Một hình trụ đặc bằng kim loại có bán kính đáy r = 10cm đặt vừa khít trong hình nón có đầy nước (xem hình bên). Người ta nhấc nhẹ hình trụ ra khỏi phễu. So sánh góc MON với góc [r]
(1)Bài 1: (2,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình
3x 2y 5 15 x y
2
2/ a) Cho biết: A = + B = - Hãy so sánh A + B A.B
b) Tính giá trị biểu thức:
1 1 5 5
M :
3 5 3 5 5 1
3/ Giải phương trình: x4 + 24x2 - 25 = 0
Bài 2: (2,5 điểm)1/Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1) + m – = (ẩn x, tham số m).
a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:
1
x x 4
2/Cho hàm số y = ax + b Tìm a, b biết đồ thị hàm số cho song song với đường thẳng y = 3x + qua điểm A
thuộc Parabol (P): y =
1
2x2 có hồnh độ
2
Bài 3: (1,5 điểm)Hai máy ủi làm việc vịng 12 san lấp
1
10 khu đất Nừu máy ủi thứ làm mình
trong 42 nghỉ sau máy ủi thứ hai làm 22 hai máy ủi san lấp 25% khu đất Hỏi làm máy ủi san lấp xong khu đất cho
Bài 4: (2,5 điểm)Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R Vẽ tiếp tuyến d với đường tròn (O) B Gọi C D hai điểm tuỳ ý tiếp tuyến d cho B nằm C D Các tia AC AD cắt (O) E F (E, F khác A)
1 Chứng minh: CB2 = CA.CE
2 Chứng minh: tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn tâm (O’).
3 Chứng minh: tích AC.AE AD.AF số không đổi Tiếp tuyến (O’) kẻ từ A tiếp xúc với
(O’) T Khi C D di động d điểm T chạy đường thẳng cố định nào?
Bài 5: (1,0 điểm) Một phễu có hình dạng hình nón đỉnh S, bán kính đáy R = 15cm, chiều cao h = 30cm Một hình trụ đặc kim loại có bán kính đáy r = 10cm đặt vừa khít hình nón có đầy nước (xem hình bên) Người ta nhấc nhẹ hình trụ khỏi phễu Hãy tính thể tích chiều cao khối nước lại phễu
ĐỀ 2 Bài 1(1,5đ) a) Vẽ đồ thị hàm số sau mặt phẳng tọa độ :( ) :P y x2; ( ) :d y2x3
b) Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) (d) (P) Bài 2(2,0đ)a) Giải phương trình x2 5x 3
b) Giải hệ phương trình
3
2
x y x y
Bài (2,5đ) Cho phương trình: x2 – mx – = 0 (m tham số) (1)
a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
2
1
x x
c) Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc giá trị m
Bài (4,0đ)
Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O ; 6cm); kẻ hai tiếp tuyến MN; MP với đường tròn (N ; P (O)) cát tuyến MAB (O) cho AB = cm
a) Chứng minh: OPMN tứ giác nội tiếp b) Tính độ dài đoạn thẳng MN biết MO = 10 cm
c) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB So sánh góc MON với góc MON
(2)-Hết -ĐỀ 1
Bài Nội dung Điểm
Bài 1 (2,5 điểm)
1/(1,0 điểm)
3x 2y 5 3x 2y 5
15
2x 2y 15 x y
2 5x 20 3x 2y 5
x 4 7 y
2
0,25 0,25
0,25
2/(1,0 điểm)
a) Ta có A+B = 18 A.B = 92 (3 7)2 81 63 18 nên A = B
b)
1 1 5 5
M :
3 5 3 5 5 1
(3 5) (3 5) 5 1 .
(3 5)(3 5) 5( 1) 1
2
0,25
0,25x3 0,25 0,25
3/ Đặt t = x2, t ≥ 0, phương trình cho trở thành:
t2 - 24t - 25 = 0, ý t ≥ ta t = 25.
Từ phương trình có hai nghiệm x = - x =
0,25 0,25
Bài 2
(2,5 điểm) 1/a) Xét phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – = 0
Khi m = phương trình trở thành: 3x2 – 2x = 0
0
3 2 2
3
x x x
x
0,25 0,25
b)Để phương trình phương trình bậc trước tiên m≠1
2
' 1 m m m 2 3 m
Để phương trình có nghiệm phân biệt ' 0 hay m < (1)
Áp dụng định lý Viet cho phương trình ta có:
1
1
2(m 1)
S x x
m 1 m 2 P x x
m 1
(2)
0,25 0,25
(3)Xét biểu thức x1 x2 4 x x1 4 (3)
Thế (2) vào (3)
2(m 1) m 2(m 1)
: 8m 7m 14
m m m
m 6
Kết hợp với điều kiện (1): Kết luận m = 6 0,25
2/(1,0 điểm)
+Đồ thị hàm số y ax b song song với đường thẳng y3x5, nên
3
a b5
+ Điểm A thuộc (P) có hồnh độ x2 nên có tung độ
2
1
2
2
y
Suy ra: A2; 2
+Đồ thị hàm số y3x b qua điểm A2; 2 nên:
2 6 b b4
Vậy: a3 b4
0,50 0,25
0,25
Bài 3 (1,5 điểm)
Gọi x (giờ ) y (giờ ) thời gian làm máy thứ máy thứ hai để san lấp toàn khu đất (x > ; y > 0)
Nếu làm máy ủi thứ san lấp
x
khu đất, máy thứ hai san lấp
y khu đất.
