Một số phương pháp giúp học sinh trung bình, yếu trường THPT thường xuân 3 giải bài toán tính xác suất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH TRUNG BÌNH, YẾU GIẢI BÀI TỐN TÍNH XÁC SUẤT KHỐI 11 THPT Người thực hiện: Nguyễn Trọng Hạnh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác:Trường THPT Thường Xn SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2021 MỤC LỤC Mở đầu .1 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu .1 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .1 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm ………………………… 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước sử dụng sáng kiến .4 2.3 Các giải pháp tiến hành để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp 1: Tóm tắt lý thuyết 2.3.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân loại tốn tính xác suất 2.3.3 Giải pháp 3: Bài tập áp dụng 27 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm .31 Kết luận kiến nghị 31 3.1 Kết luận 31 3.2 Kiến nghị .32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 DANH MỤC SKKN ĐÃ ĐƯỢC ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI ……………… 34 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Những năm gần đây, vấn đề đổi phương pháp dạy học nói chung bàn đến nhiều diễn đàn khác Người ta đề xuất, thử nghiệm nhiều phương pháp dạy học để nâng cao hiệu dạy Toán Luật giáo dục Quốc hội khóa X thơng qua rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Tốn học mơn học địi hỏi tư logic, phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức lại với Do đó, việc phân dạng hình thành phương pháp giải dạng tốn biện pháp mang lại hiệu cao giảng dạy, đặc biệt với đối tượng học sinh miền núi có học lực trung bình, yếu Tốn xác suất ngành tốn học có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Toán học, Vật lý, Khoa học kỹ thuật, y học, công nghệ thông tin ngành kinh tế Lý thuyết xác suất đưa vào chương trình Đại số & Giải tích 11và cung cấp cho học sinh kiến thức ngành tốn học Hơnnữa, trongnhững năm gần dạng tốn cịn có đề thi THPT Quốc gia Bộ Giáo dục Đào tạo quy định Đứng trước toán xác suất nhiều học sinh thường lúng túng, cách giải nào, chí có nhiều em làm xong khơng dám làm Từ lí chọn đề tài: “ Một số phương pháp giúp học sinh trung bình, yếu Trường THPT Thường Xn giải tốn tính xác suất” 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số vấn đề liên quan đến nội dung xác xuất gồm định nghĩa tính chất để tìm phương pháp cho dạng tốn tính xác suất, giúp học sinh tiếp thu dễ dàng Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các dạng tốn phương pháp tính xác suất Khám phá, phân tích lời giải chi tiết từ học sinh hồn thiện kiến thức nắm bắt tốn cách thấu đáo có chiều sâu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo vấn đề liên quan đến đề tài 1.4.2 Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng điều tra theo hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự 1.4.3 Phương pháp thống kê tốn học: Xử lí số liệu thu sau trình giảng dạy, kiểm tra đánh giánhằm minh chứng cho hiệu việc sử dụng giải pháp 1.5.Những điểm sáng kiến kinh nghiệm a Phương pháp dạy học - Giúp học sinh phát giải vấn đề toán