Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất.. HD.[r]
(1)CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ
Chuyền đề 1: Các tốn thực phép tính: Các kiến thức vận dụng :
- Tính chất phép cộng , phép nhân - Các phép toán lũy thừa:
an = a a a n ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a 0, mn) (am)n = am.n ; ( a.b)n = an bn ; ( ) ( 0)
n n
n
a a
b b b
Một số toán :
Bài 1: a) Tính tổng : 1+ + +… + n , 1+ + +… + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1)
1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) Với n số tự nhiên khác không
HD : a) 1+2 + + + n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1)
= [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] :
= n(n+ 1)(n+2) :3
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: = n(n+1)(n+2)(n+3) :
Tổng quát:
Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +… + an b) Tính tổng : A = 2
n n
c c c
a a a a a a
với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k HD: a) S = 1+ a + a2 +… + an aS = a + a2 +… + an + an+1
Ta có : aS – S = an+1 – ( a – 1) S = an+1 – 1 Nếu a = S = n
Nếu a khác , suy S =
1 1 n a
a
b) Áp dụng
1 ( )
c c
a bk a b với b – a = k
Ta có : A = 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
n n
c c c
k a a k a a k a a
= 2
1 1 1
( )
n n
c
k a a a a a a
= 1
( )
n c
k a a
Bài : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + ….+ n2 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + … + n3
(2)Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) A =
1 1 1 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
b)
12 10
6 9 3
2
2 25 49 125.7 14
B
HD : A =
9 28
; B =
7
Bài 4: 1, Tính: P =
1 1 2
2003 2004 2005 2002 2003 2004
5 5 3
2003 2004 2005 2002 2003 2004
2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203
Bài 5: a) TÝnh A=(1,5+1−0,75
2,5+5
3−1,25
+
0,375−0,3+
11+ 12
−0,625+0,5−
11− 12 )
:1890 2005+115
b) Cho B=1
3+ 32+
1 33+
1 34+ +
1 32004+
1 32005
Chøng minh r»ng B<1
2
Bài 6: a) Tính : (
131 4−2
5 27 −10
5 6).230
1 25+46
3
(1 10 +
10 ):(12
1 3−14
2 7)
b) TÝnh
1 1
2 2012 2011 2010 2009
1 2011
P
HD: Nhận thấy 2011 + = 2010+2 = …
2012 2010
1 1 2011
1 2011
MS
2012 2012
2012 2011
2 2011
=
1 1
2012( ) 4 2012
c)
A=
(1+2+3+ +99+100)(1
2− 3− 7−
9)(63 1,2−21 3,6) 1−2+3−4+ +99−100
(3)A=[
111 31
3
7−(15−6 19) 45 6+
6(12−5 3)
.(−114 93)]
31 50 b) Chøng tá r»ng: B=1−
22− 32−
1
32− .− 20042>
1 2004
Bi 8: a) Tính giá trị cđa biĨu thøc:
2,75¿2
[(1125)
2
:0,88+3,53]
−¿:13
25
¿
A=(
81,624 : 44
3−4,505)
2
+1253
4
¿ b) Chøng minh r»ng tæng:
S=
22−
1 24+
1 26− +
1 24n −2−
1
24n+ + 22002−
1 22004<0,2
Chun đề 2: Bài tốn tính chất dãy tỉ số nhau: 1 Kiến thức vận dụng :
-
a c
a d b c b d
-Nếu
a c e b d f
a c e a b e b d f b d f
với gt tỉ số dều có nghĩa - Có
a c e
b d f = k Thì a = bk, c = d k, e = fk
2 Bài tập vận dụng
Dạng Vận dụng tính chất dãy tỉ số để chứng minh đẳng thức
Bài 1: Cho
a c
c b Chứng minh rằng:
2 2 a c a b c b
HD: Từ
a c
c b suy c a b
2 2
2 2
a c a a b b c b a b
= ( ) ( ) a a b a b a b b
Bài 2: Cho a,b,c R a,b,c thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng:
a c =
2 ( 2012 ) ( 2012 )
a b
b c
HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac
(4)(b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2
= c( a + 2.2012.b + 20122.c)
Suy : a c =
2 ( 2012 ) ( 2012 )
a b
b c
Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu ab=c
d th×
5a+3b
5a −3b=
5c+3d
5c −3d HD : Đặt
a c k
b d a = kb, c = kd
Suy :
5 (5 3) 5 (5 3)
a b b k k
a b b k k
5 (5 3) 5 (5 3)
c d d k k
c d d k k
Vậy 55a −a+33bb=5c+3d
5c −3d
Bài 4: BiÕt
2 2 a b ab c d cd
với a,b,c, d 0 Chứng minh : a c
b d hoặc a d b c
HD : Ta có
2 2 a b ab c d cd
= 2 2 2 2
ab a ab b cd c cd d
2 ( ) ( ) ( )
a b a b c d c d
(1)
2 2 a b ab c d cd
= 2 2 2 2
ab a ab b cd c cd d
2 ( ) ( ) ( )
a b a b c d c d
(2)
Từ (1) (2) suy :
2
( ) ( )
a b a b a b a b c d c d a b b a c d c d
c d d c
Xét TH đến đpcm
Bài : Cho tØ lÖ thøc ab=c
d Chøng minh r»ng: ab
cd=
a2−b2
c2− d2 vµ ( a+b
c+d)
=a
+b2
c2+d2
HD : Xuất phát từ ab=c
d biến đổi theo
hướng làm xuất
2 2 2
2
2 2 2 ( )
ab a b a c a b a b
cd c d b d c d c d
Bài : Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2a+b+c+d
a =
a+2b+c+d
b =
a+b+2c+d
c =
a+b+c+2d
d TÝnh M=a+b
c+d+
b+c
d+a+
c+d
a+b+
d+a
b+c
HD : Từ 2a+ba+c+d=a+2b+c+d
b =
a+b+2c+d
c =
a+b+c+2d
d Suy :
2 2
1 1
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
(5)
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
Nếu a + b + c + d = a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) M=a+b
c+d+
b+c
d+a+
c+d
a+b+
d+a
b+c = -4
Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d M=a+b
c+d+
b+c
d+a+
c+d
a+b+
d+a
b+c =
