MỘT số GIẢI PHÁP tạo HỨNG THÚ CHO học SINH TIẾP cận môn HÌNH học KHÔNG GIAN

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong mơn tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh lớp 11 e ngại học mơn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính mà có nhiều học sinh học yếu mơn học này, phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập hình học khơng gian Qua nhiều năm giảng dạy môn học đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn tính hệ thống, khơng áp đặt lập khn máy móc học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải tốn lạ, tốn khó Từ lý tơi khai thác, hệ thống hóa kiến thức, tổng hợp phương pháp thành chuyên đề: “MỘT SỐ GIẢI PHÁP TẠO HỨNG THÚ CHO HỌC SINH TIẾP CẬN MƠN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN” 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm số kỹ bản, phương pháp chứng minh số dạng tốn khơng gian Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm làm tập Hy vọng với đề tài nhỏ giúp em học sinh có sở, phương pháp giải số toán bắt buộc sách giáo khoa Hình học lớp 11, cung cấp cho giáo viên số nội dung giảng dạy môn hình học khơng gian lớp 11 cách có hiệu 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối 11 qua năm giảng dạy từ trước đến lớp 11A7 1.4 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài “Quan hệ song song Quan hệ vng góc khơng gian” sách giáo khoa Hình học 11 ban 1.5 Những đổi sáng kiến kinh nghiệm Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn tính hệ thống, khơng áp đặt dập khn máy móc Do mà học sinh dễ tìm tịi, khám phá, luyện tập, khai thác xử lí thơng tin,… tự hình thành phương pháp để giải tốn lạ, tốn khó 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Cơ sở triết học [4] Triết học vật biện chứng khẳng định, vật, tượng giới khách quan không đứng yên mà luôn vận động phát triển không ngừng Động lực phát triển việc giải liên tục mâu thuẫn phát sinh mặt đối lập, theo quy luật phủ định, tạo bước nhảy vọt chất nhận thức, khiến giới khách quan phát triển theo vịng xốy ốc Học tập q trình khơng ngừng nảy sinh giải mâu thuẫn Hoạt động có hiệu thực diễn đồng thời hai q trình làm việc tích cực giáo viên học sinh Vì trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần trọng gợi động học tập giúp em thấy mâu thuẫn điều chưa biết với khả nhận thức mình, phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh việc lĩnh hội tri thức Tình phản ánh cách lơgíc biện chứng quan niệm nội thân em Từ kích thích em phát triển tốt 2.1.2 Cơ sở tâm lí học [4] Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh học hình học khơng gian em thường có tâm lí: tập phần q khó, hình vẽ khơng trực quan, khơng biết cách trình bày lời giải tốn cho mạch lạc, dễ đọc Đặc biệt kiến thức hình học phẳng em quên nhiều, khó vận dụng vào việc giải tập không gian 2.1.3 Cơ sở giáo dục học [8] Văn chương trình giáo dục cấp THPT trình bày mục tiêu cấp học theo Luật Giáo dục quy định: “Giáo dục Trung học phổ thông nhằm giúp học sinh củng cố phát triển kết Trung học sở, hồn thiện học vấn phổ thơng, có hiểu biết thông thường kĩ thuật hướng nghiệp, có điều kiện lựa chọn hướng phát triển phát huy lực cá nhân, tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề vào sống lao động.” Luật Giáo dục, điều 28.2, ghi “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Vì mục đích việc đổi phương pháp dạy học trường phổ thông nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen khả tự học, tinh thần hợptác, kĩ vận dụng kiến thức vào tình khác học tập thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú học tập Làm cho “Học” q trình kiến tạo, học sinh tìm tịi, khám phá, luyện tập, khai thác xử lí thơng tin, … tự hình thành hiểu biết, lực phẩm chất Cho nên để giúp em học tốt GV cần tạo cho học sinh niềm hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy nhu cầu nhận thức quan trọng, người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi