Một số phương pháp số giải gần đúng phương trình tích phân

BỘ GIÁ O DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Chun ngành : Phƣơng pháp tốn sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Đà Nẵng – Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng dƣới hƣớng dẫn thầy TS Phan Đức Tuấn Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chƣa đƣợc công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Bích Ngọc MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Bố cục đề tài Tổng quan tài liệu nghiên cứu CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 1.2 PHÂN LOẠI PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 1.3 PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOM 1.4 HÀM BÌNH PHƢƠNG KHẢ TÍCH 1.5 NHỮNG DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA HẠCH 1.6 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 1.6.1 Tốn tử tuyến tính 1.6.2 Tốn tử tuyến tính bị chặn tốn tử tuyến tính liên tục 1.7 TỐN TỬ TÍCH PHÂN 10 1.8 TOÁN TỬ NGHỊCH ĐẢO 11 1.9 KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN 14 1.10 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 16 1.10.1 Công thức hình thang 16 1.10.2 Công thức Simpson 17 1.10.3 Ví dụ 18 1.11 TRỰC GIAO HÓA 18 1.11.1 Cơ sở lý thuyết 18 1.11.2 Sơ đồ tính tốn 20 1.12 PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VỚI HẠCH THỐI HĨA 20 CHƢƠNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 24 2.1 PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ LIÊN TIẾP 24 2.1.1 Nội dung phƣơng pháp 24 2.1.2 Điều kiện hội tụ 24 2.1.3 Tốc độ hội tụ 25 2.1.4 Ví dụ 28 2.2 PHƢƠNG PHÁP XÔCÔLỐP 30 2.2.1 Nội dung phƣơng pháp 30 2.2.2 Điều kiện hội tụ 31 2.2.3 Ví dụ 32 2.3 PHƢƠNG PHÁP NEWTON 33 2.3.1 Nội dung phƣơng pháp 33 2.3.2 Sự hội tụ phƣơng pháp 35 2.3.3 Ví dụ 37 2.4 PHƢƠNG PHÁP NYSTROM 40 2.4.1 Nội dung phƣơng pháp 40 2.4.2 Ƣớc lƣợng sai số 41 2.4.3 Ví dụ 42 2.5 PHƢƠNG PHÁP BUBNOV – GALERKIN 45 2.5.1 Nội dung phƣơng pháp 45 2.5.2 Ví dụ 48 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Cơ sở tính tốn Newton Leibnitz cho phép mơ tả tốn học giới vật lý nhờ khả đƣa phép vi phân tích phân vào phƣơng trình liên quan đến tính chất khác Lý thuyết phƣơng trình tích phân có mối liên hệ mật thiết với nhiều lĩnh vực khác toán học có ứng dụng nhiều lĩnh vực quan trọng toán học, học, vật lý lý thuyết, lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác Chẳng hạn việc dẫn tốn nhiễu xạ sóng hệ phƣơng trình tích phân kì dị hay học lƣợng tử, xung lƣợng hạt đƣợc biểu diễn qua phƣơng trình tích phân Fredholm… Trong số điều kiện định phƣơng trình tích phân thuộc phạm trù với phƣơng trình vi phân phƣơng trình phiếm hàm Nhiều vấn đề phƣơng trình vi phân thƣờng phƣơng trình đạo hàm riêng đƣợc viết lại nhƣ phƣơng trình tích phân Điều cho phép ta sử dụng nhiều kết