Rèn luyện một số kỹ năng tích tích phân hàm ẩn cho học sinh lớp 12 thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KỸ THUẬT TẠO HỘP NHẰM GIÚP HỌC SINH LỚP 11 – 12 RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI QUYẾT TỐT HƠN BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HÀM ẨN CHO HỌC SINH LỚP 12 TRONG KHÔNG GIAN THI TỐT NGHIỆP THPT Người thực hiện: Dương Đình Tuyên Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán Người thực hiện: Phạm Thị Mai Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2021 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Kỹ sử dụng bảng nguyên hàm hàm hợp, tính chất tích phân 2.3.2 Kỹ sử dụng phương pháp đổi biến số 2.3.3 Kỹ sử dụng phương pháp tính tích phân phần 2.3.4 Bài tập áp dụng 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO TRANG 1 1 2 4 14 17 18 19 19 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn THPT (lớp 12), chương Ngun hàm – Tích phân chiếm vị ví vơ quan trọng Trong đề thi THPT quốc gia tốt nghiệp THPT, kể từ năm 2017 mơn tốn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, thống kê cho thấy: Năm Chương Nguyên hàm – Tích phân đề thi chiếm số câu: 2017 2018 2019 2020 câu/50 câu câu/50 câu câu/50 câu câu/50 câu Tích phân hàm ẩn (nguyên hàm hàm ẩn) chiếm số câu: câu (vận dụng cao) câu (vận dụng cao) câu (vận dụng cao) câu (vận dụng cao) Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy, ôn thi tốt nghiệp THPT thấy học sinh thường lúng túng việc giải tốn tích phân hàm ẩn dạng tốn tương đối khó, việc rèn luyện cho em số kỹ để giải dạng toán quan trọng em có tảng tương đối tốt chương Nguyên hàm – tích phân học Nhằm phát triển tư sáng tạo giúp học sinh chinh phục tốn tích phân hàm ẩn đề thi tốt nghiệp THPT, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tiến hành thực đề tài sáng kiến kinh nghiệm cho năm 2021 với nội dung “Rèn luyện số kỹ tích tích phân hàm ẩn cho học sinh lớp 12 thi tốt nghiệp THPT” 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài giúp em học sinh lớp 12 THPT có kiến thức vững kỹ thành thạo để giải tốn tính tích phân hàm ẩn đề thi tốt nghiệp THPT, góp phần thúc đẩy hứng thú, sáng tạo cho học sinh, nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn nhà trường 1.3 Đối tượng nghiên cứu Để hoàn thành đề tài nói trên, tơi nghiên cứu kỹ giải tốn tích phân hàm ẩn để rèn luyện cho học sinh lớp 12 thi tốt nghiệp THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau : a Nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết : - Đọc SGK, loại sách tham khảo, tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài - Tham khảo đề minh họa thi THPT-QG, tốt nghiệp THPT Bộ GD đề thi thử trường toàn quốc b Nghiên cứu điều tra khảo sát thực tế, thống kê xử lý số liệu: - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung tích phân - Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi đề tài, nghiên cứu khả nắm bắt học sinh qua tiết học NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Các kiến thức sử dụng đề tài bao gồm định nghĩa tính chất chương Nguyên hàm – Tích phân từ sách giáo khoa Giải tích 12 mà học sinh học 2.