Thầy cô giáo phải biết định hướng, giúp đỡ đối tượng học sinh 2.2 Thực trạng trước áp dụng đề tài 2.2.1 Thời gian bước tiến hành Tìm hiểu đối tượng học sinh triển khai sáng kiến năm học: 2020-2021 2.2.2 Khảo sát chất lượng đầu năm mơn hình học Thơng qua việc cho học sinh làm tập hình học khơng gian kết thu có 15% học sinh vẽ hình làm số ý đơn giản 2.2.3 Tìm hiểu ngun nhân dẫn đến kết Tơi nhận thấy đa số học sinh có kết thấp, từ kết khảo sát tơi tiến hành tìm hiểu, phân tích ngun nhân dẫn đến kết Với kết nghiên cứu thấy em yếu phần sau: - Khả phân tích ban đầu tốn, mơ tả tốn dạng hình vẽ khả liên kết kiện để hình thành giả thuyết học sinh nhiều hạn chế dẫn đến chiến lược giải có sai lầm, làm chệch hướng tư - Kỹ vẽ hình biểu diễn hình khơng gian cịn yếu - Kỹ trình bày lời giải tốn hình học khơng gian yếu - Kiến thức nắm chưa - Khả khái quát hóa trừu tượng hóa chưa cao (học sinh có khả tưởng tượng khơng gian mức độ thấp, học sinh khó khăn việc phát toán phụ) - Học sinh mắc lỗi suy luận logic tất dạng tốn suy luận dựa tiền đề khơng đầy đủ, suy luận dựa mệnh đề sai, suy luận thiếu chặt chẽ quán, học sinh không nắm quy tắc phương pháp suy luận - Bị ám ảnh tâm lý hình học mơn học khó trừu tượng - Khơng tự tin vào thân nên chưa cố gắng vượt qua khó khăn học tập - Nhiều học sinh hổng kiến thức từ lớp - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt - Nhiều học sinh có tâm lí sợ học mơn hình học Tốn mơn học địi hỏi tư duy, khả phân tích em Thực khó khơng HS mà cịn khó GV việc truyền tải kiến thức tới em Trên thực tế nhiều giáo viên không lý giải lại phân tích tốn hình khơng gian theo hướng đó, lại phải vẽ thêm đường phụ … dẫn tới việc truyền thụ kiến thức tới học sinh mang tính áp đặt, học thuộc lịng Hơn điều kiện kinh tế khó khăn, mơi trường giáo dục, động học tập,… nên chưa thực phát huy hết mặt mạnh học sinh Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định động học tập, chưa thấy ứng dụng to lớn mơn hình học đời sống Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ em, song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu Việc cần thực tiết học, biện pháp rèn luyện tích cực, phân hố nội thích hợp Tuy nhiên việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học, học sinh không nhàm chán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải vấn đề Để thực đề tài tơi tìm đọc nhiều tài liệu viết vấn đề này, nghiên cứu lời giải cho dạng toán, lựa chọn tập phù hợp với nội dung cần phân tích, kết hợp với hình ảnh trực quan để làm bật nội dung cần phân tích Để tạo hứng thú cho học sinh tiếp cận mơn hình học khơng gian lớp 11 ban mạnh dạn đưa số giải pháp nhằm giúp học sinh bước khắc phục dần hạn chế nêu từ hình thành cho học sinh cách giải số dạng toán chương trình học 2.3.1 Tóm tắt lý thuyết Các cách xác định mặt phẳng [1] - Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng - Mặt phẳng qua điểm đường thẳng khơng qua điểm - Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt - Mặt phẳng qua hai đường thẳng song song - Mặt phẳng qua đường thẳng song song với đường thẳng chéo với đường thẳng - Mặt phẳng qua điểm song song với mặt phẳng không chứa điểm Quy tắc vẽ hình biểu diễn hình khơng gian [1] - Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng - Hình biểu diễn hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng - Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy nét đứt đọn để biểu diễn cho đường bị che khuất Ngồi quy tắc để hình vẽ ta cần lưu ý tính chất sau phép chiếu song song: - Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự điểm - Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song nằm đường thẳng - Hình chiếu song song đường thẳng (không song song với phương chiếu) đường thẳng - Hình chiếu song song hai đường thẳng song song (không song song với phương chiếu) hai đường thẳng song song trùng Ngoài học sinh phải biết cách vẽ thành thạo hình khơng gian hình chóp, hình lăng