Tøc tam gi¸c ABC ®Òu.[r]
(1)A Đặt vấn đề:
Toán học môn học bản, liên quan đến nhiều mơn học khác Địi hỏi ng-ời học phải chịu khó tìm tịi, khám phá say mê nghiên cứu
Giải tốn q trình t nhằm khám phá quan hệ lơgíc biết với phải tìm Nhng quy tắc suy luận, nh phơng pháp chứng minh cha đợc tờng minh, học sinh thờng gặp khó khăn giải tập Thực tiễn dạy học cho thấy: Học sinh - giỏi thờng tự đúc kết tri thức, phơng pháp cho đờng kinh nghiệm; cịn học sinh trung bình, yếu-kém thờng gặp nhiều lúng túng
Trong q trình dạy học tơi nhận thấy học sinh thờng gặp khó khăn xây dựng chuỗi kiến thức để giải tốn Do q trình dạy- học Tốn, ngời dạy ngời học cần tạo cho thói quen là: Sau học xong lí thuyết cần phải nắm vững kiến thức từ vận dụng sáng tạo có hiệu vào tốn, tìm đợc lời giải tốn từ đơn giản hay phức tạp cần tiếp tục suy nghĩ tìm Cứ nh ta tìm đợc điều thú vị
Cách tốt để phát huy tính t duy, sáng tạo phân tích toán giải, khai thác phát triển thành tốn mới, mặt khác tìm mối liên hệ phần kiến thức liên quan
B.
Giải vấn đề
Tôi xin đợc tập 29, trang 44, sách tập Toán tập 2 Cho a; b số dơng, chứng tỏ
a b b a Lêi gi¶i:
Cách 1: Ta có: (a - b)2 a2 – 2ab + b2 a2 + b2 2ab Vì a; b số dơng nên chia hai vế cho ab ta đợc
a b b a Đẳng thức xẩy a = b
Cách 2 : áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dơng, ta có: a b
b a 2 a b b a = Đẳng thức xẩy a = b
Lại xét thêm tập 80, trang 49, sách tập Toán tập 2: Cho a; b số dơng, chứng tỏ : ( a + b)
1 a b
Lời giải:
Cách 1: Ta có: ( a + b)
1 a b
+
a b
b a + = + a b
b a + = 4 §¼ng thøc xÈy a =b
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dơng a b;
1 a vµ
1
b , ta cã: a + b 2 ab
1 a +
1 b 2
1
a b Nhân vế theo vế bất đẳng thức ta có: ( a + b)
1 a b
4
1 ab
ab ( a + b) 1
4 a b
Đẳng thức xẩy a =b
(2)Cho a > 0, b > 0, c > 0, chøng tá r»ng: ( a + b + c)
1 1 a b c
Lêi giải:
Cách 1:Ta có: ( a + b + c)
1 1 a b c
=
a b c a
+
a b c b
+
a b c c
= +
b c a
a a b + + c a b
b c c = + ( ) ( ) ( ) a b b c a c b a c b c a + + 2+ =
Đẳng thức xẩy a = b = c C¸ch 2:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dơng a, b, c ta có: a + b + c 33 abc áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dơng
1 1 , ,
a b c ta cã:
1 1 1 a b c a b c
Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức ta đợc: ( a + b + c)
1 1
a b c
Đẳng thức xÈy a = b = c
Ta có toán tổng quát toán nh sau: Bài toán 2:
Cho a1, a2, a3, ,an số dơng Chứng minh:
(a1+ a2+ a3 + + an )
1 1
n
a a a a
n2
Lêi gi¶i:
áp dụng bất đẳng thức Cơsi với n số dơng ta đợc: a1+ a2+ a3 + + an
.
n
n
n a a a a
1
1 1
n
a a a a
1 1
n
n
n
a a a a
Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức trên, ta có :
(a1+ a2+ a3 + + an )
1 1
n
a a a a
n a a a a
n 1.
