Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên và ứng dụng trong khí tượng thủy văn – HUS

NÕu c¸c thμnh phÇn trùc giao tù nhiªn nhËn ®−îc theo mét tËp mÊt tÝnh æn ®Þnh khi chuyÓn sang nh÷ng tËp kh¸c, th× viÖc øng dông khai triÓn nh− vËy vμo thùc tÕ trë thμnh Ýt hiÖu qu¶ vμ [r]

Đại học quốc gia h nội

Tr−ờng đại học khoa học tự nhiên

Đ I KAZAKEVITS

cơ sở lý thuyết hm ngÉu nhiªn

vμ

øng dơng khí tợng thủy văn

Ngời dịch: Phan Văn Tân

Phạm Văn Huấn

Nguyễn Thanh Sơn

Hiệu đính: Nguyễn Văn Tuyên



 

       



 



                      

 

Môc Lôc

Mơc Lơc 3

Lêi giíi thiƯu 5

Lêi nói đầu 6

Chơng 1: Một số khái niệm lý thuyết xác suất 8

1.1 Đại lợng ngẫu nhiên v luật phân bố 8

1.2 Các đặc tr−ng số đại l−ợng ngẫu nhiên 12

1.3 Luật phân bố Poatxông 15

1.4 Luật phân bố 16

1.5 LuËt ph©n bè chuẩn 18

1.6 Luật phân bố Rơle v Macxoen 21

1.7 Hệ đại l−ợng ngẫu nhiên vμ luật phân bố chúng 24

1.8 Các đặc tr−ng số hệ đại l−ợng ngẫu nhiên 29

1.9 Các định lý đặc tr−ng số 32

1.10 Luật phân bố chuẩn hệ đại l−ợng ngẫu nhiên 34

1.11 Luật phân bố hμm đối số ngẫu nhiên 39

1.12 Hμm đặc tr−ng 45

Ch−ơng 2: Hμm ngẫu nhiên vμ cỏc c trng ca chỳng 50

2.1 Định nghĩa hm ngẫu nhiên 50

2.2 Các qui luật phân bố trình nhẫu nhiên 51

2.3 Cỏc c tr−ng q trình ngẫu nhiên 53

2.4 HƯ trình ngẫu nhiên Hm tơng quan quan hệ 57

2.5 Quá trình ngẫu nhiên dừng 60

2.6 Tính egodic trình ngẫu nhiên dừng 65

2.7 Hμm cÊu tróc 67

2.8 Giíi h¹n trình ngẫu nhiên 69

2.9 Đạo hm hm ngẫu nhiên 70

2.10 Tích phân hm ngẫu nhiên 74

2.11 Các hm ngẫu nhiên phøc 76

2.12 Tr−ờng ngẫu nhiên vμ đặc tr−ng 78

2.13 Tr−ờng ngẫu nhiên đồng vμ đẳng h−ớng 80

2.14 Tr−êng vÐct¬ ngÉu nhiªn 83

Ch−ơng 3: Phân tích điều hoμ q trình ngẫu nhiên dừng vμ tr−ờng đồng 85

3.1 Các trình dừng có phổ rời rạc 86

3.2 Các trình dừng có phổ liên tục 89

3.3 Phân tích điều hoμ tr−ờng ngẫu nhiên đồng 99

Ch−ơng 4: Biến đổi tuyến tính trình ngẫu nhiên dừng 104

4.1 Biến đổi hμm ngẫu nhiên tốn tử tuyến tính 104

4.2 Biến đổi tuyến tính d−ới dạng phổ 105

4.3 Mật độ phổ phép biến đổi tuyến tính q trình ngẫu nhiên dừng 108

4.4 nghiƯm dõng phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số số 110

Chơng 5: Nội ngoại suy v lm trơn hm ngẫu nhiên 115

5.1 Đặt bi toán 115

5.4 Lm trơn trình ngẫu nhiên cho khoảng vô hạn (,+) 126

5.5 Ngoại suy v lm trơn hm ngẫu nhiên cho khoảng (,t) nhờ sử dụng phơng pháp cđa lý thut hμm biÕn phøc 128

5.6 Ngo¹i suy v lm trơn trình ngẫu nhiên biểu diễn hm tơng quan dới dạng tổng hm mò 138

Ch−ơng 6: Xác định đặc tr−ng hμm ngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm 143

6.1 Các đặc tr−ng thống kê hμm ngẫu nhiên 143

6.2 Các đặc tr−ng thống kê hμm ngẫu nhiên có tính Egođic 146

Ch−¬ng 7: Nghiên cứu cấu trúc thống kê trờng khÝ t−ỵng 159

7.1 NhËn xÐt chung vỊ cÊu trúc trờng khí tợng 159

7.2 Cu trỳc thống kê tr−ờng địa vị 162

7.3 Cấu trúc thống kê tr−ờng nhiệt độ khơng khí 165

7.4 CÊu tróc thèng kª tr−êng giã 168

7.5 Cấu trúc thống kê tr−ờng độ cao thảm tuyết vμ tối −u hố cơng tác quan trắc thảm tuyết 170

Ch−¬ng 8: Khai triĨn trình ngẫu nhiên v trờng ngẫu nhiên thnh thnh phần trực giao tự nhiên 173

8.1 ThiÕt lËp bμi to¸n 173

8.2 Mét sè kiÕn thức lý thuyết phơng trình tích phân 176

8.3 Tìm thnh phần trực giao tự nhiên 178

8.4 Biểu diễn trờng khí tợng dới dạng tổng thnh phần trực giao tự nhiên 186

Chơng 9: Những ví dụ ngoại suy tuyến tính tối u trình khí tợng thủy văn 189

9.1 Ngoại suy tối u dòng chảy sông theo phơng pháp I M Alekhin 189

9.2 Phân tÝch phỉ vμ ngo¹i suy chØ sè hoμn l−u vÜ h−íng 192

Ch−ơng 10: Một số vấn đề mơ tả tr−ờng tốc độ gió 198

10.1 Hμm t−ơng quan tốc độ gió 198

10.2 Khch t¸n rèi 203

Ch−ơng 11: Về việc tính mật độ phổ q trình ngẫu nhiên dừng Phổ sóng biển 206

11.1 Xác định mật độ phổ theo số liệu thực nghiệm 206

11.2 Ph©n tÝch phỉ sãng biĨn 211

Lêi giíi thiƯu

Lý thuyết xác suất v toán học thống kê nói chung v lý thuyết hm ngẫu nhiên nói

riêng l công cụ toán học quan trọng đợc sử dụng rộng rÃi v hiệu khoa

học khí tợng, thủy văn v hải dơng học

Trong chơng trình đo tạo chuyên ngnh khí tợng, thủy văn v hải dơng học việc

ứng dụng phơng pháp thống kê v lý thuyết trình ngẫu nhiên có mặt

nhiu mụn hc vμ thể d−ới hình thức khác Tuy nhiên, n−ớc

ta ch−a có tμi liệu giảng dạy dùng chuyên cho ngμnh khí t−ợng thủy văn,

cơ sở lý thuyết xác suất, tốn học thống kê đ−ợc trình bμy đầy đủ, hệ thống nh−ng dễ

hiểu trình độ tốn t−ơng ứng sinh viên nhóm ngμnh nμy

Cn “C¬ së lý thut hμm ngẫu nhiên v ứng dụng khí tợng thủy văn cđa § I

Kazakevits, ng−ời giảng dạy toán học cao cấp vμ lý thuyết xác suất thống kê nhiều

năm Tr−ờng đại học khí t−ợng thủy văn Lêningrat, tỏ đáp ứng tốt yờu cu

trên Ngoi ra, tác giả giáo trình ny am hiểu v có công tổng quan ứng

dụng công cụ lý thuyết hm ngẫu nhiên nghiên cứu khí tợng, thủy văn, hải dơng

hc, ch nhng nμo vμ nμo ph−ơng pháp nμy áp dụng hợp lý vμ

hiệu quả, đặc thù thao tác với liệu khí t−ợng thủy văn tính

to¸n Nh− vËy cn s¸ch võa cã tÝnh chÊt gi¸o khoa võa lμ mét chuyên khảo có ích

không cho sinh viên học tập m l ti liệu tham khảo cho nghiên cứu sinh

v nhng ngi nghiờn cứu Hội đồng khoa học Khoa Khí t−ợng thủy văn vμ hải d−ơng

học định dịch nguyên sách nμy lμm giáo trình giảng dạy mơn học “Lý thuyết

các trình ngẫu nhiên” chuyên ngμnh nμy Tr−ờng đại học khoa học tự nhiên

Bản dịch chắn thiếu sót liên quan đến dịch thuật vμ in ấn Rất mong

đ−ợc thầy giáo vμ bạn đọc góp ý

Lêi nói đầu

Trong hai chc nm gn õy ng−ời ta thấy cơng cụ tốn học lý thuyết hμm ngẫu nhiên đ−ợc sử dụng rộng rãi khí t−ợng học vμ thuỷ văn học Cơ sở điều nμy lμ ý t−ởng xem xét giá trị tức thời ghi đ−ợc trình vμ tr−ờng khơng gian khí t−ợng thuỷ văn nh− thể riêng biệt trình ngẫu nhiên hay tr−ờng ngẫu nhiên nμo Cách tiếp cận nh− cho phép không cần xét đặc điểm giá trị tức thời riêng rẽ tr−ờng khí t−ợng thuỷ văn với mối phụ thuộc vμo toạ độ khơng gian vμ biến trình thời gian phức tạp vμ không rõ nét vμ chuyển sang nghiên cứu số tính chất trung bình tập hợp thống kê thể ứng với tập điều kiện bên ngoμi cụ thể nμo

Quan điểm lý thuyết xác suất nghiên cứu t−ợng khí t−ợng vμ thuỷ văn học có sử dụng công cụ lý thuyết hμm ngẫu nhiên tỏ hiệu lĩnh vực: lý thuyết rối, xây dựng ph−ơng pháp dự báo thời tiết hạn dμi, phân tích khách quan tr−ờng khí t−ợng, đánh giá tính đại diện số liệu quan trắc, độ xác dụng cụ đo, giải vấn đề hợp lý hoá phân bố mạng l−ới trạm khí t−ợng, xây dựng ph−ơng pháp dự báo dịng chảy sơng vμ đặc tr−ng khí t−ợng thuỷ văn, nh− nhiều vấn đề khác

Đóng góp to lớn vμo h−ớng nμy lμ cơng trình đặt móng A.N Kolmogorov nh− kết nghiên cứu A.M Obukhov, A.S Monin, A.M Iaglom, M.I Iuđin, L.S Ganđin, N.A Bagrov, O.A Đrozđov, E.P Borisenkov, N.A Kartvelishvili, I.M Alekhin vμ nhμ khoa học khí t−ợng thuỷ văn hμng đầu n−ớc ta

Từ dẫn đến phải mở rộng giáo trình lý thuyết xác suất tr−ờng khí t−ợng thuỷ văn vμ đ−a khoá chuyên đề sở lý thuyết hμm ngẫu nhiên vμ điều nμy đ−ợc thực lần vμo năm 1961 Tr−ờng khí t−ợng thuỷ văn Leningrat

Cuốn sách nμy đ−ợc viết sở giáo trình lý thuyết hμm ngẫu nhiên mμ tác giả giảng dạy nhiều năm cho sinh viên chuyên ngμnh dự báo thời tiết ph−ơng pháp số trị Tr−ờng khí t−ợng thuỷ văn Leningrat, vμ lμ giáo trình học tập cho sinh viên vμ nghiên cứu sinh tr−ờng đại học khí t−ợng thuỷ văn vμ khoa t−ơng ứng tr−ờng đại học tổng hợp nh− cho rộng rãi chun gia khí t−ợng thuỷ văn Cuốn sách đ−ợc sử dụng nh− lμ tμi liệu học tập cho sinh viên vμ kỹ s− chuyên ngμnh khác quan tâm đến lý thuyết hμm ngẫu nhiên vμ ứng dụng

Lý biên soạn sách nh− xuất phát từ chỗ ch−a có tμi liệu giáo khoa lý thuyết hμm ngẫu nhiên đáp ứng cách đầy đủ nhu cầu chuyên gia vμ sinh viên ngμnh khí t−ợng thuỷ văn Hơn nữa, thâm nhập ngμy cμng tăng lý thuyết hμm ngẫu nhiên vμo khí t−ợng học vμ thuỷ văn học địi hỏi chun gia khí t−ợng, thuỷ văn phải nhanh chóng vμ chủ động chiếm lĩnh

một chút Do có hai loại giáo trình lý thuyết hμm ngẫu nhiên

Tμi liệu loại thứ trình bμy chặt chẽ lý thuyết trình xác suất dựa tốn học trình độ cao (thí dụ nh− J Dub "Các trình xác suất", I A Rozanov "Các trình ngẫu nhiên dừng") Những sách nμy dùng cho chuyên gia toán nên khó sinh viên tr−ờng khí t−ợng thuỷ văn nh− kỹ s− ch−a đ−ợc trang bị toán học đầy đủ Loại thứ hai lμ chun khảo vμ sách giáo khoa trình bμy sở lý thuyết hμm ngẫu nhiên t−ơng ứng với nhu cầu lý thuyết điều khiển tự động vμ kỹ thuật vô tuyến Việc sử dụng sách loại nμy chuyên gia khí t−ợng thuỷ văn bị khó khăn lý thuyết hμm ngẫu nhiên vμ ph−ơng pháp lý thuyết điều khiển tự động hay kỹ thuật vô tuyến gắn chặt với nhau, khó tách biệt đ−ợc Ngoμi ra, ch−a phản ánh đ−ợc khía cạnh quan trọng ứng dụng lý thuyết nμy vμo khí t−ợng thuỷ văn học

Cuốn sách nμy nhằm độc giả với kiến thức toán đ−ợc trang bị mức giáo trình tốn cao cấp dμnh tr−ờng đại học chun ngμnh khí t−ợng thuỷ văn Trong trình bμy, buộc phải dùng đến ph−ơng pháp vμ khái niệm quen thuộc, chúng đ−ợc diễn giải cách ngắn gọn (ví dụ, số dẫn liệu từ lý thuyết ph−ơng trình tích phân, vμi khái niệm đại số tuyến tính, hμm đelta v.v )

Vì số chun gia khí t−ợng thuỷ văn ch−a có đủ kiến thức lý thuyết xác suất, ch−ơng khái quát số kiến thức từ lý thuyết xác suất mμ sau nμy dùng đến trình bμy lý thuyết hμm ngẫu nhiên Việc trình bμy chi tiết vấn đề nμy có sách giáo khoa lý thuyết xác suất, chẳng hạn giáo trình tiếng E.S Ventxel [4] Độc giả nμo quen với lý thuyết xác suất bỏ qua ch−ơng nμy

Nội dung trình bμy sách khơng nhằm bao quát đầy đủ lý thuyết hμm ngẫu nhiên, mμ chủ yếu xét khía cạnh nμo lý thuyết có ứng dụng rộng rãi khí t−ợng thuỷ văn học Ngoμi ra, tác giả chủ yếu tập trung trình bμy cho đơn giản vμ dễ hiểu, khơng bị gị bó u cầu chặt chẽ toμn diện mặt toán học

Cuốn sách gồm hai phần Phần thứ trình bμy sở lý thuyết hμm ngẫu nhiên, bên cạnh việc xét trình ngẫu nhiên chiều, ý nhiều đến tr−ờng ngẫu nhiên không gian Phần thứ hai xét số bμi tốn khí t−ợng, thuỷ văn đ−ợc giải ph−ơng pháp lý thuyết hμm ngẫu nhiên Tuy nhiên hoμn toμn không đặt mục tiêu tổng quan hệ thống tất công trình nghiên cứu giải bμi tốn khí t−ợng thuỷ văn ph−ơng pháp lý thuyết hμm ngẫu nhiên Những tổng quan nh− ứng dụng lý thuyết hμm ngẫu nhiên khí t−ợng thuỷ văn tìm thấy nhiều cơng trình tác giả vμ ngoμi n−ớc [5,18,20, 14,45,9,57 ]

Trong sách nμy lựa chọn số bμi toán khí t−ợng vμ thuỷ văn tiêu biểu cho phép minh hoạ ứng dụng ph−ơng pháp lý thuyết hμm ngẫu nhiên trình bμy phần đầu sách Vμ tập trung chủ yếu vμo vấn đề ph−ơng pháp luận

Tác giả hy vọng sách giúp đông đảo nhμ khí t−ợng thuỷ văn lĩnh hội ý t−ởng vμ ph−ơng pháp lý thuyết hμm ngẫu nhiên vμ ứng dụng chúng vμo thực tiễn khí t−ợng thủy văn học

PhÇn - Cơ sở lý thuyết hm ngẫu nhiên

Chơng 1: Một số khái niệm lý thuyết xác suất

1.1 Đại lợng ngẫu nhiên v luật phân bố

i lng ngu nhiên lμ đại l−ợng mμ tiến hμnh loạt phép thử điều kiện nh− lần nhận đ−ợc giá trị nμy giá trị khác hoμn toμn tr−ớc đ−ợc

Ng−ời ta chia đại l−ợng ngẫu nhiên thμnh hai dạng lμ đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc vμ đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục Đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc lμ đại l−ợng ngẫu nhiên mμ giá trị liệt kê đ−ợc, tức lμ đánh số thứ tự tập số tự nhiên Còn đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục lμ đại l−ợng ngẫu nhiên mμ giá trị phủ đầy đoạn trục số, vμ khơng thể đánh số đ−ợc

Ví dụ đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc lμ số điểm gieo xúc xắc Đại l−ợng ngẫu nhiên nμy với lần thí nghiệm nhận sáu giá trị: 1, 2, 3, 4,

Đại l−ợng ngẫu nhiên đ−ợc xem lμ rời rạc nhận số nguyên, số hữu tỷ Khi tập giá trị đại l−ợng ngẫu nhiên lμ vô hạn

Đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục lμ đại l−ợng ngẫu nhiên mμ kết thí nghiệm nhận giá trị số thực nμo khoảng vμi khoảng nμo Ví dụ nhiệt độ khơng khí, áp suất khơng khí độ lệch chúng so với trung bình chuẩn nhiều năm, thμnh phần vectơ vận tốc gió coi lμ đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục

Sai số dụng cụ đo xem lμ đại l−ợng ngẫu nhiên Thông th−ờng, sai số nμy lμ đại l−ợng ngẫu nhiên dạng liên tục Ta qui −ớc ký hiệu đại l−ợng ngẫu nhiên chữ hoa: A, B, C, X, Y cịn giá trị chúng lμ chữ in th−ờng t−ơng ứng: a, b, c, x, y

Giả sử đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1, x2, , xn với xác

suÊt p1, p2, , pn

Khi liệt kê đ−ợc giá trị mμ đại l−ợng ngẫu nhiên có vμ cho tr−ớc xác suất mμ giá trị nhận, ta hoμn toμn xác định đ−ợc đại l−ợng ngẫu nhiên

Hệ thức xác lập mối liên hệ giá trị đại l−ợng ngẫu nhiên vμ xác suất t−ơng ứng chúng gọi lμ luật phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc, luật phân bố cho d−ới dạng bảng mμ hμng lμ giá trị có đại l−ợng ngẫu nhiên xi, vμ hμng khác lμ xác

x1x2x3 xn

p1p2p3 pn

Khi số l−ợng giá trị đại l−ợng ngẫu nhiên lμ hữu hạn vơ hạn, cịn tổng xác suất hμng thứ hai bảng, giống nh− tổng xác suất nhóm đầy đủ kiện xung khắc,

pi =

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục lập bảng t−ơng tự nh− vậy, khơng thể liệt kê đ−ợc giá trị Ngoμi ra, nh− thấy sau nμy, xác suất đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị cụ thể khơng, xác suất mμ nhận giá trị khoảng vơ bé xung quanh giá trị khác không

Để đặc tr−ng đầy đủ cho đại l−ợng ngẫu nhiên, loại rời rạc lẫn loại liên tục, ng−ời ta sử dụng luật phân bố tích phân, gọi lμ hμm phân bố

Luật phân bố tích phân F(x) đại l−ợng ngẫu nhiên X đ−ợc định nghĩa lμ xác suất đại l−ợng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ số x nμo đó:

F(x) = P(X<x), (1.1.1) ë P(X<x) l ký hiệu xác suất kiện X<x

Nếu xem đại l−ợng ngẫu nhiên X nh− lμ vị trí điểm trục số, giá trị hμm F(x) có nghĩa lμ xác suất để điểm nμy nằm bên trái điểm x Sự lý giải hình học nh− lμm rõ tính chất sau hμm phân bố:

1) F(x) lμ hμm khơng giảm theo đối số, có nghĩa với x2>x1 F(x2)≥F(x1);

2) F(−∞) = nh− lμ x¸c suÊt cđa sù kiƯn bÊt kh¶; 3) F(+∞) = nh− lμ x¸c st cđa sù kiƯn tÊt u

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc giá trị hμm phân bố F(x) lμ tổng xác suất pi

mọi giá trị xi nhỏ x, tức lμ:

F x P X xi

xi x

( )= ( = )

<

 (1.1.2)

H×nh 1.1

0 α β x

F(x)

H×nh 1.2

Từ thấy rằng, đồ thị hμm phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc lμ đ−ờng bậc thang có điểm gián đoạn xi, vμ giá trị đột biến điểm pi = P(X=xi)

tơng ứng với xác suất p=1/6

Đồ thị hμm phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục mμ giá trị lấp đầy khoảng [a, b] nμo th−ờng lμ đ−ờng cong liên tục tăng từ đến (hình 1.2)

Tuy nhiên, đ−a ví dụ đại l−ợng ngẫu nhiên mμ giá trị lấp đầy hoμn toμn khoảng nμo đó, nh−ng đồ thị hμm phân bố lại có điểm gián đoạn Đại l−ợng ngẫu nhiên nh− gọi lμ đại l−ợng ngẫu nhiên dạng hỗn hợp Đại l−ợng ngẫu nhiên dạng hỗn hợp thực tế gặp

Sau nμy ta gọi đại l−ợng ngẫu nhiên mμ hμm phân bố liên tục vμ khả vi lμ đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục

Khi biết hμm phân bố xác định đ−ợc xác suất để đại l−ợng ngẫu nhiên nhận giá trị khoảng cho tr−ớc

Ta xác định xác suất P(a ≤ X <b) lμ xác suất mμ đại l−ợng ngẫu nhiên X nhận giá trị lớn a vμ nhỏ b

Xác suất P(X<b) đại l−ợng ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ b coi nh− tổng xác suất hai kiện xung khắc

P(X<b) = P(X<a) + P(a ≤ X <b) (1.1.3 Từ đó:

P(a ≤ X ≤b) = P(X<b) − P(X<a) = F(b) − F(a) (1.1.4) Nh− vậy, xác suất mμ đại l−ợng ngẫu nhiên nhận giá trị khoảng cho tr−ớc, nh− ng−ời ta th−ờng nói lμ đại l−ợng ngẫu nhiên rơi vμo khoảng cho tr−ớc, số gia hμm phân bố khoảng

Bây ta xét đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục X vμ thu hẹp khoảng, cho b tiến đến a Khi tính liên tục hμm phân bố, F(b) tiến đến F(a) Nh− vậy, lấy giới hạn đẳng thức (1.1.4) vế trái cho xác suất đại l−ợng ngẫu nhiên X nhận giá trị a, vế phải dần đến Rõ rμng, đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục xác suất nhận giá trị cụ thể nμo

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục viết cơng thức (1.1.4) để tính xác suất rơi vμo khoảng đại l−ợng ngẫu nhiên d−ới dạng

P(a < X <b) = F(a) − F(b) (1.1.5) Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục, hμm phân bố liên tục vμ khả vi, nên sử dụng đạo hμm hμm phân bố với t− cách lμ luật phân bố, đ−ợc ký hiệu f(x)

x

) x ( F ) x x ( F lim )

x ( ' F ) x ( f

0

x Δ

− Δ + =

=

→

Δ (1.1.6) vμ gọi đ−ợc lμ luật phân bố vi phân hay lμ mật độ phân bố

Mật độ phân bố lμ đạo hμm hμm khơng giảm F(x) nên lμ hμm khơng âm, tức lμ f(x) ≥ với x



∞ −

x

dx ) x (

f = F(x) − F(−∞) (1.1.7) Vì F()= 0, nên:

= xf(x)dx )

x (

F (1.1.8)

Từ công thức (1.1.6) vμ (1.1.8) ta thấy hμm phân bố vμ mật độ phân bố biểu diễn đ−ợc qua vμ đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục cần hai hμm phân bố hμm mật độ lμ đủ để đặc tr−ng cho

Ta biểu diễn xác suất rơi đại l−ợng ngẫu nhiên vμo khoảng cho tr−ớc (a,b) qua mật độ phân bố

Sö dụng (1.1.5) v (1.1.8), ta đợc:

∞

− −∞

= −

= −

= <

< b a b

a

dx ) x ( f dx ) x ( f dx

) x ( f ) a ( F ) b ( F ) b X a (

P (1.1.9)

Từ thấy rằng, xác suất rơi đại l−ợng ngẫu nhiên khoảng (a,b) cho tr−ớc diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hμm f(x) (đ−ợc gọi lμ đ−ờng cong phân bố), trục 0x vμ đ−ờng thẳng x=a, x=b (hình 1.3)

Giả sử (1.1.9) đặt a = −∞ vμ b = +∞, ta nhận đ−ợc:



∞ ∞ −

= = +∞ < <

−∞ X ) 1 f(x)dx

(

P , (1.1.10)

tøc lμ tæng diện tích nằm dới đờng cong phân bố

H×nh 1.3

Để tích phân xác định (1.1.10) hội tụ, điều kiện cần lμ

lim

x→−∞f(x) = vμ lim

Ta lấy điểm x tuỳ ý vμ đoạn phần tử dx kế cận (xem hình 1.3) Đại l−ợng f(x)dx gọi lμ xác suất phần tử, với độ xác đến vơ bé bậc cao hơn, xác định xác suất rơi đại l−ợng ngẫu nhiên đoạn phần tử

1.2 Các đặc tr−ng số đại l−ợng ngẫu nhiên

Luật phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên lμ đặc tr−ng đầy đủ Tuy nhiên, khơng phải lúc nμo xác định đ−ợc luật phân bố, thơng th−ờng ng−ời ta sử dụng số đặc tr−ng số biểu thị nét đ−ờng cong phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên Đó lμ mơmen phân bố với bậc khác

Mômen gốc bậc k mk[X] đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc X lμ tổng dạng:

i i

k i

k[X] x p

m = (1.2.1) với xi lμ giá trị đại l−ợng ngẫu nhiên, pi lμ xác suất t−ơng ứng

chóng

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục phép lấy tổng theo giá trị rời rạc xi đ−ợc

thay phép lấy tích phân theo toμn giá trị đối số liên tục x Khi xác suất pi đ−ợc thay xác suất phần tử f(x)dx

Nh− vậy, đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục:

dx ) x ( f x ] X [

mk ∞ k

∞ −

= (1.2.2) Mômen gốc bậc m1[X] lμ kỳ vọng toán học đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ đ−ợc

ký hiƯu lμ M[X] hc mx

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc:

i

i i

p x ]

X [

M = (1.2.3) Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục:

dx ) x ( f x ] X [

M ∞

∞ −

= (1.2.4) Mômen gốc bậc k lμ kỳ vọng toán học đại l−ợng ngẫu nhiên luỹ thừa k, tức lμ:

mk[X] = M[X k

] (1.2.5) Độ lệch đại l−ợng ngẫu nhiên X khỏi kỳ vọng tốn học đ−ợc gọi lμ đại l−ợng ngẫu nhiên qui tâm vμ ký hiệu X

o

Xo =X−mx (1.2.6)

Mômen trung tâm bậc k μk[X] đại l−ợng ngẫu nhiên X lμ mômen gốc bậc k

đại l−ợng ngẫu nhiên qui tâm:

μk[X] = mk[X

o

] = M[X

o

k

] = M[(X−mx) k

thõa k

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc:

i k x

i i

p ) m x ( ] X [

M = − (1.2.8) Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục:

dx ) x ( f ) m x ( ] X

[ x k

k 

∞ ∞ −

− =

μ (1.2.9) Mômen trung tâm bậc luôn không Thật vậy, đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục:

= −

= −

=

μ ∞

∞ −

dx ) x ( f ) m x ( ] m X [ M ] X

[ x x

1

0 m m dx ) x ( f m dx ) x (

xf − x = x − x =

=  ∞

∞ − ∞

∞ −

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc:

0 m m p m p x p

) m x ( ] X

[ x x

i i

x

i i i

i i x i

1 = − = − = − =

μ   

Các mômen gốc lμ mômen đ−ờng cong phân bố so với trục tung Mômen trung tâm lμ mômen đ−ờng cong phân bố so với trục qua trọng tâm đ−ờng cong

Mơmen trung tâm bậc hai đ−ợc gọi lμ ph−ơng sai đại l−ợng ngẫu nhiên vμ ký hiệu lμ D[X] hay Dx

Dx = μ2[X] = M[(X−mx)

] (1.2.10) Ph−ơng sai lμ kỳ vọng tốn học bình ph−ơng độ lệch đại l−ợng ngẫu nhiên khỏi kỳ vọng tốn học

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc:

i x

i i

p ) m x ( ] X [

D = − (1.2.11) Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục:

dx ) x ( f ) m x ( ] X [

D ∞ x

∞ −

−

= (1.2.12) Ph−ơng sai đại l−ợng ngẫu nhiên lμ đặc tr−ng cho phân tán, tản mạn đại l−ợng ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng tốn học Ph−ơng sai có thứ ngun lμ bình ph−ơng thứ nguyên đại l−ợng ngẫu nhiên Để có đ−ợc đặc tr−ng phân tán thứ nguyên với đại l−ợng ngẫu nhiên ng−ời ta sử dụng độ lệch bình ph−ơng trung bình, bậc hai ph−ơng sai vμ đ−ợc ký hiệu lμ σ[ ]X σx, σx = Dx

bậc lẻ khơng Thực vậy, ví dụ đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục, từ (1.2.9) ta có:

dx ) x ( f ) m x ( ] X

[ x 2k

1 k

2 

∞ ∞ −

+

+ = −

μ

Thay biến y = x − mx tích phân, đó:

= +

=

μ ∞

∞ −

+1[X] yf(y mx)dy k

2 yf(y m )dy yf(y m )dy

0

x

x 

 ∞

∞ −

+ +

+

Trong tích phân đầu tiên, thay y = z, ta đợc:

dy ) m y ( yf dz ) z m ( zf ]

X [

0

x

x

k

2  

∞ ∞

+ =− − + +

μ =

0 dx ) m x ( xf dx

) x m ( xf

0

x

x − + + =

−

= ∞ ∞

vì hμm f(x) đối xứng mx:

f(mx+x) = f(mx−x)

Để đặc tr−ng cho tính bất đối xứng, ng−ời ta chọn mômen số mômen trung tâm bậc lẻ khác không, tức lμ μ3 Ngoμi ra, để có đại l−ợng vơ

thứ nguyên đặc tr−ng cho tính bất đối xứng phân bố, ng−ời ta dùng đại l−ợng:

3 S

σ μ

= , (1.2.13) gọi lμ hệ số bất đối xứng

Mômen trung tâm bậc bốn đặc tr−ng cho nhọn đỉnh, dốc đứng đ−ờng cong phân bố, đặc tr−ng gọi lμ độ nhọn vμ đ−ợc xác định theo công thức:

3 E 44 −

σ μ

= (1.2.14) Đối với loại phân bố thờng gặp lμ ph©n bè chn, nh− sÏ thÊy mơc 1.5, μ4/σ4

= 3, cã nghÜa lμ E=0

§èi với đờng cong phân bố nhọn đờng cong phân bố chuẩn E > 0; tù th× E < (h×nh 1.4)

H×nh 1.4

μ2 = m2 − m12,

μ3 = m3−3m1m2 + 2m13,

μ4 = m4− 4m3m1 + 6m2m12− 3m14 (1.2.15)

Biểu thức thứ thuận tiện cho việc tính ph−ơng sai, biểu thức thứ hai vμ ba thuận tiện tính độ bất đối xứng vμ độ nhọn phân bố

Chẳng hạn, ta chứng minh đẳng thức thứ (1.2.15) đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục:

 

 ∞

∞ − ∞

∞ − +∞

∞ −

+ −

= −

=

μ2 (x mx)2f(x)dx x2f(x)dx 2mx xf(x)dx 2 x x

2

x f(x)dx m 2m m m m

m = − + = −

+ ∞

∞ −

Ta xét luật phân bố vμ đặc tr−ng số chúng th−ờng gặp nht thc t

1.3 Luật phân bố Poatxông

Một luật phân bố phổ biến đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc lμ luật phõn b Poatxụng

Về phơng diện toán học luật Poatxông đợc biểu diễn bởi:

, ! m a e ) m X ( P

m a

−

=

= (1.3.1) P(X=m) lμ xác suất mμ đại l−ợng ngẫu nhiên X nhận giá trị số nguyên m Có thể diễn giải đại l−ợng ngẫu nhiên X tuân theo luật phân bố Poatxông nh− sau:

Giả sử theo thời gian kiện A nμo xảy nhiều lần Ta xem số lần xuất kiện nμy suốt khoảng thời gian cho tr−ớc [t0,t0+T] nh− lμ mt i lng

ngẫu nhiên

Đại lợng ngẫu nhiên ny tuân theo luật phân bố Poatxông điều kiện sau đợc thực hiện:

1 Xác suất rơi số kiện cho tr−ớc vμo khoảng thời gian xét phụ thuộc vμo số kiện vμ độ dμi khoảng thời gian T, nh−ng khơng phụ thuộc vμo điểm đầu to

của Điều có nghĩa lμ kiện phân bố theo thời gian với mật độ trung bình nh− nhau, tức lμ kỳ vọng toán học số kiện đơn vị thời gian số

2 Xác suất số lần xuất kiện cho khoảng [to, to+T] không phụ

thuộc vμo số lần vμ thời điểm xuất kiện tr−ớc thời điểm to, điều có nghĩa lμ có

sự độc lập t−ơng hỗ số lần xuất kiện khoảng thời gian không giao

3 Xác suất xuất hai hay nhiều kiện khoảng thời gian yếu tố [t, t+Δt] bé so với xác suất xuất kiện

Theo (1.2.3) kỳ vọng toán học đ−ợc xác định d−ới dạng:    ∞ = − − ∞ = − ∞ = = = − = m m a m m a m m

x (m 1)!

a ae ! m a me mp

m (1.3.2)

Chuỗi số (1.3.2) lμ chuỗi Macloren hμm ea

, đó: mx = ae

-a

ea

= a (1.3.3) Nh− vậy, tham số a công thức (1.3.1) lμ kỳ vọng toán học đại l−ợng ngẫu nhiên tuân theo luật Poatxông

Theo (1.2.15), ph−ơng sai đại l−ợng ngẫu nhiên X đ−ợc xác định d−ới dạng:

= − = − = ∞ − = ∞ = 

 a m

0 m 2 m m

x m! a

a e m a p m D = − − + − = − − =  ∞ = − − ∞ = − − m m a m m a a )! 1 m ( a ] 1 ) 1 m [( ae a )! 1 m ( a m ae 1 1 ] )! ( )! ( ) ( [ a m a m a m ae m m m m a − − + − − =  ∞ = − ∞ = −

− (1.3.4)

Mỗi thμnh phần tổng vô hạn (1.3.4) lμ chuỗi Macloren i vi hm ea

, đợc viÕt d−íi d¹ng ,

! ∞ = k k k a

từ (1.3.4) trở thμnh:

Dx = ae-a (aea + ea ) − a2 =a (1.3.5)

Do đó, ph−ơng sai đại l−ợng ngẫu nhiên phân bố theo luật Poatxơng kỳ vọng tốn học

1.4 Luật phân bố

Đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục đ−ợc gọi lμ có phân bố giá trị nằm khoảng nμo vμ mật độ phân bố khoảng khơng đổi

Mật độ phân bố đ−ợc cho công thức:

    < < < − = b > x hc a x b x a a b x f khi 0 khi 1 )

( (1.4.1)

Đờng cong phân bố có dạng nh hình 1.5 Hm f(x) có tính chÊt cña mËt

độ phân bố Thật vậy, f(x)≥ với x, vμ: 1 a b dx dx ) x ( f b a = − =   ∞ ∞ − a b 1 −

a b x

f(x)

Ta xác định hμm phân bố F(x):

F x f x dx

x a x a

b a a x b x b

x

( ) = ( ) =

< −

− < <

>

     −∞

0 1

(1.4.2)

Đồ thị hm phân bố đợc dẫn hình 1.6

Ta xỏc nh cỏc c tr−ng số phân bố Kỳ vọng toán học



 = +

− =

= ∞

∞ −

b a

x xf(x)dx b1a xdx a 2b

m (1.4.3)

Mômen trung tâm bậc k bằng:

dx ) 2

b a x ( a b

1 b k

a

k − +

− =

μ  (1.4.4) Thay biÕn x− + =a b t

2 tÝch ph©n (1.4.4) ta nhận đợc:

dt t a b

1

a b

2 a b

k

k 

−

− −

− =

μ (1.4.5) Từ nhận thấy rng, tt c cỏc

mômen trung tâm bậc lẻ không: 2l-1=0, l=1,2, giống nh tích phân cđa hμm

lẻ khoảng đối xứng

M«men trung tâm bậc chẵn bằng:

a b

F(x)

x H×nh 1.6

, 2 , 1 l , ) 1 l 2 ( 2

) a b ( dt t a b

2

l

l 2

a b

0 l l

2 =

− − = −

=

μ 

−

(1.4.6)

Víi l = 1, ta nhận đợc giá trị phơng sai:

Dx =μ2 = b a− 12

( )

. (1.4.7)

Từ độ lệch bình ph−ơng trung bình lμ:

3 2

a b Dx x

− = =

E b a b a

= − = −

− − = −

μ σ 4

4

3 144

80 3 1 2

( )

( ) , (1.4.9)

1.5 LuËt ph©n bè chuÈn

Trên thực tế th−ờng gặp lμ đại l−ợng ngẫu nhiên mμ mật độ phân bố chúng có dạng:

f x e

x a ( )

( )

= 1 − −

2

2

2

σ π σ (1.5.1) Luật phân bố đặc tr−ng (1.5.1) phổ biến, nên đ−ợc gọi lμ luật phân bố chuẩn, đại l−ợng ngẫu nhiên có mật độ phân bố đ−ợc gọi lμ đại l−ợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn

Trong nhiều t−ợng tự nhiên vμ kỹ thuật, trình xét lμ kết tác động tổng hợp hμng loạt nhân tố ngẫu nhiên Khi đại l−ợng ngẫu nhiên đặc tr−ng số trình xét lμ tổng chuỗi đại l−ợng ngẫu nhiên mμ chúng tuân theo luật phân bố nμo Nếu đại l−ợng ngẫu nhiên lμ tổng số lớn đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập phụ thuộc yếu, vμ đại l−ợng ngẫu nhiên thμnh phần có tỷ trọng đóng góp khơng lớn so với tổng chung, luật phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên tổng lμ chuẩn gần chuẩn, không phụ thuộc vμo phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên thμnh phần

Điều nμy rút từ định lý tiếng Liapunov: đại l−ợng ngẫu nhiên X lμ tổng đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập X1, X2, , Xn,



=

= n

i i

X

X vμ thoả mÃn điều kiện:

Hình 1.7

0 ] X [

] X [ lim n

1

i

i

n σ =

μ



= ∞

→ , (1.5.2) n→∞ luật phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên X tiến vô hạn đến luật chuẩn

Điều kiện (1.5.2) phản ánh tiến dần đến không tỷ số tổng mômen trung tâm tuyệt đối bậc ba μ3[Xi] đại l−ợng ngẫu nhiên Xi vμ lập ph−ơng độ lệch

bình ph−ơng trung bình đại l−ợng ngẫu nhiên tổng cộng X tăng dần số số hạng, vμ đặc tr−ng cho nhỏ t−ơng đối số hạng ngẫu nhiờn tng chung

Đờng cong phân bố luật phân bố chuẩn dẫn hình 1.7 có tên l lát cắt Ơle, hay đờng cong Gauxơ

Đ−ờng cong phân bố đối xứng qua đ−ờng thẳng x=a vμ có cực đại 1

2

®iĨm x=a

Để xác định ý nghĩa tham số a vμ σ, ta tính kỳ vọng toán học vμ ph−ơng sai đại l−ợng ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn:



∞ ∞ −

− −

= xe dx

m

a x x

2

2 ) (

2

1 σ

π

σ (1.5.3)

Thay biÕn tÝch ph©n (1.5.3):

x a t

− =

2 (1.5.4)

ta đợc:

+∞ ∞ −

−

+ σ

= ( 2 t a)e dt

2 1

mx t2 =  

+∞ ∞ −

− +∞

∞ −

−

π + π

σ a e dt

dt te

2 t2 t2

(1.5.5)

Tích phân thứ (1.5.5) khơng lμ tích phân hμm lẻ miền giới hạn đối xứng, tích phân thứ hai lμ tích phân Poatxơng biết, π Từ mx=a, tức lμ tham số a hμm (1.5.1) lμ kỳ vọng toán học đại l−ợng ngẫu

nhiªn

TiÕp theo:

Dx = ( )

( )

∞

+ ∞ −

σ − −

− π

σ 2 x a e dx

1

2

a x

, (1.5.6)

Thực việc đổi biến (1.5.4) tích phân (1.5.6) ta đ−ợc:

Dx =  ∞ +

∞ −

−

π

σ t e dt

2 2 t2

(1.5.7)

Lấy tích phân phần (1.5.7) ta đợc: Dx = σ

2

(1.5.8) Do đó, tham số σ lμ độ lệch bình ph−ơng trung bình đại l−ợng ngẫu nhiên Tham số a vị trí tâm đối xứng đ−ờng cong phân bố, thay đổi a có nghĩa lμ dịch chuyển tâm nμy dọc theo trục 0x Tham số σ xác định tung độ đỉnh đ−ờng cong phân bố,

b»ng 1

2

σ π Trị số σ cμng nhỏ đỉnh cμng cao, tức lμ đ−ờng cong phân bố cμng nhọn Nh− vậy, mật độ xác suất luật phân bố chuẩn đ−ợc xác định hai tham số lμ kỳ vọng toán học đại l−ợng ngẫu nhiên vμ độ lệch bình ph−ơng trung bình ph−ơng sai

Ta tính mômen trung tâm phân bố chuẩn:

μk= ( )

( )



+∞ ∞ −

− −

−a e dx x

a x

k

2

2

2

1 σ

π

σ , (1.5.9)

μk= ( )  ∞ +

∞ −

− dt

e tk t

k

2

2

π

σ , (1.5.10)

LÊy tÝch phân phần ta có:

k= ( )( )  ∞ +

∞ −

− −

−

dt e t

k k t

k

2

2

2 2 1

π

σ , (1.5.11)

V×:

μk-2= ( )  ∞ +

∞ −

− − −

dt e tk t

k

2

2

2

π

, (1.5.12)

nên ta nhận đợc c«ng thøc truy håi:

μk = (k−1)σ2μk-2, (1.5.13)

Vì μo=1 vμ μ1=0 đại l−ợng ngẫu nhiên nμo, nên tất mômen

trung tâm bậc lẻ phân bố chuẩn không Đối với mômen trung tâm bậc chẵn ta có:

μ2=σ2; μ4=3σ4; μ2l = (2l −1)!!σ2l

Từ thấy rằng, phân bố chuẩn độ bất đối xứng vμ độ nhọn không: ,

0

3 =

=

σμ

S = 44 −3=0,

σμ

E

Ta tính xác suất rơi đại l−ợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn vμo khoảng (α,β) Theo (1.1.5) ta có

P(α<X<β) =

( )

 − −

β α

σ

π

σ e dx

a x

2

2

2 1

(1.5.14)

Thay (1.5.4) vμo ta đợc:

P(<X<) =

σ − α

−

π

2 a

2 a

t dt

e

1

(1.5.15)

Hμm

Φ(x) =  −

π

x

t dx

e

2

(1.5.16)

đợc gọi l hm Laplas

T ng thc (1.5.15) biểu diễn xác suất rơi vμo khoảng (α;β) qua hμm Laplas:

P(α<X<β) =

     

   

π −

π  

σ − α

− σ

− β

−

a

0 t

a

0

t dt 2 e dt

e 2

2

1 2

=    

 

   

  − Φ −    

  − Φ

2

2

σ α σ

β a a

(1.5.17)

Hμm Laplas cã c¸c tÝnh chÊt sau: Φ(0) = 0;

2 Φ(∞) = 

∞ −

0

2

2

dt e t

π =1;

3 Φ(−x) = −Φ(x)

H×nh 1.8

Thùc vËy:

Φ(−x) = 

− −

π x

t dt e

2

Thay t = −u ta cã:

Φ(−x) =  − π

− x

0

u du e

2

= −Φ(x)

Nếu tính xác suất rơi khoảng đối xứng qua kỳ vọng toán học (a-h, a+h), P(a−h<X<a+h) = 1

2 Φ 2 Φ 2

a h a+ − a h a



  −  − −  



 

σ σ

=1

2 Φ 2 Φ 2

h h

σ σ



  − −  



  = Φ

h

σ 2



  (1.5.18) Hμm phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên X phân bố chuẩn đ−ợc xác định d−ới dạng:

F(x) =

( )



∞ −

σ − −

π σ

x

a x

dx e

2

1

2 =

= 

∞ −

−

π

t dt e

1

+ 

σ −

∞ −

−

π a x

t dt e

1

=1

2 1+ 2

−



  



 Φ x aσ  (1.5.19) §å thị F(x) đợc biểu diễn hình 1.8 Điểm x= tơng ứng với F(x)=1/2

1.6 Luật phân bố R¬le vμ Macxoen

    

< ≥ =

−

0

0 )

(

2

2

x x e

x x f

x

σ

σ (1.6.1) Trong mục 1.11 modul vectơ ngẫu nhiên phân bố chuẩn hai chiều có độ lệch bình ph−ơng trung bình thμnh phần vμ kỳ vọng không lμ đại l−ợng ngẫu nhiên có luật phân bố Rơle Đồ thị hμm (1.6.1) có dạng nh− hình 1.9 Theo (1.1.8), hμm phân bố (hình 1.10) bằng:

   

< ≥ −

= −

0

0

)

(

2

2

x x e

x F

x

σ

(1.6.2)

Ta xác định đặc tr−ng số phân bố Rơ le:



∞ −

=

0 2

2

1

dx e x m

x

x σ

σ (1.6.3)

Sau lÊy tÝch ph©n phần ta nhận đợc:

mx =

∞ σ − ∞

σ −

+ −

0

x

0

x

dx e

xe

2

2

(1.6.4)

Số hạng thứ (1.6.4) 0, số hạng thứ hai sau thay biến x= 2σt dẫn đến tích phân Poatxơng Từ đó:

mx = σ

π = σ∞ −

2 dt

e 2

0 t2

(1.6.5)

Theo (1.2.12), ph−¬ng sai b»ng:

Dx =

2

2 x

2 x 2 xe dx 2 2

1

2

σ

   

  −π =

   

 

σ π − σ 

∞

σ −

(1.6.6)

T−ơng tự, sử dụng đẳng thức thứ hai vμ thứ ba (1.2.15) vμ sau tính tích phân t−ơng ứng ta nhận đ−ợc giá trị mômen trung tâm bậc ba vμ bậc bốn phân bố:

μ3 = (π−3) πσ

2

3

(1.6.7)

μ4 = 8

3 4

2 −

 

 

 

S =

(π ) πσ

π σ

π π

π π −

−



 

= −

− − ≈

3 2 2

2

2 3

4 4 0 63

3

3

, (1.6.9)

E = ( )

( )

32 3

4 3 0 3

2

2

−

− − ≈ −

π σ

π σ , (1.6.10)

H×nh 1.9 H×nh 1.10

H×nh 1.11

Từ thấy đ−ờng cong phân bố Rơle không đối xứng qua kỳ vọng toán học Điểm cực đại gọi lμ mốt phân bố, nằm phía trái kỳ vọng toán học Giá trị âm độ nhọn đ−ờng cong phân bố Rơle có đỉnh phẳng so với phân bố chuẩn t−ơng ứng (khi giá trị σ)

Nếu vectơ ngẫu nhiên ba chiều tuân theo luật phân bố chuẩn có độ lệch bình ph−ơng trung bình thμnh phần cịn kỳ vọng tốn học khơng, modul vectơ lμ đại l−ợng ngẫu nhiên có mật độ phân bố bằng:

f(x) = x

e khi x

khi x x

2

2

2

0

0 0

2

σ π σ

−

≥ <

   

 (1.6.11)

Hμm f(x) nh− trªn đợc gọi l luật phân bố Măcxoen Ví dụ, phân bố vận tốc phân tử khí tuân theo luật Măcxoen Đồ thị hm (1.6.11) dẫn hình 1.11

Giống nh− phân bố Rơle, phân bố Măcxoen đ−ợc xác định tham số σ T−ơng tự nh− lμm phân bố Rơle, nhận biểu thức sau hμm phân bố vμ đặc tr−ng số phân bố Măcxoen:

F(x) = 2 0

0 0

2

2

Φ x xe khi x

khi x x

σ σ σ

   − 

  

  

 ≥

<

     

−

mx = 2

πσ (1.6.13) Dx = 3

8 2

−



 πσ (1.6.14) 1.7 Hệ đại l−ợng ngẫu nhiên vμ luật phân bố chúng

Khi giải nhiều bμi tốn ng−ời ta th−ờng gặp tình lμ kết thí nghiệm đ−ợc mơ tả khơng phải một, mμ lμ số đại l−ợng ngẫu nhiên Ví dụ, hình synop phụ thuộc vμo nhiều đại l−ợng ngẫu nhiên: nhiệt độ khơng khí, áp suất, độ ẩm

Trong tr−ờng hợp nμy ta nói có hệ đại l−ợng ngẫu nhiên Các tính chất hệ đại l−ợng ngẫu nhiên khơng đ−ợc mơ tả hết tính chất đại l−ợng ngẫu nhiên riêng rẽ, chúng bao hμm mối quan hệ t−ơng hỗ đại l−ợng ngẫu nhiên hệ

Chúng ta xem hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên nh− lμ toạ độ điểm ngẫu nhiên mặt phẳng, hệ ba đại l−ợng ngẫu nhiên nh− lμ toạ độ điểm ngẫu nhiên không gian ba chiều Một cách t−ơng tự, hệ n đại l−ợng ngẫu nhiên đ−ợc xem nh− toạ độ điểm ngẫu nhiên không gian n chiều

Cũng xét hệ đại l−ợng ngẫu nhiên nh− thμnh phần vectơ ngẫu nhiên mặt phẳng, không gian ba chiều n chiều T−ơng ứng với điều nμy, giá trị ngẫu nhiên xi, yi hệ đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y đ−ợc biểu diễn d−ới

dạng điểm Ni,j có toạ độ (xi, yi), d−ới dạng bán kính véctơ ri,j điểm

(h×nh 1.12)

Ta xét luật phân bố hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên

Hμm phân bố hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y lμ xác suất thực đồng thời bất đẳng thức X<x, Y<y

F(x,y) = P (X<x, Y<y) (1.7.1) Về mặt hình học, F(x,y) l xác suất rơi

ca im ngu nhiờn (X,Y) vo hình vng khơng giới hạn nằm góc trái bên d−ới đỉnh điểm (x,y) (hình 1.13)

Hm phân bố có tính chất sau đây: F(x,y) l hm không giảm, tức x2>x1 F(x2,y)F(x1,y), y2>y1

F(x,y2) F(x,y1)

rij

Nij

yj

xi

y

x H×nh 1.12

Thực vậy, chẳng hạn dịch chuyển biên phải hình vuông (tăng x) ta giảm xác suất rơi vo

F(,y) = F(x,) = F(,) =

3 Vì kiện X<+, Y<+ l kiện chắn, nªn F(x,+∞)=P(X<x,Y<+∞) = P(X<x) = F1(x),

với F1(x) lμ hμm phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên X

Một cách tơng tự:

F(+,y) = F2(y),

vi F2(y) hμm phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên Y

4 F(+∞,+∞) =

Ta xác định xác suất rơi điểm ngẫu nhiên vμo hình chữ nhật có cạnh song song với trục toạ độ

y

x (x,y)

0

H×nh 1.13

(α;γ)

α

y

x

(α;δ)

(β;γ)

(β;δ)

β γ

Hình 1.14

Xét hình chữ nhật R giới hạn đờng thẳng x=, x=, y=γ, y=δ

Các biên trái vμ d−ới thuộc hình chữ nhật, cịn biến phải vμ khơng Sự kiện điểm ngẫu nhiên N(X,Y) rơi vμo hình chữ nhật R, tức N∈R, t−ơng đ−ơng với việc kiện α≤X≤β, γ≤Y≤δ đồng thời xảy

Xác suất rơi vμo hình chữ nhật R xác suất rơi vμo hình vng có đỉnh (β, δ) trừ xác suất rơi vμo hình vng có đỉnh (α,δ), trừ xác suất rơi vμo hình vng đỉnh (β, γ), cộng với xác suất rơi vμo hình vng đỉnh (α, γ)

P(N∈R) = F(β,δ)−F(α,δ)−(Fβ,γ)+F(α,γ) (1.7.2) Ta đ−a vμo khái niệm mật độ phân bố hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên

Giả sử có hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục X vμ Y Lấy mặt phẳng điểm (x,y) vμ hình chữ nhật nhỏ RΔ kề sát có cạnh lμ x v y

Xác suất rơi điểm ngẫu nhiên N (X,Y) vo hình vuông R, theo (1.7.2), b»ng:

P(N∈RΔ) = F(x+Δx,y+Δy)−F(x,y+Δy)−F(x+Δx,y)+F(x,y)(1.7.3)

Chia xác suất nμy cho diện tích hình chữ nhật ΔxΔy vμ lấy giới hạn Δx→0 vμ Δy→0, ta nhận đ−ợc mật độ xác suất điểm (x,y)

lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

Δ Δ

Δ Δ Δ Δ

Δ Δ x

y

F x x y y F x y y F x x y F x y

x y

→ →

+ + − + − + +

0

= lim lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

Δ Δ Δ

Δ Δ Δ

Δ

Δ Δ

y y x

F x x y y F x y y

x

F x x y F x y x

→ →

+ + − + − + −

 

 

0

1

= lim

( , ) ( , )

( , )

Δ

Δ Δ y

F x y y x

F x y x y

F x y x y

→

+ −

=

2 ∂

∂

∂

∂ ∂

∂ ∂ (1.7.4) Hμm

f(x,y) = ∂ ∂ ∂ 2F x y

x y ( , )

(1.7.5)

đ−ợc gọi lμ mật độ phân bố hệ Về mặt hình học biểu diễn hμm hai biến f(x,y) nμy nh− lμ mặt không gian vμ đ−ợc gọi lμ mặt phân bố Hμm f(x,y) khơng âm lμ giới hạn tỷ số hai đại l−ợng khơng âm lμ xác suất rơi vμo hình chữ nhật vμ diện tích hình chữ nhật Biểu thức f(x,y)dxdy đ−ợc gọi lμ yếu tố xác suất hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên Yếu tố xác suất lμ xác suất rơi vμo hình chữ nhật yếu tố RΔ

tiếp giáp điểm (x,y)

Xỏc sut ri ca im N(X,Y) vμo miền D đ−ợc xác định d−ới dạng tích phân hai lớp:

P(N∈D) = f x y dxdy D

( , )

( )

(1.7.6)

Trong tr−êng hỵp nÕu miền D l hình chữ nhật R, thì:

P(NR) = f x y dxdy( , ) γ

δ α β



 (1.7.7) Khi sử dụng cơng thức (1.7.7) biểu diễn hμm phân bố F(x,y) qua mật độ phân bố f(x,y)

F(x,y) = f x y dxdy

y x

( , )

−∞ −∞ 

(1.7.8)

Vì xác suất rơi ton mặt 1, nªn:

f x y dxdy( , )

−∞ +∞ −∞ +∞



 =1 (1.7.9) Về mặt hình học, xác suất rơi vo miền D l thể tích hình lăng trụ đợc giới hạn miền D phía dới, phía l mặt phân bố (hình 1.15)

cho tớch phõn xác định f x y dxdy( , ) −∞

+∞ −∞ +∞



 =1 héi tô, cần thiết l mặt phân

Khi biết hμm phân bố hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên, xác định hμm phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên đó:

F1(x) = F(x,+∞) (1.7.10)

F2(y) = F(+∞,y) (1.7.11)

Ta biểu diễn mật độ phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên qua mật độ phân bố hệ:

F1(x) = F(x,+∞) = f x y dxdy

x

( , )

−∞ +∞ −∞ 

(1.7.12)

Nh−ng mật độ phân bố lμ đạo hμm hμm phân bố,

f1(x) = F x1′ = f x y dy

−∞ +∞



( ) ( , ) (1.7.13)

f2(y) = F2′ y = f x y dx

−∞ +∞



( ) ( , ) (1.7.14)

Luật phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên hệ với điều kiện đại l−ợng ngẫu nhiên thứ hai nhận giá trị xác định gọi lμ luật phân bố có điều kin

Luật phân bố có điều kiện đợc ký hiƯu d−íi d¹ng:

f(x/y) − luật phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên X với điều kiện Y=y f(y/x) − luật phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên Y với iu kin X=x

Xác suất rơi hình chữ nhËt u tè RΔ, b»ng f(x,y)dxdy, cã thĨ biĨu diƠn nh l

tích xác suất rơi vo dải I, f1(x)dx v xác suất rơi vo dải II, f(x/y)dy, víi ®iỊu

kiện xảy kiện rơi vμo dải I (hình 1.16) Từ đó:

f(x,y)dxdy = f1(x)dxf(y/x)dy (1.7.15)

Gi¶n −íc cho dxdy, ta cã:

f(x,y) = f1(x)f(y/x) (1.7.16)

T−ơng tự thu đ−ợc đẳng thức:

f(x,y) = f2(y)f(x/y) (1.7.17)

H×nh 1.15

H×nh 1.16

f(x/y) = f x y

f y

f x y f x y dx ( , )

( )

( , ) ( , )

2

=

−∞ +∞



(1.7.18)

f(y/x) = f x y

f x

f x y f x y dy ( , )

( )

( , ) ( , )

1

=

−∞ +∞



(1.7.19)

Các đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y đ−ợc gọi lμ độc lập luật phân bố chúng không phụ thuộc vμo việc đại l−ợng ngẫu nhiên nhận giá trị nμo

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập:

f(x/y) = f1(x) (1.7.20)

f(y/x) = f2(y) (1.7.21)

NÕu X không phụ thuộc vo Y, Y không phụ thuéc vμo X

Thật vậy, từ đẳng thức (1.7.16) vμ (1.7.17) ta thấy rằng, f(x/y)=f1(x)

f(y/x) = f2(y)

Ta có định lý sau:

Để cho đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y lμ độc lập, điều kiện cần vμ đủ lμ đẳng thức sau đ−ợc thực hiện:

f(x,y) = f1(x)f2(y), (1.7.22)

tức lμ mật độ phân bố hệ tích mật độ phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên thμnh phần hệ

Một cách t−ơng tự, xác định đ−ợc luật phân bố hệ n đại l−ợng ngẫu nhiên

Hμm phân bố hệ n đại l−ợng ngẫu nhiên X1, X2, , Xn lμ xác suất để thực

đồng thời n bất đẳng thức Xi<xi, i= 1,2, ,n

F(x1,x2, ,xn) = P(X1<x1,X2<x2, ,Xn<xn) (1.7.23)

Nếu tồn đạo hμm riêng hỗn hợp hμm F(x1,x2, ,xn) đ−ợc lấy lần l−ợt theo

từng đối số:

f(x1,x2, ,xn) =

∂

∂ ∂ ∂

n

n n

F x x x

x x x

( , , , )

1

1

(1.7.24)

thì đ−ợc gọi lμ mật độ phân bố hệ đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục (X1, X2, , Xn)

Ta nhận đ−ợc hμm phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên hệ, hμm phân bố hệ ta đặt tất biến lại +∞

F1(x1) = F(x1,+ ∞, ,+∞) (1.7.25)

Hμm ph©n bè cđa hƯ (X1, X2, ,Xk) nhận đợc từ hệ có dạng:

F1,2, ,k(x1,x2, ,xk) = F(x1, x2, ,xk,+ ∞, ,+∞) (1.7.26)

f1(x1) = f x x( ,1 2, ,x dxn) 2 dxn

−∞ +∞ −∞ +∞



 (1.7.27)

Mật độ phân bố hệ (X1, X2, ,Xk) đ−ợc xác định d−ới dạng:

f1,2, ,k(x1,x2, ,xk) = f x x( ,1 2, ,x dxn) k+1 dxn

−∞ +∞ −∞ +∞



(1.7.28)

Luật phân bố có điều kiện cđa hƯ (X1, X2, ,Xk) lμ lt ph©n bè ®−ỵc tÝnh víi

điều kiện đại l−ợng cịn lại (Xk+1, , Xn) nhận giá trị xác định xk+1, , xn:

f x x x x x f x x x

f x x

k k n n

k n k n

( , , , / , , ) ( , , , ) ( , , )

, ,

1 1

1

+

+ +

= (1.7.29)

Các đại l−ợng ngẫu nhiên X1, X2, ,Xn đ−ợc gọi lμ độc lập luật phân bố

hệ không phụ thuộc vμo đại l−ợng ngẫu nhiên lại nhận giá trị nμo Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập:

f x x( ,1 2, ,xn) =f x f x1( ) (1 2 2) (f xn n) (1.7.30) Hμm phân bố hệ đ−ợc biểu diễn qua mật độ phân bố d−ới dạng:

F(x1,x2, ,xn) = f x x( , , ,x dx dxn) dxn

x x

x n

1 2

2

−∞ −∞ −∞  

(1.7.31)

Xác suất rơi điểm ngẫu nhiên N(X1, X2, ,Xn) giíi h¹n miỊn D−n chiỊu

đ−ợc xác định d−ới dạng:

P(N∈D) = ( , , , )

( )

 

D

n n

f x x1 2 x dx dx1 2 dx (1.7.32)

1.8 Các đặc tr−ng số hệ đại l−ợng ngẫu nhiên

Mômen gốc mk s, bậc k+s hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên (X,Y) lμ kỳ vọng tốn học tích Xk vμ Ys:

mk s, = M[Xk Ys] (1.8.1)