trụ Cách vẽ hình biểu diễn số hình khơng gian hình biểu diễn tốt số hình thường gặp 3.1 Hình chóp S.A1A2…An + Vẽ hình biểu diễn đa giác đáy A1A2…An + Lấy điểm S không thuộc mặt phẳng đáy làm đỉnh + Nối đoạn thẳng SA1, SA2,…,SAn ta thu hình chóp S.A1A2…An Chú ý:Đối với hình chóp S.A1A2…Anđều ta phải: + Vẽ hình biểu diễn đa giác đáy A1A2…An + Xác định chân đường cao hình chóp, kẻ đường thẳng đường cao vng góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy ∆ qua chân ∆ + Lấy điểm S không thuộc mặt phẳng đáy thuộc đường thẳng làm đỉnh + Nối đoạn thẳng SA1, SA2,…,SAn ta thu hình chóp S.A1A2…An Biết cách vẽ hình biểu diễn hình chóp thường, hình chóp đều, hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy Một số hình biểu diễn tốt hình chóp Hình chóp tam giác Hình chóp tam giác A1 A2 An A1' A2' An' Hình chóp tứ giác Hình chóp tứ giác 3.2 Hình lăng trụ + Vẽ hình biểu diễn đa giác đáy A1A2…An + Từ đỉnh A1,A2, …,An đa giác đáy kẻ đoạn thẳng A1 A1' , A2 A2' , , An An' song song A1 A1' , A2 A2' , , An An' A1 A2 An A1' A2' An' + Nối đoạn thẳng ta hình lăng trụ Chú ý: Hình lăng trụ đứng bước thứ đoạn thẳng A1 A1' , A2 A2' , , An An' phải song song, vng góc với mặt đáy Biết cách vẽ hình biểu diễn hình lăng trụ, lăng trụ đứng, lăng trụ Một số hình biểu diễn tốt hình lăng trụ Hình lăng trụ tam giác 3.3 Hình chóp cụt ' ' Hình lập phương Hình lăng trụ đứng ' n A A A A1 A2 An - Vẽ hình chóp S.A1A2…An - Lấy điểm A1' thuộc cạnh SA1 - Trong mặt phẳng A1A2 A ∈ SA2 ' ( SA1 A2 ) ' song song với đoạn thẳng , làm tương tự với mặt bên lại - Xóa bỏ đoạn thẳng ' vẽ đoạn thẳng A1' A2' SA1' , SA2' , , SAn' ta thu hình chóp cụt ' n A A A A1 A2 An Biết cách vẽ hình biểu diễn hình chóp cụt thường, hình chóp cụt Một số hình biểu diễn tốt hình chóp cụt Hình chóp cụt tứ giác Hình chóp cụt tứ giác Các bước giải số dạng tốn thường gặp hình học khơng gian lớp 11 ban (α) 4.1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng * Phương pháp: Cách 1: Xác định hai điểm chung hai mp Tóm tắt: Nếu  A ∈ (α ) ∩ ( β )  B ∈ (α ) ∩ (β ) AB=(α ) ∩ ( β ) (β) (Hình 1) Hình Cách 2: Xác định điểm chung song song với đường thẳng cho trước: Dựa vào định lý hệ sau: * Đlý (SGK Hình học 11 trang 57) : Nếu đồng quy (α ) ∩ (γ ) = a  ( β ) ∩ (γ )=b (α ) ∩ (β )= c  a // b // c a, b, c * Hệ quả: Nếu  a // b   a ⊂ (α ), b ⊂ (β ) (α ) ∩ (β )= d  Hình d // a // b d trùng a d trùng với b Hình * Đlý (SGK Hình học 11trang 61) Nếu * Hệ quả: Nếu (α ) // d  (β ) // d (α ) ∩ (β )= a  Hình  a //(α )   a ⊂ (β ) (α ) ∩ (β )= b  Hình a//b (Hình 5) a // d (Hình 6) Hình (α ) // (β )  (γ ) ∩ (α ) = a Hình (γ ) ∩ (β ) = b  a // b * Đlý (Sgk Hình học 11trang 67) Nếu (Hình 7) * Chú ý: Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách tìm hai điểm chung nằm hai mặt phẳng cách dựa vào hình vẽ Nếu hình vẽ có điểm chung ta chuyển sang cách hai (dựa vào định lý hệ nêu trên) 4.2 Cách tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng Hình (α) Hình * Phương pháp: Muốn tìm giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng tìm giao điểm đường thẳng d với đường thẳng a nằm mp (Hình 8) A∈ d   A ∈ a ⊂ mp (α ) (α) (α) ta A = d I mp(α ) Tóm tắt: Nếu * Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có hình vẽ ta tìm a sau: - Tìm mp (β) (β) (α) chứa d cho mp cắt mp (α) (β) - Tìm giao tuyến a hai mp mp (Hình 9) * Giải pháp: Vấn đề toán xác định cho đường thẳng a Nhiệm vụ giáo viên hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm (β) đường thẳng a chọn mp cho phù hợp với yêu cầu toán trường hợp đường thẳng a chưa có hình vẽ (α) 4.3 Cách tìm thiết diện tạo với hình chóp (α) - Tìm giao điểm (nếu có) cạnh hình chóp với mp - Đa giác có đỉnh giao điểm vừa tìm thiết diện cần tìm 4.4 Cách chứng minh ba điểm phân biệt thẳng hàng - Chứng minh ba điểm thuộc hai mặt phẳng phân biệt 4.5 Cách chứng minh đường thẳng d song song với đường thẳng d’ a) Cách 1: - Chứng minh d d’ thuộc mặt phẳng - Dùng cách chứng