2 n1 1
n
n
n
a a a a
= n2.n1 = n2
§¼ng thøc xÈy a1= a2= a3 = = an
* Bây giờ, từ kết toán 1, đặt a = x + y; b = y + z; c = z + x , ta có: 2( x + y + z )
1 1
9 x y y z z x
+
9
1
2
z x y
x y y z z x
3
x y z
y z x z x y Từ đó, ta có bi toỏn sau:
Bài toán 3: : Cho a > 0, b > 0, c > 0, chøng tá r»ng:
3
a b c
(3)Đẳng thức xẩy a = b = c
* Tõ kÕt qu¶ cđa toán 3, ta dễ dàng tìm lời giải toán sau: Bài toán 4: Cho a > 0, b > 0, c > Chøng tá r»ng:
1 2
a b c
a b c
a b c
b c a c a b
Lêi gi¶i:
Ta cã: + a2 2a
a a
1
(1) T¬ng tù:
b b
1
(2) ; c
c
1
(3)
Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3), ta có:
2 2
1 1
a b c
a b c
3
(*)
Đẳng thức xẩy bất đẳng thức (*) đồng thời bất đẳng thức (1), (2) (3) xẩy đẳng thức => a = b = c =
Mặt khác, theo kết toán 3:
3
a b c
b c a c a b (**)
Tõ (*) vµ (**), ta cã: 2
a b c
a b c
a b c
b c a c a b (***)
Đẳng thức xẩy bất đẳng thức (***) a = b = c =1 * Cũng từ toán 1, xem a = c (a, b,c số dơng), ta có: ( a + b + a)
1 1
a b a
11111
92
abaab
1 1
9a9b9a 2a b
vµ nÕu xem b = c, ta cã:
1 1
9b 9a 9b 2b a
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên, ta có tốn sau: Bài tốn 5:
Cho a > 0, b > Chøng minh r»ng:
1 1
3a 3b 2a b 2b a
Đẳng thức xẩy a = b = c
* Cũng từ toán 1, đặt: a = 2x + y + z ; b = 2y + z + x; c = 2z + x +y ta có tốn sau:
Bài toán 6:
Cho x > 0, y > 0, z > Chøng minh r»ng:
1 1
4( )
2x + y + z 2y + z + x 2z + x +y
x y z
Lêi gi¶i:
(4)[(2x + y + z) + (2y + z + x) + (2z + x +y)]
1 1
9 2x + y + z 2y + z + x 2z + x +y
4( x + y + z)
1 1
9 2x + y + z 2y + z + x 2z + x +y
Đẳng thức xẩy x = y = z
- Mặt khác, xem: x = 2x + y +z – ( x + y + z ); y = 2y + z + x - ( x + y + z ); z = 2z + x + y - ( x + y + z ) th×:
2 2
x y z
x y z y z x z x y
=
1 1
2 2
x y z x y z x y z
x y z y z x z x y
= – ( x + y + z)
1 1
2x + y + z 2y + z + x 2z + x +y
Đến đây, áp dụng toán 6, ta có:
1 1
4( )
2x + y + z 2y + z + x 2z + x +y
x y z
1 1
( )
2x + y + z 2y + z + x 2z + x +y
x y z
-
1 1
( )
2x + y + z 2y + z + x 2z + x +y
x y z
VËy: 2
x y z
x y z y z x z x y
= – ( x + y + z)
1 1
2x + y + z 2y + z + x 2z + x +y
= +
1 1
- ( x + y + z)
2x + y + z 2y + z + x 2z + x +y
+
9
=
3
Từ đây, ta có toán sau: Bài toán 7:
Cho x > 0, y > 0, z >0 Chøng minh r»ng:
2
x y z
x y z y z x z x y
3
4
Đẳng thức xẩy x = y = z
*Tiếp tục, lại nghĩ đến đờng tính chất đờng phân giác tam giác ABC: Cho ABC có AD, BE, CF lần lợt đờng phân giác
(h×nh vÏ), ta cã:
DB AB DC AC
F
E A
c
(5)=>
DB DC DB DC BC a
AB AC AB AC AB AC b c
=>
DB a
AB b c (1’) T¬ng tù:
AF FB AF FB AB c