Mômen trung tâm μk s, , bËc k+s lμ kú väng to¸n häc cña tÝch Xk o

.Ys o

, ë ®©y X o

vμ

Yo lμ đại l−ợng ngẫu nhiên qui tâm

μk s, = M[Xk o

.Ys o

] (1.8.2) Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc ta có:

mk s, = x y pik sj i j j

i  ,

μk s, = (xi mx)k(yj my) p s

i j j

i

− −



 , (1.8.4)

trong pi,j = P(X=xi,Y=yj)

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục:

mk s, = x y f x y dxdyk s ( , ) −∞

+∞ −∞ +∞



 (1.8.5) μk s, = (x mx)k(y my) f x y dxdy

s

− −

−∞ +∞ −∞ +∞



 ( , ) (1.8.6) Số k+s đ−ợc gọi lμ bậc mômen Cũng giống nh− đại l−ợng ngẫu nhiên, mômen hệ đại l−ợng ngẫu nhiên lμ đặc tr−ng bao quát đầy đủ, nhiên chúng xác định loạt tính chất quan trọng hệ

Các mômen bậc m1,0 vμ m0,1 lμ kỳ vọng toán học đại l−ợng ngẫu nhiên

thμnh phÇn cđa hƯ

m1,0 = M[XY o

] = M[X] = mx (1.8.7)

m0,1 = M[X o

Y] = M[X] = my (1.8.8)

Về mặt hình học, lμ toạ độ điểm trung bình mμ điểm ngẫu nhiên N(X,Y) phân tán xung quanh

Ta hÃy xét mômen trung tâm bậc hai hệ: μ2,0 = M X Y

o o o

   

  

=M X

o

   

  

 = D[X] (1.8.9) μ0,2 = M X Y

o

o o

2

   

  

=M Y

o

   

  

 = D[Y] (1.8.10) Đây lμ ph−ơng sai đại l−ợng ngẫu nhiên, chúng đặc tr−ng cho phân tán điểm ngẫu nhiên theo h−ớng trục toạ độ

Mômen trung tâm hỗn hợp bậc hai đ−ợc gọi lμ mômen t−ơng quan hay mômen liên hệ đại l−ợng ngẫu nhiên vμ bằng:

μ1,1 = M X Y

o o

1

   

  

 = M[(X-mx)(Y-my)] = Rxy (1.8.11) Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc:

Rxy = (xi mx)(yj m py) i j

j i

− −



 , (1.8.12)

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục:

Rxy = (x m− x)(y m f x y dxdy− y)

−∞ +∞ −∞ +∞



Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập Rx,y=0

Thùc vËy, tõ (1.7.22):

Rxy = x m− x y m f x f y dxdy− y =

−∞

( )( ) ( ) ( )1 2

= − − = =

−∞ ∞

−∞ ∞

(x m f x dxx) ( )1 (y m f y dyy) ( )2 μ1[ ] [ ]X μ1 Y 0

Từ thấy rằng, Rx,y≠ 0, X vμ Y lμ đại l−ợng phụ thuc

Đại lợng:

rxy Rxy

x y

=

σ σ (1.8.14) đ−ợc gọi lμ hệ số t−ơng quan đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập rxy = Điều ng−ợc lại không đúng,

tức rxy = lμ điều kiện cần để X vμ Y độc lập, nh−ng ch−a phải lμ điều kiện đủ

Các đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y có rxy = đ−ợc gọi l cỏc i lng ngu nhiờn

không tơng quan víi

Từ tính độc lập đại l−ợng ngẫu nhiên suy tính khơng t−ơng quan chúng Với t− cách lμ đặc tr−ng số hệ, từ n đại l−ợng ngẫu nhiên X1, X2, , Xn ta

nhận đợc n kỳ vọng toán học mx

i, i = 1,2, ,n đại l−ợng ngẫu nhiên ban đầu, n

ph−¬ng sai Dx

i chúng v n(n1) mômen tơng quan Rx xi j:

Rx x

i j= M[(Xi-mxi)(Xj-mxj)] (1.8.15)

Ph−¬ng sai Dx

i xem nh− mômen t−ơng quan đại l−ợng ngẫu nhiên Xi

víi chÝnh nã, cã nghÜa lμ:

Dx

i= Rx xi i= M[(Xi-mxi)

2] (1.8.16)

Để thuận tiện ta xếp mômen t−ơng quan d−ới dạng ma trận vuông vμ gọi lμ ma trận t−ơng quan hệ đại l−ợng ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn)

R R R

R R R

R R R

R

n n

n n nn

ij

11 12

21 22

1



    



    

= (1.8.17)

Từ định nghĩa mômen t−ơng quan ta thấy rằng:

Rij Rx x M X Xoi oj M X Xoj oi Rx x Rji

i j j i

= = 



R

R R R

R R

R

ij

n n

nn

=



    



    

11 12

22

(1.8.19)

Trong tr−ờng hợp đại l−ợng ngẫu nhiên X1, X2, , Xn khơng t−ơng quan, ma

trËn t−¬ng quan cã d¹ng:

R

R

R

R

ij

nn

=



    



    

11

22

0 0

0

(1.8.20)

Ma trËn nh− vËy gäi lμ ma trËn đờng chéo

Thay cho mômen tơng quan ngời ta thờng sử dụng hệ số tơng quan

rij rx x Rx x

x x

i j

i j

i j

= =

σ σ (1.8.21)

vμ chúng lập thμnh ma trận t−ơng quan chuẩn hoá mμ phần tử đ−ờng chéo đơn vị, rx x

i j =1

r

r r

r

ij

n n =



    



    

1 1

1

12

2

(1.8.22)

1.9 Các định lý đặc tr−ng số

Đối với đặc tr−ng số đại l−ợng ngẫu nhiên định lý sau lμ đúng: Kỳ vọng toán học đại l−ợng khơng ngẫu nhiên

Đại l−ợng khơng ngẫu nhiên c đ−ợc coi nh− đại l−ợng ngẫu nhiên có giá trị c, mμ đại l−ợng ngẫu nhiên nhận với xác suất

Từ đó:

M[c] = c.1 = c (1.9.1) Ph−ơng sai đại l−ợng không ngẫu nhiên không

D[c] = M[(c−mc)

] = M[(c−c) (1.9.2) Nếu c lμ đại l−ợng khơng ngẫu nhiên, thì:

M[cX] = cM[X], (1.9.3) D[cX] = c2

cña nã

Ta tiến hμnh phép chứng minh đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục

M[cX] = cxf x dx c xf x dx cM X( ) ( ) [ ] −∞

+∞

−∞ +∞

 =  = ,

D[cX]=M cX m[( − cx)2]= M cX cm[( − x)2]= c M X m2 [( − x)2]= c D X2 [ ] Lấy bậc hai hai vế (1.9.4), độ lệch bình ph−ơng trung bình ta nhận đ−ợc:

σ[cX] = cσ[X] (1.9.5) tức lμ đ−a đại l−ợng không ngẫu nhiên ngoμi dấu độ lệch bình ph−ơng trung bình

4 Kỳ vọng tốn học tổng số đại l−ợng ngẫu nhiên tổng kỳ vọng toán học chúng Định lý nμy đ−ợc gọi lμ định lý cộng kỳ vọng tốn học

Ta chứng minh cho tr−ờng hợp hai đại l−ợng ngâu nhiên liên tục: M[X+Y]= (x y f x y dxdy+ ) ( , ) =

−∞ +∞ −∞ +∞

 

= xf x y dxdy( , ) yf x y dxdy( , ) −∞

+∞

−∞ +∞ −∞ +∞ −∞

+∞

  

 + =

= x f x y dxdy( , ) y f x y dxdy( , ) −∞

+∞ −∞ +∞

−∞ +∞ −∞ +∞



 +   =

= xf x dx1( ) yf y dy2( ) −∞

+∞

−∞ +∞

 +  = M[X]+M[Y] (1.9.6) Ph−ơng sai tổng hai đại l−ợng ngẫu nhiên tổng ph−ơng sai chúng cộng với hai lần mômen t−ơng quan

D[X+Y] = D[X] + D[Y] + 2Rxy (1.9.7)

Ta ký hiÖu:

X + Y = Z, Z X Y X m Y m

o o o

x y

= + = ( − ) (+ − ), (1.9.8) đó:

D[X+Y] = M Z M X Y M X M Y M X Y

o o o o o o o

2 2 2

   

  

 = +

 

  

  

    =

   

   +

   

   +

 

 = = D[X] + D[Y] + 2Rxy

Cịng cã thĨ chøng minh c«ng thøc:

D[X−Y] = D[X] + D[Y] − 2Rxy (1.9.9)

nhận đ−ợc cơng thức tính ph−ơng sai tổng n đại l−ợng ngẫu nhiên

[ ]

D Xi D X R

i n

i i

n

x x

i j i j

= = <

  

 

 



= +

1

2 (1.9.10)

Vì D[Xi] = Rx x

i i nên viết công thức ny dới dạng:

D Xi R

i n

x x j

n i

n

i j

= = =

 

 

 

  =

1 1

(1.9.11)

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên không t−ơng quan Rx x

i j=0 i ≠ j, nên công

thức đợc viết lại nh sau:

D Xi D X

i n

i i

n

= =

 

 

 

  =

1

[ ], (1.9.12)

tức lμ ph−ơng sai tổng đại l−ợng ngẫu nhiên không t−ơng quan tổng ph−ơng sai chúng Định lý nμy đ−ợc gọi lμ định lý cộng ph−ơng sai

6 Đối với kỳ vọng tốn học tích đại l−ợng ngẫu nhiên công thức sau lμ đúng:

M[XY] = M[X].M[Y] + Rxy (1.9.13)

M«men tơng quan đợc biểu diễn dới dạng:

Rxy = M[(X−mx)(Y−my)] = M[XY] − mxM[Y] − myM[X] + mxmy

= M[XY] − M[X].M[Y], (1.9.14) từ suy công thức (1.9.13)

Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên không t−ơng quan Rxy = 0, từ (1.9.13) ta nhận đ−ợc

định lý tích kỳ vọng toán học

M[XY] = M[X].M[Y] (1.9.15) Tổng quát hoá định lý nμy cho n đại l−ợng ngẫu nhiên chúng lμ đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập

1.10 Luật phân bố chuẩn hệ đại l−ợng ngẫu nhiên

Xét hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên − vectơ ngẫu nhiên hai chiều (X,Y)

Ng−ời ta nói hệ nμy có luật phân bố chuẩn mật độ phân bố có dạng:

f(x,y) = 1

2πσ σx y 1−r2 ×

( ) ( ) ( ) 

   

    

  

σ − + σ

σ

− −

− σ

− −

−

× 2

y y y

x

y x

2 x

2 x

m y ) m y )( m x ( r 2 m

x r 1 2

1

exp (1.10.1)

V× cã thĨ xem (X,Y) nh l điểm ngẫu nhiên mặt phẳng, nên luật ny đợc gọi l luật phân bố chuẩn mặt phẳng Hm (1.10.1) phụ thuộc vo tham sè: mx, my,

Ta lμm sáng tỏ ý nghĩa tham số Ta mx vμ my lμ kỳ

vọng toán học M[X] vμ M[Y] đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y, σx vμ σy lμ độ lệch bình

ph−ơng trung bình chúng, r lμ hệ số t−ơng quan đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y, tức lμ r = rxy

Muốn vậy, ta tìm mật độ phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên hệ

f1(x) = 

+∞ ∞ −

dy ) y , x (

f =

( ) 1

2 1

1 2 1

2

πσ σx y −r r

−

− ×

    −∞ +∞

 exp

( ) ( )

× − − − − + −

   

       

x m r x m y m y m

dy x

x

x y

x y

y y

2

2 2

σ σ σ σ

( )( )

(1.10.2)

Thực phép đổi biến tích phân (1.10.2): x m

u x x

− =

2σ , 2 v

m y

y y

= σ −

(1.10.3)

ta nhận đợc:

f1(x) = ( )

1

2 1

1

1 2

2

2

πσx r r

u ruv v dv

− − − − +

  

   −∞

+∞

 exp (1.10.4)

Sau ®−a vμo c¸c ký hiƯu: A = 1

1−r2 , B = ru

r

1− , C = u

r 2

1− (1.10.5) ta qui tích phân (1.10.4) tích phân biết:

e dv

Ae

Av Bv C

AC B A

− − −

−∞

+∞ − −

 ( ) =

2

2 π

(1.10.6)

KÕt ta nhận đợc:

f1(x) = 1 2

2

2 πσ

σ x

x m e

x x

− −( )

(1.10.7)

Từ (1.10.7) ta thấy đại l−ợng ngẫu nhiên X tuân theo luật phân bố chuẩn, nữa:

mx = M[X], σx = D X[ ] (1.10.8)

T−ơng tự f2(y) ta có:

f2(y) = 1 2

2

2 πσ

σ y

y m e

y y

−( − )

Tính mômen tơng quan Rxy:

Rxy = (x m x)(y m f x y dxdy− y) ( , ) =

−∞ +∞ −∞ +∞

 

=

( ) 1

2 1

1 2 1

2

πσ σx y

x y

r x m y m r

− − − − − ×

    −∞

+∞ −∞ +∞



 ( )( ) exp

( ) ( )

× − − − − + −

   

       

x m r x m y m y m

dxdy x

x

x y

x y

y y

2

2 2

σ σ σ σ

( )( )

(1.10.10)

LÊy tÝch ph©n biểu thức (1.10.10) ta nhận đợc:

Rxy = rxy (1.10.11)

Từ thấy r lμ hệ số t−ơng quan rxy

Nh− vậy, mật độ phân bố chuẩn hệ hai đại l−ơng ngẫu nhiên X vμ Y hoμn toμn đ−ợc xác định kỳ vọng toán học mx vμ my đại l−ợng ngẫu nhiên cho vμ

ma trËn t−¬ng quan

R D R

D

ij x xy

y

=



 



 (1.10.12) Nh− vậy, phân bố chuẩn đặc tr−ng số − kỳ vọng toán học vμ ma trận t−ơng quan lμ đặc tr−ng đầy đủ hệ

Nếu đại l−ợng ngẫu nhiên hệ có phân bố chuẩn (X,Y) khơng t−ơng quan với nhau, tức lμ r = rxy = 0,

f(x,y) =

( ) ( )

1 2

2

2

2

πσ σ

σ σ

x y

x m y m

e

x x

y y

− − + −

   

   

= f1(x).f2(y) (1.10.13)

vμ lμ điều kiện độc lập hệ

Nh− vậy, từ tính không t−ơng quan đại l−ợng ngẫu nhiên hệ có phân bố chuẩn suy tính độc lập chúng Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn, điều kiện không t−ơng quan vμ điều kiện độc lập lμ t−ơng đ−ơng

Ta xét mặt đ−ợc xác định mật độ phân bố chuẩn:

f(x,y) =

( ) ( )

1 2

2

2

2

πσ σ

σ σ

x y

x m y m

e

x x

y y

− − + −

   

   

, (1.10.14)

cho tr−ờng hợp đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y độc lập Mặt nμy có dạng đồi mμ đỉnh nằm điểm (mx,my) (hình 1.17)

Thùc vËy, cho f(x,y) = λ2 = const, ta cã:

(x mx) (y m )

x

y y −

+ − =

2

2

2

2σ 2σ λ (1.10.15) Ph−ơng trình (1.10.15) lμ ph−ơng trình hình chiếu elip mặt x0y Đó lμ họ elip đồng dạng có tâm điểm (mx, my), có trục đối xứng lμ đ−ờng thẳng song

song với trục 0x vμ 0y Tại điểm elip nh− vậy, mật độ phân bố không đổi, nên chúng đ−ợc gọi lμ elip mật độ phân bố hay lμ elip phân tán

Có thể rằng, nhận đ−ợc tranh t−ơng tự phân bố chuẩn tr−ờng hợp tổng quát, mμ r≠0, nh−ng tr−ờng hợp nμy trục đối xứng elip không song song với trục toạ độ

H×nh 1.17

Các trục đối xứng nμy đ−ợc gọi lμ trục phân tán Bằng cách chuyển gốc toạ độ tới điểm (mx, my) vμ quay trục toạ độ trùng với trục phân tán

chÝnh cã thĨ dÉn lt ph©n bè chn víi r dạng tắc f ( , ) η = 1

2

2

2

2

πσ σξ η

ξ σ

η σ ξ η e

− +

  

   

, (1.10.16)

trong σξ, ση đ−ợc gọi lμ độ lệch bình ph−ơng trung bình

Nh− vậy, thay vectơ ngẫu nhiên phân bố chuẩn có thμnh phần (X,Y) phụ thuộc lẫn vectơ phân bố chuẩn khác (ξ,η) mμ thμnh phần độc lập với

Thơng th−ờng, xét luật phân bố chuẩn mặt phẳng, ta cố gắng chọn tr−ớc trục toạ độ 0x vμ 0y cho chúng trùng với trục phân tán

Khi xác suất rơi vμo hình chữ nhật R (hình 1.14) có cạnh song song với trục phân tán đ−ợc xác định theo cơng thức (1.7.6) vμ bằng:

P(N∈R) =

( ) ( )

1 2

2

2

2

πσ σ

σ σ

γ δ α β

x y

x m y m

e dxdy

x x

y y

− − + −

  

   



 =

=

( ) ( )

1 2

1 2

2

2

2

πσ πσ

σ σ

γ δ α

β

x

x m

y

y m

e dx e dy

x x

y y

− − − −



= 1

4 Φ 2 Φ 2 Φ 2 Φ 2

β σ

α σ

δ σ

γ σ −

 

 



 −  − 

 

  



 



  − 

  −  − 

  

  

   

mx m m m

x

x x

y y

y y

. (1.10.17)

Bây ta xét hệ n đại l−ợng ngẫu nhiên (X1, X2, Xn) Hệ nμy đ−ợc gọi lμ có phân

bố chuẩn nh− mật độ phân bố có dạng:

( )

 

π σ

σ σ

= = = σ

− σ

−

− n

1 i

n

1

k k

k k i

i i

ik x m x m

D D

1 n

n n

2

1 e

D 2

1 )

x , , x , x (

f (1.10.18)

trong D lμ định thức ma trận t−ơng quan chuẩn hoá:

r

r r

r

x x

x x x x

x x

i k

n n

=

1 1

1

1 2

(1.10.19)

Dik lμ phần phụ đại số phần tử rx x

i k định thức D

Từ (1.10.18) thấy rằng, mật độ phân bố n chiều luật chuẩn phụ thuộc vμo n kỳ vọng toán học, n độ lệch bình ph−ơng trung bình (ph−ơng sai) vμ

2 ) 1 (n−

n

hÖ sè t−¬ng quan

Nếu đại l−ợng ngẫu nhiên X1, X2, , Xn độc lập mật độ phân bố bằng: f x x( ,1 2, ,xn) =f x f x1( ) (1 2 2) (f xn n)=

= ( )

1

2 1 2

1

2

1

π σ σ σ

σ

n

n

x m

e

i i i i

n

/

−  −



 

  =



(1.10.20)

C«ng thøc nμy nhËn đợc từ công thức tổng quát (1.10.18) rx x

i k=0 tr−êng

hỵp i≠k vμ rx x

i k = với i = k Khi D=1, Dik=0 i≠k, Dik=1 i=k

Trờng hợp riêng, n = ta nhận đợc luật phân bố chuẩn không gian Trong trờng hợp ny ma trận tơng quan có dạng:

r

r r

r

x x

x x x x

x x

i k =

1 1

1

1

2 (1.10.21)

Mật độ phân bố chuẩn ba chiều phụ thuộc vμo tham số m1, m2, m3, σ1, σ2, σ3,

rx x rx x rx x

1 2, 3, §èi víi phân bố chuẩn chiều thay cho elíp phân tán l elipxôit phân

tỏn Khi hng cỏc trc to độ theo trục elipxơit phân tán ta nhận đ−ợc hệ thống phân bố ba đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập (ξ,η,ζ)

( )

f( , , )ξ η ζ / e

π σ σ σξ η ζ

ξ σ

η σ

ζ σ

ξ η ζ

=

−  + +



 

1 2

1

2

2

2

(1.10.22)

trong σξ, ση, σζ lμ độ lệch bình ph−ơng trung bình

1.11 Luật phân bố hμm đối số ngẫu nhiên

1) Luật phân bố hμm đối số ngẫu nhiên

Giả sử có đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục X có mật độ phân bố f(x) vμ đại l−ợng ngẫu nhiên khác Y, liên hệ với phụ thuộc hμm

Y =ϕ(X), (1.11.1) víi ϕ lμ hμm liªn tơc, kh¶ vi

u cầu tìm mật độ phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên Y Tr−ớc hết, ta giả thiết hμm y = ϕ(x) đơn điệu, có hμm ng−ợc nhất: x=ψ(y) Thêm vμo đó, từ điều kiện:

x0<X≤x0+dx

ch¾c ch¾n suy y0<Yy0+dy v ngợc lại y0= (x0)

b)

Sx Sy

H×nh 1.18

Do xác suất bất đẳng thức nhau:

P(x0<X≤x0+dx) = P(y0<Y≤y0+dy) (1.11.2)

Giả sử mật độ phân bố đại l−ợng Y lμ g(y), từ đồ thị f(x) vμ g(y) (hình 1.18 a vμ b) ta nhận thấy xác suất

P(x0<X≤x0+dx) = Sx (1.11.3)

b»ng diÖn tÝch phía dới đờng cong y = f(x), xác suất

P(y0<Y≤y0+dy) = Sy (1.11.4)

lμ diện tích phía d−ới đ−ờng cong x = g(y) Với dx, dy đủ nhỏ ta có:

Sx = f(x)dx, Sy = g(y)dy, (1.11.5)

khi

g(y) = f(x)

dx dy/

1

= f[ψ(y)].ψ’(y) (1.11.7) Vì f(x) ≥0, g(y)≥0, nên công thức nμy cần lấy giá trị tuyệt đối ψ′(y)

g(y) = f[ψ(y)] ψ′(y) (1.11.8) Nếu hμm y = ϕ(x) khơng đơn điệu hμm ng−ợc x=ψ(y) đa trị, tức lμ có vμi nhánh: x1 = ψ1(y), x2 =ψ2(y), , xn =ψn(y)

Khi từ kiện:

y0<Y≤y0+dy, (1.11.9)

dẫn đến khả xung khắc t−ơng hỗ:

x1o < <X x1o +dx1 hc xo2 < <X xo2 +dx2 hc

xon < <X xon +dxn (1.11.10) Khi theo định lý cộng xác suất ta có:

P(y0<Y≤y0+dy) = P(x X x dx

o o

1 < < + 1) + P(xo2 < <X xo2 +dx2) + +

+ P(xno < <X xno +dxn) (1.11.11) hc

g(y)dy = f(x1)dx1 + f(x2)dx2 + + f(xn)dxn(1.11.12)

Trong tr−ờng hợp x=ψ(y) lμ hμm đa trị, ta nhận đ−ợc công thức g(y): g(y) = f x dx

dy f x dx

dy f x

dx dy

n n

( )1 ( ) ( )

2

+ + + , (1.11.13)

tøc lμ:

g(y) = f[ψ1(y)] ψ′1( )y + f[ψ2(y)] ψ′2( )y + + f[ψn(y)] ψ′n( )y (1.11.14) Các ví dụ:

1 Giả X vμ Y cã quan hƯ phơ thc tun tÝnh:

Y = aX +b (1.11.15) Trong tr−ờng hợp nμy hμm ng−ợc lμ đơn trị

X = ψ(Y) = 1

a(Yb) (1.11.16) Đạo hm hm ngợc bằng:

ψ’(y) = 1

a (1.11.17) Từ đó, (1.11.16) vμ (1.11.17) vμo công thức (1.11.8) g(y) ta nhận đ−ợc

g(y) = 1

a f

y b a

−



Nh− vậy, biến đổi tuyến tính đại l−ợng ngẫu nhiên, đ−ờng cong phân bố dịch chuyển l−ợng b vμ thay đổi tỷ lệ dọc theo trục toạ độ lμ a lần

Khi ta nhận đ−ợc quy luật phân bố hμm tuyến tính đối số tuân theo phân bố chuẩn (1.5.1) d−ới dạng

g(y) = 1

2

2

2

2

a x e

y b a mx

x

πσ

σ

− − −



 

=

[ ]

1 2

2 2

2 π σ

σ

a x e

y am b a

x x

( + )

(1.11.19)

Đây l quy luật phân bố chuẩn với tham số σy = a σx,

my = amx + b

2 Giả sử đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y liên hệ với phụ thuộc bậc hai Y =X2

Trong tr−ờng hợp nμy giá trị Y (Y d−ơng) t−ơng ứng với hai giá trị đại l−ợng ngẫu nhiên X:

X1 =ψ1(Y)= Y, X2=ψ2(Y)=− Y

Hμm ngợc l hm hai trị, theo (1.11.14) ta cã:

g(y) = f(x1) ψ′1( )y + f(x2) ψ′2( )y (1.11.20)

V×

′ =

ψ1

1 2 ( )y

y, ψ′2 = − 1 2 ( )y

y (1.11.21) nªn

g(y) = [ ( ) ( )]

1

2 0

0 0

y f y f y khi y

khi y

+ − >

< 

  

(1.11.22)

Đặc biệt, đối số X tuân theo luật phân bố chuẩn (1.5.1), mật độ phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên Y có dạng:

g(y) =

( ) ( )

1

2 2 0

0 0

2

2

2

π σ

σ σ

y e e khi y

khi y

x

y mx y m

x

x x

− − − − −

+

    

   

 >

<

      

(1.11.23)

g(y) =

1

2 0

0 0

2 π σ

σ

y e khi y

khi y x

y

x

−

> < 

  

 (1.11.24)

2) Luật phân bố hμm hai đối số ngẫu nhiên

Giả sử có hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục (X,Y) có mật độ phân bố f(x,y) Vμ giả sử đại l−ợng ngẫu nhiên Z, liên hệ với X vμ Y mối phụ thuộc hμm

Z = ϕ(X,Y)

Yêu cầu tìm quy luật phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên Z Ta xây dựng đồ thị hμm z = ϕ(x,y) Đây lμ mặt nμo khơng gian (hình 1.19)

Ta xác định hμm phân bố đại l−ợng Z

G(z) = P(Z<z) = P[ϕ(X,Y)<z] (1.11.25) Bất đẳng thức ϕ(X,Y)<z đ−ợc thoả mãn với điểm mặt z=ϕ(x,y) nằm d−ới mặt phẳng Q song song với mặt x0y, vμ cách khoảng z

Mặt phẳng nμy cắt mặt z=ϕ(x,y) theo đ−ờng cong L nμo Chiếu đ−ờng cong L nμy lên mặt phẳng x0y, giới hạn miền D nμo

H×nh 1.19

Xác suất ϕ(X,Y)<z xác suất rơi điểm (X,Y) vμo miền D mặt phẳng x0y đ−ợc xác định bất đẳng thức ϕ(x,y)<z Xác suất nμy đ−ợc biểu diễn tích phân hai lớp theo miền D

f x y dxdy D

( , ) ( )

Nh− vậy, hμm phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên Z có dạng:

G(z) = f x y dxdy

x y z ( , ) ( ( , )ϕ  < )

(1.11.26)

Để nhận đ−ợc mật độ phân bố g(z) cần tìm đạo hμm hμm (1.11.26) theo z

g(z) = G’(z) (1.11.27) Rõ rμng, miền phân tích [ϕ(x,y)<z] lμ miền đa liên thuộc mặt phẳng x0y, bất đẳng thức ϕ(x,y)<z đ−ợc thực

của lên trục toạ độ X vμ Y lμ đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng tốn học mx vμ my, vμ ph−ơng sai σx

Đại l−ợng ngẫu nhiên cần tìm Z liên hệ với đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y mối phụ thuộc hμm:

Z = X2 +Y2 (1.11.28) Đại l−ợng ngẫu nhiên Z khơng âm, mật độ phân bố khơng z<0

Vì X vμ Y lμ đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn nên mật độ phân bố chung f(x,y) có dạng (1.11.14)

Theo (1.11.26) ta nhận đ−ợc hμm phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên Z d−ới dạng:

G(z) = 1 ( ) ( )

2 2

2

2 πσ

σ

e x m y m dxdy

x y z

x y

−  − + −  + <



( )

(1.11.29)

Miền tích phân lμ miền hình trịn tâm gốc toạ độ vμ bán kính z Ta chuyển tích phân hai lớp toạ độ cực cách sử dụng công thức

x = ρcosϕ, y = ρsinϕ, dxdy = ρdρdϕ (1.11.30) Khi ta nhận đ−ợc:

G(z) =  − [( − ) +( − )]

π ϕ ϕ

σ ρ ρ ϕ

πσ

2

0

sin cos

2

2

2

2

1 z z m z m

d d

e x y (1.11.31)

Lấy vi phân biểu thức nμy theo z ta nhận đ−ợc mật độ phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên Z

g(z) =

( ) ( )

[ ]

    

< >

 − − + −

0 khi 0

0 khi 2

1

0

sin cos

2

2

2

z z d

e x y

m z m z

π ϕ ϕ

σ ϕ

πσ (1.11.32)

Ta biến đổi hμm d−ới dấu tích phân: (zcosϕ−mx)

2

+ (zsinϕ−my)

= z2−

2z(mxcosϕ+mysinϕ)+

2 y m 2 x

m + (1.11.33) Ký hiÖu:

2 y m 2 x

m + =m2,

m x m

=cosθ,

m y m

=sinθ (1.11.34)

θ = arctgm

m

y x

(1.11.35)

nh ta nhận đợc

(zcosϕ - mx)2 + (zsinϕ - my)2 =z2 +m2 -2zmcos(ϕ-θ) (1.11.36)

g(z) = khi 0 2 ) cos( 2 2 2 >  − − + − z d e e

z z σm π zm σϕ θ

ϕ

πσ (1.11.37)

Lμm phÐp thay

= u (1.11.38) ta nhận đợc

g(z) = khi 0

2 cos 2 2 2 > − − + − z du e e

z z m π θ zm u

σ σ

πσ (1.11.39)

Tích phân công thức (1.11.39)

    − θ π σ π cos 2 1 du e u izm i

lμ hμm Bessel loại I bậc đối số ảo 

     σ imz

Jo hμm Bessel loại II đối số thực

      σ mz Io

Nh− vËy, ta cã

g(z) =      < >       + − 0 khi 0 0 khi

2 2

2 2 z z mz I e z o m z σ

πσ σ (1.11.40) Hμm nhận đ−ợc gọi lμ hμm Rơle suy rộng Các đặc tr−ng số nó, nh− kỳ vọng toán học vμ ph−ơng sai, đ−ợc xác định đ−ợc theo công thức:

2 2 2 2 2 4

2 σ σ σ σ σ

π σ m o z e m I m m I m

m  −

           +             +

= (1.11.41)

Dz = 2σ

+ m2 −m z

(1.11.42) Đối với trờng hợp kỳ vọng to¸n häc b»ng 0, mx = my =0, biĨu thøc (1.11.29) đợc

viết lại dới dạng

G(z) = 

< + + − ) ( 2 2 2 2 z y x y x dxdy e σ πσ =  − π σ ρ ϕ ρ ρ πσ 0 2 2 2 1 z d d e =

= 1

2

2 −e−

z

σ (1.11.43)

Từ đó, theo (1.11.27), ta nhận đ−ợc mật độ phân bố g(z) d−ới dạng:

g(z) =      < > − 0 2 2 z z e

z zσ

1.12 Hμm đặc tr−ng

Hμm đặc tr−ng g(t) đại l−ợng ngẫu nhiên X lμ kỳ vọng toán học đại l−ợng ngẫu nhiên phức eitX

g(t) = M[eitX

], (1.12.1) đây,

i = −1 Nếu X lμ đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc

g(t) = eitx pk k

n

k

=



1

(1.12.2)

Nếu X lμ đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục

g(t) = e f x dxitx ( )

−∞ +∞

 (1.12.3) Công thức (1.12.3) biến đổi hμm f(x) đối số x thμnh hμm g(t) đối số t, lμ phép biến đổi Fourier hμm f(x)

Nh− vậy, hμm đặc tr−ng đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục lμ phép biến đổi Fourier hμm mật độ phân bố

Các tính chất hμm đặc tr−ng

1 Nếu gx(t) lμ hμm đặc tr−ng đại l−ợng ngẫu nhiên X, hμm đặc tr−ng

đại l−ợng ngẫu nhiên Y = aX(1.12.4)

b»ng

gy(t) = gx(at) (1.12.5)

Thùc vËy,

gy(t) = M[eitY] = M[ei(at)X] = gx(at) (1.12.6)

2 Hμm đặc tr−ng tổng đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập tích hμm đặc tr−ng hạng tử

Nếu X1, X2 Xn lμ đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập có hμm đặc tr−ng: gx t gx t gx t

n

1( ), 2( ), , ( ) (1.12.7)

vμ gi¶ sö

X Xk

k n

=

=



1

(1.12.8)

Ta sÏ chøng minh r»ng:

gx(t) = gx t k

n

k ( )

=

∏

(1.12.9)

[ ] ∏ ∏

∏

= =

= = =

 

  =      

    

= = n

1

k x

n k

itX n

1 k

itX X

it

x(t) M e M e Me g (t)

g k k k

n

1 k

k

(1.12.10)

3 Giá trị hμm đặc tr−ng đơn vị t=0:

g(0) = f x dx( )

−∞ +∞

 =1

Vì hμm đặc tr−ng g(t) đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục lμ biến đổi ng−ợc Fourier mật độ phân bố f(x) nên, nh− biết từ lý thuyết biến đổi Fourier, nhận đ−ợc mật độ phân bố f(x) nh− lμ biến đổi Fourier trực tiếp hμm g(t)

f(x) = 1

2π e g t dt itx

− −∞ +∞

 ( )

Nh− vậy, biết mật độ phân bố f(x) ta xác định hμm đặc tr−ng, ng−ợc lại, biết hμm đặc tr−ng, xác định cách mật độ phân bố

Khi đó, nhiều tr−ờng, sử dụng hμm đặc tr−ng thuận lợi so với mật độ phân bố

Mối liên hệ hμm đặc tr−ng vμ mômen đại l−ợng ngẫu nhiên

Khi biết hμm đặc tr−ng g(t) dễ dμng xác định đ−ợc mômen phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên

Ta h·y khai triển hm eitX

thnh chuỗi Macloren

( )

e it

k X

itX k k

k =

= ∞

 !

0

(1.12.11)

Đặt (1.12.11) vo (1.12.1) ta nhận đợc chuỗi:

g(t) = M ( )it ( ) [ ]

k X

it

k M X

k k k

k

k k

! !

= ∞

= ∞

 

   

    =

0

(1.12.12)

Nh−ng M[XK

] lμ mômen gốc bậc k (mK) đại l−ợng ngẫu nhiên X

Từ ta nhận đ−ợc khai triển chuỗi hμm đặc tr−ng g(t) = i m

k t k

k k

k= !

∞



0

(1.12.13)

Nh− vậy, tìm đ−ợc tất mơmen gốc đại l−ợng ngẫu nhiên cách khai triển hμm đặc tr−ng thμnh chuỗi Macloren tham số t

g(t) = 1

0 0k

d g t

dt t

k k

t k

k !

( )

= =

∞

 (1.12.14) Só sánh (1.12.13) vμ (1.12.14) ta nhận đ−ợc biểu thức mômen đại l−ợng ngẫu nhiên:

m i

d g t dt

k k

k k

t =

=

1

0 ( )

(1.12.15)

Một cách t−ơng tự, biểu diễn mômen trung tâm đại l−ợng ngẫu nhiên qua hμm đặc tr−ng

Khi biểu diễn đại l−ợng ngẫu nhiên X d−ới dạng: X = X m

o x

+ (1.12.16) víi X

o

lμ đại l−ợng ngẫu nhiên qui tâm, ta nhận đ−ợc:

g(t) = M e[ ]itX M e M e e e M e

it X m

itm it X itm it X

o x

x o

x

o

=

   

    =

 

  =  

+

 

 

(1.12.17)

Khai triÓn eit X

o

thnh chuỗi Macloren, ta đợc

( ) ( ) ( )

M e M it

k X

it

k M X

it k

it X k ok

k

k

k o k

k k k

o

 

 

 =

   

    =

   

   =

= ∞

= ∞

= ∞

 !  !  !

0 0

(1.12.18) Thế (1.12.18) vo (1.12.17) ta nhận đợc

g(t)e−itmx= ( )it

k

k k

k !

μ

= ∞



0

(1.12.19)

Do đó, khai triển Macloren hμm g(t)e−itmx ta nhận đ−ợc tất mômen

trung tâm đại l−ợng ngẫu nhiên

Khai triĨn g(t)e−itmx theo c«ng thøc khai triĨn tổng quát chuỗi Macloren:

g(t)eitmx= 1 [ ]

0 0k

d e g t

dt t

k itm

k

t k k

n x

!

( )

−

= =

 (1.12.20)

So s¸nh (1.12.19) v (1.12.20), ta nhận đợc:

k = [ ]

1

0

i

d e g t

dt

k

k itm

k

t

x

−

=

( )

(1.12.21)

hμm đặc tr−ng g(t) = ( ) 1 2 2 πσ σ x itx x m

e e dx

x x

− − −∞

+∞

 = 1

2 2 2 2 πσ σ σ σ x

x itx xm m

e x dx

x x x x − + + − −∞ +∞

 (1.12.22)

Có thể đ−a tích phân (1.12.22) tích phân biết: A B AC C Bx Ax e A dx e

2 2 − −

+∞ ∞ − − + − =

 π (1.12.23) vμ ®−a vμo ký hiƯu

A = 2

2 1

x

σ , B = 2 2 x x x m it σ σ +

, C = 2

2

2 x x

m

σ (1.12.24)

Khi

g(t) = i

2 x x t tm e σ − (1.12.25) Theo (1.12.15), m«men gèc bËc nhÊt b»ng:

m i

dg t dt

im

i e m

t x x 0 1 = = = = ( ) (1.12.26)

Ta tìm mômen trung tâm phân bố:

eitmxg(t) =e−itmx eitm

t

x− x 2

2 σ

= e t x − 2 σ

(1.12.27) Khai triÓn hμm ny thnh chuỗi Macloren, nhận đợc:

eitmxg(t) = ( )− =

= ∞

= ∞

 1 

2 2 2 2

k xk k k k k xk k k k k t i k t σ σ

! ! (1.12.28)

Từ có:

μ2k−1 = 0 (1.12.29)

i k i k k k k xk k 2 2 2 2 ( )!μ ! σ

= (1.12.30) hay

μ2k =

( )! ! 2 2 k k k x k

σ , (k=1,2, ) (1.12.31) Đặc biệt

2 =2x, 4 = 34x

Các công thức nhận đợc l công thức tính trực tiếp mômen phân bố chuẩn môc 1.5

Tuy nhiên ph−ơng pháp sử dụng hμm đặc tr−ng đơn giản nhiều

Hμm đặc tr−ng hệ n đại l−ợng ngẫu nhiên (X1, X2 Xn ) vectơ ngẫu nhiên

n chiều lμ hμm n tham số t1, t2, tn, đ−ợc xác định công thức:

g t t( , , , )1 2 tn = M e

i t Xk k k

n

=

     

    

1 (1.12.32)

Đối với hệ đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục lμ phép biến đổi Fourier n chiều mật độ phân bố f(x1,x2 xn)

g t t( , , , )1 2 tn = ei t x( 1 t xn n)f x x( , , ,x dx dxn) dxn

1 2

+ + −∞

+∞ −∞ +∞



 (1.12.33)

T−ơng tự nh− tr−ờng hợp chiều, mật độ phân bố f(x1,x2 xn) lμ biến đổi

Fourier n lần hμm đặc tr−ng g(t1, t2, tn) ) , , ,

(x1 x2 xn

f =

( )

1 2

1

1 2

π n

i t x t x

n n

e n n g t t t dt dt dt

− ( + + ) ( , , , )

−∞ +∞ −∞ +∞



 (1.12.34)

Đối với hệ đại l−ợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn (X1, X2 Xn) có mật độ phân bố

(1.10.20), hμm đặc tr−ng g t t( , , , )1 2 tn đ−ợc tính theo cơng thức (1.12.33) có dạng

) , , , (t1 t2 tn

g =

 

= =

+

− n

j j j n

k j

k j jktt i mt

R

e , 1

1

(1.12.35) mj lμ kỳ vọng tốn học đại l−ợng ngẫu nhiên Xj, Rjk lμ mômen t−ơng quan

của đại l−ợng ngẫu nhiên Xj vμ Xk

Nếu đại l−ợng ngẫu nhiên X1, X2, , Xn độc lập với hμm đặc tr−ng n

chiều chúng tích hμm đặc tr−ng đại l−ợng ngẫu nhiên )

, , , (t1 t2 tn

g =∏

= n

k

k x t

g

k

1

)

( (1.12.36)

Nhờ hμm đặc tr−ng nhiều chiều xác định đ−ợc mômen hỗn hợp phân bố hệ đại l−ợng ngẫu nhiên (vectơ ngẫu nhiên) theo công thức

0

1 ) (

1 , , ,

1

1

1

1

) , , ( )

, , , (

= = +

+ + + + −

=

n n

n n

n

t t k n k

n k

k k k k n k

k k

t t

t t g i

x x x m

∂ ∂

Ch−ơng 2: Hμm ngẫu nhiên vμ đặc tr−ng chúng

2.1 Định nghĩa hm ngẫu nhiên

Đại l−ợng ngẫu nhiên lμ đại l−ợng mμ tiến hμnh loạt phép thử điều kiện nh− lần nhận đ−ợc giá trị nμy hay giá trị khác tr−ớc đ−ợc cụ thể

Giả thiết rằng, kết thí nghiệm lμ số mμ lμ hμm nμo hay nhiều đối số Một hμm mμ kết lần thí nghiệm đ−ợc tiến hμnh điều kiện nh− nhau, có dạng khác nhau, tr−ớc đ−ợc cụ thể, đ−ợc gọi lμ hμm ngẫu nhiên Khi hμm khơng ngẫu nhiên thu đ−ợc kết thí nghiệm đ−ợc gọi lμ thể hμm ngẫu nhiên Với lần lặp lại thí nghiệm ta nhận đ−ợc thể Nh− xem hμm ngẫu nhiên nh− lμ tập tất thể Cách tiếp cận thống kê nh− thuận lợi nghiên cứu nhiều trình vật lý, kỹ thuật, sinh học v.v Đặc biệt, khái niệm hμm ngẫu nhiên phản ánh tốt thực chất q trình khí t−ợng thuỷ văn

Tính chất đặc tr−ng khí lμ chuyển động rối nhiễu loạn gây nên biến động mạnh yếu tố khí t−ợng theo thời gian lẫn khơng gian Các xung rối mạnh xảy trình qui mô lớn nh− chuyển động qui mô nhỏ Sự tồn rối dẫn tới chỗ điều kiện ban đầu khơng cịn quy định cách đầy đủ diễn biến q trình, thí nghiệm tiến hμnh điều kiện bên ngoμi nh− dẫn đến kết khác

Giả sử vμo ngμy năm khoảng thời gian nμo ta đo nhiệt độ khơng khí điểm cho tr−ớc khí Với lần đo nh− ta nhận đ−ợc nhiệt độ nh− lμ hμm thời gian T(t) Các hμm nhận đ−ợc lặp lại thí nghiệm khác Mỗi hμm Ti(t) nhận đ−ợc thí nghiệm i đ−ợc xem nh−

thể riêng, tập tất hm thu đợc cho tập hợp thể quan trắc hm ngẫu nhiên

Tng t, cỏc yếu tố khí t−ợng khác - áp suất, thμnh phần vectơ vận tốc gió, v.v đ−ợc xem nh− lμ hμm ngẫu nhiên thi gian v to khụng gian

Trên hình 2.1 dẫn đờng cong phụ thuộc vo thời gian thnh phần vĩ hớng vectơ gió nhận đợc theo số liệu quan trắc thám không

Tng ng cong hình 2.1 lμ thể hμm ngẫu nhiên Nếu cố định thời điểm t=to vμ vạch đ−ờng thẳng vng góc với trục hoμnh, cắt thể

hiện điểm Các điểm giao lμ giá trị đại l−ợng ngẫu nhiên mμ ng−ời ta gọi lμ lát cắt hμm ngẫu nhiên ứng với giá trị đối số t=to

Xuất phát từ đ−a định nghĩa khác hμm ngẫu nhiên: Hμm ngẫu nhiên đối số t lμ hμm X(t) mμ giá trị trị số đối số t=to (mỗi lát

cắt t−ơng ứng với t=to) lμ đại l−ợng ngẫu nhiên

Ta ký hiệu hμm ngẫu nhiên chữ lớn kèm theo đối số X(t), Y(t) , thể lμ chữ nhỏ x1(t), x2(t) với số nêu

rõ lần thí nghiệm mμ thể nhận đ−ợc Lát cắt hμm ngẫu nhiên giá trị đối số to đ−ợc ký hiệu lμ X(to).

H×nh 2.1

Đối số t nhận giá trị thực khoảng hữu hạn vô hạn cho, lμ giá trị rời rạc định Trong tr−ờng hợp thứ X(t) đ−ợc gọi lμ q trình ngẫu nhiên, cịn tr−ờng hợp thứ hai đ−ợc gọi lμ dãy ngẫu nhiên

Thuật ngữ hμm ngẫu nhiên bao hμm hai khái niệm Đối số hμm ngẫu nhiên không thiết phải lμ thời gian Chẳng hạn, xét nhiệt độ khơng khí nh− lμ hμm ngẫu nhiên độ cao Hμm ngẫu nhiên phụ thuộc khơng vμo biến mμ vμi biến Hμm ngẫu nhiên vμi đối số gọi lμ tr−ờng ngẫu nhiên

Ví dụ, khí t−ợng học ng−ời ta xét tr−ờng nhiệt độ, tr−ờng gió, tr−ờng áp suất, tức lμ nhiệt độ, áp suất hay vectơ gió đ−ợc xem nh− lμ hμm ngẫu nhiên đối số: toạ độ khơng gian vμ thời gian Khi tr−ờng ngẫu nhiên vơ h−ớng nh− tr−ờng hợp tr−ờng nhiệt độ vμ tr−ờng áp suất tr−ờng véc tơ nh− tr−ờng gió, mμ thể lμ hμm vectơ

Các trình khí t−ợng thuỷ văn lμ hμm đối số liên tục, khơng đề cập đến lý thuyết chuỗi ngẫu nhiên, mμ xét trình ngẫu nhiên đối số liên tục vμ tr−ờng ngẫu nhiên nh− lμ hμm ngẫu nhiên vμi đối số liên tục Khi ta gọi q trình chiều lμ hμm ngẫu nhiên hay q trình nhẫu nhiên, khơng phân biệt thuật ngữ

2.2 C¸c qui lt phân bố trình nhẫu nhiên

Nh ta thấy tr−ớc đây, đại l−ợng ngẫu nhiên đ−ợc hoμn toμn xác định biết hμm phân bố

F(x) = P(X<x) (2.2.1) Hệ đại l−ợng ngẫu nhiên đ−ợc xác định cho hμm phân bố

F(x1,x2 ,xn) = P(X1<x1,X2<x2 ,Xn<xn) (2.2.2)

Q trình ngẫu nhiên X(t) đ−ợc xét nh− lμ tập hợp tất lát cắt mμ lát cắt lμ đại l−ợng ngẫu nhiên

Khi cố định giá trị đối số t1, t2, , tn nhận đ−ợc n lát cắt

tr×nh nhÉu nhiªn

Khi đó, cách gần đúng, q trình ngẫu nhiên đ−ợc đặc tr−ng hμm phân bố hệ đại l−ợng ngẫu nhiên nhận đ−ợc

Fn(x1,x2, ,xn) = P(X1<x1,X2<x2, ,Xn<xn) (2.2.3)

Rõ rμng, hμm phân bố nμy đặc tr−ng cho trình ngẫu nhiên cμng đầy đủ hơn, giá trị đối số ti cμng phân bố gần nhau, số lát cắt n có đ−ợc cμng lớn

Xuất phát từ đó, q trình ngẫu nhiên X(t) đ−ợc coi nh− cho tr−ớc giá trị t, hμm phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên X(t) đ−ợc xác định

F1(x,t) = P[X(t)<x)], (2.2.4)

đối với cặp hai giá trị t1 vμ t2 đối số t, hμm phân bố hệ đại l−ợng

ngẫu nhiên X1=X(t1), X2=X(t2) đ−ợc xác định

F2(x1,x2,t) = P(X1<x1, X2<x2), (2.2.5)

vμ nói chung, với n giá trị t1, t2, , tn đối số t, hμm phân bố n chiều

của hệ đại l−ợng ngẫu nhiên X1=X(t1), X2=X(t2) , Xn=X(tn) đ−ợc xác định

Fn(x1,x2, ,xn; t1,t2, ,tn) = P(X1<x1,X2<x2, ,Xn<xn) (2.2.6)

Hμm F1(x;t) đ−ợc gọi lμ hμm phân bố chiều trình ngẫu nhiên, đặc

tr−ng cho qui luật phân bố lát cắt nó, nh−ng khơng giải đáp đ−ợc vấn đề phụ thuộc lẫn gia cỏc lỏt ct khỏc

Hm F2(x1,x2;t1,t2) đợc gọi l hm phân bố hai chiều trình ngÉu nhiªn, nã

cũng khơng phải lμ đặc tr−ng bao quát trình ngẫu nhiên

Để đặc tr−ng đầy đủ trình ngẫu nhiên cần phải cho tất hμm phân bố nhiều chiều

Đối với hμm ngẫu nhiên liên tục, lát cắt lμ đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục, sử dụng qui luật phân bố vi phân nhiều chiều để đặc tr−ng cho hμm ngẫu nhiên Nếu F1(x;t) có đạo hμm riêng theo x

∂ ∂

F x t x

1( ; )= f

1(x;t) (2.2.7)

thì đ−ợc gọi lμ mật độ phân bố chiều hay qui luật phân bố vi phân chiều hμm ngẫu nhiên

Qui luật phân bố vi phân chiều f1(x;t) lμ qui luật phân bố vi phân đại l−ợng

ngẫu nhiên - lát cắt hm ngẫu nhiên ứng với giá trị t cho trớc

Qui lut phõn bố vi phân nhiều chiều hμm ngẫu nhiên đ−ợc xác định cách t−ơng tự

Nếu tồn đạo hμm riêng hỗn hợp hμm phân bố n chiều

∂

∂ ∂ ∂

n

n n n

n

F x x x t t t

x x x

( , , , ; , , , )

1 2

1

= f x xn( ,1 2, ,x t tn; , , , )1 2 tn , (2.2.8)

thì đ−ợc gọi lμ mật độ phân bố n chiều trình ngẫu nhiên

Hμm phân bố vμ mật độ phân bố cần thoả mãn điều kiện đối xứng, tức lμ cần phải nh− với cách chọn giá trị đối số t1, ,tn

Với hoán vị i1, i2, ,in từ số 1, 2, , n, hệ thức sau phải ®−ỵc thùc

F x xn i i xi t ti i ti

n n

( , , , ; , , , )

1 2 =F x xn( ,1 2, ,x t tn; , , , )1 tn (2.2.9)

f x xn i i xi t ti i ti

n n

( , , , ; , , , )

1 2 =f x xn( ,1 2, ,x t tn; , , , )1 tn (2.2.10)

Nh− mục 1.7, từ hμm phân bố vμ mật độ phân bố hệ n đại l−ợng ngẫu nhiên nhận đ−ợc hμm phân bố hệ Vì vậy, biết hμm phân bố mật độ phân bố n chiều lμ cho tr−ớc tất hμm phân bố vμ mật độ phân bố bậc thấp

Đặc tr−ng hμm ngẫu nhiên việc cho tr−ớc qui luật phân bố nhiều chiều, phần lớn ứng dụng thực tiễn, lμ khơng thể, tính phức tạp việc xác định thực nghiệm qui luật phân bố nhiều chiều, nh− cồng kềnh, khó khăn sử dụng để giải bμi toán ứng dụng

Vì vậy, thay cho qui luật phân bố nhiều chiều, đa số tr−ờng hợp ng−ời ta giới hạn cách cho đặc tr−ng riêng qui luật nμy, t−ơng tự nh− lý thuyết đại l−ợng ngẫu nhiên, thay cho qui luật phân bố ng−ời ta sử dụng đặc tr−ng số chúng

2.3 Các đặc tr−ng trình ngẫu nhiên

Để đặc tr−ng cho trình ngẫu nhiên, nh− đại l−ợng ngẫu nhiên, ng−ời ta sử dụng mụmen phõn b

Mômen bậc i1+i2+ +in trình ngẫu nhiên l kỳ vọng toán học tích

luỹ thừa tơng ứng lát cắt khác trình ngẫu nhiên )

, , , (1 2

, , ,2

1i i n

i t t t

m

n = {[ ] [ ] [ ] }

n

i n i

i

t X t

X t X

M ( ) ( ) ( )

2

1 (2.3.1)

M«men bËc nhÊt:

m1(t) = M[X(t)] = mx(t) (2.3.2)

gäi lμ kú väng toán học trình ngẫu nhiên

Kỳ vọng toán học trình ngẫu nhiên l hm không ngẫu nhiên mx(t),

m giá trị với t kỳ vọng toán học lát cắt tơng ứng

K vng toỏn hc mx(t) hon toμn xác định quy luật phân bố bậc m tx( )= xf x t dx1( ; )

−∞ +∞

 (2.3.3) Mômen gốc bậc hai có hai dạng: mơmen bậc hai lát cắt trình ngẫu nhiên

m2 0, ( )t =M X t{[ ( )]2} (2.3.4) vμ mômen hỗn hợp bậc hai hai lỏt ct khỏc

Bên cạnh mômen gốc, ngời ta xét mômen trung tâm trình ngẫu nhiên

Hiệu trình ngẫu nhiên v kỳ vọng

X to( )= X(t) - mx(t) (2.3.6)

đợc gọi l trình ngẫu nhiên qui tâm

Mômen trung tâm trình ngẫu nhiên X(t) l mômen gốc bậc tơng ứng trình nhẫu nhiên qui tâm X t

o

( )

M«men trung tâm bậc không 1(t) = M[X t

o

( )] = M[X(t) − mx(t)] = mx(t) mx(t) =

Mômen trung tâm bậc hai cã d¹ng:

μ2 0, ( )t = M X t M X t{[ m t ] } o

x

( ) ( ) ( )

    

  

  

 = −

2

2

(2.3.7)

μ1 1, ( , )t t1 = M X t X t

o o

( ) ( )1 2

 

 =

= M X t{[ ( )1 −m tx( )1 ][X t( )2 −m tx( )2 ]} (2.3.8) Mômen trung tâm μ2 0, ( )t lμ hμm đối số t, với giá trị t cố định lμ ph−ơng sai lát cắt t−ơng ứng q trình ngẫu nhiên Hμm khơng ngẫu nhiên nμy đối số t

Dx(t) = M X t{[ ( )−m tx( )] }

(2.3.9) đợc gọi l phơng sai trình ngẫu nhiên

Mụmen trung tõm 1,1(t1,t2) l hm hai đối số t1 vμ t2, với cặp hai giá trị t1

vμ t2 lμ mơmen quan hệ hay mômen t−ơng quan lát cắt tng ng ca quỏ

trình ngẫu nhiên

Hm không ngẫu nhiên hai đối số t1 vμ t2 )

, (t1 t2

Rx =M{[X(t1)−mx(t1)][X(t2)−mx(t2)]} (2.3.10) đợc gọi l hm tơng quan trình ngẫu nhiªn X(t)

Rõ rμng, t1=t2=t Rx(t,t) = Dx(t), tức lμ với giá trị đối số nh−

hμm t−¬ng quan trë thμnh ph−¬ng sai

Khi sư dơng qui lt ph©n bè vi phân hai chiều hm ngẫu nhiên, viết lại hm tơng quan Rx(t1,t2):

) , (t1 t2

Rx =  [ ][ ]

+∞ ∞ −

+∞ ∞ −

−

− 2 2 2 m (t) x m (t ) f (x,x ;t,t )dxdx

x x x (2.3.11)

) , (t1 t2

Rx =Rx(t2,t1) (2.3.12) Thay cho hμm t−¬ng quan, cã thĨ sư dơng hμm t−¬ng quan chuẩn hoá rx(t1,t2) đợc

xỏc nh di dng

) , (t1 t2

rx =

) ( ) (

) , (

2

2

t t

t t R

x x

x

σ

σ , (2.3.13)

trong σx(t) = Dx(t) đ−ợc gọi lμ độ lệch bình ph−ơng trung bình hμm ngẫu nhiên Với cặp giá trị t1 vμ t2, hμm t−ơng quan chuẩn hoá rx(t1,t2) lμ hệ số t−ơng quan hai lát cắt t−ơng ứng hμm ngẫu nhiên

Việc cho mômen bậc vμ bậc hai, tức lμ kỳ vọng toán học vμ hμm t−ơng quan q trình ngẫu nhiên, mμ khơng cho đặc tr−ng đầy đủ nó, xác định đ−ợc hμng loạt tính chất q trình ngẫu nhiên

Tại giá trị cố định đối số t, kỳ vọng toán học mx(t) xác định tâm phân bố

của lát cắt trình ngẫu nhiên

Hμm t−ơng quan Rx(t1,t2), trở thμnh ph−ơng sai giá trị đối số nh−

t1=t2=t, đặc tr−ng cho tính tản mát giá trị ngẫu nhiên lát cắt cho xung

quanh t©m ph©n phèi

Với giá trị t1 vμ t2 khác nhau, hμm t−ơng quan đặc tr−ng cho mức độ ph thuc

tuyến tính cặp lát cắt trình ngẫu nhiên

Khi gii quyt nhiều bμi tốn ứng dụng, cần biết hai mơmen nμy - kỳ vọng toán học vμ hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên, lμ đủ

Phần lý thuyết hμm ngẫu nhiên dựa đặc tr−ng nμy có tên gọi lμ lý thuyết t−ơng quan hμm ngẫu nhiên

Đối với trình ngẫu nhiên phân bố chuẩn th−ờng gặp thực tế, kỳ vọng toán học vμ hμm t−ơng quan lμ đặc tr−ng bao quỏt ca quỏ trỡnh ngu nhiờn

Quá trình ngẫu nhiên đợc gọi l có phân bố chuẩn hệ lát cắt X(t1),

X(t2), , X(tn) tuân theo quy luật phân bố chuẩn hệ đại l−ợng ngẫu

nhiªn

Mật độ phân bố hệ đại l−ợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn đ−ợc xác định kỳ vọng toán học vμ ma trận t−ơng quan hệ đại l−ợng ngẫu nhiên (xem mục 1.10)

Vì kỳ vọng toán học lát cắt trình ngẫu nhiên lμ trị số kỳ vọng tốn học mx(t) giá trị cố định đối số t, phần tử ma trận t−ơng quan

lμ giá trị hμm t−ơng quan Rx(t1,t2) cố định cặp hai đối số nó, kỳ vọng toán học vμ hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên hoμn toμn xác định mật độ phân bố n chiều trình ngẫu nhiên phân bố chuẩn

Trong thống kê toán học, xác định kỳ vọng toán học vμ mômen t−ơng quan đại l−ợng ngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm, theo định luật số lớn, thay cho giá trị chúng lμ trung bình theo giá trị đại l−ợng ngẫu nhiên

mx = M[X] =  = n

i i

x n

1

(2.3.14)

[ ] 

=

− −

− = − −

= n

i

y i x i y

x

xy x m y m

n m Y m X M R

1

) )(

( 1 1 ) )(

( , (2.3.15)

ở đây, n lμ số trị số đại l−ợng ngẫu nhiên

Việc lấy trung bình t−ơng tự theo tập hợp tất thể đ−ợc tiến hμnh xác định kỳ vọng toán học vμ hμm t−ơng quan hμm ngẫu nhiên:

mx(t) =  = n

i i t

x n

) ( 1

(2.3.16),

[ ][ ]



=

− −

−

= n

i

x i

x i

x x t m t x t m t

n t t R

1 1 2

2

1 1 ( ) ( ) ( ) ( )

1 ) ,

( (2.3.17)

trong đó, n lμ số l−ợng thể

Từ đó, để xác định đặc tr−ng hμm ngẫu nhiên, thay cho toán tử lấy kỳ vọng toán học, tμi liệu th−ờng sử dụng tốn tử trung bình hố mμ đ−ợc ký hiệu

mx(t) = X(t) (2.3.18)

[ ( ) ( )][ ( ) ( )]

) ,

(t1 t2 X t1 X t1 X t2 X t2

Rx = − − (2.3.19) đây, đ−ờng gạch ngang phía đại l−ợng lμ ký hiệu lấy trung bình đại l−ợng nμy theo tập hợp tất thể hμm ngẫu nhiên

Ta xét xem đặc tr−ng trình ngẫu nhiên thay đổi nh− nμo thêm vμo hμm khơng ngẫu nhiên

Gi¶ sö

Y(t) = X(t) + ϕ(t) (2.3.20) ϕ(t) lμ hμm khơng ngẫu nhiên

Theo định lý cộng kỳ vọng toán học:

my(t) = mx(t) + ϕ(t) (2.3.21)

Ta xác định hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên Y(t)

[ ][ ]

{ ( ) ( ) ( ) ( )}

) ,

(t1 t2 M Y t1 m t1 Y t2 m t2

Ry = − y − y =

=M{[X(t1)+ϕ(t1)−my(t1)−ϕ(t1)][X(t2)+ϕ(t2)−my(t2)−ϕ(t2)]}=

=M{[X(t1)−my(t1)][X(t2)−my(t2)]}=Rx(t1,t2) (2.3.21) tức lμ, rõ rμng, thêm vμo hạng tử không ngẫu nhiên, hμm t−ơng quan q trình ngẫu nhiên khơng thay đổi

Khi nghiên cứu q trình khí t−ợng thuỷ văn, kỳ vọng toán học nhận đ−ợc cách trung bình hố theo thể q trình ngẫu nhiên, lμ chuẩn khí hậu q trình cho Đó lμ chuẩn trung bình ngμy, tháng nhiều năm, v.v., phụ thuộc vμo tính chất trình nghiên cứu Sự thay đổi trình đ−ợc đặc tr−ng độ lệch thể trình so với chuẩn vμ gọi lμ dị th−ờng

Điều quan tâm lớn nghiên cứu thống kê trình ngẫu nhiên lμ đặc tr−ng dị th−ờng nμy Chẳng hạn, dự báo ta quan tâm đến độ lệch yếu tố cần xét so với chuẩn, tức lμ yếu tố lớn hay nhỏ chuẩn khí hậu

Từ đó, thơng th−ờng ng−ời ta xét q trình ngẫu nhiên qui tâm với kỳ vọng toán học Khi hμm t−ơng quan q trình qui tâm trùng với hμm t−ơng quan trình ban đầu