Phần học (phiếu học) thường thành loại tình có vấn đề tương đối đơn giãn, để tự học sinh giải (vì đối tượng ta hướng tới học sinh yếu kém) Thời gian đầu, giáo viên hướng dẫn học sinh giải vấn đề, yêu cầu học sinh tự nêu giải - Giúp học sinh chiếm lĩnh kiến thức Phân chia theo thời gian, giáo viên giúp học sinh tự nêu, tự giải vấn đề, tự xây dựng kiến thức Đương nhiên toán giáo viên phải giúp học sinh ghi nhớ kiến thức (như công thức) - Giúp học sinh phát chiếm lĩnh kiến thức Từ tình có thực đời sống Giải vấn đề đơn giãn tìm kiến thức Xây dựng ghi nhớ vận dụng kiến thức vào tình khác thực hành chiếm lĩnh kiến thức phát - Hướng dẫn học sinh thiết lập mối quan hệ kiến thức kiến thức học trước Huy động kiến thức học để phát chiếm lĩnh kiến thức Đặt kiến thức mối quan hệ với kiến thức có - Giúp học sinh thực hành, rèn luyên cách diễn đạt thông tin lời, kí hiệu Trong q trình dạy học giáo viên phải quan tâm đến việc rèn luyện cách diễn đạt ngắn gọn, rõ rang, vừa đủ nội dung, logic phát biểu làm tự luận b Phương pháp dạy học luyện tập, ôn tập - Giúp học sinh nhận kiến thức học dạng tập khác Khi luyện tập, học sinh nhận kiến thức học mối quan hệ học sinh tự làm Nếu học sinh không nhận kiến thức học dạng tập giáo viên nên giúp đỡ em cách hướng dẫn, gợi ý đễ tự học sinh nhớ lại kiến thức - Giúp học sinh luyện tập theo khả em Bao yêu học sinh phải giải tập theo thứ tự xếp phiếu, sử dụng nhiều đơn giản tạo hứng thú cho học sinh Cần chấp nhận tình trạng: Trong khoảng thời gian có học sinh khá, giỏi làm nhiều tập học sinh khác - Hỗ trợ, giúp đỡ đối tượng học sinh(học sinh khá, giỏi kèm học sinh yếu, kém) Nên khuyến khích học bình luận cách giải bạn, tự rút kinh nghiệm trình trao đổi ý kiến Sự hỗ trợ học sinh nhóm, lớp góp phần tạo mối đồn kết mặc cảm, tự ti học sinh yếu khơng cịn - Tập cho học sinh thói quen khơng thỏa mãn với làm làm Sau tiết học, tiết luyện tập nên tạo cho học sinh niềm vui hồn thành cơng việc giao, niềm tin vào tiến thân (khuyến khich, nêu gương) Khuyến khich học sinh giải nhiều tập nhà với đơn giản đến khó mà em làm lớp có biện pháp cụ thể để giúp em vươn lên sau năm học NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thống kê Tốn Lí thuyết xác suất có nhiều khả việc góp phần giáo dục giới quan khoa học cho học sinh số tri thức Thống kê toán Lí thuyết xác suất thuộc vào học vấn phổ thơng Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Do đặc thù chuyên ngành nên tốn xác suất có nhiều điểm khác biệt so với toán đại số, giải tích, hình học Với đa số học sinh phổ thông, đặc biệt học sinh miền núi, vùng đặc biệt khó khăn, việc làm quen, áp dụng giải tốn xác suất cịn bỡ ngỡ thấy khó Để học tốt xác suất học sinh phải nắm vững khái niệm đồng thời phảithường xuyên làm tập để học hỏi, trau phương pháp, kĩ giải tốn phương pháp phù hợp Do tơi ln có ý định tìm phương pháp để truyền dạy cho học sinh, phương pháp học đơn giản, phương pháp mà học sinh cảm thấy tự giác hứng thú học Để tiếp cận toán xác suất toán khác ta nên tập cho học sinh vận dụng quy trình giải tốn sau: a.Tìm hiểu nội dung tốn b.Xây dựng chương trình giải cho tốn c Thực chương trình giải xây dựng bước a d Nghiên cứu sâu lời giải Đối với quy