Đang tải... (xem toàn văn)
Hãy xác định thiết diện của mp(P) cắt hình chóp S.ABCD.. Bµi 6.[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II MƠN TỐN 11 NĂM HỌC 2011– 2012 A Néi dung kiến thức
Đại số & Giải tích:
+ CÊp sè céng, cÊp sè nh©n
+ Giới hạn dãy số, giới hạn tính liên tục hàm số + Các quy tắc tính đạo hàm, ý nghĩa hình học đạo hàm Hình học:
+ Quan hệ song song giữa: đt với mp, hai mp, thiết diện + Quan hệ vuông góc giữa: hai đt, ®t víi mp, hai mp + Gãc gi÷a: hai ®t, ®t vµ mp, hai mp
+ Khoảng cách từ: điểm đến mp, điểm đến đt, đt mp song song, hai mp song song, hai đt chéo
B Bµi tËp
(Những đánh dấu * dành cho học sinh , giỏi) Đại số & Giải tích:
Bài 1.a.Tìm x để x21;x 2;1 3 x lập thành cấp số cộng?
b.Cho cấp số cộng (un) cã: u2 –u3+u5=10 u1+u6=17 Tìm số hạng đầu công sai; tổng 20 số hạng đầu
Bài 2.a Cho ba số
2
; ;
b a b b c lập thành cấp số cộng CMR: ba số a, b, c lập thành cấp số nhân b Tìm x để ba số x-2; x-4; x+2 lập thành cấp số nhân?
Bài Tìm số hạng cuối un số số hạng n cấp số cộng biết u1 = 2, d = 5, Sn = 245. Bài Cho bốn số nguyên lập thành cấp số cộng, tổng chúng 20, tích chúng 384 Tìm bốn số
Bài Cho cấp số nhân (un) có công bội âm thoả mÃn:
5
54 18
u u
u u
T×m sè hạng công bội cấp số nhân Số 3072 số hạng thứ cấp số nhân này? 3* Tính tổng S = u2 + u4 + u6 + + u2006 + u2008
Bài Ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân có số hạng cuối lớn số hạng đầu 16 đơn vị Ba số số hạng thứ nhất, thứ thứ cấp số cộng Tỡm ba s ú
Bài Tính giới h¹n sau:
3 ( 1)( 1) lim
2
n n n
n n
2
1 lim
3
n
n n
3
2
1 5 lim
3 2.5 n n n
4
3
4 lim
4 x
x x
x x
5
2
7 10 lim
3
x
x x
x
6
2
lim[ ( )] x
x x x
7 x →− ∞lim
√4x2
+3x −7
√27x3
+5x2+4+x 8*
3
3
lim
1 x
x x
x
9 2
1 lim
( 9) x
x x
10* 1 lim
1 n m x
x x
(m, n N*) 11 lim
x→3 (
1
x−
1 )
x −3¿3 ¿ ¿
12 lim
x →+∞(1−2x)√
3x −1 x3+1
13 lim
x →− ∞
3x −√3 x5+√x4−5x
2x2+4x −5
14* lim
x →− ∞(
3 √x3
+3x2−√x2−2x)
15
4x+7¿3 ¿ 2x −3¿2¿
¿ lim
x →+∞¿
16 lim
x →+∞
(2)a f(x) =
2
x 1
3 x =
x x
x
b* f(x) =
x x =
x x
x
2 a Xác định a để hàm số sau liên tục trờn ( 0;+∞ )
y = f(x) =
¿ √x −1
x2−1
a2
¿{
¿
b* Xác định a b để hàm số sau liên tục x = x = -1
y = f(x) = 2
2
3 2
1
x x
x
ax bx
x x
x
Bài 8: Chứng minh phương trình
a, x3- 3x + 1= có nghiệm (-2; 0)
b, x5-3x4 + 5x-2= có ba nghiệm phân biệt khoảng (-2 ;5 )
c, 2x3 +3x2 +10x +200 = có nghiệm
d, x4 (m21)x3(3m 3)x2 x 0 có nghiệm khoảng (0; 1) e, (m2 – 1)cosx - sin 3
ln có nghiệm dương
g Phơng trình cos2x = 2sinx - có hai nghiệm khoảng ;
