HD de toan SP 20112012

Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS.. 3.Gọi N là giao điểm của AM và EF ,P là giao điểm của AS và BC..[r]

GVHD Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao –Phú Thọ

Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã Tr

ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc

Đề thức đề thi tuyển sinh

Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2011 Môn thi: Toán học

(Dùng cho thí sinh thi vào trờng chuyên) Thời gian làm :120

C©u 1: Cho biĨu thøc

A=

(

x − y

2y − x+

x2+y2+y −2

2y2

+xy− x2

)

:

4x4+4x2y+y2−4

x2

+y+xy+x

Với x>0; y>0; x ≠2y ; y ≠2−2x2 Rót gän biĨu thøc A

Cho y=1 tìm x để A=2

5

C©u 2:Một nhóm cơng nhân đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm.Trong ngày

đầu họ thực mức đề , ngày lại họ làm vượt mức ngày 10 sản phẩm ,nên hoàn thành sớm ngày Hỏi theo kế hoạch ngày nhóm cơng nhân cần sản xuất sản phẩm

C©u 3 :Cho Parabol (P) : y= x2 đường thẳng (d) y=mx-m2+3 (m tham số ) Tìm tất gia trị m để đường thẳng ( d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 Với giá trị m x1; x2 độ dài cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền

√

5

2

C©u 4 : Cho đường trịn (O) đường kính AB=10 Dây cung CD vng góc với AB điểm E cho AE =1.Các tiếp tuyến B C đường tròn (O) cắt K , AK CE cắt M

1.Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK Tính BK Tính diện tích tam giác CKM

C©u 5:Cho hình thoi ABCD có góc BAD =1200 Các điểm M ,N chạy BC CD tương ứng cho góc MAN=300 Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAN chạy đường thẳng cố định

Câu 6: Chứng minh bất đẳng thức

√1+√2+ √3+√4+

1

√5+√6+ +

√79+√80>4

-HÕt -Ghi : Cán coi thi không giải thích thêm

Họ tên thí sinh số báo danh

Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã Tr

ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc

Đề thức đề thi tuyển sinh

Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2011 Môn thi: Toán học

Cõu 1 Cho a=1

2

√

√2+ 8−

√2

1.Chứng minh 4a2+√2a−√2=0

Tính giá trị biểu thức S=a2+

√

a4+a+1

Câu 2

1.Giải hệ phương trình

¿

x2

+y2+2 xy

x+y=1

√x+y=x2− y ¿{

¿

2 Cho số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức :

a3b

+ab3+2a2b2+2a+2b+1=0

Chứng minh 1-ab bình phương số hưũ tỷ

Câu Tìm tất số nguyên tố p có dạng p=a2+b2+c2 với a, b, c số nguyên dương cho a4

+b4+c4 chia hết cho p

Câu 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) , BE CF đường cao Các tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt S đường thẳng BC OS cắt M

1.Chứng minh ABAE=BS

ME

2 Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS

3.Gọi N giao điểm AM EF ,P giao điểm AS BC Chứng minh NP vng góc với BC

Câu 5 Trong hộp có chứa 2011 viên bi màu ( viên bi có màu) ,trong có 655 viên bi màu đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím 45 viên bi lại viên bi màu vàng màu trắng ( màu viên) Người ta lấy từ hộp 178 viên bi Chứng minh số viên bi lấy ln có 45 viên bi màu Nếu người ta lấy 177 viên bi kết tốn cịn khơng ?

-Hết -Ghi : Cán coi thi không giải thích thêm

Họ tên thí sinh sè b¸o danh

A-Đề thi vào khối phổng thơng chuyên đại học sư phạm Hà Nội

I-Vòng I

C©u 1: Cho biĨu thøc

A=

(

x − y

2y − x+ x2

+y2+y −2

2y2

+xy− x2

)

:

4x4

+4x2y+y2−4

x2

+y+xy+x

Với x>0; y>0; x ≠2y ; y ≠2−2x2 Rót gän biĨu thøc A

Cho y=1 tìm x để A=2

1 A=

(

x − y

2y − x+ x2

+y2+y −2

2y2+xy− x2

)

:

4x4

+4x2y+y2−4

x2+y+xy+x

A=

(

x − y

2y − x+ x2

+y2+y −2 (x+y)(2y − x)

)

(x+y)(x+1) (2x2+y −2)(2x2+y+2)

A= 2x

2

+y −2 (x+y)(2y − x)

(x+y)(x+1)

(2x2+y −2)(2x2+y+2)=

x+1

(2y − x)(2x2+y+2)

2 với y= ta có

A= x+1 (2− x)(2x2

+3)

=2

5⇔4x

3−8x2

+11x −7=0

⇔(x −1)(4x2−4x+7)=0⇔x=1

C©u 2:Một nhóm cơng nhân đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm.Trong ngày

đầu họ thực mức đề , ngày lại họ làm vượt mức ngày 10 sản phẩm ,nên hoàn thành sớm ngày Hỏi theo kế hoạch ngày nhóm cơng nhân cần sản xuất sản phẩm