trình này, áp dụng vào dạng toán cụ thể góp phần tập cho HS xây dựng phương pháp chung để giải tốn Bản chất việc làm cho HS chủ động tiếp thu, dễ hiểu, dễ nhớ kiến thức 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Thường Xuân đóng địa bàn miền núi, với đa số học sinh em dân tộc Thái, Mường, nhiều hạn chế việc tiếp thu kiến thức, đặc biệt kiến thức mơn địi hỏi tư trừu tượng mơn Tốn Đại đa số em có học lực mơn Tốn trung bình, yếu Với đặc điểm trên, để cải thiện chất lượng mơn Tốn cho đối tượng học sinh đại trà, thường tập trung vào giúp em nắm vững giải thành thạo toán phần kiến thức đánh giá dễ học, dễ tiếp thu số kiến thức cần cung cấp cho em Lượng kiến thức phần xác suất trình bày sách giáo khoa Đại số & Giải tích 11 khơng nhiều.Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh trường THPT Thường Xuân nhận thấy: đa số em chưa hiểu sâu sắc khái niệm như: Không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố đối, biến cố xung khắc…và đặc biệt đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất để giải tập tính xác suất Cụ thể năm học 2019-2020 chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, cho học sinh lớp 11A2 làm khảo sát, kết sau: Số Giỏi Khá TB Yếu Lớp SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) HS 11A2 39 5,1 21,5 16 41,2 13 32,2 Xuất phát từ thực tế đó, năm học 2020-2021 tiến hành đổi cách dạy nội dung lớp 11A3(có chất lượng tương đương với lớp 11A2 năm học trước) 2.3 Các giải pháp tiến hành giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp Hệ thống lại kiến thức liên quan đến xác suất a.Phép thử ngẫu nhiênvà biến cố a1.Phép thử ngẫu nhiên: Là phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, biết tập hợp kết có phép thử a2.Khơng gian mẫu: Tập hợp kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử kí hiệu Ω a3.Biến cố: Là tập không gian mẫu.Biến cố thường kí hiệu chữ in hoa A, B, C, … cho dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt lời dạng mệnh đề xác định tập Trong phép thử có hai biến cố đặc biệt: + Tập ∅ gọi biến cố (gọi tắt biến cố không) + Tập Ω gọi biến cố chắn a4 Phép toán biến cố Trước hết ta giả thiết biến cố xét liên quan đến phép thử kết phép thử đồng khả + Tập Ω\A gọi biến cố đối biến cố A, kí hiệu A Và A xảy A không xảy + Tập A ∪ B gọi hợp biến cố A B + Tập A ∩ B gọi giao biến cố A B, viết A.B + Nếu A ∩ B = ø ta nói A B xung khắc + Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố 2.3.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân loại tốn xác suất 2.3.2.1 Xác định khơng gian mẫu biến cố Phương pháp giải Phương pháp 1: Liệt kê phần tử không gian mẫu biến cố đếm Phương pháp 2: Sử dụng quy tắc đếm, kiến thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để xác định số phần tử khơng gian mẫu biến cố Ví dụ điển hình Ví dụ 1.Gieo đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp lần xuất mặt sấp năm lần ngửa dừng lại Mô tả không gian mẫu Xác định biến cố: A : “Số lần gieo không vượt q ba” B : “Có lần gieo xuất mặt ngửa” Hướng dẫn giải Kí hiệu mặt sấp S , mặt ngửa N Ta có Ω = { S; NS; NNS; NNNS; NNNNS; NNNNN } ⇒ Ω = A = { S; NS; NNS} ⇒ Ω A = B = { NNS; NNNS; NNNNS; NNNNN } ⇒ ΩB = Ví dụ Trong hộp