SKKN phương pháp giải tích phân hàm ẩn cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THIỆU HĨA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN HÀM ẨN CHO HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Trần Tuấn Ngọc Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Thiệu Hóa SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2019 MỤC LỤC Nội dung Trang I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………… ……… 1.2 Mục đích nghiên cứu ………………………………… ………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………….…… ……… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………… … …… II NÔI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……… … ………… 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm …………………… …… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……… 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề ………………………………… …………….… 1 1 1 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường …………………… III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ……………………………….…… …… 3.1 Kết luận ……………………………………………….…… … 3.2 Kiến nghị …………………………………………….….…… … Tài liệu tham khảo: …………………………………………….………… 19 20 20 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình SGK giải tích lớp 12, dạng tích phân tính tính chất tích phân tính chất hàm số (ở tơi tạm gọi hàm ẩn) xuất ít, khả thực hành tính tốn học sinh cịn nhiều hạn chế hay chưa nói đến gặp nhiều khó khăn Trước đây, kì thi từ thi tốt nghiệp THPT đến kỳ thi Đại học, Cao đẳng không xuất dạng tích phân hàm ẩn, quan tâm giáo viên học sinh vấn đề khơng có Từ Bộ GD&ĐT chuyển hình thức thi mơn Tốn từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm (ngay năm năm 2017) dạng tích phân có đề thi xuất khơng câu tạo cho nhiều học sinh (không chuyên) phải ngậm ngùi sau kì thi Từ lý cộng thêm niềm đam mê khám phá, học hỏi định chọn đề tài với mục tiêu dẫn dắt học sinh biết vận dụng kiến thức bản, kết hợp phương pháp tiếp cận từ sách giáo khoa để tạo thói quen mới, phương pháp cho dạng tốn Tích phân hàm ẩn 1.2 Mục đích nghiên cứu Với mục tiêu nêu trên, sau hoàn thành đề tài tơi sử dụng đề này, vận dụng kiến thức nghiên cứu, đúc kết đặt có hệ thống vào giảng dạy cho học sinh Ngồi chia sẻ với đồng nghiệp để khai thác nội dung đề tại, truyền thụ kiến thức đến đông dảo học sinh, nhiều đối tượng học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu, tổng kết phương pháp giải tốn tích phân hàm ẩn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong đề tài này, chủ yếu sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu Xuất phát từ phương pháp tính tích phân học sinh học sách giáo khoa tốn tích phân sưu tầm từ đề thi THPT QG năm 2017 để thi thử trường THPT, Sở GD & ĐT nước phân chia thành dạng để có phương pháp riêng giải cho dạng, dạng xếp từ dễ đến khó để phụ vụ cho việc giảng dạy với nhiều đối tượng học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong dạng tốn tích phân trình bày sách giáo khoa tốn tích phân học sinh tiếp cận, chủ yếu với hàm số biểu thức cho trước ( hàm tường ) Trong dạng toán, chủ yếu học sinh phải làm dựa vào biểu thức hàm số cho để định phương hướng lựa chọn phương pháp Tuy nhiên với tích phân hàm ẩn khơng có hàm số tường minh để dựa vào Và vấn đề đặt học sinh làm để nhận dạng áp dụng phương phán giải hợp lý cho tốn Vấn đề tơi xin trình bày phần nội dung đề tài 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước SKKN áp dụng, thấy đa số em học sinh giải tốn theo kiểu “ tù mù” Biến đổi, hay đổi biến, hay dùng phần! Và học sinh đánh phương hướng, nhiều thời gian cho hướng giải mù mịt (khơng biết có hay khơng) dẫn đến niền tin khả từ cảm thấy khơng cịn hứng thú việc học Toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trên sở kiến thức tích phân trình bày sách giáo khoa Giải tích Tơi chia thành dạng toán sau sở để thực mục đích nhận biết dạng tốn để chọn phương pháp phù hợp Nội dung đề tài trình bày cụ thể sau: I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Định nghĩa tích phân Cho f x hàm số liên tục a; b Giả sử F x f x a; b Hiệu số F b Fa nguyên hàm gọi tích phân từ a đến b hàm b số f x (hay tích phân xác định a; b ), kí hiệu f x dx a Ta cịn dùng kí hiệu F x ba để hiệu số F b Fa b Vậy f x dx F x ba Fb Fa a b Ta gọi dấu tích phân, a cận dưới, b cận trên, f x dx biểu thức a dấu tích phân f x hàm số dấu tích phân 1.2 Tính chất tích phân b b Tính chất 1: kf x dx k f x dx ( k số) a b a b Tính chất 2: f x g x dx a b f x dx g x dx a a b c Tính chất 3: f x dx a b f x dx f x dx , a c b a c 1.3 Các phương pháp tính tích phân 1.3.1 Phương pháp đổi biến b Để tính tích phân I gux u ' x dx ta thực phép đổi biến sau: a Bước 1: Đặt t Đổi cận: x ux a t dt u ' x dx ua,x b t ub u ( b) Bước 2: I g t dt u ( a) 1.3.2 Phương pháp tích phân phần b Cho hai hàm số u v có đạo hàm liên tục a; b Khi udv uv a b b a v du a II PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN HÀM ẨN 2.1 Dùng tính chất tích phân Phương pháp giải: - Khi đề cho kết tích phân có cận (trên dưới) hay nhiều hàm số yêu cầu tính tích phân (cận khơng thay đổi) tổng, hiệu hàm số ta dùng tính chất tích phân để giải - Khi đề cho kết tích phân hàm số f x yêu cầu tính tích phân (chỉ khác tích phân cho cận) hàm số f x ta dùng tính chất tích phân Ví dụ 1: Cho f x dx 10 , g x dx Tính I f x 5g x dx (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - lần năm học 2017-2018) Lời giải Ta có I 3f x 5g x dx 4 Ví dụ 2: Biết f (x )dx f (x )dx 2 g x dx 3.10 5.5 f x dx 4e2 x f (x ) dx Tính tích phân I (THPT Trần Quốc Tuấn năm học 2017-2018) Lời giải Ta có I 4 4e x f (x ) dx e x dx f (x )dx e2 x 42 f x dx f x d x 0 0 e8 f x dx 2e 1 2 f x dx 2e 2.2 Dùng phương pháp đổi biến Phương pháp giải: b - Khi gặp tích phân dạng f ux u ' x dx ta dùng phương pháp đổi biến: a đặt t ux - Khi đề yêu cầu tính tích phân hàm hx f x biết g f x , f a hàm số cho trước) ta đổi biến t a x hx (với x Cho f x dx a Tính I x f x dx theo a Ví dụ 1: (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh – lần năm học 2017-2018) Nhận xét: Ta thấy I x f x dx có f x2 hàm hợp hàm số f t , t x với nên ta dùng phương pháp đổi biến t x để tính I theo biến t , sau dùng tính chất tích phân khơng phụ thuộc vào biến ta tính I heo f x dx Lời giải Đặt t x dt 2x dx xdx dt Đổi cận: x t 1, x t Khi đó: I x f x 12 f t dt 21 dx 12 f x dx 21 a Ví dụ 2: (THPT Tứ Kỳ - Hải Dương năm học 2017-2018) Cho hàm số f x liên tục 4;và f x dx Tính I x f x dx Nhận xét: Ta thấy hàm số dấu tích phân x dx hàm hợp nên ta f biến đổi cách đặt t x Lời giải Đặt x t x t dx 2t dt Đổi cận : x t , x t Khi f 3 x dx 82t f t dt 8t f t dt 2 x f x dx Vậy I x f x dx 4 Ví dụ 3: (THPT chuyên Phan Bội Châu – lần năm học 2017-2018) Cho hàm số f x liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f x f x x Tính tích phân I