Bài : a) Chøng minh r»ng:
NÕu x
a+2b+c=
y
2a+b −c=
z
4a −4b+c
Th× a x+2y+z=
b
2x+y − z=
c
4x −4y+z
b) Cho: a b=
b c=
c d
Chøng minh: (a+b+c b+c+d)
3 =a
d HD : a) Từ
x a+2b+c=
y
2a+b −c=
z
4a −4b+c
2 4
a b c a b c a b c
x y z
2 2(2 ) 4
2
a b c a b c a b c a
x y z x y z
(1)
2( ) (2 ) 4
2
a b c a b c a b c b
x y z x y z
(2)
4( ) 4(2 ) 4
4 4
a b c a b c a b c c
x y z x y z
(3)
Từ (1) ;(2) (3) suy : x+2ay+z= b
2x+y − z=
c
4x −4y+z
Bài 8: Cho y x
+z+t=
y z+t+x=
z t+x+y=
t x+y+z
chøng minh r»ng biểu thức sau có giá trị nguyên P=x+y
z+t +
y+z
t+x+
z+t
x+y+
t+x
y+z
HD Từ
x y+z+t=
y z+t+x=
z t+x+y=
t
x+y+z
y z t z t x t x y x y z
x y z t
1 1
y z t z t x t x y x y z
x y z t
x y z t z t x y t x y z x y z t
x y z t
Nếu x + y + z + t = P = -
Nếu x + y + z + t x = y = z = t P = 4 Bài : Cho số x , y , z khác thỏa mãn điều kiện :
y z x z x y x y z
x y z
(6)Hãy tính giá trị biểu thức : B = 1
x y z
y z x
Bài 10 : a) Cho số a,b,c,d khác Tính T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 Biết x,y,z,t thỏa mãn:
2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010
2 2 2 2
x y z t x y z t
a b c d a b c d
b) Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f
Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và
14 22 a b ;
11 13 c d ;
13 17 e f
c) Cho số a, b, c thỏa mãn : 2009 2010 2011
a b c
Tính giá trị biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 Một số tương tự
Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d
a b c d
TÝnh M=a+b
c+d+
b+c
d+a+
c+d
a+b+
d+a
b+c
Bài 12: Cho số x , y , z, t khác thỏa mãn điều kiện :
y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt
x y z t
( n số tự nhiên) x + y + z + t = 2012 Tính giá trị biểu thức P = x + 2y – 3z + t
Dạng : Vận dụng tính chất dãy tỉ số để tìm x,y,z,…
Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết :
1+3y 1+5y 1+7y
12 5x 4x
HD : Áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã:
1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
=>
2
5 12
y y
x x
với y = thay vào không thỏa mãn Nếu y khác
=> -x = 5x -12
=> x = Thay x = vào ta đợc:
12 y y
y
=>1+ 3y = -12y => = -15y => y =
1 15
VËy x = 2, y = 15
thoả mãn đề
Bài : Cho
a b c
(7)Tính b, c
HD : từ
a b c a b c b c a a b c
a = b = c = 2012 Bài : Tìm số x,y,z biết :
1
y x x z x y
x y z x y z
HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số nhau:
1 2( )
2
( )
y x x z x y x y z
x y z x y z x y z
(vì x+y+z 0)
Suy : x + y + z = 0,5 từ tìm x, y, z
Bài : Tìm x, biết rằng:
1
18 24
y y y
x
HD : Từ
1 2(1 ) (1 ) (1 )
18 24 2.18 24 18 24
y y y y y y y y
x x
Suy :
1
1 6x x
Bài 6: T×m x, y, z biÕt: z x
+y+1=
y x+z+1=
z
x+y −2=x+y+z (x, y, z )
HD : Từ
1
1 2( )
x y z x y z
x y z
z y x z x y x y z
Từ x + y + z =
1
2 x + y =
1
2- z , y +z =
2- x , z + x =
2 - y thay vào đẳng thức
ban đầu để tìm x
Bài : T×m x, y, z biÕt 38x=3y
64 =
3z
216 vµ 2x2+2y2− z2=1
Bài : Tìm x , y biết :
2 4
5
x y x y
x
Chun đề 3: Vận dụng tính chất phép tốn để tìm x, y 1 Kiến thức vận dụng :
- Tính chất phép tốn cộng, nhân số thực - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế
- Tính chất giá trị tuyệt đối : A 0 với A ;
, , A A A A A
- Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :
A B A B dấu ‘=’ xẩy AB 0; A B A B dấu ‘= ‘ xẩy A,B >0
( 0)
A m
A m m
A m ; ( ) A m
A m hay m A m
A m
(8)- Tính chất lũy thừa số thực : A2n với A ; - A2n 0 với A Am = An m = n; An = Bn A = B (nếu n lẻ ) A = B ( n chẵn)
0< A < B An < Bn ; 2 Bài tập vận dụng
Dạng 1: Các tốn bản Bài 1: Tìm x biết
a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 b)
1
2011 2010 2009 2008 x x x x
HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 x( + + + ….+ 2011) = 2012.2013
2011.2012
2012.2013
x
2.2013 2011 x
b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ
1
2011 2010 2009 2008 x x x x
( 2012) 2011 ( 2012) 2010 ( 2012) 2009 ( 2012) 2008
2011 2010 2009 2008
x x x x
2012 2012 2012 2012 2011 2010 2009 2008
1 1
( 2012)( )
2011 2010 2009 2008
1 1
2 : ( ) 2012
2011 2010 2009 2008
x x x x
x x
Bài Tìm x nguyên biết
a)
1 1 49
1.3 3.5 5.7 (2x 1)(2x1)99
b) 1- + 32 – 33 + ….+ (-3)x =
1006
9
4
Dạng : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối
Dạng : x a x b x a x b x c
Khi giải cần tìm giá trị x để GTTĐ khơng, so sánh giá trị đó để chia khoảng giá trị x ( so sánh –a –b)
(9)a) x 2011 x 2012 b) x 2010 x 2011 2012 HD : a) x 2011 x 2012 (1) VT = x 2011 0, x nên VP = x – 2012 0 x2012(*)
Từ (1)
2011 2012 2011 2012( ô ) 2011 2012 (2011 2012) :
x x v ly
x x x
Kết hợp (*) x = 4023:2 b) x 2010 x 2011 2012 (1)
Nếu x 2010 từ (1) suy : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy)
Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay = 2012 (loại) Nếu x 2011 từ (1) suy : x – 2010 + x – 2011 = 2012 x = 6033:2(lấy)
Vậy giá trị x : 2009 :2 6033:2 Một số tương tự:
Bài : a) T×m x biÕt |x −1|+|x+3|=4 b) T×m x biÕt: |x2
+|6x −2||=x2+4
c) T×m x biÕt: |2x+3|−2|4− x|=5
Bài : a)Tìm giá trị x để: |x+3|+|x+1|=3x
b) Tìm x biết: 2x x 2 x Bài : tìm x biết :
a) x1 4 b) x 2011 2012
Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối
Bài : a) Tìm x ngyên biết : x1 x 3 x x 8 b) Tìm x biết : x 2010 x 2012 x 2014 2
HD : a) ta có x1 x 3 x x x x x 5 x 8(1) Mà x1 x x 5 x 8 suy ( 1) xẩy dấu “=”
Hay
1
3
3
x
x x
x nguyên nên x {3;4;5}
b) ta có x 2010 x 2012 x 2014 x 2010 2014 x x 2012 2(*) Mà x 2010 x 2012 x 2014 2 nên (*) xẩy dấu “=”
Suy ra:
2012
2012 2010 2014
x
x x
Các tương tự
Bài : Tìm x nguyên biết : x1x x100 2500 Bài : Tìm x biết x 1 x2 x100 605x
Bài : Tìm x, y thoả mÃn: x x y 3 x = 3
(10)HD : ta có x 2006y 0với x,y x 2012 0 với x
Suy : x 2006y x 2012 0 với x,y mà x 2006y x 2012 0
0
2006 2012 2012,
2012 x y
x y x x y
x Bài : T×m số nguyên x thoả mÃn
2004 x x10 x101 x990 x1000
Dạng chứa lũy thừa số hữu tỉ Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :
a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650 5x = 25 x = 2
b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162 3x – 1 = 27 x = 4 Bài : Tìm số tự nhiên x, y , biết:
a) 2x + 1 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y HD : a) 2x + 1 3y = 12x
2 1 3 x y
x y x
x x
Nhận thấy : ( 2, 3) = x – = y-x = x = y = 1 b) 10x : 5y = 20y 10x = 102y x = 2y
Bài : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :
a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256
HD: a) 2m + 2n = 2m +n 2m + n – 2m – 2n = 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1 (2m -1)(2n – 1) =
2 1
1 1
n
m m n
b) 2m – 2n = 256 2n ( 2m – n - 1) = 28 Dễ thấy m n, ta xét trường hợp :
+ Nếu m – n = n = , m = 9
+ Nếu m – n 2m – n – số lẻ lớn 1, VT chứa TSNT khác 2, mà VT chứa TSNT suy TH không xẩy : n = , m =
Bài : Tìm x , biết :
1 11
7 x x
x x
HD : 11 10
7
7
x x x x x x x
1 10
8
1
10
7
1 ( 7)
7
( 7)
7
10 x x x x x x x x x
x x
(11)Bài : Tìm x, y biết : x 2011y (y1)2012 0
HD : ta có x 2011y 0 với x,y (y – 1)2012 với y Suy : x 2011y (y1)20120 với x,y Mà x 2011y (y1)20120
2011
2011, 1
x y
x y
y
Các tập tương tự : Bài : Tìm x, y biết :
a) x5 (3 y 4)20120 b) (2x1)2 2y x 12 5.2
Chuyên đề 4: Giá trị nguyên biến , giá trị biểu thức : Các kiến thức vận dụng:
- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
- Phân tích TSNT, tính chất số nguyên tố, hợp số , số phương - Tính chất chia hết tổng , tích
- ƯCLN, BCNN số Bài tập vận dụng :
* Tìm x,y dạng tìm nghiệm đa thức Bài 1: a) Tìm số nguyên tố x, y cho: 51x + 26y = 2000 b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: x −2004¿2=23− y2
7¿
c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = d) Tìm số nguyên tè tho¶ m·n : x2-2y2=1
HD: a) Từ 51x + 26y = 2000 17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) 3,17 số NT nên x 2 mà x NT x = Lại có 1000 – 13y 51 , 1000 – 13y > y NT y =
b) Từ x −20047¿2=23− y2
¿ (1)
7(x–2004)2 0 23 y2 0 y223 y{0, 2,3, 4}
Mặt khác số NT 13 y27 y = y = thay vào (1) suy : x= 2005 ,y =4 x = 2003, y =
c) Ta có xy + 3x - y = ( x – 1)( y + 3) =
1 3 x
y
hoặc
1 3 x
y
hoặc
1 3 x
y
1 1 x
y
d) x2-2y2=1 x21 2 y2 (x1)(x1) 2 y2
VP = 2y2 chia hết cho suy x > , mặt khác y nguyên tố
1
1
x y x
x y y
(12)Bài a) Tìm số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = b) Tìm x y, biết: 25 y2 8(x 2012)2
HD : a) Từ x – y + 2xy = 2x – 2y + 2xy = (2x - 1)( 2y + 1) = 13
b) Từ 25 y2 8(x 2012)2 y2 25 25 – y2 chia hết cho , suy y = hoặc y = y = , từ tìm x
Bi a) Tìm giá trị nguyên dơng x vµ y, cho:
1 1 x y
b) Tìm số a, b, c nguyên dơng thoả mÃn : a3
+3a2+5=5b vµ a+3=5c
HD : a) Từ
1 1
x y 5 ( x + y) = xy (*)
5
5 x xy
y
+ Với x chia hết cho , đặt x = q ( q số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:
5q + y = qy 5q = ( q – ) y Do q = không thỏa mãn , nên với q khác ta có
5
5
1
q
y Z q
q q
Ư(5) , từ tìm y, x
b) a3
+3a2+5=5b a2 ( a +3) = 5b – , mà a+3=5c a2 5c = 5( 5b – – 1)
1
1
5 b
c a
Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( c >1 5b – - khơng chia hết cho a không số nguyên.) Với c = 1 a = và b = 2
Bài 4: Tìm cặp số nguyên tố p, q thoả m·n:
2 2
5 p 2013 p q
HD :
2
2 2 2
5 p 2013 p q 2013 q 25p 25p 2013 q 25 (25p p 1)
Do p nguyên tố nên 2013 q2252 2013 – q2 > từ tìm q Bài : Tìm tất số nguyên dơng n cho: 2n−1 chia hÕt cho
HD : Với n < 2n khơng chia hết cho 7
Với n 3 n = 3k n = 3k + n = 3k + ( k N *)
Xét n = 3k , 2n -1 = 23k – = 8k – = ( + 1)k -1 = 7.A + -1 = 7.A 7
Xét n = 3k +1 2n – = 23k+1 – = 2.83k – = 2.(7A+1) -1 = 7A + không chia hết cho