nghiên cứu lĩnh vực vào lĩnh vực Vấn đề đƣợc đặt tìm lời giải phƣơng trình tích phân nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ đƣa đến Có nhiều phƣơng pháp khác để giải phƣơng trình tích phân nhƣng việc tìm nghiệm xác nhiều phƣơng trình tích phân lại gặp nhiều khó khăn, có phƣơng trình khơng tìm đƣợc nghiệm đ ng Nhƣ để giải phƣơng trình tích phân ta dùng phƣơng pháp số tìm nghiệm gần đ ng phƣơng trình Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nh m gi p ngƣời đọc hiểu đƣợc phƣơng trình tích phân số phƣơng pháp hiệu để tìm nghiệm gần đ ng Một số điểm cố gắng đƣa vào luận văn là: - Một số định nghĩa liên quan đến phƣơng trình tích phân, chứng minh chặc chẽ định lý liên quan - Đƣa phƣơng pháp số cụ thể để giải loại phƣơng trình tích phân - Đƣa ví dụ tập cụ thể để làm r tính hiệu phƣơng pháp số để giải phƣơng trình tích phân Nội dung đề tài đƣợc chia thành chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp số giải gần đ ng phƣơng trình tích phân Trong phần đƣa vào ví dụ áp dụng cụ thể Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu đề tài phƣơng trình tích phân Phạm vi nghiên cứu đề tài phƣơng pháp số giải phƣơng trình tích phân Phƣơng pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến phƣơng trình tích phân Tham gia buổi seminar thầy hƣớng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu kết luận, đề tài nghiên cứu đƣợc tác giả trình bày bao gồm chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Giới thiệu phƣơng trình tích phân kiến thức liên quan để giải phƣơng trình tích phân Chƣơng 2: Đƣa số phƣơng pháp số giải phƣơng trình tích phân Phần kết luận : Tổng kết kết đạt đƣợc, nêu số vấn đề chƣa giải đƣợc hƣớng phát triển đề tài Tổng quan tài liệu nghiên cứu Luận văn tham khảo số tài liệu khoa học tiếng Việt tiếng Anh giải gần đ ng phƣơng trình tích phân nghiên cứu, tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến phƣơng pháp số giải phƣơng trình tích phân ứng dụng thực tế qua ví dụ áp dụng, nh m xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu phƣơng trình tích phân Đồng thời chứng minh chi tiết định lí làm r số mệnh đề, nhƣ đƣa số ví dụ minh hoạ nh m làm cho ngƣời đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đƣợc đề cập CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Phƣơng trình tích phân phƣơng trình có dạng  ( x)  ( x)  f ( x)     ( x) K ( x, t ) (t )dt (1.1) Trong  ( x) hàm chƣa biết, f ( x), K  x, t  hàm cho trƣớc K  x, t  đƣợc gọi hạch phƣơng trình tích phân (1.1),  h ng số 1.2 PHÂN LOẠI PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Phân loại dựa vào giới hạn tích phân: + Tất giới hạn tích phân cố định: phƣơng trình tích phân Fredhom + Giới hạn biến đổi: phƣơng trình tích phân Volterra Phân loại dựa vào vị trí xuất hàm chƣa biết  ( x) + Chỉ xuất dấu tích phân: loại I + Xuất lẫn ngồi dấu tích phân: loại II Phân loại dựa vào chất hàm biết f ( x) + f ( x) đồng b ng khơng: phƣơng trình + f ( x) khơng đồng b ng khơng: phƣơng trình khơng 1.3 PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOM Định nghĩa 1.3.1 - Phƣơng trình tích phân Fredholm loại I phƣơng trình có dạng: b f ( x)    K ( x, t ) (t )dt  a (1.2) - Phƣơng trình tích phân Fredholm loại II phƣơng trình có dạng: b  ( x)  f ( x)   K ( x, t ) (t )dt a (1.3) Nếu f ( x) = phƣơng trình đƣợc gọi Ví dụ 1.3.1 Phƣơng trình   x   x   xy  y dy, phƣơng trình Fredholm loại II với hạch K  x, y   xy hàm liên tục hình vng 0,1  0,1 Hàm f ( x)  x liên tục đoạn  0,1 1.4 HÀM BÌNH PHƢƠNG KHẢ TÍCH Định nghĩa 1.4.1 Hàm số K  x, t  đƣợc gọi bình phƣơng khả tích hình vng  a, b  a, b K  x, t  khả tích hình vng  a, b   a, b Tập hợp tất hàm bình phƣơng khả tích hình vng  a, b   a, b đƣợc ký hiệu L2 (a, b) viết gọn L2 Hàm K  x, t  thỏa mãn điều kiện sau: i Hàm K  x, t  hàm theo ( x, t ) với a  x  b; a  t  b cho: b b  K ( x, t ) dtdx   a a ii Với giá trị x , K  x, t  hàm xác định theo t cho: b K ( x, t ) dt   a iii Với giá trị t , K  x, t  hàm xác định theo x cho: b K ( x, t ) dx   a Khi hàm K  x, t  đƣợc gọi hạch L2 38 …   sin( x)  0,07542668895cos( x) 8  sin( x)  0,07542668889cos( x)   sin( x)  0,07542668890cos( x) 9  sin( x)  0,07542668890cos( x)  9   Sau lần lặp ta nhận nghiệm gần đ ng  ( x)  sin( x)  0,07542668890cos( x) Với sai số b ng 1,366102315.1030 Ví dụ 2.3.2 5 Giải phƣơng trình  ( x)  x    xt  t  dt ) 12 Lời giải Xét nghiệm phƣơng trình  * ( x)   x Ta kiểm tra xấp xỉ tốc độ hội tụ với xấp xỉ ban đầu 0 ( x)  Từ cơng thức (2.26) ta có  o  x    xt0  t  dt  x   x  x   x, 12 12 K ( x, t )  xt H ( (t ))   (t )  H  2 (t ) h0   x0  t  t.h0  t  dt    x  39 Đặt 1   2t.h0  t  dt  h0  x1  x 12 Thay vào ta đƣợc   1   x  x1  x  dt = 12    1  1 1 1   21    x dx   21   12  3 12   1 h0  x 12  1  0  h0   x 1   1  x    xt 1  x  dt  x    x  x 12 64   1   h1   x 1  t  th1  t  dt  x 64   Đặt        t 1  t  h1  t  dt  h1  x  1   x  x  2   64 64   Mà 19          2    t 1  t  dt =  2   48  64  64      2  19 640  h1   2   0,325x x 40 40 Tiếp tục trình ta đƣợc 3   0,333231707 x 4   0,333333317 x L c sai số b ng   4  (   ( x)  4 ( x) dx) * * 1  (  ( x   (1  0,333333317.x)) dx)  0,9122134.108 2.4 PHƢƠNG PHÁP NYSTROM 2.4.1 Nội dung phƣơng pháp Dùng công thức cầu phƣơng thay tích phân b ng tổng hữu hạn b    x  dx  A   x   R   K K (2.27) n a Trong Ak hệ số xk n t công thức cầu phƣơng, Rn ( ) phần dƣ công thức cầu phƣơng Thay cơng thức (2.27) vào phƣơng trình Fredholm loại II ta đƣợc  n   ( x)  f ( x)    Ak K ( x, tk ) (tk )  Rn ( K )   k 1  Giả sử  Rn  K  nhỏ khơng cần tính đến Với x  xi ,(i  1, n) ta có n i    Ak K ( x, tk )k  f ( xi ) (2.28) k 1 Ở i ký hiệu giá trị  ( xi ) giá trị nghiệm đ ng  ( x) nút xi Đặt Kik  K ( xi , tk ); 41 Kik  Ak Kik ; fi  f ( xi ); i   ( xi ) Phƣơng trình (2.28) đƣợc viết thành hệ phƣơng trình tuyến tính sau: 1  11K1  12 K2   1n Kn  f1  2   K 211   K 222    K nn  f      K    K     K   f n1 n2 nn n n  n (2.29) Hệ phƣơng trình tuyến tính (2.29) có n ẩn 1,2 , ,n Sau giải hệ phƣơng trình tìm đƣợc giá trị 1* ,2* ,n* Ta viết nghiệm xấp xỉ phƣơng trình dƣới dạng n   x   f  x     AK K  x, xk k* * n k 1 2.4.2 Ƣớc lƣợng sai số Ta ký hiệu  i  i*    xi  , Và ký hiệu định thức hệ phƣơng trình (2.29) D( ) với D( )  0, D ( ij) phần bù đại số phần tử vị trí (i, j ) định thức Khi ta có   * i   ( xi )  n D  D   j 1 ( ) ji n D D  j 1 ji f (x j )  i  D  n D j 1 ji  ( )  f  x j    Rn K  x j , t    t   ,     Rn K  x j , t    t  42 Nếu n max  D ji 1i  n j 1 D    C max Rn  K         x  , 1i n  i   C  ,(i  1, n) Tức i*   ( xi )   C  ,(i  1, n) 2.4.3 Ví dụ Ví dụ 2.4.1 Giải xấp xỉ gần đ ng phƣơng trình tích phân Fredholm loại II sau:  ( x)   x 1  e xt   t  dt  e x  x với nghiệm đ ng  ( x)  Lời giải Dùng công thức Simpson x1  0; x2  0,5; x3  , ta đƣợc 1 xt  x  e  t dt  y    y  0,5  y 1  ,     0 6 hệ phƣơng trình tuyến tính sau 1  K11 1  K122  K133  f1    K 211  1  K 22 2  K 233  f2   K 311  K322  1  K33 3  f3 f ( x)  e x  x, (2.30) 43 A1  ; A2  ; A3  , 6 K  x.t   x 1  e xt  Nên suy K11  K (0,0)  K ( x1, t1 )  K (0,0)  0; K12  K (0;0,5)  0; K13  K (0,1)  0; K21  K (0,5;0)  0; K 22  K (0,5;0,5)  (1  e0,25 ); K 23  K (0,5;1)  (1  e0,5 ); K31  K (1,0)  0; K32  K (1;0,5)   e0,5 ; K33  K (1,1)   e Từ suy ra: K11  K12  K13  0; 1 K 21  0; K 22  (1  e0,25 ); K 23  (1  e0,5 ); 12 K31  0; K32  (1  e0,5 ); K33  (1  e) f1  1; f  e0,5  0,5; f3  e  Thay vào hệ phƣơng trình (2.30) ta đƣợc 44  1   0,5  0,25 0,5   e  2   e  13  e  0,5 12 3  0,5 e       e  53  e  1,  (2.31) với xấp xỉ e0,25  1,2840254 e0,5  1,6487213 0,25  e  2  1,0947 0,5  e  1  0,0641 12 0,5  e  1  0,4325  e  5  1,2864 Thay vào hệ (2.31) ta đƣợc hệ phƣơng trình 1   1,09472  0,05413  1,1487 0,4325  1,2864  1,7183  (2.32) Giải hệ phƣơng trình (2.32) thu đƣợc nghiệm 1  1; 2  0,9999; 3  0,9996 Nhƣ nghiệm xấp xỉ theo công thức  ( x)  A1K ( x, t1 ) (t1)  A K ( x, t2 ) (t2 )   A3 K ( x, t3 ) (t3 )  f ( x) Trong đó: (2.33) 45 A1  ; A2  ; A3  6 K ( x,0)  0; K ( x,0,5)  x(1  e0,5 x ); K ( x,1)  x(1  e x )  (0)  1;  (0,5)  0,9999; (1)  0,9996 Thay vào (2.33), ta đƣợc  ( x)  x(1  e0,5 x )0,9999  x(1  e x )0,9996  e x  1, hay  ( x)  0,1668x  0,6666 xe0,5 x  0,1666 xe x  e x  Nghiệm cho giá trị xấp xỉ vài điểm nhƣ sau:  (0)  1;  (0,5)  0,9999;  (1)  0,9996;  (0,4)  1;  (0,8)  0,9999 2.5 PHƢƠNG PHÁP BUBNOV – GALERKIN 2.5.1 Nội dung phƣơng pháp Phƣơng trình tích phân Fredholm loại II đƣợc viết đƣới dạng L : ( I   A)  f (2.34) b Trong I tốn tử đơn vị, ( A )(t )   K ( x, t ) (t )dt , không a gian X  L2  