đựng viên bi đỏ, viên bi xanh, 10 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính số phần tử Không gian mẫu Các biến cố: a) A : “ viên bi lấy có hai viên bi màu trắng” b) B : “ viên bi lấy có viên bi màu đỏ” c) C : “ viên bi lấy có đủ màu” Hướng dẫn giải Ta có: Ω = C24 = 10626 a) Số cách chọn viên bi có hai viên bị màu trắng là: C102 C142 = 4095 Suy ΩA = 4095 b) Số cách lấy viên bi mà khơng có viên bi màu đỏ chọn C184 4 Suy ΩB = C24 − C18 = 7566 c) Số cách lấy viên bi có màu là: C64 + C84 + C104 Số cách lấy viên bi có hai màu là: C144 + C164 + C184 − 2(C64 + C84 + C104 ) Số cách lấy viên bị có đủ ba màu là: C24 − (C144 + C164 + C184 ) + (C64 + C84 + C104 ) = 5040 Suy ΩC = 5859 1 2 1 Cách 2: ΩC = C6 C8 C10 + C6 C8 C10 + C6 C8 C10 = 5040 Ví dụ 3.Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số đơi khác Tính số phần tử Không gian mẫu Các biến cố a) A : “Số chọn chia hết cho 5” b) B : “Số chọn có chữ số lẻ và hai chữ số lẻ không đứng kề nhau” Hướng dẫn giải Số số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác 9.A 93 = 4536 Suy Ω = 4536 2.Gọi abcd số có bốn chữ số đôi khác thỏa yêu cầu toán ( a ≠ 0) a) TH1: d = : Có 8.A82 = 448 (số) TH2: d = : Có A93 = 504 (số) Suy ΩA = 952 b) Cách TH1: Chỉ có chữ số a,c lẻ: Có A52.A52 = 400 (số) TH2: Chỉ có chữ số a,d lẻ: Có A52.A52 = 400 (số) TH1: Chỉ có chữ số b,d lẻ: Có A52.4.4 = 320 (số) Suy ΩB = 1120 Cách Chọn từ chữ số lẻ chữ số lẻ theo thứ tự hàng ngang, có A52 = 20 cách Với cách xếp ta xem có khoảng trống tạo (một khoảng trống hai khoảng trống hai đầu) Chọn chữ số chẵn xếp vào trống (mỗi chữ số) để số thỏa yêu cầu đề bài, có C52.A32 − C41 = 56 cách Suy ΩB = 20.56 = 1120 Ví dụ Một xạ thủ bắn liên tục phát đạn vào bia Gọi Ak biến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ k ” với k = 1,2,3,4 Hãy biểu diễn biến cố sau qua biến cố A1, A2 , A3 , A4 A : "Lần thứ tư bắn trúng bia" B : "Bắn trúng bia lần" C : "Bắn trúng bia ba lần" Hướng dẫn giải Ta có Ak biến cố "Lần thứ k ( k = 1,2,3,4 ) xạ thủ bắn khơng trúng bia" Do A = A1 ∩ A ∩ A ∩ A B = A1 ∪ A ∪ A ∪ A C = A 1A 2A 3A ∪ A 1A 2A 3A ∪ A 1A 2A 3A ∪ A 1A 2A 3A 2.3.2.2 Xác địnhxác suất biến cố b1 Định nghĩa cổ điển xác suất Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất n( A) n( A) Ta gọi tỉ số n(Ω) xác suất biến cố A, kí hiệu P( A) Vậy P( A) = n(Ω) b2 Tính chất xác suất *) Tính chất P (∅) = P ( Ω) = ≤ P( A) ≤ , với biến cố A P( A) = − P( A) *) Quy tắc cộng xác suất Nếu A B xung khắc ( A ∩ B = ∅ ) thì: P( A ∪ B) = P( A) + P( B )   Nếu A ∩ B ≠ ∅ P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P( A ∩ B ) *) Quy tắc nhân xác suất: + Hai biến cố A B độc lập khi: P( A ∩ B) = P( A).P( B) Dạng 1: Các tốn tính xác suất áp dụng định nghĩa cổ điển xác suất: Với dạng giáo viên cần hướng dẫn học sinh thực theo bước sau: Bước 1: Tính số phần tử khơng gian mẫu(số khả xảy phép thử): n(Ω) Bước 2: Tính số phần tử biến cố A xét (số kết thuận lợi): n( A) n( A) Bước 3:Tính xác suất theo cơng thức: P ( A ) = n(Ω) • Tính xác suất theo thống kê ta sử dụng công thức: P( A) = n N 1.1 Ví dụ điển hình Ví dụ Bộ tú - lơ khơ có 52 quân Rút ngẫu nhiên quân Tính xác suất biến cố a) A: “Rút tứ quý K ‘’ b) B: “4 quân rút có Át” c) C: “4 qn lấy có hai qn bích’’ Hướng dẫn giải a) Ta có số cách chọn ngẫu nhiên quân là: C524 = 270725 ; Suy Ω = 270725 Vì có tứ quý K nên ta có ΩA = Vậy P( A) = 270725 b) Ta có số cách rút qn mà khơng có Át C484 , suy ΩB = C524 − C484 ⇒ P( B) = 15229 54145 20 Các cặp có tổng chia hết cho 11 ( 2;9 ) ,(3;8),(4;7);(5;6) n( A) = × × 2!