Ứng dụng phương pháp số giải phương trình tích phân fredholm

Khóa luận tốt nghiệp ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM Chun ngành: Cử nhân Tốn - Tin SVTH: Trần Thị Thanh Tâm Giáo viên hướng dẫn: TH.S Phan Đức Tuấn Đà Nẵng, 05/2012 Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 / 32 Phương trình tích phân Fredholm Phương trình tích phân Fredholm Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm: b x(t) = f (t) + λ K (t, s)x(s)ds a Phương trình tích phân phi tuyến Fredholm: b F (x(t)) = x(t) − f (t) − λ K (t, s, x(s))ds a Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 / 32 PHƯƠNG PHÁP NEWTON Phương pháp Newton Định nghĩa 2.1 (Đạo hàm Frechet) Cho X , Y : Không gian tuyến tính định chuẩn F : U → Y ; U ⊂ X , U mở F khả vi mạnh x0 ∈ U nếu:  F (x0 + h) − F (x0 ) = Ah + w(x0 , h) ||h|| ∀h ∈ X , x +h ∈U (2.1) đó: A ∈ L(X , Y ); ||ω(x0 ; h)|| → h → ||h|| Thì: F (x0 ) = A : gọi đạo hàm Frechet F x0 Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 / 32 PHƯƠNG PHÁP NEWTON Phương pháp Newton Định nghĩa 2.1 (Đạo hàm Frechet) Cho X , Y : Không gian tuyến tính định chuẩn F : U → Y ; U ⊂ X , U mở F khả vi mạnh x0 ∈ U nếu:  F (x0 + h) − F (x0 ) = Ah + w(x0 , h) ||h|| ∀h ∈ X , x +h ∈U (2.1) đó: A ∈ L(X , Y ); ||ω(x0 ; h)|| → h → ||h|| Thì: F (x0 ) = A : gọi đạo hàm Frechet F x0 Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 / 32 PHƯƠNG PHÁP NEWTON Phương trình phi tuyến: F (x) = (2.2) Khi F khả vi, phương trình tiếp tuyến (x0 , F (x0 )) : F (x) = F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) + η(x, x0 ) (2.3) F (x ∗ ) = 0, (2.3) ⇒ F (x0 ) + F (x0 )(x ∗ − x0 ) = −η(x ∗ , x0 ) F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) = ⇒ x1 = x0 − [F (x0 )]−1 F (x0 ) Tổng quát: xm+1 = xm − [F (xm )]−1 F (xm ) Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp (2.4) Đà Nẵng, 05/2012 / 32 PHƯƠNG PHÁP NEWTON Phương trình phi tuyến: F (x) = (2.2) Khi F khả vi, phương trình tiếp tuyến (x0 , F (x0 )) : F (x) = F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) + η(x, x0 ) (2.3) F (x ∗ ) = 0, (2.3) ⇒ F (x0 ) + F (x0 )(x ∗ − x0 ) = −η(x ∗ , x0 ) F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) = ⇒ x1 = x0 − [F (x0 )]−1 F (x0 ) Tổng quát: xm+1 = xm − [F (xm )]−1 F (xm ) Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp (2.4) Đà Nẵng, 05/2012 / 32 PHƯƠNG PHÁP NEWTON Phương trình phi tuyến: F (x) = (2.2) Khi F khả vi, phương trình tiếp tuyến (x0 , F (x0 )) : F (x) = F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) + η(x, x0 ) (2.3) F (x ∗ ) = 0, (2.3) ⇒ F (x0 ) + F (x0 )(x ∗ − x0 ) = −η(x ∗ , x0 ) F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) = ⇒ x1 = x0 − [F (x0 )]−1 F (x0 ) Tổng quát: xm+1 = xm − [F (xm )]−1 F (xm ) Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp (2.4) Đà Nẵng, 05/2012 / 32 PHƯƠNG PHÁP NEWTON Phương trình phi tuyến: F (x) = (2.2) Khi F khả vi, phương trình tiếp tuyến (x0 , F (x0 )) : F (x) = F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) + η(x, x0 ) (2.3) F (x ∗ ) = 0, (2.3) ⇒ F (x0 ) + F (x0 )(x ∗ − x0 ) = −η(x ∗ , x0 ) F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) = ⇒ x1 = x0 − [F (x0 )]−1 F (x0 ) Tổng quát: xm+1 = xm − [F (xm )]−1 F (xm ) Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp (2.4) Đà Nẵng, 05/2012 / 32 PHƯƠNG PHÁP NEWTON Phương trình phi tuyến: F (x) = (2.2) Khi F khả vi, phương trình tiếp tuyến (x0 , F (x0 )) : F (x) = F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) + η(x, x0 ) (2.3) F (x ∗ ) = 0, (2.3) ⇒ F (x0 ) + F (x0 )(x ∗ − x0 ) = −η(x ∗ , x0 ) F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) = ⇒ x1 = x0 − [F (x0 )]−1 F (x0 ) Tổng quát: xm+1 = xm − [F (xm )]−1 F (xm ) Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp (2.4) Đà Nẵng, 05/2012 / 32 PHƯƠNG PHÁP NEWTON b Xét: x(t) = λ K (t, s, x(s))ds (2.5) a b Đặt: F (x) = x(t) − λ K (t, s, x(s))ds a b b K (t, s, x(s))ds ⇒ φ (x)h = φ(x) = a Kx (t, s, x(s))h(s)ds a b Do đó: F (x)h = h − λ Kx (t, s, x(s)) h(s) ds (2.6) a Lại có: từ (2.4) ⇒ F (xm )(xm+1 − xm ) = −F (xm ) Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 / 32 PHƯƠNG PHÁP NYSTROM Ví dụ 5.1 Giải xấp xỉ gần phương trình tích phân Fredholm loại II với nhân không suy biến t(1 − ets )x(s)d(s) + et − t x(t) = (5.7) với nghiệm xác x(t) = 1 x(t)dt ≈ x(t1 ) + x(t2 ) + x(t3 ) 6 Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 26 / 32 PHƯƠNG PHÁP NYSTROM Ví dụ 5.1 Giải xấp xỉ gần phương trình tích phân Fredholm loại II với nhân không suy biến t(1 − ets )x(s)d(s) + et − t x(t) = (5.7) với nghiệm xác x(t) = 1 x(t)dt ≈ x(t1 ) + x(t2 ) + x(t3 ) 6 Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 26 / 32 PHƯƠNG PHÁP NYSTROM Tính xấp xỉ : t1 = 0; t2 = 21 ; t3 = Do: f (t) = et − t; w1 = ; w2 = ; w3 = ; K (t, s) = t(1 − ets ) 6 → ti ; fi ; Kij Thế vào (5.6) ,   x =1    1 14 12 e + 2x2 + 12 e − 1x3 = e −     e 12 − 1x + e + 5x = e − 3 Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp (5.8) Đà Nẵng, 05/2012 27 / 32 PHƯƠNG PHÁP NYSTROM Tính xấp xỉ : t1 = 0; t2 = 21 ; t3 = Do: f (t) = et − t; w1 = ; w2 = ; w3 = ; K (t, s) = t(1 − ets ) 6 → ti ; fi ; Kij Thế vào (5.6) ,   x =1    1 14 12 e + 2x2 + 12 e − 1x3 = e −     e 12 − 1x + e + 5x = e − 3 Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp (5.8) Đà Nẵng, 05/2012 27 / 32 PHƯƠNG PHÁP NYSTROM Tính xấp xỉ : t1 = 0; t2 = 21 ; t3 = Do: f (t) = et − t; w1 = ; w2 = ; w3 = ; K (t, s) = t(1 − ets ) 6 → ti ; fi ; Kij Thế vào (5.6) ,   x =1    1 14 12 e + 2x2 + 12 e − 1x3 = e −     e 12 − 1x + e + 5x = e − 3 Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp (5.8) Đà Nẵng, 05/2012 27 / 32 PHƯƠNG PHÁP NYSTROM x1 = x2 = 1.000009635 x3 = 0.9995464084 Bảng sai số: Giá trị ti xi (t) Sai số 0.000 0.0000000000 0.500 1.0000096350 0.0000096351 1.000 0.9995464084 0.0004535914 ··· Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) ··· Khóa luận tốt nghiệp ··· Đà Nẵng, 05/2012 28 / 32 PHƯƠNG PHÁP NYSTROM x1 = x2 = 1.000009635 x3 = 0.9995464084 Bảng sai số: Giá trị ti xi (t) Sai số 0.000 