AC BC AC BC AC BC a b
=>
AF c
AC a b (2’)
CE AE CE AE AC b BC AB BC AB BC AB c b
=>
CE b
BC c b (3’)
Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1’), (2’), (3’) áp dụng kết toán 3, ta cú bi toỏn sau:
Bài toán 8:
Gọi AD, BE, CF phân giác ABC Chøng minh:
3 AF BD CE AC BA CB
Đẳng thức xẩy a = b = c Tức tam giác ABC *) Ngoài ra, vẽ AH BC DK AB (hình vẽ) Ta có: AH.BD = DK AB (vì 2
S
ABD,S
ABD diện tích tam giác ABD)=>
BD DK a
BA AH b c (v× tõ (1’)
DB a AB b c ) Từ đó, ta có bi toỏn sau:
Bài toán 9:
Cho tam giác ABC, Vẽ đờng phân giác AD; BE; CF
Gọi a1; b1; c1 lần lợt khoảng cách từ D đến AB, từ E đến BC, từ F
đến AC Gọi ha, hb, hc lần lợt độ dài ba đờng cao tam giác ABC vẽ từ
A, B, C
Chøng minh r»ng:
1 1
2
a b c
a b c h h h
Gợi ý cách giải :
Đặt = AH, hb = BQ, hc = CJ; a1= DK, b1 = EN, c1 = FP;
a = BC , b = AC, c = AB; diÖn tích tam giác ABD, AFC, EBC lần lợt
S
ABD,
S
AFC,S
EBCA
K
B H D C
D C
B
a
a1 h a c
h b P
h c b
D H
Q J
F
E
C N
B K
(6)Ta cã: AH.BD = DK AB (v× cïng b»ng 2
S
ABD)
=>
BD DK a
BA AH b c ( v× dùa vµo (1’)) =>
1
a
a a h b c T¬ng tù: +) CJ AF = FP.AC (v× cïng b»ng 2
S
AFC ) =>FP AF c
CJ AC a b ( dựa vào (2)) =>
c
c c
h a b
+) EN BC = BQ.EC ( cïng b»ng 2
S
EBC) =>EN EC b
BQ BC a c (
dựa vào (3)) =>
1
b
b b
h a c
Nh vËy, viÖc chøng minh
1 1
2
a b c
a b c
h h h ®a vỊ chøng minh
3
a b c
b c a c a b (đã trình bày trên)
Bài toán tởng chừng đơn giản song để chứng minh đợc
1 1
3
2
a b c
a
b
c
h
h
h
địi hỏi học sinh phải giải tồn nội dung toán phụ: Bài toán 1, tốn vận dụng tính chất đờng phân giác tam giác
Nh từ toán bản, ta phát thêm toán thật thú vị, tạo đợc hấp dẫn cho học sinh tìm tịi, khám phá kiến thức
C Kết thúc vấn đề:
Trên số suy nghĩ thân khai thác từ toán mà q trình giảng dạy tơi rút đợc mạnh dạn đa vào trao đổi đồng nghiệp, để đến mục đích chung nâng cao chất lợng dạy học
Các toán đa cha lơgic, phù hợp; khai thác cha triệt để, chắn cịn có nhiều lời giải hay hấp dẫn
Mặc dù có nhiều cố gắng, song với kinh nghiệm cịn thân chắn q trình viết khơng tránh khỏi hạn chế Kính mong q thầy giáo bạn đọc quan tâm, góp ý để tơi có viết hoàn chỉnh
D.Những ý kiến đề xuất * Đối với giáo viên:
- Cần có ý thức cao vấn đề tự học tự bồi dỡng, đọc nhiều tài liệu tham khảo để tìm tịi, khám phá nâng cao phơng pháp khai thác toán
- Trong tiết dạy, cần dành nhiều thời gian cho tập trọng tâm, từ hớng dẫn học sinh khai thác tốn thơng qua tốn thực
* §èi víi häc sinh
- Cần nắm vững kiến thức
- T¹o thãi quen tù häc, tù rÌn luyện lực giải toán
(7)