2.4 Hệ trình ngẫu nhiên Hm tơng quan quan hƯ

Thơng th−ờng ta xét đồng thời vμi q trình ngẫu nhiên Khi ngoμi đặc tr−ng trình ngẫu nhiên, chủ yếu lμ xác lập mối quan hệ trình khác

Chẳng hạn, nghiên cứu t−ợng thời tiết đòi hỏi phải xét đồng thời loạt trình ngẫu nhiên, nh− thay đổi nhiệt độ khơng khí, áp suất, độ ẩm, v.v

T−ơng tự nh− hệ đại l−ợng ngẫu nhiên, xét hệ n q trình ngẫu nhiên nh− lμ vectơ ngẫu nhiên n chiều phụ thuộc vμo đối số t, mμ trình ngẫu nhiên đ−ợc xem lμ hình chiếu vectơ nμy trục toạ độ cho

Do sù cång kÒnh vμ khả ứng dụng thực tế nên qui luật phân bố nhiều chiều hệ trình ngẫu nhiên không đợc mô tả, giới hạn hai mômen m chúng đợc sử dụng lý thuyết tơng quan Mômen gốc bËc nhÊt trïng víi kú väng to¸n häc c¸c qu¸ trình ngẫu nhiên tơng ứng

Mụmen trung tõm bc hai có hai dạng Dạng thứ nhất, xét mômen trung tâm bậc hai hai lát cắt q trình ngẫu nhiên, lμ hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên hệ

Dạng thứ hai, xét mômen trung tâm bậc hai lát cắt t−ơng ứng với giá trị đối số t1 q trình ngẫu nhiên hệ, cịn lát cắt trình thứ hai

t−ơng ứng với giá trị đối số t2

Mômen trung tâm nμy đ−ợc gọi lμ hμm t−ơng quan quan hệ hai trình ngẫu nhiên cho Ng−ời ta cịn dùng tên khác, lμ hμm t−ơng quan lẫn

Xét hệ hai trình ngẫu nhiên X(t) vμ Y(t) Trong lý thuyết t−ơng quan đặc tr−ng lμ: Kỳ vọng toán học mx(t) vμ my(t), hμm t−ơng quan Rx(t1,t2) vμ Ry(t1,t2),

vμ hμm t−¬ng quan quan hÖ

Rxy(t1,t2) = M X t{[ ( )1 −m tx( )1 ][Y t( )2 −m ty( )2 ]} (2.4.1)

Hμm t−ơng quan quan hệ (2.4.1) đặc tr−ng cho mức độ phụ thuộc tuyến tính lát cắt X(t1) vμ Y(t2) Khi t1=t2 hμm t−ơng quan quan hệ đặc tr−ng cho mức độ phụ

Hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên đặc tr−ng cho mức độ quan hệ lát cắt q trình, đơi đ−ợc gọi lμ hμm tự t−ợng quan

Hμm t−ơng quan quan hệ Rxy(t1,t2) không đối xứng đối số chúng,

nhiên có tính chất lμ khơng thay đổi chuyển vị đồng thời đối số vμ số Thực vậy, từ (2.4.1) rõ rμng:

Rxy(t1,t2) = Ryx(t2,t1) (2.4.2)

Dễ rμng chứng minh đ−ợc hμm t−ơng quan quan hệ không thay đổi thêm vμo hμm ngẫu nhiên hạng tử không ngẫu nhiên, tính sử dụng hμm ngẫu nhiên qui tâm

Khi cố định giá trị đối số t1 vμ t2 Rxy(t1,t2) lμ mơmen quan h gia hai i

lợng ngẫu nhiên X(t1) v Y(t2), v× vËy

) ( ) ( ) ,

(t1 t2 t1 t2

Rxy ≤σx σy (2.4.3) Thay cho hμm t−ơng quan quan hệ ta xét đại l−ợng vô thứ nguyên, gọi lμ hμm t−ơng quan quan hệ chuẩn hoá

) , (t1 t2 rxy =

) ( ) (

) , (

2

2

t t

t t R

y x

xy

σ

σ (2.4.4)

Theo (2.4.3)

1 ) , (t1 t2 ≤

rxy (2.4.5) Khi cố định giá trị t1 vμ t2 hμm t−ơng quan quan hệ chuẩn hoá rxy(t1,t2) lμ hệ số t−ơng quan đại l−ợng ngẫu nhiên X(t1) vμ Y(t2)

Nếu hμm t−ơng quan quan hệ đồng khơng q trình ngẫu nhiên đ−ợc gọi lμ không liên hệ hay không t−ơng quan

Cũng nh− đại l−ợng ngẫu nhiên, điều kiện không t−ơng quan lμ điều kiện cần nh−ng lμ điều kiện đủ để trình ngẫu nhiên độc lập Nó đặc tr−ng cho khơng phụ thuộc tuyến tính chúng

Nếu có hệ n q trình ngẫu nhiên X1(t), X2(t), , Xn(t) thì, để đặc tr−ng cho h ny,

trong lý thuyết tơng quan cần phải cho n kỳ vọng toán học m (t)

i

x , n hμm t−¬ng quan )

, (t1 t2 R

i

x vμ 2

) 1 (n−

n

hμm t−¬ng quan quan hÖ R (t1,t2)

j ix

x Do (2.4.2), cần cho hμm t−ơng quan quan hệ cặp số xi, xj, với i<j lμ đủ,

) , (t1 t2 R

j ix

x = Rxjxi(t2,t1) (2.4.6)

Xét trờng hợp trình ngẫu nhiên Z(t) l tổng hai trình ngẫu nhiên khác X(t) vμ Y(t),

Z(t) = X(t) + Y(t) (2.4.7) Ta tìm kỳ vọng v hm tơng quan trình ngẫu nhiên Z(t)

Vi mi giỏ tr t cố định, theo tính chất kỳ vọng tổng đại l−ợng ngẫu nhiên, ta nhận đ−ợc

mz(t) = mx(t) + my(t) (2.4.8)

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ) ( ) ( )

(t Z t m t X t m t Y t m t X t Y t Z o o y x z o + = − + − = −

= (2.4.9)

Từ

) , (t1 t2 Rz =

          +     + =     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1

1 Z t M X t Y t X t Y t

t Z M o o o o o o = =     +     +     +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

1 X t M Y t Y t M X t Y t M Y t X t

t X M o o o o o o o o =

=Rx(t1,t2)+Ry(t1,t2)+Rxy(t1,t2)+Ryx(t1,t2) (2.4.10)

Nh− vậy, để xác định kỳ vọng toán học tổng hai trình ngẫu nhiên cần biết kỳ vọng tốn học hai q trình

Để xác định hμm t−ơng quan tổng hai trình ngẫu nhiên cần biết hμm t−ơng quan trình thμnh phần vμ hμm t−ơng quan quan hệ q trình Trong tr−ờng hợp q trình ngẫu nhiên X(t) vμ Y(t) khơng liên hệ,

) , (t1 t2

Rxy =0, Ryx(t1,t2)=0 th× (2.4.10) cã d¹ng

) , (t1 t2

Rz = Rx(t1,t2)+Ry(t1,t2) (2.4.11)

Các công thức ny đợc tổng quát hoá cho trờng hợp tổng n h¹ng tư Z(t) = 

= n i i t X )

( (2.4.12)

khi

) (t mz =

= n i x t m i )

( (2.4.13)

) , (t1 t2 Rz =

= n

i

x t t

R

i

1

2 1, )

( + < n j i x x t t

R

j

i (1, 2) (2.4.14)

Trong tr−ờng hợp tất q trình ngẫu nhiên đơi khơng liên hệ ta có

) , (t1 t2 Rz =

= n

i

x t t

R

i

1

2 1, )

( (2.4.15)

Khi cộng hμm ngẫu nhiên X(t) với đại l−ợng ngẫu nhiên Y, ta xét đại l−ợng ngẫu nhiên nμy nh− lμ hμm ngẫu nhiên không thay đổi theo đối số t

Trong tr−ờng hợp nμy my(t) = my, Ry(t1,t2)=Ry(t,t)=Dy Khi ú cụng thc (2.4.8)

đợc viết lại dới d¹ng

mz(t) = mx(t) + my (2.4.16)

Khi hμm ngẫu nhiên X(t) không liên hệ với đại l−ợng ngẫu nhiên Y, công thức (2.4.10) đ−ợc viết lại d−ới dạng

) , (t1 t2

2.5 Quá trình ngẫu nhiên dừng

Các q trình ngẫu nhiên mμ tính chất thống kê chúng, thực tế, không thay đổi theo đối số lμ trình đơn giản cho việc nghiên cứu vμ mô tả thống kê Các trình nh− đ−ợc gọi lμ dừng

Thuật ngữ dừng xuất nghiên cứu hμm ngẫu nhiên thời gian vμ đặc tr−ng cho tính chất chúng không thay đổi theo thời gian Đối với q trình ngẫu nhiên mμ đối số chúng khơng phải thời gian mμ lμ biến khác, chẳng hạn, khoảng cách, thuật ngữ đồng lμ tự nhiên Tuy nhiên, thuật ngữ dừng đ−ợc thừa nhận hμm ngẫu nhiên biến khơng phụ thuộc vμo tính chất biến nμy

Thuật ngữ đồng đ−ợc áp dụng cho tr−ờng ngẫu nhiên, đặc tr−ng cho tính chất đồng chúng khơng gian, cịn tính dừng tr−ờng đ−ợc hiểu lμ tính chất thống kê khơng thay đổi theo thời gian Ta định nghĩa xác khái niệm dừng

Quá trình ngẫu nhiên X(t) đ−ợc gọi lμ dừng tất qui luật phân bố hữu hạn chiều khơng thay đổi thêm vμo giá trị đối số với số, tức lμ tất chúng phụ thuộc vμo xếp giá trị đối số với mμ khơng phụ thuộc vμo giá trị nμy

Nh− vậy, trình ngẫu nhiên X(t) lμ dừng với n vμ to, đẳng thức sau

đây đợc thực

) , , , ; , , ,

( 1 2 n 1 2 n n x x x t t t

f = fn(x1,x2, ,xn;t1+to,t2+to, ,tn+to) (2.5.1) Do đó, mật độ phân bố lμ bất biến phép dịch chuyển gốc tính đối số t Cụ thể, mật độ phân bố chiều f1(x;t) trình ngẫu nhiên dừng,

đặt to=−t ta nhận đ−ợc

f1(x;t) = f1(x;t−t) = f1(x;0) = f1(x) (2.5.2)

tức lμ mật độ phân bố chiều khơng phụ thuộc vμo t, nh− lát cắt trình ngẫu nhiên

Khi to=−t1 mật độ phân bố hai chiều đ−ợc đ−a d−ới dạng

f2(x1,x2;t1,t2) = f2(x1,x2;0,t2−t1) = f2(x1,x2;t2−t1) = f2(x1,x2;τ), (2.5.3)

tức lμ mật độ phân bố hai chiều phụ thuộc vμo hai đối số t1, t2 mμ

phụ thuộc vμo đối số lμ hiệu chúng τ = t2−t1 Từ đó, theo (2.5.2), q trình

ngÉu nhiªn dõng ta nhận đợc ) (t mx =

+ ∞ −

dx x

xf1( ) = mx = const (2.5.4)

tức kỳ vọng toán học q trình ngẫu nhiên dừng khơng phụ thuộc vμo đối số t vμ lμ đại l−ợng không đổi

Theo (2.5.3) vμ (2.5.4), ) , (t1 t2

Rx =   +∞

∞ −

+∞ ∞ −

−

− 2 2

1 )( ) ( , ; )

Các điều kiện (2.5.4) vμ (2.5.5) đ−ợc thực trình dừng, tức lμ điều kiện cần tính dừng Tuy nhiên chúng lμ điều kiện đủ q trình dừng, có nghĩa lμ điều kiện ch−a đảm bảo để thực điều kiện (2.5.1) n≥3

Trong lý thuyết t−ơng quan hμm ngẫu nhiên ng−ời ta không sử dụng qui luật phân bố nhiều chiều mμ sử dụng hai mômen phân bố đầu tiên, việc thực điều kiện (2.5.4) vμ (2.5.5) lμ điều cốt yếu, lμm đơn giản hố nhiều việc mơ tả q trình ngẫu nhiên vμ giải đ−ợc nhiều bμi tốn

Vì vậy, lý thuyết t−ơng quan ng−ời ta tách lớp trình ngẫu nhiên mμ điều kiện (2.5.4) vμ (2.5.5) đ−ợc thoả mãn, tức lμ chúng kỳ vọng toán học lμ đại l−ợng khơng đổi, cịn hμm t−ơng quan lμ hμm đối số

Các trình nh− đ−ợc gọi lμ dừng theo nghĩa rộng Sau nμy, nghiên cứu lý thuyết t−ơng quan hμm ngẫu nhiên, nói đến tính dừng ta hμm ý lμ dừng theo nghĩa rộng

Đối với trình ngẫu nhiên có phân bố chuẩn, tính dừng theo nghĩa rộng t−ơng đ−ơng với tính dừng theo nghĩa hẹp, tất mật độ phân bố n chiều tr−ờng hợp nμy hoμn toμn đ−ợc xác định kỳ vọng toán học vμ hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên Vμ đó, khơng phụ thuộc kỳ vọng vμ hμm t−ơng quan vμo việc chọn gốc tính đối số t dẫn đến tính bất biến mật độ phân bố n chiều trình ngẫu nhiên có phân bố chuẩn

Từ tính chất đối xứng hμm t−ơng quan (2.3.12) suy

Rx(τ) = Rx(−τ) (2.5.6)

tức hμm t−ơng quan q trình ngẫu nhiên dừng lμ hμm chẵn Từ nói hμm t−ơng quan phụ thuộc vμo giá trị tuyệt đối hiệu t2−t1, tức lμ xem τ =

1 t

t −

Đối với trình ngẫu nhiên dừng X(t), ph−¬ng sai

Dx(t) = Rx(t,t) = Rx(0), (2.5.7)

tức ph−ơng sai lμ đại l−ợng khơng đổi, khơng phụ thuộc vμo đối số t Nó nhận đ−ợc từ hμm t−ơng quan Rx(τ) τ=0

Theo (2.3.12), hμm t−ơng quan chuẩn hố q trình dừng đ−ợc xác định d−ới dạng

) 0 (

) ( ) ( ) (

x x x x x

R R D R

r = = (2.5.8) Đặc biệt

1 ) 0 (

) 0 ( ) 0

( = =

x x x

R R

r (2.5.9)

Ta h·y xÐt hÖ trình ngẫu nhiên X1(t), X2(t), , Xn(t) Hệ ny đợc gọi l dừng

theo nghĩa rộng trình ngẫu nhiên Xi(t) l dừng theo nghĩa rộng, ngoi

ra, hm tơng quan quan hÖ R (t1,t2)

j ix

x lμ hμm đối số τ=t2−t1, tức lμ

) , (t1 t2 R

j ix

Hệ nh đợc gọi l dừng v liên hệ dừng

Đối với hệ nh vậy, tõ tÝnh chÊt cđa hμm t−¬ng quan quan hƯ (2.4.2) ta đợc

) (

j ix

x

R = (−τ)

j ix

x

R (2.5.11) Từ điều trình bμy ta thấy rằng, tính dừng hμm ngẫu nhiên lμm đơn giản cách đáng kể việc mô tả thống kê Trong khn khổ lý thuyết t−ơng quan điều cho phép vạch ph−ơng pháp tốn học hữu hiệu giải vấn đề biến đổi hμm ngẫu nhiên dừng, dự báo chúng,

Đối với hμm không dừng việc giải vấn đề gặp nhiều khó khăn Vì vậy, tr−ớc xét hμm ngẫu nhiên nμo xảy thực tế, ta phải xét quan điểm cho lμ dừng

Đối với q trình xảy khí vμ thuỷ quyển, giả thiết tính dừng chúng đ−ợc thoả mãn t−ơng đối tốt khoảng thời gian khoảng cách không lớn Khi tăng khoảng thay đổi đối số tính dừng bị phá huỷ Khi đó, biến trình ngμy (năm) yếu tố khí t−ợng vμ nhân tố hệ thống khác, mμ dẫn đến việc kỳ vọng toán học thay đổi theo thay đổi đối số Vì nhiều tính dừng theo nghĩa hμm t−ơng quan không phụ thuộc vμo gốc tính tốn, thực tế, đ−ợc bảo toμn, khơng xác lμ xấp xỉ cho phép nμo

Trong tr−ờng hợp nμy, thay cho trình ngẫu nhiên, hợp lý ta xét trình ngẫu nhiên qui tâm, tức lμ độ lệch khỏi kỳ vọng tốn học

) ( ) ( )

(t X t m t

X x

o

− =

Khi đó, xem trình ngẫu nhiên qui tâm lμ dừng với kỳ vọng tốn học khơng đổi Hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên qui tâm vμ trình ngẫu nhiên ban đầu trùng nh− mục 2.3

Khi nghiªn cøu cÊu trúc thống kê trình khí v thuỷ quyển, thông thờng l trình ngẫu nhiên dừng có hm tơng quan đợc xấp xỉ dạng hm sau đây:

1) R() = 2e , α>0 (h×nh 2.2)

2) R(τ) = σ2e−ατ2, α>0 (h×nh 2.3)

3) R(τ) = σ2e−ατ cosβτ, α>0 (h×nh 2.4)

4) R(τ) = σ2e−ατ2cosβτ, α>0 (h×nh 2.5)

5) R(τ) = σ2e−ατ (cosβτ+ βτ

β

αsin ), α>0, β>0 (h×nh 2.6)

6) R(τ) =

     

> ≤ 

  

 

−

o o o

τ τ

τ τ τ

τ σ

khi 0

khi 1

2

(h×nh 2.7)

Từ hình 2.2, 2.3, 2.7 ta thấy, giá trị hm tơng quan giảm tăng, tức l mối liên hệ tơng quan lát cắt hm ngẫu nhiên giảm theo tăng khoảng cách chúng

Cỏc ng cong trờn hỡnh 2.4 vμ 2.5 có dạng dao động điều hoμ với biên độ giảm dần Dạng đ−ờng cong nμy nói lên tính có chu kỳ cấu trúc hμm ngẫu nhiên Việc nhận đ−ợc giá trị âm R(τ) khoảng biến đổi τ mối quan hệ nghịch biến lát cắt hμm ngẫu nhiên, tức lμ độ lệch khỏi kỳ vọng toán học lát cắt nμy d−ơng t−ơng ứng với độ lệch âm lát cắt khác

Đối với tất tr−ờng hợp nêu, hμm t−ơng quan dần tới khơng τ dần tới vơ hạn Thực tế, tính chất nμy th−ờng đ−ợc thoả mãn tất hμm ngẫu nhiên th−ờng gặp khí t−ợng thuỷ văn

Ngoại trừ tr−ờng hợp mμ cấu trúc hμm ngẫu nhiên có thμnh phần lμ đại l−ợng ngẫu nhiên không đổi Trong tr−ờng hợp nμy hμm t−ơng quan chứa hạng tử lμ số, ph−ơng sai đại l−ợng ngẫu nhiên nμy Khi τ →∞ R(τ) dần đến ph−ơng sai nμy Ví dụ nh−, tr−ờng hợp đồ thị có dạng nh− hình 2.8

H×nh 2.2

H×nh 2.3

H×nh 2.4

H×nh 2.6

H×nh 2.7

Một vấn đề xuất lμ, có phải hμm chẵn lμ hμm t−ơng quan q trình ngẫu nhiên dừng hay khơng

Hμm f(t) mμ bất đẳng thức sau n số thực a1, a2, , an vμ giá trị đối số t1,

t2, , tn đ−ợc gọi lμ xác định d−ơng:

H×nh 2.8



= =

≥ − n

i n

j

j i j

ia f t t

a

1

0 )

( (2.5.12)

Ta xét tổng kiểu nh− hμm t−ơng quan Rx(τ)



= =

− n

i n

j

j i x j

ia R t t

a

1

)

( =

= = 

 

 n

i n

j

j i j o i o

a a t X t X M

1

) ( )

( = ( ) 0

2

1

≥     

  

   

 



= n

i

i o i X t

a

M (2.5.13)

Tổng (2.5.13) không âm giống nh− kỳ vọng tốn học đại l−ợng khơng âm Do đó, hμm t−ơng quan lμ xác định d−ơng Từ thấy rằng, hμm lμ hμm t−ơng quan q trình ngẫu nhiên dừng lμ xác định d−ơng

Điều ng−ợc lại hμm xác định d−ơng lμ hμm t−ơng quan q trình ngẫu nhiên dừng nμo

Có thể rằng, tất hμm đ−ợc xét hình 2.2−2.7 xác định d−ơng

Đối với hμm tự t−ơng quan, nh− thấy, giá trị cực đại ph−ơng sai trình ngẫu nhiên, đạt đ−ợc τ=0

lát cắt trình nμy sau khoảng thời gian τ, lớn so với mômen quan hệ lát cắt thời điểm q trình Sự trễ nμy lμ ngun nhân tính khơng đối xứng hμm t−ơng quan quan hệ đối số τ, tức lμ

) ( )

(τ ≠ xy −τ

xy R

R

2.6 TÝnh egodic trình ngẫu nhiên dừng

Cho n xác định đ−ợc đặc tr−ng hμm ngẫu nhiên, nh− kỳ vọng toán học vμ hμm t−ơng quan, cách lấy trung bình theo tập hợp tất thể Tuy nhiên có ph−ơng pháp lấy trung bình khác có thể với độ dμi đủ lớn Nếu mối liên hệ lát cắt khác q trình ngẫu nhiên giảm nhanh xem phần thể không phụ thuộc lẫn vμ xét chúng nh− lμ tập hợp thể Đ−ơng nhiên, xét ph−ơng pháp nμy hμm ngẫu nhiên dừng, hμm khơng dừng tính chất thống kê thay đổi theo đối số, vμ đoạn riêng biệt thể xem lμ thể khác nh− kết lần thí nghiệm điều kiện nh−

Đối với trình ngẫu nhiên dừng, kỳ vọng toán học (giá trị trung bình) khơng phụ thuộc vμo đối số, xác định giá trị nh− lμ trung bình số học tất giá trị thể cho mμ không cần chia thể thμnh phần riêng biệt Trong tr−ờng hợp nμy kỳ vọng tốn học đ−ợc xác định cơng thức



= T x x t dt

T m

0

) (

(2.6.1)

trong T lμ khoảng lấy trung bình

T−ơng tự, hμm t−ơng quan Rx(τ) đ−ợc xác định nh− lμ trung bình số học

tÝch

[x(t)−mx][x(t+τ)−mx]

theo tất giá trị thể cho công thức

[ ][ ]

− − + −

−

= τ τ

τ τ

T

x x

x x t m x t m dt

T R

0

) ( )

(

)

( (2.6.2)

Một vấn đề xuất lμ giá trị nμy có tiệm cận với giá trị t−ơng ứng nhận đ−ợc cách lấy trung bình toμn tập hợp hay khơng Câu trả lời lμ điều xảy khơng phải hμm dừng

Ng−ời ta nói rằng, hμm ngẫu nhiên có tính egodic lμ hμm mμ nó, đặc tr−ng nhận đ−ợc cách lấy trung bình theo thể tiến dần đến đặc tr−ng t−ơng ứng nhận đ−ợc việc lấy trung bình theo tập tất thể với xác suất tuỳ ý gần đơn vị tăng khoảng lấy trung bình T Các hμm ngẫu nhiên có tính egodic lμ hμm mμ thể chúng có số tính chất thống kê Nếu thể riêng biệt có đặc tính mình, ví dụ nh− dao động xung quanh giá trị trung bình khác nhau, giá trị trung bình nhận đ−ợc theo thể khác nhiều so với trung bình theo tập hợp tất thể

Cụ thể, hμm t−ơng quan Rx(τ) tiến đến không τ tiến đến vơ hạn kỳ vọng

tốn học lμ điều kiện đủ cho tính egodic Điều kiện nμy th−ờng thoả mãn hμm ngẫu nhiên gặp thực tế Tuy nhiên, khơng đ−ợc thực thμnh phần hμm ngẫu nhiên có chứa đại l−ợng ngẫu nhiên nμo nh− lμ số cộng

Thực vậy, giả sử hμm ngẫu nhiên Z(t) lμ tổng trình ngẫu nhiên dừng X(t) vμ đại l−ợng ngẫu nhiên có kỳ vọng tốn học khơng liên hệ với Khi đó, theo (2.4.17), xảy đẳng thức sau:

Rz(τ) = Rx(τ) + Dy,

vμ Rz(τ) không tiến tới 0, mμ tiến tới số d−ơng Dy nμo τ→∞, chí

®iỊu kiƯn lim ( )=0

∞

→ τ

τ Rx đợc thoả mÃn

Trong trờng hợp ny, theo (2.4.16), ta cã

mz(t) = mx(t) + my = mx(t) (2.6.3)

Mỗi thể zi(t), giá trị đối số t, chứa số cộng giá trị

yi đại l−ợng ngẫu nhiên Y, tức lμ

i i i t x t y

z( )= ( )+ (2.6.4) vậy, giá trị trung bình nhận đợc b»ng viƯc lÊy trung b×nh theo thĨ hiƯn nμy b»ng

i x

z m y

m = + (2.6.5) khác với giá trị thực mz đại l−ợng yi

Khi xác định đặc tr−ng q trình ngẫu nhiên có tính egodic theo thể độ dμi khoảng lấy trung bình quan trọng Vì đặc tr−ng nhận đ−ợc việc trung bình hố theo thể gần trùng với đặc tr−ng thống kê thực chúng giới hạn khoảng lấy trung bình tăng lên vơ hạn, nên có quan trắc khoảng nhỏ đối số thay đổi, nhận đ−ợc đặc tr−ng cần tìm với sai số lớn không cho phép

Taylor [33] rằng, ph−ơng sai hiệu giá trị thực kỳ vọng toán học trình ngẫu nhiên X(t) có dạng nói vμ giá trị nhận đ−ợc cách lấy trung bình theo thể với T đủ lớn, công thức xấp xỉ sau lμ

D ≈2 1Rx(0)

T T

, (2.6.6) T lμ khoảng lấy trung bình, cịn T1 lμ đại l−ợng, gọi lμ thời gian t−ơng quan,

đ−ợc xác định theo công thức



∞ =

0

1 ( )

) (

τ

τ d

R R

T x

x

(2.6.7)

Nh− vậy, để xác định chắn đặc tr−ng cần tìm, cần phải lấy khoảng trung bình hố lớn nhiều lần so với thời gian t−ơng quan T1

Tính egodic có ý nghĩa thực tế lớn, nhờ việc xác định đặc tr−ng thống kê khơng địi hỏi phải có số thể lớn Khi nghiên cứu cấu trúc thống kê yếu tố khí t−ợng, hoμn toμn khơng phải lúc nμo thực việc lặp lại thí nghiệm nhiều lần nhng iu kin nh

Còn điều phức tạp thuỷ văn Ví dụ nh số liệu dòng chảy năm sông l mét thĨ hiƯn

Nếu có vμi thể độ dμi nh− nhau, lμ kết lần thí nghiệm điều kiện, sử dụng tính egodic, nhận đ−ợc đặc tr−ng thống kê cách lấy trung bình theo thể hiện, vμ sau lấy giá trị trung bình số học chúng nh− lμ giá trị cần tìm Nếu độ dμi thể khác cần phải tiến hμnh lấy trung bình kết theo chúng có tính đến trọng số thể

2.7 Hμm cÊu tróc

Để đặc tr−ng cho trình ngẫu nhiên dừng, bên cạnh hμm t−ơng quan ng−ời ta cịn xét hμm cấu trúc B(τ) mμ đ−ợc xác định kỳ vọng tốn học bình ph−ơng hiệu lát cắt trình ngẫu nhiên t−ơng ứng với giá trị đối số t vμ t+τ

Bx(τ) = {[ ]}

2

) ( ) (t X t X

M +τ − (2.7.1) Từ định nghĩa thấy rằng, hμm cấu trúc khơng âm, Bx(τ)≥0

Cã thĨ biĨu diƠn hμm cÊu tróc qua hμm t−¬ng quan

Bx(τ) = {[ ]}

2

) ) ( ( ) ) (

(X t mx X t mx

M +τ − − − =M X t{[ ( + −τ) mx]2}

+M{[X(t)−mx]2}−2M{[X(t+τ)−mx][X(t)−mx]}= 2[Rx(0) − Rx(τ)] (2.7.2)

Tõ (2.7.2) vμ tÝnh chÊt cđa hμm t−¬ng quan ta nhận đợc:

Bx(0) = 0, (2.7.3)

Bx(−τ) = Bx(τ) (2.7.4)

tøc hμm cÊu trúc trình ngẫu nhiên dừng l hm chẵn Đối với trình ngẫu nhiên, thoả mÃn điều kiÖn

0 ) (

lim =

∞

→ τ

τ Rx (2.7.5) th× tõ (2.7.2) ta cã

2

2 ) ( ) (

limBx τ Rx σx

τ→∞ = =

Ký hiÖu lim ( )= (∞)

→∞Bx τ Bx

τ , (2.7.5) tho¶ m·n ta viÕt l¹i (2.7.2) d−íi d¹ng

) ( 2 ) ( )

(τ x x τ

x B R

B = ∞ − , (2.7.6) từ biểu diễn hμm t−ơng quan qua hμm cấu trúc

[ ( ) ( )]

2 1 )

(τ x x τ

x B B

Thực tế ta ghi thể q trình ngẫu nhiên khoảng vô hạn, nhiên, nhiều tr−ờng hợp, hμm cấu trúc đạt nhanh đến giá trị mμ tăng khoảng τ, giá trị nμy thay đổi không đáng kể

Giá trị đ−ợc xem lμ Bx(∞), đơi đ−ợc gọi lμ giá trị bão hoμ hμm cấu trúc Giữa hμm cấu trúc vμ hμm t−ơng quan xảy hệ thức

2

) ( 2 1 )

( x x

x B

R τ + τ =σ (2.7.8) Trên hình 2.9 minh hoạ hệ thức nμy q trình ngẫu nhiên dừng có hμm t−ơng quan (hình 2.2) lμ

τ α

σ

τ = −

e Rx( )

Vì hμm cấu trúc đ−ợc biểu diễn qua hμm t−ơng quan nên trình ngẫu nhiên dừng có tính egodic, hμm cấu trúc đ−ợc xác định theo thể độ dμi đủ lớn công thức:

[ ]

− + −

−

= τ τ

τ τ

T

x x t x t dt

T B

0

2

) ( ) (

)

( (2.7.9)

Nếu hμm ngẫu nhiên lμ dừng vμ có số thể đủ lớn đảm bảo mơ tả đ−ợc tính chất cách chắn tất khoảng biến đổi đối số, xác định hμm t−ơng quan trực số liệu thực nghim

Tuy nhiên, nhiều trờng hợp tốt nên sử dụng hm cấu trúc

Hình 2.9

Tính dừng q trình khí t−ợng thực th−ờng mang tính chất địa ph−ơng, đ−ợc bảo toμn khoảng thay đổi không lớn đối số

Khi nghiên cứu cấu trúc qui mô vừa, vμ đặc biệt lμ qui mô lớn, q trình nμy, tính dừng (đồng nhất) chúng đ−ợc chấp nhận với mức độ gần định Khi kỳ vọng tốn học hμm ngẫu nhiên lμ số Việc xác định hμm t−ơng quan trình nh− mắc phải sai số lớn giá trị đối số nhỏ

Những biến đổi chậm chạp q trình khơng ảnh h−ởng đến hμm cấu trúc độ lớn hiệu giá trị đối số t nhỏ Vì vậy, tính khơng đồng nhiễu động sóng dμi khơng ảnh h−ởng rõ rệt đến độ xác việc tính B(τ) giá trị τ nhỏ Nói chung, sai số hệ thống, mμ chúng bảo toμn giá trị suốt chu kỳ dμi lớn τ, không ảnh h−ởng đến đại l−ợng Bx(τ), chúng bị khử bỏ tính

hiƯu x(t+τ)−x(t)

tr−êng hỵp viƯc chỉnh lý đợc tiến hnh theo tập hợp thống kê số thể không lớn

Nh vy, nhiều tr−ờng hợp việc sử dụng hμm cấu trúc cho phép lμm giảm ảnh h−ởng tính khơng đồng trình vμ sai số hệ thống đến độ xác đặc tr−ng hμm ngẫu nhiên tính tốn theo số liệu thực nghiệm

Tuy nhiên, −u việt hμm cấu trúc lμ đáng kể giá trị tham số τ nhỏ Khi tính hμm t−ơng quan qua hμm cấu trúc, tr−ớc hết độ xác khơng tăng lên, tất sai số nằm giá trị bão hoμ hμm cu trỳc

2.8 Giới hạn trình ngẫu nhiªn

Ta định nghĩa khái niệm giới hạn trình ngẫu nhiên X(t) đối số t dần tới giá trị to nμo

Nếu f(t) lμ hμm khơng ngẫu nhiên thì, nh− biết, số A đ−ợc gọi lμ giới hạn hμm f(t) t →to, với ε>0 tồn số δ>0 cho với t mμ t−t0 <δ ,

bất đẳng thức f(t)−A <ε thoả mãn Điều nμy có nghĩa t đủ gần t0, giá trị t−ơng ứng f(t) gần với A tuỳ ý

Đối với hμm ngẫu nhiên, đại l−ợng ngẫu nhiên nμo mμ chuỗi lát cắt hμm ngẫu nhiên hội tụ t tiến tới t0, lμ giới hạn Khi nói tiến dần đại l−ợng ngẫu nhiên đến đại l−ợng ngẫu nhiên khác lμ trung bình theo tất giá trị chúng

Ta xem đại l−ợng ngẫu nhiên Y lμ giới hạn hμm ngẫu nhiên X(t)

0

t

t→ , giới hạn kỳ vọng toán học bình phơng hiệu chúng tiến tới không

[ ]

{ ( ) }

lim

0 − =

→t M X t Y

t (2.8.1) giới hạn đ−ợc hiểu theo nghĩa thơng th−ờng, kỳ vọng tốn học lμ hμm không ngẫu nhiên Nh− vậy, ta gọi đại l−ợng ngẫu nhiên Y lμ giới hạn hμm ngẫu nhiên X(t) t tiến tới t0 với ε>0 tìm đ−ợc δ>0 cho với giá trị t mμ

0

t

t− <δ, bất đẳng thức M{[X(t)−Y]2}<ε thoả mãn Vậy ng−ời ta gọi giới hạn vừa định nghĩa lμ giới hạn theo nghĩa bình ph−ơng trung bình

Nhiều để phân biệt giới hạn hμm ngẫu nhiên, đ−ợc hiểu lμ giới hạn bình ph−ơng trung bình, với giới hạn thơng th−ờng hμm không ngẫu nhiên, ng−ời ta ký hiệu l.i.m ( )

0

t X

t

t→ Sau nμy chóng ta sÏ sư dơng ký hiệu lim thông thờng, nhng hiểu theo nghĩa nêu ë trªn

Ta sÏ gäi hμm ngÉu nhiªn X(t) l liên tục điểm t0 giới hạn tt0

l lát cắt (0), lim ( ) ( 0)

0

t X t X t

X

t

t→ = , tøc lμ, nÕu

[ ]

{ ( ) ( ) } 0

lim 0

0 − =

→t M X t X t

2.9 Đạo hm hm ngẫu nhiên

Ta nói q trình ngẫu nhiên X(t) khả vi điểm t0 tồn đại l−ợng ngẫu nhiên Y(t0) cho

) ( ) ( ) ( 0 0

lim Y t

t t X t t X t = Δ − Δ + → Δ (2.9.1) Theo định nghĩa giới hạn hμm ngẫu nhiên, điều nμy có nghĩa với ε>0 tìm đ−ợc δ>0 cho với Δt <δ bất đẳng thức sau thoả mãn:

ε <             = Δ − Δ + 0

0 ) ( ) ( )

( t Y t t X t t X

M (2.9.2)

Đại l−ợng ngẫu nhiên Y(t0) gọi lμ đạo hμm trình ngẫu nhiên X(t) ti im

0

t v đợc ký hiệu b»ng

. ) ( ) (

0 t t

dt t dX t Y =

= (2.9.3)

Nếu trình ngẫu nhiên khả vi giá trị t khoảng nμo đó, đạo hμm

dt t dX t

Y( )= ( ) lμ trình ngẫu nhiên đối số t

Định nghĩa nμy đạo hμm hμm ngẫu nhiên t−ơng tự nh− định nghĩa đạo hμm hμm không ngẫu nhiên, khác lμ giới hạn đ−ợc hiểu nh− giới hạn bình ph−ơng trung bỡnh

Giả sử hm ngẫu nhiên X(t) có kỳ vọng toán học mx(t) v hm tơng quan

) , (t1 t2

Rx Ta xác định kỳ vọng toán học my(t) vμ hμm t−ơng quan Ry(t1,t2) đạo

hμm

dt t dX t

Y( )= ( ):

[ ]  = Δ − Δ + = = → Δ t t X t t X M t Y M t m t y ) ( ) ( lim ) ( ) ( . ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim 0 dt t dm t t m t t m t t X t t X

M x x x

t

t Δ =

− Δ + =     Δ − Δ + = → Δ →

Δ (3.9.4)

Nh− vậy, kỳ vọng toán học đạo hμm hμm ngẫu nhiên đạo hμm kỳ vọng toán học hμm ngẫu nhiên

Ta xác định Ry(t1,t2):

; ) ( ) ( ) ,

(1 2 1 2

  



=M Y t Y t t

t

Ry (2.9.5)

− Δ − Δ + = − = → Δ t t X t t X t m t Y t Y t y ) ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( 0 = Δ − Δ + − → Δ t t m t t

mx x

[ ] [ ]= Δ − − Δ + − Δ + = → Δ t t m t X t t m t t

X x x

t ) ( ) ( ) ( ) ( lim dt t X d t t X t t X t ) ( ) ( ) ( lim 0

0 Δ =

− Δ + =

→

Δ (2.9.6)

ThÕ (2.9.6) vμo (2.9.5), ta nhận đợc

= − Δ +     Δ − Δ + = → Δ → Δ 2 2 0 1 1 0 ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) , ( t t X t t X t t X t t X M t t R t t y [ ] { +Δ +Δ − +Δ − Δ Δ = → Δ → Δ ( , ) ( , ) 1

lim 1 1 2 2 1 1 2

2 0 t t t R t t t t R t

t x x

t t

[ +Δ − ]}= − Rx(t1,t2 t2) Rx(t1,t2)

2 2 2 2 1 ) , ( ) , ( ) , ( lim

1 t t

t t R t t t R t t t t R t x x x

t ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =       − Δ + Δ = →

Δ (2.9.7)

Nh− vậy, hμm t−ơng quan đạo hμm hμm ngẫu nhiên đạo hμm hỗn hợp cấp hai hμm t−ơng quan hμm ngẫu nhiên

Ta xét phép tính đạo hμm trình ngẫu nhiên dừng X(t) Trong tr−ờng hợp nμy kỳ vọng toán học mx lμ số,

, 0 = dt dmx (2.9.8) tức lμ kỳ vọng toán học đạo hμm q trình ngẫu nhiên dừng khơng

Hμm t−ơng quan lμ hμm đối số Rx(τ),τ =t2 −t1, từ

=       = = 2 2 ) ( ) ( ) , ( t R t t t R t t

R x x

y ∂ ∂τ ∂ττ ∂ ∂∂ ∂ ∂ τ ∂ 2 ) ( ) ( τ τ ττ

∂∂ d

R d d dR t x x =−

  

 −

= , (2.9.9)

tức lμ hμm t−ơng quan đạo hμm trình ngẫu nhiên dừng đạo hμm cấp hai lấy ng−ợc dấu hμm t−ơng quan đối số τ q trình ngẫu nhiên

Từ thấy hμm t−ơng quan đạo hμm trình ngẫu nhiên dừng phụ thuộc vμo đối số τ ,Ry(t1,t2)=Ry(τ), tức lμ đạo hμm hμm ngẫu nhiên dừng lμ hμm dừng

Chúng ta xác định đặc tr−ng đạo hμm hμm ngẫu nhiên điều kiện giả định khả vi

Có thể [21], điều kiện cần vμ đủ để hμm ngẫu nhiên khả vi lμ tồn đạo hμm kỳ vọng toán học vμ đạo hμm riêng hỗn hợp cấp hai hμm t−ơng quan t1=t2 (tồn đạo hμm cấp hai hμm t−ơng quan τ=0 hμm ngẫu

0 , )

(τ =σ2 −ατ α >

e

Rx (2.9.10) lμ hμm kh«ng kh¶ vi

Thùc vËy,

   

< > −

= −

. 0 khi

, 0 khi )

(

2

τ α

σ

τ α

σ

τ ατ ατ

e e

Rx (2.9.11)

Từ thấy điểm τ=0 đạo hμm Rx′(τ) bị gián đoạn, đạo hμm bên phải điểm nμy −σ2α, đạo hμm bên trái σ2α Do đó, đạo hμm cấp hai Rx''(τ)

tại điểm =0 không tồn

Ta s tìm đặc tr−ng đạo hμm số trình ngẫu nhiên dừng 1 Giả sử trình ngẫu nhiên có hμm t−ơng quan

0 , )

(τ =σ2 −ατ2 α >

e

Rx (2.9.12) Hμm t−ơng quan đạo hμm trình ngẫu nhiên nμy

2

) 2 1 ( 2 )

(τ = σ2α − ατ2 e−ατ

Ry (2.9.13) T¹i τ = ta cã

α σ2

2 ) ( = y

R (2.9.14) Từ thấy trình ngẫu nhiên X(t) khả vi

Ph−ơng sai đạo hμm Y(t) phụ thuộc khơng vμo ph−ơng sai q trình ngẫu nhiên X(t), mμ vμo hệ số α đặc tr−ng cho mức độ giảm hμm t−ơng quan Rx(τ) đối số τ tăng

2 Rx(τ)=σ2e−ατ cosβτ, α >0; (2.9.15)

Trong tr−ờng hợp nμy đạo hμm hμm t−ơng quan bị gián đoạn τ=0 vμ đạo hμm cấp hai khơng tồn

Do q trình ngẫu nhiên X(t) có hμm t−ơng quan dạng nh− không khả vi 3 (τ)=σ2 −ατ2cosβτ, α >0;

e

Rx (2.9.16)

, ) sin cos

2 ( )

( 2

' τ =−σ ατ βτ +β βτ e−ατ

Rx (2.9.17)

[ ]

sin 4

cos ) 4 2 ( ) ( )

(τ =−R'' τ =σ2 β2+ α− α2τ2 βτ − αβτ βτ e−ατ

Ry x (2.9.18)

T¹i τ = ta cã

)

( )

( =σ2 α +β2

y

R (2.9.19) Quá trình ngẫu nhiên X(t) khả vi, ph−ơng sai đạo hμm q trình nμy phụ thuộc khơng vμo ph−ơng sai X(t), mμ vμo hệ số α vμ β quy định dạng hμm t−ơng quan Rx(τ)

4 ( ) cos sin , >0, >0;

   

 

+

= − βτ α β

β α βτ σ

τ ατ

e

       <       − >       + = − . 0 khi sin cos , 0 khi sin cos ) ( 2 τ βτ β α βτ σ τ βτ β α βτ σ τ ατ ατ e e

Rx (2.9.21)

Từ = − = ( ) ) (τ '' τ x y R R        + + − + − 0. > khi ) sin cos ( 0, > khi ) sin cos ( 2 2 2 τ βτ α βτ β ββ α σ τ βτ α βτ β ββ α σ ατ ατ e e (2.9.22)

Cã thĨ viÕt Ry(τ) d−íi d¹ng mét biĨu thøc

) sin cos ( ) ( 2

2 β βτ α βτ

ββ

α σ

τ = + −ατ −

e

Ry (2.9.23)

) ( ) (

Khi τ = = =σ2 α2 +β2

y y R

D (2.9.24)

Vậy hm ngẫu nhiên X(t) có hm tơng quan dạng nh l hm khả vi

Chỳng ta xác định tiếp hμm t−ơng quan quan hệ Rxy(t1,t2) hμm ngẫu nhiên

X(t) vμ đạo hμm

dt t dX t

Y( )= ( ) Theo (2.4.1) ta cã

[ ][ ]

{ − − }=

= ( ) ( ) ( ) ( ) )

,

(t1 t2 M X t1 m t1 Y t2 m t2

Rxy x y

[ ( ) ( )] [ (2) (2)]

2 1       − −

= X t m t

dt d t m t X

M x x (2.9.25)

Đổi chỗ phép tính lấy vi phân vμ phép lấy kỳ vọng toán học vμ ký hiệu đạo hμm đạo hμm riêng theo biến t2, biến t1 đ−ợc xem nh− đại l−ợng khơng đổi, viết

[ ][ ]

{ − − }=

= ( ) ( ) ( ) ( )

) ,

( 1 1 2 2

2

1 M X t m t X t m t

t t t

Rxy x x

∂∂ (1, 2).

2

t t R t x

∂∂ (2.9.26)

Đặc biệt hμm ngẫu nhiên dừng X(t)

, ) ( ) .( ) ,

( 2 1

2 2 τ τ ∂∂

∂∂ d

dR t t R t t t R t x x

x = − = (2.9.27) τ =t2−t1

Từ thấy hμm t−ơng quan quan hệ hμm ngẫu nhiên dừng vμ đạo hμm lμ hμm đối số τ, tức hμm ngẫu nhiên dừng vμ đạo hμm lμ hμm liên hệ dừng

2.10 TÝch ph©n cđa hμm ngẫu nhiên

Giả sử trình ngẫu nhiên X(t) đợc cho đoạn [a,b]. Chia đoạn ny thnh n phần điểm a=t0,t1 , ,tn =b v lËp tæng 

=

Δ

n

k

k k t

t X

1

)

( , X(tk) lμ lát cắt q trình ngẫu nhiên t=tk, cịn Δtk =tk−tk−1.

T−ơng tự nh− định nghĩa tích phân hμm khơng ngẫu nhiên, ta gọi giới hạn bình ph−ơng trung bình tổng tích phân nμy đại l−ợng λ, lμ hiệu lớn số hiệu Δtk, tiến tới khơng, lμ tích phân xác định hμm ngẫu nhiên X(t) đoạn

] ,

[a b vμ ký hiÖu b»ng

 

=

→ Δ

= n

k

k k b

a

t t X dt

t X

1

) ( )

( lim

λ

(2.10.1)

Tích phân xác định hμm ngẫu nhiên, giống nh− giới hạn tổng đại l−ợng ngẫu nhiên, lμ đại l−ợng ngẫu nhiên Nếu giới hạn nμy tồn vμ không phụ thuộc vμo cách thức chia đoạn [a,b] điểm tk, hμm ngẫu nhiên X(t) gọi lμ khả tích đoạn [a,b]

Có thể chứng minh [21], muốn cho tồn tích phân nêu cần tồn tích phân kỳ vọng tốn học hμm ngẫu nhiên X(t) vμ tích phân hai lớp hμm t−ơng quan

Bây ta xét tích phân với cận biến thiªn cđa hμm ngÉu nhiªn X(t)



= t

d X t Y

0

) ( )

( τ τ (2.10.2) Tích phân nμy lμ hμm ngẫu nhiên Y(t) Chúng ta xác định kỳ vọng toán học my(t) vμ hμm t−ơng quan Ry(t1,t2) hμm ngẫu nhiên Y(t), xem đặc

tr−ng t−ơng ứng X(t) đ−ợc cho tr−ớc:

 

= → Δ =

→

Δ = Δ

 

 

Δ

= n

k

k k x t

n

k

k k t

y t M X m

m

k

k 1 1

) ( lim

) ( lim )

( τ τ τ τ (2.10.3)

Tổng cuối nμy lμ tổng tích phân hμm khơng ngẫu nhiên mx(τ),



= t

x

y t m d

m

0

) ( )

( τ τ (2.10.4) V×

 +  − =

= −

=

t

y x

y t X m dt m t

m t Y t Y

0 0

) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( τ τ



 + − =

=

t y y

t

d X t m t m d X

0

0

, ) ( )

( ) ( )

=         =     =   0 0 2

1, ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

t t

y t t M Y t Y t M X d X d

R τ τ τ τ

=         =  1

0 2 0 ) ( ) ( t t d d X X

M τ τ τ τ

      = = 2 0 2 2 ) , ( ) ( ) ( t t x t t d d R d d X X

M τ τ τ τ τ τ τ τ (2.10.6) Nh− vậy, kỳ vọng tốn học tích phân q trình ngẫu nhiên tích phân kỳ vọng tốn học q trình Hμm t−ơng quan tích phân q trình ngẫu nhiên tích phân hai lớp hμm t−ơng quan trình lấy theo hai đối số

Nếu X(t) lμ hμm ngẫu nhiên dừng, mx(t)=mx =const, Rx(t1,t2)=Rx(t2−t1) Khi  = = t x x

y t m d m t

m

0

)

( τ , (2.10.7) tøc kú väng to¸n häc my(t) phơ thc vμo t

 −

=

0 1 2

1, ) ( )

(

t t x

y t t R d d

R τ τ τ τ (2.10.8) Biểu thức vế phải (2.10.8) phụ thuộc riêng biệt vμo t1 vμ t2, phụ thuộc vμo hiệu hai giá trị

Do tích phân hμm ngẫu nhiên dừng khơng có tính chất dừng Ng−ời ta cịn xem xét tích phân trình ngẫu nhiên X(t) dạng

 = b a dt X t t

Y( ) ϕ( ,τ) (τ) , (2.10.9) ϕ(t,τ) lμ hμm khơng ngẫu nhiên

Tích phân nμy đ−ợc xác định nh− lμ giới hạn bình ph−ơng trung bình tổng tích phân ) ( ) ( ) , ( lim

0 t X Y t

n k k k k k = Δ  = →

(2.10.10) v đợc gọi l tích phân hm ngẫu nhiên với hm trọng l−ỵng ϕ(t,τ)

Cũng hoμn toμn nh− tích phân cận biến thiên, ta tìm my(t) vμ

) , (t1 t2 Ry :



= b

a

x

y t t m d

m ( ) ϕ( ,τ) (τ) τ (2.10.11)

 = b a x b a

y t t t t R d d

2.11 Các hm ngẫu nhiên phøc

Để đơn giản hố việc tính tốn, phần trình bμy sử dụng hμm ngẫu nhiên phức để xem xét hμm ngẫu nhiên thực mμ từ tr−ớc đến phân tích, vμ thực tế có hμm ngẫu nhiên thực Hμm ngẫu nhiên thực đ−ợc xem nh− tr−ờng hợp riêng hμm ngẫu nhiên phức

Ta gọi hm có dạng dới l hm ngẫu nhiªn phøc )

( i ) ( )

(t X t Y t

Z = + (2.11.1) X(t) vμ Y(t) lμ hμm ngẫu nhiờn thc

Hm ngẫu nhiên thực đợc xem nh trờng hợp riêng hm phức với Y(t)=0

Ta xác định đặc tr−ng hμm ngẫu nhiên phức − kỳ vọng toán học, ph−ơng sai, hμm t−ơng quan − cho hμm ngẫu nhiên thực (khi Y(t)=0), đặc tr−ng nμy trùng với đặc tr−ng đ−a tr−ớc Ta gọi hμm không ngẫu nhiên mz(t) định nghĩa d−ới lμ kỳ vọng toán học hμm ngẫu nhiên phức

) ( ) ( )

(t m t im t

mz = x + y (2.11.2) Phơng sai hm ngẫu nhiên phức Dz(t) l kỳ vọng toán học bình phơng

modul lệch hμm ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học nó:

[ 2]

) ( ) ( )

(t M Z t m t

Dz = − z (2.11.3) V×

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] )

( )

(t m t X t m t iY t m t

Z − z = − x + − y (2 11.4) nªn

[ ]2 [ ]2

2

) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

(t m t X t m t Y t m t

Z − z = − x + − y (2.11.5) Khi

[ ]

{ − }+

=

) ( ) ( )

(t M X t m t

Dz x M{[Y(t)−my(t)]2}=Dx(t)+Dy(t) (2.11.6)

Từ thấy ph−ơng sai hμm ngẫu nhiên phức lμ hμm thực Đối với hμm thực Dy(t)=0,

) ( ) (t D t Dz = x

Hm tơng quan hm ngẫu nhiên phức l hm không ngẫu nhiên dạng

[ ][ ]

{ ( ) ( ) ( ) ( )}

) ,

( * 2

2 * 1

2

1 t M Z t m t Z t m t

t

Rz = − z − z (2.11.7)

Dấu (*) có nghĩa lμ lấy đại l−ợng liên hiệp phức Khi t1 =t2 =t hμm t−ơng quan trở thμnh ph−ơng sai

[ ] [ ]

{ − − − }=

= ( ) ( ) ( ) ( ) )

,

( * *

t m t Z t m t Z M t t

Rz z z

[ ]

{Z(t) m (t)2} D (t)

M − z = z

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 t m t Y t Y t m t X t X y x − = − = ta cã =           −     + = ( ) ( ) ( ) ( ) ) ,

(t1 t2 M X0 t1 iY0 t1 X0 t2 iY0 t2 Rz        

=M X0 (t1)X0(t2) +M Y0(t1)Y0(t2) =

          −    

+i M Y0(t1)X0 (t2) M X0 (t1)Y0(t2)

[ ( , ) ( , )] ) , ( ) ,

(t1 t2 R t1 t2 iR t1 t2 R t1 t2

Rx + y + yx − xy

= (2.11.9)

trong Rxy(t1,t2) lμ hμm t−ơng quan quan hệ hμm ngẫu nhiên X(t) vμ Y(t) Nếu phần thực vμ ảo hμm ngẫu nhiên phức khơng t−ơng quan lẫn nhau, tức Rxy(t1,t2)=0,

) , ( ) , ( ) ,

(t1 t2 R t1 t2 R t1 t2

Rz = x + y (2.11.10) Nếu phần thực vμ phần ảo hμm ngẫu nhiên phức lμ hμm ngẫu nhiên dừng vμ liên hệ dừng, mz(t)=mz vμ Dz(t)=Dz lμ đại l−ợng khơng đổi, cịn

) ( ) ,

(t1 t2 R t2 t1

Rz = z − chØ phô thuéc vμo mét tham sè τ =t2 −t1

Ta sÏ gäi hμm ngÉu nhiªn phøc Z(t) víi nh÷ng tÝnh chÊt mz =const vμ

) ( ) ,

(1 2 z τ z t t R

R = lμ hμm ngÉu nhiªn dừng theo nghĩa rộng

Đối với hm tơng quan Rz(t1,t2), tính chất sau đợc thoả mÃn )

, ( ) ,

( * 2 1

2

1 t R t t

t

Rz = z (2.11.11) tức lμ việc hoán vị đối số hμm t−ơng quan cho biểu thức liên hợp phức với biểu thức ban đầu

Đặc biệt, hμm phức dừng đẳng thức sau đ−ợc thoả mãn ) ( ) ( τ * τ z z R

R − = ,

đối với hμm thực, đẳng thức nμy biểu thị tính chẵn

) ( ) ( τ z τ

z R

R − = Hμm t−¬ng quan quan hƯ (1, 2)

2

1 t t

Rz z cđa hƯ hai hμm ngÉu nhiªn phøc Z1(t) vμ

) (

2 t

Z đ−ợc xác định d−ới dạng

[ ][ ]

{ ( ) ( ) ( ) ( )}

) ,

( * 2

2 * 1

1

2

1 t t M Z t m t Z t m t

Rzz = − z − z (2.11.12)

§èi víi hμm (1, 2)

2

1 t t

Rz z hƯ thøc sau tho¶ m·n ) , ( )

,

( * 2 1

2

1

2

1 t t R t t

Rzz z z

q

= (2.11.13) Hệ hm ngẫu nhiên phức Z1(t) v Z2(t) đợc gọi l hệ dừng theo nghÜa réng, nÕu nh− ngoμi tÝnh dõng theo cïng nghÜa hm, thoả mÃn hệ thức

) ( ) ( ) , ( 2

1z zz zz τ

z t t R t t R

Với hm nh thoả mÃn hÖ thøc ( ) * ( )

1 2

1z τ = z z −τ

z R

R , vμ biÓu thøc nμy,

đối với hμm thực, có dạng

) ( )

(

1 2

1z τ = z z −τ

z R

R

2.12 Tr−ờng ngẫu nhiên vμ đặc tr−ng

Bên cạnh q trình ngẫu nhiên xét lμ hμm ngẫu nhiên đối số, khí t−ợng thủy văn hay gặp hμm ngẫu nhiên số biến độc lập mμ ng−ời ta gọi lμ tr−ờng ngẫu nhiên

Ta xét tr−ờng ngẫu nhiên U(x,y,z,t), x, y, z lμ toạ độ điểm không gian, cịn t lμ thời gian

Có thể xem x, y, z, t nh− toạ độ vectơ bốn chiều nμo ρ(x,y,z,t) vμ ký hiệu tr−ờng ngẫu nhiên cách đơn giản d−ới dạng U(ρ)

T−ơng tự nh− trình ngẫu nhiên, tr−ờng ngẫu nhiên đ−ợc xem nh− tập hợp tất thể nó, hay nh− tập hợp tất lát cắt nó, hiểu lát cắt tr−ờng ngẫu nhiên lμ đại l−ợng ngẫu nhiên nhận đ−ợc trị số xác định tất đối số, tức lμ với giá trị xác định vectơ ρ

Thể tr−ờng ngẫu nhiên, kết nhận đ−ợc lần thí nghiệm, lμ hμm khơng ngẫu nhiên Khi đó, cách thay đơn giản t thμnh ρ, tất công thức hμm phân bố n chiều, mômen gốc vμ mômen trung tâm xét mục 2.2 vμ 2.3 trình ngẫu nhiên đ−ợc mở rộng sang cho tr−ờng ngẫu nhiên

Ta gọi hμm phân bố n chiều tr−ờng ngẫu nhiên U(x,y,z,t)=U(ρ) lμ hμm phân bố hệ đại l−ợng ngẫu nhiên U1 =U(ρ1), U2 =U(ρ2), , Un U(ρn),



= tøc lμ

) ,

, ,

(

) , , , ; , , , (

2 1

2

1

n n

n n

n

u U u U u U P

u u u F

< <

< =

=

ρ ρ

ρ  

(2.12.1)

Để đặc tr−ng đầy đủ cho tr−ờng ngẫu nhiên cần biết tất hμm phân bố n chiều

Nếu tồn đạo hμm riêng hỗn hợp hμm phân bố )

, , , ; , , ,

( 1 2 n 1 2 n n u u u

F ρ ρ ρ , chúng đ−ợc gọi lμ mật độ phân bố n chiều tr−ờng ngẫu nhiên fn(u1,u2 , ,un ;ρ1,ρ2 , ,ρn)

  

) , , , ; , , ,

( 1 2 n 1 2 n n u u u

f ρ ρ ρ

n

n n

n n

u u u

u u u F

∂ ∂

∂ ρ ρ ρ

∂

) , , , ; , , , (

2

2

1   

= (2.12.2)

Cũng nh− trình ngẫu nhiên, thực tế xác định đ−ợc hμm phân bố mật độ phân bố n chiều, để đặc tr−ng cho tr−ờng ngẫu nhiên chủ yếu ng−ời ta sử dụng mơmen phân bố

Ta sÏ gäi kú väng to¸n học tích n luỹ thừa tơng ứng với lát cắt trờng ngẫu nhiên n điểm miền khôngthời gian l mômen gốc n điểm trờng ngÉu nhiªn U(ρ)=U(x,y,z,t) bËc i1+i2+ +in

) , , , ( 1 2

, , ,2

1i i n

i n

m ρ ρ ρ {[ ] [ ] [ ]in}

n i

i

U U

U

M ( ) ( ) ( )

2

1 ρ ρ

ρ  

M«men bËc nhÊt

[ ( )] ( ) )

(

1 ρ M U ρ mu ρ

m = = (2.12.4) đợc gọi l kỳ vọng toán học trờng ngẫu nhiên

Độ lệch trờng ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học đợc gọi l trờng ngẫu nhiên quy tâm

) ( ) ( ) ( ρ ρ

ρ U  mu 

U = (2.12.5) Các mômen gốc trờng ngẫu nhiên quy tâm ( )

0

U đợc gọi l mômen trung tâm cña tr−êng U(ρ)

) , , , ( 1 2

, , ,2

1i i n

i n ρ ρ ρ

μ                        = n i n i i U U U

M ( ) . ( ) ( )

0

0

0

ρ ρ

ρ   (2.12.6)

Mômen trung tâm điểm bậc hai

[ ]

{ ( ) ( ) } ( )

)

(

2 ρ ρ ρ ρ

μ  =M U  −mu  =Du  (2.12.7) gäi lμ ph−¬ng sai cđa tr−êng ngÉu nhiªn

Kỳ vọng tốn học vμ ph−ơng sai tr−ờng ngẫu nhiên lμ hμm không ngẫu nhiên toạ độ điểm miền không − thời gian:

). , , , ( ) ( ), , , , ( ) ( t z y x D D t z y x m m u u u u = = ρ ρ  

Mômen trung tâm hai điểm bậc hai

[ ][ ]

{ ( ) ( ) ( ) ( )} ( , )

) ,

( 1 2 1 1 2 2 1 2

1 ,

1 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

μ   =M U  −mu  U mu =Ru (2.12.8) đợc gọi l hm tơng quan trờng ngẫu nhiên

Hm t−ơng quan Ru(ρ1,ρ2) lμ hμm toạ độ điểm miền không−thời

gian ) , , , ; , , , ( ) ,

( 1 2 R x1 y1 z1 t1 x2 y2 z2 t2 Ru ρ ρ = u

Hμm t−ơng quan tr−ờng ngẫu nhiên có tất tính chất nh− hμm t−ơng quan q trình ngẫu nhiên Ví dụ nh−, hμm t−ơng quan tr−ờng ngẫu nhiên thoả mãn tính chất đối xứng

) , ( ) ,

(ρ1 ρ2 u ρ2 ρ1

u R

R =

Khi giá trị đối số vectơ nh− ρ1=ρ2 =ρ hμm t−ơng quan biến thμnh ph−ơng sai tr−ờng ngẫu nhiên

) ( ) ,

(ρ ρ u ρ

u D

R = (2.12.9) Ng−êi ta còng xÐt hm tơng quan chuẩn hoá trờng ngẫu nhiên

) ( ) ( ) , ( ) , ( 2 ρ ρ ρ ρ ρ ρ      u u u u D D R

r = (2.12.10)

Những mômen xét gọi lμ mômen khơng−thời gian Hμm t−ơng quan khơng−thời gian đặc tr−ng cho liên hệ giá trị tr−ờng ngẫu nhiên hai điểm khác không gian vμ thời điểm khác Ngoμi mơmen khơng−thời gian ng−ời ta cịn xét mơmen thời gian vμ mômen không gian riêng biệt

