Caùch 1: Goïi x laø thôøi gian oâtoâ ñaõ ñi ñeán vò trí caùch ñeàu ngöôøi ñi xe ñaïp vaø ngöôøi ñi xe maùy.. (x tính baèng giôø vaø x > 0)..[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯƠNG TOÁN
CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN
I/
Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp
-Kiến thức cần nắm vững : - phân tích đa thức thành nhân tử ta phương pháp sau : + Đặt nhân tử chung
+ Dùng dẳng thức dáng nhớ
+ nhóm hạng tử cách thích hợp nhằm làm xuất dạng đẳng thức xuất nhân tử chung
+ Trong số trường hợp ta phải biết tách hạng tử thành nhiều hạng tử thêm bớt hạng tử để áp dụng phương pháp biết
1/ Một số toán áp dụng
Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :
4 2
a) x x y y b) x 3x
3 c) x 3x d) 2x x 4x 12
Giaûi
a)x4 +x2y2 +y4 = x4 + 2x2y2 +y4 – x2y2
= (x2 +y2 )2 - (xy)2
= (x2 +y2 +xy) (x2 +y2 –xy)
b) x3 + 3x -4 = x3- 3x2 + 3x -1 + 3x2 -3
= (x-1)3 + 3( x2 – )
=(x-1)3 + ( x -1 )( x + 1)
= ( x-1) [ ( x -1 ) 2 + 3( x + 1)]
= ( x-1)( x2 + x + 4)
c) x3 – 3x2 + = x3 – 3x2 + 3x – – 3x +3
= (x -1 )3 - 3( x -1)
= ( x -1) [( x -1)2 – 3]
= ( x -1) ( x2 -2x -2)
d) 2x3 + x2 - 4x -12 = (x2 - 4x + ) (2x3 -16)
= ( x-2 ) 2 + 2( x3 -8)
= ( x-2 ) 2 +2[ ( x-2 ) (x2 - 4x + )]
=( x-2 )[ ( x-2 ) + 2(x2 - 4x + )]
= ( x-2 )(2x2 +5x +6)
Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử
2
3 2
2 2 2 a)25x (x y) x y b)x x y x z xyz
1
c) (x y ) mx y m
2 2 2
5 3
2 2 2 e)16x (z y ) z y g)12x y 24x y 12x y
1
h) (x y ) 2x y
giaûi
2
a) 25x (x y) (x y) =(x y)(25x 1)
2
b) x (x y) xz(x y) =(x y)(x xz)
(2)
2
2 2 2
2 2
2 2
1
c) x y m x y m
1
= x y mxy x y mxy m
e) 16x z y =(4x-1)(4x+1)(z-y)(z+y)
3 2
3
g) 12x y(x 2xy y ) =12x y(x y)
9 8
8
g)x x x x (x 1) (x 1) (x 1)(x 1)
2 2
2 2 2
2
h) x y 2x y
1 x y 2x y 2x y
1 x y
2/ Caùc luyện tập
Bài 1: : Phân tích đa thức thành nhân tử
6
2
2 2
2 2
a)x 2x x 2x 2x b) x x x x 12 c) x x x x 15 d)x x x x
e) x 4x 3x x 4x 2x
f) x 6x 2x x x 6x x
Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử
4 4 a)x 4y b)x 324 c)15x x 2x d)x x
7 5
5
e)a a f)a ab b g)a h)b b
II/ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
-Phân tích đa thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung - Chia tử mẫu cho nhân tử chung
1 Một số toán áp dụng
Bài : Tính giá trị biểu thức : a) a b2 33 2 ví i a =12 , b = -36
a b
b) x3 3x2 6x ví i x = 98 x 4x
Giải
2 3
a b a 36
a)
a b b 12
3 2
3
x x 6x x(x x 6) (x 3)(x 2) x 98 101 b)
x 4x x(x 4) (x 2)(x 2) x 98 100
(3)Bài 2: Rút gọn phân thức
a) 22
y(2x x ) x(2y y )
b) 3 xy yx x xy
Giải.