× 2! = 48 ( phần tử ) n( A) 48 Bước 3: Tính xác suất: P( A) = n(Ω) = 3024 = 63 Chọn D Dạng 3: Biến cố đối Trong tốn học, có tốn tính tốn trực tiếp dài dịng phức tạp Khi phương pháp gián tiếp lại hiệu cho ta cách làm ngắn gọn Phương pháp sử dụng biến cố đối phương pháp Bài tốn (Sách Đại số giải tích11) Cho lục giác ABCDEF Viết chữ A, B, C, D, E, F vào thẻ Lấy ngẫu nhiên hai thẻ Tìm xác suất cho đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi thẻ là: a) Cạnh lục giác b) Đường chéo lục giác c) Đường chéo nối đỉnh đối diện lục giác Hướng dẫn giải: * Phép thử T: ‘‘ Lấy ngẫu nhiên thẻ từ thẻ” Chúng ta biết từ điểm phân biệt cho khơng có điểm thẳng hàng tạo n(Ω) = C62 đoạn thẳng * Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C62 = 15 a) Xét biến cố A: “Đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi hai thẻ = 15 b) Xét biến cố B: cố “Đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi hai cạnh lục giác”: n( A) = ⇒ P ( A) = 5 thẻ đường chéo lục giác”: B = A ⇒ P ( B) = − P( A) = − = c) Xét biến cố C: “Đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi hai thẻ n(C ) đường chéo nối hai đỉnh đối diện lục giác”: n(C ) = ⇒ P(C ) = n(Ω) = 15 = Bài toán 2.Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất lần Tính xác suất biến cố: a) Biến cố A: “Trong lần gieo có lần xuất mặt ngửa” b) Biến cố B: “Trong lần gieo có hai mặt sấp, ngửa” Hướng dẫn giải: Học sinh giải tốn theo định hướng là: lần xuất mặt ngửa có khả xảy là: lần xuất mặt ngửa, hai lần xuất mặt ngửa, ba lần xuất mặt ngửa Do học sinh giải toán theo cách giải dạng 1: Bước 1: Tính số phần tử khơng gian mẫu 21 * Phép thử T: ‘‘tiền xu cân đối đồng chất lần’’ * Số phần tử không gian mẫu gồm n(Ω) = 6.6 = 2.2.2 = phần tử Bước 2: Tính số phần tử biến cố * Xét biến cố A: “Trong lần gieo có lần xuất mặt ngửa” A = { NSS , SNS , SSN , SNN , NNS , NSN , NNN } ⇒ n( A) = Bước 3: Tính xác suất: ⇒ P( A) = Tuy nhiên làm dài dễ bỏ quên trường hợp Ta xét biến cố đối biến cố A biến cố A : “Khơng có lần xuất mặt ngửa” Do toán giải theo cách khác: Cách khác * Phép thử T: ‘‘tiền xu cân đối đồng chất lần’’ * Số phần tử không gian mẫu gồm n(Ω) = 6.6 = 2.2.2 = phần tử * Xét biến cố A : “Trong lần gieo có lần xuất mặt ngửa” Ta có biến cố đối biến cố A biến cố: A : “Khơng có lần xuất mặt ngửa” 1 Và ta có: A = { SSS } ⇒ n( A) = ⇒ P ( A) = ⇒ P( A) = − P( A) = − = 8 b) Biến cố B : “Trong lần gieo có hai mặt sấp, ngửa” Ta có biến cố đối biến cố B biến cố: B : “Trong lần gieo khơng có mặt ngửa, khơng có mặt sấp” Ta có: B = { SSS , NNN } ⇒ n( B ) = ⇒ P ( B ) = = 1 ⇒ P (B) = − P(B) = − = 4 Bài toán Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: a) Biến cố A : “Trong hai lần gieo lần xuất mặt chấm” b) Biến cố B : “Tổng số chấm hai lần gieo số nhỏ 11 ” Hướng dẫn giải: Nếu tính trực tiếp ta phải xét nhiều trường hợp, chẳng