
x x x x x
7 2
6
2
x x x
x x x
8
2
2
3 10 12
12
x x x x
x x x x
9
2 2
3
2
3 . .
2
x xy y x xy y
x
x y x y x y x y
10
2
3
3 2 2
x xy
x y
x y x y xy x y
11 2 2 25 :
x x x
x x x
12
2
10 10 5 :
1 x x x 13 2
2 2: 3
5 3
x xy xy x
x y x y
14
2
2: 2.
2
x x x x
x x x x
15
2
2 2
y x y xy
x
xy y x xy x y
16.
2 2
2
2 12 4 8 3
:
6 2 16 40 28
x x x x x
x x x
(9)17
2
3
4 8: 12
4
x x x x x
x x x x
18
2
2
12 36 18
:
12 36 18
x xy y x y
x xy y x y
Chủ đề 4: Biến đổi biểu thức hữu tỉ Giá trị phân thức
Mỗi biểu thức phân thức biểu thị dãy phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức Những biểu thức gọi biểu thức hữu tỉ. Các quy tắc phép toán cộng, trừ, nhân, chia giúp biến đổi biểu thức hữu tỉ
thành phân thức.
Điều kiện biến để giá trị tương ứng mẫu thức khác điều kiện để giá trị phân thức xác định.
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định
Phân tích mẫu thức thành nhân tử (nếu có)
Tìm tất điều kiện biến cho mẫu thức khác
Ví dụ: Tìm điều kiện xác định phân thức sau:
1
5
x
x 2
2
x
x x
Giải
1
x x
Điều kiện xác định: 3x 0 3x 6 x2 Vậy x2 phân thức
5
x
x xác định.
2 2
x
x x
Điều kiện xác định:
2 8 0 8 0 0
8
x x
x x x x
x x
Vậy x0 x8 phân thức 2
x
x x
xác định.
Bài tập
1
3
x
x x
2
3
2
1
x x
x
(10)3
x
x x
4
2
6
5
x x
x x
5
2
1
16 25
x x
6
2
5
2
x
x x
7
3
2 2
x
x x x
8
2
2 3
9 12
x x
x x
9
x x 10
6 25 60 36
x
x x
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỉ
Thực phép toán phân thức cho Rút gọn phân thức
Ví dụ: Biến đổi biểu thức hữu tỉ sau thành phân thức
1
1
1
x A
x x
2
2
2
x
B x
x
Giải
1
2
2
1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 : :
1 1 1 1 1
x x x x x
x
A x
x x x x x x x x x
x x
. 2.
2 2 2
2 : : :
2 2 2 2 2
1
2
x x x x x x
B x x x x x x
x x x x
x
.
Bài tập
1
2
2
1
x y x y x y x y
x
x y
2
2 1 1 1
1
x
x x
3
2
2
1 :
y
x x
y x y y x
4
2
3 :
1
x x
x x
(11)5
y x
x y x y
y x
x y x y
6
1 :
1
x x
x x x x
7
2
2 .
2 4 2
x x x x
x x x x x
8.
2
2
: x y
y xy
x
x y x y x y x y
9
2
2
3
3 3
x x x x x
x x x x x
10
2 2
:
2 2
y x y y x
x
y x x y y x
11 2
6 :
36 6
x x x x
x x x x x x
12.
2
2
4 : 2
1 4 2
x x x x x x
x x x x
Dạng 3: Giá trị phân thức
Biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức
Tìm điều kiện xác định phân thức Mẫu thức khác Rút gọn phân thức tính giá trị phân thức
Ví dụ: Tính giá trị phân thức sau:
1
2
3 3 3 1
x xy y y
y y y
tại
3
;
4
x y
2
2
2 2
2 .
2
x x x
x x x x x
tại
100
x
Giải
1
2
3 3 3 1
x xy y y
y y y
2
1
x xy y y y
1
ĐKXĐ:
3
1 1
y y y
3
2
1
1
1
1
x y y y
y
y y x
y y x y
(12)Thay
3
x
1
y
, ta được:
2
1 1 3 5
2 2 4 4 5
1
1 1
4
2
Vậy
2
3 3 3 1
x xy y y
y y y
với
3
x
y
2
2
2 2
2 .
2
x x x
x x x x x
2
2 .
1
x x x
x x x x x
1
ĐKXĐ: x0 x 0 x 1
0
x
x1 x1
2
2 2
2
2 1
1
1
3
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x
2
2
2
2 .
2
2
2
x x
x x x
x x x x
Thay x100, ta được:
2
100 50
Vậy
2
2 2
2 .
2
x x x
x x x x x
x100
Bài tập
Bài 1: Cho biểu thức
1 :
1 5
x x x
A
x x x
a) Rút gọn biểu thức A
(13)d) Tìm x để A2,A10
Bài 2: Cho
3
2
2 4 12
2
x x x x x
B
x x x x
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm điều kiện x để giá trị B xác định c) Tính giá trị B x2
d) Tìm x để B5,B0
Bài 3: Cho biểu thức
2
2 10
3 :
3 1
x x x x
C
x x x x
a) Thu gọn C
b) Tìm giá trị C x2004