Hoàn toàn tương tự phần a) ta có:AC=2R.SinB.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ 6: Các toán hình học phẳng có nội dung chứng minh, tính tốn
Bài 1: Cho tam giác OAB cân đỉnh O đường trịn tâm O có bán kính R thay đổi
(R<OA).Từ A B vẽ hai tiếp tuyến AC BD với đường tròn Hai tiếp tuyến
không đối xứng với qua trục đối xứng tam giác chúng cắt M
a)Chứng minh bốn điểm O,A,M,B thuộc đường trịn.Tìm tập hợp điểm M
b)Trên tia đối tia MA lấy MP = BM.Tìm tập hợp điểm P
c)CMR: MA.MB = |OA2 - OM2|
Giải:
a)Gọi I,T điểm tiếp xúc tiếp tuyến kẻ từ A B Dễ thấy:OIA = OTB (cạnh huyền-cạnh góc vng)
Do đó: IAO = OBT.Suy tứ giác OAMB nội tiếp
b) Có: APB =
2
.AMB =
.(1800-AOB)= const
Vậy chứng minh quĩ tích điểm P cung chứa góc nhìn AB
một góc khơng đổi
.(1800-AOB)
(2)Ta có: |OA2 - OM2| = OM2 -OA2 = MI2 - IA2 = (MI-IA).(MI + IA) = AM.(MT + TB)=
=MA.MB (đpcm)
Bài 2: Cho điểm P nằm ngòai đường tròn (O); Một cát tuyến qua P cắt (O) A B.Các tiếp tuyến kẻ từ A B cắt M Dựng MH vng góc với OP
a)CMR: điểm O,A,B,M,H nằm đường tròn
b)CMR: H cố định cát tuyến PAB quay quanh P Từ suy tập hợp điểm M
c)Gọi I trung điểm AB N giao điểm PA với MH.CMR:
PA.PB=PI.PN IP.IN=IA2
Giải:
a) Nhận thấy điểm O,A,B,M,H nằm đường trịn đường kính OM (đpcm) b)Phương tích điểm P đường trịn đường kính OM là:
PH.PO=PA.PB=const (1) Suy H cố định nằm đoạn PO
Từ dễ dàng suy quĩ tích điểm M đường thẳng d qua H vng
góc với PO trừ đoạn TV với T,V giao điểm d với (O)
c)Phương tích điểm P đường trịn đường kính ON là: PN.PI=PH.PO (2) Từ (2) (1) suy ra: PA.PB=PI.PN (đpcm)
(3)IP.IN=(NI+NP).IN=IN2 + NI.NP (3)
Phương tích điểm N đường trịn đường kính PM là: NP.NI=NH.NM
Phương tích điểm N đường trịn đường kínhOM là: NH.NM=NA.NB Suy ra: NI.NP=NA.NB (4)
Từ (3) (4) suy ra: IP.IN=IN2 + NA.NB
Ta chứng minh: IN2 + NA.NB=IA2 (5).Thật vậy:
(5)NA.NB=IA2-IN2 NA.NB=(IA-IN).(IA+IN) NA.NB=NA.(IB+IN) NA.NB=NA.NB (ln đúng)
Vậy ta có đpcm
Bài 3:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn bán kính R,tâm O
a)Chứng minh BC = 2R.SinA
b)Chứng minh:SinA + SinB + SinC < 2.(cosA + cosB + cosC) A,B,C ba góc tam giác
Giải:
a)Kéo dài BO cắt (O) điểm thứ hai D
Tam giác vng BCD có:BC = BD.Sin(BDC) = 2R.SinA (đpcm)
(4)Hoàn toàn tương tự phần a) ta có:AC=2R.SinB Ta có:
SinB= Cos ADB Cos CDB CosC CosA
BD CD BD AD R
CD AD R AC
( ) ( )
2
2 (1)