hạn: - Đối với biến cố A · Mặt chấm xuất lần thứ · Mặt chấm xuất lần thứ hai · Hai lần gieo xuất mặt chấm (khả lại nằm hai khả trên) - Đối với biến cố B Tổng số hai lần gieo số nhỏ 11 tức có 10 khả xảy 22 Vì toán dùng phương pháp sử dụng biến cố đối phương pháp tối ưu * Phép thử: “Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần” * Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 6.6 = 36 a) Biến cố đối biến cố A A : “Không lần xuất mặt chấm” 25 36 25 11 ⇒ P (A) = − P(A) = − = 36 36 b) Biến cố đối biến cố B B : “Tổng số chấm xuất hai lần gieo ⇒ n( A) = 5.5 = 25 ⇒ P( A) = số không nhỏ 11 ” B = { ( 5; ) ; ( 6;5 ) ; ( 6; ) } ⇒ n( B ) = ⇒ P ( B ) = ⇒ P (B) = − P (B) = − = 36 12 11 = 12 12 Bài toán 4(Đề thi thử THPT Quốc gia sở GD&ĐT Thanh Hóanăm 2018) Xếp ngẫu nhiên8 chữ cụm từ “THANH HOA” thành hàng ngang Tính xác suất để có hai chữ H đứngcạnh A 14 B 79 84 C 84 D 14 Hướng dẫn giải: Bài tốn trình bày cách áp dụng định nghĩa cổ điển xác suất Tuy nhiênbài tốn giải cách sử dụng biến cố đối * Phép thử T: “Xếp ngẫu nhiên chữ cụm từ “THANH HOA” thành hàng ngang” * Số phần tử không gian mẫu: Xét trường hợp chữ xếp bất kì, ta xếp chữ sau - Có C83 = 56 cách chọn vị trí xếp có chữ H - Có C52 = 10 cách chọn vị trí xếp có chữ A - Có 3! = cách xếp chữ T, O, N n(Ω) = 56.10.6 = 3.360 Xét biến cố: A: “Có hai chữ H đứng cạnh nhau” Ta có: A : “ Khơng có hai chữ H đứng cạnh nhau” Đầu tiên ta xếp chữ A chữ T, O, N, có C52 3! = 60 cách xếp Tiếp theo ta có vị trí (xen hai đầu) để xếp chữ H, có C63 = 20 cách xếp 23 Do P( A) = 1200 = ⇒ P( A) = − = Chọn D 3360 14 14 14 Nhận xét:Phương pháp sử dụng biến cố đối phương pháp hay, nhiên để vận dụng phương pháp học sinh cần nắm hai yếu tố: • Nhận dạng loại tốn: Các tốn có cụm từ “có nhất”, “tối thiểu”, “tất cả”…hoặc tính chẵn, lẻ, vơ nghiệm, có nghiệm,…nếu tính kiểu bù gọn ta dùng biến cố đối • Xác định tốt mệnh đề phủ định phép toán lấy phần bù tập hợp để tránh xác định sai biến cố đối Dạng4: Các tốn sử dụng cơng thức cộng xác suất Khi dùng quy tắc cộng xác suất cần phải ý cho học sinh biến cố sở phải xung khắc, trường hợp biến cố sở khong xung khắc phải dùng cơng thức cộng xác suất mở rộng Khi phải sử dụng cơng thức nhân xác suất trình bày dạng Bài tốn Trong hịm có 10 chi tiết, có chi tiết hỏng Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết có khơng q chi tiết hỏng Phân tích: Trong chi tiết có khơng q chi tiết hỏng nghĩa khơng có chi tiết hỏng có chi tiết hỏng Bài tốn khơng thể giải theo dạng mà phải sử dụng phép tính xác suất Đây toán dùng quy tắc cộng xác suất Hướng dẫn giải: * Phép thử T: “Lấy chi tiết hịm có 10 chi tiết” * Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C106 = 210 Gọi A1 biến cố “Trong chi tiết lấy chi tiết hỏng” A2 biến cố “trong chi tiết lấy có chi tiết hỏng” A biến cố “Trong chi tiết lấy có khơng q chi tiết hỏng” Khi A = A1 ∪ A2 Do A1 A1 xung khắc nên P( A) = P ( A1 ) + P( A2 ) Có chi tiết khơng bị hỏng nên n( A1 ) = C86 = 28 Số cách lấy chi tiết từ chi tiết bị hỏng là: C85 = 56 Số cách lấy chi tiết từ chi tiết hỏng : C21 = Theo quy tắc nhân ta có n( A2 ) = 56.2 = 112 Do ta có: P( A1 ) = n(A1 ) 28 = = n(Ω) 210 15 P( A2 ) = n(A ) 112 = = n(Ω) 