Khi xác định mômen thời gian, toạ độ điểm không gian tr−ờng đ−ợc xem lμ cố định vμ nghiên cứu biến thiên tr−ờng theo thời gian điểm cố định cho không gian Trong tr−ờng hợp nμy đề cập tới trình ngẫu nhiên

Khi xét mômen không gian, ng−ời ta cố định điểm thời gian vμ nghiên cứu tr−ờng ngẫu nhiên thời điểm cho Trong tr−ờng hợp nμy tr−ờng ngẫu nhiên lμ hμm ngẫu nhiên toạ độ điểm khơng gian

Vì q trình ngẫu nhiên đ−ợc xét trên, ta nghiên cứu chi tiết tr−ờng ngẫu nhiên không gian

2.13 Tr−ờng ngẫu nhiên đồng vμ đẳng h−ớng

Khi nghiên cứu trình ngẫu nhiên ta thấy điều kiện dừng lμ điều kiện quan trọng, lμm giảm nhẹ việc mơ tả q trình ngẫu nhiên

Đối với tr−ờng không gian, điều kiện t−ơng tự lμ điều kiện đồng vμ đẳng h−ớng

Tr−ờng ngẫu nhiên gọi lμ đồng tất quy luật phân bố n chiều không thay đổi dịch chuyển hệ điểm ρ1,ρ2 , ,ρn theo vectơ, tức lμ, hμm phân bố (mật độ phân bố) không thay đổi thay lát cắt t−ơng ứng với điểm

n

ρ

1,2 , , lát cắt tơng ứng với điểm 1+0,2+0 , ,n+0, với mäi vect¬ ρ0 bÊt kú

Đối với tr−ờng ngẫu nhiên đồng

) ;

( ) ;

( 1 1 1 1 1 0

1 u ρ = f u ρ +ρ

f (2.13.1) )

, ;

, ( ) , ; ,

( 1 2 1 2 2 1 2 1 0 2 0

2 u u ρ ρ = f u u ρ +ρ ρ +ρ

f (2.13.2)

Khi đặt ρ0 =−ρ1 ta nhận đ−ợc

) ( ) ; ( ) ;

( 1 1 1 1 1 1

1 u f u f u

f ρ = = (2.13.3)

) ;

, ( ) , ; ,

( 1 2 1 2 2 1 2 2 1

2 u u ρ ρ = f u u ρ −ρ

f (2.13.4)

Vμ v×

const )

( )

; ( )

( =  1 = ∞ 1 = =

∞ − ∞

∞ −

u

u uf u du uf u du m

m ρ ρ (2.13.5)

[ − ][ − ] =

=∞

− ∞

2 2 2

1

2

1, ) ( ) ( ) ( , ; , )

( u m u m f u u dudu

Ru ρ ρ u ρ u ρ ρ ρ

  

 



= −

− =∞

− ∞

2 1 2 u

1 )(u -m ) ( , ; )

(u mu f u u ρ ρ dudu

 

,

), ( )

(ρ2 −ρ1 =   =ρ2 −ρ1

nên tr−ờng ngẫu nhiên đồng nhất, kỳ vọng toán học lμ đại l−ợng không đổi u

m , không phụ thuộc vμo toạ độ điểm tr−ờng, hμm t−ơng quan

) ( ) ,

( 1 2 R l

Ru u

 

 ρ =

ρ chØ phô thuéc vμo hiệu vectơ l =21

Cú th gi iu kiện đồng nêu tr−ờng ngẫu nhiên, t−ơng tự với điều kiện dừng, lμ tính đồng nghiêm ngặt Tr−ờng ngẫu nhiên mμ kỳ vọng toán học lμ đại l−ợng không đổi vμ hμm t−ơng quan phụ thuộc vμo đối số vectơ − hiệu vectơ l, đ−ợc gọi lμ tr−ờng đồng theo nghĩa rộng

Tr−ờng ngẫu nhiên đồng đ−ợc gọi lμ đẳng h−ớng tất quy luật phân bố n chiều không thay đổi phép quay hệ điểm N1(ρ1),N2(ρ2), ,Nn(ρn) xung quanh trục qua gốc toạ độ vμ phản xạ g−ơng điểm so với mặt phẳng qua gốc toạ độ

Nh− vậy, tr−ờng đồng vμ đẳng h−ớng mật độ phân bố n chiều )

, , , ; u , , ,

( 1 2 n 1 2 n n u u

f ρ ρ ρ không thay đổi dịch chuyển song song, quay vμ phản xạ g−ơng hệ điểm N1(ρ1),N2(ρ2), ,Nn(ρn) Khi đó, hμm t−ơng quan Ru(ρ1,ρ2) phải có giá trị cặp điểm N1(ρ1) vμ N2(ρ2) mμ chúng modul hiệu l = ρ2 −ρ1 nh− nhau, cặp điểm nh− ln ln đ−ợc chập vμo với nhờ phép dịch chuyển song song, quay vμ phản xạ g−ơng

Do đó, hμm t−ơng quan tr−ờng đồng vμ đẳng h−ớng lμ hμm đối số vô h−ớng l= ρ2−ρ1 − khoảng cách điểm N1(ρ1) vμ N2(ρ2) Đôi ng−ời ta chấp nhận điều kiện nμy lμm định nghĩa cho tính đẳng h−ớng tr−ờng

Nh− tr−ờng đồng vμ đẳng h−ớng kỳ vọng tốn học lμ đại l−ợng khơng đổi mu(ρ)=mu

 , hμm t−ơng quan lμ hμm đối số vô h−ớng l− khoảng cách hai điểm, Ru(ρ1,ρ2)=Ru(l)



 ,

2 2 2

2 (x x) (y y) (z z )

l = ρ −ρ = − + − + − (2.13.7) Bên cạnh tr−ờng ngẫu nhiên đồng toμn khơng gian ba chiều, xét tr−ờng đồng đ−ờng thẳng hay mặt phẳng nμo đó, mμ chúng tất mật độ phân bố n chiều không thay đổi dịch chuyển song song toμn n điểm khoảng độ lớn vectơ ρ0 song song với đ−ờng thẳng hay mặt phẳng cho

T−ơng tự, xét tr−ờng đẳng h−ớng toμn không gian ba chiều, mμ mặt phẳng nμo

Nhiều cơng trình nghiên cứu cấu trúc tr−ờng khí t−ợng biến đổi khác biệt đáng kể yếu tố khí t−ợng theo ph−ơng ngang vμ ph−ơng thẳng đứng

Giống nh− trình ngẫu nhiên dừng, tr−ờng ngẫu nhiên đồng vμ đẳng h−ớng có tính egodic, kỳ vọng tốn học vμ hμm t−ơng quan tìm đ−ợc cách lấy trung bình theo thể cho miền không gian đủ lớn

Trong tr−ờng hợp nμy kỳ vọng toán học xác định theo công thức



=

) (

) , , ( 1

D

u u x y z dxdydz

v

m (2.13.8)

trong D lμ miền khơng gian thực lấy trung bình, v lμ thể tích ú

Đối với trờng phẳng

=

) (

) , ( 1

D

u u x y dxdy

S

m (2.13.9)

trong S lμ diện tích miền phẳng D

Có thể viết cơng thức t−ơng tự để nhận hμm t−ơng quan Ru(l) cách lấy

trung b×nh theo mét thĨ hiƯn

[u x y z m ][u x y z m ]dxdydz v

l

R u

D

u

u =  ( , , )− ( + , + , + )− 1

) (

) ( 1

ζ η

ξ (2.13.10)

Miền D1 phải cho điểm (x+,y+,z+) không đợc vợt khỏi miền D (v1 lμ thĨ tÝch miỊn D1)

Ng−ời ta nói tr−ờng đồng đẳng h−ớng có tính egodic, kỳ vọng toán học vμ hμm t−ơng quan, nhận đ−ợc cách lấy trung bình theo thể nhờ cơng thức (2.13.8), (2.13.10), tiến gần tới đặc tr−ng t−ơng ứng nhận đ−ợc phép lấy trung bình theo tập hợp tất thể hiện, tăng vơ hạn đ−ờng kính miền, với xác suất tuỳ ý gần đến đơn vị Trong thực tế th−ờng thực lấy trung bình theo khơng gian tr−ờng ngẫu nhiên khí t−ợng, thể đ−ợc ghi số nhỏ điểm rời rạc

Để đặc tr−ng cho tr−ờng đồng đẳng h−ớng, bên cạnh hμm t−ơng quan, sử dụng hμm cấu trúc Bu(l)

[ ]

{ 2}

) ( ) ( )

(l M U ρ l U ρ

Bu = + − (2.13.11) Giống nh− trình ngẫu nhiên, hμm cấu trúc tr−ờng ngẫu nhiên đ−ợc xác định đơn trị qua hμm t−ơng quan d−ới dạng

[ (0) ( )]

2 )

(l R R l

Bu = u − u (2.13.12) Đối với tr−ờng đồng đẳng h−ớng hμm cấu trúc lμ hμm đối số vô h−ớng

l l= 

NÕu lim ( )=0

∞ → Ru l

l , cã thĨ biĨu diƠn hμm t−¬ng quan qua hμm cÊu tróc d−íi d¹ng

[ ( ) ( )]

2 1 )

(l B B l

Cũng nh− tr−ờng hợp trình ngẫu nhiên dừng hoμn toμn, tr−ờng ngẫu nhiên đồng hoμn toμn, việc sử dụng hμm t−ơng quan hay hμm cấu trúc khơng có khác biệt

Tuy nhiên, để đặc tr−ng cho tr−ờng ngẫu nhiên mμ tính đồng lμ gần đúng, đơi sử dụng hμm cấu trúc tốt hơn, nh− nhận xét mục 2.7

Đặc biệt điều nμy xảy khảo sát cấu trúc không gian quy mô vừa vμ lớn tr−ờng khí t−ợng, mμ khác biệt dòng l−ợng mặt trời đến, tính chất chuyển động đại d−ơng vμ lục địa vμ nhân tố khác phá huỷ tính đồng tr−ờng

Tuy nhiên, cần l−u ý rằng, nhận đ−ợc giá trị hμm cấu trúc Bu(l) theo số liệu thực nghiệm khoảng l lớn để chp

nhận lm giá trị bÃo ho hm cấu trúc Bu()

2.14 Trờng véctơ ngẫu nhiên

Bây ta xét tr−ờng ngẫu nhiên vectơ không gian, đ−ợc cho đại l−ợng ngẫu nhiên vectơ:

). ( ) , ,

(  ρ



U z y x

U =

Ta chọn hệ toạ độ đề vμ ký hiệu X(ρ), Y(ρ), Z(ρ) lμ hình chiếu U(ρ) trục toạ độ t−ơng ứng Khi tr−ờng ngẫu nhiên vectơ đ−ợc xét nh− lμ hệ ba tr−ờng ngẫu nhiên vơ h−ớng

B»ng c¸ch nh− vËy, qui luật phân bố trờng vectơ ngẫu nhiên U() sÏ lμ hμm ph©n bè ba chiỊu cđa ba tr−êng ngẫu nhiên vô hớng

Trng vect U() c gi lμ đồng vμ đẳng h−ớng tất mật độ phân bố 3n chiều lμ bất biến phép dịch chuyển song song hệ điểm N1(ρ1),

N2(ρ2), , Nn(ρn) nh− quay vμ phản xạ g−ơng chúng kèm theo việc quay đồng

thời vμ phản xạ g−ơng hệ toạ độ thμnh phần vectơ đ−ợc lấy

Trong định nghĩa nμy ta giả thiết rằng, tất hệ điểm Ni(ρi) đ−ợc quay

phản xạ g−ơng với hệ toạ độ cố định chứa chúng Khi hình chiếu vectơ ρi hệ toạ độ cũ vμ trùng

Về mặt hình học, điều kiện đồng vμ đẳng h−ớng tr−ờng vectơ có nghĩa lμ hệ toạ độ liên kết chặt với hệ thống điểm N1, N2, Nn, mật độ phân bố 3n

chiều hình chiếu tr−ờng trục hệ toạ độ nμy không thay đổi dịch chuyển, quay, vμ phản xạ g−ơng hệ nμy

Đối với tr−ờng vectơ đồng nhất, đẳng h−ớng, kỳ vọng toán học vectơ U(ρ) 0,M[U(ρ)] = Thực vậy, tr−ờng đồng M[U(ρ)] lμ vectơ khơng đổi, cịn tr−ờng đẳng h−ớng, vectơ nμy không thay đổi quay, tức lμ định phải

Giả sử X(ρ), Y(ρ), Z(ρ) lμ hình chiếu vectơ U (ρ) trục toạ độ hệ tọa độx0yz nμo

Khi đặc tr−ng tr−ờng vectơ ba hμm t−ơng quan: )

, ( ), , ( ), ,

(ρ1 ρ2 y ρ1 ρ2 z ρ1 ρ2

x R R

R ,

vμ ba hμm t−¬ng quan quan hƯ:

). , ( ), , ( ), ,

(ρ1 ρ2 xz ρ1 ρ2 yz ρ1 ρ2

xy R R

R

Đối với tr−ờng đồng vμ đẳng h−ớng tất hμm nμy lμ hμm đối số vô h−ớng l = ρ2−ρ1 lμ khoảng cách điểmN1(ρ1) vμ N2(ρ2)

Ta chọn hệ toạ độ x0yz nh− sau Đặt gốc toạ độ vμo điểm N1, trục 0x hng dc theo

vectơ N1N2, hai trục lại 0y v 0z nằm mặt phẳng vuông góc víi nã (h×nh 2.10)

Các hμm t−ơng quan vμ hμm t−ơng quan quan hệ tr−ờng đồng đẳng h−ớng không thay đổi với phép quay hệ toạ độ

Ta quay hệ toạ độ 1800

quanh trục N1x, h−ớng trục N1y vμ N1z bị

thay đổi sang h−ớng ng−ợc lại, từ ta nhận đ−ợc: ), ( )

(l R l Rxy =− xy

), ( )

(l R l

Rxz =− xz (2.14.1) cã nghÜa lμ:

. 0 ) ( )

(l =R l =

Rxy xz (2.14.2) Nhờ phép phản xạ g−ơng mặt xN1z ta chuyển trục N1y N1z vμ N1z

về N1y, đó:

), ( )

(l R l

Ryz =− yz (2.14.3) tøc lμ:

. 0 ) (l =

Ryz (2.14.4) Nhờ phép quay quanh trục N1x, chuyển N1y sang N1z, đó:

). ( ) (l R l

Ry = z (2.14.5) Từ thấy hệ toạ độ đ−ợc chọn hμm t−ơng quan quan hệ 0, hμm tự t−ơng quan thoả mãn điều kiện (2.14.5)

Nh− vậy, đặc tr−ng cho tr−ờng vectơ đồng đẳng h−ớng hai hμm t−ơng quan:

( ) ( )

[ ] ( ),

)

(l M X 1 X 2 G l

Rx = ρ ρ = (2.14.6)

( ) ( )

[ ] ( ), )

(l M Y 1 Y 2 F l

Ry = ρ ρ =



(2.14.7)

ở X() l hình chiếu trờng vectơ U() theo hớng vectơ l=N1N2, cßn

Y(ρ) lμ hình chiếu tr−ờng nμy theo h−ớng nμo vng góc với vectơ l

Hm Rx(l) thờng đợc ký hiệu G(l) v gäi lμ hμm t−¬ng quan däc cđa tr−êng

vect¬, hmRy(l) đợc ký hiệu F(l) v gọi l hm tơng quan ngang

Hình 2.10

Hμm cấu trúc dọc Bτ(l) lμ kỳ vọng tốn học bình ph−ơng hiệu giá trị hình chiếu tr−ờng vectơ đồng đẳng h−ớng điểm N1(ρ1) vμ N2(ρ2) theo h−ớng

vect¬ N1N2

( ) ( )

[ ]

{ }

)

(

1 ρ

ρ

τ l M X X

B = − (2.14.8) Hμm cÊu tróc ngang Bn(l) lμ kú vọng toán học bình phơng hiệu giá trị

hình chiếu trờng điểm N1 v N2 mặt vuông góc với vectơ N1N2

( ) ( )

[ ]

{ }

)

(

1 ρ

ρ Y Y

M l

Bn = − (2.14.9)

Chơng 3: Phân tích điều ho trình ngÉu nhiªn dõng

vμ tr−ờng đồng

Đối với hm không ngẫu nhiên, phân tích điều ho đợc ứng dụng rộng rÃi Phân tích điều ho l biểu diễn hm tuần hon dới dạng chuỗi Fourier, hm không tuần hon đợc biểu diễn dới dạng tích phân Fourier

Ta biết nÕu mét hμm tuÇn hoμn f(t) cã chu kú 2T thoả mÃn điều kiện Diricle, khai triển thnh chuỗi Fourier dạng phức:

, )

( ∞ −∞ =

=

k

t T

k i ke

C t

f

π

(3.0.1) hệ số Fourier Ck đ−ợc xác định theo công thức:

. )

( 2

1



−

−

=

T

T

t T

k i

k f t e dt

T C

π

(3.0.2)

Công thức (3.0.1) cho phép biểu diễn hμm f(t) d−ới dạng tổng vô hạn dao động điều hoμ với tần số

T k

k

π

ω = vμ biên độ Ck

D·y số phức Ck đợc gọi l dÃy phổ hay phổ cđa hμm f(t) C¸c sè phøc Ck cã thĨ

đợc biểu diễn dới dạng:

k

i k k C e

Phổ rằng, hμm cho có dao động loại nμo, tức lμ cấu trúc bên Vì tr−ờng hợp xét tần số nhận giá trị rời rạc

T k

k

π

ω = , nªn hm dạng (3.0.1) đợc gọi l hm có phổ rời r¹c

T−ơng tự, hμm khơng chu kỳ f(t) đ−ợc cho toμn trục số thực thoả mãn điều kiện Diricle vμ khả tích tuyệt đối, tức lμ tích phân 

∞ ∞ −

dt t

f( ) tồn tại, biểu diễn dới dạng tích phân Fourier:

. ) ( )

( ∞ ∞ −

= F ω eωdω

t

f i t (3.0.3)

ở đây:

. ) ( 2

1 )

( ∞

∞ −

−

= f t e dt

F iωt

π

ω (3.0.4) Các công thức (3.0.3) vμ (3.0.4) đ−ợc gọi lμ công thức biến đổi Fourier Công thức (3.0.4) gọi lμ công thức biến đổi Fourier trực tiếp, cịn (3.0.3) lμ cơng thức biến đổi Fourier ng−ợc

Trong công thức (3.0.3), tổng (3.0.1) theo giá trị rời rạc tần số đ−ợc thay tích phân theo tần số, cịn hệ số không đổi Ck đ−ợc thay hμm F(ω) đối

sè liªn tơc ω

ý nghÜa cđa hμm F() đợc nhận thấy chỗ, hạng tử F()eit

dω tích phân (3.0.3) trùng với khoảng tần số nhỏ (ω, ω+dω), tức F(ω)dω lμ biên độ t−ơng ứng với khoảng tần số cho Do đó, F(ω) lμ mật độ biên độ Hμm F(ω) đ−ợc gọi lμ mật độ phổ hμm f(t), hμm dạng (3.0.3) lμ hμm có phổ liên tục

Nh− vậy, thấy t−ơng ứng với hμm có phổ rời rạc lμ dãy phổ số phức Ck nó; t−ơng ứng với hμm f(t) có phổ liên tục lμ hμm khác, lμ mật độ phổ

F(ω) cđa nã

Từ công thức (3.0.1), (3.0.2) hay (3.0.3), (3.0.4) suy cho hμm f(t) xác định cách phổ (mật độ phổ) nó, vμ ng−ợc lại, cho phổ (mật độ phổ) ta xác định hμm f(t)

Trong nhiều tr−ờng hợp, ví dụ nh− giải ph−ơng trình vi phân tuyến tính, thuận tiện ng−ời ta sử dụng mật độ phổ hμm xét thay cho hμm

Ta xét việc ứng dụng công cụ khai triển phổ hμm ngẫu nhiên dừng vμ tr−ờng đồng vμ đẳng h−ớng

3.1 C¸c trình dừng có phổ rời rạc

Gi sử biểu diễn q trình ngẫu nhiên dừng X(t) khoảng [−T, T] d−ới dạng chuỗi vô hạn dao động điều hoμ với tần số khác

T k

k

π

ω =

vμ biên độ ngẫu nhiên Xk

. )

( ∞ −∞ =

=

k

t i k

k

e X t

Ta sÏ xem r»ng, kỳ vọng toán học trình ngẫu nhiên 0, mx=0 NÕu

không nh− ta xét q trình ngẫu nhiên qui tâm Khi hiển nhiên rằng, kỳ vọng toán học tất đại l−ợng ngẫu nhiên Xk phải

Ta lμm sáng tỏ đại l−ợng ngẫu nhiên Xk cần thoả mãn điều kiện nμo

hμm ngẫu nhiên X(t) có dạng (3.1.1) lμ dừng theo nghĩa rộng, tức lμ hμm t−ơng quan Rx(t+τ,t) phụ thuộc vμo đối số τ vμ không phụ thuộc vμo t

Theo định nghĩa hμm t−ơng quan hμm ngẫu nhiên phức (2.11.7) ta có:

[ ( ) *( )]

) ,

(t t M X t X t

Rx +τ = +τ (3.1.2) Theo (3.1.1), cã thÓ viÕt:

( ).

)

( + = +

k

t i k

k

e X t

X τ ω τ (3.1.3) .

* )

(

* = −

l

t i l

lk

e X t

X (3.1.4) Đặt (3.1.3) v (3.1.4) vo (3.1.1) ta nhận đợc:

( ) =

  

  =

+  +  −

l

t i l k

t i k x

k

k X e

e X M t t

R ( τ, ) ω τ * ω

( )

[ ] =

    

  

=  ω +τ−ω

k l

t t

i l

kX* e k l

X

M  [ ] [ ( )+ − ]

k l

t t i l k

l k

e X X

M * ω τ ω (3.1.5)

§Ĩ cho hm tơng quan Rx(t+,t) không phụ thuộc vo t, nhÊt thiÕt tỉng kÐp vÕ ph¶i cđa (3.1.5) chøa số hạng biểu thức ei[k( )t+ lt] không phơ thc vμo

t, tức k=l Do đó, hμm ngẫu nhiên X(t) lμ dừng điều kiện sau cần phải đ−ợc thực hiện:

[XkX*l]=0

M k≠ l (3.1.6) Điều kiện (3.1.6) có nghĩa lμ đại l−ợng ngẫu nhiên Xk phải đơi khơng t−ơng

quan víi Víi ®iỊu kiện (3.1.6) công thức (3.1.5) đợc viết dới dạng:

( )= [ ]

k

i k k x

k

e X X M

R τ * ωτ. (3.1.7) Các đại l−ợng M[XkX*k]lμ ph−ơng sai đại l−ợng ngẫu nhiên X Ký hiệu chúng Dk, ta nhận đ−ợc:

( ) ∞

−∞ =

=

k i k x

k

e D

R τ ωτ. (3.1.8) Để tồn hm tơng quan chuỗi (3.1.8) phải hội tụ, tức l chuỗi:

 ∞

−∞ = ∞

−∞ =

=

k k k

i

ke D

D ωkτ . (3.1.9)

héi tô

triển nμy Khi ta nhận đ−ợc biên độ ngẫu nhiên Xk lμ đại l−ợng ngẫu

nhiên khơng t−ơng quan với nhau, cịn hμm t−ơng quan đ−ợc xác định d−ới dạng chuỗi (3.1.8)

H×nh 3.1

Nhμ tốn học xơ viết E E Sluskii chứng minh rằng, trình ngẫu nhiên dừng có hμm t−ơng quan dạng (3.1.8) đ−ợc biểu diễn d−ới dạng (3.1.1) vμ ng−ợc lại Đối với trình ngẫu nhiên dừng, phổ lμ phân bố ph−ơng sai biên độ ngẫu nhiên theo tần số ωk

Vì chuỗi (3.1.9) phải hội tụ, số hạng tổng quát phải dần đến 0, tức tăng tần số ωk giá trị ph−ơng sai t−ơng ứng phải tiến đến

Phổ q trình ngẫu nhiên đ−ợc biểu thị d−ới dạng đồ thị, với trục hoμnh đặt giá trị biên độ, trục tung lμ ph−ơng sai t−ơng ứng chúng (hình 3.1)

C¸c hμm ngÉu nhiên dừng dạng (3.1.1) đợc gọi l trình ngẫu nhiên có phổ rời rạc

Phng sai trình ngẫu nhiên Dx nhận đ−ợc cách đặt τ=0 vμo công

thøc (3.1.8)

( ) ∞

−∞ =

= =

k k x

x R D

D 0 . (3.1.10) Do đó, ph−ơng sai hμm ngẫu nhiên tổng chuỗi tạo thμnh từ tất tung ph

Quá trình ngẫu nhiên dừng dạng (3.1.1) cã thĨ phøc, cịng cã thĨ thùc

Qu¸ trình (3.1.1) l thực k tổng (3.1.1) tơng ứng với cặp hai số hạng phức ik

ke

X vμ iωkτ

ke

X − Khi

( ) ∞ ( )

=

−

+ =

0

. k

i k i

k

k

k X e

e X t

X ωτ ωτ (3.1.11) NÕu viÕt Xk d−íi d¹ng:

2 2 ,

2 2

* k k k

k k k

B i A X B i A

X = − = + (3.1.12) ta nhận đợc:

( )

( t i t) A t B t

B i A

t i t B

i A e

X e

X

k k k k k k

k k

k k

k k i

k i

k

k k

ω ω

ω ω

ω ω

τ ω τ

ω

sin cos

sin cos

2 2

sin cos

2 2

+ =

− 

  



 +

+

+ +

   



 −

= + −

(3.1.13)

( ) ∞ ( ) = + = sin cos k k k k

k t B t

A t

X ω ω (3.1.14) Ak vμ Bk lμ đại l−ợng ngẫu nhiên thực có kỳ vọng tốn học khơng

Trờng hợp riêng, áp dụng điều kiện (3.1.6) cho hai hạng tử khác ik

ke

X

vμ iωkτ

ke

X* − , ta nhận đợc:

( )

[ * *]= [ ]=0 k k k

k X M X X

X

M (3.1.15) Từ ta có:

[ ]

[ ] [ ] [ ]

{ }

4 2 2 = − − = =               − = k k k k k k k k B A iM B M A M B i A M X X M (3.1.16)

§ång không phần thực v phần ảo, ta nhận đợc:

[ ] [ ]Ak M Bk dk

M = = (3.1.17)

[AkBk]=0

M (3.1.18) tức lμ đại l−ợng ngẫu nhiên Ak vμ Bk không t−ơng quan với vμ có ph−ơng

sai Từ đẳng thức (3.1.6) ta nhận đ−ợc tính khơng t−ơng quan đơi đại l−ợng Ak, Al, Bk, Bl k ≠ l

Ta biĨu diƠn Dk qua dk

[ ] =            −       − = = 2 2 2 2

* k k k k

k k k B i A B i A M X X M D [ ] [ ]

{ } 2

4

1 2 k

k k d B M A

M + =

= (3.1.19)

Khi cơng thức hμm t−ơng quan (3.1.8) đ−ợc viết lại d−ới dạng:

[ ]   ∞ = ∞ = − = + = 0 cos 2 2 ) ( k k k k i i k x d e e D

R τ ωkτ ωkτ ωτ (3.1.20)

tøc lμ ∞ = = cos ) ( k k k x d

R τ ωτ (3.1.21) Đối với trình ngẫu nhiên thực tần số ωk vμ −ωk t−ơng ứng với biên độ

Dk, vậy, phổ trình ngẫu nhiên thực đối xứng trục tung (hình 3.1) vμ có

thĨ chØ cần xây dựng cho giá trị tần số dơng

3.2 Các trình dừng có phổ liên tơc

Khơng phải q trình dừng lμ q trình có phổ rời rạc Tuy nhiên trình dừng nμo đ−ợc biểu diễn nh− lμ giới hạn dãy q trình có phổ rời rạc dạng (3.1.1)

( )=Φ( )−Φ( −1)

ΔΦωk ωk ωk (3.2.1) tổng biên độ ngẫu nhiên Xk khoảng nμy

Một cách gần đúng, coi tần số khoảng Δωk không đổi vμ ωk, sở

(3.1.1) ta viết đẳng thức gần đúng:

( )≈ ΔΦ( ), k

k t i k

e t

X (3.2.2) tổng đợc lấy theo khoảng tần số k,

Bây ta tăng vô hạn số tần số k (3.2.2), giảm vô hạn hiệu chúng

Lấy giới hạn ta nhận đợc

( ) ( ),

∞ −

Φ

= ω ω

d e t

X i t (3.2.3)

trong đó, vế phải lμ tích phân Fourier - Stiltex, vμ d−ới dấu tích phân khơng phải lμ số gia đối số nh− tích phân Riman, mμ lμ s gia ca hm d()

Biểu diễn trình ngẫu nhiên dừng X(t) dới dạng tích phân Stiltex theo công thức (3.2.3) đợc gọi l khai triển phổ

Ta xác định hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên biểu diễn theo công thức (3.2.3) Đối với trình ngẫu nhiên dừng (3.1.1), hμm t−ơng quan đ−ợc xác định công thức (3.1.8) Công thức nμy biểu diễn hμm không ngẫu nhiên Rx(τ) d−ới dạng chuỗi

Fourier Khi đó, khai triển (3.1.1) q trình ngẫu nhiên X(t) đ−ợc tiến hμnh khoảng biến đổi [−T, T] đối số t, khoảng biến đổi đối số τ = t2− t1 lμ đoạn

[-2T, 2T]

Do đó, cơng thức (3.1.8) lμ khai triển hμm t−ơng quan Rx(τ) khoảng [−2T, 2T]

Khi đó, hệ số Fourier Dk khai triển nμy đ−ợc xác định theo công thức:

( )

T k d

e R T

D k

T

T

t i x k

k

2 , 4

1 2

π ω τ

τ ω =

= 

−

− (3.2.4)

Ký hiệu hiệu hai tần số lân cận lμ Δωk

( ) .

2 2

1 2

1

T T

k T k

k k k

π π

π ω ω

ω = − = − − =

Δ − (3.2.5)

Khi cơng thức (3.1.8) viết d−ới dạng:

( ) ∞ 2 .

−∞ =

Δ =

k

k t i k x

k

e D T

R ω

π

τ ω (3.2.6) Ta ®−a vμo hμm

( ) ( ) .

2 1

2



−

−

=

T

T

t i x T

x R e d

S τ k τ

π

ω ω

(3.2.7)

ChØ sè T nói lên rằng, hm phụ thuộc vo khoảng T Theo (3.2.4) vμ (3.2.5) ta cã

( ) .

k k k

T x

D S

ω ω

Δ

= (3.2.8)

Điều chứng tỏ ( )k T x

S ω lμ mật độ trung bình ph−ơng sai đoạn Δωk

( ) ∞ ( ) . −∞

=

Δ =

k

k t i k T x x

k

e S

R τ ω ω ω (3.2.9) Nếu T, k lấy giới hạn tỉng tÝch ph©n (3.2.9) sÏ trë thμnh tÝch

ph©n

( ) ∞ ( ) . ∞

−

= ω ω

τ S eω d

Rx x i kt (3.2.10)

Công thức (3.2.10) lμ khai triển hμm t−ơng quan thμnh tích phân Fourier Khai triển nh− thực đ−ợc tích phân tuyệt đối hμm Rx(τ) thoả điều kiện

( ) <∞.



∞ ∞ −

τ

τ d

Rx (3.2.11)

Khi đó, chuyển qua giới hạn, cơng thức (3.2.7) có dạng

( ) ( ) .

2 1



∞ ∞ −

−

= τ τ

π

ω ω

d e R

Sx x i t (3.2.12)

Hμm Sx(ω) lμ giới hạn mật độ ph−ơng sai trung bình ( )k T x

S ω Δωk dần đến 0,

tức lμ biểu thị mật độ ph−ơng sai hμm ngẫu nhiên X(t) cho tr−ớc tần số ω Hμm nμy đ−ợc gọi lμ mật độ phổ hμm ngẫu nhiên dừngX(t) Mật độ phổ lμ hμm không âm tần số

Các công thức (3.2.10) vμ (3.2.12) hμm t−ơng quan Rx(τ) vμ mật độ phổ

Sx(ω) lμ biến đổi Fourier lẫn Do đó, biến đổi Fourier i vi hm tng quan ca

quá trình ngẫu nhiên dừng phải l hm không âm với giá trị tần số

Nm 1934, A Ia Khintrin chứng minh rằng, hμm lμ biến đổi ng−ợc Fourier từ hμm không âm, lμ hμm t−ơng quan q trình ngẫu nhiên dừng nμo

Khi đặt τ = vμo công thức (3.2.10), ta nhận đ−ợc biểu thức ph−ơng sai hμm ngẫu nhiên

( )0  ( ) . ∞

∞ −

=

=R S ω dω

Dx x x (3.2.13)

Từ thấy rằng, hμm ngẫu nhiên X(t) có ph−ơng sai hữu hạn, hμm Sx(ω) lμ

kh¶ tÝch Hμm

( )  ( ) . ∞

−

= ω ω ω

ω S d

Fx x (3.2.14)

đợc gọi l hm phổ hay phổ tích phân hm ngẫu nhiên dừng

Tại giá trị ω nμo mật độ phổ trở nên vơ hạn, nh−ng cịn khả tích lân cận giá trị nμy

Từ công thức (3.2.10) vμ (3.2.12) ta thấy rằng, biết hμm t−ơng quan tìm đ−ợc mật độ phổ vμ ng−ợc lại Tuy nhiên, nh− ta thấy sau nμy, nhiều tr−ờng hợp, sử dụng mật độ phổ thuận tiện

( ) ( ) ( )

( ).

x x

x x x

D S d S

S

s ω

ω ω

ω

ω = =



∞ ∞ −

(3.2.15)

Hμm t−ơng quan chuẩn hoá vμ mật độ phổ chuẩn hoá lμ biến đổi Fourier lẫn vμ đ−ợc xác định công thức:

( ) ∞ ( ) . ∞

−

= ω ω

τ s eωd

rx x i t (3.2.16)

( ) ( ) .

2 1



∞ ∞ −

−

= τ τ

π

ω r e ωd

sx x i t (3.2.17)

Theo c«ng thøc (3.2.12) ta cã

( ) ( ) .

2 1



∞ ∞ −

=

− τ τ

π

ω R eωτd

Sx x i (3.2.18)

Đối với trình ngẫu nhiên thực, cho τ=−τ’ vμ để ý đến tính chẵn Rx(τ), ta

nhận đợc

( ) = ( )− =

∞ +

− '

' 2

1 τ ' τ

π

ω ωτ

d e R

Sx x i ( )' ' ( ).

2

1 τ ' τ ω

π

ωτ

x i

x e d S

R =



∞ ∞ −

− (3.2.19)

Từ thấy rằng, q trình ngẫu nhiên thực Sx(ω) lμ hμm chẵn, tính

thùc cđa nã suy tõ tÝnh thùc cña Rx(τ)

Do tính chẵn Rx(τ) vμ Sx(ω) trình ngẫu nhiên thực viết

( ) ( )cos

0 

∞

= ω ωτ ω

τ S d

Rx x (3.2.20)

( ) ( )cos

0 

∞

= τ ωτ τ

π

ω R d

Sx x (3.2.21)

Ta viết cơng thức t−ơng tự hμm t−ơng quan chuẩn hoá rx(τ) vμ

mật độ phổ chuẩn hố sx(ω) q trình ngẫu nhiên thực

( ) ( )cos

0 

∞

= ω ωτ ω

τ s d

rx x (3.2.22)

( ) ( )cos

0 

∞

= τ ωτ τ

π

ω r d

sx x (3.2.23)

Đối với q trình ngẫu nhiên có phổ rời rạc, phổ gián đoạn ph−ơng sai đ−ợc thay phổ liên tục với mật độ ph−ơng sai Sx(ω) Hμm Sx(ω) đ−ợc biểu diễn

bằng đồ thị (hình 3.2) Vì

( )0 ( )

0 

∞ =

=R S ω dω

Dx x x (3.2.24)

nên ph−ơng sai hai lần diện tích giới hạn đ−ờng cong Sx(ω) đ−ợc xây dựng đối

víi ω≥0, hc b»ng diƯn tích giới hạn đờng cong Sx() đợc xây dựng trªn toμn

Nếu xây dựng đồ thị mật độ phổ chuẩn hố diện tích nằm d−ới 1, vì:

( )0 = ∞ ( ) =1. ∞

−

ω

ω d

s

rx x (3.2.25)

H×nh 3.2

Đối với hệ trình ngẫu nhiên dõng vμ liªn hƯ dõngX1(t), X2(t), ,Xn(t), ngoμi

mật độ phổ trình

i

x

S (ω), ng−ời ta xét mật độ phổ quan hệ

j ix

x

S (ω), lμ biến đổi Fourier lẫn với hμm t−ơng quan quan hệ t−ơng ứng

j ix

x

R (τ)

( ) ∞ ( ) . ∞

−

= ω ω

τ ωτ

d e S

Rxixj xixj i (3.2.26)

( ) ( ) .

2 1



∞ ∞ −

−

= τ τ

π

ω ωτ

d e R

Sxixj xixj i (3.2.27)

Ta xác định mật độ phổ trình ngẫu nhiên dừng xét mục 2.5

1 Gi¶ sử trình ngẫu nhiên dừng X(t) có hm tơng quan chuÈn ho¸

( )τ = −ατ ,α >0

e

Rx (3.2.28) Theo (3.2.17), mật độ phổ chuẩn hố đ−ợc xác định d−ới dạng

( ) ( ) ( ) =

   

 

+ =

=   ∞ − +

∞ −

− ∞

∞ −

− −

0

2 1 2

1

τ τ

π τ π

ω ατ ωτ α ωτ α ωτ

d e

d e d

e e

sx i i i

( 2)

1 1

2 1

ω α

π α

ω α ω α

π = +

 



+ + − =

i

i (3.2.29)

Đây lμ hμm chẵn, đạt giá trị cực đại

a

π

1

tÇn sè ω =

Ta xét phụ thuộc vμo tham số α hμm t−ơng quan vμ mật độ phổ t−ơng ứng với

Trên hình 3.3a,b dẫn đồ thị r(τ) vμ s(ω) t−ơng ứng với giá trị α = 0,5; 1;

Từ hình 3.3a thấy rằng, tăng tham số ,hm tơng quan giảm nhanh hơn, tức

ngẫu nhiên giảm tăng

Trong mục 2.6 ta gọi đại l−ợng T1 công thức (2.6.7) lμ thời gian t−ơng quan

§èi víi trờng hợp xét

( )= =

0

1

α τ τ e ατd

T (3.2.30)

tức đại l−ợng 1/α lμ thời gian t−ơng quan, đặc tr−ng cho tốc độ tắt dần mối liên hệ t−ơng quan

Việc so sánh đ−ờng cong hình 3.3b rằng, với giá trị α bé, mật độ phổ giảm nhanh tăng tần số ω, tức lμ tần số nhỏ có giá trị chiếm −u phổ trình ngẫu nhiên Khi α tăng, mật độ phổ thay đổi đặn hơn, giảm chậm theo tần số tăng Đối với giá trị α lớn, tăng ω, mật độ phổ giảm chậm, hầu nh− không đổi vμ s(0) dải tần số lớn

Quá trình ngẫu nhiên mμ mật độ phổ khơng đổi dải tần số sx(ω)

=sx(0)= const, đ−ợc gọi lμ ồn trắng, t−ơng tự với ánh sáng trắng, mμ thμnh phần phổ

d−ờng nh− đồng Về mặt vật lý, q trình nh− lμ khơng có thực, ph−ơng sai

( )



∞ ∞ −

= S ω dω

Dx x cña trở thnh vô hạn

Hình 3.3

Tuy nhiên, xét nh− lμ tr−ờng hợp tới hạn q trình ngẫu nhiên thực có dạng xét cho α dần tới vô hạn Thông th−ờng, cách gần đúng, trình ngẫu nhiên mμ mật độ phổ thay đổi dải tần số đủ lớn đ−ợc xem nh− ồn trắng bỏ qua tần số lớn

2 r( )τ =e−ατ2,α >0 (3.2.31) Khi

( ) .

2 1 2

1

2

2

 

∞ −

      +

− − ∞

∞ −

−

− =

= τ

π τ π

ω α

ω τ α α ω ωτ

ατ

d e

e d

e e s

i i

(3.2.32)

B»ng phÐp thay biến, tích phân cuối đợc dẫn tích phân Poatx«ng, b»ng

( ) α ω

πα

ω

2

2

1 −

= e

s (3.2.33) Trên hình 3.4 a,bdẫn đồ thị r(τ) vμ s(ω) đối vớiα = 0,5, vμ

Từ hình 3.4 thấy rằng, tính chất phụ thuộc r(τ) vμ s(ω) mặt định tính giống nh− ví dụ tr−ớc, có dạng đ−ờng cong bị thay đổi

3 r( )τ =e−ατ cosβτ,α >0 (3.2.34)

BiÓu diƠn cosβτ qua hμm mị theo c«ng thøc Euler

( βτ βτ)

βτ i i

e e + −

=

2 1

cos (3.2.35) Khi

( ) ( ) =

  

 

+ = ∞

∞ −

− −

− τ

π

ω ατ βτ βτ ωτ

d e e e e

s i i i

2 1 2 1

( ) ( ) 

  

 

+

=  ∞

∞ −

+ − − ∞

∞ −

− −

− τ

π τ

π ω βτ

τ α τ

β ω τ α

d e

e d

e

e i i

2 1 2

1 2 1

(3.2.36)

Tơng tự nh (3.2.29), ta nhận đợc

( ) [ ( ) ] [ ( ) ] =

   

 

+ + +

− +

= 2 2 2

1

β ω α π

α β

ω α π

α ω

s

( ) ( 2 2)2 2

2 2

2 2 2

2 2

4

4 ω α β ω β

ω β α π

α ω α β

α ω

ω β α π

α

− + +

+ + =

+ − −

+ +

= (3.2.37)

H×nh 3.5

I) α=0,5, β=2; II) α=1, β=1; III) α=2, β=0,5

Trong tr−ờng hợp nμy hμm t−ơng quan vμ mật độ phổ đ−ợc xác định hai tham số α vμ β Tham số α xác định mức độ suy giảm nhanh biên độ dao động hμm t−ơng quan, tham số β xác định chu kỳ trình dao động

Ta lμm sáng tỏ tính chất phụ thuộc hμm t−ơng quan vμ mật độ phổ t−ơng ứng vμo mối quan hệ tham số

Trên hình 3.5 a,b dẫn đồ thị hμm r(τ) vμ s(ω) cho tr−ờng hợp: 1)α = 0,5, β = (đ−ờng cong I); 2) α = vμ β=1 (đ−ờng cong II); 3) α=2, β= 0,5 (đ−ờng cong III)

Từ hình 3.5 thấy rằng, giá trị tỷ số α/β bé (đ−ờng cong I, α/β=0,25) đồ thị hμm t−ơng quan gần với dao động điều hoμ tần số ω.Trong tr−ờng hợp nμy mật độ phổ có cực đại biểu rõ ω=β, phổ trình ngẫu nhiên có tần số chiếm −u gần với tần số β

Việc tăng α/β lμm đẩy nhanh tắt dần hμm t−ơng quan, cực đại mật độ phổ trở nên rõ nét Với giá trị α/β lớn (đ−ờng cong III, α/β=4), hμm t−ơng quan thực tế khác trị số τ không lớn Trong tr−ờng hợp nμy, tăng tần số ω, mật độ phổ thay đổi chậm, gần với giá trị ban đầu s(0) dải tần số lớn

4 r( )τ =e−ατ2cosβτ,α >0 (3.2.38) Thay cosβτ theo (3.2.35), ta cã

( ) ( ) ( )

   

 

+

=  ∞

∞ −

+ − − ∞

∞ −

+ − −

dt e

d e

s ατ i ατ iω βτ

π τ π

ω ω βτ

2 1 2

1 2 1

(3.2.39)

( ) ( ) ( )         + = − − − +α β ω α β ω πα

ω 4

2 e e

s (3.2.40)

Trên hình 3.6 a,b dẫn đồ thị r(τ) vμ s(ω) với giá trị α vμ β nh− hình 3.5

Tính chất phụ thuộc hμm t−ơng quan vμ mật độ phổ vμo tham số, định tính, giống nh− ví dụ

5 ( ) cos sin , >0, >0

     + = − βτ α β β α βτ τ ατ e

r (3.2.41)

Khi thay sinβτ b»ng hμm mò theo c«ng thøc Euler

( βτ βτ )

τ

β i i

e e i − − = 2 1

sin (3.2.42) ta nhËn ®−ỵc

( )= ∞ + ∞ − − βτ τ π ω ατ d e s cos 2 1 ( ) ( )       − +  ∞ ∞ − − + − ∞ ∞ − − − − τ π τ π β α ω β τ ωτ ω β τ ωτ d e d e i i i i i i i 2 1 2 1

2 (3.2.43)

Hạng thứ lμ s(ω) ví dụ 3, hạng ngoặc nhọn lμ s(ω) ví dụ 1, nhận đ−ợc thay α t−ơng ứng α−iβ vμ α+iβ Từ ta đ−ợc

( ) ( ) + − + + + +

= 2 2 2 2 2

2 2

4ω β

β α ω ω β α π α ω s ( ) ( ) =     + + + − +

+2 2 2

4 β α ω α β α ω α β

πi i i

= ( )      + − + + 2 2 2 ω α β α ω α β

πα (3.2.44) Đồ thị hμm r(τ) vμ s(ω) đ−ợc dẫn hình 3.7 a,b giá trị α, β nh− hình 3.5

6 ( )     ≥ ≤ ≤ − = 0 0 τ τ τ τ ττ τ

r (3.2.45)

Coi trình ngẫu nhiên lμ thực, ta tính mật độ phổ theo cơng thức (3.2.23)

( )        − = 0 cos 1τ τ ωτ ττ π ω d

s (3.2.46)

Sử dụng công thức tích phân theo phần, ta nhận đợc

( ) ( 0)

0

2 1 cos

1

ωτ τ

πω

ω = −

( ) ( ωτ ) τπ

τ πω

ω 1 cos 2

1 lim

0

0

2

0 − =

=

→

s (3.2.48)

Trên hình 3.8 a,b dẫn đồ thị hμm r(τ) vμ s(ω) với giá trị tham số τ0 =

1, 2,

Từ hình 3.8 thấy rằng, thay đổi mật độ phổ theo tần số lμ trình dao động: s(ω) nhận giá trị cực tiểu

s(ω) = víi 2 , 1,2

0

= = k k

τπ

ω

vμ đạt giá trị cực đại giảm theo tăng tần số ω Khi tăng tham số τ0 giá trị cực

đại t−ơng đối mật độ phổ tăng vμ thể −u rõ nét phổ trình ngẫu nhiên tần số rời rạc riêng biệt, lμ tần số ω =

Trong tất tr−ờng hợp xét, mật độ phổ s(ω) lμ hμm không âm với giá trị tần số ω Do đó, theo định lý Khintrin, hμm r(τ), biến đổi ng−ợc Fourier chúng, thật lμ hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên dừng

H×nh 3.6

I) α=0,5, β=2; II) α=1, β=1; III) α=2, β=0,5 XÐt hμm:

( )

    

> ≤

− =

0

2

0 1

τ τ τ τ τ

τ τ

khi khi

r (3.2.49)

Ta lμm sáng tỏ xem lμ hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên dừng nμo khơng Ta tìm mật độ phổ theo cơng thức (3.2.14)

( )  

  

 

− =

0

0

2

cos

1τ

τ ωτ τ

τ π

ω d

s (3.2.50)

Sư dơng hai lần công thức tích phân phần, ta đợc:

( ) 

  



 −

= 0

0

2 sin cos

1

ωτ τ

ωτ ω τ πω ω

s (3.2.51)

Trong tr−ờng hợp nμy mật độ phổ lμ hμm không âm với ω, r(τ) khơng thể lμ hμm t−ơng quan q trình ngẫu nhiên dừng

H×nh 3.7

I) α=0,5, β=2; II) α=1, β=1; III) α=2, β=0,5

H×nh 3.8

H×nh 3.9

3.3 Phân tích điều hoμ tr−ờng ngẫu nhiên đồng

T−ơng tự nh− q trình ngẫu nhiên dừng, biểu diễn tr−ờng ngẫu nhiên đồng U(ρ)=U(x,y,z) d−ới dạng tích phân Fourier-Stiltex

U(ρ)= Φ →

) (

) (

k d

eikρ  (3.3.1) sóng phẳng ( )

→ ρ

k i

e đóng vai trị dao động điều hoμ, k.ρ lμ tích vơ h−ớng vectơ k vμ vectơ ρ Tích phân đ−ợc trải toμn khơng gian vectơ sóng k

Giả thiết rằng, kỳ vọng toán học trờng không, hm tơng quan Ru(l

 Ru l dl <∞  

)

( (3.3.2) vμ cách lập luận t−ơng tự nh− xét mục 3.2 cho tr−ờng hợp ba chiều, ta viết hμm t−ơng quan d−ới dạng

Ru(l



) =  →

k d k S

ei(kl) u()  (3.3.3) dk lμ yếu tố thể tích khơng gian sóng, cịn hμm Su(k



) đ−ợc gọi lμ mật độ phổ ba chiều, phải lμ hμm khơng âm

Hμm t−ơng quan lμ biến đổi ng−ợc Fourier ba chiều mật độ phổ Từ đó, giống nh− phép biến đổi Fourier hμm t−ơng quan, xác định mật độ phổ theo công thức

Su(k



) = 

→

− R l dl

e u

kl

i ()  8

1 ( )

π (3.3.4)

Trong tr−ờng hợp U(ρ) lμ tr−ờng đồng đẳng h−ớng, hμm t−ơng quan lμ hμm đối số vô h−ớng l= ρ2−ρ1 Khi dễ dμng tính đ−ợc tích phân cơng thức (3.3.4) chuyển toạ độ cầu

Ta biĨu diƠn tÝch v« h−íng k.l d−íi d¹ng

l

k.= klcos(

^

.l

k) (3.3.5) H−ớng hệ toạ độ cầu cho góc vectơ k vμ l trùng với toạ độ cầu − góc θ Khi

Su(k



) = 

→

− R l dl

e ikl u() 

8

1 ( )

π =  

∞ −

0

0

2 cos

3 ( ) sin

8

1 π π θ

ϕ θ θ

π e Ru l l d d dl ikl

(3.3.6)

B»ng phÐp thay biÕn cosθ=t tích phân hai lớp ta nhận đợc

π π − θ θ θ ϕ= ππ − θ θ θ

0 cos

0

cos sin 2 sin

d e

d d

e ikl ikl =2 4 sin( )

1

1

kl kl dt e iklt π

π =

−

− (3.3.7)

Đặt (3.3.7) vo (3.3.6) ta đợc

∞ =

0

2 ( )

) sin(

1 )

( R l l dl

kl kl k

Su u

π



(3.3.8)

Từ thấy rằng, mật độ phổ tr−ờng đồng đẳng h−ớng lμ hμm đối số vô h−ớng k



∞ =

0

2 ( )

) sin(

1 )

( R l l dl

kl kl k

Su u

π (3.3.9) Đối với tr−ờng đồng đẳng h−ớng, sử dụng ph−ơng pháp t−ơng tự để tính tích phân (3.3.3), ta nhận đ−ợc



∞ =

0

2

) ( ) sin(

)

( S k k dk

kl kl l

Ru π u (3.3.10) Vì mật độ phổ phải lμ hμm khơng âm, nên hμm t−ơng quan Ru(l) tr−ờng

mäi k≥0

Đối với tr−ờng đồng đẳng h−ớng mặt phẳng, công thức cho hμm t−ơng quan Ru(l) vμ mật độ phổ Su(k) đ−ợc biểu thị nh− phép biến đổi Fourier lẫn

theo công thức

= e S k dk l

Ru( ) i(kl) u( )  (3.3.11)

 − →

= e R l dl k

Su ikl u( ) 

4 1 )

( ( )

2

(3.3.12)

ở đây, dk v dl lμ c¸c u tè diƯn tÝch

Khi chuyển toạ độ cực vμ h−ớng trục cực theo vectơ k, ta nhận đ−ợc

l

k. = klcosϕ, (3.3.13) từ

∞ −

= π ϕ ϕ

π

2

0 cos

2 ( )

4 )

(k e R l ldld

S u

ikl

u (3.3.14) V×

) (

1

cos

kl J d e ikl = o

π − ϕ ϕ

π (3.3.15) l hm Bessel loại I bậc 0, nên (3.3.14) đợc viết dới dạng

=

0

) ( ) (

1 )

(k J kl R l ldl

Su o u

(3.3.16) đây, l = (x2 −x1) (2+ y2 −y1)2

T−¬ng tù, ta nhËn d−ỵc



∞ =

0

) ( ) ( )

(l J kl S k kdk

Ru π o u (3.3.17) Để cho hμm Ru(l) lμ hμm t−ơng quan tr−ờng đồng đẳng h−ớng mặt

phẳng tích phân (3.3.16) cần phải không âm với k≥0 Ta xét vμi ví dụ tính mật độ phổ

1 Giả sử hμm t−ơng quan tr−ờng đồng đẳng h−ớng ba chiều có dạng R(l) = σ2e−αl,α >0 (3.3.18) Khi mật độ phổ đ−ợc xác định theo công thức (3.3.9)

S(k) = 

∞ −

0 2

) sin( k e l kl dl

l

α π

σ (3.3.19) Ta xÐt tÝch ph©n

J = 

∞ −

0

) sin(kl dl l

e αl (3.3.20)

J =  

∞ − ∞

− +

0

) cos( )

sin(

dl kl l e k dl kl l

e αl αl

α

α (3.3.21)

Sư dơng ph−¬ng pháp tơng tự cho tích phân J1 =

∞ −

0

) cos(kl dl l

e αl (3.3.22)

ta cã

J1 =  

∞ − ∞

− −

0

) sin( )

cos(

dl kl l e k dl kl l

e αl αl

α

α (3.3.23)

Đặt (3.3.23) vo (3.3.21) ta đợc

J = e l kl dl k e l kl dl k2 J

2

0 2

0

) cos( )

sin(

α α

α  α +  α −

∞ − ∞

− (3.3.24)

Từ

J = 

∞ −

  

 +

+ 0

2 sin( ) cos(kl) dl

k kl e

k

l

α α

α α (3.3.25) Sử dụng hai lần phơng pháp tích phân phần cho (3.3.25), ta nhận đợc

J =

( 2 2)2

2

α π

+

k k

(3.3.26)

Đặt (3.3.26) vo (3.3.19) cuối ta đợc S(k) =

( 2 2)2

α π

α σ

+

k

(3.3.27)

Mật độ phổ (3.3.27) không âm với giá trị k, hμm (3.3.18) lμ hμm t−ơng quan tr−ờng ngẫu nhiên ba chiều Đồ thị mật độ phổ (3.3.27) đ−ợc dẫn hình 3.10)

2 R(l) = σ2e−αl2,α >0 (3.3.28)

Mật độ phổ tr−ờng hợp nμy đ−ợc xác định d−ới dạng S(k) =

( ) α

α

πα σ π

σ

2 /

0

2

2

8 ) sin( 2

k l

e dl

kl l e k

− ∞

− =

 (3.3.29)

Hμm (3.3.29) lμ hμm không âm với k, hμm (3.3.28) lμ hμm t−ơng quan tr−ờng ngẫu nhiên ba chiều Đồ thị mật độ phổ (3.3.29) đ−ợc biểu diễn hình 3.11

3 Đối với hμm R(l) = σ2e−αl cosβl,α >0,β >0 (3.3.30) mật độ phổ

S(k) = 

∞ −

0 2

) sin( cos

2 k e l kl ldl

l

β π

σ α

( 4 2 4)2

2 2

2 2

2

) (

b ak k

b b a b k k

+ +

− + +

= πα

σ (3.3.31)

trong a=α2-β2, b=α2+β2

Đồ thị S(k) đợc biểu diễn hình 3.12

H×nh 3.11 H×nh 3.12

I) α=0.5, β=2; II) α=1, β=1; III) α=2, β=0.5

Trong tr−ờng hợp nμy, S(k)≥0 với k≥0 bất đẳng thức α2

>3β2

hay α > 3β đ−ợc thoả mãn, vμ đó, α> 3β hμm Ru(l) lμ hμm t−ơng

quan cđa tr−êng ngÉu nhiªn ba chiỊu

Nh− nêu mục 3.2, hμm R(τ)=σ2e−ατ cosβτ với α>0 vμ β>0 lμ hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên dừng (tr−ờng đồng nhất) Hμm t−ơng quan tr−ờng ngẫu nhiên đồng đẳng h−ớng ba chiều (hoặc hai chiều) R(l) thay l=τ ln ln lμ hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên dừng (tr−ờng đồng chiều), tất điểm đ−ờng thẳng y=z=0 tr−ờng đồng đẳng h−ớng ba chiều lμ tr−ờng đồng chiều

Ch−ơng 4: Biến đổi tuyến tính q trình ngẫu nhiên dừng

4.1 Biến đổi hμm ngẫu nhiên tốn tử tuyến tính

Giả sử hμm ϕ(t) nhận đ−ợc từ hμm f(t) cách thực số phép tốn nμo vμ L lμ ký hiệu qui −ớc phép toán nμy, tức L lμ qui tắc, theo hμm f(t) biến đổi thμnh ϕ(t) Trong tốn học, ng−ời ta gọi qui tắc, theo tập hμm đ−ợc ánh xạ sang tập hợp hμm khác lμ tốn tử Ta nói rằng, hμm ϕ(t) lμ kết tác dụng toán tử L lên hμm f(t), tức lμ

( )t =L{ }f( )t

ϕ (4.1.1) Trong kỹ thuật vô tuyến vμ ứng dụng kỹ thuật khác ng−ời ta th−ờng gọi hμm f(t) lμ tác dụng lối vμo, hμm ϕ(t) lμ tín hiệu ra, cịn L tốn tử hệ lμm biến đổi tác dụng lối vμo Toán tử L đ−ợc gọi lμ tuyến tính, thoả mãn hai điều kiện sau:

1 L{cf( )x}=cL{ }f( )x (4.1.2)

tức lμ kết tác dụng toán tử lên tích hμm f(t) vμ thừa số khơng đổi c tích thừa số với kết tác dụng tốn tử lên f(t)

2 L{f1( )t + f2( )t }=L{ }f1( )t +L{ }f2( )t (4.1.3)

tức l kết tác dụng toán tử lên tổng hai hm tổng kết tác dụng toán tử lên hm riêng biệt

Toỏn tử không thoả mãn điều kiện gọi lμ tốn tử phi tuyến Ví dụ, tốn tử vi phân lμ tốn tử tuyến tính, thoả mãn đẳng thức

( )

{ } { }f ( )t dt

d c t cf dt

d

1 =

vμ

( ) ( )

{ } { }( ) { }f ( )t dt

d t f dt

d t f t f dt

d

2

2

1 + = +

To¸n tử lấy tích phân l toán tử tuyến tính Toán tử nhận đợc tác dụng liên tiếp vi to¸n tư tun tÝnh cịng lμ to¸n tư tun tÝnh To¸n tư lÊy kú väng to¸n häc cđa hμm ngÉu nhiên l toán tử tuyến tính

Ví dụ toán tử phi tuyến l phép toán nâng lên luỹ thừa, toán tử lấy phơng sai hm ngẫu nhiên

Nếu hm ngẫu nhiên Y(t) l kết tác dụng toán tử tuyến tính L lên hm ngẫu nhiên X(t) có kỳ vọng toán học mx(t) vμ hμm t−¬ng quan Rx(t1,t2), tøc lμ

( )t L{ }X( )t

Y = (4.1.4) th×

( )t L{m ( )t }

my = x (4.1.5)

( ) ( ) ( ){ ( )}

2

1,t L1 L2 R t,t

t

Ry = t t x (4.1.6) nghĩa l my(t) nhận đợc cách tác dụng toán tử L lên mx(t), Ry(t1,t2) nhận đợc

cách tác dụng hai lần toán tử L lên hμm Rx(t1,t2), theo đối số thứ t1, sau

Thùc vËy,

( )t M[L{ }X( )t ]

my = (4.1.7) Toán tử L tác dụng lên biến t, tốn tử tìm kỳ vọng tốn học tiến hμnh lấy trung bình tung độ hμm ngẫu nhiên (khi cố định t) theo tập hợp tất giá trị đại l−ợng ngẫu nhiênX(t), lμ tốn tử tuyến tính Vì vậy, đổi chỗ trật tự tác dụng toán tử M vμ L cho nhau, tức lμ my(t)= L{M[X(t)]}=L{mx(t)}, vμ điều

chứng minh cho đẳng thức (4.1.5) Tiếp theo

( )t1,t2 M{[Y( )t1 m ( )t1 ][Y( )t2 m ( )t2 ]}

Ry = − y − y =

( ){ ( )} ( ){ ( )}

( )( ( ){ ( )} ( ){ ( )})

[L1 X t1 L1 m t1 L2 X t2 L21 m t2 ]

M x

t t

x t

t − −

= =

( ) ( ){[ ( ) ( )][ ( ) ( )]}

[L1L X t1 m t1 X t2 m t2

M x x

t

t − −

= =

( ) ( ){ [[ ( ) ( )][ ( ) ( )]]}

2

1

2

1L M X t m t X t m t

L x x

t

t − −

= L( ) ( )1 L {Rx( )t1,t2 }

t t

=

Các công thức trình bμy ch−ơng kỳ vọng toán học vμ hμm t−ơng quan đạo hμm vμ tích phân hμm ngẫu nhiên lμ tr−ờng hợp riêng (4.1.5) vμ (4.1.6)

Việc biết Dx(t) lμ ch−a đủ để nhận đ−ợc ph−ơng sai Dy(t) trình ngẫu nhiên

Y(t) Tr−ớc hết cần phải tìm hμm t−ơng quan Ry(t1,t2) theo cơng thức (4.1.6), sau

vμo nã t1=t2=t

Để tìm đặc tr−ng hμm ngẫu nhiên, lμ kết tác dụng tốn tử phi tuyến lên hμm ngẫu nhiên X(t), biết mx(t) vμ Rx(t1,t2) ch−a đủ, tr−ờng hợp nμy

qui luật phân bố hμmX(t) đóng vai trị quan trọng Đối với tốn tử phi tuyến nhận đ−ợc kết t−ơng đối đơn giản số tr−ờng hợp riêng

