Chỉ đao sinh hoat tổ chuyên môn nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy của đội ngũ giáo viên trường THCS điện biên, thành phố thanh hoá

MỤC LỤC Nội dung MỤC LỤC I PHẦN 1: MỞ ĐẦU I.1 Lí chọn đề tài I.2 Mục đích nghiên cứu I.3 Đối tượng nghiên cứu I.4 Phương pháp nghiên cứu I.5 Những điểm SKKN II PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM II.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm II.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm II.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề II.3.1 Những quy tắc chung chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Côsi II.3.2 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Một số tập tổng hợp có vận dụng bất đẳng thức Côsi II.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường III PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO Danh mục đề tài SKKN đánh giá Trang 1 1 1 2 3 4 14 16 18 19 21 22 I PHẦN : MỞ ĐẦU I.1 Lí chọn đề tài Nội dung bất đẳng thức tốn học trường phổ thơng đóng vai trị quan trọng việc rèn luyện tư cho học sinh Các toán chứng minh bất đẳng thức nói chung tốn khó ngồi việc nắm vững kiến thức địi hỏi người làm tốn phải có tư mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo Chính tốn có nội dung liên quan đến bất đẳng thức thường dùng để phân loại học sinh kì thi HSG cấp, thi vào THPT Có thể nói bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân mà ta quen gọi bất đẳng thức Côsi kho báu tốn học, công cụ mạnh để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác Qua thực tế giảng dạy trường THCS, tơi nhận thấy tâm lí đa số học sinh cho bất đẳng thức khó nên ngại học, học sinh gặp nhiều khó khăn giải tốn liên quan bất đẳng thức tốn chứng minh bất đẳng thức thường khơng có cách giải mẫu, không theo phương pháp định nên học sinh không xác định hướng giải tốn Mặt khác nhận thức học sinh THCS cịn có nhiều hạn chế khả tư chưa tốt học sinh cịn lúng túng nhiều vận dụng kiến thức vào giải dạng tập khác Xuất phát từ lý luận thực tiễn trên, chọn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thơng qua dạy học giải tốn bất đẳng thức Cơsi ” để góp phần vào việc “ Phát triển tư khoa học” “ tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học”, đồng thời nhằm giúp học sinh bớt lúng túng gặp toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức Côsi, giúp học sinh tự định hướng phương pháp chứng minh, hứng thú học bất đẳng thức nói riêng mơn Tốn nói chung I.2 Mục đích nghiên cứu Qua đề tài giúp học sinh: Hệ thống lại dạng tập kỹ thuật thường sử dụng chứng minh bất đẳng thức cách áp dụng bất đẳng thức Côsi Phát triển khả tư lơgic: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái qt hố, giúp em có định hướng tốt đắn gặp toán chứng minh bất đẳng thức I.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu học sinh lớp 8, lớp trường THCS Điện Biên, đại số, bất đẳng thức Côsi số dạng tập vận dụng bất đẳng thức Côsi I.4 Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu đề tài dùng phương pháp sau: - Đọc sách, nghiên cứu thu thập, xử lí tài liệu sưu tầm - Điều tra, giáo viên học sinh Tự tìm hiểu đối tượng học sinh - Đúc rút phần kinh nghiệm qua đồng nghiệp thân trình giảng dạy I.5 Những điểm SKKN So với sáng kiến kinh nghiệm năm học 2019-2020 đưa số tập dạng thường gặp đề thi HSG, thi vào THPT có vận dụng bất đẳng thức Cơsi để giải quyết, qua học sinh thấy ứng dụng tính chất tập thật phong phú không đơn điệu, giúp học sinh có niềm say mê với mơn Tốn II PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM II.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Mục tiêu bậc học phổ thông hình thành phát triển tảng tư người thời đại bao gồm nhiều nhóm có: nhóm kiến thức kĩ bản, nhóm kỹ tư Để đào tạo lớp người Đảng ta tiếp tục khẳng định: “ Phải đổi giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nề nếp tư sáng tạo người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, phương tiện dạy học đại vào trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh” Hiện việc đổi phương pháp dạy học, rèn luyện tư sáng tạo cho người học vấn đề mà thân người thầy hướng tới cốt lõi đổi dạy học là: “ Hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động” II.