a)
2 y(2x x ) x(2y y )
=
xy(2 x) (2 x) xy(2 x) (2 x)
b) 23 xy yx
x xy
=
2
xy(x y ) xy(x y)(x y) y(x y) x(x y) x(x y)
2 Các toán luyện tập.
Bài 1: Rút gọn phân thức sau a) (x a)2 22 x2
a 4x 4ax
b)
2
2
2x xy y 2x 3xy y
c) 121xy z3 22
22x z d)
3
3
5y(x y) 7y (x y)
e) 24 24 20(x y ) 36(x y )
g)
2 2
2
35(x y )(x y) 77(x y) (x y)
2 2 2 3 2 2
2 2
2 2
3 2
2 4
Bµi 2: Rót gọn phân thức:
x+a x a x a 6x 2x 3xy y
a) b) c)
a 4x 4ax ax ax+a 6x 3y
a b c b c a c a b x x y xy y a 3a
d) e) f) x 2xy y a a 2a a b
2 c2b c4 2 a2 c a 4 2 b2
5 2 2
4
2
3
3
Bµi 3: H·y chøng minh:
x 2x xy y x y
a) x x x x b)
x 2x 3xy y x y
3y 3xy 2x 3y a 4a a a c) d)
1 3x x 3x x a 7a 14a a
5
4 2
2
Bài 4: Tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc: x y z
a) A = Ví i x=1, y=2, z=4; x=5, y=4, z==10 xyz
ax a x
b) B = Ví i a= 3, x=
ax a x
x x 6x
c) C = Ví i x = 1995 x x
d) 2 2
Cho 4x y 5xy ví i 2x > y > 0, tính giá trị biểu thức xy
D =
4x y
(4)
2 2 2 2
2 2
2 2
Bài 5: Chứng minh biểu thức sau không phơ thc vµo x vµ y:
x+a x x y
a) b)
2x a x+y ay ax
x +a a a x 2ax-2x-3y+3ay
c) d)
4ax+6x+9y+6ay x a a a x
5
2
Bµi 6: Chứng minh vớ i b số nguyên khác phân thức: b 5b
số nguyên b 2b
n
Bài 7: Tìm số tự nhiên n để số tự nhiên n
2
2
3
2
3
2
2 Bài 8: Rút gọn phân thức:
x+a x b x c x y z
a) b)
z y x x+a x b x c
5x+20x 3y 12y xy x
c) d) 15xy 4x
3
2
2
4
y
x y
x-1 x x 16a 40ab
e) ví i x < f)
3x 4x 8a 24ab
x x x
g) Cho P = Rót gän P vµ chøng tá rõng x x 2x x
P lu«n không âm vớ i giá trị x
2 n n
2 Bµi 9:
a)Rót gän råi tÝnh giá trị biểu thức: 6y - y
M = y 5y y
a - b b)BiÕt b > a > vµ 3a b 4ab TÝnh
a + b c)C
3 3 2
ho a + b + c = Chøng minh r»ng: a + b + c - 3abc
a b c ab bc ac
2 2 4
3
mn +n n - m Bµi 10: Cho biĨu thøc A =
m n 2n m a) Rót gän A
b) Chứng minh A d ơng Vớ i giá trị m A đạt giá trị lớ n nhất? x - x
c) Cho A =
3
- 10x - x - 4x + 5x-20
(5)III/Giả i tốn cách lập phương trình. 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN
Tóm tắt bước giải tốn cách lập phương trình Bước 1: Lập phương trình:
- Chọn ẩn số đặt biểu điều kiện thích hợp cho ẩn số
- Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng
Bước 2: Giải phương trình:
Bước 3: (Trả lời) Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thoả mãn điều kiện ẩn, nghiệm không, kết luận
