Tích phân hàm phức và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA TỐN TRÂN THỊ LÀNH TÍCH PHÂN HÀM PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Chun nghành: Sư Phạm Tốn KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: TS PHẠM QUÝ MƯỜI Đà Nẵng, 5/2014 LỜI CẢM ƠN Lời cho em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô trường Đại học Sư Phạm, đặc biệt thầy, khoa Tốn lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ, tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên chúng em suốt thời gian học tập tạo điều kiện cho em làm khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo- giảng viên hướng dẫn TS.Phạm Quý Mười trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng Trong trình làm luận văn, em nhận quan tâm giúp đỡ nhiệt tình thầy Em xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn người thầy kính u Em xin chân thành cảm ơn thầy nhiệt tình dạy, giúp đỡ em hồn thành tốt khóa luận Cuối em xin cảm ơn thành viên gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện động viên cổ vũ em để em hồn thành tốt khóa luận Đà Nẵng, ngày 15 tháng năm 2014 Trần Thị Lành MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương I CƠ SỞ CỦA HÀM BIẾN PHỨC 1.1 SƠ LƯỢC VỀ SỐ PHỨC 1.1.1 Định nghĩa 1.2.2 Các phép toán tập số phức 1.1.3 Biểu diễn số phức 1.2 HÀM BIẾN SỐ BIẾN PHỨC 1.2.1 Một số khái niệm liên quan 1.2.2 Hàm biến phức Chương II TÍCH PHÂN HÀM PHỨC 12 2.1 TÍCH PHÂN HÀM PHỨC 12 2.1.1 Định nghĩa tích phân 12 2.1.2 Các tính chất tích phân phức 13 2.1.3 Nguyên hàm công thức Newton- Leibnitz 15 2.2 TÍCH PHÂN CAUCHY 17 2.2.1 Định lý Cauchy cho miền đơn liên 17 2.2.2 Định lý Cauchy cho miền đa liên 19 2.2.3 Công thức tích phân Cauchy 20 2.2.4 Các hệ công thức Cauchy 25 2.3 ĐIỂM BẤT THƯỜNG CÔ LẬP 27 2.3.1 Chuỗi Laurent 27 2.3.2 Điểm bất thường cô lập đơn trị 31 2.4 LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 31 2.4.1 Định nghĩa thặng dư 31 2.4.2 Phương pháp tính thặng dư 32 2.4.3 Các định lý thặng dư 35 Chương III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN PHỨC 38 3.1 TÍNH TÍCH PHÂN THỰC 38 3.1.1 Tính tích phân dạng I  2  R(cos ,sin  )d 38 3.1.2 Tính tích phân dạng I    R( x)dx 42  3.1.3 Tính tích phân dạng I   eiax R ( x)dx 48   3.1.5 Tính tích phân dạng I    f ( x) cos txdx I     f ( x) sin txdx 53 3.1.6 Tính số dạng tích phân khác 54 3.2 TÌM TỔNG CỦA CHUỖI 56 3.3 TÌM GIÁ TRỊ CHÍNH CỦA HÀM SỐ 58 3.4 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 59 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 LỜI NĨI ĐẦU Tích phân vi phân đóng vai trị hai phép tính chủ chốt lĩnh vực giải tích Ngành vi tích phân nghiên cứu đại lượng biến thiên phi tuyến sử dụng rộng rãi ngành khoa học kĩ thuật Trong đó, tích phân phức có vai trị quan trọng, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới có nhiều ứng dụng tốn học vật lý lĩnh vực khoa học khác Vì em chọn đề tài “Tích phân hàm phức ứng dụng” đề tài luận văn tốt nghiệp cho Mục đích đề tài nghiên cứu tính phân hàm phức ứng dụng Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn gồm ba chương:  Chương I: Trình bày định nghĩa số phức, hàm biến số biến phức hàm giải tích  Chương II: Trình bày định nghĩa tích phân hàm phức, tính chất định lý tích phân hàm phức, tất định lý chương chứng minh  Chương III: Trình bày số ứng dụng tích phân hàm phức Chương I CƠ SỞ CỦA HÀM BIẾN PHỨC Ttrong chương này, trình bày số định nghĩa, định lý lý thuyết số phức hàm biến phức biến sử dụng luận văn Một trình bày chi tiết đầy đủ lý thuyết số phức hàm phức biến tham khảo tài liệu [5], [7] 1.1 SƠ LƯỢC VỀ SỐ PHỨC 1.1.1 Định nghĩa Tập số phức, kí hiệu  , tập định nghĩa:   a  bi / a,b   , i  1 , i đơn vị ảo Số z  a  bi gọi số phức Khi đó, a  Re( z ) : gọi phần thực số phức z b  Im( z ) : gọi phần ảo số phức z Nếu b   z  a z số thực a   z  bi z số ảo Số phức z  a  bi   gọi số phức liên hợp z 1.2.2 Các phép toán tập số phức Cho z1  a1  b1i, z2  a2  b2i   Khi a1  a2  b1  b2 z1  z2   z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành 3 z1 z2  (a1a2  b1b2 )  (a1b2  a2b1 )i z1 z1.z2 a1a2  b1b2 a2b1  a1b2   2  2 i, ( z  0) z2 z2 z2 a2  b2 a2  b2 Định lý 1.2.2.1 Cho z , z1 , z2   Khi z1  z2  z1  z2 z1 z2  z1 z2 ,  z1   z1 (  ) z  z z z  a  b  1.1.3 Biểu diễn số phức 1.1.3.1 Mặt phẳng phức Trong mặt phẳng  , cho hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy Như vậy, điểm M   xác định hoành độ x tung độ y Số phức z  x  iy hoàn toàn xác định phần thực phần ảo Vì người ta đồng điểm M ( x; y ) với số phức z  x  iy Lúc mặt phẳng  gọi mặt phẳng phức 1.1.3.2 Dạng lượng giác số phức Định nghĩa 1.1.3.2.1 Cho số phức z  x  iy Khi z.z  x  y Căn bậc hai z.z gọi mơđun z, kí hiệu z Như z  x2  y Định lý 1.1.3.2.1 Mơđun số phức z có tính chất sau: Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành z  0, z   z  , z1.z2  z1 z2 , z1  z2  z1  z2 Định nghĩa 1.1.3.2.2 Nếu mặt phẳng phức, số phức z  x  iy biểu diễn  điểm M(x; y) góc  tạo chiều dương trục Ox vectơ OM gọi argument số phức z, kí hiệu Arg(z) Góc  số phức z  x  iy  xác định tan   y x Giá trị Argz nằm   gọi argument z, kí hiệu arg z Vậy   arg z   Định nghĩa 1.1.3.2.3 Giả sử z   z  ; r  z ,   argz Khi đó, ta có z  r (cos  i sin  ) , gọi dạng lượng giác số phức z  r 0 Chú ý rằng: z     : kxd Định lý 1.1.3.2.2 Cho z1  r1.