b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM.. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là [r]
(1)ĐỀ THI SỐ 1 Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :
2
2
2
( ) : ( )
2 2
x x x x x
A
x x x x x
a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0?
c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| =
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b) Cho
x y z
a b c
a b c
x yz Chứng minh :
2 2 2
x y z
a b c .
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD
a)Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK
c)Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án Điểm
Bài 1
a 2,0
3x2 – 7x + = 3x2 – 6x – x + = 1,0
= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5
= (x - 2)(3x - 1) 0,5
b 2,0
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0
(2)= (x - a)(ax - 1) 0,5
Bài 2: 5,0
a 3,0
ĐKXĐ :
2
2
2
4 0
2
3
3
2
x
x x
x x
x
x x
x x
1,0
2 2 2
2
2 (2 ) (2 ) (2 )
( ) : ( )
2 2 (2 )(2 ) ( 3)
x x x x x x x x x x
A
x x x x x x x x x
1,0
2
4 (2 )
(2 )(2 )
x x x x
x x x
0,5
2
4 ( 2) (2 )
(2 )(2 )( 3)
x x x x x
x x x x
0,25
Vậy với x0,x2,x3
2
4x A
x
. 0,25
b 1,0
Với
2
4
0, 3, : 0
3 x
x x x A
x
0,25
3 x
0,25
3( )
x TMDKXD
0,25
Vậy với x > A > 0,25
c 1,0
7
7
7
x x
x
0,5
11( )
3( )
x TMDKXD
x KTMDKXD
0,25
Với x = 11 A = 121
2 0,25
Bài 5,0
a 2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 1,0
9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) 0,5
Do : (x1)2 0;(y 3)2 0;(z1)20 0,5
Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) 0,25
b 2,5
Từ :
ayz+bxz+cxy
0
a b c
x y z xyz
(3) ayz + bxz + cxy = 0 0,25 Ta có :
2
1 ( )
x y z x y z
a b c a b c 0,5
2 2
2 2 2( )
x y z xy xz yz
a b c ab ac bc
0,5
2 2
2 2
x y z cxy bxz ayz
a b c abc
0,5
2 2
2 2 1( )
x y z
dfcm
a b c
0,25
Bài 6,0
O F
E
K H
C
A
D
B 0,25
a 2,0
Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF 0,5
Chứng minh : BEODFO g c g( ) 0,5
=> BE = DF 0,25
Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành 0,25
b 2,0
Ta có: ABCADC HBC KDC 0,5
Chứng minh : CBH CDK g g( ) 1,0
CH CK
CH CD CK CB
CB CD
0,5
b, 1,75
Chứng minh : AFDAKC g g( ) 0,25
AF
A
AK
AD AK F AC
AD AC
0,25
Chứng minh : CFDAHC g g( ) 0,25
CF AH
CD AC
0,25
Mà : CD = AB
CF AH
AB AH CF AC
AB AC
0,5
(4)(đfcm)
ĐỀ SỐ 2 Câu1.
a Phân tích đa thức sau thừa số:
4 x
x x
x
x
24 b Giải phương trình: x4 30x 31x 30 c Cho
a b c
1
bc ca ab Chứng minh rằng:
2 2
a b c
0 bc ca ab
Câu2
C
ho biểu thức:2
x 10 x
A : x
x x x x
a Rút gọn biểu thức A
b Tính giá trị A , Biết x =
1 c Tìm giá trị x để A <
d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun
Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ MEAB, MFAD a Chứng minh: DECF
b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy
c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn
Câu
a.Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng:
1 1
9 a b c b Cho a, b dơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Câu Đáp án Điểm
Câu 1 (6 điểm)
a. x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) (2 điểm)
b. x4 30x 31x 30 0 <=>
x x x x (*)
(5)HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Vì x2 - x + = (x -
1 )2 +
3
4 > x
(*) <=> (x - 5)(x + 6) =
x x
x x
c. Nhân vế của:
a b c
1 bc ca ab
với a + b + c; rút gọn đpcm (2 điểm)
Câu 2 (6 điểm)
Biểu thức:
2
x 10 x
A : x
x x x x
a. Rút gọn kq:
1 A
x
(1.5 điểm)
b.
1 x
2
x
2
1 x
2
4 A
3
4 A
5
(1.5 điểm)
c. A 0 x2 (1.5 điểm)
d
1
A Z Z x 1;3
x
(1.5 điểm)
Câu 3 (6 điểm)
HV + GT + KL
(1 điểm)
a Chứng minh: AEFMDF
AEDDFC đpcm (2 điểm)
b DE, BF, CM ba đường cao EFC đpcm (2 điểm) c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
ME MF a
không đổi
AEMF
S ME.MF
lớn MEMF (AEMF hình vng) M
(6)HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Câu 4: (2 điểm)
a. Từ: a + b + c =
1 b c
1
a a a
1 a c
1
b b b
1 a b
1
c c c
1 1 a b a c b c
3
a b c b a c a c b
3 2
Dấu xảy a = b = c =
(1 điểm)
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hc b =
Víi a = => b2000 = b2001 => b = b = (loại) Với b = => a2000 = a2001 => a = hc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 = 2
(1 điểm)
Đề thi S
3
Câu 1 : (2 ®iĨm) Cho P= a
3−4a2−a
+4
a3−7a2+14a−8 a) Rót gän P
b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá tr nguyờn
Câu 2 : (2 điểm)
a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hết cho tổng lập phơng chúng chia hÕt cho
b) Tìm giá trị x để biểu thức :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ nht ú
Câu 3 : (2 điểm)
a) Giải phơng trình :
x2+9x+20+
1
x2+11x+30+
1
x2+13x+42= 18 b) Cho a , b , c cạnh tam gi¸c Chøng minh r»ng : A = a
b+c − a+
b a+c −b+
c a+b c3
Câu 4 : (3 điểm)
Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M
sao cho c¹nh Mx , My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chứng minh : a) BD.CE= BC
2
(7)C©u 5 : (1 điểm)
Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số đo chu vi
đáp án đề thi học sinh gii
Câu 1 : (2 đ)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4)
=(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )
=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5