Trong tr−ờng hợp tác dụng toán tử tuyến tính lên hμm X(t) có qui luật phân bố chuẩn, hμm ngẫu nhiên Y(t) = L{X(t)} tuân theo qui luật phân bố chuẩn, tính chất tuyến tính tốn tử L, hμm Y(t) nhận đ−ợc nhờ tổ hợp tuyến tính số hữu hạn vô hạn tung độ hμm X(t) Nh−ng từ lý thuyết xác suất ta biết rằng, tổ hợp tuyến tính đại l−ợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn phụ thuộc độc lập tuân theo qui luật phân bố chuẩn

Do vậy, tr−ờng hợp X(t) lμ hμm ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân bố chuẩn, Y(t) tuân theo qui luật phân bố chuẩn vμ đặc tr−ng my(t), Ry(t1,t2) tìm đ−ợc

hoμn toμn xác định

NÕu X(t) l hm ngẫu nhiên phân bố chuẩn, Y(t) qui luật phân bố với X(t) Qui luật phân bố chuẩn không đợc bảo ton toán tử L không tuyến tính

4.2 Biến đổi tuyến tính d−ới dạng phổ

Ta biểu diễn phép biến đổi tuyến tính d−ới dạng phổ Muốn vậy, ta sử dụng khái niệm hμm delta Dirac, hμm đ−ợc sử dụng rộng rãi toán học

1) ( )

  

= ∞

≠ =

0 0 0

t t t

δ (4.2.1)

tức lμ δ(t) không với giá trịt khác khơng, cịn điểm t = tăng lên vơ hạn 2) Tích phân hμm delta toμn miền vô hạn đơn vị

( ) =1



∞ ∞ −

dt t

(4.2.2) Hm delta l hμm theo

nghĩa thông th−ờng, mμ lμ hμm t−ợng tr−ng nμo Theo nghĩa xác, hμm có tính chất (4.2.1) vμ (4.2.2) khơng tồn Tuy nhiên xét hμm δ(t) theo nghĩa nμo giống nh− giới hạn hμm thơng th−ờng

Ta lÊy hμm Gauss lμm vÝ dơ

H×nh 4.1

( )

2

2

2

1 σ

σ π

t

e t

f = − ,

đối với hμm nμy hệ thức (4.2.2) đ−ợc thoả mãn

Ta giảm đại l−ợng σ xuống, đồ thị hμm nhọn (trong nguyên viết lμ đồ thị giãn −ND) (hình 4.1), giá trị cực đại ( )

σ π

2 1 0 =

f tăng, miền

giá trị khác không hm thu hẹp lại Lấy giới hạn ta nhận đợc hm có tính chất hm delta

Sử dụng khái niệm giới hạn nμy, biểu diễn hμm delta d−ới dạng tích phân T−ơng ứng với mục 1.12, mật độ phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn đ−ợc biểu diễn nh− lμ phép biến đổi ng−ợc Fourier hμm đặc tr−ng nó, theo (1.12.25) hμm nμy có dạng ( )

2 2σ

ω

ω =e−

g Do tính chẵn hμm nμy nên ta có đẳng thức



∞ ∞ −

− − −

= π ω

σ π

σ ω ω

σ e e d

e i t

t

2

2 2

2

2 1 2

1

(4.2.3)

Lấy giới hạn hai vế đẳng thức (4.2.3) σ→0 ta nhận đ−ợc biểu diễn tích phân hμm delta



∞ ∞ −

−

= ω

π

δ ω

d e

t i t

2 1 )

( (4.2.4)

Nếu xét hμm delta đối số t−τ, với τ lμ số xác định,

( )

  

= ∞

≠ = −

τ τ τ

δ

t t

( − ) =1



∞ ∞ −

dt t τ

δ (4.2.6) Đối với hμm f(t) bất kỳ, liên tục t=τ, ta có đẳng thức

( ) ( )t d f( )t

f − =



∞ ∞ −

τ τ δ

τ (4.2.7) Điều nμy đ−ợc suy cách đơn giản nh− sau, khơng thật chặt chẽ Vì δ(t−τ) khác khit=τ, nên tích phân (4.2.7) khác khoảng[t−ε, t+ε], với ε>0 bé tuỳ ý Từ

( ) ( )  ( ) ( )

 +

− ∞

∞ −

− =

− ε

ε

τ τ δ τ τ

τ δ τ

t

t

d t f d t

f f( ) (t t )d f( ) (t t )d f( )t

t t

= τ τ − δ =

τ τ − δ

=  ∞

∞ − ε

+ ε −

Ký hiệu g(t,τ) lμ kết tác dụng tốn tử tuyến tính L nμo lên hμm delta δ(t−τ) điểm τ cố định

( )t τ =L{δ(t−τ)}

g , (4.2.8) Nhờ hμm g(t,τ) nμy, ta biểu thị kết tác dụng toán tử L cho lên hμm f(t) cho đoạn [a,b]

Tác dụng tốn tử tuyến tính L lên hai vế đẳng thức (4.2.7), ta đ−ợc

( )

{ }= ( ) ( )

b

a

d f t g t f

L ,τ τ (4.2.9) Nh vậy, hm (t)=L{f(t)}, kết tác dụng toán tử tuyến tính L lên hm f(t), đợc biểu diễn dới dạng

( )= ( ) ( )

b

a

d f t g

t τ τ τ

ϕ , (4.2.10) Hm g(t,), kết tác dụng toán tử L lên hm delta (t), đợc gọi l hm trọng lợng (Trong kỹ thuật vô tuyến ngời ta gọi l hm chuyển xung)

Nếu hm f(t) đợc cho khoảng vô hạn (, +) viết

( ) ∞ ( ) ( )

∞ −

= τ τ τ

ϕ t g t, f d (4.2.11) Trong tr−ờng hợp riêng, tốn tử L lμ dừng hμm trọng l−ợng phụ thuộc vμo hiệu t−τ Khi viết

( ) ∞ ( ) ( )

∞ −

−

= τ τ τ

ϕ t g t f d (4.2.12) TÝch ph©n (4.2.12) đợc gọi l tích phân chập hm f(t) v g(t)

Ký hiệu Sf(ω) vμ Sϕ(ω) lμ biến đổi Fourier (mật độ phổ) t−ơng ứng hμm f(t)

vμ ϕ(t) Khi ta có:

( ) ∞ ( )

∞ −

= S ω eωdω

t

( ) ∞ ( )

∞ −

= ω ω

ϕ ω

ϕ e d

S

t i t (4.2.14)

Đặt biểu thức vo (4.2.12), ta nhận đợc

( ) ( )  ( )

 ∞

∞ −

∞ ∞ − ∞

∞ −

   

  −

= τ ω ω τ

ω

ω ω ωτ

ϕ e d g t S e d d

S f i

t i

(4.2.15)

Thay đổi thứ tự lấy tích phân tích phân hai lớp vμ lμm phép đổi biến t−τ=τ1,

ta đợc

( ) ( ) ( )

 ∞

∞ −

∞ ∞ −

− ∞

∞ −

   

 

= ω τ τ ω

ω

ω ω ω ωτ

ϕ e d S e g e d d

S f i t i

t i

1

1 (4.2.16)

Ký hiệu G(ω) lμ biến đổi Fourier (mật độ phổ ) hμm trọng l−ợng g(t)

( ) ∞ ( )

∞ −

−

= g t e dt

G iωt

π ω

2 1

(4.2.17)

Tích phân móc vng (4.2.16) 2πG(ω), từ viết

( ) ( ) ( )

[ ]



∞ ∞ −

= − ω .2π ω ω 0

ω ω

ϕ S G e d

S f i t (4.2.18) Điều nμy chứng tỏ rằng, biến đổi ng−ợc Fourier hμm Sϕ ( )ω − Sf ( )ω 2πG( )ω

0, vμ đẳng thức sau cần đ−ợc thoả mãn

( )ω ( )ω π ( )ω

ϕ S G

S = f .2 (4.2.19) Hμm:

( ) ( ) ∞ ( )

∞ −

−

=

= G g t e dt

Lω 2π ω iωt (4.2.20) đ−ợc gọi lμ hμm truyền tốn tử tuyến tính L Từ viết (4.2.19) d−ới dạng

( )ω ( ) ( )ω ω

ϕ S L

S = f (4.2.21)

Nh− vậy, mật độ phổ Sϕ(ω), kết việc tác dụng tốn tử tuyến tính L lên hμm

f(t), tích mật độ phổ Sf(ω) hμm f(t) vμ hμm truyền L(ω) toán tử

4.3 Mật độ phổ phép biến đổi tuyến tính q trình ngẫu nhiên dừng

Bây ta xét trình ngẫu nhiên dừng X(t) có kỳ vọng toán học v hm tơng quan Rx() cho trớc V giả sử trình ngẫu nhiên khácY(t) l kết tác

dụng toán tử tuyến tính dừng L lên trình ngẫu nhiênX(t)

( )t L{ }X( )t

Y = (4.3.1) Khi ta biểu diễn trình ngẫu nhiên Y(t) d−ới dạng

( ) ∞ ( ) ( )

∞ −

−

= g t τ X τ dτ

t

Y (4.3.2)

Thật vậy, thể yi(t) trình ngẫu nhiên Y(t), kết tác dụng toán tử

L lên hm không ngẫu nhiên xi(t) l thể tơng ứng trình ngẫu nhiênX(t),

v ú i vi chỳng hệ thức (4.3.2) lμ đúng, tập tất thể

Trong tr−ờng hợp tốn tử tuyến tính L đ−ợc cho d−ới hình thức biến đổi thực nμo đó, nguyên tắc cần thoả mãn lμ khả thực đ−ợc mặt vật lý, mμ theo phản ứng biến đổi lên tác dụng lối vμo xuất tr−ớc bắt đầu có tác động xảy ra, tức lμ hμm trọng l−ợng g(t−τ) cần phải đồng t<τ

Xuất phát từ đó, biến đổi thực, cơng thức (4.3.2) cần phải viết d−ới dạng

( )  ( ) ( ) ∞ − − = t d X t g t

Y τ τ τ (4.3.3) Thực phép đổi biến t−τ=τ1, ta đ−ợc

( )=∞ ( ) ( − )

τ τ τ X t d g

t

Y (4.3.4)

g(t)=0 t <0

Ta xác định hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên Y(t)

( )1 = [ ( ) ( )1 ]=

y ,

R t t M Y t Y t

( ) ( ) ( ) ( ) =               −       −

= ∞ ∞

0 2 1

1 τ τ τ τ τ

τ X t d g X t d

g M ( ) ( ) [ ( ) ( )] =       − − =∞ ∞ 2 1

1 τ τ τ τ τ

τ g M X t X t d d

g ( )  ( ) ( )  ∞ ∞ + − − = 2 2

1 τ τ τ τ τ

τ d g R t t d

g x (4.3.5)

Từ thấy rằng, hμm t−ơng quan Ry(t1,t2) phụ thuc vo hiu t2t1=, tc Y(t) l

quá trình ngÉu nhiªn dõng theo nghÜa réng

( )=∞ ( ) ∞ ( ) ( − + ) 2 1 x

R τ gτ dτ gτ Rxτ τ τ dτ (4.3.6)

Ta xác định mật độ phổ trình ngẫu nhiên Y(t)

( )= ∞ ( ) = ∞ − − τ τ π

ω R e iωτd

y 2 1 Sy ( )  ( ) ( )   ∞ ∞ ∞ ∞ − − − + = 2 1 τ τ τ τ τ τ τ τ

π e ωτd g d g Rx d

i

(4.3.7)

Thay đổi thứ tự tích phân tích phân ba lớp vμ lμm phộp i bin 2+1=t,

ta nhận đợc tích ba tÝch ph©n mét líp

( )  ( )  ( ) ∞ ( ) ∞ − − ∞ − ∞

= gτ eiωτ dτ gτ e iωτ dτ Rx t e iωtdt

π ω 2 1

y

2

Khi thừa số ( ) ( )ω

π ω x

t i

x t e dt S

R =



∞ ∞ −

− 2

1

lμ mật độ phổ trình ngẫu nhiên X(t)

TÝch ph©n ( )τ ωτ τ =L( )ω

0

2 2 

∞

− d

e

g i lμ hμm truyền toán tử L Vì hm trọng lợng

chỉ nhận giá trị thực, nên tích phân ( )τ ωτ τ =L*( )ω

0

1 1 

∞

d e

g i lμ đại l−ợng liên hợp phức

cđa hμm trun Nh vậy, công thức (4.3.8) viết dới dạng

( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω x ω

y =L L* S

S (4.3.9) hay

( )ω ( ) ( )ω x ω

2 y = L S

S (4.3.10) Do vậy, mật độ phổ kết biến đổi q trình ngẫu nhiên dừng X(t) nhờ tốn tử tuyến tính dừng L tích mật độ phổ trình ngẫu nhiên vμ bình ph−ơng modul hμm truyền tốn tử

4.4 nghiƯm dõng cđa ph−¬ng trình vi phân tuyến tính có hệ số số

Để lm ví dụ cho toán tử tuyến tính ta xét phơng trình vi phân tuyến tính cã hÖ sè h»ng sè

( )+ ( )+ + ( )+ ( )=

− −

− a y t

dt t dy a dt

t y d a dt

t y d

a n

n n n n

n 1

1

1

( ) ( ) ( ) b x( )t

dx t dx b dt

t x d b dt

t x d

b m

m m m m

m 1

1

1 + + +

+

= − − − (4.4.1)

Nh− biết từ lý thuyết ph−ơng trình vi phân tuyến tính có vế phải, nghiệm tổng quát ph−ơng trình (4.4.1) tổng nghiệm tổng quát y(t) ph−ơng trình t−ơng ứng vμ nghiệm riêng ph−ơng trình khơng Nghiệm y(t) xác định gọi lμ dao động tự hay dao động riêng trình xét, không phụ thuộc vμo hμm x(t) Trên thực tế th−ờng gặp q trình ổn định dao động tự tắt dần theo thời gian

Nếu xét thời điểm xa so với thời điểm ban đầu, mμ dao động tự thực tế khơng cịn tồn tại, ta đặt y(t) = Khi đó, bμi tốn dẫn tới việc tìm dao động c−ỡng y(t) gây nên x(t) Ng−ời ta gọi trình nh− lμ ổn định để phân biệt với trình chuyển tiếp mμ cịn tồn dao động tự

Ta ký hiệu toán tử vi phân chữ p, tøc lμ

n n n

dt d p dt

d p dt

d

p= , = 2 , , =

2

(4.4.2) Khi viết ph−ơng trình (4.4.1) d−ới dạng ký hiệu

(anp n

+ an-1p n-1

+ +a1p+a0)y(t)=(bmp m

+ bm-1p m-1

+ +b1p+b0)x(t) (4.4.3)

Đặt

anp n

+ an-1p n-1

bmpm+ bm-1pm-1 + +b1p+b0=Bm(p) (4.4.4)

ta cã thể viết (4.4.3) dới dạng ký hiệu gọn

( ) ( ) ( )( )xt p A

p B t y

n m

= (4.4.5)

BiÓu thøc ) (

) (

p A

p B

n

m lμ tốn tử ph−ơng trình vi phân (4.4.1) đ−ợc viết d−ới dạng ký hiệu Có thể nói hμm y(t) lμ kết tác dụng tốn tử lên hμm x(t) Vì ph−ơng trình vi phân tuyến tính có hệ số khơng đổi thoả mãn ngun lý chồng chất, tức x(t) lμ tổng số hμm nghiệm y(t) tổng nghiệm hạng tử riêng rẽ, nên toán tử xét lμ tuyến tính Vμ đó, từ điều trình bμy mục 4.2, tìm nghiệm y(t), kết việc tác dụng tốn tử tuyến tính (4.4.5) lên hμm x(t), theo công thức (4.2.12) d−ới dạng:

( ) ∞ ( ) ( )

∞ −

−

= g t τ xτ dτ

t

y , (4.4.6)

nếu nh− biết hμm trọng l−ợng g(t−τ) lμ nghiệm ph−ơng trình vi phân (4.4.1), hμm delta δ(t−τ) đóng vai trị lμ x(t)

Nh− vậy, để tìm nghiệm y(t) ph−ơng trình (4.4.1) cần tìm nghiệm ph−ơng trình

( −τ)= ( ) (( )δ t−τ)

p A

p B t

g

n m

(4.4.7)

đối với giá trị t τ cố định vμ đặt hμm g(t−τ) tìm đ−ợc vμo (4.4.6)

Thuận tiện tìm nghiệm y(t) d−ới dạng phổ sử dụng công thức liên hệ (4.2.21) mật độ phổ hμm x(t) vμ y(t) Khi cần phải tìm hμm truyền L(ω) toán tử

) (

) (

p A

p B

n m

Để tìm hμm truyền L(ω) ta xem x(t) lμ dao động điều hoμ

x(t)=eiωt (4.4.8)

Khi đó, theo (4.4.6), nghiệm y(t) đ−ợc viết d−ới dạng

( )=  ( − ) = ∞ ( ) ( ) =

∞ −

− ∞

∞ −

τ τ

τ

τ eωτd g eω τd

t g t

y i i t

( )τ ωτ τ ω ( )ω

ω g e d e L

ei t i = i t

= ∞

∞ −

− (4.4.9)

Ta thay (4.4.8) vμ (4.4.9) vμo (4.4.1) V×

( )k i t t

i k k

e i e dt

d ω = ω ω

(4.4.10)

( )

[ i t ] ( ) ( )k i t k

k

e L i L

e dt

d ω ω = ω ω ω

=[bm(iω)m+ bm-1(iω)m-1+ + b1(iω)+b0]eiωt (4.4.12)

Từ ta nhận đ−ợc biểu thức hμm truyền

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1

0

1

a i a i

a i

a

b i b i

b i

b

L n

n n n

m m m m

+ +

+ +

+ +

+ +

= −

−

− −

ω ω

ω

ω ω

ω

ω (4.4.13)

Khi sư dơng ký hiƯu (4.4.4) cã thĨ viÕt

( )ω ( )( )ωω

i A

i B L

n m

= (4.4.14)

Nh− vậy, để xác định hμm truyền, thay cho toán tử vi phân p, cần phải đặt vμo toán tử ph−ơng trình vi phân đại l−ợngiω

Khi thay biểu thức tìm đ−ợc hμm truyền vμo (4.2.21), ta nhận đ−ợc biểu thức mật độ phổ Sy(ω) nghiệm ph−ơng trình vi phân

( ) ( ) ( )( ) ω ω

ω

ω x

n m

y S

i A

i B

S = (4.4.15)

trong Sx(ω) lμ mật độ phổ hμm x(t)

Bây ta xét tr−ờng hợp mμ x(t) ph−ơng trình (4.1.4) lμ trình ngẫu nhiên dừng X(t) có kỳ vọng tốn học vμ hμm t−ơng quan lμ Rx(τ) Ta xác định

hμm t−¬ng quan trình ngẫu nhiên Y(t) l nghiệm phơng trình (4.4.1) Vì Y(t) l kết tác dụng to¸n tư tun tÝnh

) (

) (

p A

p B

n

m lên hμm ngẫu nhiên dừng X(t), nên, từ điều trình bμy mục 4.3, Y(t) lμ hμm ngẫu nhiên dừng Khi mật độ phổ hμm ngẫu nhiênX(t) vμY(t) xảy hệ thc (4.3.10)

Đặt giá trị tìm đợc hm truyền phơng trình vi phân (4.4.14) vo (4.3.10) ta ®−ỵc

( ) ( ) ( )( ) ω ωω

ω x

n m

y S

i A

i B S

2

= (4.4.16)

Khi biết mật độ phổ Sy(ω), ta tìm đ−ợc hμm t−ơng quan Ry(τ) ca hm ngu

nhiên Y(t) theo công thức

( ) ∞ ( )

∞ −

= ω ω

τ ωτ

d e S

Ry y i (4.4.17)

C¸c vÝ dơ

1 Với giả thiết định, chuyển động chiều (hình chiếu trục cho tr−ớc) mặt phẳng ngang phần tử dịng khí đ−ợc mơ tả ph−ơng trình

( ) bv( ) ( )t F t

dt t dv

m + = (4.4.18) v(t) lμ hình chiếu xung vận tốc phần tử trục cho, cịn F(t) lμ hình chiếu lực tác động lên phần tử ảnh h−ởng rối khí quyển, thμnh phần bv(t) đặc tr−ng cho lực ma sát

( ) v( )t F( )t

dt t dv

1

=

+α (4.4.19) Phơng trình (4.4.19) l phơng trình Lanjeven

Ta s cho lực F1(t) lμ hμm ngẫu nhiên dừng thời gian mμ mật độ phổ

nã Sf(ω) nhận giá trị số, tức l "ồn tr¾ng"

Sf(ω)=c=const (4.4.20)

Nh− ta (xem mục 3.2, ví dụ 1), mật độ phổ số toμn dải tần số, ph−ơng sai trình ngẫu nhiên trở nên vô hạn Giả thiết mật độ phổ có dạng đ−ờng cong (hình 4.2) thay đổi khoảng [−T, T] nμo vμ cách gần xem lμ số

Khi tần số ω tiến đến vô hạn, S(ω) tiến đến nhanh, đảm bảo tính hội tụ tích phân  ( )

∞ ∞ −

ω

ω d

S

H×nh 4.2

Ta tìm hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên V(t) lμ nghiệm ph−ơng trình (4.4.9) chế độ ổn định

Muốn vậy, ta xác định hμm truyền ph−ơng trình (4.4.9) viết d−ới dạng ký hiệu

( ) F( )t p

t

V 1 1

α

+

= (4.4.21)

Đối với phơng trình (4.4.21) hm truyền đợc viết dới dạng

( )

+ =

i

L 1 (4.4.22) Từ ta nhận đ−ợc mật độ phổ Sv(ω) nghiệm V(t) d−ới dạng

( ) ( )ω

α ω

ω f

v S

i S

2

1

+

= (4.4.23)

hay

( )ω =ω2 +α2

c

Sv (4.4.24) Từ công thức (4.4.24) thấy rằng, Sv(ω) giảm ω tăng, vμ dải tần số lớn, trị số

Sf(ω) khác giá trị c mμ ta thừa nhận, không quan trọng

Khi biết mật độ phổ Sv(ω) ta tìm đ−ợc hμm t−ơng quan Rv(τ)

( ) ( 2)

α ω π σ α ω

+ =

S

t−¬ng øng víi hμm t−¬ng quan

( )τ =σ −ατ

e

R

So s¸nh víi (4.4.24) ta thÊy = c π

α σ

, từ

α π

σ2 = c

, ta nhận đợc hm tơng quan nghiệm phơng trình (4.4.19) dới dạng

( )

α π

τ = −

e c

Rv (4.4.25) Trong mục 2.9 ta chứng tỏ rằng, q trình ngẫu nhiên có hμm t−ơng quan dạng (4.4.25) lμ khơng khả vi Cho nên cần lμm xác ý nghĩa ph−ơng trình (4.4.19) Tính khơng khả vi trìnhV(t) lμ hệ việc ta nhận F(t) lμ "ồn trắng" có mật độ phổ khơng đổi

Trong tr−ờng hợp nμy, cách giải xác lμ xét nghiệm ph−ơng trình (4.4.19) nh− giới hạn dãy nghiệm nμo ph−ơng trình nμy với vế phải dừng mμ mật độ phổ chúng tiến đến số

2 Ta xÐt nghiệm dừng phơng trình vi phân

( ) ( ) k y( ) ( )t F t

dt t dy dt

t y d

= +

+

2

2α (4.4.26) Ph−ơng trình dạng (4.4.26) mơ tả nhiều q trình dao động vật lý Đặc biệt, ph−ơng trình (4.4.26) mơ tả chuyển động Brown phần tử Trong tr−ờng hợp nμy y(t) lμ toạ độ phần tử thời điểm t;

dt dy

α

2 lμ ma sát nhớt, gây nên cản trở chuyển động phần tử, α >0; k2

y − lực đμn hồi; F(t) − lực xáo trộn đ−ợc xác định dao động số l−ợng va chạm phân tử

Giả sử rằng, lực F(t) lμ trình ngẫu nhiên dừng có mật độ phổ khơng đổi Sf(ω) =

c Theo (4.4.14), hμm trun cđa ph−¬ng trình (4.4.26) có dạng

( ) ( ) i αiω k k ω iαω

L

2 1 2

1

2 2

2 = − +

+ +

= (4.4.27)

Theo (4.4.16), mật độ phổ trình ngẫu nhiên dừng Y(t), nghiệm ph−ơng trình (4.4.26), đ−ợc xác định d−ới dạng

( ) ( )

( )2

2 2

2

2 2

1

αω ω

αω ω

ω

i k

c c

i k

Sy

+ − = +

−

= (4.4.28)

B»ng c¸ch ký hiƯu

π ασ β

α2 2

2 , 2 k

c

k = + = (4.4.29) cã thĨ viÕt biĨu thøc (4.4.28) d−íi d¹ng

( 2 2)2 2

2 2

4

) (

ω α β

α ω

β α π

α σ ω

+ − −

+ =

y

Mật độ phổ nμy (nh− mục 3.2, ví dụ 5) t−ơng ứng với hμm t−ơng quan

   

 

+

= − βτ

β α βτ σ

τ) ατ cos sin

(

e

Ry (4.4.31)

Tõ (4.4.29), biĨu diƠn β vμ σ qua c¸c hƯ sè phơng trình = k2 2 ,

= 2

2 k c

απ , (4.4.32)

ta viÕt hμm t−¬ng quan (4.4.31) d−íi d¹ng Ry(τ) = 2

k 2

c

α π

   

 

− −

+ −

− α τ

α α τ

α τ

α 2

2 2

2 sin

cos k

k k

e (4.4.33)

Q trình ngẫu nhiên Y(t) có hμm t−ơng quan dạng (4.4.31) lμ khả vi, nhiên khơng tồn đạo hμm bậc hai Vì vậy, cần xét nghiệm ph−ơng trình (4.4.26) theo nghĩa nh− ph−ơng trình (4.4.19)

Chơng 5: Nội ngoại suy v lm trơn hm ngẫu nhiên

5.1 Đặt bi toán

Ta hÃy xét vi bi toán thờng gặp khí tợng thuỷ văn 1 Ngoại suy

Gi sử có thể x(t) q trình ngẫu nhiên X(t) khoảng biến đổi nμo tham số [a,t] xảy tr−ớc thời điểm t Giả thiết đặc tr−ng trình ngẫu nhiên X(t) − kỳ vọng toán học vμ hμm t−ơng quan nó, biết Yêu cầu dự báo giá trị x(t+T) thể nμy thời điểm t+T nμo đó, T>0 Ng−ời ta gọi đại l−ợng T lμ l−ợng ngắm đón

Bμi tốn nμy đ−ợc gọi lμ bμi tốn ngoại suy q trình ngẫu nhiên Do giả thiết thể x(t) đ−ợc xác định xác, khơng có sai số đo, nên bμi tốn nμy đ−ợc gọi lμ bμi toán ngoại suy tuý

2 Lμm tr¬n

Giả sử thể x(t) trình ngẫu nhiên X(t) đ−ợc xác định nhờ kết thực nghiệm, khoảng biến đổi [a,t] tham số t, với sai số y(t) lμ thể trình ngẫu nhiên Y(t), tức lμ thực nghiệm ta nhận đ−ợc thể z(t) = x(t) + y(t), với x(t) lμ giá trị thực thể hiện, y(t) lμ sai số đo Giả thiết biết đặc tr−ng trình ngẫu nhiên X(t) vμ Y(t), nh− kỳ vọng toán học, hμm t−ơng quan vμ hμm t−ơng quan quan hệ Yêu cầu xác định giá trị thực thể x(t) thời điểm t nμo đó, có nghĩa lμ tách khỏi sai số đo

nhiÔu hay ån

Trong khí t−ợng thuỷ văn bμi tốn nμy nảy sinh giống nh− bμi toán loại bỏ sai số đo chỉnh lý số liệu thực nghiệm Khi có khác bμi toán lμm trơn số liệu thực nghiệm vμ bμi toán tách tín hiệu kỹ thuật vơ tuyến Trong kỹ thuật vơ tuyến, vμ nói chung lý thuyết hệ điều khiển tự động, ng−ời ta giả thiết rằng, tín hiệu qua thiết bị đ−ợc sử dụng để lμm trơn tín hiệu thời điểm t nμo có giá trị tín hiệu tr−ớc thời điểm nμy qua, mμ khơng thể tính đến giá trị sau Vấn đề chỗ gọi lμ nguyên lý “nhân quả” mặt vật lý hệ Khi đó, để nhận đ−ợc giá trị x(t) phải tiến hμnh lμm trơn thể z(t) khoảng [a,t] nμo xảy tr−ớc thời điểm nμy

Khi lμm trơn số liệu thực nghiệm cách tiến hμnh tính tốn t, khơng sử dụng thiết bị vật lý, không bị phụ thuộc vμo điều kiện nμy vμ sử dụng tất giá trị thể z(t) có để lμm trơn, tức lμ giá trị cần tìm x(t) thời điểm t đ−ợc xác định cách lμm trơn giá trị thể z(t) toμn đoạn [a,b]

3 Ngoại suy có lm trơn

Bi toỏn ngoại suy gắn liền chặt chẽ với việc lμm trơn, thực tế ta ln ln nhận đ−ợc thể trình ngẫu nhiên mμ ta quan tâm có chứa sai số đo Khi bμi tốn ngoại suy q trình ngẫu nhiên lμ chỗ, với thể có đoạn [a,t]

z(t) = x(t) + y(t)

phải dự báo đợc giá trị thể x(t) thời điểm t+T, T>0 Bi toán ny đợc gọi l bi toán ngoại suy có lm trơn Khi T<0 bi toán gọi lμ néi suy cã lμm tr¬n

Trên thực tế, bμi toán nội suy th−ờng xuất tr−ờng hợp thực nghiệm giá trị thể z(t) trình ngẫu nhiên đ−ợc cho chuỗi giá trị rời rạc đối số t1, t2, , tn khoảng [a,b] nμo đó, vμ yêu cầu xác nh giỏ tr ca

thể x(t) thời điểm khoảng Khi sai số đo y(t), đợc gọi l bi toán nội suy tuý, có sai số đo bi toán nội suy cã lμm tr¬n

Khi nội suy số liệu thực nghiệm cách tiến hμnh tính tốn tuý, ta sử dụng tất giá trị cho thể z(t), tr−ớc vμ sau thời điểm t

Có thể xét bμi toán nội, ngoại suy vμ lμm trơn nh− bμi toán chung xác định giá trị thực thể x(t) giá trị tham số to nμo theo giá trị biết thể

hiÖn

z(t) = x(t) + y(t) khoảng [a,b] nμo ú

Phát biểu toán học bi toán ngoại suy (néi suy) vμ lμm tr¬n nh− sau Cho biÕt thĨ hiƯn

z(t) = x(t) + y(t) (5.1.1) khoảng biến đổi tham số [a,b] nμo đó, x(t) vμ y(t) lμ thể trình ngẫu nhiên X(t) vμ Y(t) có kỳ vọng toán học, hμm t−ơng quan, hμm t−ơng quan quan hệ cho tr−ớc Ta cho rằng, kỳ vọng toán học mx(t) vμ my(t) (Trong tr−ờng hợp

Yêu cầu xác định giá trị x(t0) cuả thể x(t) thời điểm t0 Đối với tr−ờng hợp

ngo¹i suy t0 = b + T, víi T >0

T−¬ng tù, t0 = b cho tr−êng hợp lm trơn

Vỡ ta ang xột hm ngu nhiên nên mμ ta quan tâm lμ tìm ph−ơng pháp giải bμi toán cho nhận đ−ợc kết tốt từ tập hợp tất thể theo nghĩa nμo đó, tức lμ tìm tốn tử cho tác dụng lên tập thể z(t), cho giá trị tốt thể x(t0), theo nghĩa nμo

NÕu ký hiƯu to¸n tử cần tìm l L, ta viết

X(t0) = L{Z(t)} (5.1.2)

hay

X(t0) = L{X(t) + Y(t)} (5.1.3)

Tr−ớc hết cần xác định tiêu chuẩn chất l−ợng nghiệm bμi tốn đặt lμ Trong khn khổ lý thuyết xác suất đánh giá chất l−ợng tốn tử ph−ơng diện thống kê − trung bình theo toμn tập thể hμm ngu nhiờn

Ký hiệu l hiệu giá trị thực X(t0) v giá trị nhận đợc theo công thøc (5.1.2),

δ = X(t0) − L{Z(t)} (5.1.4)

Có thể gọi tốn tử L lμ tốt lμm cho giá trị trung bình hμm đ−ợc chọn nμo hiệu δ trở nên cực tiểu, ví dụ nh− kỳ vọng tốn học modul hiu

Thuận tiện hơn, từ quan điểm toán học, tiêu chuẩn chất lợng l lm cực tiểu kỳ vọng toán học bình phơng hiệu

M[2] = M{[ X(t

0) − L{Z(t)}]2} (5.1.5)

Ta sÏ gäi to¸n tư L lμ tèi −u nÕu nã lμm cho biÓu thøc (5.1.5) trë thμnh cùc tiÓu, v công thức (5.1.2) tơng ứng với l công thức ngoại suy (nội suy) lm trơn tối u

Trên thực tế nay, ta thừa nhận lời giải bμi tốn nêu có giới hạn sau mμ tiếp tục xét sau nμy:

1) Tốn tử L lμ tuyến tính vμ dừng, tức không phụ thuộc vμo đối số t; 2) Các trình ngẫu nhiên X(t) vμ Y(t) lμ dừng vμ liên hệ dừng;

Với giả thiết nêu, bμi toán xét đ−ợc gọi lμ bμi tốn nội, ngoại suy vμ lμm trơn tuyến tính tối −u trình ngẫu nhiên dừng Lần bμi toán nμy đ−ợc A N Komogorov [10] đề xuất vμ giải T− t−ởng đ−ợc phát triển tiếp cơng trình N Viner [32]

Ph−ơng pháp giải bμi toán nêu phụ thuộc vμo khoảng mμ thể z(t) đ−ợc cho lμ vơ hạn hay hữu hạn

Ta xét tr−ờng hợp riêng biệt Trong đó, tr−ờng hợp khoảng hữu hạn, ta xem thể đ−ợc cho số hữu hạn giá trị rời rạc tham số t, điều mμ th−ờng xuyên xảy thực tế đo đạc khí t−ợng thuỷ văn

5.2 Néi, ngoại suy tuyến tính tối u v lm trơn hm ngẫu nhiên cho một số điểm hữu hạn

t1, t2, , tn (t1<t2< <tn)

Nếu xem giá trị nμy lμ kết đo đạc có chứa sai số, ta viết

z(tk) = x(tk) + y(tk), k = 1, 2, , n, (5.2.1)

ở x(tk) l giá trị thực thể thời điểm tk, y(tk) l sai số đo Ta

xem trình ngẫu nhiên X(t) vμ Y(t) lμ dừng vμ liên hệ dừng, đặc tr−ng chúng, nh− kỳ vọng toán học, hμm t−ơng quan vμ hμm t−ơng quan quan hệ, biết

Kh«ng lμm mÊt tÝnh tỉng qu¸t, cã thĨ cho kú väng to¸n häc b»ng chun vỊ xÐt c¸c hμm qui tâm tơng ứng

Có thể viết giá trị cần tìm x(t0), kết việc tác dụng toán tử tuyến tính lên tất

cả giá trị z(tk), dới dạng tổ hợp tuyến tính

( ) ( )

=

= n

k

k kz t

t x

1

0 α (5.2.2)

trong αk lμ hệ số số

Bμi tốn dẫn đến việc tìm giá trị hệ số α1, α2, , αn cho đại l−ợng

( ) ( ) ( )               − =  = 2 , ,

k n

k k n

n α α α M X t α Z t

σ (5.2.3)

nhận giá trị nhỏ

Nh ó bit, điều kiện cần để cực tiểu hμm n biến lμ đạo hμm riêng theo biến phải không

Từ suy α1, α2, , αn phải lμ nghiệm hệ ph−ơng trình

( 1, 2 , ) 0, 1,2, , .

n k

k n

n = =

∂αα α

α

∂σ (5.2.4)

Ta biến đổi biểu thức (5.2.3)

( ) ( ) [ ( ) ( )] =               + − =  = 2

2 , , n

k

k k k n

n α α α M X t α X t Y t

σ ( ) [ ]− { [ ( ) ( )]+ [ ( ) ( )]}+ =  = n k k o k o

k M X t X t M X t Y t

t X M

1

2 2 α ( ) ( ) [ ] [ ( ) ( )] {  = = + + + n k n j j k j k j

k M X t Xt M X t Yt

1 1α α [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]}

=

+ k j

j

k X t M Y t Y t

t Y M ( )− [ ( − )+ ( − )]+ =  = n k k o xy k o x k

x R t t R t t

R

1

2

0 α  [ ( ) ( )

= = + − + − n k n j k j y k j x j

k R t t R t t

1

α α

( j k) yx( j k)]

xy t t R t t

R − + −

+ (5.2.5) Lấy đạo hμm riêng vế phải (5.2.5) theo αk vμ đồng 0, ta nhn c h

phơng trình:

( ) ( )

[ − + − ]+ − Rx to tk Rxy to tk

( ) ( ) ( ) ( )] [ = − + − + − + − + = n j k j yx k j xy k j y k j x

j R t t R t t R t t R t t

. , , 2 ,

1 n

k=

Đổi dấu, cuối ta nhận đ−ợc hệ để xác định hệ số αk

(o − k)+ xy(o − k)−

x t t R t t

R

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

1

= − +

− +

− +

− −

= n

j

k j yx k j xy k j y k j x

j R t t R t t R t t R t t

α , (5.2.7)

. , , 2 ,

1 n

k=

Điều kiện (5.2.7) lμ điều kiện cần để hμm σn2(α1,α2, ,αn) đạt cực trị Có thể chứng minh với giá trị α1, α2, ,αn lμ nghiệm hệ (5.2.7), hμm (5.2.3) thật đạt giá

trị nhỏ nhất, có nghĩa lμ điều kiện (5.2.7) lμ điều kiện đủ

Nh− vậy, nguyên tắc bμi toán nội, ngoại suy tuyến tính lμm trơn tr−ờng hợp xét đ−ợc đ−a việc giải hệ ph−ơng trình (5.2.7) để tìm giá trị α1,

α2, ,αn vμ đặt vμo cơng thức (5.2.2)

Để tính đ−ợc sai số bình ph−ơng trung bình σn2(α1,α2, ,αn) phép nội, ngoại suy tối −u hay lμm trơn, tìm đ−ợc giá trị α1, α2, , αn, ta nhân hạng tử

(5.2.7) víi αk vμ cộng kết lại, ta đợc

[ + − + − + − ]=



= = n

k n

j

k j yx k j xy k j y k j x j

k R t t R t t R t t R t t

1

) ( ) ( ) ( ) (

α α

( ) ( )

[ ]



=

− +

− = n

k

k xy k x

k R t t R t t

1 0

(5.2.8) Thế vo (5.2.5) ta nhận đợc

( ) ( )  [ ( ) ( )]

=

− +

− −

= n

k

k o xy k o x k x

n

n R R t t R t t

1

1

2 α ,α ,α 0 α

σ (5.2.9)

Khi số giá trị quan trắc thể z(t) lớn, tức lμ số điểm n lớn, bμi toán dẫn đến việc giải hệ (5.2.7) với số ph−ơng trình lớn, điều trở nên khó khăn chí sử dụng máy tính điện tử Trong tr−ờng hợp nμy, thông th−ờng để thuận tiện hơn, cách gần xem thể z(t) đ−ợc cho giá trị đối số t xảy tr−ớc thời điểm t0 vμ sử dụng ph−ơng pháp đ−ợc trình bμy mục 5.3

Ta xét tr−ờng hợp riêng bμi toán tổng quát nêu Khơng có sai số đo Nội ngoại suy tuý

Trong trờng hợp riêng, z(tk) = x(tk) l giá trị xác thể x(t)

đ−ợc xác định không chứa sai số, tức lμ y(tk) ≡ 0, vμ 0

) ( )

(τ ≡ xy τ ≡

y R

R (5.2.10) hệ (5.2.7) đợc viết dới d¹ng

n k

t t R t

t

R x j k

n

j j k

x( ) ( ) 0, 1,2,

1

0− − − = =

= α

(5.2.11)

), (

) 0 ( ) , ,

( 0

1

1

k x n

k k x

n

n =R − R t −t

=

α α

α α

σ (5.2.12)

C«ng thøc ny nhận đợc từ (5.2.9) cho Rxy()

Sư dơng (5.2.8) vμ ®iỊu kiƯn (5.2.10), ta cã thể nhận đợc biểu thức sai số bình phơng trung bình dới dạng khác

) (

) ( ) , , (

1

1

k j x n

k

j n

j k x

n

n =R − R t −t

= =

α α α

α α

σ (5.2.13)

Vì hμm t−ơng quan Rx(τ) lμ xác định d−ơng, nên dng ton phng biu thc

(5.2.13) không âm

0 ) (

1

≥ −



= =

k j x n

k

j n

j

kα R t t

α (5.2.14) Do đó, sai số bình ph−ơng trung bình phép ngoại suy tối −u không v−ợt ph−ơng sai hμm ngẫu nhiên X(t)

Để lμm th−ớc đo sai số nội, ngoại suy, thuận tiện lμ sử dụng đại l−ợng vô thứ nguyên εn, tỷ số sai số trung bình bình ph−ơng

2

n

σ vμ ph−¬ng sai cđa hμm ngÉu nhiªn Dx = Rx(0),

), (

1 0

1

k x n

k k x

n

n r t t

D = − −

= 

= α

σ

ε (5.2.15) rx(τ) lμ hμm t−ơng quan chuẩn hố hμm ngu nhiờn X(t) Cỏc h s k nhn

đợc theo phơng pháp nội, ngoại suy tối u l trọng số m giá trị x(tk) tổng

(5.2.2) đ−ợc tính đến theo chúng

Các trọng số nμy phụ thuộc vμo mức độ quan hệ giá trị x(tk) với vμ

mức độ quan hệ chúng với giá trị đ−ợc xấp xỉ x(t0)

Ta xét vi trờng hợp giới hạn

a) Giả sử lát cắt X(t0) trình ngẫu nhiên, thực tế, không liên hệ với

lát cắt thời điểm tk, tức l cã thÓ xem . 0 ) (0 − k =

x t t

R (5.2.16) Khi ngoại suy, điều xảy tr−ờng hợp l−ợng ngắm đón T đ−ợc chọn lớn đến mức cho lát cắt trình ngẫu nhiên thời im t0=tn+T khụng liờn h

với lát cắt thời điểm tk Trong trờng hợp ny hệ (5.2.11) đợc viết dới

dạng

, , , ) (

0

n k

t t R j k n

j x

j − = =



= α

(5.2.17)

Vì định thức hệ nμy khác 0, nên có nghiệm lμ α1=α2= =αn=0, tức tr−ờng hợp nμy ph−ơng pháp ngoại suy tối −u cho giá trị

kỳ vọng toán học hμm ngẫu nhiên mx=0 Khi đó, theo (5.2.13), sai số bình phng

trung bình phép ngoại suy n2 phơng sai hm ngẫu nhiên

b) Giả sử lát cắt hm ngẫu nhiên thời điểm tk vμ tj kh«ng quan hƯ víi

Khi nội suy, trờng hợp ny tơng ứng với trờng hợp lát cắt liền kề X(tk1) v X(tk) trình ngẫu nhiên hiệu tktk1 lớn, thực tế không

quan h vi nhau, nh−ng có quan hệ với giá trị nội suy X(t0), õy tk1<t0<tk Khi ú h

(5.2.11) đợc viết d−íi d¹ng

. , 2 , 1 ), ( ) 0

( R t0 t k n

Rk x k

k = − =

α (5.2.18)

Từ ), ( ) 0 ( ) ( 0 k x x k x

k r t t

R t t R − = − =

α (5.2.19) tøc lμ trọng số k hệ số tơng quan lát cắt hm ngẫu nhiên

tại thời điểm to v tk Trọng số giá trị x(tk) cng lớn x(tk) cng liên hệ chặt chẽ

với giá trị x(to)

2 Cú sai s đo, nh−ng sai số không t−ơng quan với vμ không quan hệ với giá trị thực đại l−ợng đ−ợc đo

Ta xét tr−ờng hợp quan trọng thực tế, sai số đo Y(t) giá trị khác đối số t không t−ơng quan với nhau, tức Ry(τ)≡0 τ≠0, vμ sai số nμy

không t−ơng quan với giá trị thực đại l−ợng đ−ợc đo, tức hμm t−ơng quan quan hệ Rxy(τ) ≡ với τ Trong tr−ờng hợp nμy cơng thức (5.2.5) sai số bình phng

trung bình phép ngoại suy n2 đợc viÕt d−íi d¹ng

+ − − =  = ) ( 2 ) 0 ( ) , , ( 0 2 k x n k k x n

n α α α α R α R t t

σ ) ( ) (

1 

 = = = + − + n k y k k j n k n j x j

kα R t t α R

α (5.2.20) Khi hệ (5.2.7) để xác định hệ số αk có dạng

, ) ( ) ( ) (

0− − − − =

= y k k j n j x j k

x t t R t t R

R k=1,2, ,n (5.2.21)

Nhân hạng tử (5.1.21) với k v cộng kết lại, ta đợc

) ( ) ( ) ( 1

1  

 = = = = + − = − n k k n k n j y k j x j k k n k x

kR t t α α R t t R α

α (5.2.22)

Thế (5.2.22) vμo (5.2.20), ta nhận đ−ợc cơng thức sai số bình ph−ơng trung bình phép nội, ngoại suy tối −u

). ( ) 0 ( ) , , ( 0 2 k n k x k x n

n =R − R t −t

=

α α

α α

σ (5.2.23)

hay ) ( ) ( ) ( ) , , ( 1

2  

= = = − − − = n k k y k j n k x n j j k x n

n α α α R α α R t t R α

σ (5.2.24)

Công thức (5.2.23) trùng với dạng công thức (5.2.12) cho tr−ờng hợp khơng có sai số đo Nó khơng rõ ảnh h−ởng sai số đo đến đại l−ợng sai số σn2, nhiên ảnh h−ởng nμy lμ có, hệ số αk xác định từ hệ (5.2.21) phụ thuộc vμo ph−ơng sai sai

Trong công thức (5.2.24) ảnh h−ởng sai số đo đ−ợc thể qua ảnh h−ởng đến hệ số αk nh− biểu cách trực tiếp qua hạng tử cuối

Có thể chứng minh rằng, sai số bình ph−ơng trung bình phép ngoại suy σn2 tăng lên ph−ơng sai sai số Dy tăng, trọng số αk thay đổi cho tổng bình

ph−ơng chúng giảm, tức lμ sai số đo lμm giảm độ xác phép nội, ngoại suy tối −u

Tuy nhiên nội, ngoại suy tối −u có lμm trơn, tức lμ xác định trọng số αk

có tính đến sai số đo theo cơng thức (5.2.21), đại l−ợng sai số σn2 nhận đ−ợc bé so với ta tiến hμnh nội ngoại suy t theo cơng thức (5.2.11) vμ bỏ qua việc tính đến sai số đo

5.3 Ngo¹i suy tuyÕn tÝnh tối u v lm trơn trình ngẫu nhiên cho trên khoảng vô hạn

Gi s cỏc giá trị thể z(t) trình ngẫu nhiên X(t), đ−ợc xác định với sai số ngẫu nhiên y(t) lμ thể trình ngẫu nhiên Y(t), đ−ợc biết tr−ớc khoảng vô hạn xảy tr−ớc giá trị cho đối số, tức lμ thể z(t) = x(t) + y(t) cho tr−ớc khoảng (−∞, t)

Trên thực tế điều nμy có nghĩa lμ thể z(t) đ−ợc cho khoảng biến đổi đủ lớn đối số, lớn khoảng mμ mối liên hệ t−ơng quan lát cắt trình ngẫu nhiên hoμn toμn li tt

Giống nh trớc đây, ta xem trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t) l dừng v liên hệ dừng có kỳ vọng toán học 0, v cho trớc hm tơng quan Rx(), Ry(),

hμm t−¬ng quan quan hƯ Rxy(τ), Ryx(τ)

u cầu xác định giá trị x(t+T) cho kỳ vọng toỏn hc ca bỡnh phng hiu

giữa giá trị thực v giá trị dự báo trở nên cùc tiĨu

T−ơng ứng với điều trình bμy mục 4.2, biểu diễn giá trị cần tìm x(t+T) lμ kết tác dụng tốn tử tuyến tính lên hμm z(t) (5.1.2), d−ới dạng

( + )=∞ ( ) ( − ) =∞ ( ) ([ − ) (+ − )]

0

τ τ τ

τ τ

τ

τ z t d g x t yt d g

T t

x (5.3.1)

Bμi toán dẫn đến việc lựa chọn hμm trọng l−ợng g(t) đại l−ợng

( ) ( ) ( )

    

  

   

 

− −

+

= ∞

2

0

2 τ τ τ

σ M X t T g Z t d (5.3.2) đạt cực tiểu

Trong đó, hμm trọng l−ợng phụ thuộc l−ợng ngắm đón T Ta biến đổi (5.3.2)

( )

[ + ]− ( ) [ ( + ) ( − )] +

= ∞

0

2 2 τ τ τ

σ M X t T g M X t T Z t d ( ) ( ) [ ( − ) ( − )] = +∞ ∞

0

2

2

1

1 τ τ τ τ τ

( )− ∞ ( ) ( + ) +∞ ( ) ∞ ( ) ( − )

=

0

2 2

1

2

0 gτ R T τ dτ gτ dτ gτ R τ τ dτ

Rx xz z (5.3.3)

Trong

( )=M[X(t+T) ( )Z t ]=M{X(T + ) ( ) ( )[X t +Y t ]}=

Rxz τ τ

( )τ xy( )τ

x R

R +

= (5.3.4)

( )τ =M[Z(t+τ) ( )Z t ]=

Rz

( ) ( )

[ ][ ( ) ( )]

{ + + + + }=

=M X t τ Y t τ X t Y t

( )τ xy( )τ yx( )τ y( )τ

x R R R

R + + +

= (5.3.5) Ta xác lập điều kiện cần vμ đủ mμ hμm trọng l−ợng g(t) phải thoả mãn σ2 đạt cực tiểu

Giả sử hμm g(t) lμm cho σ2 đạt cực tiểu, (5.3.3) thay cho g(t) lμ

hμm

g1(t) = g(t) + aα(t) (5.3.6)

trong a lμ số thực bất kỳ, α(t) lμ hμm tuỳ ý, đại l−ợng σ2

chØ có thể tăng lên

Do vy, σ2 đ−ợc xét nh− lμ hμm đối số a, đạt cực tiểu a=0, tức đạo

hμm cđa nã theo a ph¶i b»ng a=0 Thay (5.3.6) vo (5.3.3) ta đợc

( )= ( )− ∞[ ( )+ ( )] ( + ) +

0

2 0 2 τ α τ τ τ

σ a Rx g a Rxz T d

( ) ( )

[ ][ ( ) ( )] ( ) 

 ∞

∞

= −

+ +

+

0

2 2

1

0

1 τ α τ τ α τ τ τ τ

τ g a g a R d

d x

( )− [ ( )+ ( )] ( + ) +

= ∞

0

2

0 gτ aα τ R T τ dτ

Rx xz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( )



 ∞

∞

− +

+ +

+

0

2 1 2 1

2

1

1 τ τ α τ τ α τ τ α τ α τ τ τ τ

τ g g a g a g a R d

d z (5.3.7)

Khi lÊy vi ph©n d−íi dÊu tích phân (5.3.7) theo tham số a, ta nhận đợc

( )=− ∞ ( ) ( + ) +∞ ( ) ∞ ( ) ( − ) +

0

1

2

2

2 α τ τ τ α τ τ τ τ τ τ

σ R T d d g R d

da a d

z xz

( ) ( ) ( )

0

2 2

1 

 ∞

∞

= −

+ α τ dτ gτ Rz τ τ dτ (5.3.8) Thay τ1 b»ng τ2, cßn τ2 b»ng τ1 vo tích phân cuối cùng, tính chẵn hm t−¬ng

quan nên đẳng thức (5.3.8) đ−ợc viết d−ới dạng

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

0

1

2

0  

 ∞ ∞

∞

= −

+ +

( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 =       − − +   ∞ ∞ dt d t R g T

Rxz τ τ z τ τ

τ

α (5.3.10)

Vì đẳng thức (5.3.10) với hμm α(t), nên đẳng thức sau cần thoả mãn

( ) ( ) ( )

0

= −

−

+τ ∞gτ R t τ dτ

T

Rxz z , với t≥0 (5.3.11) Nh− điều kiện (5.3.11) lμ điều kiện cần σ2 đạt cực tiểu Ta chứng minh

rằng điều kiện nμy lμ đủ Muốn ta viết (5.3.7) d−ới dạng +

− −

= ∞ τ τ τ

σ (a) Rx(0) g( )Rxz(T )d

0

2 +

− ∞ ∞

  1

0

2

1) ( ) ( )

(τ g τ R τ τ dτ dτ

g z +       − + + −

+ a∞ t Rxz T ∞g Rz t d dt

0 ) ( ) ( ) ( ) (

2 α τ τ τ τ ( ) ( ) ( 2 1) 1 2

0

2

1

2 α τ α τ τ τ τ τ

d d R

a z −

∞ ∞

(5.3.12)

Theo (5.3.3), ba hạng tử (5.3.12) l giá trị

(0), hạng thứ t điều kiện (5.3.11) đợc thực hiƯn, tÝch ph©n hai líp ci cïng cã thĨ viÕt d−íi d¹ng

, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2           − =    − ∞ ∞ ∞ τ τ τ α τ τ τ τ τ α τ

α R d d a M Z t d

a z (5.3.13)

Từ thấy rằng, vế phải (5.3.13) lμ số khơng âm, ký hiệu A2

Do đó, điều kiện (5.3.11) đ−ợc thực hiện, đẳng thức (5.3.12) đ−ợc viết d−ới dạng

2

2( ) (0)

A

a =σ +

σ (5.3.14) tøc lμ kú väng to¸n häc bình phơng sai số

tăng lên thay hm trọng lợng g(t), thoả mÃn điều kiện (5.3.11), hm khác Do vậy, hm trọng lợng g(t) thoả mÃn điều kiƯn (5.3.11), th× σ2

thực đạt cực tiểu Nh− vậy, bμi tốn tìm hμm trọng l−ợng g(t) m bo

cực tiểu tơng đơng với bi toán tìm hm trọng lợng g(t) l nghiệm phơng trình tích phân (5.3.11) Phơng trình tích phân ny đợc gọi l phơng trình Winer-Hopf, tác giả lần khảo sát phơng trình dạng ny

Hm trọng lợng g(t), nghiệm phơng trình WinerHopf, đợc gọi l hm trọng lợng tối u, công thức (5.3.1) thÕ vμo nã hμm träng l−ỵng tèi −u g(t) gọi l công thức ngoại suy tối u có lμm tr¬n

Khi T =0 ta nhận đ−ợc cơng thức lμm trơn tối −u Ta xác định sai số bình ph−ơng trung bình σ2

cđa phÐp ngoại suy tối u Viết (5.3.3) dới dạng

ì       − − + − = ∞ ∞ 0

2 (0) 2 ( τ) (τ) ( τ) τ

σ Rx Rxz T g Rz t d

1 2

0

1 2

1) ( ) ( )

( )

(t dt g τ g τ R τ τ dτ dτ

g  z

∞ ∞

− −

× (5.3.15)

) ( ) ( ) ( )

( 1 2

0 2

2 τ τ τ τ τ τ

σ Rx g g R d d

∞ ∞

− −

= (5.3.16)

Ta biến đổi tích phân hai lớp (5.3.16), muốn ta ký hiệu mật độ phổ trình ngẫu nhiên Z(t) lμ Sz(ω), hμm t−ơng quan Rz(τ2−τ1) viết d−ới dạng

ω ω τ

τ eωτ τ S d

Rz( 2 1)  i (2 1) z( )

∞ ∞ −

−

=

− (5.3.17)

Khi = −   ∞ ∞ 1 0

1) ( ) ( )

(τ g τ R τ τ dτ dτ

g z = = ∞ ∞ − − ∞ ∞ ) ( 0

1) ( ) ( )

(τ g τ eωτ2 τ1S ω dωdτ dτ

g z i . ) ( ) ( )

( 2 2

0

1

1 τ τ ωτ τ τ ω ω

ωτ d S d g e d g e z i i    ∞ ∞ − ∞ ∞ −            

= (5.3.18)

Theo (4.2.22), tÝch ph©n

) ( ) ( ω τ τ ωτ L d e

g −i =

∞

 (5.3.19) lμ hm truyền tơng ứng với hm trọng lợng g(t), ta sÏ gäi nã lμ hμm trun tèi −u

T−¬ng tù, tÝch ph©n

) ( * ) ( ω τ

τ eωτd L

g i =



∞

(5.3.20)

lμ liên hợp phức hμm truyền tối −u Từ đó, (5.3.18) đ−ợc viết d−ới dạng . ) ( ) ( ) ( ) ( )

(τ1 g τ2 R τ2 τ1 dτ1dτ2 L ω 2S ω dω

g z  z

  ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − =

− (5.3.21)

Thế (5.3.21) vμo (5.3.16) ta nhận đ−ợc công thức sai số bình ph−ơng trung bình phép ngoại suy tối −u

ω ω ω

σ2 Rx(0)  L( )2Sz( )d

∞ ∞ −

−

= = [Sx(ω) L(ω)2Sz(ω)]dω,

∞ ∞ −

− (5.3.22)

trong Sx(ω) lμ mật độ phổ trình ngẫu nhiên X(t) Theo (5.3.5) vμ tính chất

tuyến tính phép biến đổi Fourier, mật độ phổ Sz(ω) đ−ợc biểu diễn qua mật độ

phổ Sx(ω), Sy(ω) trình ngẫu nhiên X(t), Y(t) vμ mật độ phổ quan hệ Sxy(ω)

chóng d−íi d¹ng

) ( ) ( ) ( ) ( )

(ω x ω xy ω yx ω y ω

z S S S S

S = + + + (5.3.23)

T−ơng tự, theo (5.3.4), mật độ phổ quan hệ Sxz đ−ợc biểu diễn d−ới dạng )

( )

(ω xy ω x

xz S S

Đơn giản nhất, ph−ơng trình nμy đ−ợc giải cho tr−ờng hợp thể trình ngẫu nhiên z(t) đ−ợc cho giá trị t, tức lμ cho toμn khoảng vô hạn (−∞, +∞) Nghiệm ph−ơng trình (5.3.11) tr−ờng hợp nμy đ−ợc dẫn mục 5.4

Tr−ờng hợp ngoại suy hay lμm trơn thể z(t) với giá trị đối số t xảy tr−ớc thời điểm t dẫn tới ph−ơng trình (5.3.11) đ−ợc thoả mãn với giá trị không âm đối số, t<0 hμm trọng l−ợng g(t) thiết phải

Ta xét hai ph−ơng pháp giải ph−ơng trình (5.3.11) tr−ờng hợp th−ờng gặp thực tế, hμm t−ơng quan Rx(τ), Ry(τ) vμ hμm t−ơng quan quan hệ Rxy(τ)

có mật độ phổ hữu tỷ

Phơng pháp thứ dựa sở sử dụng lý thuyết hm biến phức đợc trình by mục 5.5 Phơng pháp giải thứ hai (xem 5.6) dựa sở biểu diễn hm tơng quan có phổ hữu tỷ dới dạng tổng số mũ

Trong tr−ờng hợp tổng quát, mμ mật độ phổ lμ hμm hữu tỷ tần số ω, lời giải phức tạp vμ ta không xét

Trên thực tế, ng−ời ta xấp xỉ hμm t−ơng quan nhận đ−ợc theo số liệu thực nghiệm biểu thức giải tích Khi đó, sử dụng chúng vμo mục đích ngoại suy tối −u hay lμm trơn nên chọn biểu thức xấp xỉ hμm có phổ hữu tỷ hμm t−ơng quan đ−ợc xấp xỉ gần với hμm có phổ hữu tỷ, chẳng hạn, biểu diễn chúng d−ới dạng tổng số m

5.4 Lm trơn trình ngẫu nhiên cho khoảng vô hạn (,+)

Khi lm trơn trình ngẫu nhiên m thể đợc cho khoảng (,+), giá trị lm trơn đợc tìm dới dạng

x(t) =

+∞ ∞ −

−τ τ

τ z t d

g( ) ( ) (5.4.1)

Trong tr−ờng hợp nμy, tích phân biểu thức d−ới dấu tích phân (5.3.10) đ−ợc lấy toμn khoảng (−∞,+∞), vμ đó, ph−ơng trình (5.3.11) cần thoả mãn với giá trị đối số t Khi T=0 vμ ph−ơng trình (5.3.11) đ−ợc viết d−ới dạng

) ( )

( )

( R t d R t

g z − = xz



+∞ ∞ −

τ τ

τ (5.4.2) Ta biểu diễn Rz(t−τ) vμ Rxz(t) qua mật độ phổ Sz(ω) vμ mật độ phổ quan hệ Sxz(ω):

) (t−τ

Rz =  +∞

∞ −

−τ ω ω ω

d S

e z

t

i ( ) ( )

(5.4.3)

) (t Rxz = 

+∞ ∞ −

ω ω

ω

d S e xz

t i ( )

(5.4.4)

Thay (5.4.3) vμ (5.4.4) vμo (5.4.2) ta nhận đợc

+

∞ − +∞

∞ −

+∞ ∞ −

− =

   

 

ω ω τ

ω ω

τ eω τ S d d eωS d

Khi thay đổi thứ tự tích phân tích phân hai lớp ta viết lại (5.4.5) d−ới dạng 0 ) ( ) ( ) (  =      −   +∞ ∞ − +∞ ∞ − − τ τ ω ω ω ωτ ω d d g e S S

e xz z i

t i

(5.4.6)

Để ý đến biểu thức (4.2.20) hμm truyền L(ω), ta đ−ợc

[ ( )− ( ) ( )] =0

 +∞ ∞ − ω ω ω ω ω d L S S

e xz z

t i

(5.4.7) Điều chứng tỏ rằng, phép biến đổi Fourier hμm Sxz(ω)−Sz(ω)L(ω) đồng

bằng khơng, đẳng thức sau đ−ợc thoả mãn ) ( ) ( )

(ω S ω Lω

Sxz − z = (5.4.8) Nh− vậy, hμm truyền tối −u L(ω) đ−ợc xác định d−ới dạng

) ( ) ( ) ( ωω ω z xz S S

L = (5.4.9)

Biểu diễn Sxz(ω) vμ Sz(ω) qua mật độ phổ trình ngẫu nhiên X(t), Y(t) vμ

mật độ phổ quan hệ chúng theo (5.3.24) vμ (5.3.23) ta viết (5.4.9) d−ới dạng

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω ω ω ω ω ω y yx xy x xy x S S S S S S L + + + +