(cos1  i sin 1 ), z2  r2 (cos2  i sin 2 )   Khi  r r z1  z2   1  2  k 2 (k  ) z  z , arg( z )   arg( z ), arg z   Hệ 1.1.3.2.1 z1.z2  z1 z2  r1.r2 arg( z1.z2 )  arg( z1 )  arg( z2 )  1  2 Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành Với z2  , ta có z  z1 z r z   arg( z )  arg( )  arg( z1 )  arg( z2 )  1   z2 z2 r2 z2 Bằng phương pháp quy nạp, ta dễ dàng có z1 z2 zn  z1 z2 zn , arg( z1 z2 zn )  arg( z1 )  arg( z2 )   arg( zn ) Đặc biệt, tích n số phức z  r (cos  i sin  ) số phức   z.z z  z n  r n [cos(n )  i sin(n )] Khi r =1, ta có cơng thức Moivre (cos  i sin  ) n  cos(n )  i sin( n ) 1.1.3.3 Phép khai số phức Số phức  gọi bậc n số phức z, kí hiệu   n z  n  z Nếu z  r (cos  i sin  ),   r '(cos ' i sin  ')   r' n r n r '  r   n  z     k 2  '    k   '   ( k   )   n n   Vậy có n bậc n số phức z xác định theo công thức:   n z  n r [cos(   k 2 n )  i sin(   k 2 n )], k   1.1.3.4 Dạng mũ số phức Với số thực z  r (cos  i sin  )  z ei , ta đặt: Từ ei  cos  i sin  đó, ta có: gọi dạng mũ số phức z Từ ta suy cơng thức Euler: Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành cos  i (e  e  i ) , sin   i (e  e  i ) 2i 1.1.3.5 Logarit số phức z  Logarit số phức z số phức  cho e  z kí hiệu   Lnz Nếu đặt   u  iv, z  r.ei thì:  eu  r e  eu eiv  r.ei   v    k  , k    hay   Lnz  ln z  i.Arg ( z )  ln z  i (  k 2 ) Vậy Lnz có vơ số giá trị giá trị Lnz kí hiệu lnz Lnz  ln z  i.arg( z ) 1.2 HÀM BIẾN SỐ BIẾN PHỨC 1.2.1 Một số khái niệm liên quan Định nghĩa 1.2.1.1 (Lân cận) Tập hợp điểm z   thỏa mãn hệ thức: B( z0 ,  )  {z   : z  z0   },   cho trước, gọi lân cận điểm z0 Đó hình trịn tâm z0, bán kính  Giả sử tập M   (    ) Điểm z0 gọi điểm M   cho lân cận điểm z0 thuộc M Định nghĩa 1.2.1.2 (Tập mở, tập đóng) Tập A   ( hay  ) gọi tập mở điểm z  A điểm nó, tức là: a  A,   : B(a,  )  A Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành 50 R  I ( R,  )  2i   sin x dx   i  0( )  0( R ) , x qua giới hạn   0, R   ta thu  sin x  dx  x I  3.1.4 Tính tích phân dạng I   R( x) x  Định lý 3.14.1 Giả sử R   dx  Pn hàm hữu tỷ khơng có cực điểm   số Qm thực không nguyên cho   1,   n  m  1 Khi  R( x) x I ( )   dx   2 i  e 2 i  res[R( z ) z ; a ] i Trong z hàm xác định theo cơng thức z  e ln z , ln z  ln z  i arg z ,  arg z  2 Ví dụ 12 Tính tích phân  x 1 I  dx ,    1 x Giải Ta xét tích phân I ( R,  )  Khóa Luận Tốt Nghiệp z 1 dz ,   z  ( R , ) SVTH: Trần Thị Lành 51 ( R,  ) biên giới hạn miền bao gồm (1) Đoạn [ , R ] ( bờ I) (2) Đường tròn  ( R)   z  R (3) Đoạn  R,   (bờ II) (4) Đường tròn  ( )   z    Ta có f ( z)  z 1 e( 1)ln z  , 1 z 1 z lnz nhánh giải tích  arg z  2 Hàm f ( z ) có cực điểm đơn z  1 với thặng dư res  f ; 1  e( 1)ln( 1) (1  z ) '  e ( 1)i  e i z 1 Theo định lý thặng dư ta có  f ( z )dz   ( R , )  f ( x)dx   f ( z )dz   (R) (I )  ( II ) f ( z )dz   f ( z )dz  ( )  2 ie i , x 1 dx       2 ie i 1 x (I )  ( )  ( R ) (1  e 2 i )  Ta xét tích phân theo  ( ) Khi z   ( ) ta có z   ei ,    2 ,  f ( z )dz  2  ( ) Hiển nhiên        1   const.  