h Phơng trình m(x-1)(x2-4) = x2 - x - cã ba nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m 0 Bµi
1 Cho hµm sè f(x) =x4 - 2x2 - Giải bất phơng trình f’(x) < 0. Cho f(x)=
3
2 (2 5) 15
mx
mx m x
Tìm m để f’(x) < với x R Cho y = x.sinx, chứng minh rằng: xy -2(y’-sinx) + xy’’ =
4 Cho y = 2x x , chøng minh r»ng y3.y’’+1 = 0. Bµi 10: Cho hµm sè
3
( ) 2
f x x x (C)
a) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x0 1
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) điểm có tung độ y0 3
c) Viết phơng trình tiếp với (C ) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y24x2008 d) Viết phơng trình tiếp với (C ) biết tiếp tuyến vng góc với đờng thẳng
1
2008
y x
Bµi 11* TÝnh tỉng
S = + 2.2 + 3.22 + 4.23 +…+ 2007.22006 +2008.22007 H×nh häc:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a
a) Chøng minh AB vu«ng gãc víi (SAD); AD vu«ng gãc víi (SAB), (SBC) vu«ng gãc víi (SAB) b) Cm: CD vu«ng gãc víi SD
NÕu x > NÕu -1 x NÕu x < -1 NÕu x 1
(3)c) Tính góc đờng thẳng SB (SAD); SD (SAB) d) Tính góc mp (ACD) (ABCD), (SBC) (SAD) e) Tính khoảng cách AB SD
Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, SA (ABC) SA = AB = BC = a H trung điểm AC, BK đờng cao tam giác SBC
1 Chøng minh BH (SAC) ; SC (BHK) TÝnh c¸c cạnh diện tích tam giác BHK
3* Tớnh góc tạo : AB SC, SB (BHK) , (SBC) (SAC)
M trung điểm AB, gọi (P) mặt phẳng qua M vng góc với SC.Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) Tính độ dài cạnh thiết diện theo a
Bài 3: Hình chóp S.ABC ABC vng A, góc B = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) (SBC) vng góc với đáy; SB = a Hạ BH SA (H SA); BK SC (K SC)
a) CM: SB (ABC) b) CM: mp(BHK) SC
c) CM: BHK vuông d) Tính cosin góc tạo SA (BHK) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA(ABCD) SA = 2a
a) Chøng minh (SAC)(SBD); (SCD)(SAD)
b) TÝnh gãc SD (ABCD); SB (SAD) ; SB (SAC); c) TÝnh d(A, (SCD)); d(B,(SAC)); d(C,SBD))
d) xác định tính đoạn vng góc chung đờng thẳng SD BC; AD SB; SC BD
e) Gọi ( ) mặt phẳng qua A vng góc với SD Thiết diện ( ) với hình chóp S.ABC hình Tính diện tích thiết diện
Bµi 5: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên 2a gọi O tâm đáy ABCD. a) CMR (SAC) (SBD), (SBD)(ABCD)
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD),từ điểm O đến mp(SBC)
c) Dựng đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD SD
d) Cho mp (P) qua điểm A vuông góc với đường thẳng SC Hãy xác định thiết diện mp(P) cắt hình chóp S.ABCD
Bµi Cho tam giác SAB uvà hình vuông ABCD cạnh a nằm hai mặt phẳng vuông góc với Gọi I, J, K ,E, F lần lợt trung điểm cạnh AB, CD, AD ,SA , SB