a, b Nhƣ biết, X không gian Hilbert với tích vơ hƣớng: b  ,  :   (t ) dt , ( ,  X ) a Giả sử i 1 hệ trực chuẩn đầy đủ X Tức là:  n   0,   X ; n  n( ) :  i  R(i  1, n) :    ii   i 1 46 Hệ i  nhận đƣợc b ng cách trực giao hóa (q trình Hilbert – Schmidtt) hệ độc lập tuyến tính Nếu  * nghiệm (2.34) L *  f    L *  f , j   0, (j  1) Bây ta tìm nghiệm gần đ ng dƣới dạng: n n  f   cii i 1 Do có n tham số tự c1, c2 , , cn nên trƣờng hợp tổng qt, ta địi hỏi lƣợng khơng khớp Ln  f trực giao với n vecto i ( j  1, n) , tức là:  Ln  f , j   0,(j  1, n) (2.35) Ta có: n   Ln  f , j     Af , j    ci i , j     Ai , j   i 1 Đặt ij :   Ai ; j ;  j :   Af , j   ij :  i , j  ta viết lại hệ (2.35) dƣới dạng: n  c  i 1 i ij  ij    j ;( j  1, n) (2.36) Nếu định thức ( ) hệ (2.36) khác khơng, ta tìm đƣợc ci tìm đƣợc n Giả sử hạch K ( x, t ) thuộc L2 ( a, b x  a, b) Khi theo định lý Fubini, K ( x, t )  L2  a, b với hầu khắp t   a, b ,  t   a, b, K  x, t    ki (t )i ( x) i 1 47 Trong b kn (t )   K ( x, t ),n    K ( x, t )n ( x)dx : A*n a Xét hạch thoái hóa có dạng n K n  x, t    ki (t )i ( x) với ki ,i  L2 i 1 tốn tử tích phân với nhân suy biến b An :  K n ( x, t ) (t )dt a n = n   ( x )   ( x )  i i 1 i 1 i b a n k1 (t ) (t )dt =   ki ; i i 1 Xét phƣơng trình: Ln : ( I n   An )  f (2.37) Trong I n toán tử đơn vị X n  Span({i }1n ) Áp dụng phƣơng pháp Bubnov – Galerkin cho (2.37), ta đƣợc hệ đại số tuyến tính n  c  i 1 i ij  ij    j (2.38) So sánh hệ số hệ thức (2.36), (2.38), ta có n ij   Ani , j      kv ,i v , j    k j ,i  v 1  ij   Ai , j   i , A* j   i , k j  Nhƣ ij  ij Tƣơng tự ta có  j   Af , j    f , A* j    f , k j , 48 n  j   An f , j      ki , f i , j    k j , f  i 1 Từ suy  j   j Tóm lại hệ (2.36) trùng với hệ (2.38), hay nói cách khác, áp dụng phƣơng pháp Bubnov – Galerkin cho hệ (2.34) tƣơng tự cho việc áp dụng phƣơng pháp cho hệ (2.37) Mặt khác, phƣơng trình (2.37) có hạch thối hóa Từ    An  f , suy n    An  f   cii  f , i 1 ci    ki ,  Mặt khác c j    k j ,     k j , f   cii   k j , f     ci i , k j  , i i ( j  1, n) Từ suy n  c  i 1 i ij  ij    j  Nhƣ việc áp dụng phƣơng pháp Bubnov – Galerkin cho (2.37) tƣơng đƣơng với việc sử dụng phƣơng pháp hạch thối hóa để giải (2.37) Do Kn ( x, t )  K ( x, t ) L2  a, b với hầu khắp t   a, b , phƣơng pháp hạch thoái hóa, đó, phƣơng pháp Bubnov – Galerkin hội tụ 2.5.2 Ví dụ Ví dụ 2.5.1 Tìm vector riêng giá trị riêng tốn tử tích phân 49 ( A )( x)   K ( x, t ) (t )dt , Trong  x(1  t ), x  t K ( x, t )   t (1  x), t  x Lời giải Đặt L : ( I   A)   ; f :  ; 1 : 1; 2 : x(1  x); 3 : x(1  x)(1  x) Nghiệm  có dạng 3  A  Bx(1  x)  Cx(1  x)(1  x) L3  3   A3 A  A  Bx(1  x)  Cx(1  x)(1  x)    x(1  x)  2   B  x (1  x)2  x (1  x)  x(1  x)4   12 C 5 x (1  x)4  x (1  x)  x(1  x)5  x5 (1  x)    60  Từ điều kiện (2.35) ta có   L 31dx  A(1   12 ) B  (1  )  0; 10 50   L 32 dx  A  B 17 (1  )  (1  )  0; 10 30 168   L 33dx  C  (1  )  210 40 Để hệ phƣơng trình có nghiệm không tầm thƣờng ( A2  B2  C  0), ta phải có:  (1  ) 12 10  17 (1  ) (1  ) 10 30 168 1  0 0 0  (1  ) 120 40 Hay (  180  1680)(  40)  Từ suy A có giá trị xấp xỉ b ng 1  9,8751; 2  170,1249; 3  40 Với   1 ta có A  0,011768B; C  Tìm B từ điều kiện chuẩn hóa   dx  1, A  0,0684 C  ta đƣợc B  5,817 51 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận, nghiên cứu, học hỏi từ tài liệu đƣợc thầy Phan Đức Tuấn cung cấp, luận văn hoàn thành đạt đƣợc mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể nhƣ: trình bày tƣơng đối đầy đủ, r ràng, chi tiết phƣơng trình tích phân nhƣ tổng quan hệ thống số phƣơng pháp số giải phƣơng trình tích phân, nêu r nội dung phƣơng pháp, tốc độ hội tụ ví dụ minh họa cụ thể Với đạt đƣợc, luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên tiếp tục sâu nghiên cứu vấn đề giải phƣơng trình tích phân Tuy nhiên, thời gian vừa học vừa làm trình độ thân có hạn, dù cố gắng nhƣng chắn nội dung đƣợc trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót định em mong thầy cô giáo bạn góp ý để luận văn đƣợc hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Phạm Kỳ Anh (2008), Giải tích số, NXB đại học quốc gia Hà Nội [2] Dự án phát triển giáo viên THPT&TCCN-Trƣờng đại học sƣ phạm Hà Nội (2013), Giáo trình giải tích số, NXB Đại học Cần Thơ [3] Phan Văn Hạp (1978), hương trình tích phân cách giải gần đ ng, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp [4] Phan Đức Tuấn (2012), hép biến đổi tích phân dạng Fourier ứng dụng giải số phương trình vi phân, tích phân, ĐHQG Hà Nội, [5] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội TIẾNG ANH [6] Delves L.M., Mohamed J.L (1985), Computational Methods for Integral Equations, New York [7] Hochstadt H.(1973), Integral Equations, John Wiley & Sons, N.Y [8] Louis B Rall (1969), Computational Solution of Nonlinear Operator Equations, Printed in the United States of America [9] Michael A Golberg (1990), Numerical Solution of Integral Equations, Plenum Press, New York and London ... gọi hạch phƣơng trình tích phân (1.1),  h ng số 1.2 PHÂN LOẠI PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Phân loại dựa vào giới hạn tích phân: + Tất giới hạn tích phân cố định: phƣơng trình tích phân Fredhom + Giới... PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VỚI HẠCH THỐI HĨA 20 CHƢƠNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 24 2.1 PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ LIÊN TIẾP 24 2.1.1 Nội dung phƣơng pháp. .. trình bày bao gồm chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Giới thiệu phƣơng trình tích phân kiến thức liên quan để giải phƣơng trình tích phân Chƣơng 2: Đƣa số phƣơng pháp số giải phƣơng trình tích