minh hình học phẳng để chứng minh b) Cách 2: Chứng minh d d’ song song với đường thẳng thứ ba c) Cách 3: Chỉ d d’ hai ba giao tuyến ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt Chứng tỏ ba giao tuyến không đồng qui 4.6 Chứng minh đường thẳng d song song với mp a) Cách 1: Chứng tỏ b) Cách 2: Chứng minh (α) d ⊄ (α) d ⊂(β) , d//a, và a ⊂ (α) (α) / / ( β ) (α) Khi Khi d || ( α ) (β) song song mp (α ) / / ( γ ) ( β ) / / ( γ ) a) Cách 1: Chứng minh , b) Cách 2: Dựa vào (Đlý SGK Hình học 11 trang 64) 4.7 Chứng minh mp d || ( α ) Nếu a, b ⊂ (α )  a ∩ b = I a //( β ), b //( β )  mp (α ) // mp (β) (α) (β) Chú ý: Ta đổi vai trị cho a⊥b 4.8 Chứng minh a) Cách 1: - Chứng tỏ a b thuộc mặt phẳng - Sử dụng tính chất biết hình học phẳng để chứng minh b) Cách 2: Sử dụng định nghĩa góc hai đường thẳng khơng gian a ⊥ (α) b ⊂ (α) c) Cách 3: Chứng minh Chú ý: Ta đổi vai trị a b d) Cách 4: Sử dụng định lí ba đường vng góc (α) 4.9 Chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng a) Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng (α) b ⊥ (α) b) Cách 2: Chứng minh a//b * Giải pháp: Vấn đề nêu lên đường thẳng a có hình vẽ hay chưa, xác định nào, làm để xác Giáo viên cần làm cho học sinh biết hướng giải toán dựa vào giả thiết toán mà xác định đường thẳng a cho phù hợp 4.10 Chứng minh hai mặt phẳng vng góc a) Cách 1: Chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng b) Cách 2: Chứng minh góc hai mặt phẳng 900 4.11 Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng a cho trước a) Cách 1: Trong mặt phẳng xác định điểm A đường thẳng a ta vẽ Khi d(A,a) = MH b) Cách 2: Trong không gian dựng mặt phẳng (α) AH ⊥ a H qua A vng góc với a cắt a H Khi d(A,a) = MH 4.12 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Phương pháp: Thực bước sau: 10 * Chọn (P) đường thẳng d, dựng mặt phẳng (Q) qua A vng góc với d (nên chọn d cho (Q) dễ dựng) c = ( P) I ( Q) Xác định đường thẳng * * Dựng AH vng góc với c H - Đường thẳng AH đường thẳng qua A vng góc với (P) - Độ dài đoạn AH khoảng cách từ A đến (P) Chú ý: - Trước chọn d dựng (Q) nên xét xem d (Q) có sẵn hình vẽ chưa - Nếu có sẵn đường thẳng m vng góc với (P), cần dựng Ax ⊥ ( P ) Ax // m - Nếu AB // (P) d(A,(P)) = d(B, (P)) - Nếu AB cắt (P) I d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB 4.13 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp giải: Ta có trường hợp sau b Trường hợp 1: Giả sử a b hai đường thẳng chéo a⊥b (Hình 10) -) Dựng mặt phẳng (α) A B (α) a α chứa a vng góc với b B BA ⊥ a -) Trong dựng A, ta đoạn AB khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Hình 10 Trường hợp 2: Giả sử a b đường thẳng chéo a khơng vng góc với b M b Cách 1: B -) Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a song song với b -) Lấy điểm M tùy ý b dựng -) Từ M’ dựng b || b ' MM ' ⊥ ( α ) M’ a α A M' cắt a A AB || MM ' -) Từ A dựng cắt b B -) Khi độ dài đoạn AB khoảng cách hai đường thẳng chéo a b.(Hình 11) Hình 11 11 Cách 2: a -) Ta dựng mặt phẳng (α) ⊥ a O, (α) b A cắt b I (α) B b' O α H I -) Dựng hình chiếu vng b’ b ( α ) OH ⊥ b ' ( H ∈ b ') Hình 12 -) Trong mặt phẳng vẽ -) Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B -) Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A -) Khi độ dài đoạn AB khoảng cách hai đường thẳng chéo a b (Hình 12) 4.14 Cách xác định góc a (P) - Tìm giao điểm O a với (P) AH ⊥ ( P ) ( H ∈ ( P ) ) A∈ a - Chọn điểm dựng - Khi đó: ·AOH = (·a, ( P ) ) 4.15 Cách xác định góc mặt phẳng (α) ( β) với mặt phẳng (α) (β) -) Gọi c giao tuyến mặt phẳng với mặt phẳng -) Dựng mặt phẳng (γ ) vng góc với c -) Gọi a, b giao tuyến mặt phẳng (γ ) với mặt phẳng -) Khi góc hai đường thẳng a, b góc hai mặt phẳng 2.3.2 Bài tập ứng dụng (α) (α) và (β) (β) (α) Bài tốn 1: Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng [6] Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi I, J trung điểm SA SB, M điểm tùy ý thuộc đoạn SD a) Tìm giao điểm đường