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Bất đẳng thức Côsi quen thuộc với thầy cô giáo em học sinh giỏi Nội dung bất đẳng thức Côsi phát biểu lời đơn giản: " Trung bình cộng số khơng âm lớn trung bình nhân chúng” Tuy nhiên nội dung bất đẳng thức giới thiệu qua phần "Có thể em chưa biết'' sách giáo khoa Toán tập hai sách tập Tốn tập Vì thời gian dạy khóa cho nội dung kiến thức không nhiều Sách giáo khoa sách tập hệ thống kiến thức bất đẳng thức Côsi chưa đầy đủ, chưa bổ sung phần đơn vị kiến thức nâng cao, dừng lại việc đưa số dạng toán chứng minh bất đẳng thức Với số dạng toán phương pháp giải chưa “tự nhiên” làm cho em học sinh cảm thấy lúng túng học tốn, chưa phân tích cho học sinh nhận thấy lại chọn phương pháp để giải tốn Hệ thống tập rèn luyện kĩ cho học sinh chưa nhiều Ở trường THCS Điện Biên đa số học sinh ý thức học tập tốt, nắm kiến thức bản, phát vấn đề Song em làm cách định lượng, chưa biết phát triển toán, chưa có thói quen tìm tịi cách giải, khả tự học, tự nghiên cứu chưa cao Do việc giải toán loại đề xuất giải toán tổng quát theo hướng khác cịn gặp nhiều khó khăn, chưa tìm thấy sau tốn khơng lời giải mà ẩn chứa nhiều điều bất ngờ, thú vị Kết khảo sát 45 học sinh trường THCS Điện Biên tập có nội dung liên quan đến bất đẳng thức chưa áp dụng đề tài: Số lượng Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu Điểm HS 45 14 12 II.3.Giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trước hết học sinh cần phải nắm vững nội dung bất đẳng thức Côsi : *) Cho n số thực khơng âm x1, x2, x3, ,xn ta có x1 + x2 + + xn ≥ n n x1 x2 xn Dấu “ = ” xảy khi: x1 = x2 = = xn *) Dạng cụ thể hai số, ba số: n = 2: ∀ x, y ≥ đó: n = 3: ∀ x, y, z ≥ đó: x+ y x+ y+ z ≥ xy ≥ xyz x + y + z ≥ 3 xyz x + y ≥ xy  x+ y  ÷ ≥ xy   ( x + y ) ≥ xy ≥ xy x + y (x >0, y > 0) ( ) 1 x + y ≥ x + y (x >0, y > 0)  x+ y+ z  ÷ ≥ xyz   ( x + y + z ) ≥ 27 xyz 27 ≥ xyz ( x + y + z ) (x >0, y > 0, z > 0) 1 + + ≥ x y z x + y + z (x >0, y > 0, z > 0) II.3.1 NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI: Quy tắc song hành: Hầu hết bất đẳng thức có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung kết nhanh chóng định hướng cách giải nhanh Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” bất đẳng thức quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi bất đẳng thức Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: không học sinh mà số giáo viên nghiên cứu chứng minh bất đẳng thức thường hay mắc sai lầm này, áp dụng liên tiếp song hành bất đẳng thức không ý đến điểm rơi dấu Một nguyên tắc áp dụng song hành bất đẳng thức điểm rơi phải đồng thời xảy ra, nghĩa dấu “=” phải được thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Cở sở quy tắc biên toán quy hoạch tuyến tính, tốn tối ưu, tốn cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến miền đóng Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xảy vị trí biên đỉnh nằm biên Quy tắc đối xứng: Đối với bất đẳng thức có tính chất đối xứng vai trị biến bất đẳng thức nhau, dấu “=” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng ta dấu “=” xảy biến mang giá trị cụ thể Chiều bất đẳng thức giúp ta định hướng cách chứng minh: đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ngược lại II.3.2 KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Sau học sinh nắm vững kiến thức nêu trên, nhận thấy việc cần thiết phải làm trình hướng dẫn học sinh giải tập là: phân tích định hướng cách giải, đưa lời giải, đồng thời đưa tập phát triển từ tập cho tập tương tự; Với số tốn, tơi cịn hướng dẫn thêm việc số sai lầm thường gặp vận dụng bất đẳng thức Côsi để giải toán cực trị đại số cách khắc phục Việc làm giúp em có định hướng đắn q trình giải tốn đồng thời tạo hứng thú phát triển tư cho học sinh q trình học mơn tốn Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Dạng 1: Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi Bài 1 1   Cho a, b số dương Chứng minh rằng: ( a + b )  a + b ÷ ≥ (1) *) Phân tích, tìm lời giải: 1 Theo ta có a, b số dương nên a , b số dương Nhận thấy = 2.2, dấu “ ≥ ” bất đẳng thức cần chứng minh cho ta gợi ý đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân, sử dụng hai lần bất đẳng 1 thức Cô si cho hai số dương a b, a b *) Lời