Nêu ĐKXĐ : a 1; a2;a 4 0,25 Rót gän P= a+1
a−2 0,25
b) (0,5®) P= a−2+3
a −2 =1+
a −2 ; ta thÊy P nguyªn a-2 lµ íc cđa 3,
mà Ư(3)= {−1;1;−3;3} 0,25 Từ tìm đợc a {1;3;5} 0,25
Câu 2 : (2đ)
a)(1đ) Gọi số phải tìm a b , ta cã a+b chia hÕt cho 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)
[
(a2+2 ab+b2)−3 ab
]
= =(a+b) a+b¿2
−3 ab ¿ ¿
0,5 Vì a+b chia hết (a+b)2-3ab chia hÕt cho ;
Do vËy (a+b) a+b¿
2
−3 ab ¿ ¿
chia hÕt cho 0,25
b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5
Ta thÊy (x2+5x)2 0 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 0,25
Do Min P=-36 (x2+5x)2=0
Từ ta tìm đợc x=0 x=-5 thỡ Min P=-36 0,25
Câu 3 : (2đ)
a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25
§KX§ : x ≠ −4; x ≠ −5; x 6;x 7 0,25 Phơng trình trở thµnh :
¿
(x+4)(x+5)+
1
(x+5)(x+6)+
1
(x+6)(x+7)= 18 ¿
x+4−
x+5+
x+5−
x+6+
x+6−
x+7= 18
x+4−
x+7=
18 0,25
(8)(x+13)(x-2)=0
Từ tìm đợc x=-13; x=2; 0,25
b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ suy a= y+z
2 ; b=
x+z ;c=
x+y
2 ; 0,5
Thay vào ta đợc A= y+z 2x +
x+z 2y +
x+y 2z =
1 2
[
(y x+
x y)+(
x z+
z x)+(
y z+
z
y)
]
0,25Từ suy A
2(2+2+2) hay A 0,25
Câu 4 : (3 đ) a) (1đ)
Trong tam gi¸c BDM ta cã : ^D1=1200
−M^1 Vì ^M2 =600 nên ta có : ^M
3=120
−^M
1
Suy ^D1=^M3
Chøng minh ΔBMD ∾ ΔCEM (1) 0,5
Suy BD BM=
CM
CE , từ BD.CE=BM.CM Vì BM=CM= BC
2 , nªn ta cã BD.CE= BC2
4 0,5
b) (1®) Tõ (1) suy BD CM=
MD
EM mà BM=CM nên ta có BD
BM= MD EM
Chøng minh ΔBMD ∾ ΔMED 0,5
Từ suy ^D1=^D2 , DM tia phân giác góc BDE
Chøng minh t¬ng tù ta có EM tia phân giác góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu cđa M trªn AB, DE, AC
Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5
TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luận 0,5
Câu 5 : (1đ)
Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dơng )
Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25
Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
(z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25
z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4)
xy-4x-4y=-8
(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm đợc giá trị x , y , z :
3 2
x
y
E
D
M C
B
(9)(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25
ĐỀ THI SỐ 4 Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử
1
3
5
7
15 A a a a a Câu 2( đ): Với giá trị a b đa thức:
x a x
10
1phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên
Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x4 3x3ax b chia hết cho đa
thức B x( )x2 3x4
Câu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vng góc với Hx, AE vng góc Hy
Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vng
Câu 5( đ): Chứng minh
2
1 1
2 100
P
Đáp án biểu điểm
Câu Đáp án Biểu điểm
1
2 ñ
2
2
2
2
2
2
1 15
8 15 15
8 22 120
8 11
8 12 10
2 10
A a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ
2
2 đ Giả sử:
10 ;( , ) x a x x m x n m n Z
2
10 10
10 10
m n a m n a
x a x a x m n x mn
Khử a ta có :
mn = 10( m + n – 10) +
10 10 100
( 10) 10 10)
mn m n
m n n
vì m,n nguyên ta có:
10 110
1010 11m m
n v n
suy a = 12 a =8
0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ
(10)3 đ
Ta có:
A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 Để A x B x( ) ( )
04
34a a
b b
0,5 ñ 0,5 ñ
3 ñ
Tứ giác ADHE hình vng
Hx phân giác góc AHB ; Hy phân giác góc AHC mà AHB
và AHC hai góc kề bù nên Hx Hy vuông góc
Hay DHE = 900 mặt khác ADH AEH = 900 Nên tứ giác ADHE hình chữ nhật ( 1)
Do
0
0
90 45
2
90 45
2
AHB AHD
AHC AHE
AHD AHE
Hay HA phân giác DHE (2)
Từ (1) (2) ta có tứ giác ADHE hình vng
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ
5
2 ñ 2
1 1
2 100
1 1
2.2 3.3 4.4 100.100
1 1
1.2 2.3 3.4 99.100
1 1 1
1
2 99 100
1 99
1
100 100
P
0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ
ĐỀ THI SỐ 5
Bài 1: (4 điểm)
(11)a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
x 241 x 220 x 195 x 166 10
17 19 21 23
Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết:
2
2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19
49
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
.
Bài 4: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2010x 2680 A
x
.
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC
a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng
b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ
Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, điểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF
a) Chứng minh rằng: BDF BAC .
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD
Một lời giải: Bài 1:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 =
3 3 3 3
x y z x y z
=
2 2 2 2
y z x y z x y z x x y z y yz z
=
2
y z 3x 3xy 3yz 3zx
(12)b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 =
4
x x 2010x 2010x 2010
=
2
x x x x 1 2010 x x 1
=
2
x x x x 2010
Bài 2:
x 241 x 220 x 195 x 166 10
17 19 21 23
x 241 x 220 x 195 x 166
1
17 19 21 23
x 258 x 258 x 258 x 258
17 19 21 23
x 258
1 117 19 21 23
x 258
Bài 3:
2
2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19
49
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
.