thẳng BM với mp(SAC) b) Tìm giao điểm đường thẳng IM với mp (SBC) c) Tìm giao điểm đường thẳng SC với mp(IJM) Giải pháp: Với giả thiết tốn dựa vào hình vẽ (Hình 13) học sinh khó mà tìm đường thẳng a nằm mp(SAC) đường thẳng để cắt đường thẳng BM, khơng khéo léo hướng dẫn có nhiều học sinh nhầm đường thẳng SC Vai trò giáo viên gợi ý cho học sinh biết chọn mp(SBD) chứa BM tìm giao tuyến hai mp(SBD) (SAC) đường thẳng SO Từ kết luận giao điểm P hai đường thẳng BM SO giao điểm cần tìm (Hình 14) 12 S S I J I M J P M A B D A B O D C C Hình 13 Hình 14 Với câu b) (Hình 15) học sinh khó mà tìm đường thẳng a nằm mp(SBC) đường thẳng để cắt đường thẳng IM khơng có hướng dẫn giao viên Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng IM nằm mp nào? tìm giao tuyến mp với mp(SBC) Từ tìm giao tuyến đường thẳng SE giao điểm cần tìm điểm F (Hình 16) S S I I J J P M A P M A B F B O D C O D C E Hình 15 Hình 16 Tượng tự câu a) để tìm giao điểm đường thẳng SC với mp(IJM) ta phải chọn mặt phẳng phụ chứa SC tìm giao tuyến mặt phẳng phụ với mp(IJM) Với tốn có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng SC mp(SAC), mp(SCD) mp(SBC) Vấn đề chọn mặt phẳng cho việc tìm giao tuyến thuận lợi tùy thuộc vào khả học sinh, giáo viên khơng nên gị học sinh theo lời giải S S I I J P M P M A B H A B F F O D J C E Hình 17 O D C E Hình 18 * Lời giải: BM ⊂ (SBD) a) Ta có , Xét mp(SAC) (SBD) có S điểm chung thứ nhất(1) 13 Gọi O = AC ∩ BD ⇒ Từ (1) (2) Gọi O điểm chung thứ hai (2) ⇒ SO = ( SAC ) ∩ ( SBD) P=BM ∩ SO ⊂ Kết luận: P=BM ∩ (SAC) b) Ta có IM (SAD) Xét hai mp(SAD) (SBC) có: S điểm chung thứ Gọi E = AD Gọi F= IM c) Ta có SC Gọi H =JF ∩ ∩ ⊂ ∩ BC SE ⇒ ⇒ E điểm chung thứ hai F =IM ∩ ⇒ SE = (SAD) (SBC) (Hình 16) (SBC) Xét mp(IJM) (SBC) có JF=(IJM) SC ⇒ H=SC ∩ (IJM) (Hình 18) (α) ∩ ∩ (SBC) (SBC) (β) Bài tốn 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng [7] Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N hai điểm hai cạnh AB CD, (α) mặt phẳng chứa MN song song với SA a) Tìm giao tuyến mp (α) với mp(SAB) mp(SAC) b) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp * Giải pháp: (α) Với dạng toán học sinh thường hay gặp lúng túng chỗ xác định mp Giáo viên nên lưu ý cho hoc sinh để xác định mp điểm nằm mp (α) (α) ta cần tìm thêm hai điểm M N mà đề cho Từ mà ta có thề tìm giao tuyến mp (SAC) thiết diện hình chóp với mp Lời giải: (α) Hình 19 a) Xét mp(SAB) (α) (α) (α) với mp(SAB), Hình 20 có: M điểm chung 14 Mặt khác: SA // mp (α) Xét mp(SAC) mp Mặt khác: SA // mp b) Gọi Q = Mx Ta có: α ∩ ∩ ( ) (SAB) = MQ, ( ) (SBC) = PQ α ∩ mp(SAB) ⇒ : Gọi O = MN ,SA ⊂ SB, P = Oy (ABCD) =MN, α ∩ (α) (α) ( ) α ∩ ,SA ⊂ mp(SAB) ∩ (SAB) ∩ ⇒ ∩ (α) = Mx // SA AC,O điểm chung hai mp (SAC) ∩ (α) = Oy // SA(Hình 29) SC ( ) (SCD) = NP Kết luận: Thiết diện tứ giác MNPQ (Hình 20) (α) Bài tốn 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng [6] Ví dụ 3: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng a) Gọi O, O’ tâm củaABCD ABEF Chứng minh OO’ song song với hai mp(ADF) mp(BCE) AM = b) Gọi M, N hai điểm hai cạnh AE vàBD cho AE BN = BD Chứng minhMN song song với mp(CDFE) * Nhận xét : - Với câu a) học sinh dễ dàng phát đường thẳng a cần tìm đường thẳng DF mp(ADF), đường thẳng CE mp(BCE) - Đối với câu b) học sinh khó mà phát đường thẳng a đường thẳng hướng dẫn giáo viên học sinh gặp khó khăn.(Hình 21) * Giải pháp: Giáo viên yêu cầu học sinh tìm giao tuyến hai mp(AMN) mp(CDFE) Có nhận xét vị trí tương đối đường thẳng MN đường giao tuyến vừa tìm Từ giúp cho học sinh thấy hướng giải toán * Lời giải: F E M O' A B O D N C 15 Hình 21 a) CM: OO’// (ADF) OO’//(BCE) Ta có: OO’ đường trung bình tam giác BDF tam giác ACE DF ⊂ ( ADF ) ⇒ CE ⊂ ( BCE ) OO’//DF OO’ // CE Mà , Kết luận: OO’ // (ADF), OO’ // (BCE) b) CM: MN // (CDFE) * Tìm giao tuyến hai mp(AMN) (CDFE) F E M O' A B O N D J I C Hình 22 Ta có: E điểm chung thứ hai mp.