Xét n = 3k+2 2n – = 23k +2 -1 = 4.83k – = 4( 7A + 1) – = A + không chia hết cho Vậy n = 3k với k N *
* Tỡm x , y để biểu thức cú giỏ trị nguyờn, hay chia hết: Bài Tỡm s nguyờn m :
a) Giá trị biểu thức m -1 chia hết cho giá trị cđa biĨu thøc 2m + b) |3m−1|<3
HD : a) Cách : Nếu m >1 m -1 < 2m +1 , suy m -1 không chia hết cho 2m +1 Nếu m < -2 m1 2m1 , suy m -1 khơng chia hết cho 2m +1
Vậy m { -2; -1; 0; 1}
Cách : Để m1 2 m 1 2(m1) 2 m 1 (2m1) 2 m 1 2m1
b) |3m−1|<3 - < 3m – <
0
2
1
3
m m
m
(13)Bài a) Tìm x nguyên để √x+1 chia hết cho √x −3
b) Tìm x∈Z để A Z tìm giá trị A =
1−2x
x+3 HD: A =
1−2x x+3 =
1 2( 3)
3
x
x x
Bài 3: Tìm x nguyên để
2012 1006
x x
HD :
2012 1006
x x
=
2(1006 1) 2009 2009
1006 1006
x
x x
để
2012 1006
x x
2009 1006 x1 x số CP
Với x >1 x số CP 1006 x 1 2012 2009 suy 2009 không chia hết cho 1006 x1
Với x = thay vào không thỏa mãn Với x = 2009 :1006 x 1 2009
Chuyên đề : Giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức: 1.Các kiến thức vận dụng :
* a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 với a,b
* a2 – ab + b2 = ( a – b)2 với a,b
*A2n với A, - A2n với A
* A 0, A , A 0, A
* A B A B ,A B, dấu “ = ” xẩy A.B 0
* A B A B ,A B, dấu “ = ” xẩy A,B 0 Bài tập vận dụng:
* Dạng vận dụng đẳng thức : a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 với a,b
Và a2 – ab + b2 = ( a – b)2 với a,b
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ đa thức sau: a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012
b) Q(x) = x2 + 100x – 1000
HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010 Do ( x - 1)2 với x , nên P(x) 2010 Vậy Min P(x) = 2010 ( x - 1)2 = hay x = 1
b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500 - 3500 với x Vậy Min Q(x) = -3500
Từ ta có tốn tổng quát : Tìm GTNN đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0) HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x.2
b a +
2 ( )
2 b
a ) + ( c - b
a)
= a(
2
2 4
) ( ) ,
2 4
b ac b ac b
x x
a a a
Vậy Min P(x) =
2
4 ac b
a
x = b
a
(14)Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = - a2 + 3a + 4
b) B = x – x2
HD : a) A = - a2 + 3a + =
2 3 25
( ( ) ) (4 ) ( )
2 4
a a a
Do
3 ( ) 0,
2 a a nên A 25 , a
Vậy Max A =
25
4 a =
c) B = 2x x (x2 .1 ) 1x (x1)21 Do (x1) 0, x B 1, x Vậy Max B = x =
Bài : Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) P =
2012 2013
x x b) Q =
2012 2012 2013 2011 a a
* Dạng vận dụng A2n với A, - A2n với A
Bài : Tìm GTNN biểu thức : a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012
b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012
HD : a) (x )y 2 0, x y, (y 2012)2012 0, y suy : P 0 với x,y Min P =
2 4024
2012 2012
x y x
y y
b) Ta có (x y 3)4 0 ,x y (x )y 0 ,x y suy : Q 2012 với x,y Min Q = 2012
2
2
( 3)
1 ( )
x y x
y x y
Bài : Tìm GTLN R =
4
2013
(x 2) (x y ) 3
Bài : Cho ph©n sè: C=3|x|+2
4|x|−5 (x Z)
a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn b) Tìm x Z để C số tự nhiên
HD :
3 4.(3 2) 12 23
.(1 )
4 3.(4 5) 12 15 12 15
x x x
C
x x x x
C lớn
23
12 x 15 lớn 12 x 15 nhỏ 12 x 15 0 x2
Vậy Max C =
3 23 (1 )
4 3 x = 2
Bài : Tìm số tự nhiên n để phân số 72n −n−83 có giá trị lớn
HD : Ta có
7 2(7 8) 14 16
(1 )
2 7(2 3) 14 21 14 21
n n n
n n n n
Để
7n−8
2n −3 lớn
14n 21 lớn 14n 21 0 14n – 21 có giá trị nhỏ
21 14 n
(15)* Dạng vận dụng A 0, A , A 0, A
A B A B ,A B, dấu “ = ” xẩy A.B 0
A B A B ,A B, dấu “ = ” xẩy A,B 0 Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức
a) A = ( x – 2)2 + y x + 3 b) B =
2011 2012 x 2010
HD: a) ta có (x 2)20 với x y x 0 với x,y A với x,y Suy A nhỏ =
2
( 2)
2
x x
y y x
b) Ta có x 2010 0 với x 2012 x 2010 2012 với x
B
2011 2012 B
với x, suy Min B =
2011
2012 x = 2010
Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A x 2011 x 2012
b) B x 2010 x 2011 x 2012 c) C = x1 x x100
HD : a) Ta có A x 2011 x 2012 = x 2011 2012 x x 2011 2012 x 1
với x A1 với x Vậy Min A = Khi (x 2011)(2012 x) 0 2011 x 2012
b) ta có B x 2010 x 2011 x 2012 (x 2010 2012 x) x 2011 Do x 20102012 x x 2010 2012 x 2 với x (1)
Và x 2011 0 với x (2)
Suy B (x 2010 2012 x) x 2011 2 Vậy Min B = BĐT (1) (2)
xẩy dấu “=” hay
( 2010)(2012 )
2011 2011
x x
x x
c) Ta có
1 100
x x x = (x1 100 x) ( x 99 x) ( x 50 56 x)
1 100 99 50 56
x x x x x x
= 99 + 97 + + = 2500
Suy C 2050 với x Vậy Min C = 2500
( 1)(100 ) 100 ( 2)(99 ) 99 ( 50)(56 ) 50 56
x x x
x x x
x x x
50 x 56
(16)1.Kiến thức vận dụng
* Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
* Chữ số tận 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n
* Tính chất chia hết tổng Bài tập vận dụng:
Bài : Chứng minh : Với số nguyên dương n :
2
3n 2n 3n 2n
chia hết cho 10
HD: ta có 3n2 2n23n 2n= 3n23n 2n2 2n