1 CMR: (SAD) (SAB), (SIJ) (SCD), (SCK) (SID)
2 Tính góc tạo bởi: SD (ABCD), (SCD) (ABCD) , (SAB) (SCD) Tính khoảng cách : từ A đến (SBC) , hai đờng thẳng AB SC
4 Gi G giao điểm CE DF Chøng minh : GE SA , GE SA , G trọng tâm tam giác SHJ
5* Gi M điểm di động đoạn SA Tìm tập hợp hình chiếu điểm S mặt phẳng (CDM) Bài Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi O, O’ lần lợt tâm hai đáy ABCD
vµ A’B’C’D’
1 CMR : CD’ (ADC’), B’C (ABC’), (ACC’) (B’D’C)
2 Tính góc tạo bởi: B’C DC’ , AC (B’D’C) , (B’D’C) (ABCD) 3* Tính khoảng cách : từ A đến (B’D’C) , BD B’C
4 Gọi M ,N ,P lần lợt trung điểm cạnh AB , A’D’ , C’C Xác định tính diện tích thiết diện hình lập phơng cắt (MNP)
Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD nửa lục giác đều(AD > BC), SA (ABCD).Gọi B’, C’, D’ lần lợt hình chiếu A cạnh SB , SC , SD
1 CMR: BD (SAB), CD (SAC) , AB’ (SBD), AC’ (SCD)
2* CMR : bốn điểm A ,B’ , C’, D’ đồng phẳng tứ giác AB’C’D’ nội tiếp đợc đờng tròn Khi AB = a, SA = a √3 Tính góc tạo bởi: (SAD) (SCD) , SD (ABCD)
Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Đỉnh A’ cách điểm A, B, C Cạnh bên AA’ nghiêng với đáy góc 600, O trọng tâm tam giác ABC.
1 Chøng minh: + A’O (ABC)
+ BCCB hình chữ nhật Tính diện tÝch hcn BCC’B’
2* Xác định đờng vng góc chung AB A’C’.Tính khoảng cách AB A’C’
-sở giáo dục - đào tạo thái bình
đề kiểm tra chất lợng học k ii Nm hc 2007-2008
Bài (1,0 điểm)Tìm số hạng đầu u1 công sai d cấp sè céng (un) biÕt:
1
4
5 10
14
u u
(4)Bài (1,5 điểm) a Cho hàm số:
2
x 1
m x =
x
f x x
Tìm m để hàm số liên tục x = 2.
b TÝnh giíi h¹n:
3
1 lim
x
x x
x
Bài (1,5 điểm) Cho hµm sè:
3
( )
f x x x (1)
a T×m x cho f’(x)<0
b Viết pt tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến // với đờng thẳng y2x3 c Chứng minh pt f x 0 có nghiệm phân biệt
Bài (1,5 điểm) Tứ diện SABC có đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh B AC = 2a, có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA = a
a CMR mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
b Trong mt phng (SAB) vẽ AH vng góc với SB H, chứng minh AH vng góc với (SBC) c Tính độ dài đoạn AH
d Từ trung điểm O đoạn AC vẽ OK vng góc với mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (SBC) K Tính độ dài đoạn OK
-sở giáo dục - đào tạo đề thi chất lợng học kỳ ii Năm học 2008-2009 thỏi bỡnh
Bài (2,5 điểm) Cho hµm sè:
3
x y
x
(1) TÝnh y’(-5), y’(3)
2 Chứng minh đồ thị hs (1) khơng có điểm mà tiếp tuyến // với trục hồnh Chứng minh hàm số (1) thoả mãn:
2
2 y' y y''
Bài (1,0 điểm) Tính giới hạn:
2
5
lim
1 x
x x
x
Bài (2,5 điểm)1 Tìm m để đồ thị hàm số sau liên tục x = 0:
2
1 - cosx
x 2 x
x = 0
2 f x
m
2 Chøng minh r»ng pt sau cã nghiƯm d¬ng: 5x52008x3 20090
Bài (3,0 điểm) Cho h/c S.ABCD có SA=SB=SC=a 2, đáy hình thoi cạnh a góc BAD 1200 a CMR hình chóp S.ABC hình chóp b CMR SBD ABCD
c Chứng minh tam giác SCD vng C d Tính khoảng cáh hai đờng SB CD Bài (1,0 điểm)CMR với n nguyên dơng ta có:
1 2 1
2.6 3.6 6n n 7n
n n n n
C C C n C n
-đề thi chất lợng học kỳ ii Năm học 2009-2010 Câu I (2,5 điểm) Cho hàm s: y x 3x22 (1)
1 Giải phơng tr×nh: y' y''3
2 Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm thuộc đồ thị có hồnh độ x0 2 Tìm toạ độ điểm M0 thuộc đồ thị hs (1) mà tiếp tuyến đồ thị M0 có hệ số góc nhỏ Câu II (2,5 điểm)1 Tính giới hạn:
2
lim
x x x x
2 Tìm m để đồ thị hàm số sau liên tục x = 2:
2
x = 2 2. x
x 2
3
3 m
f x
x
C©u III (1,0 ®iÓm). Cho sè
1
; ;
n n n
C C C
(5)Câu IV (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B Cạnh SA vng góc với đáy, SA = AB = BC = a, AD = 2a Điểm M N theo thứ tự trung điểm cạnh AD SD
1 Tính đọ dài CM chứng minh AD(CMN)
2 Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông Chứng minh (SCD)(SAC)
4 Tính khoảng cách từ A đến (SBD)
Câu V (1,0 điểm) Cho hàm số f x 4 (sinm x cos ) sin 2x x 2x(m tham số) Chứng minh phơng trình
'
f x
có nghiệm với giá trị tham sè m
-một số đề ôn tập cuối nm s 1
I Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau:
a) x
x x x
2
2 lim
1
b) x
x x
3
7
lim
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau điểm x03:
x x khi x
f x x
x khi x
2 5 6
3
( ) 3
2
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau:
a) y x x 1
b) y x
3
(2 5)
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA = a a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông
b) Chøng minh r»ng: (SAC) (SBD) 3) Tính góc SC mp (SAB)
II Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh đợc chọn hai phần sau:
1 Theo chơng trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) TÝnh giíi h¹n: n n
1 1
lim
1.2 2.3 ( 1)
.
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hµm sè f x( )x.tanx TÝnh
f
4
.
b) Cho hµm sè
x y
x
1
có đồ thị (C) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x = – 2 2 Theo chơng trình Nâng cao
C©u 5b: (1,0 điểm) Tìm số hạng đầu công bội cấp sè nh©n, biÕt:
u u
u54 u23
72 144
.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hµm sè f x( ) 3( x1)cosx TÝnh
f
2
.