(1) ⇒ Gọi I giao điểm AN CD I điểm chung thứ hai hai mp (2) Từ (1) (2) suy đường thẳng EI giao tuyến hai mp(AMN) (CDFE) * CM: MN // (CDFE) AM = Ta có: AE (*) Xét tam giác ABC có: tam giác ABC BN = BD = BO 3 BO trung tuyến Gọi J giao điểm AI BC AN = AJ = AI 3 ⇒ (**) ⇒ ⇒ N trọng tâm J trung điểm AI ⇒ CE ⊂ ( BCFE ) Từ (*) (**) MN // CE mà Kết luận : MN // (CDFE) (đpcm) (α) β Bài toán 4: Chứng minh hai mp mp( ) song song [3] Ví dụ 4: Cho hai hình vng ABCD ABEF nằm hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M, N cho AM = BN Qua M, N dựng đường thẳng song song với AB cắt AD AF M’và N’ a) Chứng minh mp(ADF) // mp(BCF) b) Cứng minh mp(DEF) // mp(MM’N’N) * Giải pháp: Với câu a) học sinh dễ dàng chứng minh câu b) giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh biết cách vẽ hình, nhận xét hai đường 16 thẳng AC BF nhau, từ gợi mở cho học sinh biết chứng minh hai đường thẳng MM’ M’N” song song với mp (DEF) dựa vào định lý talét đảo * Lời giải: a) Ta có AF // BE ⊂ ⊂ mp(BCE), AD // BC ⊂ mp (BCE) Mà AF, AD mp(ADF) Kết luận mp(ADF) // mp(BCE) F E N N' B A M' M D C b) Ta có MM’ // AB Mà AB // EF Mặt khác MM’ // CD NN’ // AB AM ' AM = ⇒ AD AC AN ' BN = ⇒ AF BF Mà AM = BN, AC = BF Từ (*), (**) (***) Mà MM’, M’N’ ⊂ ⇒ ⇒ Hình 23 MM’ // EF ⊂ mp(DEF) (1) (*) (**) AM BN = ⇒ AC BF (***) AM ' AN ' = ⇒ AD AF ⇒ M’N’ // DE ⊂ mp(DEF) (2) mp(MM’N’N) (3) Từ (1), (2), (3) (DEF) //(MM’N’N) (đpcm) Bài tốn 5: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng.[6] Ví dụ 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh SA a vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông (α) b) Mặt phẳng qua A vng góc với cạnh SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Chứng minh B’D’ song song với BD AB’ vng góc SB * Giải pháp: Sau vẽ hình ta thấy tam giác SAD SAB tam giác vuông; AD ⊥ DC ,AD hình chiếu vng góc SD lên mp(ABCD) từ ta nghĩ đến việc sử dụng định lý ba đường vng góc để chứng minh SD ⊥ DC 17 Để chứng minh B’D’//BD ta thấy hai đường thẳng thuộc (SBD) vng góc với SC nên ta sử dụng tính chất hai đường thẳng song song mặt phẳng để chứng minh Để chứng minh hai đường thẳng AB’ SB vuông góc với cách trực tiếp gặp nhiều khó khăn dễ dàng chứng minh đường thẳng AB’ vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng SB Do ta sử dụng cách lý thuyết để chứng minh hai đường thẳng vng góc S Giải: a) Ta có:  SA ⊥ AD SA ⊥ ( ABCD ) ⇒   SA ⊥ AB C' B' Do tam giác SAD SAB tam giác vng Ta có: AD hình chiếu vng góc SD lên ⇒ AD ⊥ DC mp(ABCD) Vậy SD ⊥ DC ⇒ ∆SDC Tương tự ta có b) *) Ta có: ∆SBC D' A D B C Hình 24 vng D vng B  BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ SC (1)  BD ⊥ SA  SC ⊥ ( α ) ⇒ SC ⊥ B ' D '(2) mà Hai đường thẳng BD B’D’ thuộc (SBD) (3) ⇒ BD / / B ' D ' Từ (1), (2), (3) *) Ta có: SC ⊥ ( α ) ⇒ AB ' ⊥ SC (4)  BC ⊥ AB ⇔ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ AB ' ⊥ BC (5)   BC ⊥ SA AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SB Từ (4) (5) Bài tốn 5: Chứng minh mặt phẳng vng góc tìm khoảng cách.[6] Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD cạnh a có góc · BAD = 600 SA = SB = SD = a a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) độ dài cạnh SC b) Chứng minh mp (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABCD) c) Chứng minh SB vng góc với BC d) Gọi ϕ ϕ góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) Tính tan 18 * Giải pháp: + Để tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) ta phải xác định khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) đoạn thẳng từ sử dụng kiến thức hình học phẳng để tính độ dài đoạn thẳng + Để chứng minh mp (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABCD) ta cần dựa vào định nghĩa hai mặt phẳng vng góc để chứng minh Vì độ dài đoạn thẳng SB, SC, BC biết nên để chứng minh hai đường thẳng vng góc ta sử dụng định lý pitago + Để tính góc hai mặt phẳng trước tiên ta phải xác định góc góc hai mặt phẳng (dựa vào định nghĩa) sau dựa vào hệ thức lượng tam giác (vng, thường) học