f x dx 1 Nhận xét: Bằng cách đặt t x , ta có f x dx f t dt lấy tích phân từ đến hai vế f x f x1 x f x dx Do ta tính I Lời giải Đặt t x dx dt Đổi cận : x t , x t Suy f x 1 dxf t dtf t dtf x dx 0 Từ giả thiết f x f x1 x ta có f x f x dx1 x dx 1 f x dx f x dx1 x dx 0 51 f x dx 1 x dx f x dx f x dx 315 000 2.3 Dùng phương pháp phần b Phương pháp giải: Khi đề cho b f x dx yêu cầu tính g x f ' x dx (với a a b gx biểu thức cho trước) ngược lại ta biến đổi g x f ' x dx a cách dùng phương pháp phần, đặt u gx dv f ' x dx Ví dụ 1:(THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho hàm số y fx có đạo hàm fx liên tục 0;2 f 3, f x dx Tính x f x dx Nhận xét: Đề cho f x dx yêu cầu tính 2 x f x dx theo x f x dx nên ta biến đổi f x dx cách dùng phương pháp phần Lời giải u x du dx Đặt dv f ' x dx Ta có x f x dx x f x x x f 2 f x dx f 2.3 3 Ví dụ 2: (THPT chuyên Thái Bình năm học 2017 - 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;5 , thỏa mãn f 10 xf x dx 30 Tính f x dx 5 Nhận xét: Đề cho xf x dx 30 yêu cầu tính f x dx nên ta biến đổi 0 5 xf x dx làm xuất f x dx cách dùng phương pháp phần Lời giải u x du dx Đặt dv f x dx v f x Ta có 50 xf x d x 30x f x f x dx 30 f 5f x d x 30 0 f x dx f 30 5.10 30 20 0 2.4 Phối hợp phương pháp đổi biến phần Phương pháp giải: b d Dạng 1: Khi đề cho f x dx yêu cầu tính g x f ' u x dx (với a c 10 Lời giải u x du dx x Đặt dv f x dx v 2f x Khi I xf dx xf x 4 x Đặt t Vậy I f x dx 128 2I1 , với I1 x dx 2dt Khi I1 f f x dx dx f t dt f x dx 0 128 2I1 128 16 112 Ví dụ 2: (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định 2017-2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f 1, f x dx Tính xf x dx Nhận xét: Đây toán dạng Lời giải - Đặt t x d t 2d x d x dt Đổi cận: x t ; x t Ta có f x 4dx 0 f t dt 1f t dt 2 Do f x dx x dx , - Đặt u du dv f x dx v f x 12 0 2f Vậy xf x dx xf x x dx f 2 2.1 2 2.5 Tính tích phân hàm số f x cách xác định hàm số f x dựa vào điều kiện cho trước 2.5.1 Xác định hàm số f x biết đẳng thức liên hệ f x f ux Phương pháp giải: Từ đẳng thức liên hệ f x f u x ta thay x u x ngược lại ta đẳng thức thứ hai Từ đẳng thức ban đầu đẳng thức thứ hai ta tìm hàm f x Ví dụ 1: Xét hàm số f x 0;1 thỏa mãn f x f x x liên tục Tính tích phân f x dx Lời giải Thay x x ngược lại vào f x ta có f x1 x 2f x 3f x (1) , x (2) Từ (1) (2) ta có 3f1 x1 2f x x 6f1 x 21 x 4f x x 3f xx 2f1 Lấy (4) trừ (3) vế với vế ta có Suy f x dx f x 13 x 21 x x x f x3 x 6f1 x dx 15 Ví dụ 2: Cho hàm số f x liên tục f x 2f x tan x Tính f x dx Lời giải Thay x x 2f x ngược lại vào f f x f x tan x tan2 x , ta có x3 f x f x tan x Từ (1) (2) ta có x f x tan x 2f x 2x 3f 3f f x 2tan x 6f x f x 3tan2 x 9f x tan x Lấy (3) cộng (4) vế với vế ta có f x tan2 x π Khi π f π x dx tan 2x dx 1 dx 2 π π 4 2.5.2 Xác định hàm số f π cos x x biết đẳng thức liên hệ f x f ' x Phương pháp giải: Từ đẳng thức liên hệ f x f ' x ta biến đổi theo hai hướng sau: - Hướng 1: Cô lập f x f ' x vế sau lấy nguyên hàm hai vế để tìm hàm f x - Hướng 2: Nếu khơng cô lập f x f ' x vế ta biến đổi đẳng thức liện hệ f x f ' x cho vế đạo hàm có dạng tích, 14 thương hàm chứa f x , sau lấy nguyên hàm hai vế để tìm hàm Ví dụ 1: Cho hàm số f x liên tục đồng biến 1;4 thỏa mãn x , x 1;4 x xf x f ' fx f x dx có nhân tử chung x nên Tính tích phân If Nhận xét: Vế trái đẳng thức x xf x xf x f' x f' f x ta đặt x làm thừa số chung lập Ta có x x2f x f'x