= (5.4.10)

Khi biết hμm truyền tối −u L(ω), theo 4.2.20), ta tìm đ−ợc hμm trọng l−ợng tối −u g(t) nh− lμ biến đổi Fourier L(ω) chia cho 2π

g(t) = 

+∞ ∞ − ω ω π ω d L ei t ( )

2 1

(5.4.11)

Đặt hm trọng lợng tối u tìm đợc vo (5.4.1) ta nhận đợc công thức lm tr¬n tèi −u

Trên thực tế th−ờng gặp tr−ờng hợp xem sai số đo khơng t−ơng quan với giá trị thực đại l−ợng đ−ợc đo Trong tr−ờng hợp nμy Rxy(τ)=Ryx(τ)≡0,

Sxy(ω)=Syx(ω)≡0, vμ công thức (5.3.23), (5.3.24) đợc viết dới dạng

Sxy(ω) = Sx(ω) (5.4.12)

Sz(ω) = Sx(ω) + Sy(ω) (5.4.13)

Khi cơng thức (5.4.10) để xác định hμm truyền đ−ợc viết nh− sau

) ( ) ( ) ( ) ( ω ω ω ω y x x S S S L +

= (5.4.14)

Trong tr−êng hỵp nμy, thay (5.4.13) v (5.4.14) vo (5.3.22), ta nhận đợc sai số bình phơng trung bình phép lm trơn tèi −u lμ

 +∞ ∞ − + = ω ω ω ω ω σ d S S S S y x y x ) ( ) ( ) ( ) ( (5.4.15)

5.5 Ngoại suy v lm trơn hm ngẫu nhiên cho khoảng (,t) nhờ sử dụng phơng pháp lý thuyÕt hμm biÕn phøc

Ta biểu diễn hμm t−ơng quan Rxz(t+τ) vμ Rz(t−τ) qua mật độ ph tng ng

đa vo phơng trình (5.3.11)

 +∞ ∞ − + = +τ ω τ ω ω d S e t R xz t i

xz( ) ( )

) ( (5.5.1)  +∞ ∞ − − = −τ ω τ ω ω d S e t R z t i

z( ) ( )

) (

(5.5.2)

Ta biĨu diƠn hμm träng l−ỵng g(τ) qua hμm truyÒn L(ω) g(τ) = 

+∞ ∞ − ω ω π ωτ d L ei ( )

2 1

(5.5.3)

Đặt (5.5.1), (5.5.2), (5.5.3) vo (5.3.11) ta đợc

       ∞ +∞ ∞ − − +∞ ∞ − ) ( ( ) ) ( 2 1 τ ω ω ω ω

π eωτL d eω τ Sz d d

t i i 0 , 0 ) ( ) ( = ≥ −+∞ ∞ −

+ S d khit

eiωt T xz ω ω (5.5.4) Khi thay đổi thứ tự tích phân ta viết (5.5.4) d−ới dạng

−              ∞ ∞ − +∞ ∞ − ∞ − ) ( 1

1 ( ) ( )

2 1 ω τ ω ω

π eω L S e ω ω τd d

i z

t i

} 0, 0

) (

)

( = ≥

−e + S d khit xz

T t

iω ω ω

(5.5.5) Theo tÝnh chÊt cña hμm Delta (4.2.4) ta cã

) ( 1 )

( τ δ ω ω

π τ ω ω = −  ∞ − d

ei (5.5.6)

Khi đó, theo tính chất hμm Delta (4.2.7), tích phân bên (5.5.5) ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 1 1 1

1 ω ω δ ω ω ω ω ω ω

ω z t i z t i S L e d S L

e − =



+∞ ∞ −

(5.5.7)

Nh− vËy, (5.5.5) cã d¹ng

[ ( ) ( )− ( )] =0, ≥0

 +∞ ∞ − t khi d S e S L

eiωt ω z ω iωT xz ω ω (5.5.8) Ta xét vế trái (5.5.8) nh− hμm f(t) nμo

f(t) =  [ ]

+∞ ∞ − − ω ω ω ω ω

ω L S e S d

ei t ( ) z( ) i T xz( ) (5.5.9)

Hμm nμy lμ biến đổi ng−ợc Fourier hμm

Do đó, F(ω) lμ biến đổi Fourier hμm f(t), theo (5.5.8), hμm f(t) nμy đồng không t≥0

Trong lý thuyết biến đổi Fourier, định lý sau đ−ợc chứng minh:

Giả sử f(t) lμ hμm khả tích, đồng khơng khoảng (0,+∞) vμ có biến đổi Fourier

F(ω) = 

∞ ∞ −

− f t dt

e i t ( )

2

1 ω

π

Khi F(ω) lμ giá trị trục thực hμm giải tích biến phức bị chặn F(ζ) nửa mặt phẳng phía trên, với

ζ = ω + iλ

Nếu hμm F(ζ) lμ hμm giải tích biến phức bị chặn nửa mặt phẳng phía biến đổi ng−ợc Fourier giá trị F(ω) trục thực khơng khoảng (0,∞), f(t) =

Nếu thay khoảng (0,∞) khoảng (-∞,0) vμ thay nửa mặt phẳng phía nửa mặt phẳng phía d−ới ta nhận đ−ợc định lý t−ơng tự

Theo định lý nμy hμm (5.5.10) lμ giá trị trục thực hμm giải tích F(ζ) bị chặn nửa mặt phẳng phía

Trong đa số bμi toán ứng dụng, q trình ngẫu nhiên lμ q trình có phổ hữu tỷ, tức mật độ phổ chúng lμ hμm phân thức hữu tỷ tần số ω Hμm phân thức hữu tỷ chẵn biến thực ω biểu diễn d−ới dạng tích hai hμm S1(ω) vμ S2(ω),

trong hμm thứ S1(ω) lμ giá trị trục thực hμm biến phức giải tích, b chn

không có không điểm nửa mặt phẳng phía = + i, S2() l giá trị trục

thực hm biến phức giải tích, bị chặn v không điểm nửa mặt phẳng dới Thực vậy, giả sử

S(ω) = ) (

) (

ω ω

Q P

trong P(ω) vμ Q(ω) lμ đa thức có hệ số thực ω

Ta khai triĨn tư thøc vμ mÉu thøc thμnh nhân tử tuyến tính Ta gộp nhân tử cđa tư thøc vμ mÉu thøc mμ chóng sÏ b»ng không nửa mặt phẳng dới vo hm S1(), v gộp tất nhân tử lại tö thøc vμ mÉu thøc thμnh S2(ω) vμ S(ω) l

hm chẵn, hệ số đa thức P() v Q() l thực nên nhân tử t¹o thμnh S2(ω)

lμ đại l−ợng liên hợp phức nhân tử S1(ω), tức lμ chúng biến thμnh

không nửa mặt phẳng T−ơng ứng với điều ta biểu diễn hμm phổ d−ới dạng Sz(ω) = S1(ω)S2(ω), (5.5.11)

trong S1(ω) khơng có khơng điểm vμ cực điểm nửa mặt phng trờn, S2() khụng cú

không điểm v cực điểm nửa mặt phẳng dới Đặt (5.5.11) vo (5.5.10) F(ω) = L(ω)S1(ω)S2(ω) (ω)

ω

xz T i

S e

− (5.5.12) vμ chia cho S1() ta đợc

) (

) ( )

( ) ( ) (

) (

1

1 ω

ω ω

ω ω

ω ω

S S e S

L S

F = − i T xz

Hμm ) ( ) ( ω ω S F

lμ giải tích vμ bị chặn nửa mặt phẳng phía trên, hμm F(ω) lμ giải tích vμ bị chặn, cịn S1(ω) khơng có khơng điểm vμ cực điểm

Do đó, theo phần hai định lý, biến đổi ng−ợc Fourier hμm nμy không khoảng (0,∞), tức lμ (5.5.13) ta có

0 , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ≥ =       − =   ∞ ∞ − ∞ ∞ − t d e S S e S L d e S

F i t i T xz i t ω

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω (5.5.14)

Từ ta nhận đ−ợc

0 khi , ) ( ) ( ) ( ) ( ( )

2 =  ≥

 ∞ ∞ − + ∞ ∞ − t d e S S d e S

L i t xz i t T ω

ω ω ω

ω

ω ω ω (5.5.15)

Hμm L(ω) giống nh− hμm truyền hệ thực, mμ ta giả thiết ổn định, có nghiệm mẫu thức nửa mặt phẳng trên, khơng có cực điểm nửa mặt phẳng d−ới

Nh− vậy, hμm L(ω)S2(ω) lμ giải tích, bị chặn nửa mặt phẳng d−ới, nhờ định

lý dẫn, biến đổi ng−ợc Fourier khơng

0 khi , 0 ) ( ) ( )

( = ∞ 2 = <

∞ − t d e S L

t ω ω i t ω

ϕ ω

(5.5.16)

Khi lấy biến đổi Fourier hμm ϕ(t) ta nhận đ−ợc L(ω)S2(ω) = 

∞ ∞ −

− dt

e t iωt

ϕ π ( ) 2 1 =   ∞ ∞ − ∞ ∞ −

− L S e d dt

e i t ( 1) 2( 1) i 1t 1

2 1 ω ω ω π ω ω (5.5.17)

Nhng theo công thức (5.5.15), t0 tích phân bên cđa (5.5.17) cã thĨ thay thÕ bëi vÕ ph¶i cña (5.5.15)

2πL(ω)S2(ω) =   ∞ ∞ − + ∞ ∞ −

− e d dt

S S

e i t xz i t T

1 ) ( 1 1 ) ( ) ( ω ω ω ω

ω (5.5.18)

Từ ta nhận đ−ợc cơng thức hμm truyền tối −u

L(ω) =  

∞ ∞ − + ∞ ∞ −

− e d dt

S S e S T t i xz t i ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 ω ωω ω

π ω ω (5.5.19)

Khi biết hμm truyền L(ω) ta tìm đ−ợc hμm trọng l−ợng g(t) nh− lμ biến đổi ng−ợc Fourier L(ω) theo (5.4.12) chia cho 2π

T−ơng ứng với điều trình bμy, để xác định hμm truyền tối −u L(ω) tr−ờng hợp mật độ phổ hữu tỷ cần phải lμm nh− sau

1 Xác định mật độ phổ Sxz(ω) vμ Sz(ω)

2 Biểu diễn Sz(ω) d−ới dạng tích hai hμm Sz(ω) = S1(ω)S2(ω), S1(ω)

kh«ng cã kh«ng điểm v điểm kỳ dị nửa mặt phẳng trên, S2()không có không

im v im k d nửa mặt phẳng d−ới Muốn vậy, mật độ phổ Sz(ω) =

) ( ) ( ω ω Q P

mμ chóng biÕn thμnh không nửa mặt phẳng dới, nhân tử lại gộp vo S2()

3 Xỏc nh hm truyền theo cơng thức (5.5.19) Khi tính theo cơng thức (5.5.19) để thuận tiện ta sử dụng công thức:

NÕu b >0 th×

[ ] 

   

< > −

= +

−

+ − ∞

∞

− 0 0

, )!

1 ( ) (

1 ( )

t khi

t khi e

t n

i

ib a

d

e n ia ibt

n

n t i

ω

ω π

ω

(5.5.20)

NÕu b <0 th×

[ ] 

  

> < −

= +

−

+ − ∞

∞

− 0 0

, )!

1 ( ) (

1 ( )

t khi t khi e

t n

i ib

a d

e n ia ibt

n

n t i

ω

ω π

ω

(5.5.21)

A.M Iaglom [28], chứng minh đ−ợc rằng, nhiều tr−ờng hợp tìm hμm truyền tối −u L(ω) khơng cần tiến hμnh tính theo cơng thức (5.5.19) mμ sử dụng tính chất dừng hμm đ−a vμo đẳng thức (5.5.10)

Trên ta xác định

1 Hμm F(ω) lμ hμm giải tích, bị chặn nửa mặt phẳng trên, Hμm L(ω) khơng có khơng điểm vμ cực điểm nửa mặt phẳng d−ới, Nh− thấy từ công thức (5.3.22), tích phân khơng kỳ dị sau phải hội tụ



∞ ∞ −

ω ω

ω S d

L( )2 z( ) (5.5.22)

Nh− ta sÏ chØ c¸c vÝ dơ, sư dơng ®iỊu kiƯn thø ba nμy cã thĨ tìm đợc hm truyền tối u

Các ví dụ

1 Ta xét trờng hợp ngoại suy tuý khoảng (,t) có thể trình ngẫu nhiên X(t) m hm tơng quan có dạng

Rx(τ) = D

τ α

−

e (5.5.23) Trong trờng hợp ny sai sè ®o vμ theo (5.3.4)

Rz(τ) = Rxz(τ) = Rx(τ)

Mật độ phổ Sx(ω) t−ơng ứng với hμm t−ơng quan (5.5.23), nh− mục

3.2, vÝ dơ 1, cã d¹ng

) (

)

( 2 2

α ω

π α

ω

+

= D

Sx (5.5.24) Do đó,

Sz(ω) = Sxz(ω) =

) (

)

( 2 2

α ω

π α

ω

+

= D

F(ω) = [L(ω)−eiωT]

) (

D

2 2+α

ω π

α

=

π α

D

) )(

( ) (

α ω α ω ω

ω

i i

e L i T

+ −

−

(5.5.26)

Theo điều kiện hμm F(ω) phải giải tích nửa mặt phẳng Nh−ng mẫu thức vế phải (5.5.26) có khơng điểm ω=iα nửa mặt phẳng trên, tử thức vế phải phải có khơng điểm ω=iα, khơng điểm nμy đ−ợc rút gọn với không điểm mẫu thc

Nh vậy, cần thoả mÃn điều kiện

L(iα)−ei(iα)T = 0, (5.5.27) Từ

T

e

L(ω)= −α (5.5.28) Tõ ®iỊu kiƯn vμ suy r»ng hμm L(ω) nãi chung có điểm kỳ dị hữu hạn Thực vậy, hm F() giải tích nửa mặt phẳng trên, v cã nghÜa lμ vÕ ph¶i cđa (5.5.26), tøc lμ c¶ hm L(), phải giải tích nửa mặt phẳng Còn từ điều kiện suy rằng, L() điểm kỳ dị nửa mặt phẳng dới

Để thực điều kiện cần đặt hμm L(ω) đại l−ợng số Khi tích phân không kỳ dị (5.5.22) hội tụ



∞ ∞ −

ω ω

ω S d

L( )2 z( ) = 

∞ ∞ −

ω ω

ω S d

L( )2 z( ) = L(ω)2D (5.5.29) Nh− vËy, cã thÓ lÊy hμm truyÒn tèi −u lμ

L(ω) = e−αT = const (5.5.30) Theo (5.4.12), hμm trọng l−ợng g(t) t−ơng ứng với hμm truyền nμy đ−ợc xác định d−ới dạng

g(t) = 

∞ ∞ −

ω ω

π eω L d

t i ( ) 2

1

= e−αT 

∞ ∞ −

ω

π eωd

t i 2

1

= e−αTδ(t) (5.5.31) Khi đó, theo tính chất hμm Delta (4.2.7), công thức ngoại suy tối −u (5.3.1) đ−ợc viết d−ới dạng

x(t+T) = e−αT 

∞ −

0

) ( ) (t τ δ τ dτ

x = e−αT x(t) (5.5.32)

Từ thấy rằng, tr−ờng hợp ngoại suy t q trình ngẫu nhiên có hμm t−ơng quan dạng (5.5.23), để dự báo tối −u thể thời điểm t+T cần biết giá trị thời điểm t Việc biết giá trị thể tất thời điểm tr−ớc lμm cho dự báo tốt Nếu tăng giá trị l−ợng ngắm đón T đại l−ợng

T

e bị giảm v dần tới không T

Nh vậy, T giá trị ®o¸n tr−íc tèi −u x(t+T) sÏ tiÕn tíi kú väng toán học trình ngẫu nhiên v không

Theo (5.3.22), sai số bình ph−ơng trung bình dự báo σ2 đ−ợc xác định d−ới dạng

σ2 = D ( ) (1 T) x

T

e D d S

e α ω ω −α

∞ ∞ −

− = −

Từ thấy sai số dự báo tăng lên tăng l−ợng ngắm đón T

Khi sử dụng công thức (5.5.19) ta nhận đ−ợc giá trị hμm truyền tối −u Trong tr−ờng hợp nμy, phân tích mật độ phổ Sz(ω) = Sx(ω) thμnh nhân tử

tuyÕn tÝnh ta ®−ỵc

Sz(ω) =

) )( ( 1 α ω α ω π α i i D +

− (5.5.34) Nh©n tư cđa mÉu thøc ω+iα có nghiệm =i nằm nửa mặt phẳng phía dới, nhân tử i có nghiệm =i nằm nửa mặt phẳng phía Vì vậy, ta lấy hm S1()

lμ

S1(ω) =

) (

1

α

ω+i , (5.5.35)

vμ lÊy S2(ω) lμ

S2(ω) =

) (ω α π α i D

− (5.5.36) Thay hμm S1(ω) vμ S2(ω) chọn vμo (5.5.19) ta nhận đ−ợc

L(ω) =  

∞ ∞ ∞ − + − − − ) ( 1

2 e i e d dt

i i t i t T ω

α ω π α

ω ω ω (5.5.37)

Theo (5.5.20), ta cã

   < + > + = − + − ∞ ∞ − +

 0 khikhi 00

2

1 ( )

1 ) ( 1 T t T t ie d e i T t T t i α ω ω α ω

π (5.5.38)

Từ

L(ω) = (α+iω)e−αT 

∞ + − ) ( dt

e α iω t = e−αT (5.5.39)

2 Ta xét trờng hợp ngoại suy tuý thể x(t) cho khoảng (,t), trình ngẫu nhiên X(t) có hm tơng quan

Rx(τ) = D βτ

τ α cos

−

e (5.5.40) Hμm t−ơng quan nμy, nh− mục 3.2, ví dụ 3, t−ơng ứng với mật độ phổ

Sx(ω) = 2 2 2 2 2 2

2 2 ) (ω α β α ω ω β α π α + − − + + D = = [ ( )][ ( )][ ( )][ ( )] 2 α β ω α β ω α β ω α β ω α β ω

πα i i i i

D − − − + + − + + + + (5.5.41) Công thức (5.5.10) đợc viết lại d−íi d¹ng

F(ω)= [ ]

[ ( )][ ( )][ ( )][ ( )]

) (

)

( 2

α β ω α β ω α β ω α β ω ω β α ω π α ω i i i i e L

D i T

giá trị nμy ω hμm L(ω)−eiωTcần phải khơng Từ ta đ−ợc

L(β+iα) = ei(β+iα)T =e−(α−iβ)T, (5.5.43) L(−β+iα) = ei(−β+iα)T =e−(α+iβ)T (5.5.44) Hμm F(ω) có khơng điểm ±i α2 +β2 , điểm i α2 +β2 nằm nửa mặt phẳng trên, hμm L(ω) có cực điểm đơn ω=i α2 +β2 , có nghĩa lμ hμm L(ω)(ω−i α2 +β2 ) cần phải nguyên, tức lμ khơng thể có điểm kỳ dị hữu hạn

Để thực điều kiện cần phải cho hμm nμy lμ hμm tuyến tính, tức đặt

L(ω)(ω−i α2 +β2 ) = Aω + B (5.5.45) Từ

L(ω) =

2 β

α ω

ω

+ −

+

i B A

(5.5.46)

Khi sử dụng điều kiện (5.5.43) vμ (5.5.44) ta nhận đ−ợc hệ để xác định hệ số A vμ B:

( )

[ i ]e A( i ) B

e−αT β+ α− α2 +β2 iβT = β+ α +

( )

[ i ]e A( i ) B

e−αT −β+ α − α2 +β2 −iβT = −β + α + (5.5.47) Khi giải hệ ny ta đợc:

A = (cosT + β

β α2 +

sinβT)e−αT, (5.5.48) B = i α2 +β2 (

β α β α2 + −

sinβT - cosβT) e−αT (5.5.49) Khi tìm đ−ợc giá trị A vμ B, hợp lý ta biểu diễn hμm truyền tối −u (5.5.46) d−ới dạng

L(ω) = A

2

2

β α ω

β α

+ +

− + −

i

iB A

= (cosβT +

β α β α2+ −

sinβT) e−αT−

β

β α α β α β α ω

2 2

2 2

2 + − +

+ + −

i

sinβT.e−αT (5.5.50) Theo (5.4.12) ta tìm đợc hm trọng lợng tèi −u

g(t) = (cosβT +

ββ α α2 + −

sinβT) e−αT  −

∞ ∞ −

ω

π eωd

t i 2

1



∞ ∞ − −

+ + +

− + −

2 2

2

2

2 1 . sin ) (

2

β α ω

ω π

β

βα α β

β

α α ω

i d e

e

T T i t (5.5.51)

) ( 2 1 t d

ei t ω δ

π  ω =

∞ ∞ −

(5.5.52)

TÝch ph©n h¹ng thø hai cđa (5.5.51) b»ng



∞ ∞

− + +

2 1 β α ω ω

π ω i

d

ei t = 

∞ ∞

− − +

2 ω α β

ω

π ω i

d e

i i t

=

= e khi t

khi t t − + ≥ <    

α β2

0

0 0 (5.5.53) Khi thÕ (5.5.52) vμ (5.5.53) vo (5.5.51) ta nhận đợc hm trọng lợng tối u víi t≥0

g(t) = (cosβT +

β α β α2 + −

sinβT) e−αTδ(t) − t T

e e

T 2 sin

) (

2 2 2

β α α β βα α β β α + − + − − +

− (5.5.54)

Khi đó, t−ơng ứng với (5.3.1), cơng thức ngoại suy tối −u đ−ợc viết d−ới dạng x(t+T) = (cosβT +

β α β α2+ −

sinβT) e−αTx(t) −

 ∞ + − − − + − + − 2 2 2 ) ( . sin ) ( 2 τ τ β βα α β β

α Te αT x t e α β τd

(5.5.55)

Công thức (5.5.55) chứng tỏ rằng, giá trị dự báo x(t+T) không phụ thuộc vμo giá trị cuối thể x(t) biết, mμ phụ thuộc vμo giá trị tất trị số cho tr−ớc đối số theo tiến hμnh lấy tích phân

Theo (5.3.22), sai số bình ph−ơng trung bình tr−ờng hợp xét đ−ợc xác định d−ới dạng σ2 =                 + − − − − 2

2 cos sin

1

2 e T T

D T β

ββ α α

β

α (5.5.56)

3 Ta xét trờng hợp ngoại suy tuý, m trình ngẫu nhiên X(t) cã hμm t−¬ng quan

Rx(τ) = D 

     + − βτ β α βτ τ

α cos sin

e (5.5.57)

T−ơng ứng với hμm t−ơng quan nμy lμ hμm mật độ phổ Sx(ω) =

( 2 2)2 2

2 ω α β α ω β α πα + − + + D (5.5.58)

Trong trờng hợp ny công thức (5.5.10) đợc viết dới dạng

F() = [ ]

[ ( )][ ( )][ ( )][ ( )]

) (

) (

2 2

α β ω α β ω α β ω α β ω ω α β πα ω i i i i e L

D i T

TiÕn hμnh lËp luËn nh− vÝ dụ ta nhận đợc hm truyền tối u dới d¹ng T T e T i e T T

L α α

β β ω β β α β ω − + −       +

= cos sin sin

)

( (5.5.60)

Theo (5.4.12) ta tìm đợc hm träng l−ỵng tèi −u g(t) = (cosβT + α

β sinβT)  

∞ ∞ − − ∞ ∞ − − + ω ω π β β ω π ω α ω

α e d Te i e d

e i t

T t i T 2 1 . sin 2 1 (5.5.61) TÝch ph©n  ∞ ∞ − ω ω π ω d e i i t

2 1

= δ’(t) (5.5.62) lμ đạo hμm hμm Delta Từ ta viết hμm trọng l−ợng tối −u d−ới dạng

g(t) = (cosβT +

β

α sinβT) sin ( )

)

(t Te t e T T δ β β δ α α + − ′

− (5.5.63)

Khi thay hm trọng lợng tìm đợc vo (5.3.1) ta nhận đợc công thức ngoại suy tối −u

x(t+T) = (cosβT +

β

α sinβT) sin ( )

)

(t Te x t x

e

T

T + − ′

−

β β α

α (5.5.64)

V× ) ( ) ( ) ( t x d t

x − ′ = ′



∞

τ τ δ

τ (5.5.65) Từ công thức (5.5.64) thấy giá trị ngoại suy x(t+T) phụ thuộc vμo giá trị thể x(t) thời điểm t nh− phụ thuộc vμo đạo hμm x’(t) thời điểm nμy

Sai số bình ph−ơng trung bình phép ngoại suy tr−ờng hợp vừa xét đ−ợc xác định d−ới dạng

σ2 = D               + − − 2 cos sin

1 e T T βT

β α β α

(5.5.66)

4 Xét trờng hợp ngoại suy có lm trơn cho thể z(t)=x(t)+y(t) khoảng (,t) với y(t) l sai số đo

Ta xem trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t) không tơng quan lẫn v có hm tơng quan

Rx() =

τ α1

1

−

e

D (5.5.67) Ry(τ) =

τ α2

2e−

D (5.5.68) Các mật độ phổ t−ơng ứng với chúng đ−ợc mô tả công thức

Sx(ω) =

( )

1 2

1 21

Sy(ω) =

( )

2 2 2 2 α ω α ω π α + = + c D (5.5.70)

T−ơng ứng với (5.3.23) vμ (5.3.24) ta tìm đ−ợc mật độ phổ Sz(ω) vμ mật độ phổ quan

hÖ Sxz(ω):

Sxz(ω) = Sx(ω) (5.5.71)

Sz(ω) =Sx(ω) + Sy(ω) = ( )

( )( 2)

2 2 2 α ω α ω +ω β+ + c (5.5.72)

c3 =

π

1

(D1α1 + D2α2), 1 2

2 1 2

2 αα

α α α α β D D D D + +

= (5.5.73)

Công thức (5.5.10) đợc viết d−íi d¹ng F(ω) =

) )( )( )( ( ) )( ( ) ( ) ( 2 1 2 2 α ω α ω α ω α ω ω β ω α ω α ω ω i i i i i i c e c

L i T

− + − + − + − + (5.5.74)

MÉu thøc vế phải (5.5.74) có không điểm nửa mặt phẳng =i1 v =i2

Vỡ hm F() l giải tích nửa mặt phẳng trên, nên tử thức phải có khơng điểm điểm nμy để chúng đ−ợc rút gọn với khơng điểm mẫu thức

Do đó, cần thoả mãn đẳng thức

) ( ) )( ( 2 2

3 α β −α = −α1 α −α

T e c i L c , 0 ) )( ( 2

2 β −α =

α

i

L (5.5.75) Từ ta đ−ợc

T e c c i L 2 2 1) ( α α β α α α − − −

= (5.5.76)

L(iα2) = 0, β≠α2 (5.5.77)

Hμm L() giải tích nửa mặt phẳng dới, nửa mặt phẳng có cực điểm m chúng l cực điểm hμm F(ω), tøc lμ víi chóng hμm L(ω)(ω2

+β2

) khơng thể có cực điểm Điểm ω=iβ lμ điểm nh− vậy, tức L(ω) có cực điểm ω=iβ, hμm L(ω)(ω−iβ) lμ nguyên Để thoả mãn điều kiện ta giả thiết lμ hμm tuyến tính

L(ω)(ω−iβ) = Aω + B, (5.5.78) từ

L(ω) =

β ω ω i B A − + (5.5.79) Thay (5.5.76) vμ (5.5.77) vμo (5.5.78) ta xác định đ−ợc hệ số A vμ B từ hệ ph−ơng trình

Aiα2 + B =

A = e T c c 1 α β α α α − + + ,

B = e T

c c i 1

2 αα αβ α

α −

+ +

− (5.5.81)

Thay (5.5.81) vo (5.5.79) ta nhận đợc hμm truyÒn tèi −u

L(ω) = e T

i i c

c 2 1

1 α ω β ω α β α α α − + + + + (5.5.82)

Theo (5.4.12) ta tìm đợc hm trọng lợng tối −u d−íi d¹ng

g(t) = =

+ + + + ∞ ∞ − − ω ω β ω α π β α α α α ω d i i e e c

c T i t

1 2 1

[ t]

T

e t

e c

c α β

β α δ β α α α − + − − + +

= ( ) ( 2 )

1

1 (5.5.83)

C«ng thức ngoại suy tối u có lm trơn có d¹ng

x(t+T) = 

     − − + + + +  ∞ − − 2 2 1

1 ( ) (α β) ( τ) τ β α α α α α α β α d t x e t x e D D

D T t

(5.5.84)

Sai số bình ph−ơng trung bình phép ngoại suy có lμm trơn tr−ờng hợp đ−ợc xác định nh− sau:

      + + + −

= − T

e D D D D 2 1 2 1 1 ) )( ( ) ( α β α α α α α α

σ (5.5.85)

5.6 Ngo¹i suy v lm trơn trình ngẫu nhiên biểu diễn hm tơng quan dới dạng tổng hm mũ

Đối với trình ngẫu nhiên mμ hμm tự t−ơng quan vμ hμm t−ơng quan quan hệ chúng biểu diễn d−ới dạng tổng hμm mũ ph−ơng pháp giải ph−ơng trình Viner−Hopf [17] khơng địi hỏi phải sử dụng lý thuyết hμm biến phức

Các hμm ngẫu nhiên, mμ hμm t−ơng quan chúng đ−ợc biểu diễn d−ới dạng tổng hμm mũ, lμ hμm có mật độ phổ hữu tỷ

Thùc vËy, nÕu

Rx(τ) =  − k

k

k

e

D α τ , (5.6.1) mật độ phổ có dạng

Sx(ω) =    

+ = = ∞ − ∞ k k k k k k x D d e D d R k 2 0 cos cos ) ( α ω α π τ ωτ π τ ωτ τ

π ατ (5.6.2)

Có thể rằng, hμm t−ơng quan đ−ợc xấp xỉ, với độ xác tuỳ ý, chuỗi mμ thμnh phần lμ hμm mũ

Cụ thể, hm tơng quan đợc biểu diễn qua hm mũ l tổng có dạng R() = −

k k

k

e

D α τ cosβkτ =  [ ] − − + − + k i i

k k k k k

e e

D (α β )τ (α β )τ

Gi¶ sư tÊt c¶ hm tơng quan đa vo phơng trình Viner-Hopf đợc biểu diễn dới dạng tổng hm mũ:

− = i i x i e S

R (τ) α τ , (5.6.4)

 − = i i y i e N

R (τ) β τ ; (5.6.5)

     < > =   − 0 , 0 , ) ( τ τ τ γτ τ δ i i i i xy i i e G e H

R (5.6.6)

     < > =   − 0 , 0 , ) ( τ τ τ δτ τ γ i i i i yx i i e H e G

R (5.6.7)

Thay (5.6.4)-(5.6.7) vμo c«ng thøc (5.3.4), (5.3.5) ta đợc

+ = i i i i xz i

i Ne

e S

R (τ) ατ βτ , (5.6.8)

    − + − + − + − = i i i i i i i i z i i i

i Ge H e Ne

e S

R (τ) ατ γ τ δ τ βτ (5.6.9)

Trong công thức (5.6.8) ta xét τ≥0, ph−ơng trình Viner-Hopf đ−ợc xét giá trị không âm t

Có thể viết lại công thức (5.6.8) v (5.6.9) hỵp hai tỉng vμo mét 0 , ) ( ≥ = = − τ

τ p τ

k c k xz k e C

R ; (5.6.10)

  = − = − + = m j b j p k c k z j k e B e C R 1 )

( (5.6.11) p v m l số hạng chung tổng kết hợp tơng ứng

Ta tìm hm trọng lợng g(t) dới dạng

), ( ) ( t A e A t g N s t a s

s + δ

=

=

− (5.6.12)

trong δ(t) lμ hμm Delta

Số N vμ hệ số As vμ as đ−ợc xác định từ ph−ơng trình Viner-Hopf (5.3.11) Thay (5.6.10), (5.6.11) vμ (5.6.12) vμo ph−ơng trình (5.3.11) vμ yêu cầu cho thoả mãn đồng giá trị không âm đối số t:

     ∞ = − − = − − = − = + −       +       + =

0 1

1

)

( Ae τ Aδ(τ) C e τ B e τ dτ

e C m j t b j p k t c k N s a s p k T t c k j k s

k =

=     ∞ = − = − − ∞ = − = − − +

0 1 1

+ 1 2 3 4 1 ) ( )

( d A B e d J J J J

e C A m j t b j p k t c k j

k +  = + + +

 ∞ = − − ∞ = − − τδ τ τ τδ τ τ (5.6.13) [ ] [ ]     = = ∞ − + − − + −       + = N s p k t t c a t t c a k

s C e d e d

A

J s k s k

1 ) ( ) (

1 τ τ τ τ τ τ =

=  = = + − − − − −       + − − − − N s p k t a c s k t c s k t c t c a t c s k k s s k k k k s k e a c e a c e e e a c C A 1 ) ( )

( 1

1 = =   = = − −       − − − N s p k t a k s k t c s k k s s k e c a c e a c C A

1 2

2

(5.6.14)

Bằng cách tơng tự tính J2 ta đợc

J2 = = = − −         − − − N s m j t a j s j j t b j s j s s j e b a b B e b a B A

1 2

2

(5.6.15)

Ta tÝnh J3

     = ∞ − − − − = ∞ − −       + = = p k t t c t t c k p k t c

k e d A C e d e d

C A

J k k k

1

) (

1 0

3 δ(τ) τ δ(τ) τ τ δ(τ) τ

τ τ

(5.6.16)

Tích phân thứ hai (5.6.16) khơng δ(t)=0 τ≠0 Trong tích phân thứ nhất, thực phép đổi biến t−τ = z, sở tính chất hμm Delta (4.2.7), ta đ−ợc

     = − = ∞ − = − − = − = = p k t c k p k z c k p k t z c k k k

k t z dz A C e t z dz A C e

e C A J 1

3 δ( ) ( ) (5.6.17)

Bằng cách tính tơng tự với J4, ta đợc

= = m j t b j j e B A J

4 (5.6.18)

Đặt (5.6.14)(5.6.18) vo (5.6.13) ta nhận đợc

= = + p k ) T t ( c ke k

C  

= = − −          − − − N s p

k s k

t a k k s k t c k s c a e c C a c e C A s k

1 2

2 + +             − − −  = − − m

j s j

t a j j j s t b j b a e b B b a e

B j s

1 2

2 +    +  = − p k t c k k e C A

1 

  = − m j t b je j

B (5.6.19)

Đẳng thức (5.6.19) cần phải đ−ợc thoả mãn đồng với giá trị t d−ơng Muốn vậy, điều kiện sau phải đ−ợc thực

1 Các hệ số e−ast vế phải cần phải không Từ   = = − + − m

j s j j j p

k s k

k k b a b B c a c C

1 2 2

= 0, s = 1,2, , N (5.6.20)

Ta nhận đ−ợc hệ N ph−ơng trình để xác định a1, a2, , aN Do đó, tìm

P(z) =  

=

= −

+ −

m

j j

j j p

k k

k k

b z

b B c

z c C

1 2 2

(5.6.21)

Trong lấy nghiệm có phần thực d−ơng Trong tr−ờng hợp tổng quát số nghiệm nh− lμ m+p−1, N cơng thức (5.6.12) lấy m+p−1

2 C¸c hƯ sè bjt

e vế phải cần phải không, hệ số eckt vế

phải ph¶i b»ng Ck T ck

e− Từ đó, sau xác định as theo công thức (5.6.21) ta nhận đ−ợc

hệ ph−ơng trình để xác định A1, A2, ,Am+p-1

       =

= + −

= = + −

− =

=

 

p k

e A c a

A

m j

A b a

A

T c N

s s k s N

s s j s

k , 1,2, ,

, , , ,

1

(5.6.22)

Tất điều trình bμy dùng đ−ợc mμ hμm P(z) khơng có nghiệm bội Trong tr−ờng hợp có nghiệm bội, cần phải biến đổi biểu thức (5.6.12), tr−ờng hợp ng−ợc lại hệ (5.6.22) khơng t−ơng thích Chẳng hạn, al lμ nghiệm bội hai

hμm (5.6.21), tøc l al=al+1, hai thnh phần tơng ứng với biĨu thøc (5.6.12)

cÇn thay b»ng (Alτ+Al+1τ) lτ a

e−

Khi ph−ơng trình thứ l (5.6.20) đ−ợc viết d−ới dạng

( ) ( 2)2 0

1 2

= − +

− 



= =

m

j l j

j j p

k l k

k k

b a

b B c

a c C

, (5.6.23)

cịn ph−ơng trình cịn lại đ−ợc giữ ngun khơng thay đổi Khi đó, thμnh phần tổng có hệ số Al ph−ơng trình (5.6.22) đ−ợc viết d−ới dạng

( )2

k l

l

c a

A

− hay ( )2

j l

l

b a

A

− Ph−ơng pháp xét bao gồm nh− sau:

1) Các hm tơng quan đợc xấp xỉ công thøc (5.6.10) vμ (5.6.11),

2) Thμnh lËp hμm P(z) theo công thức (5.6.21) v tìm nghiệm có phần thực dơng as nó,

3) Lập hệ phơng trình (5.6.22), giải nó, ta nhận đợc hệ số As v A,

4) Tìm hm trọng lợng g(t) theo công thức (5.6.12), 5) Theo công thức (5.3.1) tìm giá trÞ ch−a biÕt x(t+T)

Ph−ơng sai sai số phép xấp xỉ, đó, đ−ợc xác định theo cơng thức (5.3.3) mμ sau thay (5.6.10), (5.6.11), (5.6.12) vμ thực việc tính tích phân đ−ợc viết d−ới dạng

σ2 = R

x(0)   

= − = =

− − +

− p

k

T c k N

s p

k

T c k s

k s

k

k A C e

e c a

C A

1 1

(5.6.24)

C¸c vÝ dơ

Rx(τ) = D

τ α

−

e (5.6.25) Trong tr−êng hỵp nμy, theo (5.3.4) vμ (5.3.5),

Rxz(τ) = Rz(τ) = Rx(τ) = D

τ α

−

e (5.6.26) Khi ph−ơng trình Viner−Hopf đ−ợc viết d−ới dạng

Rx(t+T) = ( ) ( ) ,

0

≥ −



∞

t d

t R

g τ x τ τ (5.6.27) Theo (5.6.12), hμm träng lợng g(t) đợc tìm dới dạng

g(t) = ( )

1

t A e A

N

s

t a s

s + δ



=

− (5.6.28)

Vì tổng đẳng thức (5.6.10) vμ (5.6.11) có hạng tử, tức lμ p = 1, m = 0, nên hμm (5.6.21), mμ có số nghiệm khơng lớn p+m−1, khơng có nghiệm, tức N=0 Khi hμm trọng l−ợng đ−ợc viết d−ới dạng

g(t) = Aδ(t) (5.6.29) Từ đằng thức (5.6.22) ta đ−ợc

A = e−αT (5.6.30) Từ hμm trọng l−ợng tối −u có dạng

g(t) = e−αTδ(t) (5.6.31) Khi ph−ơng sai sai số dự báo, theo (5.6.24), đ−ợc xác định d−ới dạng

σ2

= Rx(0)− T

e−α De−αT= D(1−e−2αT) (5.6.32) Ta nhận đợc kết nh ví dụ mơc 5.5

2 Xét tr−ờng hợp ngắm đón t q trình ngẫu nhiên X(t) có hμm t−ơng quan

Rx(τ) = D τ α −

e cosβτ (5.6.33) Ta viÕt Rx(τ) d−íi d¹ng

Rx(τ) = [ −α−β τ + −α+βτ]

) i ( ) i

( e

e 2 D

(5.6.34) Trong tr−êng hỵp nμy

Rxz(τ) = Rz(τ) = [ −α−βτ + −α+βτ]

) i ( ) i

( e

e 2 D

(5.6.35) lμ tổng hai hạng tử, tức p=2, m=0 Khi N=p+m−1=1, cịn hμm trọng l−ợng có dạng

g(t) = ( )

1e A t

A −at + (5.6.36) Hm (5.6.21) đợc viết dới dạng

P(z) =

( ) ( ) 

 

 

+ −

+ +

− −

−

2

2

2 α β

β α β

α β α

π z i

i i

z

i D

=

= 

  

 

+ + − −

+ −

2 2 2 2

2 2

) (

) (

2

) (

β α β

α α β

α

z z

z

Hμm nμy cã nghiƯm d−¬ng nhÊt z = α2 +β2 mμ nã cho phÐp t×m a1

hμm träng l−ỵng

Để xác định hệ số A1 vμ A ta sử dụng hệ (5.6.22) d−ới dạng

       =

+ + − +

= + − − +

+ −

− −

T i

T i

e A i A

e A i A

) (

2

) (

2

) (

, )

(

β α

β α

β α β α

β α β α

(5.6.38)

Giải hệ ny ta đợc

( )e T

A T β

β

β α α β

α α sin

2 2 2

1 −

+ −

+

= (5.6.39)

    

 

 + −

+

=e− T T

A T β

β α β α β

α cos 2 sin (5.6.40)

Ci cïng hμm träng l−ỵng cã d¹ng

g(t) = ( ) +

  

 + − −

+

− T

Te 2 sin

2 2 2

β α

β β

β α β α α

+ T βT δ t e αT

β α β α

β −

        

 

 + −

+ sin ( )

cos

2

(5.6.41)

Kết nhận đợc ny lμ kÕt qu¶ vÝ dơ mơc 5.5

Ch−ơng 6: Xác định đặc tr−ng hμm ngẫu nhiên theo số

liÖu thùc nghiÖm

6.1 Các đặc tr−ng thống kê hμm ngẫu nhiên

ở ch−ơng thấy rằng, lý thuyết t−ơng quan, ng−ời ta lấy kỳ vọng toán học vμ hμm t−ơng quan lμm đặc tr−ng hμm ngẫu nhiên Ta xét ph−ơng pháp xác định đặc tr−ng nμy theo số liệu thực nghiệm Trong cần nhớ rằng, sử dụng số liệu thực nghiệm ta khơng giả thiết có tập hợp tất thể hμm ngẫu nhiên, mμ có số hữu hạn thể hiện, lμ phần nμo tập tổng thể

) (t

m vμ hμm t−ơng quan R(t1,t2), ta ký hiệu đặc tr−ng thống kê t−ơng ứng d−ới dạng m~(t),R~(t1,t2)

Có thể xét hμm ngẫu nhiên nh− tập hợp tất lát cắt Xuất phát từ đó, đ−a việc xác định đặc tr−ng thống kê hμm ngẫu nhiên việc xác định đặc tr−ng t−ơng ứng hệ đại l−ợng ngẫu nhiên

Giả sử kết thực nghiệm ta nhận đợc n thể Xi(t) (i=1,2, ,n) trình ngẫu nhiên X(t) khoảng t0tt0+T (hình 6.1)

Ta s chia khoảng nμy thμnh m phần điểm t0,t1, ,tm−1,t0+T Đối với giá trị đối số tj (j=1,2, ,m) ta nhận đ−ợc lát cắt trình ngẫu nhiên Xj =X(tj) lμ đại l−ợng ngẫu nhiên, tức lμ ta nhận đ−ợc hệ m đại l−ợng ngẫu nhiên Vμ thay cho đặc tr−ng thống kê trình ngẫu nhiên ta xét đặc tr−ng t−ơng ứng hệ đại l−ợng ngẫu nhiên nμy

H×nh 6.1

Theo mục 1.8, đặc tr−ng lμ: kỳ vọng tốn học đại l−ợng ngẫu nhiên

[ ] ~ ( )

~

j x

j m t

X

m = (6.1.1) lμ giá trị thống kê kỳ vọng toán học trình ngẫu nhiên giá trị rời rạc đối số tj, vμ ma trận t−ơng quan

    

 

    

  =

mm m m

l j

R R R

R R

R R

~

~ ~

~ ~ ~ ~

,

2 22

1 12

11

(6.1.2)

Các phần tử ma trận t−ơng quan (6.1.2) lμ mômen t−ơng quan thống kê lát cắt trình ngẫu nhiên, ứng với giá trị đối số tj vμ tl, tức lμ giá trị thống kê hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên giá trị rời rạc đối số

j

t vμ tl

) , ( ~ ~

,l x j l

j R t t

R =

Theo luận điểm thống kê toán học (chẳng hạn, xem [8]), ng−ời ta xem trung bình số học n giá trị có đại l−ợng ngẫu nhiên lμ giá trị thống kê kỳ vọng toán học

m j

t x n t

m j

n

i i j

x ,

1

1

, , ), ( )

(

~ =  =

=

T−ơng tự, giá trị thống kê mômen t−ơng quan đ−ợc xác định theo công thức [ ( ) ~ ( )][ ( ) ~ ( )]

) , ( ~

l x l i n

i

j x j i l

j

x x t m t x t m t

n t t

R − −

−

= 

=

1

1

(6.1.4) Đặc biệt, j=l mômen tơng quan l giá trị thống kê phơng sai lát cắt tơng øng

[ ]



= −

− =

= n

i

j x j i j

j x j

x x t m t

n t t R t D

1

2

1

) ( ~ ) ( )

, ( ~ ) ( ~

(6.1.5) Các giá trị thống kê hệ số t−ơng quan r~j,l =~rx(tj,tl) lμ giá trị thống kê hμm t−ơng quan chuẩn hoá r~x(tj,tl) giá trị đối số tj, tl, đ−ợc xác định theo công thức

) ( ~ ) ( ~

) , ( ~ ) , ( ~

l x j x

l j x l

j x

t t

t t R t

t r

σ σ

= , (6.1.6)

trong ~σx(t)= D~x(t)

Ph−ơng pháp vừa xét đây, lấy trị số trung bình số học theo tất thể có đ−ợc lμm giá trị thống kê kỳ vọng toán học đại l−ợng ngẫu nhiên, dựa sở sử dụng quy luật số lớn Quy luật nμy phát biểu rằng, số l−ợng thí nghiệm lμ lớn, với xác suất gần đơn vị, cho độ lệch giá trị trung bình so với kỳ vọng toán học lμ nhỏ giả thiết rằng, thí nghiệm lμ độc lập vμ đ−ợc tiến hμnh điều kiện nh− Các thí nghiệm đ−ợc coi lμ tiến hμnh điều kiện nh− thực chúng, tập hợp tất tác động đ−ợc tính tới, điều kiện ban đầu vμ mối liên hệ đ−ợc giữ nguyên không đổi Các thí nghiệm đ−ợc coi lμ độc lập kết thí nghiệm khơng phụ thuộc vμo kết lần thí nghiệm khác D−ới góc độ tốn học, tính độc lập lần thí nghiệm khác t−ơng đ−ơng với độc lập luật phân bố hμm ngẫu nhiên thí nghiệm đó, tồn điều kiện bên ngoμi giống tiến hμnh thí nghiệm t−ơng đ−ơng với việc quy luật phân bố hμm ngẫu nhiên nh− tất lần thí nghiệm

Hệ ph−ơng pháp vừa xét đ−ợc ứng dụng để xác định đặc tr−ng thống kê tr−ờng ngẫu nhiên

Giả sử có n thể ui(ρ) (i=1 ,2, ,n) tr−ờng ngẫu nhiên U(ρ) miền không gian D nμo Ta chia miền D thμnh m phần tập hợp mặt phẳng song song với mặt phẳng toạ độ vμ phân bố cách Ký hiệu ρj

 lμ bán kính vectơ điểm Nj, đỉnh khối lập ph−ơng mμ miền D đ−ợc chia thμnh Khi ứng với giá trị đối số ρj

 lμ đại l−ợng ngẫu nhiên ( )

j

U ρ − lát cắt tr−ờng ngẫu nhiên điểm Nj Tất công thức để xác định đặc tr−ng thống kê tr−ờng ngẫu nhiên U(ρ) đ−ợc nhận từ công thức t−ơng ứng trình ngẫu nhiên

) (t

thức (6.1.4) khó khăn Cơng việc nμy đ−ợc thực cách hiệu nhờ máy tính điện tử Ngμy ng−ời ta lập ch−ơng trình xác định kỳ vọng tốn học vμ ma trận t−ơng quan cho nhiều loại máy tính khác nhau, nhờ việc xử lý thơng tin khí t−ợng thủy văn đ−ợc thực

Thơng th−ờng thực tế việc đo đạc yếu tố khí t−ợng thủy văn đ−ợc tiến hμnh khơng liên tục tất giá trị đối số, mμ giá trị rời rạc Nh− vậy, xác định đặc tr−ng hμm ngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm quan trắc khí t−ợng thủy văn, có hệ lát cắt giá trị cụ thể cho đối số, vμ thao tác với hệ

Trong tr−ờng hợp q trình ngẫu nhiên dừng hay tr−ờng đồng đẳng h−ớng, kỳ vọng tốn học khơng phụ thuộc vμo đối số hμm ngẫu nhiên, hμm t−ơng quan lμ hμm đối số vô h−ớng − modul hiệu đối số Khi việc tính tốn đơn giản nhiều, thay ma trận t−ơng quan (6.1.2) cần tính phần tử hμng nó, lμ mơmen t−ơng quan lát cắt nằm cách khoảng khác hμm ngẫu nhiên

6.2 Các đặc tr−ng thống kê hμm ngẫu nhiên có tính Egođic

Đối với trình ngẫu nhiên dừng hay tr−ờng đồng đẳng h−ớng có tính egođic việc lấy trung bình theo tập thể (xem ch−ơng 2) thay lấy trung bình theo thể cho khoảng biến thiên đủ lớn đối số

Ta xét ph−ơng pháp xác định đặc tr−ng thống kê hμm ngẫu nhiên tr−ờng hợp ny

Giả sử x(t) trình ngẫu nhiên dừng egođic X(t) cho khoảng ]

, [0 T

Nh− trình bμy mục 2.6, giá trị kỳ vọng toán học vμ hμm t−ơng quan trình ngẫu nhiên đ−ợc xác định theo công thức (2.6.1) vμ (2.6.2)

Trong cơng thức (2.6.2) có mặt giá trị thực kỳ vọng tốn học mx q trình ngẫu nhiên Song đa số tr−ờng hợp giá trị nμy ch−a đ−ợc biết, vμ thay cho giá trị thực buộc phải sử dụng giá trị thống kê kỳ vọng toán học mx

~

Trên thực tế th−ờng khơng có biểu thức giải tích thể x(t), mμ lμ biểu diễn đồ thị nó, nhận đ−ợc dụng cụ tự ghi, thông th−ờng lμ bảng giá trị trị số rời rạc đối số t

v

t1 t2 tj-1 tj

H×nh 6.2

Giả sử có băng ghi liên tục thể x(t) (hình 6.2), ta chia khoảng [0,T] thμnh n phần độ dμi Δt vμ ký hiệu điểm cuối đoạn lμ tj = jΔt(j=1,2, ,n)

V× T=nΔt, nên công thức (2.6.1) v (2.6.2) viết d−íi d¹ng 

=

Δ

= n

j

x x j t

n m

1

) (

~ , (6.2.1)

[ ][ x]

k n

j

x k

x x j t m x j k t m

k n

R~ ( ) ( Δ)−~ [( + )Δ]−~

− =

τ −

=

1

, (6.2.2) τk =kΔt (k=1,2, ,m)

Nếu băng ghi thể không liên tục mμ lμ rời rạc, tj lấy giá trị đối số ghi giá trị thể x(t)

Việc xác định giá trị thống kê kỳ vọng toán học mu

~ vμ hμm t−ơng quan R~(l) u tr−ờng đồng đẳng h−ớng U(ρ) theo thể cho miền không gian D

cũng đợc tiến hnh cách tơng tự

Hệ ph−ơng pháp vừa xét hoμn toμn đ−ợc áp dụng để xác định hμm cấu trúc trình dừng egođic hay tr−ờng ngẫu nhiên đồng đẳng h−ớng Công thức để xác định giá trị thống kê hμm cấu trúc theo thể hμm ngẫu nhiên X(t) cho đoạn [0,T] có dạng

[ ]

−τ +τ − τ

− = τ

T

x x t xt dt

T B

0

2

1 ( ) ( )

)

( (6.2.3)

Khi thay tích phân (6.2.3) tổng tích phân, giống nh− hμm t−ơng quan, ta có cơng thức

[ ]

− =

− τ + −

=

τ n k

j

j k j k

x xt x t

k n B

1

2

1 ( ) ( )

) ( ~

(6.2.4) Nếu khơng có thể hiện, mμ lμ số thể nhận đ−ợc điều kiện nh− nhau, việc xử lý đ−ợc tiến hμnh theo ph−ơng pháp thể hiện, sau lấy trung bình đặc tr−ng tính đ−ợc Trong tr−ờng hợp nμy cần nhớ giá trị trung bình hμm cấu trúc nhận đ−ợc cách lấy trung bình theo n thể độ dμi hữu hạn T, tiến tới giá trị thực lấy giới hạn n→∞

Còn hμm t−ơng quan, tính khơng sử dụng giá trị thực mμ dùng giá trị thống kê kỳ vọng toán học hμm ngẫu nhiên, nên giá trị trung bình nó, chí n→∞, bị sai lệch

Thực vậy, hμm cấu trúc ta có

[ ] [ ] =

   

 

− τ + τ

− =

τ −τX t X t dt

T M B

M

T x

0

2

) ( ) ( )

( ~

[ ]

{X t X t }dt

M T

T

−τ +τ − τ

− =

0

2

1 ( ) ( ) ( ) ( )

τ = τ τ −

= −τ x

T

x dt B

B

T 0

1

, (6.2.5) tøc lμ kú väng to¸n häc cđa hμm cÊu tróc thống kê giá trị thực

[ ] [ ][ ] =       − τ + − τ − =

τ −τX t m X t m dt

T M R M T x x x ~ ) ( ~ ) ( ) ( ~ {[ ][ ]} = − τ + − τ −

= −τM X t m X t m dt

T T x x ~ ) ( ~ ) ( [ ][ ] { − τ − } − τ − = −τ T x

x X t m dt

m t X M

T 0 ( ) ( + )

1 {[ ][ ]}

− − τ − τ − − −τ T x x

x m X t m dt

m M

T 0 ( + )

1 ~ [ ][ ] { − − } + τ − − −τ T x x

x m X t m dt

m M

T 0 ( )

1 ~ [ ]

−τ − τ

−

T

x

x m dt

m M T 0 ) ~

( (6.2.6) H¹ng thø nhÊt (6.2.6) giá trị thực hm tơng quan Rx() Thế giá trị thống kê mx

~ vμo hạng lại (6.2.6), sau loạt biến đổi ta nhận đ−ợc biểu thức

[ ] [τ τ + τ −τ] τ +      τ τ − τ − − τ =

τ  1

0 1 d TR R T T R R

M x x

T x

x ( ) ( )

) ( ) ( ) ( ~

[ ]

0 1 τ τ − τ + τ τ − τ + τ −

+ τ T R R d

T

T ) ( ) x( ) x( )

( (6.2.7)

Từ thấy rằng, kỳ vọng toán học giá trị thống kê hμm t−ơng quan, mμ giá trị trung bình lấy theo tất thể tiến tới n→∞, khơng trùng với giá trị thực hμm t−ơng quan Khi τ→0, từ (6.2.7) ta nhận đ−ợc cơng thức cho kỳ vọng tốn học ph−ơng sai thống kê hμm ngẫu nhiên tính giá trị cách lấy trung bình theo thể độ dμi T có sử dụng giá trị thống kê kỳ vọng toán học [ ] [ ]= = −  −τ τ τ T x x x

x T R d

T D D M R M 2

0) ~ ( ) ( )

( ~

(6.2.8) Từ (6.2.8) thấy rằng, chí số thể để lấy trung bình giá trị thống kê ph−ơng sai tiến tới vô hạn vμ khoảng ghi thể T hữu hạn ph−ơng sai trung bình khác biệt với giá trị thực ph−ơng sai đại l−ợng, phụ thuộc vμo

T vμ b»ng

 −τ τ τ = α T x d R T T2 0

2

) ( )

( (6.2.9)

Bằng việc xử lý số liệu thực nghiệm nh− trên, ta nhận đ−ợc giá trị thống kê hμm t−ơng quan trị số rời rạc đối số Để sử dụng tiếp hμm t−ơng quan nghiên cứu thống kê q trình vμ tr−ờng khí t−ợng thủy văn, thuận tiện nên sử dụng biểu thức giải tích hμm t−ơng quan nh− lμ hμm đối số liên tục Có thể nhận đ−ợc hμm nh− cách xấp xỉ giá trị tính đ−ợc biểu thức giải tích sử dụng ph−ơng pháp toán học quen thuộc Khi chọn biểu thức giải tích để xấp xỉ hμm t−ơng quan cần nhớ điều kiện cần tính dừng q trình ngẫu nhiên hay tính đồng tr−ờng ngẫu nhiên lμ điều kiện khơng âm phổ Vì chọn hμm nμo có phổ khơng âm lμm hμm xấp xỉ

Khi chọn biểu thức xấp xỉ nên dựng đồ thị mơmen t−ơng quan nhận đ−ợc vμ xem xét tính chất phụ thuộc vμo đối số, so sánh đồ thị nμy với đồ thị hμm t−ơng quan xét ch−ơng Những dẫn tỉ mỉ ph−ơng pháp xấp xỉ vμ độ xác chúng đ−ợc xét sách chuyên khảo vμ dừng lại vấn đề nμy

6.3 Độ xác xác định đặc tr−ng thống kê hμm ngẫu nhiên

Do nhiều nguyên nhân lμm ảnh h−ởng tới độ xác, đặc tr−ng thống kê hμm ngẫu nhiên xác định theo số liệu thực nghiệm lμ đặc tr−ng gần vμ khác nhiều so với giá trị thực kỳ vọng toán học vμ hμm t−ơng quan Ta xét ảnh h−ởng nhân tố khác tới độ xác việc xác định đặc tr−ng thống kê

Để đơn giản cho việc tính tốn ta tiến hμnh nghiên cứu độ xác trình ngẫu nhiên Với tr−ờng ngẫu nhiên, tính chất nghiên cứu vμ kết luận t−ơng tự

1 ¶nh h−ëng cđa sai sè số liệu ban đầu

Cỏc s liu thc nghiệm đ−ợc sử dụng xử lý không tránh khỏi có chứa sai số phụ thuộc vμo độ xác ph−ơng pháp quan trắc vμ dụng cụ đo

Ta sÏ cho r»ng sai sè ®o lμ trình ngẫu nhiên Y(t) có kỳ vọng toán häc my(t) vμ hμm t−¬ng quan Ry(t1,t2)

Khi thể zi(t) trình ngẫu nhiên X(t) nhận đ−ợc thí nghiệm lμ tổng giá trị thực thể xi(t) vμ sai số đo yi(t)

) ( ) ( )

(t x t y t

zi = i + i (6.3.1) Trong trờng hợp ny, tơng ứng với (6.1.3), giá trị thống kê kỳ vọng toán học )

( ~ t

mz sÏ b»ng

[ ( ) ( )] ~ ( ) ~ ( ) )

( ~

j y j x n

i

j i j i j

z x t y t m t m t

n t

m =  + = +

=1

1

(6.3.2) Vì tr−ờng hợp xét ta quan tâm tới ảnh h−ởng sai số đo, nên ta coi số thể đủ lớn cho đặc tr−ng thống kê q trình đ−ợc xét khơng khác biệt so với giá trị thực t−ơng ứng Khi viết (6.3.2) d−ới dạng

) ( ) ( ) ( ~

j y j x j

z t m t m t

m = + , (6.3.3) tức l sai số giá trị thống kê kú väng to¸n häc b»ng kú väng to¸n häc cđa sai sè ®o

Theo (6.1.4), ta xác định giá trị thống kê hμm t−ơng quan d−ới dạng

[ ][ ]

 =

= −

− −

= n

i

l z l i j z j i l

j

z z t m t z t m t

n t t R

1

1

) ( ~ ) ( ) ( ~ ) ( )

, ( ~

+ −

= 

=

n

i j i t

x n 1

1 [ ( )

− +

−

− ( ) ( )][ ( ) ( )

)

( j x j y j i l i l

i t m t m t x t y t

y

= −

với giá trị khác đối số không liên hệ với nhau, tức lμ , ) , ( ) ,

( j l = yx j l =0

xy t t R t t

R (6.3.5)

    = σ ≠ = ( ) ., ) , ( l j t l j t t R j y l j y

2 (6.3.6)

Khi cơng thức (6.3.5) đ−ợc viết d−ới dạng

    = σ + σ ≠ = ) ( ) ( , , ) , ( ~ l j t t l j t t R t t R j y j x l j x l j z ) (

2 (6.3.7)

Tõ c«ng thøc (6.3.7) suy r»ng, trờng hợp xét sai số đo không ảnh hởng tới giá trị thống kê hm tơng quan trình ngẫu nhiên tj tl, nhng lm tăng giá trị thống kê phơng sai ~z(tj), nhận đợc từ (6.3.7) tj =tl, lên lợng phơng sai sai số đo y(tj)

Khi ú, theo (6.1.6), giá trị thống kê hμm t−ơng quan chuẩn hoá đ−ợc xác định nh− sau ) ( ~ ) ( ~ ) , ( ~ ) , ( ~ l z j z l j z l j z t t t t R t t r σ σ = ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( l y l x j y j x l j x t t t t t t R 2

2 +σ σ +σ σ

= (6.3.8)

Tõ (6.3.8) thÊy r»ng, sai số đo lm giảm giá trị thống kê hm tơng quan chuẩn hoá

Đối với trình ngẫu nhiên dừng X(t),Y(t) hm tơng quan phụ thuéc vμo mét tham sè τ= tl −tj , cßn phơng sai

2

y x

σ , lμ đại l−ợng không đổi, (6.3.8) đ−ợc viết thμnh dạng

2 y x x z R r σ + σ τ = τ) ( ) (

~ (6.3.9)

Chia tư thøc vμ mÉu thøc cđa (6.3.9) cho

x

σ , ta cã

1 δ + τ = τ) ( ) ( ~ x z r

r , (6.3.10)

trong rx(τ) lμ giá trị thực hμm t−ơng quan chuẩn hố, cịn 2

2 x y σ σ = δ

Khi τ→0 hμm t−ơng quan chuẩn hố tiến tới đơn vị,

1 δ + → τ) ( ~ z

r , vμ ®iỊu

nμy cho phép xác định đại l−ợng δ

Ta dựng đồ thị hμm ~rz(τ), giá trị τ=τ0 vμ ngoại suy đến điểm

0

=

τ Nếu τ0 nhỏ tiến hμnh ngoại suy ph−ơng pháp đồ thị Ngoμi ra,

cũng thực điều cách xấp xỉ hμm ~rz(τ) biểu thức giải tích, sau tính giá trị biểu thức nμy với τ=0 Sử dụng đẳng thức (6.3.10), ta xác định đ−ợc đại l−ợng