hình học phẳng để tính góc S Giải: a) Gọi I hình chiếu vng góc S lên (ABCD) Ta có IA, IB, ID hình chiếu vng góc a D A SA = SB = SD = I SA, SB, SD lên (ABCD) Mà O ⇒ B C Do đó: IA=IB=ID I tâm đường trịn ngoại tiếp Hình 25 tam giác ABD · BAD = 60 ⇒ ∆BAD Tam giác BAD cân A ⇒ ⊥ Ta có SI (ABCD) SI khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng(ABCD) ∆ ∆ SIA vuông I SIC vuông I 2 2 a 3 a 3 ⇒ SI = SA − AI ⇒ SI =  ÷ − ÷ ⇔ SI = a 15     2  15a   3a  ⇒ SC = SI + IC ⇒ SI =  ÷ + ÷ ⇔ SC = a     ⊥ b) Ta có SI (ABCD); SI ⊂ ( SAC ) ⊥ Vậy (SAC) (ABCD) a 3 7a 2 SB + BC =  = SC ⇔ ∆SBC ÷ +a =   c) Ta có d) Gọi O = AC I BD ⇒ SO ⊥ BD (1) ⊥ Ta có ∆SBD vng B hay SB ⊥ BC cân S O trung điểm cạnh BD · 00 < SOI < 900 Tương tự ta có AO BD (2).Mà (3) · ⇒ SOI Từ (1), (2), (3) góc góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) 19 ∆ ⇒ ϕ SI ⇒ tan ϕ = a 15 = a IO Ta có SOI vng I tan = Ví dụ 7: Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a có mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I trung điểm AD, M trung điểm AB, F trung điểm SB K giao điểm BI CM a) Chứng minh mặt phẳng (CMF) vng góc với mặt phẳng (SIB) b) Tính BK KF suy tam giác BKF cân đỉnh K c) Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung AB SD d) Tính khoảng cách hai đường thẳng CM SA * Giải pháp: a) Ta phải sử dụng cách chứng minh hai mặt phẳng vng góc ta thấy chứng minh CM vng góc với mặt phẳng (SBI) b) Để tính khoảng cách ta phải ghép chúng vào tam giác sử dụng hệ thức tam giác để tính c, d) Đối với hai câu ta thấy sử dụng cách để xác định đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo hình vẽ có sẵn mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng lại G Giải S a) Ta có: SI ⊥ AD ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ MC ( 1) · · ∆CBM = ∆BAI ⇒ CMB = BIA H F · · CMB + CMA = 1800 B · · = 1800 ⇒ MKI · · CMA + BIA + MAI = 1800 · ⇒ MKI = 900 ⇒ CM ⊥ BI ( ) Từ (1) (2) ∆CBM ⇔ BK = ∆BAI ∆SAD D M Do đó: b) I A K C Hình 26 ⇒ CM ⊥ ( SBI ) ⇒ ( SBI ) ⊥ ( CMF ) vuông B 1 = + 2 BM BC BK ⊥ CI ⇒ BK BM BC ⇒ BK = BM BC ⇒ BK = a 5 BC + BM BC + BM ⇒ BI = BA2 + AI ⇒ BI = vuông A ⇒ SI = tam giác cạnh a 5a a ⇒ BI = a 20 ∆SIB ⇒ SB = SI + IB = vng I BF = Do ∆SIB a 2 vuông I Trong 3a 5a + = 2a ⇒ SB = a 4 ∆FBK Vậy BK=KF BI a 10 · · ⇒ cos FBK = ⇒ cos FBK = = SB a ta có: a2 a · KF = BF + BK − BF BK cos FBK ⇒ KF = ⇒ KF = 5 ⇒ ∆BKF cân đỉnh K CD ⊥ SI ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SCD ) CD ⊥ AD c) Ta có Ta thấy (SCD) chứa SD song song với AB ⇒ AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ ( SDC ) Gọi H trung điểm SD Khi AH đoạn vng góc chung AB SD mà AH đường cao tam giác cạnh a ⇒ AH = a d) Ta có SA//FM SA ⇒ SA / / ( CMF ) Theo câu (a) ta có dựng ( SBI ) ⊥ ( CMF ) SG ⊥ FK ⇒ SG ⊥ ( CMF ) ∆SGF Ta có cân K) Mặt phẳng (CMF) chứa CM song song với vuông G theo giao tuyến FK Trong mặt phẳng (SIB) Do SG khoảng cách SA CM · · =a ⇒ SG = SF sin SFG = SF sin SBI (vì tam giác BKF Ngoài ra, để giải tốn hình học khơng gian ngồi việc nắm vững phương pháp, kỹ giải tốn hình vẽ đóng vai trị quan trọng, hình vẽ tốt giúp cho nhìn hướng giải quyết, phát vấn đề tốn Hình vẽ tốt hình vẽ đảm bảo điều kiện sau: - Đảm bảo quy tắc vẽ hình biểu diễn hình khơng gian (SGK HH 11 trang 45, bản) - Hình vẽ phải rõ ràng, xác, thể tính thẩm mỹ - Biết cách xác định đối tượng hình vẽ cho phù hợp với yêu cầu toán 21 - Hình vẽ khơng thừa khơng thiếu kiện đề - Ngồi để có hình vẽ tốt cần phải nắm vững khái niệm hình khơng gian như: hình chóp, hình tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập phương…, phân biệt hình đa diện với hình đa giác, tứ diện với tứ giác 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua nhiều năm giảng dạy đúc kết kinh nghiệm nhận thấy để tạohứng thú cho học sinh tiếp cận mơn hình học khơng gian cần phải giúp cho học sinh nắm vững hệ thống lý thuyết định nghĩa, định lý, hệ quả, phương pháp chứng minh Ngoài cần giúp cho học sinh