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F (b)  F ( a) gọi tích phân b f từ a đến b kí hiệu f ( x)dx Trong trường hợp a  b , ta gọi � a tích phân f đoạn  a; b  b f ( x)dx � a b Người ta dùng kí hiệu F ( x ) a để hiệu số F (b)  F (a) Như F b nguyên hàm f K f ( x)dx  F ( x) � b a  F (b)  F (a ) a 2.1.2 Tính chất Giả sử f , g liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có a 1) f ( x)dx  ; � a 4) 2) b a b c c a b a b a f ( x)dx   � f ( x) dx ; 3) � f ( x)dx  � f ( x )dx  � f ( x )dx � b b b b b a a a a a f ( x)dx  � g ( x)dx ; 5) � kf ( x)dx k � f ( x )dx với k ��  f ( x)  g ( x) dx � � f ( x)dx ( x)  f ( x) với x �K F ( x)  � Chú ý F � 2.1.3 Phương pháp đổi biến số b g ( x) dx Giả sử g ( x) viết dạng f  u ( x) u� ( x) , Tính tích phân I  � a hàm số u ( x) có đạo hàm liên tục K , hàm số y  f  u  liên tục cho hàm hợp f  u ( x) xác định K a, b hai số thuộc K Khi đó: b u (b ) a u (a) f  u ( x ) u� ( x) dx  �f (u )du � Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ số thay cho x Như tích phân khơng phụ thuộc vào biến tức là: b b b a a a f ( x)dx  � f (u )du  � f (t )dt  � 2.1.4 Phương pháp tính tích phân phần b u ( x )v � ( x )dx   u ( x)v ( x )  � Công thức: a b a b � v ( x )u � ( x )dx (trong u , v có đạo a hàm liên tục K a, b hai số thuộc K ) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong thực tế giảng dạy, thân nhận thấy tốn có liên quan đến tích phân hàm ẩn, học sinh thường lúng túng có ý nghĩ đầu hàng tốn dạng Để kiểm nghiệm hiệu việc học sinh nắm kiến thức, giải tốn tính tích phân hàm ẩn, thực khảo sát hai lớp 12C, 12N trường THPT Ba Đình năm học 2020 - 2021, lớp 10 em học sinh có lực – giỏi trở lên tập sau:  Bài 1: Cho f ( x)dx  Tính I  f (sin x) c os3 xdx � � 0 (Đề thi thử THPT Quang Trung – Đống Đa – Hà Nội – năm 2019) A I  B I  C I  D I  Bài 2: Cho hàm số thỏa mãn f (2)  2 ( x)  x. f ( x)  với x �� f � Tính giá trị f  1 (Đề THPT Quốc gia năm 2018 – mã đề 101) A 35 36 B 2 C 19 36 D 2 15 Kết thu sau: Giải Phân tích giả Giải Lớp thiết bài 12C 10/10 3/10 1/10 12N 10/10 2/10 0/10 Từ kết tơi thấy: Rất nhiều học sinh xử lý việc tính tích phân hàm ẩn phương pháp đặt ẩn phụ sở dấu hiệu có sẵn giống em tích tích phân hàm số dạng tường minh Tuy nhiên số lượng em học sinh khơng giải trọn vẹn tốn tích phân hàm ẩn có liên quan �  x , f �  x  nhiều Trong đó, đến phương trình f  x  , f � chưa có kỹ năng, chưa định hướng phù hợp để làm Do đó, sau năm trực tiếp giảng dạy ôn thi tốt nghiệp THPT tơi thấy việc hình thành kiến thức kỹ cho học sinh trình giải tốn tích phân hàm ẩn nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Vì vây, kinh nghiệm có đề tài: “Rèn luyện số kỹ tích tích phân hàm ẩn cho học sinh lớp 12 thi tốt nghiệp THPT” phương pháp mà mạnh dạn áp dụng trình giảng dạy trường THPT Ba Đình - Nga Sơn - Thanh Hố 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để làm sáng tỏ điều xin đưa kỹ bản, ví dụ điển hình từ dễ đến khó tập áp dụng cho loại Và nhằm phát huy tư sáng tạo kỹ giải toán cho học sinh, ví dụ minh hoạ tơi nêu theo hình thức tự luận cịn phần tập áp dụng theo hình thức trắc nghiệm, để phù hợp với kỳ thi Cụ thể sau : 2.3.1 Kỹ sử dụng bảng nguyên hàm hàm hợp, tính chất tích phân a Kiến thức sử dụng f ( x) dx ( x)  f ( x ) với x �K F ( x)  � * Nếu F � * Ta