0.0000000000 0.500 1.0000096350 0.0000096351 1.000 0.9995464084 0.0004535914 ··· Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) ··· Khóa luận tốt nghiệp ··· Đà Nẵng, 05/2012 28 / 32 PHƯƠNG PHÁP NYSTROM Figure : n = Figure : n = Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 29 / 32 KẾT LUẬN Kết luận Ứng dụng phương pháp số giải phương trình tích phân Fredholm: Phương pháp Newton Phương pháp xấp xỉ nhân nhân suy biến Phương pháp Bubnov - Galerkin Phương pháp Nystrom Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 30 / 32 KẾT LUẬN Kết luận Ứng dụng phương pháp số giải phương trình tích phân Fredholm: Phương pháp Newton Phương pháp xấp xỉ nhân nhân suy biến Phương pháp Bubnov - Galerkin Phương pháp Nystrom Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 30 / 32 KẾT LUẬN Kết luận Ứng dụng phương pháp số giải phương trình tích phân Fredholm: Phương pháp Newton Phương pháp xấp xỉ nhân nhân suy biến Phương pháp Bubnov - Galerkin Phương pháp Nystrom Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 30 / 32 KẾT LUẬN Kết luận Ứng dụng phương pháp số giải phương trình tích phân Fredholm: Phương pháp Newton Phương pháp xấp xỉ nhân nhân suy biến Phương pháp Bubnov - Galerkin Phương pháp Nystrom Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 30 / 32 KẾT LUẬN Hướng pháp triển: Khảo sát hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm xác, cơng thức tính sai số, Tìm hiểu thêm loại phương trình tích phân khác như: phương trình Voltera, phương trình phi tuyến khác, Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 31 / 32 KẾT LUẬN Hướng pháp triển: Khảo sát hội tụ nghiệm xấp xỉ tới nghiệm xác, cơng thức tính sai số, Tìm hiểu thêm loại phương trình tích phân khác như: phương trình Voltera, phương trình phi tuyến khác, Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 31 / 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tham khảo: [1] L.M.Delves & J.L.Mohamed, Computational Methods For Integral Equations, University of Liverphol, 1985 [2] Michael A.Golberg, Numerial Solution Of Integarl Equation, University of Nevada, 1990 [3] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội, 2005 [4] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội, 1996 [5] Trần Văn Trản, Phương Pháp số thực hành, Tập 1, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007 Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 32 / 32 .. .Phương trình tích phân Fredholm Phương trình tích phân Fredholm Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm: b x(t) = f (t) + λ K (t, s)x(s)ds a Phương trình tích phân phi tuyến Fredholm: ... (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, 05/2012 / 32 PHƯƠNG PHÁP NEWTON Phương pháp Newton cho phương trình tích phân phi tuyến Fredholm:    x (t) = xm (t) + hm (t)   m+1 b   h (t)... (ĐHSP-Đà Nẵng) Khóa luận tốt nghiệp (2.4) Đà Nẵng, 05/2012 / 32 PHƯƠNG PHÁP NEWTON Phương trình phi tuyến: F (x) = (2.2) Khi F khả vi, phương trình tiếp tuyến (x0 , F (x0 )) : F (x) = F (x0 ) + F (x0