giải: 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương a b, a b ta được: 1 1 + ≥2 = a b a b ab a + b ≥ ab ;   1 1 ⇔ ( a + b )  + ÷≥ Do ( a + b )  + ÷ ≥ ab ab a b a b 1 a = b  Dấu “ =” xảy ⇔  = ⇔ a = b  a b *) Phát triển toán 1: Sau hướng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức (1), giáo viên bổ sung thêm số điều kiện phát triển thành toán mới: 1 Thay a + b = vào (1) ta có bất đẳng thức a + b ≥ Khi ta có tốn mới: Cho hai số dương a, b thỏa mãn a + b = Chứng 1 minh a + b ≥ 1 4 Từ bất đẳng thức (1) ta có a + b ≥ a + b (*) Nếu tam giác có độ dài cạnh a, b, c p nửa chu vi p − a > , p – b > 0, p – c > 1 1 1 Khi p − a + p − b ≥ c , p − b + p − c ≥ a , p − c + p − a ≥ b 1 ( Theo (*)) Suy p − a + p − b + p − c ≥ 2( a + b + c ) Khi ta có tốn mới: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c p 1 1 1 nửa chu vi Chứng minh rằng: p − a + p − b + p − c ≥ 2( a + b + c ) 1 Bài Cho x, y, z ba số dương Chứng minh ( x + y + z )( x + y + z ) ≥ (2) *) Phân tích, tìm lời giải: Vế trái bất đẳng thức (2) tích hai nhóm, nhóm gồm ba số hạng số dương, số hạng hai nhóm tương ứng nghịch đảo Lại có = 3.3 dấu “ ≥ ” bất đẳng thức cần chứng minh gợi ý cho ta đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân, sử dụng hai lần bất đẳng thức Cơsi cho hai nhóm, nhóm ba số dương *) Lời giải: 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương x, y, z ; x , y , z ta được: 1 1 + + ≥ 33 x y z xyz x + y + z ≥ 3 xyz ; 1 1 Do ( x + y + z )( x + y + z ) ≥ 3 xyz 3 xyz = x = y = z  Dấu “=” xảy ⇔  = = ⇔ x = y = z x y z  *) Phát triển toán 2: 1 x x y y z z Ta có ( x + y + z )( x + y + z ) ≥ ⇔ + y + z + x + + z + x + y + ≥ ⇔ x+ y x+z y+z + + ≥6 z y x Khi ta có tốn mới: x+ y x+z y+z + + ≥6 z y x Cho x, y, z số dương Chứng minh 1 Từ (2) ta có x + y + z ≥ x + y + z 1 (*) 9 Theo (*) ta có + x + + y + + z ≥ + x + + y + + z = + ( x + y + z ) 9 Nếu cho x + y + z ≤ + ( x + y + z ) ≥ + = 1 Khi + x + + y + + z ≥ Từ đó, ta có tốn mới: Cho x, y, z số khơng âm thoả mãn x + y + z ≤ 1 Chứng minh rằng: + x + + y + + z ≥ *) Giáo viên hướng dẫn học sinh đến tổng quát: Cho > 0, i = 1, n Với n 1 số tự nhiên, ta có: (a1 + a2 + + an )( a + a + + a ) ≥ n n Trong thực tế giảng dạy cho thấy nhiều giáo viên học sinh dừng lại việc giải tốn, quan tâm đến việc khai thác phát triển toán Nếu quan tâm tìm hiểu kỹ bước ta thấy từ tốn đơn giản ban đầu ta phát triển thành toán mới, hay đạt 2 2 2 2 Bài 3: Chứng minh : ( x + y )( y + z )( z + x ) ≥ x y z với x, y,z (3) *) Phân tích,tìm lời giải: - Sai lầm thường gặp học sinh:  x + y ≥ xy  2 2 2 2 2  y + z ≥ yz ⇒ ( x + y )( y + z )( z + x ) ≥ x y z ∀x, y, z  z + x ≥ zx  Ở cách làm ta nhân bất đẳng thức chiều chưa biết giá trị vế âm hay dương - Trong toán dấu “ ≥ ” gợi ý đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Vế trái tích ba nhóm, nhóm có hai số hạng số khơng âm = 2 gợi ý đến sử dụng bất đẳng thức Cơsi cho số hạng nhóm *)Lời giải: 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm x y , y z , z y ta có:  x + y ≥ xy ≥  2 2 2 2 2 2 2  y + z ≥ yz ≥ ⇒ ( x + y )( y + z )( z + x ) ≥ x y z = x y z ∀x, y, z  2  z + x ≥ zx ≥ Dấu “=” xảy  x = y = z *) Qua tập giáo viên khắc sâu cho học sinh: + Chỉ nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều) vế không âm 2 + x + y ≥ x y = 2|xy| *) Phát triển tốn 3: 2 1) Nếu có xyz ≠ chia hai vế bất đẳng thức (3) cho x y z ta có : x2 + y x2 + z y2 + z ≥8 z2 y2 x2 Từ đó, ta có tốn mới: x2 + y x2 + z y + z Chứng minh z y x ≥ với xyz ≠ 2 2 Thay x , y , z a, b, c bất đẳng thức (3) ta a +b a+c b +c ≥8 c b a Từ đó, ta có tốn mới: a +b a+c b +c ≥ với a, b, c số dương (*) c b a a c b Từ (*) ta có (1 + b ) ( + a ) ( + c ) ≥ Chứng minh Khi đó, ta có tốn mới: a c b Cho a, b, c số dương Chứng minh (1 + b ) ( + a ) ( + c ) ≥ Sau dạy 1, 2, giáo viên khắc sâu cho học sinh: Cần quan sát kĩ điều kiện cho trước toán, chiều bất đẳng thức, hệ số đặc biệt (2; 4; 8; 9; …) để xác định hướng giải cho (sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số, ba số,… không âm; sử dụng; Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân) Đặc biệt tốn có điều kiện biểu thức đối xứng biến việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng giúp ta xử lí tốn chứng minh