có bảng nguyên hàm hàm hợp thường gặp: Cho hai hàm số u  u  x  v  v  x  có đạo hàm liên tục K STT Các dạng thường gặp  u 1.u�   u  � ��   u 1.u� dx  u  C   �� u�  u � u�� dx   u  �� � � � �2 u � u.u� u2 1   u C  u  u  x   0, x �K   � � u.u� � u2  � � dx  u   C � � � u 1 � � �u� u� �1 � � 1  dx  C � �� � �2 � u u �u � �u �  u  u  x  �0, x �K  u� cos u   sin u  � �� cos u  dx  sin u  C  u� u � sin u   cos u  � �� sin u  dx  cos u  C  u� u� � u� �   tan u  � �� dx  tan u  C � � cos u �cos u �  cos u  x  �0, x �K  u� � u��   cot u  � �� dx  cot u  C � � sin u �sin u � u� eu   eu  � �� eu  dx  eu  C  u� u� �u� �   ln u  � �� dx  ln u  C � � u �u � 10 u� v  uv�   uv  � �� v  uv�  u�  dx  uv  C 11  sin u  x  �0, x �K   u  u  x   0, x �K  � �u� u� v  uv� �u � v  uv� � u  � dx   C � � � � 2 � v �v � � v � v  v  v  x  �0, x �K  b Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  0;1 thỏa mãn f ( x)   x  1 f � ( x)  với x � 0;1 Biết f (5)  , tính tích phân I  � f ( x)dx Nhận xét: Từ gt ta có  x  1 �f ( x)   x  1 f � ( x)  , biểu thức vế trái có dạng , từ ta có lời giải: u� v  u.v�   uv  � Lời giải � Ta có f ( x)   x  1 f � ( x)  �  x  1 �f ( x)   x  1 f � ( x)  � �  x  1 f ( x) � � � �  x  1 f ( x)  � dx �  x  1 f ( x )  x  C , f (5)  �  x  1 f ( x)  x  � f ( x )  1 7 �   C � C  6 x2 Khi x 1 1 x2 � � I � f ( x )dx  � dx  � 1 dx   x  ln x     ln � � x  x  � � 0 0 f  x  dx   ln Vậy I  � Ví dụ (Đề THPT Quốc gia năm 2018 – mã đề 101) Cho hàm số thỏa mãn 2 ( x)  x. f ( x)  với x �� Tính giá trị f  1 f � f� ( x) � 1�  x , biểu thức vế trái có dạng u� � Nhận xét: từ gt ta có  � � từ  f ( x) u2 � u � f (2)  ta có lời giải Lời giải � � 1 � 1 Ta có  2x � �  2x � � xdx  x  C � � � f  x  f ( x)  �f  x  � 2 1 Vì f (2)  � f   C � C      f� ( x) Khi đó: f  x    � f  1   2  2.1  x 1 Ví dụ Cho hàm số f  x  đồng biến có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa f  x  dx ( x )  f ( x ) với x � 0;1 f (0)  Tính tích phân I  � mãn f � Nhận xét: Từ gt ta có f� ( x) u�  , biểu thức vế trái có dạng  f ( x) u  u  � từ ta có lời giải Lời giải Ta có f� ( x) 1� f ( x) f  x  � � f  x  � dx  x  C f  0   C � C  Vì f (0)  � Khi đó:  f  x   x  � f  x    x   ( Do x � 0;1 ) 1 0 �� f  x  dx  �  x  1 dx   x  1  3 �� 0; Ví dụ Cho hàm số f  x  liên tục, không âm � thỏa mãn � 2� � �� 0; f (0)  Tính giá trị f ( x) f � ( x)  cos x  f ( x) với x �� � 2� � f ( x) f � ( x)  cos x , biểu thức vế trái có dạng Nhận xét: Từ gt ta có f ( x)  � � f�� �2 � � � � � � từ ta có lời giải u2 1 � u2 1 � u.u� Lời giải Ta có f ( x) f � ( x) f ( x)   cos x �   � f ( x)   cos x � f ( x)   � cos xdx  sin x  C Vì f    � f (0)   sin  C � C  � �  � Khi f  x    sin x    � f � sin  �  2 � � � �2 � � � Ví dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f (0)  f � ( x).e f  x   x 1 f ( x)dx  x với x � 0;1 Tính tích phân I  � f x Nhận xét: Từ gt ta có f � ( x).e    x.e x 1 , biểu thức vế trái có dạng f  x � x 1 � �  x  1 � từ ta có lời giải e e � � Lời giải Ta có: f� ( x ).e f  x   x 1 f x  2x � f � ( x).e    x.e x 1 f  x � x 1 �  x  1 � �� e e � � 2 f x � e    x2  � e x 1dx  e x 1  C  �  f Vì f    � e    e0 1  C � C  Khi e f  x e x 1 � f  x   x  Vậy ta có: I  �  x  1 dx  Ví dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục � nhận giá trị dương  0; � thoả mãn f ( x)  f � ( x) x  với x � 0; � Biết f (1)  Tính f   Nhận xét: Từ gt ta có f� ( x)  , biểu thức vế trái có dạng f ( x) 3x  f� ( x) � � ln  f  x   � từ ta có lời giải � � f ( x) Lời giải Ta có: f� ( x) 1  �  ln f  x   � � ln f  x   � dx  3x   C f ( x) 3x  3x  3x  4 3.1   C �   C � C   Vì f  1  � ln f  1  3 4 x 1  3x   � f  x   e Vậy ta có: f    e 3.51  e 3 ( x )  2e x Ví dụ Cho f  x  có đạo hàm  1;2 thỏa mãn ( x  1) f ( x)  x f � Khi ln f  x   x f ( x )dx với x � 1;2 Biết f (1)  e , tính tích phân I  � ( x)  2e x chưa có dạng đạo Nhận xét: Vế trái đẳng thức: ( x  1) f ( x)  x f � hàm hàm hợp Do ta có ý sau: Với u ( x) biểu thức cho trước ta có  u ( x) f ( x) � u� ( x ) f ( x)  u ( x) f � ( x) ( x) ta  u ( x) f ( x)  � v( x) f ( x)  u ( x ) f � Đặt v( x)  u� ( x ) (*) Như ( x ) ta biến đổi đưa dạng biểu thức có dạng v( x) f ( x )  u ( x ) f �  u ( x) f ( x) �.Khi ta có tốn tổng qt cho ví dụ sau: Cho A( x); B ( x) ; g( x) biểu thức biết Tìm hàm số f ( x) thỏa mãn A( x) f ( x )  B ( x) f � ( x)  g ( x) (**) Do vế trái có dạng (*) nên ta biến đổi (**) �  u ( x) f ( x) � g ( x) Trong u ( x) chọn cho : u� ( x)  A( x) u� � ( x) A( x) u� ( x) A( x) �  � � dx  � dx � u ( x )  B ( x) u ( x) B( x ) u ( x) B( x) � � ln u ( x)  G ( x)  c (với G ( x) nguyên hàm A( x) ) � từ ta B ( x) chọn biểu thức u ( x) Ở ví dụ 7: trước hết ta tìm biểu thức u ( x) Ta có: x 1 � ln u ( x)  � dx � ln u ( x )  x  ln x  C � ln u ( x)  ln e x  ln x  C x � ln u ( x)  ln xe x  C nên ta chọn u ( x)  xe x , từ ta có lời giải Lời giải � x � x Ta có � xe x f ( x) � ( x)   e x  xe x  f ( x)  xe x f � ( x) � �  xe  f ( x)  xe f � � x 2e x �� xe x f ( x)  2e x dx  ex � ( x) � xe x f ( x) �  x  1 f ( x)  xf � � �� � � � � e � � � � xe x f ( x)  e x  C f (1)  e � e.e  e  C � C  � xe f ( x)  e x 2x ex � f ( x)  x 2 1 x f ( x )dx  � e x dx  e x  e  e Khi I  � Bài tập tương tự: Bài Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  0; � thỏa mãn f ( x)  f � ( x)   3.e 2 x Khi đó: A e f  1  f    C e f  1  f    1  e2  1  e2  B e e f  1  f     3 e2   D e3 f  1  f     e  3 e   8 Bài Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f (0)  ( x)  f  x   e x  với x � 0;1 Tính f � f  x  dx � B  e  1 A 2e  C  e D  2e Bài Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  0;   thỏa mãn f (0)  2e f�  x   sin x f  x   cos x.ecos x với x � 0;  Tính  f  x  dx (làm tròn đến phần � trăm) A I �6,55 B I �17,30 C I �10,31 2.3.2 Kỹ sử dụng phương pháp đổi biển số  u� u  x � dx , tính  x f � Dạng Cho � � �  Hoặc cho b  a  D I �16,91 b f  x  dx � a f  x  dx , tính � u� u  x �  x f � � �dx � Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ số thay cho x Như tích phân khơng phụ thuộc vào biến tức là: b b b a a a f ( x)dx  � f (u )du  � f (t )dt  � Ví dụ Cho Cho hàm số y  f  x  liên tục � thỏa mãn 16  x  dx  �  f x f  x  dx Tính I  � f  sin x  cos xdx  � 0  u� u  x � dx , tính  x f � Nhận xét: Giả thiết cho � � �  b f  x  dx Ta có lời giải: � a Lời giải 16 f  x  dx  Theo ta có: A  � Đổi cận: �x  � t  � �x  16 � t  x Đặt: t  x � dt  4 1 x dx Suy ra: A  f t dt  � f t dt  �  �   Lại có: B  f  sin x  