=3 (3n 21) (2 n 21)
=3 10 10 2n n n n110
= 10( 3n -2n)
Vậy 3n2 2n23n 2n 10 với n số nguyên dương.
Bài : Chứng tỏ rằng:
A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 số chia hết cho 100 HD: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : + 25 = 25( 42005 – + 1) = 25 42005 chia hết cho 100
Bài : Cho m, n N* p số nguyên tố thoả mãn: p
m−1 =
m+n
p (1)
Chứng minh : p2 = n +
HD : + Nếu m + n chia hết cho p p m( 1) p số nguyên tố m, n N* m = m = p +1 từ (1) ta có p2 = n + 2
+ Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1) (m + n)(m – 1) = p2 Do p số nguyên tố m, n N* m – = p2 m + n =1
m = p2 +1 n = - p2 < (loại) Vậy p2 = n + 2
Bài 4: a) Sè A=101998−4 cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? b) Chøng minh r»ng: A=3638+4133 chia hÕt cho
HD: a) Ta có 101998 = ( + 1)1998 = 9.k + ( k số tự nhiên khác không)
= 3.1 +
Suy : A=101998−4 = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho , không
chia hết cho
b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + ( k N*) 4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – ( q N*)
Suy : A=3638+4133 = 7k + + 7q – = 7( k + q) 7
Bài :
a) Chøng minh r»ng: 3n+2
−2n+4
+3n+2n chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyên dơng
b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c ⋮ 17 nÕu a - 11b + 3c ⋮ 17 (a, b, c Z)
Bài : a) Chøng minh r»ng: 3a+2b⋮17⇔10a+b⋮17 (a, b Z )
b) Cho ®a thøc f(x)=ax2+bx+c (a, b, c nguyªn)
CMR f(x) chia hết cho với giá trị x a, b, c chia hết cho
HD a) ta có 17a – 34 b 17 3a + 2b 17 17a 34b3a2 17b 2(10a16 ) 17b
(17)f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , f(1) f(-1) chia hết cho 3b b3 ( 2, 3) = 1
f(1) 3 a b c 3 b c chia hết cho a3 Vậy a, b, c chia hết cho
Bài : a) Chøng minh r»ng 2006 10 53
9
lµ mét sè tù nhiên
b) Cho 2n+1 số nguyên tố (n > 2) Chứng minh 2n1 hợp số
HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- chia hêt cho v
2n+1 số nguyên tố (n > 2) suy 2n -1 chia hết cho hay 2n -1 hợp số
Chuyên đề : Bất đẳng thức 1.Kiến thức vận dụng
* Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 <… < an n a1 < a1 + a2 + …+ an < nan
1 1 1
n n
na a a a na
* a(a – 1) < a2 < a( a+1)
1 1
( 1) ( 1)
a a a a a
* a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 , * a2 – ab + b2 = ( a – b)2 với a,b 2.B ài tập vận dụng
Bài 1: Cho a, b, c > Chøng tá r»ng: M= a
a+b+
b b+c+
c
c+a không số nguyên
HD : Ta có
a b c a b c a b c
M
a b b c c a a b c c a b a b c a b c
M 1
Mặt khác
( ) ( ) ( )
a b c a b b b c c c a a
M
a b b c c a a b b c c a
( )
b c a
a b b c c a
= – N Do N >1 nên M < 2 Vậy < M < nên M không số nguyên
Bài Chứng minh : a b 2 ab (1) , a b c 33 abc (2) với a, b, c 0
HD : a b 2 ab (a b )2 4ab a22ab b 4ab a2 2ab b 2 0 (a b )2 0(*) Do (*) với a,b nên (1)
(18)a)
1 (a b)( )
a b
(1) b)
1 1 (a b c)( )
a b c
(2) HD : a) Cách : Từ
2
1
(a b)( ) (a b) 4ab (a b) a b
(*) Do (*) suy (1)
Cách 2: Ta có a b 2 ab
1 a b ab
1
(a b)( ) ab
a b ab
Dấu “ =” xẩy a = b
b) Ta có :
1 1
(a b c)( ) b c a c a b (a b) (b c) (a c)
a b c a b c b a c b c a
Lại có 2; 2;
a b b c a c
b a c b c a
Suy
1 1 (a b c)( )
a b c
3 2 9 Dấu “ = ” xẩy a = b = c
Bài : a) Cho z, y, z lµ số dơng Chứng minh rằng: x
2x+y+z+
y
2y+z+x+
z
2z+x+y≤
3
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab+bc+ca≤0
HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm ab+bc+ca≤0
Ch uyên đề 8 : Các toán đa thức ẩn
Bài : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0)
Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = , P( 2) = 120 Tính P(3) HD : ta có P(1) = 100 a + b + c + d = 100
P(-1) = 50 - a + b – c + d = 50 P( 0) = d = 1
P(2) = 8a + 4b + c + d = 120
Từ tìm c, d, a XĐ P(x)
Bài : Cho f(x)=ax2+bx+c với a, b, c số hữu tỉ
Chøng tá r»ng: f(−2).f(3)≤0 BiÕt r»ng 13a+b+2c=0
HD : f( -2) = 4a – 2b + c f(3) = 9a + 3b + c f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c) Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c =
( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)
Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2 0
Bài Cho ®a thøc f (x)=ax2+bx+c với a, b, c số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên
(19)Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên c , a + b + c 4a + 2b + c nguên
a + b 4a + 2b = (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên 2a , 2b nguyên Bài Chøng minh r»ng: f(x) ax3+bx2+cx+d có giá trị nguyên với x nguyên vµ chØ 6a, 2b, a + b + c d số nguyên
HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d
Nếu f(x) có giá trị nguyên với x d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d số
nguyên Do d nguyên a + b + c nguyên (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên 2b nguyên 6a nguyên Chiều ngược lại cm tương tự