bất đẳng thức dễ dàng Giáo viên hướng dẫn học sinh giải số tập sau: Bài Cho số dương x, y, z thoã mãn xyz = Chứng minh + x3 + y + z3 + y3 + x3 + z + + ≥3 xy yz xz *) Phân tích, tìm lời giải: Giả thiết xyz =1 nên q trình chứng minh ta thay 1= xyz ngược lại xyz = Số vế phải, với biến có lũy thừa bậc gợi ý cho ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số *) Lời giải: 3 3 3 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 1, x , y ; 1, x , z ; 1, z , y ta được: Khi 1 + x + y ≥ 3 x y = xy   3 3 1 + x + z ≥ x z = xz  3 3 1 + z + y ≥ z y = zy xy yz 3xz + x3 + y3 + z3 + y3 + x3 + z ≥ + + =M + + xy yz xz xy yz xz 1 Mà M = 3( xy + yz + xz ) = 3( x + y + z ) ≥ 3( xyz ) = 3 (vì xyz =1) Do + x3 + y3 + z3 + y3 + x3 + z + + ≥3 xy yz xz Dấu “=” xảy  x = y = z = Để hiểu sâu dạng toán giáo viên cho học sinh làm tập sau:      1) Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh: 1 + a ÷1 + b ÷1 + c ÷ ≥ 64         2) Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh  a −1÷ b −1÷ c − 1÷≥     2 3) Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh: + ab + bc + ca ≥ ( a bc + b ca + c ab ) (1) Dạng 2: Sử dụng kỹ thuật: thêm bớt, tách, ghép Nếu dạng 1, học sinh rèn luyện thói quen định hướng dựa vào “ bề ngồi” tốn từ đây, ta bắt gặp bất đẳng thức phong phú hơn, bất đẳng thức mà lời giải cho chúng ln địi hỏi tầm nhìn bao qt đột phá ý tưởng Kĩ thuật thêm bớt minh chứng rõ ràng cho lối tư sử dụng “yếu tố ngoại cảnh” việc giải vấn đề ( a + 1) 11 a ≥ Bài 1: Chứng minh với a > 0, ta có + a +1 2a *) Phân tích, tìm lời giải: Một số học sinh nhìn vào điều kiện a > 0, chiều bất đẳng thức vế trái bất đẳng thức cần chứng minh vội vàng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số hạng vế trái kết thu khơng phải vế phải bất đẳng thức cần chứng minh Khi học sinh thường nói “ Đề sai” a 11 a +1 = + Giáo viên gợi ý ; hai số nghịch đảo, áp dụng a +1 a bất đẳng thức Côsi ta số a 5(a + 1) a + 9(a + 1) a +1 Do ta nghĩ đến tách = + ; ghép a + với ; 2a 4a 4a 4a a a +1 9(a + 1) ≥ 1, ≥ sử bất đẳng thức Cơsi ta có a + + 4a 4a *) Lời giải Đặt M = ( a + 1)  a a a +  9(a + 1) + = +  ÷+ a +1 2a 4a  4a  a +1 10 a a2 +1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương a + ; a ta có: 4a a a a +1 a +1 ≥ =1 a + + 4a a + 4a (1) 9(a + 1) 9.2a ≥ = 4a 4a (2) 11 Cộng vế với vế (1) (2) ta có M ≥ Dấu “ =” xảy ⇔ a = a b c Bài 2: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh b + c + c + a + a + b ≥ *) Phân tích, tìm lời giải: Nhận thấy tổng tử mẫu phân thức cho vế trái a + b + c Sử dụng kĩ thuật thêm bớt, ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  a   b   c  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷≥   b+c   c +a   a +b   1  ⇔ ( a + b ) + (b + c ) + (c + a )   + + ÷ ≥ , dễ dàng chứng minh bất đẳng  b+c c +a a +b  thức cách áp dụng lần bất đẳng thức cho số dương a b c  a   b   c  *) Lời giải: b + c + c + a + a + b ≥ ⇔  b + c + 1÷+  c + a + 1÷+  a + b + 1÷≥        1  ⇔ ( a + b + c)  + + ÷≥  b+c c+a a+b   1  ⇔ ( a + b ) + (b + c ) + (c + a)   + + ÷ ≥9  b+c c+a a +b  Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương, ta có ( a + b ) + (b + c ) + (c + a) 1 + + ≥ a+b b+c c+a ≥ 3 ( a + b ) (b + c ) (c + a ) 3 ( a + b ) (b + c ) (c + a) Nhân hai bất đẳng thức lại vế theo vế, ta suy ra:  1  ( a + b ) + (b + c ) + (c + a)   + + ÷ ≥9  b+c c+a a +b  Dấu xảy ⇔ a = b = c > Để hiểu sâu dạng toán giáo viên cho học sinh làm tập sau: 1 Cho hai số dương a, b thỏa mãn a + b =1 Chứng minh a + b ≥ 11 2 Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x − 3x + x + 2016 Dạng 3: Sử dụng kĩ thuật chọn điểm rơi Trong bất đẳng thức, “ kĩ thuật chọn điểm rơi” kĩ thuật tối quan trọng Ý tưởng việc xác định dấu đẳng thức xảy để ta sử dụng đánh giá hợp lí Cần lưu ý chuỗi đánh giá, khơng “bảo tồn” dấu tốn việc chứng minh bị phủ nhận hoàn toàn Ta xét số toán sau để làm rõ vấn đề Bài 1: Cho a ≥ Tìm GTNN M = a + a *) Phân tích, tìm lời giải: a a - Sai lầm thường gặp học sinh: M = a + ≥ a = kết luận GTNN M - Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: 1 GTNN M a = a ⇔ a = a ⇔ a = , mâu thuẫn với giả thiết a ≥ - Xác định điểm rơi: Ta biết giá trị cực trị thường xảy giá trị biên giá trị trung tâm Ở toán ta thấy a tăng giá trị