cos xdx  Đặt: u  sin x � du  cos xdx � �x  � t  � f  u  du  Đổi cận: �  Suy ra: B  � x  � t  � � 4 0 f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx    Vậy: I  �  2 sin x f f  x  dx  Tính tích phân I  Ví dụ Cho I  � �  a  3cos x  3cos x  b   dx f  x  dx , tính � u� u  x �  x f � Nhận xét: Giả thiết cho � � �dx Ta có lời giải: Lời giải 3sin x Đặt: t  3cos x  � dt  dx Đổi cận: 3cos x  1 �x  � t  � �  x  �t 1 � � 2 2 2 f  t  dt  � f  t  dt  � f  x  dx   Suy ra: I   � 32 31 31 3 Dạng Cho hàm số f  x  liên tục  a; b  , hàm số u  u  x  có đạo hàm liên tục  a; b  , thỏa mãn: A f  x   B.u�  x  f  u  x    C f  a  b  x   g  x   * với  A, B, C , a, b �� b Tính f  x  dx � a Ta có nhận xét: b b a a f  a  b  x  dx  � f  x  dx Nhận xét 1: � Thật vậy: Đặt t  a  b  x � dt  dx �x  a � t  b Đổi cận: � Suy ra: �x  b � t  a b b f  a  b  x  dx  � f  x  dx � a a b u b u b a u a  u a  u� u  x � dx   x f � Nhận xét 2: � � � �f  u  du  �f  x  dx Như vậy, lấy tích phân hai vế biểu thức  * ta có: b b b b a a a a A.� f  x  dx  B.� u� u  x � dx  C � f  a  b  x  dx  � g  x  dx  x f � � � b u b  b b a u a a a � A.� f  x  dx  B f  a  b  x  dx  � g  x  dx �f  u  du  C.� 10 b u b b b a u a  a a � A.� f  x  dx  B � f  x  dx  C � f  x  dx  � g  x  dx � u  a  a Nếu � �u  b   b � u  a  b Nếu � u  b  a � b b b b f  x  dx  g  x  dx � A BC � a a f  x  dx  g  x  dx � A B C � a a Ví dụ 10 Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn  0;2 thỏa mãn f ( x )dx f ( x)  f (2  x)   x  12 x  16 với x � 0;2 Tính tích phân I  � 2 0 f   x  dx  � f  x  dx Từ ta có Nhận xét: Ta thấy: f (2  x)  f    x  � � lời giải sau: Lời giải �x  � t  �x  � t  Đặt t   x � dt  dx , đổi cận : � 2 f (2  t )dt  � f (2  t )dt � I  � f (2  x)dx Khi I   � 0 2 0 f ( x)dx  � f (2  x)dx  �   x  12 x  16  dx Ta có: 3I  I  3� 2 � x � � I  �  x  12 x  16 dx    �  x  16 x �  163 � I   163 � �0 Ví dụ 11 Cho hàm f  x  liên tục  1; 2 thỏa mãn f  x   xf  x    f   x   x Tính giá trị �f  x  dx 1 2 f   x  dx  � f  x  dx Nhận xét: Ta thấy: f (1  x)  f    1  x  � � 1 Lại có: xf  x � 1   dx  �f  x 1  2d  x  2  1 2 1 1 f  x  dx �f  t  dt  � Từ ta có lời giải sau: Lời giải Từ: f  x   xf  x    f   x   x 2 2 1 1 �� f  x  dx  � xf  x   dx  � f 1 x  � x 3dx 1 1 11 �x  1 � u  1 �x  � u  Đặt u  x  � du  xdx , đổi cận : � 2 xf  x � Khi 1   dx  2 1 1 f  x  dx �f  u  du  � �x  1 � t  �x  � t  1 Đặt t   x � dt   dx , đổi cận : � 2 1 1 f   x  3� f  t  dt  � f  x  dx Khi đó: � 1 Ta có: 2 xf  x �f  x  dx  � 1 1 2 1 1 1   dx  � f 1 x  5� f  x  dx  � x 3dx x dx � � �f  x  dx  1 1  15 3 Vậy: �f  x  dx  1 b u b u b a u a  u a  u� u  x �  x f � Trong nhiều toán � � �dx  �f  u  du  �f  x  dx , không � u  a  a � u  a  b � Ta xét ví dụ sau: u  b  a �u  b   b � Ví dụ 12 Cho hàm f  x  liên tục � thỏa mãn phải lúc � xf  x   f   x    x10  x  x với x �� Tính giá trị �f  x  dx 1 Nhận xét: Ta đưa dạng xét cách biến đổi xf  x   f   x    x10  x6  x � x f  x   xf   x    x11  x  x Từ ta có lời giải sau: Lời giải Ta có: xf  x   f   x    x10  x6  x � x f  x   xf   x    x11  x  x 0 1 1 �� x f  x  dx  � xf   x  dx  �   x11  x  x  dx 1 � 1 17 f  t  dt  � f  t  dt  � 1 20 24 (1) 12 Ở xuất f  t  dt � nên để tính �f  t  dt , tính 1 0 �f  x  