Chú ý: Khi làm bài, ta khơng cần nói rõ thực bước
2 MỘT SỐ BÀI TỐN ÁP DỤNG.
Bài 1 Một người xe đạp, người xe máy ôtô từ địa điểm A để đến địa địa điểm B Họ khởi hành từ A, theo thứ tự nói lúc giờ, giơg Vận tốc trung bình họ theo thứ tự nêu 10 km/giờ, 30 km/giờ 40 km/giờ Hỏi đến ơtơ cách người xe đạp người xe máy
A C D E B
Giaûi:
Cách 1: Gọi x thời gian ôtô đến vị trí cách người xe đạp người xe máy
(x tính x > 0) Trên hình chữ C (chỉ vị trí người xe đạp), chữ D (chỉ vị trí ôtô), chữ E (chỉ vị trí người xe máy) thoả mãn điều kiện đầu
Ta có bảng toựm taột:
Theo đầu ta có ph ơng tr×nh:
40x - 10(x + 2) = 30(x+1) - 40x
Giải tìm đ ợ c x = giê
1
Nh vậy, đến: + = 15 phút ơtơ cách đề
1
10km x giê = 32,5km
Quã ng đ ờng ng ời xe đạp đ ợ c là:
10km x giê = 32,5km
Quã ng đ ờng ng ời xe máy đ ợ c là:
30km x giê = 67,5km
Quà ng đ ờng ng ời xe máy cách ôtô là: 67,5km - 50km = 17,5km
(6)Nhận định kết quả: Ta thấy kết tìm thoả mãn yêu cầu đầu Trả lời: Đến 15 phút, ôtô cách người xe đạp người xe máy
Cách 2: gọi x thời gian người xe đạp hết đến vi trí ơtơ cách người xe máy
và xe đạp (x tính x > 0) Ta có bảng tóm tắt sau:
Gời khởi hành
Thời gian để đến vị trí hình vẽ
Vận tốc (km/h)
Qng đường đến vị trí như hình vẽ (km)
Xe đạp x 10 10x
Xe máy (x-1) 30 30(x-1)
Xe ôtô (x-2) 40 40(x-2)
Theo đầu bài, ta có ph ơng tr×nh:
40(x - 2) - 10x = 30(x - 1) -40(x-2)
Giải ra, đ ợ c x = giê
1
Nh vậy, đến + = 15 phút ơtơ cách ng ời xe đạp ng ời xe máy
C CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1: Thùng dầu thứ chứa nhiều dầu gấp đôi thùng thứ hai Nếu chuyển từ thùng thứ sang thùng thứ hai 25 lít lượng dầu hai thùng Tính lượng dầu thùng lúc đầu
Bài 2: Học sinh khối nhặt 65 kg kim loại vụn, đồng nhiều nhơm 15 kg, kẽm tổng số khối lượng nhôm đồng kg Hỏi khối nhặt kg loại ?
Bài 3: Một xí nghiệp dệt thảm giao làm số thảm xuất 20 ngày Xí nghiệp tăng suất 20% nên sau 18 ngày làm xong số thảm giao mà làm thêm 24 Tính số thảm xí nghiệp làm 18 ngày
Bài 4: Một lớp học tham gia trồng lâm trường thời gian định với suất 300 ngày Nhưng thực tế ngày trồng thêm 100 nên trồng thêm tất 600 hoàn thành kế hoạch trước ngày Tính số dự định trồng
Bài 5: Một tàu chở hàng khởi hành từ thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 36 km/h Sau tàu chở khách từ với vận tốc 48 km/h đuổi theo tàu hàng Hỏi tàu khách gặp tàu hàng?