biết cách tư hình ảnh, kỹ vẽ hình Nắm vững yếu tố giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi, hoc sinh tiếp thu kiến thức ngày tốt Áp dụng đề tài học sinh lớp 11 thu kết sau (kết thúc học kì II năm học 2020 - 2021) Tỷ lệ (%) Giỏi, Khá, Trung bình, Kém năm học 2020 – 2021: Tỷ lệ (%) điểm TBM Giỏi Khá TB Yếu Kém 12.5 28.6 52.7 6.2 0.0 Trên TB 93,8 Điều quan trọng học sinh cảm thấy hứng thú với mơn hình học, khơng bị áp lực phải ngồi học hình học, tạo niềm tin hứng thú học tập 22 KẾT LUẬN 3.1 Bài học kinh nghiệm Qua thời gian nghiên cứu đề tài vận dụng đề tài vào giảng dạy tơi thấy học sinh lớp 11 có khó khăn tất thao tác giải tốn hình học khơng gian Để khắc phục khó khăn trên, q trình dạy học hình học khơng gian trường phổ thông, giáo viên nên: Tạo tâm hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức mơn học để thúc đẩy tính tích cực tư học sinh, khắc phục tâm e ngại, sợ sệt tiếp cận nội dung mơn học Nên có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp, mơn học khơng hấp dẫn mà người học cịn thấy ý nghĩa môn học Về phương pháp dạy học, cần ý đến phương pháp lĩnh hội tri thức HS, giúp em có khả tiếp thu sáng tạo vận dụng linh hoạt tri thức tình đa dạng Hình học khơng gian mơn học khó trừu tượng Vì dạy cần kết hợp với sử dụng đồ dùng trực quan, giúp học sinh nhanh chóng nắm vững khái niệm học, qua hình thành kĩ năng, phát triển lực tưởng tượng khơng gian Trong q trình giải tốn hình học cố gắng đưa qui trình giải cụ thể cho dạng tốn cụ thể để em dễ tiếp thu cách giải Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật việc thực kĩ giải tốn thơng qua việc luyện tập, nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác người học, thơng qua hình thành phát triển nhân cách em Phải thường xuyên học hỏi trau chun mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ em để em không cảm thấy áp lực học tập Luôn tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập học sinh Cho học sinh thấy ứng dụng lý thuyết vào thực hành Đặt câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh Do kinh nghiệm thiếu, thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài nên đề tài khơng tránh khỏi cịn nhiều hạn chế Rất mong đóng góp đồng nghiệp để đề tơi hồn thiện 3.2 Những kiến nghị, đề xuất Nhằm giúp cho học sinh học tốt với mơn học, thân có kiến nghị với phịng thiết bị, Ban giám hiệu, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ sung số mơ hình hình không gian, số tranh minh họa nội dung thể sách giáo khoa nhằm giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi Xác nhận Thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 Người viết Nguyễn Thị Thu Huyền 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo: Sách giáo khoa hình học lớp 11 - Nhà xuất giáo dục, năm 2007 [2] Trần Văn Hạo: Sách giáo viên hình học lớp 11 - Nhà xuất giáo dục, năm 2007 [3] Nguyễn Mộng Hy: Bài tập hình học 11 - Nhà xuất giáo dục, năm 2007 [4] Trần Quang Nghĩa – Nguyễn Anh Trường: Phương pháp giải tốn hình khơng gian 11- Nhà xuất Đà Nẵng, năm 1997 [5] Để học tốt hình học lớp 11 - Nhà xuất Đại học Quốc gia TP HCM, năm 2007 [6] ThS Nguyễn Duy Hiếu: Kĩ thuật giải nhanh tốn hay khó hình học 11- Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [7] Sách chuyên đề nâng cao hình học THPT [8] Mạng Internet 24 ... để tạohứng thú cho học sinh tiếp cận mơn hình học khơng gian cần phải giúp cho học sinh nắm vững hệ thống lý thuyết định nghĩa, định lý, hệ quả, phương pháp chứng minh Ngoài cần giúp cho học sinh. .. móc học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải tốn lạ, tốn khó Từ lý tơi khai thác, hệ thống hóa kiến thức, tổng hợp phương pháp thành chuyên đề: “MỘT SỐ GIẢI PHÁP TẠO HỨNG THÚ CHO HỌC SINH TIẾP CẬN... tư học sinh, khắc phục tâm e ngại, sợ sệt tiếp cận nội dung mơn học Nên có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp, môn học không hấp dẫn mà người học thấy ý nghĩa môn học Về phương pháp dạy học,