b) Cho hµm sè
x y
x
1
có đồ thị (C) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d:
x
y
2
Đề 2 I Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giới h¹n sau:
a) x
x x
x x
2
2
lim
3
b) x
x x2
2
2 lim
4
(6)C©u 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 1:
x khi x
f x khi x
x x
1
( ) 1
²
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau:
a) ysin(cos )x b)
x x
y
x
2 2 3
2
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, tâm O Cạnh SA = a SA (ABCD) Gọi E, F lần lợt hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SD
a) Chøng minh BC (SAB), CD (SAD) b) Chøng minh (AEF) (SAC)
c) Tính tan với góc cạnh SC với (ABCD) II Phần riêng
1 Theo chơng trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phơng trình x5 3x có hai nghiệm phân biệt thuộc (1; 2) Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hµm sè ycos3x TÝnh y
b) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số
x y
x
3
1
t¹i giao điểm (C) với trục hoành. 2 Theo chơng trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phơng trình x34x2 có hai nghiệm Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y x x
2
Chøng minh r»ng: y y3 1 0.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số
x y
x
2
2
điểm có tung độ 1. Đề 3
I PhÇn chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giíi h¹n sau:
a) x
x x
x x
2
4
lim
2
b) x
x
x2 x
0
2 1
lim
3
C©u 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau ®iÓm x0 2:
x khi x
f x x
khi x
1 2
( ) 2
1
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau:
a)
x x y
x
2
2
b) y tan x
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3, SD=a SA (ABCD) Gọi M, N lần lợt trung điểm SA v SB
a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Tính góc hợp mặt phẳng (SCD) (ABCD)
c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND) II Phn riờng
1 Theo chơng trình Chuẩn
(7)Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hµm sè y x sinx TÝnh
y
2
. b) Cho hµm sè y x x
4 3
có đồ thị (C) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ 1. 2 Theo chơng trình Nâng cao
C©u 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phơng trình x2cosx x sinx 1 cã Ýt nhÊt mét nghiƯm thc kho¶ng (0; )
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hµm sè ysin4xcos4x TÝnh
y
2
. b) Cho hµm sè y x x
4 3
có đồ thị (C) Viết phơng trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vng góc với đờng thng d: x2y
Đề 4: I Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giíi h¹n sau:
a) x
x x
x x
2
3
lim
2
b) x x x x
2
lim
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 1:
x x khi x
f x x
khi x
2
2 1
( ) 2 2
2
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau:
a) y(x32)(x1) b) y3sin sin32x x
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA vng góc với đáy. a) Chứng minh tam giác SBC vuông
b) Gọi H chân đờng cao vẽ từ B tam giác ABC Chứng minh (SAC) (SBH) c) Cho AB = a, BC = 2a Tính khoảng cách t B n mt phng (SAC)
II Phần riêng
1 Theo chơng trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phơng trình sau có nghiệm víi mäi m:
m x5 m2 x4
(9 ) ( 1) 1 0
Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y f x ( ) 4 x2 x4 có đồ thị (C) a) Giải phơng trình: f x( ) 0
b) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ 2 Theo chơng trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thoả mÃn hệ thức 2a3b6c0 Chứng minh phơng trình sau cã Ýt nhÊt mét nghiƯm thc kho¶ng (0; 1):
ax2bx c 0
Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y f x ( ) 4 x2 x4 có đồ thị (C) a) Giải bất phơng trình: f x( ) 0
b) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung
(8)(9)1 a)
x x
x x x x
x x
2
1
2 ( 1)( 2)
lim lim 1 0,50
x x
lim( 2)
0,50
b)
TÝnh
7 lim x x x
. Viết đợc
x x
x x
x x x
3
3
lim( 3)
lim(7 1) 20
3 3
0,75 lim x x x 0,25 2
x x khi x
f x x
x khi x
2 5 6
3
( ) 3
2
xlim ( ) lim(23 f x x 3 x 1) f(3)
0,50
x x x
x x
f x x
x
2
3 3
5
lim ( ) lim lim( 2)
3 0,25
hàm số không liên tục x = 3 0,25
3 a)
2
2
1 '
1
x
y x x y x
x 0,50 2 ' x y x 0,50 b) x y y
x x
3 ' 12(2 5)
(2 5) (2 5)
0,50 y x 12 ' (2 5) 0,50 4 0,25
a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông
SA AB SA ABCD SA AD ( )
các tam giác SAD SAB vuông A
0,25
CD AD CD SD SDC
CD SA
vuông D
0,25
BC AB BC SB SBC
BC SA
vuông B
0,25 b) Chøng minh r»ng: (SAC) (SBD)
BD AC BD SAC
BD SA ( )
0,50
BD(SBD BD), (SAC) (SAC) ( SBD) 0,50
c) TÝnh gãc gi÷a SC mp (SAB)
SA(ABCD) hình chiếu SC (ABCD) AC
(10)( ,(SC ABCD)) ( ,SC AC)SCA 0,25
SAC
vuông A nên , AC =
0
2, 45
a SA a gt SCA 0,50
5a
1 1 1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 n n 2 n n n
0,50
1 1
lim lim 1
1.2 2.3 n n( 1) n
0,50 6a a) f x( )x.tanx
x
f x x f x x x x x x x x
x
2
2
( ) tan ( ) tan (1 tan ) tan tan
cos
0,25
Tìm đợc f x x x x x x
2 2
"( ) tan tan 2 tan (1 tan ) 1 0,25
Rót gän f x x x x
2
"( ) 2(1 tan )(1 tan ) 0,25
Tình đợc
f" 2(1 1)
4
0,25
b)
Cho hµm sè
x y
x
1
(C) Viết PTTT (C) điểm có hồnh độ x = – 2.