Hướng dẫn:

Gọi số sản phẩm phải làm theo kế hoạch x ( SP) x >0; x N Thì số ngày theo kế hoạch 200x ( ngày)

số ngày làm x+10 sản phẩm 200x+−104x ( ngày) nhóm cơng nhân làm vượt ngày nên ta có PT 200x −200−4x

x+10 =6

Giải x=20 t/m ĐK

C©u 3 :Cho Parabol (P) : y= x2 đường thẳng (d) y=mx-m2+3 (m tham số ) Tìm tất gia trị m để đường thẳng ( d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 Với giá trị m x1; x2 độ dài cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền

√

5

2 Hướng dẫn:

Để (P) cắt (d) tai điểm phân biệt hệ PT sau có nghiệm phân biệt

¿

y=x2

y=mx−m2+3

⇔PT:x2−mx+m2−3 ¿{

¿

(1) có nghiệm phân biệt

nên Δ=m2−4m2+12>0⇔12−3m2>0⇔(m−2)(m+2)<0⇔−2<m<2

Theo bai tốn ta phải có

x1+x2¿2−2x1x2=5

2(∗)

x12

+x22=5

2⇔¿

¿

x1+x2=m x1x2=m2−3

¿{ ¿

thay vào (*) ta có

2m2−4(m2−3)=5⇔2m2=7⇔

m=

√

7

2=√ 14

¿

m=−

√

7

2=

−√14

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

mặt khác x1; x2 độ dài cạn tam giác nên

¿

x1+x2=m>0 x1x2=m2−3>0

⇔m>√3

¿{ ¿

kết hợp với -2<m< ta có m=√14

2 thỏa mãn

C©u 4 : Cho đường trịn (O) đường kính AB=10 Dây cung CD vng góc với AB điểm E cho AE =1.Các tiếp tuyến B C đường tròn (O) cắt K , AK CE cắt M

1.Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK Tính BK Tính diện tích tam giác CKM

Hướng dẫn:

1.Theo T/C góc ngồi tam giác cân AOC góc COB=2gocsOAC suy

gocsBOK=gocsOAC nên AC//OK mà CE//KB nên Δ AEC đồng dạng với Δ

OBK (g.g) suy BKCE =OB

AE pitago tam giác vng OCE tính CE=3 ;mà OB=5;AE=1 tính BK=15

2 Ta có ΔAEM đồng dạng với ΔABK nên AE

AB= ME

BK ⇒ME=

AE BK

AB =

1 15 10 =

3 nên CM=CRE−ME=3−3

2= nên SCKM=1

2 CM BE=

3 9=

27

M

K

O

A B

C

D E

C©u 5:Cho hình thoi ABCD có góc BAD =1200 Các điểm M ,N chạy BC CD tương ứng cho góc MAN=300 Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAN chạy đường thẳng cố định

Hướng dẫn:

O

B C

N

M

D A

Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac AMN O tam giác MON cân O có góc MON= góc MAN= 600 nên tam giác MAN Mặt khác

gócMON+gocsMCN=600+1200 nên tứ giác MCNO nội tiếp suy góc MCN=góc MNA=600 ABCD hình thoi nên gocMCA=600 gocsMCA=gocMCO nên O thuộc AC

Câu 6: Chứng minh bất đẳng thức

√1+√2+

1 √3+√4+

1

√5+√6+ +

1

√79+√80>4

A=

√1+√2+

√3+√4+

√5+√6+ .+

√79+√80

2A=

√1+√2+

2

√3+√4+

2

√5+√6+ +

2

√79+√80 2A>

√1+√2+ √2+√3+

1

√3+√4+ + √79+√80+

1 √80+√81 2A> √2−√1

(√2+√1)(√2−√1)+

√3−√2

(√3+√2)(√3−√2)+

√4−√3

(√4+√3)(√4−√3)+ .+

√81−√80

(√81+√80)(√81−√80)

2A>√2−√1+√3−√2+√4−√3 + .+√81−√80=√81−1=8

⇒A>4(đpcm)

II- Vòng 2

Câu 1 Cho a=1

2

√

√2+ 8−

√2

1.Chứng minh 4a2

+√2a−√2=0

Tính giá trị biểu thức S=a2+

√

a4+a+1

Hướng dẫn:

a=1

2

√

√2+ 8−√

2

8 ⇒a+√ =

1 2

√

√2+

1

8⇔

(

a+√

)

2

=

(

1

2

√

√2+ 8

)

2

⇔a2

+a√2

4 + 32=

1 4.