Bài : Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = 3+4x+x
2 ¿2005 3−4x+x2¿2004.¿
¿
HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x2 + … + a4018x4018
Khi A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018 A(1) = nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 =
Bài : Cho x = 2011 Tính giá trị biểu thức:
2011 2012 2010 2012 2009 2012 2008 2012 2012 1
x x x x x x
HD : Đặt A = x2011 2012x20102012x2009 2012x2008 2012 x22012x1 x2010(x 2011) x2009(x 2011) x2008(x 2011) x x( 2011) x
x = 2012 A = 2011
Chuyên đề Các toán thực tế 1 Kiến thức vận dụng
- Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận :
Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x : y = k.x
3
1
1
n n
y y
y y
k
x x x x ( k hệ số tỉ lệ )
- Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch :
Đại lượng y đại lượng x gọi hai đại lượng tỉ lệ nghịch : x.y = a x y1 1x y2 x y3 x yn n a ( a hệ số tỉ lệ )
- Tính chất dãy tỉ số Bài tập vận dụng *Phương pháp giải :
- Đọc kỹ đề , từ xác định đại lượng toán - Chỉ đại lượng biết , đại lượng cần tìm
- Chỉ rõ mối quan hệ đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch)
(20)Bài : Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây
Bài : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng đợc nh
Bài : Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút
Tính thời gian tơ từ A đến B
Bài : Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3:
Tính quãng đờng ngời tới lúc gặp ?
Bài : Ba đội công nhân làm cơng việc có khối lượng Thời gian hồn thành cơng việc đội І, ІІ, ІІІ 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ người suất công nhân Hỏi đội có cơng nhân ?
Bài : Ba ô tô khởi hành từ A phía B Vận tốc tơ thứ ô tô thứ hai Km/h Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai thứ ba hết quãng đường AB : 40 phút,
5
8 ,
9 Tính vận tốc tơ ?
PHẦN HÌNH HỌC I. Một số phương pháp chứng minh hình hoc 1.Chứng minh hai đoạn thẳng nhau:
P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng đó
- Chứng minh hai đoạn thẳng hai cạnh bên tam giác cân - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực đoạn thẳng - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng
2.Chứng minh hai góc nhau:
P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai góc đó
- Chứng minh hai góc hai góc đáy tam giác cân
- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc cặp góc so le ,đồng vị
- Dựa vào tính chất đường phân giác tam giác Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
P2 : - Dựa vào số đo góc bẹt ( Hai tia đối nhau)
(21)- Dựa vào tính chất đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao Chứng minh hai đường thẳng vng góc
P2 : - Tính chất tam giác vng, định lí Py – ta – go đảo
- Qua hệ đường thẳng song song đường thẳng vng góc - Tính chất đường trung trực, ba đường cao
Chứng minh đường thẳng đồng quy( qua điểm ) P2 : - Dựa vào tính chất đường tam giác
So sánh hai đoạn thẳng, hai góc :
P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào tam giác từ vận định lí quan
hệ cạnh góc đối diện tam giác , BĐT tam giác
- Dựa vào định lí quan hệ đường xiên hình chiếu, đường xiên đường vng góc
II. Bài tập vận dụng
Bài : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giỏc ú hai on
thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Chøng minh: DC = BE vµ DC BE
HD:
Phân tích tìm hướng giải
*Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) Có : AB = AD, AC = AE (gt)
Cần CM : DAC BAE Có : BAE900BAC DAC * Gọi I giao điểm AB CD Để CM : DC BE cần CM I2B1900
Có I1I2( Hai góc đối đỉnh)
0 1 90 I D Cần CM B1 D ( ∆ABE = ∆ ADC)
Lời giải
a) Ta có BAE 900BAC DAC DAC BAE , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt) Suy ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c) DC = BE
b) Gọi I giao điểm AB CD Ta có I1I2( Hai góc đối đỉnh) ,
0 1 90
I D ( ∆ ADI vng A) B1D1 ( ∆ABE = ∆ ADC) I2B1900 DC BC
*Khai thác 1:
Từ ta thấy : DC = BE vµ DC BE ∆ABD ∆ ACE vng cân, có
∆ABD ∆ ACE vuông cân , Từ B kẻ BK CD tại D ba điểm E, K, B thẳng hàng
Ta có tốn 1.2
Bài 1: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai on
thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC T B kẻ BK CD K
Chứng minh ba điểm E, K, B thẳng hàng
HD : Từ chứng minh DC BE mà BK CD K suy ba điểm E, K, B
thẳng hàng
(22)Từ 1.1 gọi M trung điểm DE kẻ tia M A MA BC từ ta có
toán 1.2
Bài 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn
th¼ng AD vuông góc AB; AE vuông góc b»ng AC Gọi M trung điểm
DE kẻ tia M A Chứng minh : MA BC
Phân tích tìm hướng giải
HD: Gọi H giao điểm tia MA BC
Để CM MA BC ta cần CM ∆AHC vuông H