Tọa độ tiếp điểm x0 2 y0 3 0,25
y
x
2 '
( 1)
hÖ sè gãc tiÕp tuyÕn lµ k = f (–2) = 2 0,50 Phuơng trình tiếp tuyến y = 2x +7 0,25 5b
u u
u45 u32
72 144
u q u q
u q u q
3
1
4
1
72 (1)
144 (2)
0,25
DÔ thÊy
u q q
u q q
u q q
2
1 2
1
( 1) 72
0,
( 1) 144
0,50
1 12
u
0,25
6b a) f x( ) 3(x 1)cosx
f x( ) 3cos x 3(x1)sinx 0,25
f x( )3sinx 3cosx 3(x1)cosx
= 3(sinx x cosx2 cos )x 0,50
"
2
f
0,25 b)
x y
x
1
y
x
2
( 1)
0,25
V× TT song song víi d:
x
y
2
nên TT có hệ số góc k =
1
Gọi ( ; )x y0 toạ độ tiếp điểm
x x
x x
0
0
0
3
2 ( 1) 4
2
( 1)
0,25
Víi x0 3 y0 2 PTTT y: 2x8 0,25
Víix0 1 y0 PTTT y: 2x 0,25
Đê 2
(11)1 a)
2 2
2
1
2
2
lim lim
2
3 3
x x
x x x x
x x
x
0,50
2
0,50
b)
2
2 2
lim lim
4 2 2
x x
x x
x x x x
0,50
x x x
1
lim
( 2) 2
0,50
2 x khi x
f x
khi x
x x
1
( ) 1
²
1
lim lim 1
x f x x x f 0,50
1
1
lim lim
2
x f x x x x
0,25
f x( ) không liên tục x =1 0,25
3 a) ysin(cos )x y' sin cos(cos )x x 0,50
b)
2
2 2
2
2
2
2 ' 2 3
2 2 1
x x
x x
x x x x
y y
x x
0,25
=
2 2
8
2
x
x x x
0,25
4
a)
V× SA(ABCD) SA BC BC AB , BC(SAB) 0,50
SA(ABCD) SA CD CD AD , CD(SAD) 0,50
b) SA(ABCD SA a),
, tam giác SAB, SAD vuông cân FE đờng trung bình tam giác SBD FE BD
0,25
BD AC FE AC SA , (ABCD) BD SA FE SA 0,50
FE(SAC FE), (AEF) (SAC) ( AEF) 0,25
c) SA (ABCD)
nên AC hình chiếu SC (ABCD) SCA 0,50
SA a
AC a
0
1
tan 45
2
0,50
5a
Gäi f x x x
5
( ) 1 f x( ) liªn tơc trªn R 0,25
(12)
1 0;2
c
f(–1) = 1, f(0) = –1 f(–1).f(0) < nªn PT cã Ýt nhÊt mét nghiÖm
c2 ( 1;0) 0,25
1
c c
PT cã Ýt nhÊt hai nghiƯm thùc thc kho¶ng (–1; 2) 0,25
6a a)
y cos3x y' 3cos sin2x x y' 3(sin3x sin )x
4
0.50
3
" 3cos3 cos
4
y x x 0.50
b)
Giao cđa (C) víi Ox lµ
1 0;
3
A
0,25
2
4
' '
1
y k f
x
0,50
Phơng trình tiếp tuyến (C) A lµ
y 4x
3
0,25
5b
Gäi f x x x
( ) 4 2 f x( ) liªn tơc trªn R 0,25
f(0) = –2, f(1) = f(0).f(1) < PT cã Ýt nhÊt mét nghiÖm c10;1 0,25
f(–1) = 1, f(0) = –2 f( 1) (0) 0 f PT cã Ýt nhÊt mét nghiÖm c2 1;0
0,25 Dễ thấy c1c2 phơng trình cho có hai nghiệm thực. 0,25
6b a)
2
2
1
2 ' '
2
x x
y x x y y
y x x
0,25
y x y y x x x x x
y
y y y y
2 2
2 3
(1 ) (1 ) 2
0,50
3
3
1
" 1
y y y
y
(®pcm)
0,25
b) x
y x
2
2
( C )
x
y x x x
x
2
1 1
1
A(0; 1)
0,50
2
3
'
4
y k f
x
0,25
Vậy phơng trình tiếp tuyến cần tìm là:
y 3x
4
0,25
§Ị
NéI DUNG §IĨM
I Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau:
a)
2
4
lim
2
x
x x
x x
(13)b) x x x
x x
x x
x2 x x x x
0 0
2 1 2
lim lim lim
3
( 3)
3 ( 3) 1
1,0 Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 2:
x khi x
f x x
khi x
1 2
( ) 2
1
x x x
x f x
x
x x
2 2
2(2 )
lim ( ) lim lim
1
(2 )
= f(2) 0,50
VËy hàm số liên tục x = 0,50
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau:
a)
x x x x
y y
x x
2
2 2
2 2
1 ( 1)
0,50
b)
x
y x y
x
2
1 tan tan
1 2tan
0,50
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD =
a 3, SD=a 7 vµ SA (ABCD) Gäi M, N lần lợt trung điểm SA SB.
0,25
a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông
SA AB
SA ABCD
SA AD
tam giác SAB, SAD vuông A
0,25
BC AB BC SB SBC
BC SA
vuông B
0,25
CD AD CD SD SDC
CD SA
vuông D
0,25 b) Tính góc hợp mặt phẳng (SCD) (ABCD)
SCD ABCD CD
( ) ( )
AD(ABCD AD CD), , SD(SCD SD CD),
0,50
SCD ABCD SDA SDA AD a
SD a
3 21
( ),( ) ; cos
7
0,50
c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND)
AB SA AB SAD MN AB MN SAD
AB AD ( ), ( )
0,25
MND SAD MND SAD DM SH DM SH MND
d S MND SH
( ) ( ), ( ) ( ) , ( )
( ,( ))
(14)
2 2 2
0
3
7 tan
2 60
SA AD a
SA SD AD a a a MA a SMH
AM a
AMH
0,25
: 90 sin
2
a
SHM SHM SH SM SMH
0,25
II- Phần riêng (3 điểm) 1 Theo chơng trình chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phơng trình (1 m x2) 3x cã nghiƯm víi mäi m Gäi f(x) =
2
(1 m x) 3x1 f(x) liªn tơc trªn R 0,25
f(0) = –1, f(–1) = m f f
2 1 ( 1) (0) 0
0,50
phơng trình cho có nghiệm thuộc (–1; 0) 0,25 Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hµm sè y x sinx TÝnh
y
2
.
y' sin x x cosx y" cos xsinx x sinx
0,50
"
2
y
0,50 b) Cho hàm số y x 4 x23 có đồ thị (C) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ
b»ng
0
x y 0,25
y 4x3 2x k y(1) 2
0,50
Phơng trình tiếp tuyến y = 2x + 0,25
2 Theo chơng trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phơng tr×nh x2cosx x sinx 1 cã Ýt nhÊt mét nghiƯm thc kho¶ng (0; )
Gäi f x( )x2cosx x sinx1 f x( ) liªn tơc trªn R 0,25
f(0) 1, ( )f 1 0 f(0) ( ) 0f
0,50
phơng trình cho có nghiệm thuộc 0; 0,25 Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hµm sè ysin4xcos4x TÝnh
y
2
.