1  f ( z )dz  ( ) Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành 52 Tương tự z   ( R ) ta có z  Rei ,    2  f ( z )dz  2 R   R Và tất nhiên  R 1  const.R 1 R 1 f ( z )dz  R    (R) Như vậy, qua giới hạn   0, R   ta có (1  e 2 i  x 1 dx  2 ie i , 1 x )  x 1 2 ie i 2i  dx     i  i  2 i 0  x 1 e e e sin  Định lý 3.1.4.2 Giả sử R  Pn hàm hữu tỷ khơng có cực điểm  α số Qm nguyên ta có hệ thức sau (1)   R( x) x  (2)   R( x) x dx   res[R ( z ) z  ln z, ]  log xdx   res[R ( z ) z  ln z, ]- i  res[R ( z ) z  ln z, ] a Nhận xét: Trong trường hợp α số nguyên, ta có hệ thức   0 (1  e 2 i )  R ( x) x ln xdx  2 ie 2 i  R ( x ) x dx  2 i  Res[R( z ) z ln z; ] Ví dụ 13 Tính tích phân  I   x 1 ln x Khóa Luận Tốt Nghiệp dx ( x  1) SVTH: Trần Thị Lành 53 Giải: Ta có    , n  0, m  Do ta có  2 x    dx dx ln x   i x  2 i.Res[f ( z ); 1]  ( x  1) ( x  1) Vì điểm z  1 cực điểm cấp hai nên Res[f ; 1]  lim [z 1/2 ln z]/ z 1   z 1/2      ln z  z 1/2    z  z 1   i i       i     i 1   1 Từ ta có  x  ln x  x 1  0 ( x  1)2 dx  dx   , ( x  1) 3.1.5 Tính tích phân dạng I    f ( x) cos txdx I     f ( x) sin txdx  Định lý 3.1.5.1 Cho f(x) hàm liên tục  , lim f ( x)  , f(x) giải tích tồn R  mặt phẳng trừ hữu hạn điểm bất thường cô lập Khi với t  ta có I    I    n f ( x) cos txdx  Re 2 i  res[f ( z )eitz , z j ] j 1 n f ( x) sin txdx  Im 2 i  res[f ( z )eitz , z j ] j 1 Với R bán kính nửa đường trịn tâm chứa điểm zj Ví dụ 14 Tính tích phân  xcosx I1   dx , x  2x  10  Khóa Luận Tốt Nghiệp I2   x  xsinx dx  2x  10 SVTH: Trần Thị Lành 54 Giải Hàm f ( z )  z có cực điểm z1   3i nằm nửa mặt phẳng z  2z  10 Ta có 2 i.Res[f ( z )eiz , z1 ]  2 i    (1  3i )e 3i   3e  3e3 zeiz |z  z 2z  (1  3i )(cos1  i sin1) (cos1  i sin1)  i  3e3 (3cos1  sin1) Từ I1   3e (cos1  3sin1) , I2   3e3 (3cos1  sin1) Ví dụ 15 Tính tích phân I  x sin x dx x2    zeiz Giải Hàm f ( z )  có cực điểm z  i nằm nửa mặt phẳng Ta có z 1 I   x sin x zeiz dx  Im  x2   z2 1    Im  2 i.Res  f ( z ); i   Im( 2 i.i.ei.i  ) 2i e 3.1.6 Tính số dạng tích phân khác Ví dụ 16 Tính tích phân I  e x   e x dx ,     Giải Đặt e x  t , ta có Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành 55  t  dt  ( theo ví dụ 5) 1 t sin  I  Ví dụ 17 Tính tích phân  ln x dx ( x  1) I  Giải Xét hàm f ( z )  ln z đường lấy tích phân đường cong kín C giới hạn ( z  1) 2 hai nửa đường tròn C (O, r ) C (O, R ) nằm nửa mặt phẳng hai đoạn [  R,  r ] , [r , R ] Bên đường cong kín C, hàm logarit cho ta nhánh đơn trị ln z ln z xác đinh bất đẳng thức  argz   Hàm f(z) có cực điểm đơn nằm C z  i với thặng dư Res[f ; i ]  lim z i d   2i  f ( z )( z  i )   dz Theo định lý thặng dư ta có r R       R C (r ) r C (R)   2i   Khi z  Rei ,     ta có ln z.z  ln R   hay ln z  ln R  f ( z )dz  C (R) 2lR  R  R   ( R  1) ln z dz  R   ( z  1) C (R)  Do Tương tự z  rei ,     ta có ln z  ln r Khóa Luận Tốt Nghiệp  C (r ) r  r  r  f ( z )dz  (1  r ) 2 ln SVTH: Trần