dx ta tiếp tục thực sau: 1 Lấy tích phân vế cận từ đến ta được: xf  x   f   x    x10  x6  x � x f  x   xf   x    x11  x  x 1 �� x f  x  dx  � xf   x  dx  �   x11  x7  2x  dx 0 � 1 1 5 5 3 f t dt  f t dt  � f t dt  � f t dt  (2)         � � � 3� 8 0 0 13 f  t  dt  Thay (2) vào (1) ta được: � Hay 1 �f  x  dx  1 13 Dạng Cho hàm số f  x  liên tục  a; b  thỏa mãn g � �f  x  � � x hàm g  t  hàm đơn điệu � Tính b f  x  dx � a Phương pháp:  y  dy Đặt: y  f  x  � x  g  y  � dx  g � � �x  a � g  y   a � y   Đổi cận: � Suy ra: �x  b � g  y   b � y   b  a  f  x  dx  � yg  y  dy � Ví dụ 13 Cho hàm số f ( x) liên tục � thỏa mãn 2f f  x  dx  x   f  x   f  x   x, x �� với x �� Tính tích phân � Nhận xét: Ta đặt: y  f  x  � x  y  y  y , hàm số: g  y   y  y  y hàm số đồng biến � Từ ta có lời giải sau: Lời giải 2 Đặt y  f  x  � x  y  y  y � dx   y  y   dy � �x  � y  y  y  � y  đổi cận : � �x  � y  y  y  � y  0 f  x  dx  � y  y  y   dy  Khi I  � Ví dụ 14 Cho hàm số f ( x) liên tục � thỏa mãn f ( x3  x  2)  3x  10 f ( x)dx với x �� Tính tích phân I  � 13 Nhận xét: Ta đặt: x  y  y  � dx   y   dy , hàm số: g  y   y  y  hàm số đồng biến � Từ ta có lời giải sau: Lời giải Đặt x  y  y  � dx   y   dy �x  � y  y   � y  � đổi cận : � �x  10 � y  y   10 � y  10 2 f  x  dx  � f  y  y    y   dy  �  y  1  y   dy  Khi I  � 1 151 Một số toán có cách đặt tương tự: Bài Cho hàm số f ( x) liên tục nhận giá trị dương đoạn  0;1 thỏa dx  f ( x) mãn f ( x ) f (1  x )  với x � 0;1 Tính tích phân I  � Gợi ý: Giả thiết chứa f ( x) f (1  x ) , nên ta biến đổi tạo hai biểu thức cách đặt x   t � � Bài Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn � ;3�và thỏa mãn � � f ( x) � � dx f ( x )  xf ( )  x  x với x �� ;3� Tính tích phân I  � x  x x � � x Gợi ý: Giả thiết chứa f ( x) f ( ) , nên ta biến đổi tạo hai biểu thức t cách đặt x  � � Bài Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn � ;1�và thỏa mãn: � � f ( x) � � f ( x)  f ( )  x với x �� ;1� Tính tích phân I  �x dx � 3x � Gợi ý: Giả thiết chứa f ( x) f ( cách đặt x  ) , nên ta biến đổi tạo hai biểu thức 3x 3t 2.3.3 Kỹ sử dụng phương pháp tính tích phân phần a Kiến thức sử dụng 14 b Công thức u ( x ) v� ( x) dx   u ( x)v( x)  � a b a b � v ( x )u � ( x) dx (trong u , v có đạo hàm a liên tục K a, b hai số thuộc K ) b Thơng thường với tốn có dạng f ( x ) g� ( x) dx � ta thường nghĩ tới a phương pháp tích phân phần Do đó, ta áp dụng kĩ thuật tính tích phân phần: � du  f � �u  f  x  x  dx �� dv  g� ( x) dx � � v  g  x Đặt: � b Ví dụ minh họa ( x) liên tục đoạn  0; 2 Ví dụ 15 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f � f  2  , � f  x  dx  Tính x f �  x  dx  ? � x f �  x  dx Nhận xét: Sử dụng kĩ thuật tính tích phân phần từ � Lời giải: � ux �du  dx � Đặt: � dv  f � v  f  x  x  dx � � � 2 x f � f  x  dx  f     2.3    x  dx  x f  x   � Khi đó: � 0 Ví dụ 16 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn  x  1 f �  x  dx  10 � f (1)  f    Tính f  x  dx � Nhận xét: Sử dụng kĩ thuật tính tích phân phần từ  x  1 f �  x  dx  10 � Lời giải: � u  x 1 �du  dx �� Đặt: � � dv  f x dx v  f  x   � � Ta có:  x  1 f �  x  dx  10 �  x  1 f  x  � 1 � f  x  dx  10 � f  1  f    � f  x  dx  10 15 �� f  x  dx  