Để CM ∆AHC vuông H ta cần tạo tam giác
vuông ∆AHC
Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN Kẻ DQ AM tại Q
Cần CM ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)
CM: ND = AC , N1ACB ,BAC ADN
CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c)
Có AD = AB (gt) Cần CM : ND = AE ( = AC) BAC ADN
+ Để CM ND = AE
CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) + Để CM BAC ADN
EAD ADN 1800 vìEAD BAC 1800
CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA)
Lời giải
Gọi H giao điểm tia MA BC , Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN kẻ DQ AM tại Q
Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) :
AM = MN ; MD = ME (gt) EMA DMN ( hai góc đối đỉnh)
DN = AE ( = AC) AE // DN N1 MAE ( cặp góc so le )
EAD ADN 1800( cặp góc phía) mà EAD BAC 1800 BACADN Xét ∆ABC ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN BACADN ( chứng minh
(23)Xét ∆AHC ∆DQN có : AC = DN , BACADN N 1ACB
∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ∆AHC vuông H hay MA BC
* Khai thác toán 1.3
+ Từ 1.2 ta thấy với M trung điểm DE tia MABC , ngược lại
nếu AH BC tại H thỡ tia HA qua trung điểm M DE , ta cú toỏn 1.4 Bài 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác ú hai on
thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Gi H chân đường
vng góc kẻ từ A đến BC Chứng minh tia HA qua trung điểm đoạn
thẳng DE
HD : Từ 1.2 ta có định hướng giải sau:
Kẻ DQ AM tại Q, ERAM tại R
Ta có : + DAQ HBH ( Cùng phụ BAH )
AD = AB (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) DQ = AH (1)
+ACH EAR ( phụ CAH )
AC = AE (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) ER = AH ( 1) Từ (1) (2) ER = DQ
Lại có M M ( hai góc đối đỉnh )
∆QDM = ∆REM ( g.c.g) MD = ME hay M trung điểm DE
+ Từ 1.3 ta thấy với M trung điểm DE tia MADE , ngược lại
nếu H trung điểm BC tia KA vng góc với DE, ta có tốn 1.4
Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai on
thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Gi H trung điểm
BC
Chứng minh tia HA vng góc với DE
HD : Từ 1.3 ta dễ dạng giải toán 1.4
Trên tia AH lấy điểm A’ cho AH = HA’ Dễ CM ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g)
A’B = AC ( = AE) HAC HA B'
AC // A’B BAC ABA ' 180 0 ( cặp góc phía) Mà DAE BAC 1800 DAE ABA'
(24) '
DAEABA ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c)
ADEBAA ' mà ADE BAA ' 90 ADE MDA 900 Suy HA vng góc với DE
Bài : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đờng thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC lần lợt M, N Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) §êng thẳng BC cắt MN trung điểm I MN
c) Đờng thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC
* Phân tích tìm lời giải
a) Để cm DM = EN
Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g)
Có BD = CE (gt) , D E 900 ( MD, NEBC)
BCA CBA ( ∆ABC cân A)
b) Cm Đờng thẳng BC cắt MN trung ®iĨm I cđa MN Cần cm IM = IN
Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g)
c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC , O giao điểm AH với
đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I Cần cm O điểm cố định Để cm O điểm cố định
Cần cm OC AC
Cần cm OAC OCN 900
Cần cm : OBA OCA OBM OCM
Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)
*Khai thác 2
Từ ta thấy BM = CN , ta phát biểu lại toán sau:
Bi 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, tia AC lÊy ®iĨm N cho BM = CN Đường thẳng BC cắt MN I
(25)b) Đờng thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay
đổi
lời giải:
Từ lời giải để giải 2.1 ta cần kẻ MDBC ( D BC)
NE BC ( EBC)
Bài : Cho ∆ABC vuông A, K trung điểm cạnh BC Qua K kẻ đường thẳng vng góc với AK , đường thẳng cắt đường thẳng AB AC D E Gọi I trung điểm DE
a) Chứng minh : AI BC
b) Có thể nói DE nhỏ BC khơng ? sao?
*Phân tích tìm lời giải
a) Gọi H giao điểm BC AI
Để cm AI BC Cần cm A1ACK 900
Để cm A1ACK 900
Có AEK EAK 900
cần cm A1AEK ACK CAK
Cần cm ∆AIE cân I ∆AKC cân K b) Để so sánh DE với BC
cần so sánh IE với CK ( 2.IE = DE, 2CK = BC)
So sánh AI với AK ( AI = IE, AK = CK) Có AI AK
Lời giải :
a)Dễ dàng chứng ∆AIE cân I ∆AKC cân K cần cm A1AEK
ACK CAK mà AEK EAK 900 A1ACK 900 AI BC
b) ta có BC = CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE)
Mà AI AK DE BC , DE = BC K trùng với I ∆ABC vng
cân A
(26)a)
2
2
4
EF AH AE
b) 2BME ACB B . c) BE = CF
lơì giải
Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vng AFH, ta có: HF2 + AH2 = AF2
Mà AHE = AHF (g-c-g) nên HF =
1
2EF; AF = AE
Suy ra:
2
2
4 EF
AH AE
Tõ AEH AFH Suy E1F
XÐt CMF cã ACB lµ gãc ngoµi suy CMF ACB F
BME cã E1 lµ gãc ngoµi suy BME E 1 B vËy CMF BME (ACB F ) ( E1 B )
hay 2BME ACB B (®pcm).