x 1f ' f ' xx f x x f'x x 2f x Lời giải Vì hàm số f x x 1;4 liên tục đồng biến 1;4 nên ta có f ' x Do x xf x f x f 0, , x 1;4 x 2f ' f' x x 2f x f' x x 2f x f' x dxxdx 2f x x 2f x 1 nên C Vậy If x dx C x3 1 Mà f Do 2 x3 f x 2 1403 dx 90 15 f ' x xf x 2x.e x2 , x Ví dụ 2: Cho hàm số f x thỏa mãn f Tính xf x dx Nhận xét: Ta không cô lập f x f ' x từ đẳng thức f ' x xf x 2x.e x2 vế trái khơng có thừa số chung Do ta tìm cách giải theo hướng thứ hai: Ta có f x xf x x.e x e x f x xe x2 f x 2x (*), ta thấy vế trái (*) có dạng u v u v Lời giải Ta có f x ex2 f xf x ' x 2x x.e x e x2 f x ex2 f x xe x2 f x x dx x C f x 2x x C e x2 nên C Do f xx e x2 Mà f 1 Vậy xf x dx xx 1e x2 dx 2e 2.5.3 Xác định hàm số f x cách tạo hàm số dấu tích phân có dạng bình phương tổng (hoặc hiệu) cho tích phân có kết (gọi tắt tạo bình phương cho hàm dấu tích phân) Phương pháp giải: Đối với toán ta thường gặp ba dạng sau: b b Dạng 1: Cho f ( x )dx m , g x f ( x )dx n (với g x a cho trước) a b Tính f x dx a 16 Với dạng ta xác định hàm số f x b cách tạo bình phương cho x k g x 2dx f (với k) theo bước hàm dấu tích phân dạng a sau: b Bước 1: Tính g x dx a b x k g x 2dx f Bước 3: Tìm số thực k cho a Từ suy f x k g x f xk g x Dạng 2: Cho b f (x ) 2dx m , a g xf (x )dx n (với g x cho trước) Tính b a b f x dx a Với dạng ta xác định hàm số f x b f' dấu tích phân dạng cách tạo bình phương cho hàm dx x k.g x (với k) theo bước a sau: b b Bước 1: Biến đổi g x f (x )dx n làm xuất a g x f (x )dx p cách a u gx dùng phương pháp phần: đặt dv f x dx b Bước 2: Tính g x dx a 17 b f ' x k g x 2dx Bước 3: Tìm số thực k cho a Từ suy f ' x k g x f ' xk g xf xk g x dx b Dạng 3: b Cho ba tích phân f 2x dx m , g x f x dx n (với g x biểu a a b thức cho trước) , f x dx p yêu cầu tính tích phân từ a đến b hàm số có a chứa f x Với dạng ta xác định hàm số f x cách tạo bình phương cho b f hàm dấu tích phân dạng x k g x dx l (với a b k,l cho f ) Ta tìm hai số thực k , l x k g x dx l Từ suy a f x k g x l f x Ví dụ 1: Cho hàm số y f k g x l x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 Biết f x dx x sin f x dx Tính f x dx Nhận xét: Đây toán dạng Bài toán cho f x dx sin x f x dx nên để tính 2 cách tạo bình ta tìm hàm số f x dx f x 18 phương f cho hàm dấu tích phân x dx k sin x f x dxk sin0 x x dạngf x k sin 2 dx dx 2 2 2k k k 6k k Lời giải Ta có sin x dx 2 Do f 2 f x dx x x 3sin 1 Vậy f x dx 3sin x2 3sin dx x dx Suy f x x x dx 3sin hay f 1 cos x dx x dx cos x 3sin 2 Ví dụ 2: ( Đề minh họa Bộ giáo dục đào tạo năm 2018) Cho hàm số có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn f 0, f (x ) 2dx y f x 1 x f (x )dx Tính tích phân f (x )dx Nhận xét: Đây toán dạng nên ta giải theo bước nêu Lời giải - Đặt u f x du f x dx , dv x 2dx v x3 19 Ta có x f ( x )dx 1 f Ta có x dx x3 x3 f x 3 f x dx 3 x3 f x dx 3 0 x3 1 f x dx 3 x f x dx - Ta tìm số cho k f(x) dx kx 1 f k x dx f x k x 3dx k x 6dx 0 Thay vào (1) ta có k f(x) 1 k k f ( x ) x f ' x7x Mà f nên Do C Vậy f x x4 f ( x) Cho hàm số C dx x4 f ( x )d x Ví dụ 3: f x 7x4 0;1 liên tục đoạn f ( x )d x thỏa mãn Biết xf ( x )dx f ( x ) dx 13 Tính tích phân I f ( x ) dx 20 Nhận xét: Đây toán dạng 3: đề cho ba tích phân f(x) dx 13 , nên ta tìm hàm số f x cách tạo bình phương xf ( x )dx f ( x )dx 0 f ( x) kx l dx cho hàm số dấu tích phân dạng 2 kxf ( x) 2lf ( x) klx k x2 l2 dx f ( x) f ( x) d x k xf ( x) dx 2l f ( x)dx kl xdx 