f  1  f    10   10  8 Ví dụ 17 Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm � thỏa mãn 0 f  x  dx   2x f �  x  dx  f    f    2021 Tính tích phân � � Nhận xét: Sử dụng kĩ thuật tính tích phân phần từ   2x f �  x  dx  2021 � Lời giải: Ta có:  1 2x f �  x  dx  2021 , đặt � du  2dx � u   2x � �� � dv  f �  x  dx �v  f  x  � 2 f  x  dx � 2021  3 f    f    � f  x  dx Khi đó: 2021    x  f  x   2� 2 0 2021  2021  � f  x  dx � � f  x  dx  2021 �x  � t  �x  � t  f  x  dx , đặt t  x � dt  2dx , đổi cận : � Xét I  � 2 1 2021 f  x  dx  � f  t  dt  � f  x  dx  Khi đó: I  � 20 20  �� 0; �thỏa mãn f ( )  Ví dụ 18 Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm � � 4�  f ( x)   dx 1 � � sin x.tan x f  x  � dx 2 Tính tích phân � sin x f �  x  dx � � � cos x 0  Nhận xét: Sử dụng kĩ thuật tính tích phân phần từ sin x f � �  x  dx Lời giải du  cosxdx � u  sin x � �� Khi đó: dv  f �  x  dx � v  f  x  � Ta đặt: �  sin x f �  x  dx  sin x f  x  �   � cos x f  x  dx   � � f � � cos x f  x  dx �4 � � Lại có: 16    � f  x � � f  x � 2� � sin x tan x f x � dx  sin x dx   cos x dx     � � � � � � � � cos x cos x � 0� � 0 �    f  x �  � dx  � � cos x f  x  � �dx �   � � cos x f  x  � � � �dx cos x 0  �� � cos x f  x  � �dx  1 � Từ ta suy ra:  sin x f �  x  dx  � 3 2 1  2 2.3.4 Bài tập áp dụng: Bài Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  1; � thỏa mãn đẳng ( x)  thức: f  x    x  1 f � A  x3  x2  x x2  B e  với x � 1; � Giá trị f   D   Bài Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm � thỏa mãn f (2)  C f  x  x  f � ( x)  2sin x   x 2cosx với x �� Tính  � xf �  x  dx �  C D  Bài Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  0; � thỏa mãn f (1)  A B xf �  x  1  f (2 x  1)  x với x � 0; � Tính f  x  dx � A 914 B 13 C 25 D Bài Cho hàm số f ( x) đồng biến, có đạo hàm cấp hai đoạn  0; 2 thỏa 2 � ( x)   f � ( x)   với x � 0;2 Biết f (0)  1, f (2)  e6 , mãn  f ( x)  f ( x) f � (2 x  1) f ( x)dx tính tích phân I  � 2 A  e B  e C  e Bài Cho hàm số f ( x) liên tục  0;1 thỏa mãn: D  e 17 x2  2x  f  x   f (1  x )  với x � 0;1 Tính x 1 A  2ln B  ln f  x  dx �  ln C D  2ln 2 Bài Cho hàm số f ( x) liên tục � thỏa mãn: x2 f   x   f ( 2x   x  x3  x  ) với x �0; x �1 Tính x x A B C �f  x  dx 1 D 2 � � Bài Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn � ;1�và thỏa mãn � � f ( x)  f ( � � ln  x  f � )  3x với x �� ;1� Tính tích phân I  �  3x  dx � 5x � 15 A ln  5 35 B ln  35 5 C  ln  35 Bài Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn  1;5 thỏa mãn  f ( x) D  ln  35 2019 f ( x)dx  f ( x)   x với x � 1;5 Tính tích phân I  � A 2019 B 2019 C D 2020 Bài Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục �\  0 thỏa mãn f (1)  e f�  x  2x 1 2x e với x ��\  0 Tính x2 6e ln xf  x  dx � A  e B C  e D  e2  �� 0; �thỏa mãn f ( )  Bài 10 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục � � 4� Biết  f  x  dx  � A I   ,  f�  x  sin xdx   � B I    Tính I� f  x  dx C I  D I  2.4 Hiệu sáng kiến hoạt động dạy học Trong năm học 2020 – 2021 triển khai nội dung sáng kiến cho 20 em học sinh giỏi hai lớp 12C 12N trường THPT Ba Đình mà tơi trực tiếp giảng dạy Tơi tiến hành cho em làm kiểm tra có câu tích phân hàm ẩn Kết thu