M tăng, mặt khác ta có giá trị biên 3, nên ta có dự đốn a = M nhận giá trị nhỏ Do vậy, ta tách hạng tử a hạng tử a để cho áp dụng bất đẳng thức Côsi dấu " = " xảy a = Có hình thức tách sau:  a   α ; a ÷    1  α a; ÷ a     a, ÷ ⇒   a     a; ÷  α a   α    a; ÷  a  (1) (2) (3) (4) a  α = α Chẳng hạn ta chọn sơ đồ (1), với điểm rơi a = 3, ta có:  1 ⇒ α = ⇒ α =  =  a   *) Lời giải Ta có M = a + a =  + a ÷+   a 8a 12 a a a Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương , a ta có: + ≥ = a a 8a 8.3 8.3 10 Vì a ≥ nên ≥ Khi M ≥ + = a  = Dấu “ =” xảy ⇔  a ⇔ a =  a = 10 Vậy GTNN M = a = Bài 2: Cho a ≥ Tìm GTNN S = a + a *) Phân tích, tìm lời giải: - Sai lầm thường gặp học sinh giải tập :  a  7a a 7a 7a 7.2 =  + ÷+ ≥2 + = + ≥ + = a a 8a 8.2 8 a  Vậy GTNN S a = Mặc dù chọn điểm rơi a = GTNN S là đáp số đúng, cách giải mắc sai lầm việc đánh giá mẫu số: " Nếu a ≥ S =a+ 2 ≥ đánh giá sai " 8a - Ta phải tách hợp lí hạng tử a a để sử dụng bất đẳng thức Côsi khử hết a mẫu tử +) Xác định điểm rơi: a  α = α a = cho cặp số  1 ⇒ α = ⇔ α =  =  a *) Lời giải Ta có S = a +  a a  6a a a 6.2 =  + + ÷+ ≥ 33 + = a 8 a 8 a  a  = Dấu “ =” xảy ⇔  a ⇔ a =  a = Vậy GTNN S a = Bài 3: Cho a, b, c > a + 2b + 3c ≥ 20 Tìm GTNN Q = a + b + c + a + 2b + c *) Phân tích, tìm lời giải: Tìm điểm rơi: Với a + 2b + 3c ≥ 20 a, b, c > ta dự đoán điểm rơi 13 a = 2, b = 3, c = *) Lời giải  3a   b   c  a b 3c + + =  + ÷+  + ÷+  + ÷+ + + a 2b c  a   2b   c  4 3a b c Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương , a ; , 2b ; , c ta có:  3a   b   c  (1)  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ + + =  a   2b   c  a b 3c a + 2b + 3c 20 ≥ =5 Mà a + 2b + 3c ≥ 20 ⇒ + + = (2) 4 Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: Q ≥ 13 Q = a+b+c+ Dấu “ =” xảy ⇔ a = 2, b = 3, c = Vậy GTNN Q 13 a = 2, b = 3, c = Để hiểu sâu dạng toán giáo viên cho học sinh làm tập sau: Cho a, b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = a3 b3 c3 + + Chứng minh rằng: (1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + c) (1 + a)(1 + b) ≥ Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + x Cho a, b, c số không âm thõa mãn a+b+c ≤ Tìm giá trị nhỏ 1 B= a + + b + + c + Dạng 4: Sử dụng kĩ thuật đổi biến Thế giới bất đẳng thức tồn quy luật quan trọng “Trong dạng cụ thể bất đẳng thức nhiều biến khó” Điều đồng nghĩa với việc khẳng định “ Bài toán trở nên đơn giản ta đưa bất đẳng thức nhiều biến dạng biến hơn” Bên cạnh đó, số toán mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh khó nhận biết phương hướng giải, gặp toán ta thường biến đổi toán đơn giản cách đặt ẩn phụ để quy toán lạ tốn quen thuộc Cơng cụ hữu ích để thực ý tưởng phép “ đổi biến” ( a + 1) 11 a ≥ Bài Chứng minh với a > 0, ta có + a +1 2a (1) *) Phân tích, tìm lời giải: - Bài tập tập dạng 2: Sử dụng kỹ thuật: thêm bớt, tách, ghép 14 a - Bài cho a > 0, nhận thấy a + đặt t = a +1 hai số nghịch đảo Do a a a2 +1 = a + = , t ≥ a +1 t a a Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 5t – 11t + ≥ 0, bất đẳng thức t ≥ *) Lời giải: Đặt t = a +1 =a+ a a 1 Vì a > nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a a ta có t ≥ a a =2 11 Khi bất đẳng thức (1) trở thành t + t ≥ ⇔ 5t – 11t + ≥ ⇔ (t − 2) ( 5t − 1) ≥ , bất đẳng thức t ≥ Dấu “ =” xảy ⇔ t = 2, a = a b c Bài Cho a, b, c >0 Chứng minh b + c + c + a + a + b ≥ (2) *) Phân tích, tìm lời giải: - Bài tập tập dạng 2: Sử dụng kỹ thuật: thêm bớt, tách, ghép b + c = x >  y+z−x z+ x− y x+ y−z ; b= ; c= - Nếu đặt : c + a = y > ⇒ a = 2 a + b = z >  Khi bất đẳng thức (2) trở thành x+ y z+x y+z + + ≥ , học sinh dễ dàng nhận z y x cách chứng minh bất đẳng thức cách biến đổi vế trái bất đẳng thức này, áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi b + c = x >  y+z−x z+ x− y x+ y−z ; b= ; c= Lời giải: Đặt : c + a = y > ⇒ a = 2 a + b = z >  Khi bất đẳng thức (**) trở thành x+ y z+x y+z + + ≥6 z y x x z y z x y ⇔  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥  z x  z y  y x Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : 15 y x z x y z x z  y z  x y +2 +2 = 2+2+2 =  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ x y x z z y  z x  z y  y x Dấu “ =” xảy ⇔ x = y = z, a = b = c *) Nhận xét: Sau hướng dẫn học