) ( ~10

1

z

r

= δ

+ (6.3.11)

Để hiệu chỉnh giá trị bị tăng phơng sai thống kê, cần phải lấy giá trị nhận đợc

z

σ

~ chia cho 1+δ theo c«ng thøc

δ + σ = σ 2 z x ~

(6.3.12) Giá trị thống kê hμm cấu trúc Bz(τ) đ−ợc xác định d−ới dạng

[ +τ − τ ] = − = τ  = n i i i

z z t z

n B 1 ) ( ) ( ) ( ~ [ +τ + +τ − − ] = − =  = n i i i i

i t y t x t y t

x n 1 ) ( ) ( ) ( ) ( [ ( ) ( ) ( ) ( )] ) ( ) (τ + τ + + − τ − τ

=Bx By 2Rxy Rxy Rxy Ryx (6.3.13) Cũng dựa giả thiết tính không t−ơng quan sai số đo vμ đại l−ợng đ−ợc đo vμ tính khơng t−ơng quan với sai số thời điểm t khác nhau, ta nhận đ−ợc

2

2 y

x

z B

B~(τ)= (τ)+ σ (6.3.14) Nh giá trị thống kê hm cấu trúc bị tăng lên lợng hai lần phơng sai sai số

Vì Bx(0)=0 nên

2

2

0 y

z

B~( )= σ Từ tìm đ−ợc đại l−ợng 2

y

σ cách ngoại suy đồ thị hμm cấu trúc B~z(τ) đến điểm τ=0 Sau xác định đ−ợc

2

y

σ , hiệu chỉnh giá trị nhận đợc hμm cÊu tróc b»ng c¸ch trõ chóng cho 2

y

σ Hμm cấu trúc chuẩn hoá đ−ợc xác định theo công thức

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z z z z z R B B B

b = τ

∞ τ =

τ (6.3.15) Do đó, giá trị thống kê hμm cấu trúc chuẩn hố đ−ợc xác định theo cơng thức

δ + δ + τ = σ + σ σ + τ σ = σ + σ σ + τ = τ 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ~ x y x y x x y x y x z b b B

b (6.3.16)

Công thức nμy đặc tr−ng cho sai lệch hμm cấu trúc gây nên sai số đo Chúng ta xét ảnh h−ởng sai số đo số liệu ban đầu đến độ xác đặc tr−ng thống kê tính đ−ợc ph−ơng pháp lấy trung bình theo tập hợp thể Các sai số đo ảnh h−ởng nh− đến độ xác đặc tr−ng thống kê hμm ngẫu nhiên dừng egođic, đặc tr−ng nμy đ−ợc xác định cách lấy trung bình theo thể với độ dμi ln

2 ảnh hởng hạn chế số lợng thể

Khi xỏc nh đặc tr−ng thống kê hμm ngẫu nhiên cách lấy trung bình theo tập thể hiện, có số l−ợng hạn chế thể hiện, th−ờng lμ không lớn

1

1

− − = σ

n r

r , (6.3.17) r lμ giá trị thực hệ số t−ơng quan, n lμ số l−ợng quan trắc độc lập Từ công thức (6.3.17) thấy rằng, đại l−ợng σr phụ thuộc đáng kể vμo giá trị hệ số t−ơng quan Ký hiệu

1

1

− − = σ = γ

n r

r r

r , (6.3.18) ta nhận đợc:

với

1

− = γ =

n

r , , , víi

1 5

− = γ =

n

r , , , víi

1 9

− = γ =

n

r , ,

Điều nμy cho thấy, giá trị thống kê hệ số t−ơng quan cặp lát cắt hμm ngẫu nhiên liên hệ chặt chẽ với tin cậy so với tr−ờng hợp lát cắt liên hệ yếu

Đối với trình ngẫu nhiên gặp khí tợng thủy văn, mối liên hệ tơng quan thờng giảm nhanh tham số tăng

Nh vy, giá trị R(τ) nhận đ−ợc theo số liệu thực nghiệm xác với trị số τ nhỏ vμ tin cậy τ lớn Xuất phát từ đó, xấp xỉ giá trị nhận đ−ợc hμm t−ơng quan R(τ) biểu thức giải tích cần phải đạt đ−ợc phù hợp tốt giá trị thực nghiệm vμ giá trị lμm trơn τ không lớn, cho sai lệch trị số τ lớn chủ yếu lμ ngẫu nhiên

Đối với hμm ngẫu nhiên dừng, giá trị hμm t−ơng quan đ−ợc xác hố cách tính chúng cho trị số τ giống lấy đoạn khác khoảng biến thiên đối số t, vμ sau lấy trung bình chúng Trong tr−ờng hợp nμy sai số bình ph−ơng trung bình chúng giảm Mức độ giảm sai số nμy cμng đáng kể lát cắt hμm ngẫu nhiên đoạn khoảng biến thiên t, mμ ta tính trị số r(τ) để lấy trung bình, cμng liên hệ với

Khi để ý đến điều đó, cần lặp lại việc tính tốn r(τ) qua khoảng biến thiên đủ lớn tham số t, cho mối liên hệ t−ơng quan lát cắt khoảng trở nên khơng đáng kể

Nếu hệ số t−ơng quan tham gia vμo phép lấy trung bình đ−ợc tính đoạn thực tế độc lập với nhau, nh− biết, sai số bình ph−ơng trung bình σr giảm k lần, với k lμ số giá trị r(τ) đem lấy trung bình Bây ta xét sai số xuất xác định đặc tr−ng thống kê cách lấy trung bình theo thể

3 ¶nh hởng hạn chế khoảng ghi thể

Khi xác định đặc tr−ng thống kê hμm ngẫu nhiên dừng có tính egođic cách lấy trung bình theo thể xuất sai số có ghi thể khoảng biến thiên hữu hạn nμo đối số mμ toμn khoảng vô hạn

Giả sử giá trị thực đặc tr−ng lμ a, giá trị thống kê nhận đ−ợc việc lấy trung bình theo thể lμ giá trị đại l−ợng ngẫu nhiên A~, để lμm th−ớc đo độ xác ng−ời ta dùng đại l−ợng

( )  

 −

=

σ M A~ a2 (6.3.19) Khi xác định giá trị thống kê kỳ vọng tốn học mx

~ bằng cách lấy trung bình theo thể hμm ngẫu nhiên X(t) cho khoảng [0,T], theo (2.6.1) đại l−ợng (6.3.19) đ−ợc xác định d−ới dạng

=               − = σ  2 T x

m X t dt m

T

M () [ ][ ] =

      − −



0

2

2 ( ) ( )

1 dt dt m dt t X m dt t X T M T T x x  − = T T

x t t dt dt

R

T2 00 1

1

, )

( (6.3.20) mx lμ giá trị thực kỳ vọng tốn học hμm ngẫu nhiên X(t), cịn

) ( ) ( − = x τ

x t t R

R 2 1 lμ hμm t−ơng quan Ta biến đổi tích phân hai lớp (6.3.20) ) ( ) (          − = − = T T x T T

x t t dt dt R t t dt dt

R J 2 0 1

2 (6.3.21)

Thay biÕn t2−t1=τ ë tÝch ph©n bªn          τ τ = − − T T t

t

x d dt

R J 1 )

( (6.3.22)

vμ lÊy tÝch phân phần, ta đợc

τ− τ τ τ− − = T x T x T

x d R d tR T t dt

R T J 0 ) ( ) ( )

( (6.3.23)

Sau thay T−t=τ tÝch ph©n ci cïng cđa (6.3.23)  −τ τ τ = T x d R T J

2 ( ) ( ) (6.3.24) ThÕ (6.3.24) vμo (6.3.20), cuèi cïng ta cã

τ τ       − τ =

σ  R d

T T

T

x

m ( )

0

2 1 (6.3.25)

Từ (6.3.25) thấy độ lệch bình ph−ơng trung bình σm, đặc tr−ng cho độ xác việc xác định giá trị thống kê kỳ vọng toán học, phụ thuộc vμo khoảng lấy trung bình T vμ phụ thuộc vμo dạng hμm t−ơng quan Rx(τ)

Ví dụ, hμm ngẫu nhiên X(t) có hμm t−ơng quan τ

α −

=

τ D e

Rx( ) x , (6.3.26)

( )   − α − α = τ       − τ α =

σ  −ατ x −αT

T x m e T T D d e T T D 1 2

2 (6.3.27)

Từ thấy rằng, đại l−ợng

m

T Dx

m

α ≈ σ2

(6.3.28) hay

T Dx

m

α ≈

σ

(6.3.29)

Công thức (6.3.29) cho thấy rằng, tỷ trọng t−ơng đối độ lệch bình ph−ơng trung bình sai số xác định giá trị thống kê kỳ vọng toán học hμm ngẫu nhiên X(t) so với độ lệch bình ph−ơng trung bình σx = Dx tỷ lệ nghịch với bậc hai khoảng lấy trung bình T Từ (6.3.29), với trị số α cho, tìm đ−ợc độ dμi cần thiết khoảng T cho tr−ớc sai số t−ơng đối cho phép

x m

σ σ

Khi xác định giá trị thống kê hμm t−−ơng quan R~x(τ) cách lấy trung bình theo thể hμm ngẫu nhiên X(t) cho khoảng [0,T], theo (2.6.2), đại l−ợng (6.3.19) đ−ợc xác định d−ới dạng

[ ]

{ τ − τ }=

= τ

σ2( ) ~ ( ) ( )

x x

R M R R

[ ][ ]

    

  

   

 

τ − −

τ + −

τ −

= −τ

2

0

) ( )

( )

( x x

T

x X t m dt R

m t X T

M (6.3.30)

Đối với tr−ờng hợp hμm ngẫu nhiên dừng phân phối chuẩn, cách biến đổi biểu thức (6.3.30), ví dụ nh− [16] thực hiện, nhận đ−ợc cơng thức gần để tính σ2(τ)

R d−íi d¹ng

[ ]

 ∞

τ τ − τ τ + τ + τ τ − ≈ τ σ

0

1

1

2

2

d R

R R

T x x x

R( ) ( ) ( ) ( ) (6.3.31) Công thức nμy giá trị T lớn vμ với giá trị τ mμ )

(τ

R cịn có giá trị đáng kể

Sư dơng c«ng thøc (6.3.31) nhận đợc giá trị 2()

R i với hμm ngẫu nhiên có hμm t−ơng quan (6.3.26) d−ới dạng

[ + + ατ − ατ]

τ − α ≈ τ

σ2 1 1 2

e T

Dx

R ( )

) ( )

( (6.3.32) Đặc biệt, với τ=0 ta đ−ợc công thức gần độ lệch bình ph−ơng trung bình ph−ơng sai thống kê

T Dx

D

α ≈ σ2

(6.3.33) Từ thấy tỷ số σD vμ độ lệch bình ph−ơng trung bình σx hμm ngẫu nhiên tỷ lệ nghịch với bậc hai khoảng lấy trung bình T

4 ¶nh h−ëng cđa phÐp thay thÕ tÝch ph©n b»ng tỉng tÝch ph©n

Nh− trên, xác định đặc tr−ng thống kê hμm ngẫu nhiên cách lấy trung bình theo thể xuất sai số tích phân xác định công thức (2.6.1) vμ (2.6.2) bị thay tổng tích phân (6.2.1) vμ (6.2.2)

việc xác định kỳ vọng toán học thống kê, đ−ợc xác định d−ới dạng =               − = σ  =

2 n

j

x j

m X t m

n

M ( ) − [ ]+ =

              =   = = 2 2 x n j j x n j

j M X t m

n m t

X M

n ( ) ( )

[ ]− + = =  = = 1 2 x n j x x n k k

j nm m

n m t X t X M

n ( ) ( ) = = = {[ − ][ − ]}=

n j x k x j n k m t X m t X M n 1

2 ) ( ) (  = = − = n j j k n k

x t t

R n 1

2

1 ( )

(6.3.34)

Khi phân chia khoảng lấy trung bình T lm n phần ,

n T k tk =

n T j

tj = ,

, ) ( ) ( − = − Δ =

− k j

n T j k t

tk j (6.3.35)

n T

=

Δ

Khi sư dơng (6.3.35) cã thĨ viÕt (6.3.34) d−íi d¹ng

[ ]  = = Δ − = σ n j n k x

m R k j

n 1

2 ( )

(6.3.36) Theo công thức nμy, biết hμm t−ơng quan q trình ngẫu nhiên Rx(τ) −ớc l−ợng đ−ợc đại l−ợng σm ứng với b−ớc chia Δ chọn, cho tr−ớc đại l−ợng σm cho phép chọn đ−ợc b−ớc chia t−ơng ứng với

Cụ thể, hμm t−ơng quan (6.3.26) đại l−ợng

m

σ tÝnh theo c«ng thøc (6.3.36) sÏ b»ng [16] ( ) ( )      − − Δ − − Δ + Δ = σ −α Δ Δ Δ α T x m e e e T e T T D 1 1 2 2 2

(6.3.37)

Từ thấy rằng, độ lệch bình ph−ơng trung bình giá trị thống kê kỳ vọng toán học so với giá trị thực phụ thuộc vμo khoảng lấy trung bình T vμ b−ớc chia

Δ khoảng thay tích phân xác định tổng tích phân

Trong c«ng thøc (6.3.37), giảm vô hạn bớc chia, tức l 0(n): , lim , lim Δ α = − Δ = Δ Δ α → Δ → Δ 1 0

0T T e lim ( ) 2

2 2 α = − α Δ Δ α Δ α →

Δ e T

e T Từ ( )   − α − α = σ −α → Δ T x m e T T D 1

lim (6.3.38) Từ (6.3.38) thấy rằng, giá trị b−ớc chia Δ nhỏ, đại l−ợng σm giảm αT tăng

Với giá trị Δ đủ nhỏ vμ αT đủ lớn, ta có công thức gần

T Dx m

α ≈

của hμm t−ơng quan so với giá trị thực việc thay tích phân tổng tích phân đ−ợc xác định theo công thức

[ ]

{ τ − τ }= =

σ2 ~ ( ) ( )2

x x

R M R R

[ ]               τ −     − + − −  − =

1 ( ) ( ) ( )

x k n j x j x

j m R

n T k t X m t X k n

M (6.3.40)

Khi sử dụng ph−ơng pháp đơn giản hố biểu thức (6.3.40) vμ cho biểu thức (6.3.30) mμ (6.3.40) khác với chỗ tích phân đ−ợc thay tổng tích phân, nhận đ−ợc cơng thức gần hμm ngẫu nhiên phân bố chuẩn

   +       + − ≈ σ n T k R R k

n x x

R

2

2 (0)

               +       + +       +  = n j x x x n T k n T j R n T k n T j R n T j R 2

2 (6.3.41)

Công thức nμy khoảng lấy trung bình T lớn vμ với trị số k mμ hμm t−ơng quan 

     n T k

Rx đạt giá trị đáng kể

Đối với trình ngẫu nhiên có hμm t−ơng quan (6.3.26), đại l−ợng

R

σ , tÝnh theo c«ng thøc (6.3.41), b»ng [16]

2 R σ ≈ ( )       + + − + − Δ α − Δ − Δ α − Δ α − k k

x e ke

e e k n

D 2

2 2 1

(6.3.42) Đặc biệt, k=0 ta nhận đ−ợc công thức gần độ lệch bình ph−ơng trung bình ph−ơng sai thống kê

Δ α − Δ α − − + ≈ σ 2 1 e e n Dx

D (6.3.43) Có thể nhận đ−ợc cơng thức t−ơng tự độ lệch bình ph−ơng trung bình

2

B

σ , xuất hạn chế khoảng lấy trung bình T thể nh− việc thay tích phân tổng tích phân, giá trị thống kê hμm cấu trúc so với giá trị thực Các cơng thức nμy vμ −ớc l−ợng t−ơng ứng q trình ngẫu nhiên có hμm t−ơng quan (6.3.26) đ−ợc trình bμy, chẳng hạn, cơng trình [1]

VÝ dô

Ta minh hoạ hệ ph−ơng pháp trình bμy ví dụ chỉnh lý thống kê số liệu gió cao khơng mực 250 mb, đ−ợc quan trắc bóng thám khơng, thời kỳ từ tháng 9/1957 đến tháng 4/1959 Avakuni (Nhật Bản) Tr−ờng vectơ vận tốc gió mực nμy đ−ợc xem lμ tr−ờng ngẫu nhiên vectơ phẳng

Cã tÊt 86 lần thả bóng đợc tiến hnh, tức l có 86 thể trờng ngẫu nhiên Độ di thời gian lần thả bóng khác nhau, di l 92 Đại lợng vectơ vận tốc gió đợc ghi với thời đoạn một, tức l có 15 lát cắt trờng ngẫu nhiên

Nhiều cơng trình nghiên cứu tr−ờng gió chứng tỏ rằng, giới hạn khoảng cách vμ khoảng thời gian xảy tr−ờng hợp đây, tr−ờng gió mặt phẳng ngang thực tế xem lμ đồng vμ đẳng h−ớng với độ xác chấp nhận đ−ợc Vì (xem mục 2.14), đặc tr−ng hai hμm t−ơng quan: hμm t−ơng quan dọc G(1) vμ hμm t−ơng quan ngang F(1) Đối với tr−ờng gió lấy thμnh phần vĩ h−ớng vectơ gió, mμ ta ký hiệu lμ U(ρ), lμm thμnh phần dọc, cịn thμnh phần kinh h−ớng V(ρ) lm thnh phn ngang

Nh vậy, bi toán đợc đa việc tìm kỳ vọng toán học v hm tơng quan thnh phần kinh hớng v vĩ hớng vectơ gió

ở thể hiện, thnh phần kinh hớng v vĩ hớng đợc tính cho tất thời điểm ghi vectơ gió, tức l với thời khoảng

Vì trình dịch chuyển bóng thám không qua khoảng thời gian ny không đợc ghi lại, nên qui ớc chØ xÐt thêi gian nh− lμ mét tham sè, mỈc dù thực tế hm tơng quan thống kê lμ hμm cđa hai tham sè − kho¶ng thêi gian

1 t

t −

=

v tơng ứng với l khoảng cách điểm =

l , tức chúng l

hm tơng quan khôngthời gian

Để có khái niệm trực quan tính chất hμm ngẫu nhiên xét, hình 6.3 dẫn vμi thể thμnh phần gió vĩ h−ớng Trên hình giá trị rời rạc thể đ−ợc nối lại đ−ờng liền nét

Dạng đ−ờng cong không mâu thuẫn với giả thiết tính đồng vμ egođic hμm ngẫu nhiên đ−ợc xét Chúng có dạng dao động ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình chung, biên độ trung bình vμ đặc điểm dao động nμy không biểu biến đổi đáng kể theo thời gian Ngoμi ra, điều khẳng định dạng hμm t−ơng quan nhận đ−ợc xử lý

Những tính tốn G A Degtiapenko thực máy tính điện tử “Uran” Trong ch−ơng trình đ−ợc lập có tính đến độ dμi khác thể riêng biệt

Kỳ vọng toán học vμ ph−ơng sai đ−ợc tính cho giá trị tham số t theo công thức (6.1.3), (6.1.5) cách lấy trung bình theo số lát cắt thực có thể Trong bảng 6.1 dẫn giá trị kỳ vọng toán học mu

~ vμ độ lệch bình ph−ơng trung bình

u

σ~ lát cắt thμnh phần vĩ h−ớng Từ bảng thấy rằng, mu

~ lμ đại l−ợng khơng đổi mμ có tính chu kỳ nμo đó, tức lμ tính dừng đ−ợc chấp nhận với gần định Các giá trị σu

H×nh 6.3

B¶ng 6.1

t (giê) 12 18 24 30 36 42 48

u

m~ (m/s) 2,0 2,7 -2,2 -2,2 3,0 1,7 -2,6 -1,5

u

σ~ (m/s) 16 15 13 15 14 13 11 12

t (giê) 54 60 66 72 78 84 90

u

m~ (m/s) 2,4 2,0 -2,6 -2,2 -0,8 0,4 0,3 u

σ~ (m/s) 13 13 11 11

Để loại bỏ sai số cách xác hơn, tính hμm cấu trúc vμ hμm t−ơng quan tách biệt theo số liệu thực nghiệm

Tất thể (các lần thả bóng) đ−ợc chia thμnh ba nhóm theo giá trị tốc độ gió: I − 50 km/h; II − 50–100 km/h vμ III − 100 km/h

Các hμm cấu trúc vμ hμm t−ơng quan đ−ợc xác định riêng biệt cho thể theo công thức (6.2.17) vμ (6.2.6), sau lấy trung bình theo tất thể nhóm

Trên hình 6.4 đ−a hμm cấu trúc trung bình hố thμnh phần vĩ h−ớng Từ hình vẽ thấy rằng, giá trị lớn hμm cấu trúc đạt đ−ợc τ=30 Tiếp theo ta thấy hμm cấu trúc giảm Sự giảm nμy đ−ợc giải thích diện tính chu kỳ cấu trúc hμm ngẫu nhiên

Từ hình 6.4 thấy rằng, giá trị hμm cấu trúc nhận đ−ợc bị sai lệch Nếu kéo dμi chúng đến điểm τ=0 giá trị nhận đ−ợc khác không Những trị số ngoại suy

) ( ~

0

B nμy có giá trị hai lần ph−ơng sai sai số số liệu ban đầu vμ chúng phải đ−ợc trừ bỏ khỏi giá trị hμm cấu trúc Chính giá trị nμy đ−ợc sử dụng để chỉnh lý hμm t−ơng quan thu đ−ợc Khi giả thiết giá trị τ nhỏ hμm cấu trúc xác

Các hμm t−ơng quan thμnh phần vĩ h−ớng đ−ợc dẫn hình 6.5 Từ hình vẽ thấy rằng, hμm t−ơng quan R~u(τ) dần tới τ→∞, điều xác nhận giả thiết tính egođic hμm ngẫu nhiên

Các hμm t−ơng quan thμnh phần vĩ h−ớng đ−ợc dẫn hình 6.5 Từ hình vẽ thấy rằng, hμm t−ơng quan R~u(τ) dần tới τ→∞, điều xác nhận giả thiết tính egođic hμm ngẫu nhiên

Các đồ thị hμm t−ơng quan t−ơng ứng với nhóm thứ vμ nhóm thứ hai lần thả bóng (khi tốc độ gió nhỏ 100 km/h), lμm gợi nhớ tới đồ thị hμm

2 −ατ

σ =

τ e

R( )

Đồ thị hμm t−ơng quan tốc độ gió 100 km/h lμm gợi nhớ đến đồ thị hμm

βτ σ

=

τ) −ατcos

( e

H×nh 6.5

Hình 6.4

Phần - Một số bi toán khí tợng v thủy văn giải

các phơng pháp lý thuyết hm ngẫu nhiên

Chơng 7: Nghiên cứu cấu trúc thống kê tr−êng khÝ t−ỵng

7.1 NhËn xÐt chung vỊ cấu trúc trờng khí tợng

c im khí lμ tính chất chuyển động rối hỗn loạn Các tr−ờng yếu tố khí t−ợng linh động Sự phụ thuộc giá trị tức thời tr−ờng vμo toạ độ không gian vμ thời gian phức tạp vμ rối rắm Hơn nữa, giá trị đó, quan trắc điều kiện nh− nhau, lần chúng lại khác Do đó, khơng thể mô tả tr−ờng nμy theo kiểu cho giá trị tức thời điểm không gian vμ thời điểm

Để nghiên cứu cấu trúc tr−ờng yếu tố khí t−ợng quan điểm lý thuyết xác xuất lμ hợp lý Theo quan điểm nμy tr−ờng đ−ợc xem nh− tr−ờng ngẫu nhiên vμ để mơ tả sử dụng ph−ơng pháp lý thuyết hμm ngẫu nhiên

Cơ sở quan điểm nμy lμ không xem xét đặc điểm giá trị tức thời riêng lẻ, mμ khảo sát số tính chất trung bình tập hợp thống kê thể tr−ờng ứng với tập điều kiện bên ngoμi định nμo

Nh− ta thấy ch−ơng 6, xác định thực nghiệm đặc tr−ng thống kê tr−ờng ngẫu nhiên, giả thiết đ−ợc đ−a lμ tồn tập hợp thể nμo ứng với điều kiện thí nghiệm nh− nhau, tồn thể tr−ờng miền không gian, thời gian đủ lớn tr−ờng hợp tr−ờng đồng có tính egodic

Về nguyên tắc, trờng khí tợng không lặp lại với điều kiện bên ngoi Trong khả mình, nh khí tợng đợc tập hợp thống kê hnh tinh hon ton tơng tự Trái Đất, vậy, nói cách xác, trờng khí tợng đợc gọi l trờng ngẫu nhiên theo nghĩa lý thut hμm ngÉu nhiªn chØ lμ quy −íc

Trong khí t−ợng học, q trình thống th−ờng đ−ợc chia lμm nhiều phần, vμ phần nμy đ−ợc quy −ớc chấp nhận lμ thể khác nhau, tức lμ, ng−ời ta sử dụng quan trắc đ−ợc tiến hμnh miền không gian khác thời điểm khác với t− cách lμ thể tr−ờng ngẫu nhiên Khi đó, ng−ời ta chấp nhận quan trắc đ−ợc thực miền không gian hay khoảng thời gian t−ơng tự theo nghĩa nμo nh− lμ thể t−ơng ứng với điều kiện bên ngoμi nh− nhau, quan trắc nμy đ−ợc sử dụng để xử lý thống kê

Trong lý thuyết hμm ngẫu nhiên, ta gọi tình huống, quy luật phân bố tr−ờng ngẫu nhiên đ−ợc bảo toμn, lμ tình t−ơng ứng với điều kiện bên ngoμi nh− Trên thực tế th−ờng tr−ớc quy luật phân bố đó, lựa chọn tình t−ơng tự đ−ợc tiến hμnh dựa theo kinh nghiệm hμng ngμy nhμ khí t−ợng vμ kết nghiên cứu tr−ớc

Trong tr−ờng hợp cụ thể, kiến thức nhận đ−ợc cấu trúc tr−ờng đ−ợc xét phụ thuộc vμo việc chọn tình t−ơng tự để lấy trung bình Một yêu cầu khác tập thể lμ tính độc lập thể riêng biệt Nếu thể liên quan chặt chẽ với nhau, tất chúng chứa thơng tin so với thể chúng, vμ đó, tăng số l−ợng thể tr−ờng hợp nμy không lμm xác thêm cách đáng kể đặc tr−ng thống kê

Xuất phát từ đòi hỏi vμ chất vật lý q trình khí t−ợng, nêu số điểm cần phải tính đến gộp số liệu thực nghiệm vμo tập hợp thống kê

Ngoμi việc tính tới biến trình ngμy vμ năm, gộp thể vμo thμnh tập thống kê tiến hμnh phân loại bổ sung số liệu thực nghiệm theo số dấu hiệu đặc biệt Chẳng hạn, nghiên cứu tr−ờng gió, ng−ời ta phân chia thể t−ơng ứng với điều kiện hoμn l−u khác nhau, ví dụ nh− tách riêng dòng xiết, phân lớp thể theo độ lớn tốc độ gió v.v Ngay nghiên cứu tr−ờng áp suất (địa vị) ng−ời ta tiến hμnh phân chia theo dạng hoμn l−u

Khi gộp tập không gian t−ơng tự, tức thể nhận đ−ợc điểm địa lý khác nhau, ng−ời ta xuất phát từ chỗ điểm phải thuộc vùng khí hậu giống

Khi nghiên cứu cấu trúc không gian tr−ờng khí t−ợng, vấn đề quan trọng lμ phải tuân thủ điều kiện đồng đẳng h−ớng tr−ờng Điều nμy gây nên hạn chế định độ rộng không gian tr−ờng đ−ợc nghiên cứu A.N Kolmogorov [11] rằng, dòng rối thực, mμ nói chung lμ khơng đồng vμ khơng đẳng h−ớng, tách phạm vi, tính đồng nhất, đẳng h−ớng tr−ờng khí t−ợng đ−ợc thoả mãn cách gần Những tr−ờng nh− gọi lμ đồng vμ đẳng h−ớng địa phng

Tuỳ thuộc vo quy mô trờng đợc khảo sát, khí tợng học ngời ta chia cấu trúc qui mô vi mô, qui mô võa vμ qui m« vÜ m«

Cấu trúc vi mô mô tả đặc điểm tr−ờng khoảng từ vμi phần milimét đến vμi trăm mét Trong khoảng nμy tính đồng vμ đẳng h−ớng địa ph−ơng thoả mãn theo ba chiều

Cấu trúc thống kê qui mô vừa mô tả đặc điểm tr−ờng khoảng từ kilômét đến hμng chục kilômét Trong khoảng nμy biểu lộ rõ khác ph−ơng thẳng đứng vμ ph−ơng ngang Tính đồng vμ đẳng h−ớng thoả mãn cách gần theo ph−ơng ngang

Cấu trúc thống kê vĩ mô mô tả thay đổi vμ mối liên hệ t−ơng hỗ qui mô không gian cỡ hμng trăm kilômét lớn Các q trình vĩ mơ liên quan tới q trình vận động khí mang tính chất synop vμ chí có tính chất toμn cầu, chất vật lý chúng khác với thăng giáng rối hỗn loạn quy mô nhỏ

một tập thống kê, số l−ợng trạm nμy vùng không gian th−ờng không nhiều, tức lμ có giá trị thể số điểm gián đoạn, vμ đó, việc lấy trung bình dựa theo thể không hiệu

Nghiên cứu cấu trúc tr−ờng lμ xác định đặc tr−ng thống kê nó, nh− kỳ vọng tốn học, hμm t−ơng quan hay hμm cấu trúc Đó lμ đặc tr−ng cần thiết giải nhiều bμi toán khác

Trên sở số liệu nμy ng−ời ta tiến hμnh phân tích khách quan vμ lμm trơn tr−ờng khí t−ợng cho mục đích dự báo thời tiết, tiến hμnh tối −u hố phân bố mạng l−ới trạm khí t−ợng, đánh giá thμnh phần khác ph−ơng trình động lực học khí quyển, giải vấn đề ngoại suy số liệu khí t−ợng v.v

Do nhu cầu hiểu biết ngμy cμng tăng cấu trúc thống kê tr−ờng yếu tố khí t−ợng, năm gần có hμng loạt cơng trình xử lý thực nghiệm khối l−ợng đồ sộ tμi liệu quan trắc khí t−ợng tích luỹ, vμ tμi liệu đ−ợc dùng ch−ơng nμy

Trong cơng trình nghiên cứu đầu tiên, tất cơng việc tính tốn đ−ợc thực tay, điều nμy đ−ơng nhiên hạn chế khối l−ợng tμi liệu đ−a vμo xử lý vμ không cho phép nhận đ−ợc kết đủ tin cậy Từ năm 1963 ng−ời ta bắt đầu sử dụng rộng rãi máy tính điện tử cơng tác nμy Trong đó, ph−ơng pháp sử dụng máy tính vμ lập ch−ơng trình để nghiên cứu cấu trúc thống kê tr−ờng khí t−ợng không gian L.X Gandin vμ tác giả khác đề xuất [42, 44] đóng vai trị quan trọng

7.2 Cấu trúc thống kê tr−ờng địa vị

Các vấn đề nghiên cứu thực nghiệm cấu trúc tr−ờng địa vị đ−ợc đề cập nhiều cơng trình [41-44, 46, 50, 75, 78–80, 86]

Việc xác định cấu trúc thống kê tr−ờng khí t−ợng (xem mục 7.1) cần phải phân tích tμi liệu thực nghiệm có vμ qui thể ứng với tình t−ơng tự tập thống kê

Khi nghiên cứu tr−ờng áp suất, ng−ời ta coi điểm địa cầu có vĩ độ vμ khác kinh độ lμ điểm t−ơng ứng với tình t−ơng tự

Các cơng trình nghiên cứu [41] rằng, vĩ độ trung bình, điều kiện đồng vμ đẳng h−ớng hμm cấu trúc tr−ờng địa vị đ−ợc thoả mãn tốt Tuy nhiên ph−ơng sai tr−ờng có biến thiên theo kinh độ Thông th−ờng phụ thuộc đặc tr−ng thống kê vμo kinh độ không đ−ợc ý, tức tr−ờng đ−ợc coi lμ đồng theo kinh độ Khi từ lập luận ng−ời ta cho phụ thuộc vμo kinh độ không mạnh lắm, giả thiết đồng theo kinh độ lμm giảm nhẹ nhiều công việc xử lý thống kê, coi tất trạm quan trắc nằm gần vĩ tuyến lμ t−ơng ứng với tình t−ơng tự vμ nhờ tăng đáng kể số l−ợng thể để lấy trung bình

mét

Trong cơng trình [43] sử dụng số liệu quan trắc trạm khí t−ợng vĩ độ trung bình lãnh thổ châu Âu vμ phần Tây Xibiri đây, để phát phụ thuộc đặc tr−ng thống kê tr−ờng vμo dạng hoμn l−u phân liệu thực nghiệm thμnh tập thống kê riêng biệt ứng với dạng hoμn l−u khác (dạng phía tây, dạng kinh tuyến vμ dạng phía đơng) theo phân loại hoμn l−u chung G Ia Vangengheim

Ng−ời ta xác định đ−ợc giá trị trung bình (chuẩn) độ cao H khác biệt đáng kể dạng hoμn l−u khác Sự khác biệt hμm cấu trúc dạng hoμn l−u khác tỏ không lớn vμ bỏ qua, tức hμm cấu trúc nhận đ−ợc theo dạng hoμn l−u khác đem lấy trung bình vμ sử dụng hμm cấu trúc cho tất dạng hoμn l−u Hμm cấu trúc độ cao mực 500 mb đ−ợc trung bình hố theo tất kiểu hoμn l−u lấy từ [43] đ−ợc dẫn hình 7.1 (đ−ờng liền)

Theo đồ thị hμm cấu trúc thống kê nhận đ−ợc xác định cách tin cậy trị số bão hoμ, tức nhận lμm trị số BH(∞) hμm cấu trúc Một ph−ơng pháp gián tiếp −ớc l−ợng trị số hμm cấu trúc vô lμ ph−ơng pháp xấp xỉ giá trị thống kê nhờ mối phụ thuộc giải tích

H×nh 7.1

Ng−ời ta xét số mối phụ thuộc giải tích nh− vμ thấy phù hợp với hμm cấu trúc thống kê (xem hình 7.1, đ−ờng gạch nối) lμ mối phụ thuộc

( )

) 400 1 018813 cos0,54

( = −e− , ,

BH (7.2.1) Nhờ hμm cấu trúc xấp xỉ (7.2.1) xác định đ−ợc hμm t−ơng quan t−ơng ứng

 ) 200 018813 cos0,54

( = e− , ,

RH (7.2.2) Trong cơng trình [78] tính trực tiếp hμm t−ơng quan độ cao tr−ờng địa vị theo số liệu thực nghiệm

Vì khí t−ợng học sử dụng nhiều mặt đẳng áp cố định, nên biến p đ−ợc gán loạt trị số gián đoạn, vμ hμm ba biến R(,p1,p2) đ−ợc quy số hμm biến  Rij()=R(,pi,pj) nμo vμ hμm nμy đ−ợc xác định theo số liệu thực nghiệm Năm mặt đẳng áp (1000, 850, 700, 500 vμ 300 mb) đ−ợc chọn vμ tính 15 hμm t−ơng quan Rij() Khi i= j nhận đ−ợc hμm tự t−ơng quan tr−ờng địa vị

) (pi

H , i≠ j− hm tơng quan quan hệ hai trờng H(pi) v H(pj)

Những giá trị thống kê tính đợc hm tự tơng quan đợc xấp xỉ biểu thức giải tích dạng

)= cos

( De

RH ; (7.2.3) ( )

 = −α β

0

J De

RH( ) (7.2.4) Trong ch−ơng ta thấy hμm (7.2.3) có phổ chiều khơng âm nơi, cịn mật độ phổ hai vμ ba chiều khơng âm khơng phải tất giá trị hệ số α vμ β, mμ chúng có mối quan hệ định, nh−ng quan hệ nμy không thoả mãn với hμm t−ơng quan thống kê nhận đ−ợc Vì vậy, nói ra, hμm (7.2.3) khơng thể dùng lμm hμm hμm t−ơng quan tr−ờng đồng hai chiều Có thể mật độ phổ hai chiều hμm (7.2.4) lμ hμm d−ơng hoμn toμn, tức hμm nμy dùng lμm hμm t−ơng quan tr−ờng Tuy nhiên, cơng trình nμy sử dụng hμm dạng (7.2.3) để xấp xỉ tính đến phức tạp việc sử dụng mối phụ thuộc (7.2.4) vμ ln ln chọn đ−ợc tham số hμm (7.2.4) cho đồ thị gần nh− trùng với đồ thị hμm (7.2.3) (khi  khơng q lớn)

Ví dụ, H500 nhận đ−ợc hμm t−ơng quan  ) 235 029cos0,70

( = e−,

RH (7.2.5) Những giá trị thống kê hμm t−ơng quan quan hệ đ−ợc xấp xỉ mối liên hệ (7.2.3) Việc chọn hμm (7.2.3) để xấp xỉ lμ hμm t−ơng quan quan hệ thống kê nhận đ−ợc có dạng giống với hμm tự t−ơng quan

Trên hình 7.2 dẫn hμm tự t−ơng quan chuẩn hoá vμ hμm t−ơng quan quan hệ chuẩn hoá đ−ợc xấp xỉ mối phụ thuộc (7.2.3) t−ơng ứng với độ cao mặt đẳng áp 850, 500 vμ 300 mb

Giá trị hμm t−ơng quan chuẩn hoá tr−ờng địa vị H500 s tỏc gi

đợc dẫn hình 7.3

Sự khác hμm t−ơng quan nhận đ−ợc có lẽ đ−ợc giải thích đặc điểm số liệu thực nghiệm sử dụng, tức khác vùng địa lý vμ mùa quan trắc nh− hạn chế số l−ợng thể vμ tính khơng đồng tr−ờng

H×nh 7.2

H×nh 7.3

7.3 Cấu trúc thống kê tr−ờng nhiệt độ không khí

Những số liệu thực nghiệm đầy đủ vμ khách quan cấu trúc vĩ mô tr−ờng nhiệt độ khơng khí có cơng trình [37, 38, 62]

ở đây, giống nh− tr−ờng địa vị, tr−ờng độ lệch nhiệt độ khơng khí so với chuẩn đ−ợc xem lμ đồng vμ đẳng h−ớng mặt phẳng ngang hay mặt đẳng áp cho Do đó, hμm t−ơng quan vμ hμm cấu trúc mặt cho đ−ợc xem nh− hμm đối số − khoảng cách ngang điểm quan trắc Ngoμi hμm tự t−ơng quan vμ hμm cấu trúc mặt đẳng áp chuẩn, cấu trúc khơng gian cịn đ−ợc đặc tr−ng hμm t−ơng quan vμ hμm cấu trúc quan hệ cặp mặt

Trong cơng trình [37, 38] liệu ban đầu để xác định hμm cấu trúc vμ hμm t−ơng quan ba chiều độ lệch nhiệt độ khơng khí so với chuẩn lμ số liệu nhiệt độ thám không đ−ợc thu thập thời gian 1957−1959 lãnh thổ Bắc Mỹ theo kế hoạch Năm Vật lý địa cầu Quốc tế

Mỗi thể bao gồm kết thám không 60 trạm

Khong cỏch xa nht gia trạm 7500 km Ng−ời ta tính hμm cấu trúc vμ hμm t−ơng quan cho mặt đẳng áp 1000, 850, 700, 500, 400, 300, 200 vμ 100 mb nh− hμm cấu trúc vμ hμm t−ơng quan quan hệ cặp mặt

Việc tính tốn đ−ợc thực theo ph−ơng pháp trình bμy [42]

Trong cơng trình [62] số liệu ban đầu đ−ợc sử dụng lμ quan trắc 50 trạm khí t−ợng Một số trạm nằm vùng Trung Âu, số lại phần lãnh thổ châu Âu Liên Xô Khoảng cách hai vùng nhỏ so với bề rộng vùng Điều bảo đảm số trạm hai vùng có phân bố theo khoảng cách Trung bình mùa sử dụng số liệu 60 tình năm 1959 vμ 1961 Khoảng thời gian kỳ liên tiếp không hai ngμy đêm Các hμm tự t−ơng quan đ−ợc tính cho ba mực, lμ mặt đất, 850 vμ 700 mb Để loại trừ sai số đo đạc tiến hμnh ngoại suy ph−ơng pháp đồ thị hμm t−ơng quan vμ hμm cấu trúc nhận đ−ợc vμ sử dụng chúng theo ph−ơng pháp xét ch−ơng Trên hình 7.4 dẫn hμm tự t−ơng quan chuẩn hố nhiệt độ khơng khí mực khác cho mùa đơng [38] Trên hình 7.5 lμ hμm tự t−ơng quan chuẩn hoá nhận đ−ợc theo số liệu nh− cho mùa hè [37]

H×nh 7.4

Từ hình thấy có khác hμm tự t−ơng quan chuẩn hoá nhiệt độ khơng khí mực khác nhau, khác nμy không nhiều lắm, chất đ−ờng cong có nét giống Giữa mùa có khác biệt

Trong bảng 7.1 dẫn giá trị ph−ơng sai t−ơng ứng độ lệch nhiệt độ mực [38]

Việc so sánh hμm t−ơng quan chuẩn hoá nhận đ−ợc cơng trình [62] vμ [38] cho thấy mực chúng gần trùng nhau, đặc biệt khoảng cách d−ới 1000−1500 km

B¶ng 7.1

D (độ)2

Mùc, mb

Mùa đông Mùa hè

1000 49 850 45 14 700 32 500 23 400 20 300 13 200 30 14 100 18

Trong ph−ơng sai tr−ờng hợp xét khác Ví dụ, ph−ơng sai nhiệt độ mực 700 mb châu Âu 24 (độ)2 , châu Mỹ lμ

34 (độ)2

Sự liên hệ giá trị nhiệt độ mực khác trạm đ−ợc đặc tr−ng trị số hμm t−ơng quan quan hệ ngoại suy Chúng đ−ợc dẫn bảng 7.2 [38]

Từ bảng 7.2 thấy liên hệ chặt chẽ giá trị nhiệt độ mực kế cận quan sát thấy tầng đối l−u Nhiệt độ lớp tầng đối l−u vμ tầng bình l−u có t−ơng quan d−ơng Khi tính t−ơng quan số liệu tầng đối l−u với số liệu tầng bình l−u hệ số t−ơng quan trở nên âm vμ tăng trị tuyệt đối mặt đẳng áp cách xa dần đối l−u hạn

B¶ng 7.2

) , ( )

( , ,



  096

0 747 096

J De

RT

−

= , (7.3.1) mặt đẳng áp 850 mba:

) , ( )

( , ,



  083

0 553 097

J De

RT

−

= ( 7.3.2) mặt đất:

92 825 0, ,

)

( =De− 

RT , (7.3.3) J0() l hm Bessel bËc kh«ng,  biĨu diƠn b»ng 10

3

km

7.4 CÊu tróc thèng kª tr−êng giã

Về quy luật cấu trúc tr−ờng gió có loạt cơng trình nghiên cứu lý thuyt v thc nghim

Các công trình A N Kolmogorov [11] vμ A M Obukhov [69] lμ nh÷ng công trình tảng theo hớng ny

Trong cỏc cơng trình đó, tr−ờng đồng vμ đẳng h−ớng địa ph−ơng, lý thuyết chứng minh đ−ợc hμm cấu trúc xung tốc độ gió đ−ợc mô tả công thức

3



 A

Bu( )= , (7.4.1) A lμ hệ số tỷ lệ

Quan hệ nμy đ−ợc gọi lμ “qui luật 2/3” Kết xử lý thực nghiệm số liệu thám khơng gió M B Zavarina [52] vμ E X Xelezneva [74], vμ sau nμy tác giả khác [43, 56, 71, 83] thực khẳng định đắn “qui luật 2/3” khí thực vùng không gian định

Sự hạn chế quy mơ khơng gian thoả mãn “qui luật 2/3” lμ điều tự nhiên, tr−ờng gió loạn l−u thực xem lμ đồng vμ đẳng h−ớng phạm vi không gian đủ nhỏ Khi tăng dần quy mơ tính bất đẳng h−ớng bắt đầu xuất hiện, biểu thị cân đối theo ph−ơng ngang vμ ph−ơng thẳng đứng chuyển động khí thực quy mơ lớn M Iu Iuđin [84] phân tích điều kiện áp dụng “qui luật 2/3” vμ cho biết ngoμi vùng tác động quy luật nμy hμm cấu trúc xung gió đ−ợc mơ tả hệ thức



 C

Bu( )= , (7.4.2) C lμ hệ số tỷ lệ, tức lμ hμm cấu trúc xung gió tỷ lệ thuận với khoảng cỏch

Tơng quan (7.4.2) có tên l qui luật bËc nhÊt”

Các kết xử lý thực nghiệm khẳng định khí thực “qui luật bậc nhất” đ−ợc thoả mãn t−ơng đối tốt phạm vi khoảng cách =500 1400ữ km Còn điều kiện rối vĩ mơ, tính phức tạp q trình diễn lμm cho việc nghiên cứu lý thuyết cấu trúc tr−ờng khí t−ợng vĩ mơ gặp khó khăn Để tìm hiểu cấu trúc tr−ờng gió điều kiện rối vĩ mơ, tức với khoảng cách vμi nghìn kilơmét, ng−ời ta tiến hμnh xử lý thống kê số liệu gió thám khơng Trong cơng trình [56] sử dụng nguồn liệu thực nghiệm phong phú

xuất [42], tính hμm t−ơng quan vμ hμm cấu trúc độ lệch khỏi chuẩn thμnh phần vĩ h−ớng U vμ thμnh phần kinh h−ớng V vectơ gió

Đối với tr−ờng đồng vμ đẳng h−ớng, điều kiện cần phải thoả mãn lμ ph−ơng sai không phụ thuộc vμo h−ớng vμ không đổi tất điểm tr−ờng, tức thoả mãn luật phân bố hình trịn, có điều kiện Du =Dv Nếu tính đến độ xác khơng cao việc đo gió, thơng th−ờng ng−ời ta cho luật phân bố đ−ợc coi lμ hình trịn

v u

D D

biÕn thiên phạm vi 0,81,2

Khi tin hnh tớnh tốn điều kiện nμy đ−ợc thoả mãn vùng n−ớc Anh vμ bán đảo Scanđinavia, nơi th−ờng có dòng chảy xiết qua, giá trị nhận đ−ợc nằm khoảng 0,7−1,3

Dựa vμo kết tính dựng đồ thị hμm t−ơng quan vμ hμm cấu trúc Sai số liệu ban đầu đ−ợc khử bỏ cách ngoại suy hμm nμy không vμ trừ sai số nhận đ−ợc

Trên hình 7.6 vμ 7.7 dẫn đồ thị hμm t−ơng quan chuẩn hoá thμnh phần gió vĩ h−ớng vμ kinh h−ớng mực 500 mb cho mùa đông vμ mùa hè

Từ hình thấy khoảng cách d−ới 1000−1300 km “qui luật bậc nhất” Iuđin thoả mãn t−ơng đối tốt Với khoảng cách lớn qui luật nμy bị vi phạm, đồ thị hμm t−ơng quan có đặc tính dao động với biên độ giảm dần, điều nμy nói lên diện yếu tố chu kỳ q trình khí vĩ mơ

Trong mục 2.14 rằng, đặc tr−ng tr−ờng vectơ đồng lμ hμm t−ơng quan dọc vμ ngang Cần l−u ý hμm t−ơng quan thμnh phần vĩ h−ớng vμ kinh h−ớng nhận đ−ợc cơng trình nhìn chung khơng phải lμ đặc tr−ng Đối với khoảng cách  khơng lớn, cặp trạm thuộc nhóm trạm, h−ớng chúng khác nhau, vμ hμm t−ơng quan thμnh phần U

vμ V nhận đ−ợc lμ trung bình theo tất h−ớng Đối với khoảng cách  lớn, trạm cặp trạm thuộc nhóm khác nhau, tức h−ớng chúng gần với h−ớng thμnh phần vĩ tuyến, đó, hμm t−ơng quan thμnh phần U gần với hμm t−ơng quan dọc tr−ờng, hμm t−ơng quan thμnh phần V gần với hμm t−ơng quan ngang

7.5 Cấu trúc thống kê tr−ờng độ cao thảm tuyết vμ tối −u hố cơng tác quan trắc thảm tuyết

Để đáp ứng yêu cầu ngμnh kinh tế quốc dân, mạng l−ới trạm khí t−ợng thủy văn tiến hμnh nhiều quan trắc thảm tuyết địi hỏi cơng sức nhiều ng−ời quan trắc Khi xuất vấn đề quan trọng phân bố hợp lý trạm quan trắc lãnh thổ

Độ cao thảm tuyết khác điểm cách khoảng không lớn Sự khác phân bố độ cao thảm tuyết lãnh thổ gây nên phân bố không đồng tốc độ gió lớp sát đất, địa hình vμ điều kiện địa ph−ơng, h−ớng s−ờn vμ độ dốc, tính chất mặt đệm vμ đặc điểm chế độ khí t−ợng

Những nhân tố kết hợp với tạo nên tranh phân bố tuyết phức tạp Do số liệu độ cao thảm tuyết điểm riêng biệt khơng có ý nghĩa mấy, mμ cần phải biết đại l−ợng trung bình diện tích nμo Nếu xem xét độ cao thảm tuyết nh− lμ tr−ờng ngẫu nhiên hai chiều H(x,y) việc lấy trung bình nh− đ−ợc tiến hμnh cách thuận tiện Khi ng−ời ta coi tr−ờng nμy lμ đồng nhất, đẳng h−ớng vμ có tính egođic

Bμi toán đặt lμ từ số liệu đo số điểm quan trắc tuyết tuyến có chiều dμi hạn chế, xác định giá trị trung bình độ cao thảm tuyết vùng rộng cách đáng kể Để đơn giản ta xét tr−ờng hợp giá trị cần tìm nhận đ−ợc cách lấy trung bình số liệu đo tuyến thẳng

Giả sử đoạn [0,L] phân bố n điểm x1 =0,x2, ,xn=L, điểm nμy tiến hμnh đo độ cao thảm tuyết h(xi) vμ từ số liệu đo xác định đ−ợc giá trị trung bình số học h, vμ đ−ợc chấp nhận lμm độ cao trung bình thảm tuyết vùng nghiên cứu

Khi bμi tốn độ xác việc xác định giá trị thực đại l−ợng cần tìm hoμn toμn t−ơng tự nh− bμi tốn độ xác việc xác định giá trị thống kê kỳ vọng toán học hμm ngẫu nhiên theo chuỗi rời rạc giá trị xét điểm vμ mục 6.3

Nh− mục 6.3, xuất hai loại sai số − sai số hạn chế khoảng [0,L] ghi thể vμ sai số thay việc lấy trung bình tích phân theo toμn khoảng [0,L] việc lấy trung bình theo n điểm rời rạc xi(i=1,2, ,n) Sai số bình ph−ơng trung bình σ2

xuất hạn chế độ dμi khoảng ghi thể (xem mục 6.3 điểm 3) đ−ợc xác định công thức (6.3.25), tr−ờng hợp nμy đ−ợc viết d−ới dạng

) (l dl R L l

L H

L

l

 

    

− =

σ2

1 (7.5.1)

ở RH(l) lμ hμm t−ơng quan độ cao thảm tuyết Sai số bình ph−ơng trung bình

2

σ xuất thay việc lấy trung bình tích phân giá trị trung bình số học n điểm xi cách khoảng Δ theo (6.3.36) đ−ợc viết nh− sau

) ( 

= =

Δ − =

σ n

j n

k

H k j

R n 1

2 2

2

(7.5.1) vμ (7.5.2) nhê (2.7.7):

      

− −

∞ = σ

L

H

H B l dl

L l L B

0

1

1

2 () ,

) (

(7.5.3)

) ( )

(

 = =

Δ − −

∞ =

σ n

j n

k H H

j k R n

B

1

2

2

2

2 (7.5.4)

Nếu có hμm t−ơng quan hμm cấu trúc vμ tiến hμnh tính tốn theo cơng thức trên, nhận đ−ợc mối phụ thuộc đại l−ợng σ1, σ2 vμo độ dμi khoảng vμ

số l−ợng điểm đo, vμ theo tìm số l−ợng điểm tối −u, khoảng cách tối −u điểm Cách tiếp cận nh− để giải bμi toán tối −u hoá mạng l−ới quan trắc tuyết đ−ợc đề xuất cơng trình D L Laikhtman vμ R L Kagan [59] Để thực ph−ơng pháp tính tốn nμy địi hỏi phải có số liệu cấu trúc tr−ờng độ cao thảm tuyết Những số liệu nμy nhận đ−ợc cơng trình nghiên cứu chun xử lý thống kê tμi liệu thực nghiệm có theo vùng khác [51, 63, 76, 81]

Trong cơng trình [51] xác định hμm cấu trúc khơng gian BH(l) độ cao thảm tuyết Dữ liệu ban đầu lμ số liệu đo độ cao tuyết thực ngμy tháng năm 1957 vùng trạm Dubrovskaja (gần 3000 số đo độ cao thảm tuyết) Toμn vùng đ−ợc phủ tuyến đo song song cách 200 m Tất có 17 tuyến đo độ dμi khác − từ đến km Trên tuyến, độ cao thảm tuyết đ−ợc đo cách 10 m Kết tính cho thấy giá trị hμm cấu trúc tuyến riêng biệt khác

Sự tản mạn hμm cấu trúc nhận đ−ợc có lẽ đặc tr−ng cho tính chất bất đồng phân bố độ cao thảm tuyết, mặt khác tản mạn gây nên sai số đo vμ số l−ợng điểm đo nhỏ

Để có đặc tr−ng tin cậy cấu trúc tr−ờng xét, tất hμm cấu trúc nhận đ−ợc đ−ợc lấy trung bình, vμ sau hμm cấu trúc trung bình đ−ợc lμm trơn Hμm cấu trúc trung bình lμm trơn BH(l) đ−ợc dẫn hình 7.8 Hμm cấu trúc nhận đ−ợc đ−ợc mơ tả t−ơng đối tốt công thức

3

158 ,

8 , 40 , 58 )

( l

H l e

B = − − (7.5.5)

H×nh 7.8

Trong cơng trình [76] xác định hμm cấu trúc không gian độ cao thảm tuyết vùng địa lý khác

Các tμi liệu trắc đạc tuyết đ−ợc tiến hμnh vùng khác Liên Xô sau đây, đ−ợc xử lý:

1) đợt khảo sát trắc đạc tuyết Viện thủy văn Nhμ n−ớc tỉnh Tselinograd ba vùng − vùng l−u vực sông Kz−lsu, thung lũng sông Karakol vμ vùng trạm Kolutan cuối tháng năm 1956;

3) tuyến trắc đạc tuyết theo tuyến trạm Oksochi l−u vực sông Griđenki, mùa đông 1955−1956 vμ 1956−1957;

4) trắc đạc tuyết theo tuyến gần lμng Koltushi (tỉnh Leningrad)

C¸c hμm cấu trúc nhận đợc theo số liệu trạm Karakul (1), Kz−lsu (2), Val®ai (3), Oksochi (4), Koltushi (5), Kolutan (6) dẫn hình 7.9

Vic phõn tớch hình 7.9 cho thấy biến động độ cao thảm tuyết vùng khác lớn Phân tích T S Triphonova [76] mối phụ thuộc hμm cấu trúc vμo điều kiện đặc tr−ng vùng trắc đạc tuyết cho phép kết luận biến động độ cao thảm tuyết lãnh thổ đ−ợc quy định tr−ớc hết địa hình vμ tính cht ca mt m

Trong công trình [59] dẫn kết tính sai số v thay thÕ hμm

cÊu tróc (7.5.5) vμo c¸c c«ng thøc (7.5.3) vμ (7.5.4)

Trên hình 7.10 biểu diễn sai số bình ph−ơng trung bình σ1 việc xác định độ cao

trung bình thảm tuyết gây nên hạn chế độ dμi tuyến trắc đạc tuyết L Trên hình 7.11 biểu diễn sai số bình ph−ơng trung bình σ2 gây nên hạn chế số l−ợng điểm đo tuyến đo

H×nh 7.9

Nếu cho tr−ớc độ xác việc xác định độ cao trung bình thảm tuyết, theo hình 7.10 xác định đ−ợc độ dμi cần thiết tuyến trắc đạc tuyết Với độ dμi tuyến nhỏ độ xác cho đạt đ−ợc cách tăng số l−ợng quan trắc

H×nh 7.10

H×nh 7.11

có thể định dẫn cụ thể việc chọn tối −u độ dμi tuyến đo tuyết vμ khoảng cách điểm đo ứng với vùng địa lý vμo dẫn liệu cấu trúc thống kê độ cao thảm tuyết vùng cho

Ch−¬ng 8: Khai triển trình ngẫu nhiên v trờng ngẫu nhiên

thnh thnh phần trực giao tự nhiên

8.1 ThiÕt lËp bμi to¸n

Trong toán học, ph−ơng pháp khai triển hμm thμnh chuỗi theo hệ hμm trực giao chuẩn hố nμo đ−ợc sử dụng rộng rãi Hệ hμm ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t), đ−ợc gọi lμ

trùc giao chuÈn ho¸ (trực chuẩn) khoảng [a,b] (hữu hạn vô hạn), nÕu tho¶ m·n hƯ thøc

 

= ≠ =

ϕ ϕ

b

a

k i

k i

k i t

d t t

, )

( ) (

(8.1.1) Hệ hμm {ϕk(t)} đ−ợc gọi lμ đầy đủ nh− hμm f(t) cho khoảng ]

,

[a b , khai triển thnh chuỗi Fourier theo

= ϕ

=

k k

k t

a t

f() ( ) (8.1.2) Các số ak gọi lμ hệ số Fourier vμ từ (8.1.1), (8.1.2) chúng đ−ợc xác định theo công thức

 ϕ =

b

a k

k f t t dt

a ( ) ( ) , (8.1.3) Tæng n sè hạng chuỗi (9.1.2)

=

ϕ = n

k k k

n t a t

f

1

) ( )

( (8.1.4) đ−ợc gọi lμ đa thức Fourier hμm f(t) Bây giờ, cách gần đúng, ta thay hμm f(t) tổng (8.1.4) với giá trị đối số t xuất sai số δn(t)

) ( ) ( )

(t f t fn t

n = −

δ (8.1.5) Ng−ời ta gọi đại l−ợng δn lμ sai số bình ph−ơng trung bình phép xấp xỉ hμm

) (t

f b»ng tæng (8.1.4) khoảng [a,b]

[ ]

= δ

b

a

n

n f t f t dt

2 ) ( )

( (8.1.6)

Từ đa thức dạng



= ϕ

n

k k

k t

C

1

độ lệch bình ph−ơng trung bình nhỏ hμm f(t) cho đa thức Fourier, tức đa thức mμ hệ số Ck lμ hệ số Fourier ak Khi đại l−ợng

2

n

δ b»ng

 

=

− =

δ

b

a

n

k k

n f t dt a

1 2

2 ( ) (8.1.7)

Thùc vËy,

=    

 

ϕ − =

δ  

= b

a

n

k k k

n f t C t dt

2

1

2 ( ) ( )

 −   ϕ +

=

=

b

a

b

a k n

k

k f t t dt

C dt

t

f () () ( )

1

2 2  

= =

= ϕ ϕ

n

k n

i

b

a i k i

kC t t dt

C

1

) ( ) (

 ∞ 

= =

− −

=

b

a k

n

k k k

k a a

C dt t f

1

2

2() ( ) (8.1.8)

VÕ phải (8.1.8) nhận giá trị nhỏ (8.1.7) 

=

= −

n

k

k k a

C

1

2 0

)

( , tøc

k

k a

C =

Đại l−ỵng

n

δ khơng âm, ta có bất đẳng thức



 ≤

=

b

a n

k

k f t dt

a 2()

1

(8.1.9)

Từ thấy rằng, hμm khả tích với bình ph−ơng, tức  b

a

dt t

f2( ) l số hữu hạn, chuỗi

∞ =1

2

k k

a hội tụ, nữa, bất đẳng thức sau xảy

 ∞ ≤

=

b

a k

k f t dt

a 2()

1

(8.1.10) vμ đ−ợc gọi lμ bất đẳng thức Bessel

Nếu hệ hμm {ϕk(t)}lμ đầy đủ hμm lấy đ−ợc tổng bình ph−ơng )

(t

f có đẳng thức



∞ =

=

b

a k

k f t dt

a 2( )

1

(8.1.11) v đợc gọi l phơng trình khép kín

Ngời ta ứng dụng việc khai triển hm theo hệ hm trực chuẩn khác nhau: khai triển thnh chuỗi Fourier theo hệ hm lợng giác, khai triển thnh chuỗi FourierBessel theo hệ hm Bessel, khai triển theo đa thøc trùc giao − Treb−sev, Ermit vμ c¸c hƯ hμm khác

Phơng pháp khai triển theo hệ hm trùc chn cịng cã thĨ ¸p dơng vμo c¸c hμm ngÉu nhiªn

∞

= ϕ

=

k k

k t

A t

X() () (8.1.12) Các hệ số Fourier Ak đ−ợc xác định d−ới dạng

 ϕ

=

b

a k

k X t t dt

A () () (8.1.13) lμ đại l−ợng ngẫu nhiên

Ta ký hiÖu



= ϕ

= n

k k k

n t A t

X

1

) ( )

( (8.1.14) lμ tæng n số hạng khai triển (8.1.12) vμ ta sÏ xÊp xØ hμm ngÉu nhiªn

) (t

X tổng Xn(t) Khi đó, sai số bình ph−ơng trung bình phép xấp xỉ

[ ]

 −

= δ

b

a

n

n x t X t dt

2 ) ( )

( (8.1.15)

sẽ lμ đại l−ợng ngẫu nhiên

Để lμm th−ớc đo độ xác phép xấp xỉ ta sử dụng kỳ vọng tốn học bình ph−ơng đại l−ợng ngẫu nhiên δn

[ ]2

n n =M

(8.1.16) Đại lợng

n

σ biểu thị ph−ơng sai sai số phép xấp xỉ đại l−ợng ngẫu nhiên, phụ thuộc vμo việc chọn hệ hμm {ϕk(t)} vμ số l−ợng hμm n chúng Khi đó, khơng cho tr−ớc hệ hμm {ϕk(t)} mμ xác định hệ nμy xuất phát từ yêu cầu thoả mãn điều kiện tự nhiên nμo Chẳng hạn, xác định hệ nh− từ số cho tr−ớc n hμm