(

√2+

1 8

)

⇔a

2

+2√a

4 + 32= √2 + 32 ⇔4a

2

+√2a −√2=0

2.Theo phần

¿

4a2+√2a−√2=0⇒a2=√2(1− a)

4 ⇒a

4

=a

2

−2a+1

8

⇒a4+a+1=a

2

−2a+1

8 +a+1=

(

a+3

2√2

)

2

¿

Câu 2

1.Giải hệ phương trình

¿

x2+y2+2 xy

x+y=1

√x+y=x2− y ¿{

¿

2 Cho số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức :

a3b

+ab3+2a2b2+2a+2b+1=0

Hướng dẫn:

¿

x2+y2+2 xy

x+y=1(1)

√x+y=x2− y(2) ¿{

x+y=1 ¿

x+y=−(x2+y2)(∗) ¿

¿ ¿ ¿

¿

(1)⇒(x2+y2)(x+y)+2 xy=x+y⇔(x+y)3−2 xy(x+y)+2 xy=x+y

⇔(x+y)

[

(x+y)2−1

]

−2 xy(x+y −1)=0⇔(x+y) (x+y −1) (x+y+1)−2 xy(x+y −1)=0

⇔(x+y −1)[(x+y) (x+y+1)−2 xy]=0⇔(x+y −1)(x2

+xy+x+xy+y2+y −2 xy)=0

⇔(x+y −1)(x2

+x+y2+y)=0

⇔

¿

Vì theo ĐK x+y>0 nên PT (*) VN

với x+y=1 ta có x=1-y thay vào PT (2) ta có 1=(1− y)2− y⇔y2−3y=0⇔

y=0 ¿

y=3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Với y=0 x=1;với y=3 x=-2

Vậy hệ có nghiệm (x ; y)∈{(1;0);(−2;3)}

2) HD ab=0 hiển nhiên ab khác

Ta có

a+b¿2+2(a+b)=−1 ¿

a+b¿2+2ab(a+b)+1=1−ab⇒1−ab=[ab (a+b)+1]2

¿

a3b+ab3+2a2b2+2a+2b+1=0⇔ab¿

Câu Tìm tất số nguyên tố p có dạng p=a2+b2+c2 với a, b, c số nguyên dương cho a4+b4+c4 chia ht cho p

Hng dn:

Vì vai trò cđa a, b, c nh gi¶ sư: a b  c1 (a2 +b2 + c2)3

Ta cã a4 + b4 + c4 = ( a2 +b2 + c2)2 - 2( a2b2 + a2c2 + c2b2 )

 a2b2 + a2c2 + c2b2 (a2 +b2 + c2)3

 a2b2 - c4 +c4 + a2c2 + c2b2 (a2 +b2 + c2)

 a2b2 - c4 + c2 (c2 + a2 + b2) (a2 +b2 + c2)

 a2b2 - c4  (a2 +b2 + c2)

 (ab - c) (ab + c) (a2 +b2 + c2)

mµ (ab - c) <(ab + c)<(a2 +b2 + c2) a2 +b2 + c2nguyên tố

(ab - c) = mµ a b  c1

 a=b=c=1

Câu 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , BE CF đường cao Các tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt S đường thẳng BC OS cắt M

1.Chứng minh ABAE=BS

ME

2 Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS

3.Gọi N giao điểm AM EF ,P giao điểm AS BC Chứng minh NP vng góc với BC

Hướng dẫn:

D N O

P M

S F

E

C B

A

1.ta có SO vng góc với BC M ,MB=MC =ME góc SBC=góc BAC nên CosBAE=CosMBS suy AEAB=MB

BS = ME BS ⇒

AB AE =

BS

ME(đpcm)

2.Ta có EM=MC nên Δ EMC cân M suy góc MEC= góc MCE mà góc SBA+góc MEC=1800 suy góc SBA=góc MEA mà AB

AE = BS ME nên Δ ABS đồng dạng với Δ AEM ( c.g.c)

và ASAM=AB

AE mà tứ giác BFEC nội tiếp nên góc AEF=góc ABC suy

ΔABP đồng dạng với ΔAEN (g.g) suy APAN=AB

AE ⇒ AS AM=

AP

AN⇒NP // MS mà MS⊥BC ⇒NP⊥BC ( đpcm) Cách khác Gọi AS cắt EF D chứng minh D trung điểm EF suy MD vng góc EF góc ADN=góc AMP nên tứ giác MNDP nội tiếp suy góc

MPN=gocsMDN=900 nên MP vng góc với NP

Câu 5 Trong hộp có chứa 2011 viên bi màu ( viên bi có màu) ,trong có 655 viên bi màu đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím 45 viên bi lại viên bi màu vàng màu trắng ( màu viên) Người ta lấy từ hộp 178 viên bi Chứng minh số viên bi lấy có 45 viên bi màu Nếu người ta lấy 177 viên bi kết tốn cịn khơng ?

Hướng dẫn:

-Nếu lấy 178 viên bi bi đỏ xanh tím có 133 viên bi ( có nhiều 45 viên trắng vàng) 133 chia cho dư theo nguyên tắc Diric lê ta có 45 viên bi màu đpcm

- Nếu lấy 178 viên bi bi đỏ xanh tím viên bi nhỏ 133 viên bi số bi vàng trắng lớn 45 viên trái GT