sinh giải số tập dạng 4, giáo viên chốt sâu hơn: Việc điều kiện ẩn phụ giúp ta giải tốn cách nhanh chóng; Các bất đẳng thức có tính đối xứng mà mẫu số biểu thức phức tạp ta thường đặt mẫu ẩn để đưa bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức đơn giản Để hiểu sâu dạng toán giáo viên cho học sinh làm tập sau: Cho ∆ ABC với a, b, c độ dài ba cạnh Chứng minh : a2 b2 c2 + + ≥ a +b +c b + c − a c + a −b a +b −c Cho x, y, z số thực lớn -1.Tìm GTNN + x2 1+ y2 1+ z2 P= + + + y + z + z + x2 + x + y Cho a, b, c, d > ; ab = cd = Chứng minh rằng: (a + b)(c + d) + ≥ 2(a + b + c + d) Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Nếu đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân, hiểu thay a + b a.b ngược lại đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng thay a.b a + b cần phải ý biến tích thành tổng, tổng phải triệt tiêu hết biến, lại số Giáo viên cần khắc sâu: Dấu “ ≤ ” gợi ý x+ y cho ta đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng xy ≤ hay xy ≤  x+ y  ÷ với x, y không âm; dựa vào điểm rơi   Bài Cho a, b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn nhất: M = 2a + bc + 2b + ac + 2c + ab *) Phân tích, tìm lời giải: Do vai trị a, b, c biểu thức nhau, dự đốn GTLN M đạt điểm rơi a = b = c = Theo ta có a + b + c = biểu thức M có hệ số 2, thay = a+b+c; Bài yêu cầu tìm GTLN gợi ý đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng *) Lời giải: Ta có: 2a + bc = (a + b + c)a + bc = (a + b)(a + c) ≤ a+b+a+c 16 a+b+b+c c+b+a+c 2c + ab = (a + b + c) c+ ab = (c+ b)(a + c) ≤ a + b = a + c = b + c ⇒ a = b= c= Suy ra: M ≤ Dấu "=" xảy a + b + c =  Vậy GTLN M a = b = c = 2b + ac = (a + b + c) b+ ac = (a + b)(b+ c) ≤ Bài 2: Cho a, b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: abc(a + b)(b + c)(c + a ) ≤ 729 *) Phân tích, tìm lời giải: Chiều bất đẳng thức cần chứng minh, gợi ý cho ta đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Căn vào vế trái bất đẳng thức cần chứng minh điều kiện a, b,c > 0, a + b+c=2 ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương a, b, c; a + b, b + c, c + a *) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương a, b, c; a + b, b + c, c + a kết hợp với a + b + c = 2, ta có: 3  a + b + c   (a + b) + (b + c ) + (c + a )    abc( a + b)(b + c)(c + a ) ≤   =  ÷    Dấu “ =” xảy ⇔ a = b = c = 2  ÷ =   729 Bài : Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ 1; b ≥ 4; c ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức P = bc a − + ca b − + ab c − abc *) Phân tích,tìm lời giải: Ta có P = bc a − + ca b − + ab c − a −1 b−4 c−9 = + + abc a b c Giáo viên hướng dẫn học sinh nhân tử mẫu phân thức tổng với số tự nhiên khác 0, để biến tích thành tổng tổng phân thức có giá trị số *) Lời giải: P= bc a − + ca b − + ab c − a −1 b−4 c−9 = + + abc a b c 17 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số không âm a -1 1; b-4; c-9 ta có: +) a − ≤ (a − 1) + a a −1 = ⇒ ≤ 2 a (1) Dấu ‘=”xảy a = +) b − = 4(b − 4) + (b − 4) b b−4 ≤ = ⇒ ≤ 4 b (2) Dấu “=” xảy b = +) c − = 3(c − 9) + (c − 9) c c −9 ≤ = ⇒ ≤ 6 c (3) Dấu “=” xảy c = 18 1 11 Cộng vế (1), (2), (3) Suy ra: P ≤ + + = 12 Dấu “=” xảy a = 2, b = 8, c = 18 (thỏa mãn ĐK) 11 Vậy GTLN P 12 a = 2, b = 8, c= 18 Bài Cho a, b, c dương thoả mãn điều kiện: a + b + c = Chứng minh: a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ *) Phân tích tìm lời giải: Căn bậc ba định hướng cho ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số Do vai trò a, b, c nên ta dự đoán dấu ''='' xảy a = b = c ; Khi a + 3b = b + 3c = c + 3a = nên ta nhân thêm hai hệ số vào biểu thức lấy Dấu “≤’’ bất đẳng thức cần chứng minh gợi ý đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng *) Lời giải: a + 3b + + 3 1.1.( a + b ) ≤   b + 3c + +  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:  1.1.(b + 3c) ≤  c + 3a + + 3  1.1.