ĐKXĐ: x 2009; x 2010
Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức:
2 2
2 2
a a a a 19
49
a a a a
2
a a 19
3a 3a 49
2
49a 49a 49 57a 57a 19
8a2 8a 30 0
2a 1
2 42 0
2a 2a 5
0
3 a
2 a
2
(thoả ĐK)
Suy x =
4023
2 x = 4015
2 (thoả ĐK)
Vậy x =
4023
2 x = 4015
2 giá trị cần tìm. Bài 4:
2
2010x 2680 A
x
=
2 2
2
335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3)
335 335
x x
Vậy giá trị nhỏ A – 335 x = –
(13)a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì E A F 90 o) Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân giác BAC
b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ AD nhỏ nhất
D hình chiếu vng góc A lên BC. Bài 6:
a) Đặt AFE BFD , BDF CDE , CED AEF Ta có BAC 1800(*)
Qua D, E, F kẻ đường thẳng vng góc với BC, AC, AB cắt O Suy O giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF
OFD OED ODF 90 o(1)
Ta có OFD OED ODF 270o(2) (1) & (2) 180o (**)
(*) & (**) BAC BDF . b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
B, C
AEF DBF DEC ABC
BD BA 5BF 5BF 5BF
BD BD BD
BF BC 8 8
CD CA 7CE 7CE 7CE
CD CD CD
CE CB 8 8
AE AB 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC
CD BD
(3)
Ta lại có CD + BD = (4) (3) & (4) BD = 2,5
ĐỀ S Ố
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + = 25
b) 1990x −17+x −21 1986 +
x+1 1004=4 c) 4x – 12.2x + 32 =
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác 1x+1
y+
1
z=0
Tính giá trị biểu thức: A=yz
x2+2 yz+ xz
y2+2 xz+ xy
z2+2 xy O A
B C
F
D E
E F
A B
C
D
s
(14)Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng HAAA''+HB'
BB' +
HC'
CC'
b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM
c) Tam giác ABC biểu thức
AB+BC+CA¿2 ¿
Ơ¿ ¿
đạt giá trị nhỏ nhất?
ĐÁP ÁN
Bài (3 điểm):
a) Tính x = 7; x = -3 ( điểm ) b) Tính x = 2007 ( điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ( 0,25điểm )
⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ( 0,25điểm )
⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ( 0,25điểm )
⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = ( 0,25điểm )
Bài (1,5 điểm):
x+
1
y+
1
z=0 ⇒
xy+yz+xz
xyz =0⇒xy+yz+xz=0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đó: A=yz
(x − y)(x − z)+ xz
(y − x)(y − z)+ xy
(z − x)(z− y) ( 0,25điểm ) Tính A = ( 0,5 điểm ) Bài (1,5 điểm):
Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, 0≤ a , b , c , d ≤9, a ≠0 (0,25điểm)
Ta có: abcd=k2
(a+1)(b+3)(c+5)(d+3)=m2 abcd=k2
abcd+1353=m2 (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353
⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33 với k, m N, 31<k<m<100
(0,25điểm)
⇔ ⇔
hoặc
(15)m = 67 m = 37
k = 56 k = (0,25điểm) Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm)
Bài (4 điểm) :
Vẽ hình (0,25điểm)
a) SHBC
SABC=
1
2 HA' BC
2 AA'.BC =HA'
AA' ;
(0,25điểm)
Tương tự: SHAB
SABC
=HC' CC' ;
SHAC SABC
=HB'
BB'
(0,25điểm) HAAA''+HB'
BB' +
HC'
CC' = SHBC SABC
+SHAB
SABC
+SHAC
SABC
=1 (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC:
BIIC=AB AC;
AN NB=
AI BI ;
CM MA=
IC
AI (0,5điểm )
BI IC
AN NB
CM MA=
AB AC
AI BI
IC AI=
AB AC
IC BI=1
⇒BI AN CM=BN IC AM
c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - Δ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2
⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
AB+BC+CA¿2 ¿
Ơ¿ ¿
(0,25điểm)
Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC
⇔ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC
Kết luận (0,25điểm)
*Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu
ĐỀ ỐS 7
Bài (4 điểm)
Cho biểu thức A =
(
1− x3 1− x − x)
:1− x2
1− x − x2+x3 với x khác -1 a, Rút gọn biểu thức A
⇔
(0,5điểm ) (0,5điểm )
(16)b, Tính giá trị biểu thức A x ¿−12 c, Tìm giá trị x để A <
Bài (3 điểm)
Cho
2 2 2 2 2
a b b c c a 4 a b c ab ac bc
Chứng minh a=b=c
Bài (3 điểm)
Giải tốn cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số
Bài (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a4−2a3+3a2−4a+5
Bài (3 điểm)
Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo
thứ tự trung điểm BD, BC, CD
a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh
b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI
Bài (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N
a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh AB1 +
CD= MN
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD. Đáp án
Bài 1( điểm )
a, ( điểm )
Với x khác -1 :
A= 1− x13− x− x+x2: (1− x)(1+x)
(1+x)(1− x+x2)− x(1+x)
0,5đ
= (1− x)(1+x+x
2
− x) 1− x :
(1− x)(1+x) (1+x)(1−2x+x2)
0,5đ = (1+x2):
(1− x)
0,5đ
= (1+x2)(1− x) 0,5đ
b, (1 điểm) Tại x = −12
3 = −
3 A =
−5
3¿
1+¿−
[
1−(−5 3)]
¿0,25đ
= 3)
5 )( 25
( 0,25đ
¿34
8 3=
272 27 =10
2
(17)c, (1điểm)
Với x khác -1 A<0 (1+x2)(1− x)<0 (1) 0,25đ Vì 1+x2>0 với x nên (1) xảy 1− x<0 ⇔x>1
KL