210 15 24 ⇒ P ( A) = P( A1 ) + P ( A2 ) = + = 15 15 Bài tốn Tổ I có nam nữ, tổ II có nam nữ Để lập đoàn đại biểu, lớp trưởng chọn ngẫu nhiên từ tổ hai người Tính xác suất cho đoàn đại biểu gồm toàn nam toàn nữ Hướng dẫn giải: Gọi: A biến cố: “Đoàn đại biểu chọn gồm toàn nam toàn nữ”, B biến cố: “Đoàn đại biểu chọn gồm toàn nam”, C biến cố: “Đoàn đại biểu chọn gồm tồn nữ” Ta có: B ∩ C = ∅, A = B ∪ C ⇒ P ( A) = P ( B ) + P (C ) Chọn người từ tổ I, có C132 cách Chọn người từ tổ II, có C122 cách Từ khơng gian mẫu gồm: C132 C122 = 5148 (phần tử) n( B ) = C62 C82 = 420 n(C) = C72 C42 = 126 Vậy P(A) = 420 126 546 + = ≈ 0,106 5148 5148 5148 Bài toán 3.Một hộp đựng 88 viên bi xanh 44 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 33 viên bi Tính xác suất để a) Lấy 33 viên bi màu b) Lấy 33 viên bi khác màu c) Lấy 22 viên bi xanh Hướng dẫn giải: a) gọi A biến cố “ Lấy 33 viên bi xanh”, B biến cố “ lấy 33 viên bi đỏ” H biến cố “ lấy 33 viên bi màu” Ta có H = A ∪ B A ∩ B = ∅ nên P( H ) = P( A) + P( B ) P( A) = C83 14 C43 = P (B) = = 3 C12 55 C12 55 Vậy nên P( H ) = 14 15 + = = 15 55 55 11 b) Biến cố “ lấy 33 viên bi khác màu” biến cố H , ⇒ P( H ) = − P( H ) = − = 11 11 c) Gọi C biến cố:“lấy 22 viên bi xanh viên bi đỏ” K biến cố: “ lấy 22 viên bi xanh” Ta có K = A ∪ C A ∩ C = ∅ nên P( K ) = P ( A) + P (C) P (C ) = C82 C41 28 = C123 55 25 Vậy: P ( K ) = 14 28 42 + = 55 55 55 Dạng 5: Các tốn sử dụng cơng thức cộng, nhân xác suất Để làm cách học sinh phải hiểu khái niệm biến cố giao, biến cố độc lập, quy tắc nhân xác suất Bài toán Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia 0, Tính xác suất để lần bắn người xạ thủ bắn trúng bia lần Hướng dẫn giải: Gọi A biến cố: “ Người xạ thủ bắn trúng bia” Khi A biến cố: “Người xạ thủ khơng bắn trúng bia” Ta có P( A) = 0, P ( A ) = − 0, = 0,8 Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia lần không trúng hai lần sau P1 = 0,2 × 0,8 × 0,8 = 0,128 Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 2, lần lần không trúng P2 = P1 Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 3, lần lần không trúng P3 = P1 Vậy xác suất để lần bắn người xạ thủ bắn trúng lần P = 0,128.3 = 0, 384 Bài toán Xạ thủ A bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng A lần bắn Xạ thủ B bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn 10 trúng B lần bắn Tìm xác suất để mục tiêu khơng trúng đạn 10 Hướng dẫn giải: 10 Gọi A2 biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai P( A2 ) = 10 Gọi A1 biến cố A bắn trượt lần bắn thứ P( A1 ) = A1, A2 độc lập A = A1 ∩ A2 biến cố A bắn trượt hai lần bắn P ( A) = P ( A1 ).P ( A2 ) = ( ) 10 10 Gọi B2 biến cố B bắn trượt lần bắn thứ hai P( B2 ) = 10 Gọi B3 biến cố B bắn trượt lần bắn thứ ba P( B3 ) = 10 Gọi B1 biến cố B bắn trượt lần bắn thứ P( B1 ) = B = B1 ∩ B2 ∩ B3 biến cố B bắn trượt ba lần bắ 26 P( B) = P ( B1 ).P ( B2 ) P( B3 ) = ( ) 10 A, B độc lập A ∩ B biến cố mục tiêu không trúng đạn P( A ∩ B ) = P ( A).P ( B ) = 32 105 Bài tốn Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất cho: a) Hai súc sắc xuất mặt chẵn chấm b) Tích số chấm súc sắc số chẵn Hướng dẫn giải a) Đối với toán phần lớn học sinh giải cách đếm