ViÕt l¹i
y 1 1sin 22 x y 1cos4x y' sin 4x y" cos4x
2 4 16 64
0,75
y" cos2
2 64 64
0,25 b) Cho hµm sè y x x
4 3
có đồ thị (C) Viết phơng trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vng góc với đờng thẳng d: x2y 0
1
:
2
d y x
hÖ sè gãc cđa tiÕp tun lµ k =
0,25
y 4x3 2x
Gọi ( ; )x y0 toạ độ tiếp điểm x x x x x
3
0 0 0
4 2 1 0 1 0,50
0
y
(15)Câu ý Nội dung Điểm 1 a)
x x
x x x x
x x x x x
2
3
2
3 ( 1)( 2)
lim lim
2 ( 2)( 2)
0,50
= x
x
x2 x
2
1
lim
10
2
0,50
b)
x x
x
x x x
x x x
2
2
2
lim lim
2
0,50
=
1
1
1
x x x
0,50
2 f(1) = 0,25
x x
x x
f x
x
2
1
2
lim ( ) lim
2( 1)
= x x
x x x
x
1
( 1)(2 1)
lim lim
2( 1)
=
1
2 0,50
Kết luận hàm số liên tục x = 0,25
3 a) y (x3 2)(x 1) y x4 x3 2x 2
0,50
3
'
y x x
0,50
b)
y3sin sin32x x y' 6sin cos sin3 x x x6sin cos32x x 0,50
x x x x x x x
6sin (cos sin3 sin cos3 ) 5sin sin
0,50
4
0,25
a) SA (ABC) BC SA, BC AB (gt) BC (SAB) BC SB 0,50
VËy tam gi¸c SBC vuông B 0,25
b) SA (ABC) BH SA, mặt khác BH AC (gt) nên BH (SAC) 0,50
BH (SBH) (SBH) (SAC) 0,50
c)
Tõ c©u b) ta cã BH (SAC) d B SAC( ,( ))BH
BH2 AB2 BC2
1 1
0,50
2 2
2
2 10
5
AB BC
BH BH
AB BC
0,50 5a
Gäi f x m x m x
5
( ) (9 ) ( 1) 1 f x( ) liªn tơc trªn R. 0,25
f f m
2
5
(0) 1, (1)
2
f(0) (1) 0f
0,50 Phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) víi mäi m 0,25
6a a) y f x( ) 4x2 x4
,f x( )4x38x f x( )4 (x x2 2) 0,50
Phơng trình
x
f x x x
x
2
( ) ( 2)
0
0,50
b) x y k f
0 1 3, (1) 4
(16)Ph¬ng trình tiếp tuyến y 4( x1) y4x1 0,50 5b
Đặt f(x)=ax bx c
2
f x( ) liªn tơc trªn R.
f(0)c,
c c
f 4a 2b c (4 12 )a b c
3 9 3
0,25
NÕu c0 th×
f
3
PT cho có nghiệm 2 (0;1)3 0,25 Nếu c0
c
f(0).f 2
3
PT cho có nghiệm
2
0; (0;1)
3
0,25
Kết luận PT cho ln có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) 0,25
6b a) y f x( ) 4x2 x4 f x( ) 4x3 8x f x( ) 4 (x x2 2)
0,25
LËp b¶ng xÐt dÊu :
0,50
KÕt luËn: f x( ) 0 x 2;0 2; 0,25
b) Giao đồ thị với Oy O(0; 0) 0,25
Khi hệ số góc tiếp tuyến O k = 0,25