0,5đ 0,25đ Bài (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để
a2
+b2−2 ab+b2+c2−2 bc+c2+a2+2ac=4a2+4b2+4c2−4 ab−4 ac−4 bc
0,5đ Biến đổi để có (a2+b2−2ac)+(b2+c2−2 bc)+(a2+c2−2 ac)=0 0,5đ Biến đổi để có
a − c¿2=0
b −c¿2+¿
a− b¿2+¿ ¿
(*)
0,5đ
Vì a −b¿2≥0
¿ ; b − c ¿2≥0
¿ ; a − c ¿2≥0
¿ ; với a, b, c nên (*) xảy a −b¿2=0
¿ ; b − c ¿2=0
¿ a − c ¿2=0
¿ ;
0,5đ 0,5đ
Từ suy a = b = c 0,5đ
Bài (3 điểm)
Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm x x
+11 (x số nguyên khác -11)
0,5đ
Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số xx −+157 (x khác -15)
0,5đ
Theo ta có phương trình x x +11 =
x+15
x −7 0,5đ
Giải phương trình tìm x= -5 (thoả mãn) 1đ
Từ tìm phân số −5
6 0,5đ
Bài (2 điểm)
Biến đổi để có A= a2
(a2+2)−2a(a2+2)+(a2+2)+3
0,5đ
= a −1¿2+3
(a2+2)(a2−2a+1)+3=(a2+2)¿
0,5đ Vì a2+2>0 ∀a a −1¿2≥0∀a
¿ nên
a −1¿2≥0∀a
(a2+2)¿
a −1¿2+3≥3∀a (a2+2)¿
0,5đ
Dấu = xảy a −1=0 ⇔a=1 0,25đ
KL 0,25đ
Bài (3 điểm)
huathanhdieu@gmail.com huathanhdieu@yahoo.com.vn N
M B
(18)a,(1 điểm)
Chứng minh tứ giác AMNI hình thang 0,5đ
Chứng minh AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân 0,5đ
b,(2điểm)
Tính AD = 4√3
3 cm ; BD = 2AD = 8√3
3 cm AM = 12BD=¿ 4√3
3 cm
0,5đ
Tính NI = AM = 4√3
3 cm 0,5đ
DC = BC = 83√3cm , MN = 12DC=¿ 4√3
3 cm 0,5đ
Tính AI = 83√3cm 0,5đ
Bài (5 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để có OMAB =OD BD ,
ON AB =
OC
AC 0,5đ
Lập luận để có ODDB=OC
AC 0,5đ
⇒ OM
AB = ON
AB ⇒ OM = ON 0,5đ
b, (1,5 điểm)
Xét ΔABD để có OMAB =DM
AD (1), xét ΔADC để có OM DC =
AM
AD (2) Từ (1) (2) ⇒ OM.( AB1 +
CD ) ¿
AM+DM
AD =
AD AD=1
0,5đ
Chứng minh tương tự ON ( AB+
1
CD)=1 0,5đ
từ có (OM + ON) ( AB+
1
CD)=2 ⇒ AB+
1 CD=
2
MN 0,5đ
b, (2 điểm)
SAOB
SAOD
=OB OD ,
SBOC
SDOC
=OB
OD ⇒
SAOB
SAOD
=¿ SBOC
SDOC
⇒ SAOB.SDOC=SBOC.SAOD 0,5đ
Chứng minh SAOD=SBOC 0,5đ
⇒ SAOD¿2
SAOB.SDOC=¿
0,5đ
O N
M
D C
(19)Thay số để có 20082.20092 = (S
AOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009
Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị
DT)
0,5đ
ĐỀ S Ố
B i 1:
Cho x =
2 2
2
b c a
bc
; y =
2
2
( )
( )
a b c
b c a
Tính giá trị P = x + y + xy
B i 2:
Giải phương trình:
a,
a b x = a+
1 b
+
x (x ẩn số) b,
2
(b c)(1 a) x a
+
2
(c a)(1 b) x b
+
2
(a b)(1 c) x c
=
(a,b,c số đôi khác nhau)
B i 3:
Xác định số a, b biết:
3
(3 1) ( 1)
x x
= ( 1)3 a
x +( 1)2 b x
B
i 4: Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 khơng có nghiệm ngun. B
i 5:
Cho ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C
ĐỀ S Ố
B
i : (2 điểm)
Cho biểu thức:
3 2
2 1 x
A 1 :
x x 2x x x
x
a/ Thu gọn A
b/ Tìm giá trị x để A<1
c/ Tìm giá trị nguyên x để Acó giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b/ Biết xy = 11 x2y + xy2 + x + y = 2010 Hãy tính x2 + y2 Bài 3 (1,5 điểm):
Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, b c số nguyên Biết đa thức
(20)Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I trung điểm AB CD Nối D với E Vẽ tia Dx vng góc với DE, tia Dx cắt tia đối tia CB M.Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho DM = EK Gọi G giao điểm DK EM
a/ Tính số đo góc DBK
b/ Gọi F chân đường vng góc hạ từ K xuống BM Chứng minh bốn điểm A, I, G, H nằm đường thẳng
Bài 5 (1 điểm):
Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k số nguyên tố lớn 3, k chia hết cho
ĐỀ S Ố 10
Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức
2
2
1 x
A :
3 x 3x 27 3x x
a) Rút gọn A b) Tìm x để A < -1
c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: a)
1 3y2+
3
x2 −3x:
(
27−x23x)
b)
6 x
x x 1 .
3
2
x
2
Bài 3: (2 điểm)
Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lúc giờ, giờ, vận tốc theo thứ tự 15 km/h; 35 km/h 55 km/h
Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe đạp xe máy?
Bài 4: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB N AD) Chứng minh:
a) BD // MN
b) BD MN cắt K nằm AC
Bài 5: (1 điểm)
Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4) Chứng minh rằng: a + b + số phương
ĐỀ
ỐS 11
Bài
: (2điểm)
a) Cho x2 2xy 2y 2x 6y 13 0 Tính
2 3x y N
4xy
(21)b) Nếu a, b, c số dương đơi khác giá trị đa thức sau số dương: A a b3 c3 3abc
Bài
: (2 điểm)
Chứng minh a + b + c = thì:
a b b c c a c a b
A
c a b a b b c c a
Bài
: (2 điểm)
Một ô tô phải quãng đường AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đường sau với vận tốc vận tốc dự định km/h
Tính thời gian ô tô quãng đường AB biết người đến B
Bài
: (3 điểm)
Cho hình vng ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI N
a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC
Bài
: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên phương trình:
x
6
3x
2
1 y
4ĐỀ
ỐS 12
Bài 1:
Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Bài
2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = a2 + b2 + c2= 14.