Thị Lành 56 ln z dz  r  ( z  1) C (r )  Do r  Khi z   x , ta có R R Mà ta có   (x  r ln x   i dx ( x  1) dx   nên ta có  1)   (x ln x  dx    1) 3.2 TÌM TỔNG CỦA CHUỖI Để khảo sát tổng chuỗi, số trường hợp người ta áp dụng lý thuyết thặng dư Khi đó, người ta thường dựa định lý sau Định lý 3.2.1 Giả sử R( z )  Pn ( z ) Qm ( z ) hàm hữu tỷ với cực điểm không nguyên z1 , z2 , , z p ( zk  , k  1, 2, , p ) giả sử m  n  Khi   n  p R(n)    Res[R( z )ctg z; zk ] k 1 Định lý 3.2.2 Giả sử R( z )  Pn ( z ) Qm ( z ) hàm hữu tỷ với cực điểm không nguyên z1 , z2 , , z p ( zk  , k  1, 2, , p ) giả sử m  n  Khi p  R( z )  (1) n R(n)    Res  ; zk   sin  z   n  k 1  Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành 57 Ví dụ 18 Tìm tổng chuỗi ; a  n  ( a  n)  Giải Đặt R( z )  (a  z ) Ta có     Res  ctgz;  a  2   n (a  n)  (a  z )   Vì  1  ctg z  ctg ( a )  ( z   a )     sin  a   ctg z   Res  ; a   2  (a  z )  sin  a nên Và 2   sin  a  n  ( a  n) Ví dụ 19 Tìm tổng chuỗi (1) n ; a   n  ( a  n) Giải Đặt R( z )  (a  z ) Áp dụng định lý, ta có   (1) n   Res  ; a   2   n (a  n)  ( z  a ) sin  z  Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành 58 Ta có    cos a Res  ; a    sin  a  ( z  a ) sin  z  Và (1) n  cos a    sin  a  n  ( a  n) Ví dụ 20 Tìm tổng chuỗi  n n 1 , (a  0)  a2 Giải Đặt R( z )  Hàm R ( z ) có cực điểm đơn  a z  a2 Áp dụng định lý ta có   res  f ( z )ctg ( a )   res  f ( z )ctg ( a )   n  z  a    ctg ( a )   a 1   ctg ( a ) 2a 2( a) ctg ( a ) 3.3 TÌM GIÁ TRỊ CHÍNH CỦA HÀM SỐ Áp dụng cơng thức định lý giá trị hàm số sau: Nếu f ( z ) hàm liên tục đường tròn z  z0  r Khi ta có f ( z0 )  2 2  f z   rei d Ví dụ 21 Tìm giá trị hàm x  y  x đường trịn z  i  Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành 59 Giải Đầu tiên ta thấy x  y  x  Re  z  z  Giá trị hàm cho 2 2   u  i  2.e  d i Tại u ( z )  Re( z  z ) ,theo định lý giá trị ta có 2 2   u  i  2.e  d  Re( z i  z)  Re(1  i )  1 z i Ví dụ 22 Tìm giá trị hàm x  y đường tròn z   2i  Giải Đầu tiên ta thấy x  y  z Giá trị hàm cho 2 2   u   2i  2.e  d i Tại u ( z )  z , theo định lý giá trị ta có 2 2   u   2i  2.e  d   z i  z  3 i  13 3.4 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Thơng thường ta áp dụng tính chất tích phân để chứng minh số bất đẳng thức Ví dụ 23 Với    , chứng minh e 2 i   2  Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành 60 Giải Cho f (t )  ei t ;  , t   Theo tính chất tích phân hàm phức ta có 2 2 0 i t  e dt  e i t dt  2 Ta lại có 2 ei t e dt  0 i 2 i t  e 2 i   Từ hai điều ta có e 2 i    2  e 2 i   2  (đpcm) Ví dụ 24 Chứng minh (1  i ) 20  20.220 1 i  z19 1 z6  (1  i ) 20 20.220 Giải Ta có z   z  1    z  Từ suy z19 z19   z19 , z   z  1 3 1 z  1 i   Khóa Luận Tốt Nghiệp z 19 20  (1  i )  220.20 1 i  z 1 i  1 i 19 1 z z19 1 z6   z19  (1  i ) 20 220 SVTH: Trần Thị Lành 61 Ví dụ 25 Cho z  0, n   Chứng minh ez  1 z  z z3 zn    3! n! (*) Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Với n   e z  e0  Vậy (*) với n  Giả sử (*) với n  k , tức ta có ez  1 z  z z3 zk    3! k! Ta phải chứng minh (*) với n  k  Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp ez  1   2  3 3!   