) ( ), ( ),

(t ϕ t ϕn t

ϕ1 2 , cho đại l−ợng

n

σ (8.1.16) trë thμnh cùc tiĨu Nh÷ng hμm )

( ), ( ),

(t ϕ t ϕn t

ϕ1 2 , nh đợc gọi l hm trực giao tự nhiên Với hệ hm đợc chọn nh việc biểu diễn hm ngẫu nhiên X(t) dới dạng tổng n số h¹ng

) ( )

(t A t

X k

n

k kϕ

≈

=1

(8.1.17) đợc gọi l khai triển hm thnh tổng thnh phần trực giao tự nhiên

Những vấn đề lý thuyết việc khai triển theo thμnh phần trực giao tự nhiên vμ tính chất phép khai triển nh− đ−ợc xét cơng trình Kh Khoteling [92], A M Obukhov [67, 68], N A Bagrov [35, 36], V S Pugatrev [21]

Từ đẳng thức (8.1.7), viết biểu thức (8.1.15) d−ới dạng

 

=

− =

δ n

k k b

a

n X t A

1 2

2 ()

(8.1.18) Sö dụng (8.1.13) ta nhận đợc

=

=    

 

ϕ −

=

δ n

k b

a k b

a

n X t dt X t t dt

1

2

2 ( ) () ( )

 

= ϕ ϕ

−

= n

k b

a b

a

k k b

a

dt dt t t t X t X dt

t X

1

2 2

2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 

=

ϕ ϕ −

=

σ n

k b

a b

a

k k x

b

a x

n R t dt R t t t t dtdt

1

2 2

2 ( ) ( , ) ( ) ( )

(8.1.20) Bμi to¸n quy tìm hm 1(t),2(t), ,n(t) cho biểu thức (8.1.20) trë thμnh cùc tiĨu, hay nãi c¸ch kh¸c, cho tæng



= ϕ ϕ

n

k b

a b

a

k k

x t t t t dt dt

R

1

2 2

1, ) ( ) ( )

( (8.1.21)

trở thμnh cực đại

8.2 Mét sè kiÕn thức lý thuyết phơng trình tích phân

Để tìm hệ hμm trực chuẩn lμm cho (8.1.21) cực đại, ta sử dụng kết biết từ lý thuyết ph−ơng trình tích phân với nhân đối xứng mμ liệt kê d−ới vμ bỏ qua việc chứng minh Trình bμy chi tiết lý thuyết nμy tìm thấy, chẳng hạn, [66, 24]

Xét phơng trình tích phân

 ϕ =λϕ

b

a

x ds s s x

K( , ) ( ) ( ), (8.2.1) hμm K(x,s) lμ hμm hai biến thực cho hình chữ nhật a≤x≤b, a≤s≤b;λ lμ số nμo đó; ϕ(x) lμ hμm cần tìm cho khoảng [a,b]

Ta xem hμm K(x,s) vμ ϕ(x) giới nội vμ có số hữu hạn điểm gián đoạn, tích phân (8.2.1) tồn ti

Hm K(x,s) gọi l nhân phơng trình tích phân Nếu thoả mÃn hệ thức )

, ( ) ,

( *

x s K s x

K = , (8.2.2) nhân thực, điều nμy t−ơng đ−ơng với đẳng thức

) , ( ) ,

(x s K s x

K = , (8.2.3) nhân đ−ợc gọi lμ đối xứng

Các giá trị tham số λ, ph−ơng trình tích phân (8.2.1) có nghiệm không đồng không, đ−ợc gọi lμ giá trị riêng nhân K(x,s) hay ph−ơng trình (8.2.1) Nếu λ=λ0 lμ giá trị riêng ph−ơng trình (8.2.1) vμ ϕ0(x) lμ nghiệm ph−ơng trình nμy λ=λ0, tức

) ( )

( ) ,

(x s s ds x

K

b

a

0 0 =λ ϕ ϕ

 , (8.2.4) hm 0(x) đợc gọi l hm riêng ứng với giá trị riêng nhân K(x,s) hay

phơng trình tích phân

Cú th tất giá trị riêng nhân đối xứng lμ số thực, vμ tất hμm riêng coi lμ hμm thực

Các hμm riêng nhân đối xứng, ứng với giá trị riêng khác nhau, trực giao với Có thể lμm cho hμm riêng trở thμnh hμm chuẩn hoá

( )

, 1 2 n

2

1 λ λ λ ≥ λ ≥ ≥λ ≥

λ , , n, (8.2.5) lμ dãy giá trị riêng nhân đối xứng nμo đó, t−ơng ứng với dãy nμy lμ hệ trực giao hμm riêng

,

2

1(x),ϕ (x), ϕn(x)

ϕ (8.2.6) Trong tr−ờng hợp nμy định lý Gilbert−Smidth khẳng định rằng, biểu diễn hμm f(x) qua nhân K(x,s) d−ới dạng

 = b a ds s h s x K x

f( ) ( , ) ( ) , (8.2.7) h(s) lμ hμm giới nội nμo có số hữu hạn điểm gián đoạn vμ khai triển đ−ợc thμnh chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối vμ theo hμm riêng nhân Do viết chuỗi Fourier hμm h(x) theo hμm riêng (8.2.6) nhân K(x,s) d−ới dạng

) (x

h ~ 

∞ =1 ϕ

k k

k x

h ( ), (8.2.8) hm f(x) (8.2.7) đợc khai triển thnh chuỗi

= = k k k

kh x

x

f( ) ( ), (8.2.9) λk lμ giá trị riêng, ϕk(x) lμ hμm riêng nhân K(x,s)

Gi¶ sư p(x) vμ q(x) lμ hai hμm giíi néi có số hữu hạn điểm gián đoạn khoảng ]

,

[a b LËp tÝch ph©n kÐp

b a b a dxds s q x p s x

K( , ) ( ) ( ) (8.2.10) áp dụng định lý Gilbert-Smidth, ta đ−ợc

 ∞ = ϕ λ = b a k k k kq x

ds s q s x K ) ( ) ( ) ,

( , (8.2.11) qk lμ hệ số Fourier hμm q(x) khai triển thμnh chuỗi Fourier theo hμm riêng (8.2.6), vμ chuỗi vế phải hội tụ

Nh©n hai vÕ cđa (8.2.11) víi p(x), lÊy tÝch ph©n theo x vμ ký hiƯu pk lμ nh÷ng hƯ sè Fourier cđa hμm p(x) khai triển thnh chuỗi theo hm riêng (8.2.6), ta nhận đợc biểu diễn tích phân (8.2.10) dới đây:

 ∞ = λ = b a k k k k b a q p dxds s q x p s x K ) ( ) ( ) ,

( (8.2.12) Đặc biệt, p(x)q(x) ta đợc

= = b a k k k b a p dxds s p x p s x K ) ( ) ( ) ,

( (8.2.13)

Ta xét tính chất cực trị hμm riêng nhân đối xứng Khi xếp giá trị riêng theo thứ tự giảm dần giá trị tuyệt đối chúng, theo (8.2.13) ta có

 ∞ = λ ≤ b a k k b a p dxds s q x p s x K ) ( ) ( ) ,

( (8.2.14)

 ∞

=

=

b

a k

k

p dx x p

1 2( )

(8.2.15) Đối với hμm chuẩn hố p(x), tích phân vế trái (8.2.15) đơn vị,

∞

=

=

2 1

k k

p (8.2.16) Từ đó, hμm chuẩn hoá p(x) bất đẳng thức (8.2.14) đ−ợc viết d−ới dạng

 ≤ λ

b

a b

a

dxds s q x p s x

K( , ) ( ) ( ) 1 (8.2.17) Trong (8.2.17) đẳng thức xảy p(x)=ϕ1(x), tức hμm p(x) trùng với hμm riêng ϕ1(x)

Thực vậy, sau nhân hai vế đẳng thức

( )

, 1 2 n

2

1 λ λ λ ≥λ ≥ ≥ λ ≥

λ , , n, (8.2.18) víi ϕ1(x) vμ lÊy tÝch ph©n theo x, tÝnh chn ho¸ cđa hμm ϕ1(x), ta nhËn ®−ỵc:

 ϕ ϕ =λ ϕ =λ

b

a b

a

b

a

dx x dxds

s x s x

K( , ) 1( ) 1( ) 1 21( ) 1 (8.2.19) Nh− vậy, định lý sau lμ đúng: Trên tập hợp hμm chuẩn hố p(x) tích phân

b

a b

a

dxds s p x p s x

K( , ) ( ) ( ) có cực đại λ1 p(x)=ϕ1(x)

Bây xét tập hợp hμm chuẩn hoá p(x) trực giao với m−1 hμm riêng (8.2.6) nhân K(x,s) Khi (8.2.13) m−1 hệ số Fourier pk biểu thức khai triển hμm p(x) thμnh chuỗi Fourier theo hμm (8.2.6) khơng Khi (8.2.13) đ−ợc viết d−ới dạng

 ∞

= λ

=

b

a b

a k m

k kp

dxds s p x p s x

K( , ) ( ) ( ) (8.2.20) Từ

 ≤λ

b

a b

a

m

dxds s p x p s x

K( , ) ( ) ( ) (8.2.21) Trong (8.2.21) đẳng thức đạt đ−ợc p(x)=ϕm(x), tức lμ định lý sau đúng: Trên tập hợp hμm chuẩn tắc p(x) trực giao với m−1 hμm riêng nhân

) , (x s

K , tÝch ph©n  b

a b

a

dxds s p x p s x

K( , ) ( ) ( ) có cực đại λm , cực đại nμy đạt đ−ợc

) ( )

(x x

p =ϕm

8.3 Tìm thnh phần trực giao tự nhiên

Bây trở lại bμi tốn tìm hệ hμm {ϕk(x)} lμm cho tổng (8.1.21) trở thμnh cực đại, ta thấy sở lý thuyết trình bμy mục 8.2, số hạng thứ k có cực đại λk chọn hμm riêng hμm t−ơng quan Rx(t1,t2) ứng với giá trị

quan Rx(t1,t2) t−ơng ứng với n giá trị riêng hμm t−ơng quan nμy đ−ợc xếp theo thứ tự giảm dần giá trị tuyệt đối

Khi ph−ơng sai sai số phép xấp xỉ

n

σ đ−ợc xác định theo công thức

  = λ − = σ b a n k k x

n R t t dt

1 (, )

(8.3.1) Từ đẳng thức

 ϕ ϕ = λ b a b a k k x

k R (t1,t2) (t1) (t2)dt1dt2 [ ]k b

a

k t dt D A

t X M =               ϕ =  ) ( )

( (8.3.2)

thấy rằng, giá trị riêng hμm t−ơng quan lμ ph−ơng sai hệ số Ak t−ơng ứng khai triển hμm ngẫu nhiên theo hệ hμm riêng {ϕk(t)} Do đó, giá trị riêng hμm t−ơng quan thực lμ số d−ơng, vμ dấu giá trị tuyệt đối (8.3.1) bỏ

Hệ ph−ơng pháp trình bμy hoμn toμn áp dụng cho khai triển tr−ờng ngẫu nhiên thμnh thμnh phần trực giao tự nhiên Trong tr−ờng hợp nμy, tất hμm đ−ợc xét nh− hμm điểm N(ρ) cho miền giới hạn nμo với số chiều cho Chẳng hạn, giả sử U(ρ)=U(x,y,z) lμ tr−ờng không gian ngẫu nhiên xác định miền

D, cã kú vọng toán học không v hm tơng quan (1,2)

 

u

R

Ta biểu diễn trờng ngẫu nhiên U() dới dạng tổng

 = ϕ ρ ≈ ρ n k k k A U ) ( )

(  , (8.3.3) {ϕk(ρ)} lμ hệ hμm trực chuẩn đầy đủ miền D, tức lμ điều kiện sau đ−ợc thực

  ≠ = = ϕ ϕ ) ( , ) , , ( ) , , ( D k i k i k i dxdydz z y x z y x khi (8.3.4) Các hệ số Fourier Ak lμ đại l−ợng ngẫu nhiên đ−ợc xác định theo công thức

 ϕ = ) ( ) , , ( ) , , ( D k

k U x y z x y z dxdydz

A (8.3.5) Trong tr−ờng hợp nμy bμi toán xấp xỉ tr−ờng ngẫu nhiên tổng thμnh phần trực giao tự nhiên (8.3.3) đ−ợc quy việc tìm hμm ϕ1(ρ),ϕ2(ρ), ,ϕn(ρ) lμm cực đại tổng ζ η ξ ζ η ξ ϕ ì         ϕ ζ η ξ   = d d d dxdydz z y x z y x R k n

k D D

k

u( , , ; , , ) ( , , ) ( , , )

) ( ( )

1

(8.3.6)

Khi xem xét lý thuyết trình bμy mục 8.2 áp dụng vμo ph−ơng trình tích phân ) , , ( ) , , ( ) , , ; , , ( ) ( z y x d d d z y x K D λϕ = ζ η ξ ζ η ξ ϕ ζ η ξ

 , (8.3.7)

riêng ph−ơng trình (8.3.7) đ−ợc xếp theo thứ tự khơng tăng giá trị chúng Khi ph−ơng sai sai số phép xấp xỉ

n

σ đ−ợc xác định theo công thức

 

=

λ − =

σ n

k k D

u

n R x y z x y z dxdydz

1

) (

) , , ; , ,

( (8.3.8)

Từ công thức ph−ơng sai sai số phép xấp xỉ (8.3.1) hay (8.3.8) thấy rằng, độ xác tăng lên tăng số thμnh phần trực giao tự nhiên mμ hμm ngẫu nhiên khai triển theo chúng Tuy nhiên số λ1,λ2, ,λn phân bố theo thứ tự giảm dần, số thứ tự thμnh phần công thức (8.1.14) hay (8.3.3) cμng lớn thì, trung bình, tỷ trọng thμnh phần cμng nhỏ Nếu giá trị riêng giảm nhanh, điều cho phép nhận kết gần cần ý tới số không lớn thμnh phần −u điểm phép khai triển theo thμnh phần trực giao tự nhiên lμ chỗ tập trung tối đa thông tin hμm ngẫu nhiên vμo số không nhiều số hạng

Khi đánh giá độ xác phép xấp xỉ (8.1.17) số n thμnh phần trực giao tự nhiên chọn, sử dụng ph−ơng sai t−ơng đối sai số xấp xỉ

   



 

  

 

− =

η

 

b

a b

a

n n

dt t X M

dt t X t X M

) (

)] ( ) ( [

2 2

(8.3.9)

Theo (8.3.1) víi giá trị cực tiểu

n

ta nhận đợc

=

λ − =

η b

a x b

a

n

k k x

n

dt t t R

dt t t R

) , ( ) , (

1

2 (8.3.10)

Sau dựng đồ thị phụ thuộc đại l−ợng ηn vμo số n, −ớc l−ợng số số hạng khai triển cần thiết tuỳ theo độ xác cho phép xấp xỉ

B©y giê ta xÐt tr−êng hợp ghi liên tục hm ngẫu nhiên, m có lát cắt điểm rời rạc, điều m thờng xảy nghiên cứu thực nghiệm hm ngẫu nhiên

Giả sử hm ngẫu nhiên X(t) có kỳ vọng toán học không, đợc cho số hữu hạn ®iĨm t1,t2, ,tm, {ϕk(t)} lμ hƯ hμm bÊt kú, cịng đợc cho điểm t1,t2, ,tm Ta xem hm ngẫu nhiên X(t) nh vectơ m chiều X(X1,X2, ,Xm) m thnh phần l lát cắt hm ngẫu nhiên X1=X(t1),X2 =X(t2), , Xm=X(tm)

Ta xem hm k(t) nh vectơ m chiÒu ( , , k) m k k

k ϕ ϕ ϕ

ϕ ,

 m thnh

phần chúng l giá trị hm k(t) điểm ti, tøc )

( ),

( ),

( k k m

m k

k k k

t t

t ϕ =ϕ ϕ =ϕ

ϕ =

ϕ1 2 ,

Ta coi vectơ k

l trực giao v chuẩn hoá (trực chuẩn) Hai vectơ

a (a1,a2, ,am) vμ b (b1,b2, ,bm) gäi lμ trùc giao nÕu tÝch v« h−íng cđa chóng b»ng kh«ng, 

=

= =

⋅ m

i i ib

a b a

1

0



Vectơ a gọi lμ chuẩn hố độ dμi đơn vị a = =  = m i i a

 (8.3.12)

§iỊu kiện trực chuẩn vectơ { }k

đợc viết dới dạng = = = ϕ ϕ m i l i k i l k l k

1

, (8.3.13) Ta biĨu diƠn vect¬ ngẫu nhiên X dới dạng tổ hợp tuyến tính vectơ { }k

= n k k k A X  

, (8.3.14) hệ số Ak lμ tổ hợp tuyến tính thμnh phần vectơ ngẫu nhiên  = ϕ = m j k j j k X A

(8.3.15) Đẳng thức vectơ (8.3.14) viết cho thμnh phần vectơ dẫn tới hệ đẳng thức

 = ϕ = ≈ n k k i k

i A i m

X , , ,

, (8.3.16) Ph−ơng sai sai số phép xấp xỉ vectơ ngẫu nhiên X tổng (8.3.14) đ−ợc xác định d−ới dạng

=               ϕ − = σ   = = m i n k k i k i

n M X A

1 2 =             ϕ ϕ + ϕ − =    = = = = m i n k n k n l l i k i l k k i k i

i X A AA

X M

1 1

2       ϕ ϕ + ϕ ϕ − =     = = = = = = = m i n k m i m j n k n l m i l i k i l k l j k i j i

i X X AA

X M

1 1 1 1

2

2 (8.3.17)

Do (8.3.13), tổng cuối đẳng thức (8.3.17) k j n k m i m j k i j i n k k k n k n l m i l i k i l

kA AA XX

A ϕ ϕ = = ϕ ϕ

 

= = = =

=1 =1 =1 1 1

(8.3.18) Từ ta nhận đ−ợc

k j n k m i m j k i ij m i ii

n= R − Rϕ ϕ

σ  

= = = =1 1

, (8.3.19) Rij lμ mơmen t−ơng quan lát cắt Xi=X(ti) vμ Xj=X(tj) hμm ngẫu nhiên, tức lμ phần tử ma trận t−ơng quan Rij vectơ ngẫu nhiên X



Ta tìm hệ vectơ trực chuÈn { }ϕk

cho đại l−ợng

n

nhận giá trị nhỏ nhất, hay nãi c¸ch kh¸c, tỉng ba líp (8.3.19) nhËn gi¸ trị lớn

Những vectơ nh gọi l vectơ trực giao tự nhiên vectơ ngẫu nhiên X , phép khai triển (8.3.14) với cách chọn vectơ { }k

nh gọi l khai triển vectơ ngẫu nhiên thnh thnh phẫn trực giao tù nhiªn

 = = ϕ ϕ = m i k j k i m j ij k R b 1 (8.3.20) không âm, đó, bμi tốn quy việc xác định vectơ trực chuẩn { }ϕk

cho số hạng bk nhận giá trị lớn

Ta xét hệ phơng trình = = = ϕ m j i j

ij i m

R , , ,

, (8.3.21)

Những giá trị tham số λ hệ (8.3.21) có nghiệm

) , ,

(ϕ ϕ ϕm

ϕ 1 2 , khác vectơ không, đợc gọi l giá trị riêng hay số riêng ma trận hệ số Rij hệ ny, nghiệm

k

ϕ nhận đ−ợc ứng với số riêng cho λk đ−ợc gọi lμ vectơ riêng ma trận Rij

Hệ (8.3.21) t−ơng tự (analog) nh− ph−ơng trình tích phân (8.2.1) mμ ta xét tr−ờng hợp thể trình ngẫu nhiên đ−ợc ghi liên tục, ma trận t−ơng quan

ij

R hệ (8.3.21), nh− biết, lμ ma trận đối xứng, t−ơng tự nh− nhân đối xứng ph−ơng trình tích phân

Những vectơ riêng ma trận thực đối xứng ứng với số riêng khác trực giao với

Thùc vËy, ta xÐt vect¬ riêng k v l

ứng với số riªng λk vμ λl, k≠l, ta cã

 = = ϕ λ = ϕ m j k i k k j

ij i m

R , , ,

, , (8.3.22)

 = = ϕ λ = ϕ m j l i l l j

ij i m

R , , ,

, (8.3.23)

Nhân hai vế đẳng thức (8.3.22) với l i

ϕ cộng lại vμ nhân đẳng thức (8.3.23) với k

i

ϕ vμ cịng céng l¹i:

  = = = ϕ ϕ λ = ϕ ϕ m i m j m i l i k i k l i k j ij R

1 1

, (8.3.24)

  = = = ϕ ϕ λ = ϕ ϕ m i m j m i l i k i l k i l j ij R

1 1

(8.3.25) Trừ (8.3.25) cho (8.3.24) ta nhận đợc

 = ϕ ϕ = λ − λ m i l i k i l k )

( (8.3.26)

Vì k l nên  = = ϕ ϕ m i l i k i

0, tức vectơ k v l

trực giao Ta tính phơng sai tỉ hỵp tun tÝnh (8.3.15)

=               ϕ =  = m j k j j

k M X

A

D[ ]  

= = = = ϕ ϕ =       ϕ ϕ m i m j k j k i ij m i m j k j k i j

iX R

X M

1

1

(8.3.27)

NÕu λk lμ mét sè riªng ma trận tơng quan,

k

( , , , k) m k

k ϕ

1 l vectơ riêng

k k i m i k i m i k m j k j ij k i k R A

D = ϕ ϕ =λ ϕ ϕ =λ

=

=1 =1

]

[ (8.3.28)

Từ thấy số riêng ma trận t−ơng quan lμ ph−ơng sai tổ hợp tuyến tính Ak Điều nμy số riêng ma trận t−ơng quan lμ nhng s khụng õm

Ta xếp số riêng ma trận tơng quan theo thứ tự giảm dÇn

3 1≥λ ≥λ ≥

λ , vμ gi¶ sư 1, 2, 3,

ϕ

l vectơ riêng tơng øng víi chóng

Có định lý sau tính chất cực trị số riêng vμ vectơ riêng ma trận đối xứng, t−ơng tự tính chất cực trị giá trị riêng vμ hμm riêng nhân đối xứng ph−ơng trình tích phõn

Định lý: Trên tập hợp vectơ chuẩn t¾c ϕ (ϕ1,ϕ2, ,ϕm) tỉng j m i i m j ij

Rϕϕ

 =1

(8.3.29) có cực đại số riêng lớn λ1 ma trận Rij Cực đại nμy đạt đ−ợc vect

bằng vectơ riêng 1 ứng với số riêng 1

Trên tập hợp vectơ trực giao chuẩn hoá với n1 vectơ riêng đầu tiªn

1

1

,ϕ −

ϕ ϕ , , n

ma trận Rij , tổng (8.3.29) có cực đại số riêng λn đạt đ−ợc

n

ϕ = ϕ 

Chøng minh: Gi¶ sư ϕ1,ϕ2, ,ϕm

lμ vectơ riêng độc lập tuyến tính ma trận Rij , vectơ ϕ

biểu diễn dới dạng tổ hợp tun tÝnh cđa chóng

m m

c c

cϕ + ϕ + + ϕ

=

ϕ  2 

2

1 (8.3.30)

ThÕ (8.3.30) vμo (8.3.29), tính chất trực giao vectơ riêng, ta nhận ®−ỵc    = = = = = = ϕ ϕ = ϕ ϕ m i m j m k m l l j k i l k ij m i m j j i

ij R cc

R

1 1

1 = = =

ϕ ϕ = m i k j k i m j ij m k k R c 1

(8.3.31) Sử dụng (8.3.21) v điều kiện chuẩn hoá vectơ , ta đợc

1 2 1 2 1 λ = λ ≤ λ = ϕ λ = ϕ ϕ      = = = = = = m k k k m k k m i k i k m k k m i j i m j

ij c c c

R [ ] (8.3.32)

Tổng (8.3.29) có giá trị cực đại 1 ϕ=ϕ

λ  , trờng hợp ny

0

1 2

1= c = =Cm=

c ,

Bây giả sử vectơ trực giao với vectơ riêng ,

ϕ ϕ , , n

, khai triển (8.3.30) c1=c2 = =cn−1=0 vμ từ (8.3.32) ta nhận đ−ợc

n k m n k k m i j i m j ij c

R ϕϕ =λ ≤λ



= = =

2

1

(8.3.33) Đẳng thức (8.3.33) đạt đ−ợc ϕ = ϕn

Nếu lấy vectơ riêng ma trận tơng quan Rij lm hệ vectơ { } k

khai triển vectơ ngẫu nhiên X (8.3.14) phơng sai sai số xấp xỉ

n

 

= = − λ

=

σ n

k k n

i ii

n R

1

2 , (8.3.34)

trong λk − số riêng ma trận t−ơng quan

Nh vậy, với t cách l vectơ trực giao tự nhiên khai triển vectơ ngẫu nhiên thnh tổng n thnh phần trực giao tự nhiên cần phải lấy n vectơ riêng ma trận tơng quan ứng với n số riêng

Khi chọn vectơ riêng ma trận tơng quan lm vectơ { }k

, cỏc h s khai triển Ak (8.3.14) đôi không t−ơng quan

Thùc vËy,

l j k i m

i

j i m

j l

kA M X X

A

M = ϕ ϕ

=1

] [ ]

[ R l k l

i m

i k i l l i m

j ij m

i k

i ϕ =λ ϕ ϕ = ≠

ϕ

=  

= =

=

1

(8.3.35) Vì số riêng λk ma trận t−ơng quan lμ ph−ơng sai hệ số khai triển vectơ ngẫu nhiên theo vectơ riêng ma trận t−ơng quan, nên bμi toán khai triển vectơ ngẫu nhiên thμnh tổng thμnh phần trực giao tự nhiên đặt nh− sau Chẳng hạn, giả sử có m giá trị yếu tố khí t−ợng x1,x2, ,xm Đây lμ giá trị m mực khác hay m điểm khác mặt đẳng áp, hay giá trị điểm, nh−ng thời điểm khác Các vectơ trực chuẩn ( , , k)

m k k

k ϕ ϕ ϕ

ϕ ,

 ,

tức l tổ hợp tuyến tính giá trị yếu tố khí tợng xi, i=1,2, ,m d¹ng



= ϕ

= m

i k i i

k x

A

1

(8.3.36) đợc tìm cho phơng sai tổ hợp tuyến tính ny

k j k i m

i m

j ij m

i k i i

k M x R

A

D = ϕϕ

    

  

   

 

ϕ

=  

= =

= 1

2 ]

[ (8.3.37)

cực i

Mỗi vectơ k

nh vy l vectơ riêng ma trận t−ơng quan Rij Số riêng ma trận Rij t−ơng ứng với vectơ ph−ơng sai tổ hợp tuyến tính Ak

ý nghĩa khai triển hμm ngẫu nhiên thμnh tổng thμnh phần trực giao tự nhiên lμ chỗ, từ số l−ợng lớn số liệu thực nghiệm, tr−ớc hết tách tổ hợp tuyến tính A1, có độ biến thiên (ph−ơng sai) lớn Tổ hợp tuyến tính nμy t−ơng ứng với vectơ riêng

ϕ ứng với số riêng lớn số riêng ma trận t−ơng quan Tiếp theo xét đến tổ hợp tuyến tính Ak, khơng t−ơng quan với A1, vμ chọn lấy tổ hợp A2 số chúng có độ biến thiên lớn nhất, v.v Sau chọn đ−ợc số không

lớn tổ hợp nh− thế, độ biến thiên tất tổ hợp tuyến tính cịn lại trở nên nhỏ Vì vậy, mong muốn mô tả phần lớn độ biến thiên đặc tr−ng tập hợp giá trị x1,x2, ,xm, sử dụng khơng phải tất tổ hợp tuyến tính Ak, mμ số tổ hợp ứng với số riêng lớn λk

                    ϕ − = η    = = = m i i m i k i n k k i n X M A X M 2 1

2 (8.3.38)

để cho ph−ơng sai cực tiểu phù hợp với (8.3.34) vμ tính đến đẳng thức biết

  = = = λ m k k m i ii R 1 (8.3.39) sai số ny đợc viết dới dạng

= = λ λ − = η m k k n k k n 1

1 (8.3.40)

Đại lợng = = λ = m k k n k k n d 1 (8.3.41)

đặc tr−ng cho phần n thμnh phần tự nhiên ph−ơng sai tổng

Nh− vậy, so với khai triển hμm ngẫu nhiên theo hệ hμm hay vectơ trực chuẩn nμo khác, phép khai triển hμm ngẫu nhiên theo thμnh phần trực giao tự nhiên đảm bảo giảm ph−ơng sai nhanh từ thμnh phần nμy đến thμnh phần khác

Bμi tốn tìm số riêng vμ vectơ riêng ma trận lμ bμi toán đại số tuyến tính Nếu chuyển số hạng từ vế phải sang vế trái, viết lại hệ (8.3.21) d−ới dạng

) ( , ) ( , ) ( 2 1 2 22 21 12 11 = ϕ λ − + + ϕ + ϕ = ϕ + + ϕ λ − + ϕ = ϕ + + ϕ + ϕ λ − m mm m m m m m m R R R R R R R R R (8.3.42)

Hệ ph−ơng trình (8.3.42) có nghiệm khác vectơ khơng tr−ờng hợp định thức hệ khơng, tức lμ ta có ph−ơng trình

0 2 22 21 12 11 = R R R R R R R R R mm m m m m λ − λ − λ −

(8.3.43)

Ph−ơng trình nμy đ−ợc gọi lμ ph−ơng trình đặc tr−ng ma trận hệ số Rij hay ph−ơng trình trọng l−ợng Khai triển định thức (8.3.43), ta viết d−ới dạng ph−ơng trình đại số λ

0

2

1λ − λ − − λ− =

−

λ − − m− m

m m m p p p

Nh− vậy, số riêng ma trận Rij lμ nghiệm ph−ơng trình bậc m (8.3.44), vμ đó, nói chung có m số riêng λ1,λ2, ,λm, xếp theo thứ tự giảm dần Để xác định vectơ riêng ( , 1, 1)

2 1

,ϕm

ϕ ϕ

ϕ , t−ơng ứng với số riêng lớn λ1, lμ vectơ trực giao tự nhiên thứ khai triển vectơ ngẫu nhiên (8.3.14), cần phải đặt

1 λ =

λ vμo hƯ (8.3.42) vμ t×m nghiƯm hệ ny Mỗi vectơ trực giao tự nhiên n

ϕ ϕ ϕ2,3, ,

sÏ đợc tìm cách giải hệ (8.3.42) với =2,3, ,n

Những hệ số ph−ơng trình đặc tr−ng (8.3.44) lμ tổng tất định thức ma trận Rij bậc i dựa đ−ờng chéo Tính trực tiếp hệ số Pi lμ cơng việc nặng nề vμ đòi hỏi nhiều thao tác

Trong đại số tuyến tính xây dựng nhiều ph−ơng pháp đơn giản hoá việc giải bμi toán xác định số riêng vμ vectơ riêng ma trận, trình bμy chi tiết vấn đề nμy tìm đ−ợc [77] Phần lớn ph−ơng pháp bao gồm việc tính tr−ớc các hệ số ph−ơng trình đặc tr−ng bỏ qua việc tính nhiều định thức Sau số riêng đ−ợc tính ph−ơng pháp nμo để tính gần nghiệm đa thức

Khi khai triển vectơ ngẫu nhiên thμnh tổng thμnh phần trực giao tự nhiên, nh− thấy đây, th−ờng ng−ời ta giới hạn số thμnh phần đầu tiên, tức lμ sử dụng số vectơ riêng ma trận t−ơng quan t−ơng ứng với số riêng lớn Bμi tốn tìm số riêng ma trận vμ vectơ riêng t−ơng ứng với chúng đại số tuyến tính có tên lμ bμi toán giá trị riêng phận để phân biệt với bμi tốn đầy đủ địi hỏi xác định tất số riêng vμ vectơ riêng ma trận Để giải bμi tốn phận ph−ơng pháp lặp lμ hiệu quả, số riêng đ−ợc nhận nh− lμ giới hạn chuỗi số nμo đó, vμ thμnh phần vectơ riêng t−ơng ứng với chúng nh− Trong ph−ơng pháp lặp, số riêng th−ờng đ−ợc tính trực tiếp mμ khơng cần tính tr−ớc hệ số ph−ơng trình đặc tr−ng, điều lμm đơn giản bμi tốn Các ph−ơng pháp lặp thích hợp việc giải máy tính điện tử, chúng quan trọng

8.4 BiĨu diƠn c¸c tr−êng khí tợng dới dạng tổng thnh phần trực giao tù nhiªn

Ph−ơng pháp khai triển hμm ngẫu nhiên thμnh thμnh phần trực giao tự nhiên cho phép tách đặc điểm vμ loại bỏ chi tiết nhỏ từ số l−ợng lớn số liệu thực nghiệm; ph−ơng pháp nμy đ−ợc ứng dụng rộng rãi để mô tả cấu trúc thống kê tr−ờng khí t−ợng cơng trình N A Bagrov [35,36], A M Obukhov [67], M.I Iuđin [87], L V Rukoves [73], G Đ Kuđashkin [58], A V Mesherskaija vμ N I Iakovleva [64,65,89,90] vμ tác giả khác

Việc chọn vμi tập nh− nhằm khảo sát vấn đề độ ổn định phép khai triển Nếu thμnh phần trực giao tự nhiên nhận đ−ợc theo tập tính ổn định chuyển sang tập khác, việc ứng dụng khai triển nh− vμo thực tế trở thμnh hiệu vμ khơng −u việt so với phép khai triển theo hệ hμm trực giao khác

Số liệu đ−ợc lấy điểm nút l−ới lãnh thổ châu Âu Mỗi mùa có khơng 990 giá trị biến đổi ngμy đêm địa vị, mặc dù, nh− tác giả [73] nêu, tất giá trị độc lập Để nghiên cứu phụ thuộc hμm trực giao tự nhiên vμo vĩ độ, toμn lãnh thổ đ−ợc chia thμnh ba vùng theo vĩ độ Theo số liệu tập thứ ba, tập có nhiều giá trị nhất, tính ma trận t−ơng quan Rij cho vùng số ba vùng, ma trận t−ơng quan nμy mô tả mối liên hệ biến đổi ngμy đêm địa vị mực toμn sáu mặt đẳng áp Vì xét số liệu sáu mực chuẩn, nên ma trận t−ơng quan Rij lμ ma trận bậc sáu

Việc tính số riêng vμ vectơ riêng đ−ợc thực theo ph−ơng pháp Jacobi, tức lμ đ−a ma trận dạng đ−ờng chéo nhờ phép quay đơn giản [77] Việc tính biến đổi ngμy đêm, ma trận t−ơng quan, số riêng vμ vectơ riêng đ−ợc thực máy tính điện tử

Giá trị vectơ riêng ma trận t−ơng quan cho ba vùng (1, 2, 3), lấy từ [73], đ−ợc biểu diễn hình 8.1 Do độ biến động địa vị tăng theo vĩ độ mμ ma trận t−ơng quan vùng khác biệt cách đáng kể Nh−ng, nh− ta thấy hình 8.1, vectơ riêng ma trận gần

H×nh 8.1

Để nhận định tính chất ổn định vectơ riêng, hình 8.2 dẫn giá trị chúng cho bốn tập vùng Từ hình 8.2 thấy rằng, mùa khác hình dạng vectơ riêng gần giống nhau, đặc biệt hai vectơ riêng

  = =

λ λ = m

k k n

k k n

d

1

1 , (8.4.1)

đặc tr−ng cho phần đóng góp n thμnh phần trực giao tự nhiên vμo ph−ơng sai khai triển (8.3.14) với n=1,2, ,6, tức lμ hạn chế một, hai, ba, v.v số hạng tổng (8.3.14)

H×nh 8.2

B¶ng 8.1

TËp

1

k

k

λ dn% λk dn% λk dn% λk dn%

1 559,8 80,9 195,2 66,2 184,7 73,5 625,2 50,2 93,4 94,4 59,4 86,3 40,8 89,7 115,5 95,0 22,5 97,6 18,5 92,6 14,2 95,3 21,0 97,7 10,6 99,2 11,0 96,3 5,5 97,5 10,7 99,0 3,6 99,7 8,7 99,3 4,2 99,2 5,1 99,7 2,1 100 2,1 100 1,9 100 2,4 100

Chơng 9: Những ví dụ ngoại suy tuyến tính tối u trình

khí tợng thủy văn

9.1 Ngoại suy tối u dòng chảy sông theo phơng pháp I M Alekhin

I M Alekhin ứng dụng lý thuyết ngoại suy tuyến tính tối −u q trình ngẫu nhiên dừng để dự báo dịng chảy sơng ngịi [34] Ơng xem độ lệch dòng chảy năm so với chuẩn nh− hμm ngẫu nhiên dừng thời gian cho giá trị nguyên đối số

H×nh 9.1

1 Dự báo dịng chảy sơng cách giải trực tiếp hệ ph−ơng trình đại số

Bμi tốn dự báo dịng chảy sơng đ−ợc đặt nh− sau Có số liệu độ lệch dòng chảy năm so với chuẩn q(t),q(t−1), ,q(t−n) ghi đ−ợc n năm mμ năm cuối đ−ợc ký hiệu lμ t Giá trị dự báo q(t+T), với T− thời hạn dự báo, đ−ợc tìm d−ới dạng tổ hợp tuyến tính m số số số liệu nμy



=

− α =

+ m

k

kq t k

T t q

0

) ( )

( (9.1.1) Các hệ số αk giá trị T cho, đ−ợc xác định từ điều kiện cực tiểu ph−ơng sai sai số ngoại suy nh− trình bμy mục 5.2, lμ nghiệm hệ ph−ơng trình



= α − =

=

+ m

k q k

q T j R k j j m

R

1

,

, ,

), ( )

( , (9.1.2)

trong Rq(τ) lμ hμm t−ơng quan độ lệch dòng chảy năm Số hạng tử m tổng (9.1.1) cần đ−ợc chọn cho mômen t−ơng quan Rq(k− j) xác định theo số liệu quan trắc n điểm phải đủ tin cậy Trong [34], hệ ph−ơng trình (9.1.2) đ−ợc giải ph−ơng pháp Gauss [77]

Chúng ta xem xét kết tính cho sơng Volga Kub−shev Chuỗi ban đầu l−u l−ợng trung bình năm lấy độ lệch so với chuẩn thời kỳ 1882−1935 Số hạng tử tổng (9.1.1) 21

Trong bảng 9.1 dẫn giá trị hệ số ngoại suy tối u k ứng với thời hạn dự báo T=1,2,3 v năm

đánh giá chất l−ợng dự báo tối −u, hình 9.2 dẫn giá trị thực dòng chảy năm (đ−ờng liền nét) vμ giá trị dự báo theo công thức (9.1.1) với hệ số bảng 9.1

Tõ h×nh 9.2 thÊy r»ng, sè liƯu dù báo nhận đợc theo phơng pháp ngoại suy tối u phù hợp với giá trị thực dòng chảy năm

Bảng 9.1

k T

0 10

1 0,56 −0,53 0,42 −0,22 0,03 0,08 −0,28 0,03 0,24 0,18 0,00 −0,22 0,19 −0,07 −0,28 −0,05 −0,17 0,02 0,25 0,19 0,13 0,19 −0,19 0,11 −0,55 0,16 −0,38 0,08 0,20 0,23 0,00 0,14 0,13 −0,85 −0,06 −0,52 0,53 −0,01 0,28 −0,18 0,25 −0,02 0,34 0,58

k T

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C¸c hƯ số tơng quan giá trị thực v dự báo b»ng: 03

0 84

0, ± , víi T =1 năm,

03 84

0, , với T=2 năm,

03 84

0, , với T=3 năm,

03 80

0, , với T =5 năm

Thnh công việc đa số liệu nhiều năm vo dự báo cμng thĨ hiƯn râ nÕu chóng ta

nhí l¹i hệ số tơng quan lu lợng trung bình năm sông Volga (tại

Kubshev) với =2,3 v năm r(2)=0,06,r(3)=0,05, 23r(5)=0 (xem hình 9.1) Kết dự báo cho năm sông khác khả quan

Hình 9.2

2 Dự báo dòng chảy sông sử dụng lý thuyết KolmogorovWiner

Giả thiết độ lệch dòng chảy năm so với chuẩn lμ trình ngẫu nhiên dừng vμ khoảng thời gian cho trình nμy lớn, tức lμ thể q trình xem lμ đ−ợc cho toμn khoảng tr−ớc thời điểm

Theo lý thuyết Kolmogorov−Winer giá trị dự báo q(t+T) đ−ợc tìm theo cơng thức (9.1.1), hệ số αk đ−ợc xác định cách giải ph−ơng trình Winer−Hopf theo ph−ơng pháp trình bμy mục 5.5

Phơng pháp tính toán nh sau:

1) tỡm hm t−ơng quan Rq(τ) theo chuỗi quan trắc q(t), q(t−1), , q(t−n), 2) tìm mật độ phổ Sq(ω) theo hμm t−ơng quan Rq(τ),

3) xác định hμm truyền tối −u theo công thức (5.5.19),

4) xác định hệ số αk nh− lμ giá trị hμm trọng l−ợng tối −u (5.4.11) thay t t−k công thức nμy,

5) xác định giá trị cần tìm q(t+T) theo cơng thức (9.1.1)

Trong [34] giá trị thống kê hμm t−ơng quan đ−ợc xấp xỉ đ−ờng gấp khúc, tích phân cơng thức xác định mật độ phổ, hμm truyền vμ hμm trọng l−ợng đ−ợc thay gần tổng tích phân t−ơng ứng tính tốn

B¶ng 9.2

k 10

k

α 0,40 0,00 0,00 −0,30 0,53 0,25 0,21 0,10 0,21 −0,14 −0,11

k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

k

α 0,14 −0,05 0,47 −0,06 −0,30 0,10 −0,06 −0,10 0,14 −0,11

Trong bảng 9.2 dẫn giá trị nhận đ−ợc hệ số αk sông Volga với thời gian báo tr−ớc năm

Sử dụng hệ số αk bảng 9.2, theo công thức (9.1.1) lμm dự báo dịng chảy sơng Volga Kub−shev với thời hạn dự báo năm cho thời kỳ 1902−1935 Trên hình 9.3 dẫn số liệu tính tốn dự báo (đ−ờng gạch nối) vμ giá trị quan trắc thực độ lệch dòng chảy so với chuẩn năm (đ−ờng liền nét) Từ hình vẽ thấy rằng, số liệu tính phản ánh biến trình giá trị thực vμ phù hợp với chúng Hệ số t−ơng quan dòng chảy thực vμ dự báo 0,86±0,03 So sánh kết nμy với đánh giá dự báo nhận đ−ợc đ−ờng giải trực tiếp hệ ph−ơng trình (9.1.2) (xem mục 1) thấy độ xác chúng xấp xỉ nh−

H×nh 9.3

9.2 Phân tích phổ v ngoại suy chØ sè hoμn l−u vÜ h−íng

Khi nghiên cứu q trình khí quy mơ lớn cần biết quy luật mắt xích chủ yếu hoμn l−u chung khí quyển, lμ hoμn l−u vĩ h−ớng, tức vận chuyển khơng

khí từ phía tây sang phía đơng gây nên dịng nhiệt tới từ mặt trời vμ quay trái đất

quanh trơc

Khi tìm hiểu quy luật hoμn l−u th−ờng ng−ời ta sử dụng số đặc tr−ng tích phân q trình vĩ mơ Phổ biến đặc tr−ng lμ số hoμn l−u vĩ h−ớng

ω α =

J (9.2.1) Đại l−ợng α liên hệ với tốc độ dμi chuyển động khí hệ thức

ϕ α

=

λ (z)r0cos

v , (9.2.2) vλ lμ tốc độ dịng vĩ h−ớng, r0− bán kính trung bình trái đất, ϕ lμ vĩ độ địa lý,

−

z độ cao mực n−ớc biển

Do tầm quan trọng hiểu biết quy luật biến đổi theo thời gian số hoμn l−u vĩ h−ớng, đặc biệt cho mục đích hoμn thiện ph−ơng pháp dự báo thời tiết hạn dμi, nhiều cơng trình nghiên cứu cấu trúc thống kê số hoμn l−u vĩ h−ớng vμ thử

nghiÖm dự báo phơng pháp thống kê

Hình 9.4

Trong cơng trình [49, 53, 54, 61, 82] tiến hμnh xử lý thống kê số l−ợng

lớn tμi liệu thực nghiệm vμ tính hμm t−ơng quan, mật độ phổ s hon lu v

hớng

Trên hình 9.4 dẫn hm tơng quan thời gian sè hoμn l−u vÜ h−íng theo

[49] độ cao mặt đẳng áp 1000, 700, 500, 300, 200 vμ 100mb

Các hμm t−ơng quan đ−ợc tính theo giá trị ngμy đại l−ợng số hoμn l−u vĩ h−ớng năm quan trắc sau õy:

Mực, mb

Năm

1000 700, 500

300, 200

100

1955−1 960

1949−1 960

1954−1 956

1958−1 960

Trên hình 9.4 nhận thấy phù hợp tốt hμm t−ơng quan mực 700−500 mb, vμ gần đối l−u hạn (200−300 mb), điều nμy cho phép sử dụng hμm t−ơng

quan lÊy trung bình cho lớp Trên hình thấy rõ rằng, đầu hm tơng quan

gim khỏ nhanh, sau có tính chất dao động ngẫu nhiên Trong nhận thấy dao

động nμy biểu tính tuần hoμn với chu kỳ trung bình gần tất đ−ờng

cong

Để biểu thị rõ tính tuần hoμn hμm t−ơng quan nhận đ−ợc tính mật

độ phổ Sj(ω) theo công thức

ωτ τ +

=

ω 

=

cos ) ( )

( )

( n

i j j

j R R

S

1

2

0 ,

ở T

T

2

,

π =

ω lμ chu kỳ

Những tính toán đợc thực víi T=1,2, ,240 ngμy

Đồ thị mật độ phổ mực 1000, 500 vμ 200 mb từ [49] dẫn hình 9.5

H×nh 9.5

Sự tồn loạt cực đại thể rõ đồ thị mật độ phổ (ứng với

,20 21 14

12÷ ÷

=

T ngμy) chứng tỏ tính tuần hoμn biến đổi theo thời gian

sè hoμn l−u vÜ h−íng

Để lμm rõ mức độ liên hệ hoμn l−u mặt đẳng áp khác [82]

tÝnh hm tơng quan quan hệ chuẩn hoá rij() giá trị số hon lu vĩ

h−ớng mực khác Đồ thị hμm đ−ợc dẫn hình 9.6

Nh÷ng giá trị lớn hm tơng quan quan hệ chuẩn hoá nhận đợc cho

giỏ tr hai mực ứng với thời điểm, tức τ=0 Khi đại l−ợng rij(0) có trị số lớn tầng đối l−u (r500,700(0)=0,97), lớp đối l−u hạn có mức độ liên

hƯ nhỏ (r300,200(0)=0,87) Khi khoảng cách mực tăng dần mối liên hệ

Trong cơng trình [53, 54] nghiên cứu cấu trúc thống kê giá trị trung bình tháng số hoμn l−u vĩ h−ớng Từ giá trị số hoμn l−u vĩ h−ớng trung bình tháng mực 500 mb 15 năm (1949−1963), tính hμm t−ơng quan chuẩn hoá thời gian r(τ) số hoμn l−u vĩ h−ớng Kết đ−ợc biểu diễn hình 9.7 Đặc điểm đ−ờng cong hình nμy t−ơng tự đặc điểm hμm t−ơng quan giá trị ngμy số hoμn l−u vĩ h−ớng, thể rõ dao động sóng ngẫu nhiên Chu kỳ trung bình dao động 6−9 tháng Sự diện tính tuần hoμn nμy đ−ợc khẳng định đồ thị mật độ phổ giá trị trung bình tháng số hoμn l−u vĩ h−ớng [54], đ−ợc dẫn hình 9.8

Mối liên hệ t−ơng quan đáng kể theo thời gian giá trị ngμy lẫn giá trị trung bình tháng số hoμn l−u vĩ h−ớng chứng tỏ tính đắn việc đặt bμi toán dự báo thống kê số hoμn l−u vĩ h−ớng Việc thử nghiệm giải bμi toán nμy đ−ợc nêu cơng trình [53,54,82]

Trong cơng trình [82] giải bμi tốn ngoại suy tuyến tính giá trị ngμy số hoμn l−u vĩ h−ớng mặt đẳng áp 700 mb, mối liên hệ t−ơng quan tỏ ổn định

Giá trị dự báo J(t+m) với thời hạn dự báo m ngμy đ−ợc tìm theo chuỗi n giá trị tr−ớc thời điểm t theo cơng thức

) ( )

(t m AJ t i J

n

i

i −

=

+ −

=

(9.2.3)

H×nh 9.6

Những giá trị hệ số Ai với n=30 vμ thời hạn dự báo m bằng1, vμ ngμy đ−ợc dẫn hình 9.9 Từ hình nμy thấy rằng, ảnh h−ởng mạnh đến đại l−ợng đ−ợc dự báo lμ giá trị liền tr−ớc nó, sau 2<i<20 ảnh h−ởng khứ giảm nhanh, cuối với i=21ữ25 ảnh h−ởng nμy lại tăng mạnh lên Sự phân bố trọng l−ợng nh− dĩ nhiên phù hợp với phân bố cực đại mật độ phổ (xem hình 9.5)

Để đánh giá phù hợp giá trị nhận đ−ợc cách ngoại suy tuyến tính vμ giá trị thực số hoμn l−u vĩ h−ớng xác định sai số tuyệt đối trung bình phép ngoại suy ρ= J−J∗ , J∗ lμ giá trị ngoại suy, J− giá trị thực số hoμn l−u vĩ h−ớng

Giá trị nhỏ sai số ρ nhận đ−ợc m nhỏ, tức lμ sử dụng giá trị ngμy liền tr−ớc gần Khi sử dụng số l−ợng lớn số hạng cơng thức ngoại suy tối −u độ xác khơng khơng tăng lên, mμ chí giảm mạnh

H×nh 9.7 H×nh 9.8

Thoạt nhìn t−ởng cμng nhiều hệ số Ai đ−ợc sử dụng cơng thức ngoại suy tối −u cμng nhiều thông tin đ−ợc đ−a vμo để nhận giá trị dự báo, vμ giá trị dự báo cμng đ−ợc xác định cách xác Thực tế khơng phải nh− Các hμm t−ơng quan thực nghiệm dùng để xác định hệ số Ai lμ xác, chúng nhận đ−ợc dựa theo tập mẫu khơng lớn thể Ngoμi độ xác chúng cịn bị giảm số thể riêng biệt phụ thuộc lẫn

Vì số l−ợng hệ số Ai đ−ợc tính tới dự báo phải chọn đủ nhỏ so với dung l−ợng mẫu A M Iaglom [88] cho dung l−ợng mẫu khoảng vμi trăm giá trị, số hệ số Ai không đ−ợc v−ợt vμi đơn v

Để cắt giảm số số hạng công thức ngoại suy tối u v chọn số không lớn số hạng có tỷ trọng lớn dự báo, thông thờng phơng pháp gọi l phơng pháp sng tỏ hiệu Phơng pháp ny nh sau Giả sử có n giá trị thể trình ngẫu nhiên U(t) thời điểm tr−íc thêi ®iĨm t:

) (

), ( ),

(t u t−1 ,u t−n+1

u Gi¸ trị dự báo thể thời điểm t+m đợc tìm theo công thức

j k

j jv

A m

t

u 

=

= +

1

)

( (9.2.4)

với số số hạng k không lín

Khi với t− cách lμ giá trị v1 ng−ời ta chọn số giá trị u(t−i) giá trị t−ơng ứng với trị số lớn hệ số t−ơng quan v1 với đại l−ợng cần dự báo Sau với t− cách lμ v2 ng−ời ta lấy từ số giá trị cịn lại giá trị có

phần đóng góp lớn vμo hệ số t−ơng quan cặp (v1,v2) với đại l−ợng cần dự báo, lấy từ giá trị lại giá trị v3 có phần đóng góp lớn vμo hệ

số t−ơng quan ba đại l−ợng (v1,v2,v3) với đại l−ợng cần dự báo v.v

Thông th−ờng sau vμi b−ớc phần bổ sung vμo hệ số t−ơng quan lμ nhỏ vμ thủ tục kết thúc; số số hạng đ−ợc chọn khơng lớn Tuy nhiên sử dụng ph−ơng pháp nμy, tr−ờng hợp có nhiều đại l−ợng ban đầu, có nguy ngẫu nhiên nhận đ−ợc hệ số t−ơng quan t−ơng đối lớn giá trị đ−ợc chọn vk khơng xác việc xác định hệ số t−ơng quan thực nghiệm Khi dự báo theo ph−ơng pháp nμy trở nên khơng hiệu

H×nh 9.9

Trong cơng trình [53] để dự báo số hoμn l−u vĩ h−ớng trung bình tháng sử dụng lý thuyết ngoại suy tuyến tính q trình ngẫu nhiên dừng trình bμy mục 5.3 vμ 5.5

) sin , sin , ( ) ( , , τ σ + τ σ + = τ − τ − τ 01 465 51 135 e e

R (9.2.5)

Theo công thức (3.2.12) mật độ phổ t−ơng ứng S(ω) đ−ợc xác định d−ới dạng

× σ − α − ω σ − α + ω σ − α − ω − ω − ω = ω ] ) ( ][ ) ( ][ ) ( [ ) , ( ) , ( ) ( 2 2 1 2 1 2 2

2 0616 8834

i i i S ) ]( ) ( [ 2 2 2 α + ω α − α + ω ×

i , (9.2.6)

trong α1=0,01;α2=2,465

Sau đó, theo ph−ơng pháp đ−ợc trình bμy mục 5.5 tìm hμm truyền tối −u theo cơng thức (5.5.19), vμ lμ tìm cơng thức ngoại suy tuyến tính tối −u biểu thị giá trị dự báo đại l−ợng cần tìm thời điểm t+T qua giá trị vμ giá trị đạo hμm bậc thời điểm t

Nếu giới hạn hai đạo hμm đầu tiên, nhận đ−ợc cơng thức ngoại suy tuyến tính tối −u gần số hoμn l−u vĩ h−ớng với thời hạn dự báo vμ hai tháng d−ới dạng

) ( , ) ( , ) ( , )

(t J t J t J t

J +1 =00673 +00027 ′ −08143 ′′ , (9.2.7) ) ( , ) ( , ) ( , )

(t J t J t J t

J +2 =00057 +00002 ′ −00690 ′′ (9.2.8) Khi tính đạo hμm sử dụng công thức nội suy Newton:

), ( )

( − −1

= Δ ≈

′ J J t J t

J ) ( ) ( )

( 2

2 − + − − = Δ ≈

′′ J J t J t J t

J (9.2.9) Kết dự báo J với thời hạn dự báo tháng theo công thức (9.2.7) phù hợp với giá trị thực Dự báo đại l−ợng J(t+2) không cho kết khả quan

Ch−ơng 10: Một số vấn đề mô tả tr−ờng tốc độ gió

10.1 Hμm t−ơng quan tốc độ gió

Trong ch−ơng để xác định kỳ vọng toán học vμ hμm t−ơng quan

biến đổi tuyến tính hμm ngẫu nhiên dừng nμo cần biết kỳ vọng tốn học vμ hμm t−ơng quan hμm ngẫu nhiên đ−ợc biến đổi Nh−ng thực tiễn th−ờng xảy tr−ờng hợp

khi mối liên hệ hμm ngẫu nhiên thực khơng tuyến tính Khi để nhận đ−ợc

đặc tr−ng hμm ngẫu nhiên lμ kết phép biến đổi phi tuyến, biết kỳ vọng toán

học vμ hμm t−ơng quan hμm ngẫu nhiên đ−ợc biến đổi lμ ch−a đủ, m cn bit cỏc

mômen bậc cao hm phân bố nhiều chiều Tuy nhiên nhiỊu tr−êng hỵp,

bằng cách sử dụng thủ thuật nhân tạo biểu diễn gần kỳ vọng toán học vμ

hμm t−ơng quan kết biến đổi phi tuyến qua đặc tr−ng t−ơng ứng hμm

ngẫu nhiên đ−ợc biến đổi

Để lμm ví dụ cho biến đổi phi tuyến trình ngẫu nhiên dừng, ta xét ph−ơng pháp

gần xác định hμm t−ơng quan modul vận tốc gió, biết tr−ớc kỳ vọng tốn học

vectơ ngẫu nhiên hai chiều, m thnh phần Ux(t) v Uy(t) l hm ngẫu

nhiên không độc lập với nhau, giá trị t chúng tuân theo qui luật phân bố chuẩn có

ph−¬ng sai b»ng

Có thể xác định đ−ợc hμm t−ơng quan modul vectơ gió, biết quy luật phân bố

hai chiều f(u1,u2), tức mật độ phân bố đồng thời tốc độ gió U1 v U2 ly nhng thi

điểm khác hay điểm khác không gian Phơng pháp ny đợc A

S Martrenko xem xột cơng trình [60], sở xác định lý thuyết mật độ phân bố đồng thời modul U(t1)



vμ U(t2)

, xác lập mối liên hệ hμm t−¬ng quan cđa

tr−ờng vectơ U(t) vμ tr−ờng vơ h−ớng U(t) Với số giả thiết nμo nhận đ−ợc

công thức t−ơng đối đơn giản, vμ thực tế ứng dụng đ−ợc, để tính hệ số t−ơng quan cho

tr−ờng hợp tốc độ gió trung bình gần khơng Nh−ng thực ra, nh− nêu cơng

trình [60], nhiều tr−ờng hợp tốc độ gió trung bình M[U]=m khác khơng, vμ giá trị

chúng v−ợt ph−ơng sai σ2 cách đáng kể Ví dụ, điều kiện điển hình

đối với dịng chảy xiết 2 2,4 12

2

÷ = σ

m

Biểu thức mật độ phân bố đồng thời tốc độ,

nhận đ−ợc điều kiện đó, cồng kềnh vμ thực tết không cho phép nhận đ−ợc

những cơng thức để tính hệ số t−ơng quan

Chúng ta xây dựng công thức để xác định hμm t−ơng quan tốc độ gió cho tr−ờng

hợp giá trị trung bình tốc độ gió lớn đáng kể so với độ lệch bình ph−ơng trung bình

của chúng Ph−ơng pháp nμy dựa sở sử dụng hμm đặc tr−ng hệ đại l−ợng

ngẫu nhiên có dạng đơn giản tr−ờng hợp đại l−ợng ngẫu nhiên phân b chun

Bi toán đợc phát biểu nh sau Xét vectơ ngẫu nhiên hai chiều j

i

U(t)=Ux(t) +Uy(t) (10.1.1)

m thnh phần Ux(t) v Uy(t) l hm ngẫu nhiên dừng phân bố chuẩn có kỳ vọng toán học mx v my, phơng sai

2 = = y

x D

D v hm tơng quan Rx() v Ry()

Các thnh phần vectơ đợc coi l không phụ thuộc lẫn nhau, tức hm tơng quan quan hƯ cđa chóng b»ng kh«ng

u cầu xác định hμm t−ơng quan Ru(τ) modul vectơ ngẫu nhiên )

( ) ( )

(t U t U t

U = x2 + y2 (10.1.2) Muốn vậy, ta xác định hμm t−ơng quan bình ph−ơng modul

) ( ) ( )

(t U t U t

Z = x2 + y2 (10.1.3) HiĨn nhiªn hμm ngẫu nhiên Z(t) không phân bố chuẩn, tính dừng đợc giữ nguyên

Ta xỏc nh hμm t−ơng quan Rz(τ)

{ − +τ − }= +τ − =

=

τ

z z

z

z M Z t m Z t m M Z t Z t m

R( ) [ ( ) ][ ( ) ] [ () ( )]

+ τ + +

τ +

=M[Ux(t)Ux(t )] M[Ux(t)Uy(t )] 2

2

2

2

2

z y

y x

y tU t M U tU t m

U

M +τ + +τ −

2 2 2 2 2 2 y x y x y x

z M U M U m m m m

m = [ ]+ [ ]=(σ + )+(σ + )= σ + + (10.1.5) Ta xét hệ bốn đại l−ợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn

) ( ), ( ), ( ), ( = +τ = = +τ

=U t U U t U U t U U t

U1 x x y y

Hμm đặc tr−ng hệ nμy, nh− biết (xem mục 1.12), có dạng , exp ) , , , ( , ,       + − =   = = 4 2 k k k j k j k j

k uu i mu

R u

u u u

E (10.1.6)

trong mk lμ kỳ vọng toán học đại l−ợng ngẫu nhiên Uk, Rk,j lμ mômen quan hệ đại l−ợng ngẫu nhiên Uk vμ Uj, chúng lμ phần tử ma trận t−ơng quan Rk,j

)] )(

[(

,j k k j j

k M U m U m

R = − −

Đối với hệ đại l−ợng ngẫu nhiên xét ta có:

2 44 33 22

11=R =R =R =σ

R ;

) ( ),

(τ = τ

=Rx R Ry

R12 34 ;

y

x m m m

m m

m1= 2= , 3= 4= (10.1.7)

Vì hm ngẫu nhiên Ux(t) v Uy(t) không phụ thuộc lẫn nhau, nên

0

24 14 23

13=R =R =R =

R

Nh ma trận tơng quan có dạng

              σ τ σ σ τ σ = 2 2 0 0 ) ( ) ( , y x j k R R

R (10.1.8) Các kỳ vọng toán học vế phải công thức (10.1.4) thực chất lμ mômen gốc bậc bốn hệ đại l−ợng ngẫu nhiên xét Những mơmen nμy tìm đ−ợc cách lấy vi phân hμm đặc tr−ng hệ

= = τ + )] [ ] ( ) ( [ 2 2 U U M t U t U

M x x 2 = = = =0 =

2 4

4

) , , , ( 1 u u u u u u u u u u E

i ∂ ∂

∂ + + + + +

= 11 12

2 22 12 11 12

2R R R m R m R m m R

4 2 2 2

1m 2Rx 2mx 4mxRx mx

m = τ +σ + σ + τ +

+ ( ) ( ) (10.1.9)

Sau tính cách tơng tự giá trị lại kỳ vọng toán học v chúng vo công thức (10.1.4), ta đợc

)] ( ) ( [ )] ( ) ( [ )

(τ = x τ + y τ + x x τ + y y τ

z R R m R m R

R 2 2 (10.1.10) Để xác định hμm t−ơng quan hμm ngẫu nhiên U(t), biết hμm t−ơng quan bình ph−ơng Z(t), cần có quy luật phân bố U(t) giá trị t

Nh− biết (xem mục 1.11) luật phân bố modul vectơ hai chiều

2

y

x U

U

U = + , mμ thμnh phần lμ đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập, phân bố chuẩn, có ph−ơng sai σ2