Tính giá trị A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c 0 Tính giá trị D = x2011 + y2011 + z2011 Biết x,y,z thoả mãn:
2 2 2
x y z
a b c
=
2
x a +
2
y b +
2
z c
Bài 3:
a, Cho a,b > 0, CMR: a+
1 b
4 a b b, Cho a,b,c,d >
CMR: a d d b
+
d b b c
+
b c c a
+
c a a d
Bài 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất: E =
2
2
x xy y x xy y
với x,y > 0 b, Tìm giá trị lớn nhất: M = ( 1995)2
x
(22)Bài 5:
a, Tìm nghiệm Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm Z PT: x2 + x + = y2
Bài 6:
Cho ABC M điểm miền ABC D, E, F trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D
a, CMR: AB’A’B hình bình hành b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’
ĐỀ
ỐS 13
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a+b¿2(a −b)
c+a¿2(c − a)+c¿
b+c¿2(b − c)+b¿
a¿
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 1a+1
b+
1
c=0
Rút gọn biểu thức: N=
a2+2 bc+
b2+2ca+
c2+2 ab
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M=x2+y2−xy− x+y+1
b) Giải phương trình: y −5,5¿
4−1
=0
y −4,5¿4+¿ ¿
Bài 3: (2điểm)
Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người gặp tơ, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km
Tính quãng đường AB
Bài 4: (3điểm)
Cho hình vng ABCD M điểm đường chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vng góc với b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn
Bài 5: (1điểm)
Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x2+5y2=345 §
Ề S Ố 14
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1
b) x4 + 4
(23)Bài : (1,5điểm)
Cho abc = Rút gọn biểu thức:
A= a ab+a+2+
b
bc+b+1+ 2c
ac+2c+2
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a b 0
Tính: P=ab 4a2− b2
Bài : (3điểm)
Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M cho BM CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F
a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ?
d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ABC AEMF hình vng
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh với số nguyên n :
52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23.
§Ị SỐ 15
Bài
: (2 điểm)
a) Phân tích thành thừa số: a+b+c¿3− a3−b3− c3 ¿
b) Rút gọn: 2x3−7x2−12x+45 3x3−19x2
+33x −9
Bài
: (2 điểm)
Chứng minh rằng: n2−7¿2−36n
A=n3¿ chia hết cho 5040 với số tự nhiên n
Bài
: (2 điểm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước giếng Nếu làm máy bơm A hút 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước 15 máy bơm C hút 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B
Tính xem giếng
b) Giải phương trình: 2x+a−x −2a=3a (a số)
Bài
: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ tia Ax, By vng góc với AB Đường thẳng vng góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By điểm M, N
a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC INC
c) Chứng minh: góc MIN = 900.
(24)Bài
: (1 điểm)
Chứng minh số: 224 99 9
⏟
n-2 sè
1 00 09
⏟
n sè số phương ( n ≥2 )
Đề SỐ 16: Câu 1 : ( điểm ) Phân tích biểu thức sau thừa số
M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
Câu 2 : ( điểm ) Định a b để đa thức A = x4 – x3 + ax2 + bx + bình phương của
một đa thức khác
Câu : ( điểm ) Cho biểu thức : P =
(
x2x3−4x+ 6−3x+
1
x+2
)
:(
x −2+ 10− x2x+2
)
a) Rút gọn pb) Tính giá trị biểu thức p /x / = 34 c) Với giá trị x p =
d) Tìm giá trị ngun x để p có giá trị nguyên
Câu 4 : ( ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + ( + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥
Câu 5 : ( 3điểm)
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB BC M N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm)
Câu 6 : ( điểm ) Cho tam giác ABC M, N điểm chuyển động hai cạnh BC AC cho BM = CN xác định vị trí M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ
S 17
Bài 1
: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
1.
x27x6 (25)Bài 2
: (2điểm) Giải ph
ơng tr×nh:
1.
x2 3x 2 x1 02.
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
Bài 3
: (2điểm) CMR với a,b,c,là số dơng ,ta cã: (a+b+c)(
1a+1b+
1
c¿≥9
3 T×m sè d phÐp chia cđa biĨu thøc
x2
x4
x6
x8
2008cho ®a
thøc
x210x21.
Bài 4
: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H
BC).
Trªn tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vuông góc với BC D cắt AC
tại E.
1 Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn
BE theo
m AB.
2 Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM và
BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM
3 Tia AM cắt BC G Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
.
Bµi1
Câu Nội dung Điểm
1. 2,0
(26)
2 7 6 6 6 1 6 1
x x x x x x x x
x1
x6
0.5 0,5
1.2 (1,25 ®iĨm)
4 2008 2007 2008 2007 2007 2007 1
x x x x x x x 0,25
2
4 1 2007 1 1 2007 1
x x x x x x x x
0,25
1 2007 1 2008
x x x x x x x x x x
0,25
2. 2,0
2.1 x2 3x 2 x 1 0
(1) + NÕu x1: (1)
2
1
x x
(tháa m·n ®iỊu kiƯn x1)
+ NÕu x1: (1)
2 4 3 0 3 1 0 1 3 0
x x x x x x x
x1; x3 (cả hai khơng bé 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có nghiệm x1
0,5 0,5 2.2
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
(2) Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x0
(2)
2 2 21 1
8 x x x x x
x x x x
2 2 18 x x x x 16
x x
0
x hay x
vµ x0.
Vậy phơng trình cho có nghiệm x8
0,25 0,5 0,25
3 2.0
3.1 Ta cã:
A= (a+b+c)(1
a+
1
b+
1
c)=1+ a b+
a c+
b a+1+
b c+
c a+
c b+1
= 3+(a
b+ b a)+( a c+ c a)+( c b+ b c)
Mµ: x
y+ y
x 2 (BĐT Cô-Si)
Do A 3+2+2+2=9 Vậy A
0,5
0,5 3.2 Ta cã:
( ) 2008
10 16 10 24 2008
P x x x x x
x x x x
Đặt tx210x21 (t3;t7), biểu thức P(x) đợc viết lại:
( ) 2008 1993
P x t t t t
Do chia t2 2t1993 cho t ta có số d 1993
0,5
0,5
(27)4.1
+ Hai tam giác ADC BEC có:
Góc C chung CD CA
CE CB (Hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra: BEC ADC1350(vì tam giác AHD vng cân H theo giả thiết) Nên AEB450 tam giác ABE vuông cân A Suy ra:
2
BEAB m
1,0
0,5 4.2
Ta cã:
1
2
BM BE AD
BC BC AC (do BECADC) mµ AD AH (tam giác AHD vuông vân H)
nên
1
2 2
BM AD AH BH BH
BC AC AC AB BE (do ABH CBA) Do BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 1350 AHM 450
0,5 0,5 0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc BAC
Suy ra:
GB AB
GC AC , mµ
//
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC 0,5
Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC 0,5 Phòng GD & ĐT huyện Thờng Tín
Trờng THCS Văn Tự Gv: Bùi ThÞ Thu HiỊn
đề SỐ 18 đề bài:
Bài 1( điểm): Cho biểu thức:
P =
2
2 2
2
3
2
8
3
21 2
8
:
1
4
12
5 13
2
20 2
1
4
4
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P
1
x
c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P >
Bài 2(3 điểm):Giải phơng trình:
a)
15
1
1
1 12
3
4
4
3
3
x
x
x
x
x
(28)b)
148
169
186
199
10
25
23
21
19
x
x
x
x
c)
x
2
3
5
Bµi 3( điểm): Giải toán cách lập phơng trình:
Một ngời xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định ngời
Bµi (7 ®iĨm):
Cho hình chữ nhật ABCD Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P
a) Tứ giác AMDB hình gì?
b) Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng
c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P
d) Giả sư CP BD vµ CP = 2,4 cm,
9 16
PD
PB TÝnh cạnh hình chữ nhật ABCD.
Bài 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010
b) Cho x, y, z số lớn Chứng minh r»ng:
2
1
1
2
1
x
1
y
1
xy
иp án biểu điểm Bài 1: Phân tích:
4x2 – 12x + = (2x – 1)(2x – 5)
13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ
Điều kiện:
1
5
3
7
;
;
;
;
4
2
2
2
4
x
x
x
x
x
0,5®
a) Rót gän P =
2
2
x x
2®
b)
1
x
2
x
hc
1
x
+)
1
x
… P =1
+)
1
x
…P =3 1®
c) P =
2
2
x x
=
2
5
x
(29)VËy P
Z
2
5 Z
x
x –
¦(2)
Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2}
x – = -2
x = (TM§K) x – = -1
x = (KTM§K) x – =
x = (TM§K) x – =
x = (TM§K)KL: x
{3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên 1đ d) P =2
2
x x
=
2
5
x
0,25®
Ta cã: >
Để P >
2
5
x
>
x – >
x > 0,5®Víi x > th× P > 0,25
Bµi 2:
a)
2
15
1
1
1 12
3
4
4
3
3
x
x
x
x
x
15
1
1
1 12
4
1
4 3
1
x
x
x
x
x
§K:
x
4;
x
1
3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4)…
3x.(x + 4) = 0
3x = hc x + = 0 +) 3x = => x = (TM§K) +) x + = => x = -4 (KTM§K)
S = { 0} 1®
b)
148
169
186
199
10
25
23
21
19
x
x
x
x
148
169
186
199
1
2
3
4
0
25
23
21
19
x
x
x
x
(123 – x)
1 1
25 23 21 19
= 0
Do
1 1
25 23 21 19
>
Nªn 123 – x = => x = 123
S = {123} 1®
c)
2
3
5
(30)Ta cã:
x
2
0
x
=>x
2 3
> nªn2
3
2
3
x
x
PT đợc viết dới dạng:
x
2 5
x = – 3 x = 2
+) x - = => x = +) x - = -2 => x =
S = {0;4} 1đ
Bài 3(2 đ)
Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) 0,25đ Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là:
3
(
/ )
1
10
3
3
x
x
km h
(3h20’ =
1
3
3
h
) 0,25®Vận tốc ngời xe gắn máy tăng lên km/h là:
3
5
/
10
x
km h
0,25đ Theo đề ta có phơng trình:
3
5 3
10
x
x
0,5® x =150 0,5®
VËy khoảng cách A B 150 (km) 0,25®
Vận tốc dự định là:
3.150
45 /
10 km h
Bài 4(7đ)
V hỡnh, ghi GT, KL ỳng 0,5
a) Gọi O giao điểm đờng chéo hình chữ nhật ABCD
PO đờng trung bình tsm giác CAM
AM//PO
tứ giác AMDB hình thang 1®
A B
C D
O M
P
I E
(31)b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = gúc OAB
Gọi I giao điểm đờng chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = góc IEA
Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ
c) MAF DBA g g
nªnMF AD
FA AB không đổi (1đ)
d) NÕu
9 16 PD
PB th× 16 , 16
PD PB
k PD k PB k
NÕu CPBD th×
CP
PB
CBD
DCP g
g
PD
CP
1đ CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 0,5®
do BC = (cm)
CD = (cm) 0,5đ
Bài 5:
a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
V× 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …)
= 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …)
= 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) 1đ Từ (1) (2) ta có ®pcm
b)
2
1
1
2
1
x
1
y
1
xy
(1)
2
2
2
2
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0 2
1
1
1
x
xy
y
xy
x y x
y x y
x
xy
y
xy
y x
xy
x
y
xy
V× x1;y 1 => xy1 => xy 1
=> BĐT (2) => BĐT (1) (dấu ‘’=’’ xảy x = y) 1đ
(32)Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết
A = 10x2 – 7x – B = 2x –
c)Cho x + y = x y 0 Chứng minh
3 2
2
0
1
x y
x y
y x x y
Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x+1
2008+
x+2 2007+
x+3 2006=
x+4 2005+
x+5 2004+
x+6 2003
Bài 3:(2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh
EDF vuông cânb) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho:
a/ DE có độ dài nhỏ
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nh nht
Hớng dẫn chấm biểu điểm
Bài 1: (3 điểm)
a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – (0,25đ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ)
= ( x – ) ( x – ) 2 (0,25đ) b) (0,75đ) Xét
2
A 10x 7x
5x
B 2x 2x
(0,25đ)
Với x Z A B
7
2x Z ( 2x – 3) (0,25đ) Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; ; A B (0,25đ) c) (1,5đ) Biến đổi 3
x y
y 1 x 1=
4
3
x x y y
(y 1)(x 1)
=
4
2
x y (x y)
xy(y y 1)(x x 1)
( x + y = 1 y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ)
=
2
2 2 2
x y x y x y (x y) xy(x y y x y yx xy y x x 1)
(0,25đ)
=
2
2 2
x y (x y 1)
xy x y xy(x y) x y xy
(0,25đ)
=
2
2 2
x y (x x y y) xy x y (x y)
=
2
x y x(x 1) y(y 1)
xy(x y 3)
(0,25đ)
=
2
x y x( y) y( x) xy(x y 3)
=
2 x y ( 2xy) xy(x y 3)
(0,25đ)
= 2 2(x y)
x y
Suy điều cần chứng minh (0,25đ)
(33)(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x
y2 + 4y - 12 = ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ)
⇔ (y + 6)(y - 2) = ⇔ y = - 6; y = (0,25đ) * x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x (0,25đ)
* x2 + x = ⇔ x2 + x - = ⇔ x2 + 2x - x - = 0 (0,25đ)
⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x - 1) = ⇔ x = - 2; x = (0,25đ) Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1
b) (1,75đ)
x x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003
⇔ (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1)
2008 2007 2006 2005 2004 2003
⇔ x+2009
2008 +
x+2009 2007 +
x+2009 2006 =
x+2009 2005 +
x+2009 2004 +
x+2009
2003 ⇔