k k! z z  2 3 k    e z dz   1       d  3! k!  0 e z z z  2 3  k 1         3! (k  1)!   z z3 z k 1  e   z     3! (k  1)! z  ez  1 z  z z3 z k 1    3! (k  1)! Vậy (*) n  k  Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành 62 Ví dụ 26 Cho f ( z ) hàm giải tích đường trịn  z  1 f ( z)  , 1 z Chứng minh n f (n)  1 (0)  (n  1)!1   , n    n Giải Giả sử f ( )  n 1   nằm đường tròn    n   , f ( ) giải tích đường trịn n  1 Dùng cơng thức tích phân Cauchy, ta có f ( n ) (0)   n! 2 i 2  n! 2 i f ( )   n 1 n  n 1 d  n i  f e   n   n iei d n 1 n 1  n     n 1  n   n!  1    n  2 2   n i   in f e .e d  n 1  n   n!  f ( n ) (0)  1    n  2 n   n!  1    n  2 n 2  2   n i  f e  d  n 1  n 1 n 1 d n   n!  1  1   (n  1).2  (n  1)!1    n  2  n Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành 63 KẾT LUẬN Luận văn đề cập đến vấn đề Trình bày khái niệm sở hàm biến phức Trình bày định nghĩa tính chất tích phân hàm biến phức lý thuyết thặng dư Trình bày số ứng dụng tích phân hàm biến phức Mặc dù cố gắng nỗ lực việc tìm tịi nghiên cứu kiến thức hạn chế thời gian không cho phép nên đề tài tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Em mong nhận ý kiến đóng góp q báu từ phía thầy giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Cohen H Complex analysis with applications in science and engineering [2] David Wilkins Functions of a Complex Variable [3] David Wunsch Complex Variables with Applications [4] Mark.J Ablowitz and Athanassios S Fokas Complex Variables- Introduction and applications [5] Nguyễn Thủy Thanh, 2006 Cơ sở lý thuyết hàm biến phức Hà Nội: Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [6] Nguyễn Thủy Thanh,2006 Hướng dẫn giải tập hàm biến phức Hà Nội: Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [7] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải, 2006 Hàm biến phức Hà Nội: Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Trần Thị Lành ... 1.2.2 Hàm biến phức Chương II TÍCH PHÂN HÀM PHỨC 12 2.1 TÍCH PHÂN HÀM PHỨC 12 2.1.1 Định nghĩa tích phân 12 2.1.2 Các tính chất tích phân phức ... bày định nghĩa số phức, hàm biến số biến phức hàm giải tích  Chương II: Trình bày định nghĩa tích phân hàm phức, tính chất định lý tích phân hàm phức, tất định lý chương chứng minh  Chương... có nhiều ứng dụng tốn học vật lý lĩnh vực khoa học khác Vì em chọn đề tài ? ?Tích phân hàm phức ứng dụng? ?? đề tài luận văn tốt nghiệp cho Mục đích đề tài nghiên cứu tính phân hàm phức ứng dụng Ngoài