0 13 k 4l kl Để có k k k l k 3l k 3l 3l 3l2 12l 13 k x2 l dx 0 12l 13 03 l l Từ ta có lời giải: Ta có f ( x) x dx dx 13 Vậy I Lời giải f ( x) xf ( x) f ( x) x x2 70 f x 2x f (x ) x f ( x) dx x dx 10 2.6 Dùng kỹ thuật chọn hàm Phương pháp giải: Ta chọn hàm f x thỏa mãn đẳng thức kiện toán theo hướng sau: Đề cho n đẳng thức kiện chọn hàm số có n tham số tương ứng Chẳng hạn: Đề cho đẳng thức ta chọn f x a,a Đề cho hai đẳng thức ta chọn f x ax b , a , b Đề cho đẳng thức hàm chẵn ta chọn f ax2 , a x Đề cho hai đẳng thức hàm chẵn ta chọn f ax b , a , b x Đề cho đẳng thức hàm lẻ ta chọn f x Đề cho hai đẳng thức hàm lẻ ta chọn f ax , a ax bx , a , b x Ví dụ 1:(THPT Tứ Kỳ - Hải Dương năm học 2017-2018) Cho hàm số f 4;và f x dx Tính I x f x dx Nhận xét: x liên tục Đề cho đẳng thức f x dx nên ta chọn f x a , a Sau ta tìm a thỏa mãn x dx f Lời giải Chọn f x a , a f x dx 8a dx ax Suy f x |50 5a a 2 Vậy I x f x dx 3 x dx 22 Ví dụ 2: (THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa năm 2017-2018)Cho hàm số y fx có đạo hàm fx liên tục 0;2 f 3, f x d x Tính x f x dx Nhận xét : Đề cho hai đẳng thức : f f x dx nên ta chọn f x ax b , a , b Sau ta tìm a , b thỏa mãn f 3, f x dx Lời giải Chọn f x ax b a,b Ta có f 2a b (1) f x dx 1a 2x ax b dx Từ (1) (2) ta có a Do f x 3, b bx 2a 2b (2) 3x Vậy x f x dx x 3x 2 'dx 3xdx 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với nội dung ý tưởng đề tài hy vọng SKKN phổ biến rộng rãi đến đồng nghiệp, học sinh bạn đọc khác, góp phần truyền đạt cho học sinh cách tiếp cận kiến thức mơn Tốn dựa tảng kiến thức biết Kết đạt : 23 Sau đưa vào áp dụng giảng dạy cho học sinh mùa thi THPT Quốc Gia năm 2018 có nhiều em giải câu tích phân hàm ẩn Và mùa thi tới (năm 2019) em làm nhiều từ để thi thử trường THPT, trường chuyên Sở GD & ĐT, em sẵn sàng cho kì thi cuối em III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trên kinh nghiệm thực tiễn trình giảng dạy, tìm tịi đúc rút kinh nghiệm thân, với đề tài hy vọng giúp em học sinh tự tin việc giải tốn tích phân hàm ẩn 3.2 Kiến nghị Với nội dung có hạn đề tài nghiên cứu, xin kiến nghị đến Sở GD & ĐT, nhà trường đồng nghiệp đưa vào ứng dụng tiếp tục mở rộng thêm nội dung đề tài cho rất nhiều nội dung khác mơn Tốn như: Hàm số, Số phức, hình học tổng hợp, hình học tọa độ….Từ tạo niền đam mê học Tốn cho học sinh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Trần Tuấn Ngọc 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2008; 2) Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh, Câu hỏi tập trắc nghiệm toán 12, NXB Đại học quốc gia Hà Nội; 3) Các đề minh họa đề thi THPT quốc gia năm 2017, 2018 Bộ giáo dục đào tạo; 4)Các đề thi thử THPT quốc gia trường, Sở giáo dục đào tạo toàn quốc 25 ... 1.3.2 Phương pháp tích phân phần b Cho hai hàm số u v có đạo hàm liên tục a; b Khi udv uv a b b a v du a II PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN HÀM ẨN 2.1 Dùng tính chất tích phân Phương pháp giải: ... kết phương pháp giải tốn tích phân hàm ẩn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong đề tài này, chủ yếu sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu Xuất phát từ phương pháp tính tích phân học sinh học. .. dạy cho học sinh mùa thi THPT Quốc Gia năm 2018 có nhiều em giải câu tích phân hàm ẩn Và mùa thi tới (năm 2019) em làm nhiều từ để thi thử trường THPT, trường chuyên Sở GD & ĐT, em sẵn sàng cho