x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003
(0,25đ)
⇔ (x+2009)( 2008+
1 2007+
1 2006 −
1 2005 −
1 2004 −
1
2003)=0 (0,5đ) Vì
1 2008 2005 ;
1
20072004;
1
2006 2003
Do : 20081 + 2007+
1 2006 −
1 2005 −
1 2004 −
1
2003<0 (0,25đ) Vậy x + 2009 = ⇔ x = -2009
Bài 3:(2 điểm)
a) (1đ)
Chứng minh
EDF vuông cânTa có
ADE =
CDF (c.g.c)
EDF cân D Mặt khác:
ADE =
CDF (c.g.c) Eˆ1Fˆ2Mà Eˆ1Eˆ2Fˆ1 = 900 Fˆ2Eˆ2Fˆ1= 900
EDF= 900 Vậy
EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳngTheo tính chất đường chéo hình vng CO trung trực BD
Mà
EDF vuông cân DI =1 EF
Tương tự BI =
1
2EF DI = BI
I thuộc dường trung trực DB I thuộc đường thẳng CO
Hay O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2 điểm)
a) (1đ)
DE có độ dài nhỏ
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với
ADE vng A có:DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) = 2(x –
2
a )2 +
2
a
2
a
2 (0,25đ)
A B
E I
D C
O
F
2
1
A D
B
(34)Ta có DE nhỏ DE2 nhỏ x =
a
2 (0,25đ)
BD = AE =
a
2 D, E trung điểm AB, AC (0,25đ)
b) (1đ)
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Ta có: SADE =
1
2AD.AE =
2AD.BD =
2AD(AB – AD)=
2(AD2 – AB.AD) (0,25đ) = –
1
2(AD2 – 2
AB
2 .AD +
2
AB ) +
2
AB = –
1
2(AD – AB
4 )2 + AB
2
2
AB
8 (0,25đ)
Vậy SBDEC = SABC – SADE
2
AB –
2
AB =
3
8AB2khơng đổi (0,25đ)
Do SBDEC =
3
8AB2 D, E trung điểm AB, AC (0,25đ)
ĐỀ S 20
Bài 1: Phân tích đa thức thành nh©n tư:
a) x2 – y2 – 5x + 5y
b) 2x2 – 5x – 7
Bµi 2: Tìm đa thức A, biết rằng:
4x216
x2+2 =
A x
Bài 3: Cho phân thøc: 5x+5
2x2+2x
a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phõn thc bng
Bài 4: a) Giải phơng trình: x x+221x=
x(x 2)
b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3
Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình:
Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do hồn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày
Bài 6: Cho ∆ ABC vng A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM
a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ?
(35)Đáp án Biểu điểm
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x –
y)
= (x - y) (x + y – 5) (1 ®iĨm)
b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1)
– 7(x + 1)
= (x + 1)(2x 7) (1 điểm) Bài 2: Tìm A (1 ®iĨm)
A =
4x2−16 ¿ 2x¿2−42
¿ ¿
x¿
x¿ ¿
Bµi 3: (2 ®iĨm)
a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 0
⇔ 2x vµ x +
⇔ x vµ x -1 (1 ®iĨm) b) Rót gän:
5x+5 2x2
+2x=
5(x+1) 2x(x+1)=
5
2x (0,5 ®iĨm)
5
2x=1⇔5=2x⇔x=
5
2 (0,25 ®iĨm)
Vì
2 thoả mÃn điều kiện hai tam giác nên x=
2 (0,25 điểm)
Bài 4: a) Điều kiện xác định: x 0; x - Giải: x(x+2)- (x- 2)
x(x −2) =
x(x −2) ⇔ x
2 + 2x – x +2 = 2;
⇔ x= (loại) x = - Vậy S = {1}
b) ⇔ x2 – < x2 + 4x + 7
⇔ x2 – x2 – 4x < + ⇔ - 4x < 16 x> - 4
Vậy nghiệm phơng trình x > -
1 đ
1đ
Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x >
Vậy số ngày tổ thực là: x- (ngày)
- Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13
⇔ 57x – 57 – 50x = 13
⇔ 7x = 70
⇔ x = 10 (thoả mÃn điều kiện)
Vy: s ngày dự định sản xuất 10 ngày
Sè sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm)
0,5 đ
0,5 ®
0,5 ®
0,5 ®
1 ®
Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung
(36)b) ¸p dơng pitago ∆ vu«ng ABC
ta cã : BC =
√
AB2+AC2 =√
152+202 = √625 = 25 (cm) v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn ABHB=ACHA= BC BA hay
15 HB=
20 HA =
25 15
⇒ AH = 20 05
25 =12 (cm)
BH = 15 15
25 =9 (cm)
HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) c) HM = BM – BH = BC
2 −BH= 25
2 −9=3,5(cm)
SAHM =
2 AH HM =
2 12 3,5 = 21 (cm2)
- Vẽ hình: A
B H M C
1 ®
1 ®
1 ®
1®
1 ®
ĐỀ SỐ 21
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + = 25
b) 1990x −17+x −21 1986 +
x+1 1004=4 c) 4x – 12.2x + 32 =
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác 1x+1
y+
1
z=0
Tính giá trị biểu thức: A=yz
x2+2 yz+ xz
y2+2 xz+ xy
z2+2 xy
Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng HAAA''+HB'
BB' +
HC'
CC'
b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM
c) Chứng minh rằng:
AB+BC+CA¿2 ¿
Ơ¿ ¿
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
(37)a) Tính x = 7; x = -3 ( điểm ) b) Tính x = 2007 ( điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ( 0,25điểm )
⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ( 0,25điểm )
⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ( 0,25điểm )
⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = ( 0,25điểm )
Bài (1,5 điểm):
x+
1
y+
1
z=0 ⇒
xy+yz+xz
xyz =0⇒xy+yz+xz=0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đó: A=yz
(x − y)(x − z)+ xz
(y − x)(y − z)+ xy
(z − x)(z− y) ( 0,25điểm ) Tính A = ( 0,5 điểm ) Bài (1,5 điểm):
Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, 0≤ a , b , c , d ≤9, a ≠0 (0,25điểm)
Ta có: abcd=k2 (a+1)(b+3)(c+5)(d+3)=m2
abcd=k2
abcd+1353=m2 (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353
⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37