Từ AHEAHF Suy AE = AF E1 F
Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) => BMECMD g c g( ) BE CD (1)
Lại có: E1 CDF (cặp góc đồng vị) Do CDF F CDFcân CF = CD ( 2)
Từ (1) (2) suy BE = CF
Bài : Cho tam giác ABC có góc B góc C hai góc nhọn Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB , tia đối tia AC lấy điểm E cho AE =
AC
a) Chứng minh : BE = CD
b) Gọi M trung điểm BE , N trung điểm CB Chứng minh M,A,N thẳng hàng
c)Ax tia nằm hai tia AB AC Gọi H,K hình chiếu B C tia Ax Chứng minh BH + CK BC
d) Xác định vị trí tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn
*Phân tích tìm lời giải
a) Để cm BE = CD
Cần cm ABE = ADC (c.g.c) b) Để cm M, A, N thẳng hàng
1
C H
M E
D B
A
F
x k
I
A
B C
D E
H
K
(27)Cần cm BAN BAM 1800
Có BAN NAD 1800 Cần cm MAB NAD Để cm MAB NAD
Cần cm ABM = ADN (c.g.c) c) Gọi giao điểm BC Ax Để cm BH + CK BC
Cần cm BH BI CK CI; Vì BI + IC = BC d) BH + CK có giá trị lớn = BC
K,H trùng với I , Ax vng góc với BC
Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH)
a) Chøng minh: EM + HC = NH b) Chøng minh: EN // FM
*Phân tích tìm lời giải
a) Để cm EM + HC = NH
Cần cm EM = AH HC = AN
+ Để cm EM = AH cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon)
+ Để cm HC = AN cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon) b) Để cm EN // FM
AEF EF N ( cặp góc so le trong)
Gọi I giao điểm AN EF để cm AEF EF N
Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g)
Bài : Cho tam ABC vuụng A , đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E
Chøng minh: AE = BC *Phân tích tìm lời giải
Gọi F giao điểm BA IE
để Cm AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB Để cm : ∆AFE = ∆ CAB
(28)Cần cm AF = AC (2); AF C BAC 900 (1); EAF ACB(3) + Để cm (1) : AF C BAC 900
Cm CI // AE có FI // AC BAC900
Để Cm CI // AE
Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c) + Để cm (2) : AF = AC
Cm ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – góc nhọn) + Cm (3) : EAF ACB ( phụ HAC)
*Khai thác toán :
Từ ta thấy AH AM HE AM + BC = 3AM ( AM = MB = MC) Vậy HE lớn = 3AM =
3
2BC H trùng M tam giác ABC vuông cân
Bài Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đ ờng thẳng vuông góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng:
a) AE = AF b) BE = CF c) AE=AB+AC
2
* Phân tích tìm lời giải
a) Để cm AE = AF
∆ANE = ∆ ANF ( c g c) Hoặc ∆AEF cân A
( Có AH vừa tia phân giác , vừa đương cao) b) Để cm BE = CF
cần tạo tam giác chứa BE( có cạnh = BE) mà tam giác MCF + Kẻ BI // AC ∆MBI = ∆CMF( c g c)
(29)c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC AE = AF AE = AB + AC hay AE=AB+AC
2
Bài Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B C nhọn, đờng cao AH Vẽ các
điểm D, E cho AB trung trực cđa HD, AC lµ trung trùc cđa HE Gäi I, K lần l ợt giao điểm DE với AB vµ AC
a) Chứng minh : Tam giác ADE cõn ti A b) Tính số đo góc AIC vµ AKB ?
*Phân tich tìm hướng giải - Xét TH góc A < 900
a) Để cm ∆ ADE cân A cần cm : AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) b) Dự đoán CI IB , BK KC
Do IB, KC tia phân giác góc ngồi ∆ HIK nên HA tia phân giác Do AHC900 nên HC
là tia phân giác đỉnh H Các tia phân giác góc ngồi đỉnh H K ∆ HIK cắt C nên IC tia phân giác góc HIK , IB IC , Chứng minh tượng tự ta có BK KC
- Xét TH góc A>900
*Khai thác tốn :
Gọi M điểm thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ cho AB trung trực của D’M, AC trung trực ME’ Khi ta có ∆ AD’E’ cân A góc DAC có
Từ ta có tốn sau:
Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M cạnh BC cho vẽ các điểm D, E AB đường trung trực MD, AC đường trung trực ME DE có độ dài nhỏ
HD Tự nhận xét dễ dàng tìm vị trí điểm M cạnh BC
(30)
vng góc với AB đường thẳng qua C song song với MD cắt E Đường thẳng AB cắt CE P DM Q Chứng minh Q trung điểm BP
HD Trên tia đối tia MQ lấy điểm H cho MH = MQ - Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c)
BQ = CH (1) MBQ MCH
BQ//CH hay PQ // CH ( MBQ MCH , là cặp góc so le trong)
- Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g)
PQ = CH (2) , Do Q nằm B P dù góc B nhỏ 1350 Từ (1) (2) Suy đpcm
Bài 11 Cho tam giác ABC cân A có A 20 0, vẽ tam giác DBC (D nằm tam
giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC
b) AM = BC
HD a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy DAB DAC
Do DAB 20 : 100
b) ABC cân A, mà A200(gt) nên ABC(1800 20 ) : 800
ABC nên DBC600
Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD800 600 200.
Tia BM phân giác góc ABD nên ABM 100
Xét tam giác ABM BAD có:
AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB100
Vậy: ABM = BAD (g.c.g)
suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
200
M A
B C
(31)Bài 12 Cho tam giác ABC vuông A ( AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D. Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vng góc với AE E cắt tia DH K Chứng minh :
a) BA = BH b) DBK 450
c) Cho AB = cm, tính chu vi tam giác DEK HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc nhọn)
b) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với EK , cắt EK I
Ta có : ABI 900 , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh góc vng)
B3 B mà B1B2 DBK 450
c) Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = … = 2.4 = cm
* Từ ta thấy DBK 450 chu vi ∆DEK = AB có chu vi ∆DEK
= ta cm DBK 450 Ta có tốn sau :
Bài 12.1 Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ
Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450. HD :