Theo đề ta có hệ phương trình :
¿
12
x +
12
y =
1 10 42
x +
22
y =
1
¿{ ¿
Đặt
u x
v y
ta hệ phương trình:
1
12 12
10
42 22
4
u v u v
Giải hệ phương trình tìm
1
;
300 200
u v
, Suy ra:
x y; 300; 200
Trả lời: Để san lấp tồn khu đất thì: Máy thứ làm 300 giờ, máy thứ hai làm 200
0,25
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25
Bài 4
(4)a + Hình vẽ đúng:
+ Hai tam giác CAB CBE có:
Góc C chung CAB EBC
(góc
nội tiếp góc tạo tiếp tuyến với dây chắn cung BE)
nên CAB ∽CBE
Suy ra:
2
CA CB
CB CA CE
CB CE
0,25
0,25
b Ta có: CAB EFB
( hai góc nội tiếp chắn cung BE)
Mà CAB BCA 900
(tam giác CBA vuông B) nên ECD BFE 900
Mặt khác BFD BFA 900
(tam giác ABF nội tiếp nửa đường tròn)
Nên: ECD BFE BFD 900 900 1800
Suy ECD DFE 1800
Vậy tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn (O’)
0,25 0,25 0,25 0,25
c + Xét tam giác vuông ABC:
BE AC nên AC.AE = AB2 = 4R2 (hệ thức lượng tam giác
vuông)
Tương tự, tam giác vng ABD ta có: AD.AF = AB2 = 4R2
Vậy C D di động d ta ln có:
AC.AE = AD.AF = 4R2 (khơng đổi)
+ Hai tam giác ATE ACT đồng dạng Vì có góc A chung ATE TCA (cùng chắn cung ED)
+ Suy ra: AT2 AC AE 4R 2 (khơng đổi) Do T chạy đường
trịn tâm A bán kính 2R
0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 5 (1,0 điểm)
+ Hình vẽ thể mặt cắt hình nón hình trụ mặt phẳng qua trục chung
(5)Ta có DE//SH nên:
h R r
DE DB 30
DE 10(cm)
SH HB R 15
Do đó: Chiều cao hình trụ
' 10( )
h DE cm
+ Nếu gọi V, V , V1 thể tích khối nước lại phểu
khi nhấc khối trụ khỏi phểu, thể tích hình nón thể tích khối trụ, ta có:
2
2
1
1 15 30
V V V R h r h ' 1000 1250 cm
3
Khối nước lại phểu nhấc khối trụ khỏi phểu
khối nón có bán kính đáy r1 chiều cao h1 Ta có:
1 1
1
r h Rh h
r
R h h 2 .
Suy ra:
3
2
1 1
h
V r h 1250 h 15000
3 12
Vậy: Chiều cao khối nước cũn lại phểu là:
3
1
h 15000 10 15 (cm)
0,25
ĐỀ 2
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM
Bài 1:
a)Vẽ đồ thị
Tọa độ điểm đồ thị ( ) :P yx2
x -2 -1
2
yx 1
Tọa độ điểm đồ thị ( ) :d y2x3
x
2
2
y x
(1,5điểm)
0,25
0,25
(6)b)Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d)
2
2
2
x x x x
Có dạng a – b + c = – (-2) + (-3) =
1 x c x a
từ (P)
1 y y
Vậy : Tọa độ giao điểm (P) (d) A1;1 ; B(1;9)
0,25
0,25
Bài 2:
a) x2 5x 3
= (-5)2 – 4.3 = 25 – 12 = 13 >
Vì > nên phương trình có nghiệm phân biệt
1 13 2 13 2 b x a b x a (2,0điểm) 0,5 0,25 0,25 b)
3 1
2 7 5.1
x y x y y y y
x y x y x y x x
1,0
Bài 3: Cho phương trình: x2 – mx + m – = 0 (m tham số) (1)
a) C/m: Phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m.
2
2
( ) 4.1.( 1)
4
( 2) ;
m m m m m m
=> Phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m
(2,5điểm)
0,25 0,25 0,25 0,25
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
2
1
x x
+ Theo Viet: x1 + x2 = = m ; x1.x2 = = m –
+
2
1 5
x x
2
1 2
(x x ) 2 x x 5
m2 – (m – 1) =
m2 – 2m + = 5
m2 – 2m – =
Phương trình có dạng: a – b + c = – (- 2) + (-3) =
Nên: m1 = -1; m2 =
Vậy: m1 = -1 m2 = phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều
kiện: x12 x22 5
0,25
0,25 0,25 0,25
c) Tìm biểu thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc giá trị m.
Ta có: x1 + x2 – = x1.x2 x1 + x2 – x1.x2 =
Vậy: Một biểu thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc giá trị m là: x1 + x2 – x1.x2
0,25 0,25
Bài 4:
(7) P + N= 1800 Tứ giác PMNO nội tiếp 0,5 b) Tính độ dài đoạn MN:
Áp dụng định lí Py-Ta –go vào tam giác vng MON ta có
MN = MO2 ON2 = 102 62 = cm 0,5
c) Vì: H trung điểm AB, nên: OH AB
OHM = ONM = 900
OHM ONM nhìn đoạn OM góc 900
Tứ giác MNHO nội tiếp
MHN = MON ( chắn cungMN)
0,25 0,25 0,25 0,25
d) Gọi diện tích cần tính SVP
SVP = SqAOB SAOB
+ Ta có: 0A = OB = AB = 6cm => AOBđều => SAOB = 15,59
+ SqAOB =
2
2
.6 60
6 18,84( ) 360 360
R n
cm
=>SVP = Sq S= 6 - = 3(2 - 3) 18,84 - 15,59 3,25 (cm2)