(c + 3a) ≤  ⇒ a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ (4a + 4b + 4c + 6) = 3  a , b, c >   ⇔a=b=c= Dấu “=” xảy a + b + c = 4   a + 3b = b + 3c = c + 3a Để hiểu sâu dạng toán giáo viên cho học sinh làm tập sau: 18 Cho a, b,c>0 a+b+c=3 Chứng minh : (a+b)(b+c)(c+a) ≤ Cho ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ Chứng minh rằng: (1 - x)(2 - y)( 4x+y) ≤ Cho a, b, c > ; a + b + c = Tìm GTLN M = a + b + b + c + c + a Một số tập tổng hợp có vận dụng bất đẳng thức Cơ si x x + 26 x − 19 x − + x+2 x −3 x −1 Bài 1: Cho biểu thức A = a Rút gọn A b Tìm GTNN A Hướng dẫn a) ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ A= ( ( x + 3) ( x − 1) ( x + 3) ( x − 1) ( x x + 26 x − 19 − x ( x +3 ) + )( x + 3) ( x −3 x −3 x +3 ) x − 1) x −1 = x + 16 x +3 b) Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có: A= x + 16 ( x − ) + 25 25 25 = = x −3+ = x + 3+ −6 x +3 x +3 x +3 x +3 Áp dụng bất đẳng thức Cơ Si ta có: ( ) x +3 + 25 ≥2 x +3 ( ) x +3 25 = 10 x +3 ⇒ A≥4 25 Dấu “=” xảy x + = x + ⇔ x = ( thỏa mãn ĐK) Vậy GTNN A x = Bài 2: Cho biểu thức F = x − 18 x − + 2x +1 3x + a) Tìm ĐKXĐ F Hướng dẫn a) ĐK XĐ: x ≥ b) Ta có: F = b)Tìm GTLN F x − 18 x − 2(4 x − 1) 3(6 x − 2) + = + 2x +1 3x + 2x +1 3x + Với x ≥ theo BĐT Côsi ta có: x = 2 x ≤ + x x = 3x ≤ 3x + Suy : F = 2(4 x − 1) 3(6 x − 2) 2(2 x + − 1) 3(3x + − 2) + ≤ + =2+3=5 2x +1 3x + 2x +1 3x + Dấu “=” xảy x = (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy GTLN F = x = 2 Bài 3: Cho x, y, z > thỏa mãn điều kiện: x − y + y − z + z − x = Chứng minh x2 + y + z = 19 Hướng dẫn: Điều kiện < x ≤ , < y ≤ , < z ≤ Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có x2 + − y 2 y + − z2 y 1− z ≤ 2 z + − x2 z 1− x2 ≤ x 1− y ≤ (1) (2) (3) 2 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta có x − y + y − z + z − x ≤ 2 Kết hợp với x − y + y − z + z − x = , suy  x = 1− y    y = 1− z   z = − x Vậy  x2 = 1− y  ⇔  y = 1− z  z = 1− x2  x2 + y + z = Bài 4: Cho biểu thức C = x2 − x 2x + x ( x − 1) − + x + x +1 x x − x nhận giá trị số nguyên C b) Tìm x để biểu thức Q = a) Rút gọn C Hướng dẫn: a) ĐKXĐ: x > x ≠ C= b) Q= x ( ) ( x −1 x + x+ ) x +1 − x − 1+ x +1 ( ) x + =x− x +1 x = C x+ −1 x Với x > x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương 1 Ta có x + x > ⇒ x + x − > ⇒ < Q < Do Q nguyên ⇔ Q = ⇔ x= 7± 2 Bài 5: Giải phương trình sau: x − + − 2x = 3x − 12x + 14 ĐKXĐ ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số khơng âm ta có: Hướng dẫn: x − + − 2x ≤ ( x − 3) + + − 2x + = 2 (1) 20 Mặt khác 3x − 12x + 14 = ( x − 2) + ≥ ∀ x (2) Từ (1) (2) ta thấy x thỏa mãn phương trình (1) (2) đồng thời trở thành đẳng thức, x = ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = II.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG Trên số giải pháp dạy phần bất đẳng thức Côsi để rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh lớp rút từ thực tế năm giảng dạy thân Tốn bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức Cơsi nói riêng chun đề lớn, nhiên với khả khn khổ đề tài có hạn, tơi đề cập đến số dạng mà em thường gặp chương trình lớp 8, lớp Tơi sâu vào vấn đề nhỏ hướng dẫn, giúp em có kỹ phân tích định hướng cách giải, đưa lời giải, đồng thời đưa tập phát triển từ tập cho tập tương tự, nhìn nhận sai lầm lời giải ví dụ điển hình từ tìm cách giải theo yêu cầu toán Với việc làm nêu trên, thân tự nghiên cứu áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 8, lớp trường THCS Điện Biên bước đầu đạt số kết sau: - Phần lớn học sinh biết áp dụng bất đẳng thức Côsi, say mê giải tốn bất đẳng thức, em khơng cịn sợ lúng túng giải toán - Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú học tốn, từ tạo cho em tính tự tin độc lập suy nghĩ, phát triển tư logic, óc quan sát, suy luận tốn học - Trong trình giải tập giúp em có khả phân tích, suy ngẫm, khái qt vấn đề cách chặt chẽ, em khơng cịn ngại khó, mà tự tin vào khả học tập - Nhiều em giỏi tìm cách giải hay ngắn gọn phù hợp, không mắc sai lầm đáng tiếc Đặc biệt từ tốn đơn giản ban đầu ta phát triển thành toán mới, hay đạt Kết điểm kiểm tra tập nội dung đề tài sau áp dụng đề tài SL học sinh Điểm Giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu Điểm 45 15 13 10 2 21 Về tính ứng dụng đề tài, trước hết đề tài phù hợp câu lạc Toán học, đội tuyển học sinh giỏi, kể học sinh cấp mảng sơ cấp Học sinh dùng làm tài liệu học tập, vừa có kinh nghiệm tránh số sai lầm chứng minh bất đẳng thức, vừa bồi dưỡng kiến thức bất đẳng thức Giáo viên dùng làm tài liệu giảng dạy, đồng thời nâng cao trình độ chun mơn, đúc rút kinh nghiệm III PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Một