Bài 6: Ga Nam Định cách ga Hà Nội 87km Một tàu hoả từ Hà Nội TP Hồ Chí Minh, sau tàu hoả khác tư Nam Định TP Hồ Chí Minh Sau 32
5giờ tính từ tàu thứ khởi
hành hai tàu gặp Tính vận tốc tàu biết ga Nam Định nằm quãng đường Hà Nội – TP Hồ Chí Minh vận tốc tàu thứ lớn vận tốc tàu thứ hai km/h
Bài 7: Một bể có dung tích 5.000 lít Hai vịi chảy vao bể, vịi thứ nhất mở trước vòi thứ hai
1
2giờ, suất thấp suất vòi thứ hai 100 km/h Khi hai vòi
(7)IV Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Ghi nhí :
1.§ Þnh nghÜa: a > b b - a > (d ơng) a b b - a (không ©m) 2.TÝnh chÊt:
* a < b b > a
* a < b vµ b> c a < c (tính chất bắt cầu) * a < b a c b c
* a b,c d a c b d * Nh©n
vế bất đẳng thức cho số d ơng bất đẳng thức không đổi chiều: a < b, c > ac bc
* Nhân vế bất đẳng thức cho số âm bất đẳng thức đổi chiều: a < b, c < ac bc
* Nhân vế hai bất đẳ
n n n n
n n
ng thøc cï ng chiỊu vµ hai vÕ không âm: a b, c d ac bd
* Nâng luỹ thừa hai vế bất đẳng thức a > b > c a b vớ i n
a > b a b ví i n lỴ a b a b ví i n chẳn * So sánh hai luỹ thừa cù ng sè m
m n m n
2
> n > a > a a m > n > vµ > a < th× a a
*Lấy nghịch đảo hai vế bất đẳng thức có cù ng dấu đổi chiều bất đẳng thức 1
a < b ab > a b 3.Các bất đẳng thức cần nhớ : * a vớ i m
äi a, dÊu b»ng x¶y vµ chØ a =
* a vớ i a, dấu băng xảy vµ chØ a = * - a a a
* a b a b ,dÊu b»ng xảy ab * a-b a b
Ph
ư ơ ng pháp : Dựa vào đ ịnh nghĩa
Để chứng minh bất đẳng thức A B ta cần
A –B
Lưu ý thức :
2 2 2
2 2 2 2 a b a 2ab b
a b c a b c 2ab 2bc 2ac
(8)2
2
4 3
Bài :chứng minh x,y ta có : y
a/ x xy
b/x y xy x y c/ x y xy x y
2
2 2
2
2
2 2
2 2
gi¶i :
2x y y 4x 4xy y
a/ Ta cã hiÖu : x xy
4 4
y
x xy (®pcm)
Dấu bất đẳng thức xảy 2x = y
b/ HiÖu x y xy x y 2x 2y 2xy 2x 2y
1
x 2xy y x 2x y 2y
1 x y
2 2
2
x y x y xy x y
Dấu bất đẳng thức xảy x=y=1
4 3 4
3 3 3
2 2
2
2
HiÖu x +y -(xy +x y) = (x -xy ) + (y -x y) = x(x -y )-y(x -y )=(x-y)(x -y )
y y y = (x-y) (x +2x + +3 )
2 4
y y
= (x-y) [(x+ ) + ] ( đúng)
2
Vậy bất đẳng thức đ
ã cho dấu đẳng thức xảy x=y Bài : cho ba số d ơng a, b, c thoả a b c
chøn minh r»ng : a b c b c a a/
b c a a b c c b b a b/
a c a b
2 2 2
2 2 2
Gi¶i
a b c b c a a/Ta cã hiÖu ( )
b c a a b c
= (a c b a c b b c c a a b) abc
1
= (a c b c) (b a a b) (c b c a) abc
(9)2
= (b a)( ca cb ab c ) abc
(b-a)(c-b)(c-a)
= (0 a b c) abc
2 2 2 2
2
2 2
c b b a
b/ HiÖu
a c a b
1
= c b b a b c a c c b b a b c abc
abc abc
(v× a c abc)
1 c b b c b a abc
abc
1 bc c b ba b c
abc
b c b (c a)
0(v× a b c)
abc
c b b a
vËy
a c a b
2 2
2 2 2 2
3 3
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh t ơng đ ơng vớ i
bất đẳng thức bất đẳng thức đ ợ c chứng minh Chú ý đẳng thức sau:
a b a 2ab b
a b c a b c 2(ab bc ca) a b c 3abc a
b c a 2b2c2 ab bc ca
Bµi :
a/ Ví i a, b, c >0 ch ng minh :
a b c 1
2
bc ac ab a b c
b/ chøng minh r»ng:
(x-1)(x-3)(x-4)(x-6) +10 ví i mäi x
c/ cho a c 0,b c chøng minh:
c(a-c) c(b c) ab
2 2 2
2 Gi¶i
a/ Ta có bất đẳng thức cần chứng minh t ơng đ ơng vớ i: a b c bc ac ab (vì abc>0)
a b c 2bc 2ac 2ab (a b c)
bất đẳng thức cuối cù ng nên ta có đpcm b/ Ta có (x-1
2
)(x-3)(x-4)(x-6) +10 (x 7x 6)(x 7x 12)
(10)2
2
(x 7x 3)(x 7x 3) (x 7x 9) 9
bất đẳng thức cuối cù ng ln nên ta có đpcm