k = 56 k = (0,25điểm) Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm)
Bài (4 điểm) :
Vẽ hình (0,25điểm) a) SHBC
SABC=
1
2 HA' BC
2 AA'.BC =HA'
AA' ; (0,25điểm)
Tương tự: SHAB
SABC
=HC' CC' ;
SHAC SABC
=HB'
BB' (0,25điểm)
HAAA''+HB' BB' +
HC'
CC' = SHBC SABC
+SHAB
SABC
+SHAC
SABC
=1 (0,25điểm) với k, m N, 31<k<m<100
(0,25điểm)
⇔ ⇔
hoặc
⇒
(38)b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BIIC=AB
AC; AN NB=
AI BI ;
CM MA=
IC
AI (0,5điểm )
BI IC
AN NB
CM MA=
AB AC
AI BI
IC AI=
AB AC
IC BI=1
⇒BI AN CM=BN IC AM
c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - Δ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2
⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm)
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
4CC’2 (BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)
-Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
AB+BC+CA¿2 ¿
Ơ¿ ¿
(0,25điểm) (Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC đều)
§Ị
SỐ 22
Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để: a, A=n3-n2+n-1 số nguyên tố.
b, B = n
4
+3n3+2n2+6n −2
n2
+2 Có giá trị số nguyên
c, D= n5-n+2 số phơng (n 2)
Câu 2: (5điểm) Chứng minh :
a, a
ab+a+1+
b
bc+b+1+
c
ac+c+1=1 biÕt abc=1
b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
c, a
2
b2+
b2 c2+
c2 a2≥
c b+
b a+
a c
Câu 3: (5điểm) Giải phơng tr×nh sau: a, x −214
86 +
x −132
84 +
x −54 82 =6
b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng.
Cõu 4: (5im) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai ng chộo.Qua k
đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F
a, Chứng minh :DiƯn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b Chøng minh:
AB + CD=
2 EF
c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua Kvà chia đơi diện tích tam giác DEF
(0,5điểm ) (0,5điểm )
(39)Câu Nội dung giải Điể m
Câu 1
(5điểm)
a, (1®iĨm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
Để A số ngun tố n-1=1 ⇔ n=2 A=5
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b, (2®iĨm) B=n2+3n-
n2+2
B có giá trị nguyên n2+2
n2+2 ớc tự nhiên 2
n2+2=1 giá trị thoả mÃn
Hoặc n2+2=2 ⇔ n=0 Víi n=0 th× B có giá trị nguyên.
c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1)
[
(n2−4)+5]
+2= 1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 (tich 5số tự nhiên liên tiÕp)
Vµ n(n-1)(n+1 ⋮ VËy D chia d
Do số D có tận 7nên D khơng phải số phơng
Vậy khơng có giá trị n để D số phng
Câu 2
(5điểm)
a, (1điểm) a
ab+a+1+
b
bc+b+1+
c
ac+c+1=¿ ac
abc+ac+c + abc
abc2+abc+ac+
c
ac+c+1
= ac
1+ac+c+ abc
c+1+ac+
c
ac+c+1=
abc+ac+1 abc+ac+1=1
0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 b, (2®iĨm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2=
-2(ab+ac+bc)
⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V×
a+b+c=0
a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) V×
a+b+c=0
⇒ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2)
Tõ (1)vµ(2) ⇒ a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2
c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy Dấu
x=y a
2
b2+ b2
c2≥2 a b
b c=2
a
c ; a2
b2+ c2
a2≥2 a b
c a=2
c b ; c2
a2+ b2 c2≥2
c a
b c=2
b a
Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: 2(a
2
b2+ b2
c2+ c2
a2)≥2( a c+
c b+
b
a) ⇒ a2
b2+ b2
c2+ c2
a2≥ a c+ c b+ b a
a, (2®iĨm) x −214
86 +
x −132
84 +
x −54 82 =6
(40)C©u 3
(5®iĨm)
⇔ (x −214
86 −1)+(
x −132 84 −2)+(
x −54
82 −3)=0
⇔ x −300
86 +
x −300 84 +
x −300 82 =0
⇔ (x-300)
(
86+ 84+
1
82
)
=0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 VËy S ={300}
0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 b, (2®iĨm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9
⇔ (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 ⇔ (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72
Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta có: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k2=72,25
⇔ k= 8,5±
Víi k=8,5 tacã phơng trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0;
x=
2; x=
−1
Víi k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 vô
nghiÖm VËy S =
{
12,
−1
}
c, (1®iĨm) x2-y2+2x-4y-10 = ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0
⇔ (x+1)2-(y+2)2=7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên
dơng
Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1
Phơng trình có nghiệm dơng (x,y)=(3;1)
Câu 4
(5điểm)
a,(1im) Vỡ AB//CD ⇒ S DAB=S CBA (cùng đáy đờng cao)
⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB Hay SAOD = SBOC
b, (2điểm) Vì EO//DC EODC=AO
AC Mặt khác AB//DC
AB
DC= AO OC ⇒
AB
AB+BC= AO
AO+OC ⇒ AB
AB+BC= AO AC ⇒
EO DC=
AB AB+DC
⇒ EF
2 DC= AB
AB+DC⇒
AB+DC AB DC =
2 EF ⇒
1 DC+
1 AB=
2 EF
c, (2điểm) +Dựng trung tuyến EM ,+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ đờng thẳng KN đờng thẳng phải dựng
Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao EM KN I SIKE=SIMN
(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN
0,5 0,5
0,5 1,0 0,5 1,0
1,0
A B
C D
O
E K F
I