tốn có nhiều hướng suy nghĩ để tìm lời giải, linh hoạt giải tốn cần thiết khơng thể tuỳ tiện,vẫn phải đảm bảo ngun tắc định Tốn học địi hỏi tư rành mạch, mập mờ đôi chút dẫn đến sai lầm Việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc không dễ Do kinh nghiệm học tơi trình bày bước đầu cung cấp cho học sinh kiến thức , cung cấp cho học sinh cách nhận dạng toán hướng dẫn học sinh phân tích tìm tịi lời giải tốn chứng minh bất đẳng thức nói chung tốn liên quan đến BĐT Cơsi nói riêng, giúp em có định hướng đắn gặp dạng tốn này; hướng cho học sinh tới việc tự tìm tịi nghiên cứu, sáng tạo, tư lơgíc đồng thời tạo hứng thú cho học sinh trình học mơn tốn Tuy nhiên, để đạt kết mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống, phân loại tập thành dạng nhằm mục đích bồi dưỡng phát triển tư cho học sinh vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa tham gia tích cực người học Giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức chung học sinh Người thầy cần trọng phát huy tính chủ động, tích cực sáng tạo học sinh từ giúp em có nhìn nhận bao qt, tồn diện định hướng giải tốn đắn Làm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường 3.2 Kiến nghị Qua q trình giảng dạy, nghiên cứu tơi xin có số ý kiến đề xuất sau: 22 - Đối với GV, phải nhiệt tình tâm huyết với nghề, phải ln có ý thức tự nghiên cứu, học hỏi tìm tịi nâng cao kiến thức, nghiệp vụ trình độ chun mơn, phải có nghiên cứu kiến thức bao qt chương trình khơng dừng nội dung kiến thức chương trình THCS - Những sáng kiến kinh nghiệm hay thành phố, Phòng Giáo dục nên tổ chức hội thảo cho giáo viên thành phố học tập áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Trên tơi mạnh dạn giới thiệu bạn đồng nghiệp số kinh nghiệm thân Đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong góp ý bổ sung q thầy cơ, bạn để viết hoàn chỉnh hấp dẫn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2021 CAM KẾT KHƠNG COPY Người viết Nguyễn Thị Nghiêm TÀI LIỆU TAM KHẢO 1) Sách giáo khoa toán – tập 2) Sách tập toán 3) Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8, toán Tác giả : Vũ Hữu Bình- Tơn Thân 4) Sách nâng cao phát triển toán lớp tập 2; lớp tập Tác giả : Vũ Hữu Bình 5) Sử dụng phương pháp AM-GM để chứng minh bất đẳng thức Tác giả : Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh 6) 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi vào lớp 10- tác giả : Nguyễn Đức Đồng – Nguyễn Văn Vĩnh 7) Tài liệu mạng Internet 23 24 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Nghiêm Chức vụ đơn vị công tác: Hiệu trưởng - Trường THCS Điện Biên TT Tên đề tài SKKN Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp Rèn luyện kỹ vận dụng tính chất chia hết tổng vào giải toán cho học sinh lớp Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp cách giải dạng tốn phương trình bậc cao ẩn thường gặp bậc THCS Rèn luyện kỹ vận dụng tính chất chia hết tổng vào giải tốn cho học sinh lớp Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp cách giải dạng toán phương trình bậc cao ẩn thường gặp bậc THCS Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thơng qua dạy học giải tốn bất đẳng thức Cô si Kết Cấp đánh đánh giá giá xếp loại xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, Tỉnh ) C) Năm học đánh giá xếp loại - Phòng GD - Loại A - Sở GD - Loại B 2010 - 2011 - Phòng GD - Loại A - Sở GD - Loại C 2012 - 2013 - Phòng GD - Loại A - Sở GD - Loại C 2015 - 2016 - Phòng GD - Loại A - Sở GD - Loại B 2017 - 2018 - Phòng GD - Loại A - Sở GD - Loại C 2018 – 2019 - Phòng GD - Loại A - Sở GD - Loại B 2019 - 2020 25 ... *) Giáo viên hướng dẫn học sinh đến tổng quát: Cho > 0, i = 1, n Với n 1 số tự nhiên, ta có: (a1 + a2 + + an )( a + a + + a ) ≥ n n Trong thực tế giảng dạy cho thấy nhiều giáo viên học sinh. .. nhận bao qt, tồn diện định hướng giải toán đắn Làm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường 3.2 Kiến nghị Qua trình giảng dạy, nghiên cứu tơi xin có số ý kiến đề xuất sau: 22 - Đối với... - Những sáng kiến kinh nghiệm hay thành phố, Phòng Giáo dục nên tổ chức hội thảo cho giáo viên thành phố học tập áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Trên mạnh dạn giới thiệu bạn đồng nghiệp số kinh