sau: 18 Lớp 12C (10HS) Số học sinh làm câu tích phân hàm ẩn Số học sinh làm câu tích phân hàm ẩn Số học sinh không làm câu tích phân hàm ẩn 9/10 ( Chiếm 90%) 1/10 ( Chiếm 10%) 0/10 ( Chiếm 0%) 8/10 2/10 0/10 12N (10HS) ( Chiếm 80%) ( Chiếm 20%) ( Chiếm 0%) Và nữa, thấy hứng thú tự tin học sinh gặp dạng tốn tích phân hàm ẩn, phần khẳng định đề tài có tác dụng trang bị cho em lực, kỹ giải tốn tích phân, em tự tin kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia tới KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1.Kết luận Đề tài : “Rèn luyện số kỹ tích tích phân hàm ẩn cho học sinh lớp 12 thi tốt nghiệp THPT” xuất phát từ thực tế công tác giảng dạy thân quá trình học tập học sinh Đây kỹ hữu ích giúp học sinh biết chuyển toán từ lạ thành quen, từ tưởng phức tạp thành toán đơn giản để giải đặc biệt làm cho học sinh cảm thấy hứng thú say mê học tập Dạng toán chuyên đề quan trọng giúp cho giáo viên luyện thi tốt nghiệp THPT hàng năm Kiến nghị Nếu đề tài đánh giá tốt, mong phổ biến rộng rãi học sinh đồng nghiệp, coi tài liệu tham khảo bổ ích ơn thi học sinh giỏi, ôn thi tốt nghiệp THPT Mặc dù thân tâm huyết với đề tài, thời gian nghiên cứu hạn chế, thân kinh nghiệm chưa nhiều nên viết khơng tránh khỏi thiếu sót Mong góp ý chân thành quý Thầy Cô giáo Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa,ngày 15 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 19 Phạm Thị Mai 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số giải tích 12 nâng cao - Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên) - NXB Giáo dục Việt Nam - Năm 2008 Sách giáo khoa Đại số giải tích 12 - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - NXB Giáo dục Việt Nam-Năm 2011 Chuyên đề dạng tích phân hàm ẩn điển hình - Đặng Việt Đơng (Chủ biên) - THPT Nho Quan A - Ninh Bình Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia năm 2021 - Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Báo toán học tuổi trẻ Một số toán, viết mạng, thư viện Violet Đề thức, đề minh họa BGD đề thi thử trường , Sở DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Phạm Thị Mai Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên- Trường THPT Ba Đình TT Cấp đánh giá Kết xếp loại đánh giá Năm học (Ngành GD cấp xếp loại đánh giá huyện/tỉnh; (A, B, xếp loại Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ Tỉnh ) Sở GD&ĐT C) C 2016-2017 túi tốn chứng Thanh Hóa Tên đề tài SKKN minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức phương pháp tiếp tuyến  ... nghiệm cho năm 2021 với nội dung ? ?Rèn luyện số kỹ tích tích phân hàm ẩn cho học sinh lớp 12 thi tốt nghiệp THPT? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài giúp em học sinh lớp 12 THPT có kiến thức vững kỹ thành... tích phân hàm ẩn Kết thu sau: 18 Lớp 12C (10HS) Số học sinh làm câu tích phân hàm ẩn Số học sinh làm câu tích phân hàm ẩn Số học sinh khơng làm câu tích phân hàm ẩn 9/10 ( Chiếm 90%) 1/10 ( Chiếm... giải toán tích phân, em tự tin kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia tới KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1.Kết luận Đề tài : ? ?Rèn luyện số kỹ tích tích phân hàm ẩn cho học sinh lớp 12 thi tốt nghiệp THPT? ?? xuất phát