- Xuất phát từ thực tế giảng dạy chương trình THPT, đặc biệt là trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đứng trước một bài toán có rất nhiều phương pháp giải khác nhau song một tron[r]
(1)PHẦN I
ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong trình giảng dạy mơn Tốn trường THPT đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi cấp, chuyên đề bất đẳng thức chuyên đề hay lý thú mà thường xun có mặt kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp đặc biệt cấp THPT
Trong chuyên đề bất đẳng thức việc sử dụng bất đẳng thức để giải loại toán tốn khác hiệu thơng qua mà lời giải đơn giản hơn, thu kết nhanh chóng Bất đẳng thức Bunhiacopski bất đẳng thức kinh điển Vì khai thác bất đẳng thức vào việc giải tốn khác đem lại kết qua nhiều mặt, kích thích phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Với ý nghĩ giới thiệu việc sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải số tốn cực trị đại số hình học
- Xuất phát từ thực tế giảng dạy chương trình THPT, đặc biệt kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, đứng trước tốn có nhiều phương pháp giải khác song phương pháp giải tương đối có hiệu việc sử dụng bất đẳng thức để giải Học sinh tiếp xúc nhiều phương pháp giải bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức để giải loại toán khác như: Chứng minh bất đẳng thức đại số hình học giải số tốn cực trị đại số hình học
II PHẠM VI ĐỀ TÀI
Tuy nội dung đề cập rộng toán dạng phong phú song khuôn khổ thời gian có hạn tơi nêu số tốn điển hình xếp trình tự từ đơn giản đến phức tạp
III ĐỐI TƯỢNG
Đề tài áp dụng cho học sinh giỏi THPT IV MỤC ĐÍCH
(2)PHẦN II
NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC
1 CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC
- Trong chương trình giáo dục trung học phổ thơng, mơn tốn mơn học quan trọng Mơn tốn có tiềm khai thác góp phần phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện phát triển thao tác tư phẩm chất tư
- Trong q trình giải tốn nhà trường kỳ thi học sinh sinh giỏi cấp, chuyên đề bất đẳng thức chun đề hay lý thú mà thường xuyên có mặt kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, đặc biệt cấp THPT kỳ thi vào ĐH, CĐ THCN
- Đứng trước tốn có nhiều cách giải khác song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị độc đáo việc khơng dễ thơng qua mà thu kết nhanh chóng Bất đẳng thức Bunhiacopski bất đẳng thức kinh điển Vì khai thác bất đẳng thức vào việc giải tốn khác đem lại kết qủa nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo học sinh
2 ĐỐI TƯỢNG PHỤC VỤ
Đề tài dùng để giảng dạy cho học sinh tham gia thi học sinh giỏi cấp THPT
3 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPSKI ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ
Sử dụng kết quả:
a Nếu a1x1 a2x2 anxn C , C số
2
2
2
2 2
)
(
n n
a a
a
C x
x x Min
Dấu “=” xẩy n n
x a x
a x a
2 1
(3)2 2 2
1 ) | |
(a x a x anxn C a a an
Max
Dấu “=”xẩy
1
1
n n x a x a x a
Ví dụ 1:
Cho x2 y2 1 Tìm Max(x. 1 y y 1 x)
Lời giải:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
2 ) )( 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 2 2 y x y x x y y x x y y x A 2
2
MaxA x y
Ví dụ 2:
Cho 36x2 16y2 9 Tìm Max, Min A = y - 2x + 5
Lời giải:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
2 )2 ( 2 )2
4 ( ) ( 16
36x y y x
5 ) ( 16 25
y x y x
4 25 15
y x
) 20 , ( 25 )
(y x x y
Max ) 20 , ( 15 )
(y x x y
Min
Ví dụ 3:
Cho x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx=4 Tìm MinA biết A = x4 + y4 + z4
Lời giải:
Từ giả thiết 42=(xy+yz+zx)2 (x2 +y2 +z2)(y2+z2+x2)
Suy ra: (x2+y2+z2)2 42
16 ) )( 1
( 2 4
(4)3 16 4
y z
x 3 16
x y z
MinA
Ví dụ 4:
Cho x, y, z thỏa mãn x, y, z 1 x + y + z = Tìm MaxA biết
z y
x
A 1 1 1 Lời giải:
Theo Bunhiacopski ta có
3 ) 1 )( 1 ( 1
1 2
x y z x y z
A
3
2
MaxA x y z
Ví dụ 5:
Cho 20 25 16 2 2 yv xu v u y x
Tìm Max (x+v)
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
20 25 20 ) )( (
20 2 2
xu yv x y u v
yu xv v y u x yv
xu
20 Mặt khác 2 2 2 2 2 2
2 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( )
(
41 x y u v x v y u x v yu x v xv xv
41
x v
20 25 16 41 ) ( 2 2 yv xu y u v u y x v x Max 41 20 20 20 ) ( v x u v x y 41 20 y
, 41
16
x
, 41
25
(5)Một số tập áp dụng
1 Cho số x, y thỏa mãn 2x + 5y = Tìm giá trị nhỏ của:
a/ A=x2+y2
b/ B=2x2+5y2
2 Cho x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ
biểu thức
a/ A=x2+y2+z2
b/ B=x4+y4+z4
3 Tìm giá trị nhỏ hàm số f(x,y,z)xyyzzx mxyz Trong x 0,
y 0, z 0, x+y+z=1
4 Tìm giá trị lớn hàm số f(x,y) = x y Trong x 0, y 0,
1
3
3 y
x
4 KẾT QỦA
Đề tài thực giảng dạy tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh năm 2006 Trong trình học đề tài này, học sinh thực thấy tự tin gặp toán bất đẳng thức, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích mơn tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học, tự nghiên cứu GIẢI PHÁP MỚI
- Bài tốn nói chung đa dạng phong phú Mỗi tốn lại có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chuyên đề mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sáng tạo Do học sinh cần có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan
II THỰC TIỄN GIẢNG DẠY QUÁ TRÌNH ÁP DỤNG
(6)2 HIỆU QUẢ KHI ÁP DỤNG
- Sau học sinh học xong chuyên đề học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho hóc sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học tự nghiên cứu
3 BÀI HỌC KINH NGHIỆM
- Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, kinh nghiệm rút
Trước hết học sinh phải nắm kiến thức vận dụng linh hoạt kiến thức này, từ dạy chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức cách hợp ly với đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng khiếu, rèn kỹ cho học sinh
(7)PHẦN C KẾT LUẬN
- Một tốn có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc không dễ Do chuyên đề hàng chuyên đề, phương pháp hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng tốn, thể tốn từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh không sợ đứng trước tốn khó mà tạo tự tin, gây hứng thú say mê mơn tốn, từ tạo cho học sinh tác phong tự học tự nghiên cứu
Tuy nội dung đề cập rộng song khuôn khổ thời gian hạn người viết ví dụ, tốn điển hình
- Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chuyên đề đầy đủ hoàn thiện