số phần tử biến cố, học sinh trung bình thường liệt kê phần tử đếm trực tiếp Tất nhiên cách giải dài làm sót phần tử dẫn tới giải sai Học sinh sử dụng tính tốn để đếm số phần tử sau: Ta có n(Ω) = 6.6 = 36 Gọi A biến cố “Hai súc sắc xuất mặt chẵn chấm” Do A = { ( i, j ) / i, j ∈ { 2, 4,6} } Có cách chọn i ∈ { 2, 4, 6} , với cách chọn i ta có cách chọn j Do có cách chọn ( i, j ) ∈ A ⇒ n( A) = P ( A) = n( A) = = n(Ω) 36 Tuy nhiên toán giải cách đơn giản ta sử dụng quy tắc nhân xác suất Gọi A biến cố “Con súc sắc thứ xuất mặt chẵn chấm” B biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất mặt chẵn chấm” X biến cố “Hai súc sắc xuất mặt chẵn chấm” Thấy A B hai biến cố độc lập P( A) = P( B) = = (Trong mặt có mặt chẵn) 1 2 Do đó: P( X ) = P(A.B) = P(A).P(B) = = b) Gọi Y biến cố “Tích số chấm súc sắc số chẵn” Có khả xảy để tích số chấm súc sắc số chẵn: · Con súc sắc thứ xuất mặt chẵn, súc sắc thứ hai xuất mặt lẻ · Con súc sắc thứ xuất mặt lẻ, súc sắc thứ hai xuất mặt chẵn · Cả hai súc sắc xuất mặt chẵn Khi đó: Y : “Tích số chấm súc sắc số lẻ” có khả hai súc sắc xuất mặt lẻ 27 Ta có Y = A.B A,.B độc lập nên ta có:  1  1 P (Y ) = P( A).P ( B ) = [ − P ( A) ] [ − P ( B ) ] 1 − ÷ 1 − ÷ =  2  2 Vây: P(Y) = − = 4 Bài toán 4.( VD sách tập Đại số & giải tích 11 trang 70).Một lớp học có 40 sinh viên học tiếng anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên Tính xác suất biến cố sau: a) A: “Sinh viên chọn học tiếng Anh” b) B: “Sinh viên chọn học tiếng Pháp” c) C: “Sinh viên chọn học tiếng Anh lẫn tiếng Pháp” d) D: “Sinh viên chọn không học tiếng Anh tiếng Pháp” Hướng dẫn giải: 40 30 20 = , P(B) = = P( A ∩ B) = = 60 60 60 1 Vậy: P(C ) = P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P(A∩ B) = + − = 3 P (D) = P ( A ∩ B) = P( A ∪ B ) = − P(A ∪ B) = − = 6 Ta có: P( A) = Bài tốn Trong lớp học có bóng đèn, bóng có xác suất bị cháy Lớp học có đủ ánh sáng bóng đèn sáng Tìm xác suất để lớp học có đủ ánh sáng Hướng dẫn giải: Gọi A, B, C tương ứng biến cố “ lớp có bóng đèn sáng ”, “ lớp có bóng đèn sáng ” “ lớp có bóng đèn sáng ” Theo quy tắc nhân xác suất, ta có: Mỗi bóng có xác suất sáng 3 P(A) =  ÷ ; 4 3 1 P(B)= C  ÷  ÷ ; 4 4 3 1 P(C) = C  ÷  ÷ 4 4 Gọi X biến cố lớp có đủ ánh sáng Ta có : P(X) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,8305 2.3.3 Giải pháp 2.3.3.1 Bài tập áp dụng thực tế Bài Hai máy bay ném bom mục tiêu, máy bay ném với xác suất trúng mục tiêu 0,7 0,8 Tính xác suất mục tiêu bị ném bom 28 Bài Một máy bay có động cánh phải có động , cánh trái có động Xác suất bị trục trặc động cánh phải 0,1, động cánh trái 0,05 Các động hoạt động độc lập Tính xác suất a) Có động hỏng b) Biết máy bay bay an toàn có động làm việc Tính xác suất để máy bay bay an toàn Hướng dẫn giải Bài Gọi A biến cố “máy bay ném trúng mục tiêu” Gọi B biến cố “máy bay ném trúng mục tiêu” Suy A ∪ B biến cố “mục tiêu bị ném bom.” Vì hai biến cố độc lập nên P ( AB ) = 0, 7.0,8 = 0,56 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) = 0,8 + 0, − 0,56 = 0,94 Vậy xác suất mục tiêu bị ném bom 0,94 Bài a) Gọi A, B, C biếm cố sau A: “ có động hỏng.” B: “2 động cánh phải hỏng động cánh trái hỏng” A: “3 động cánh phải hỏng động cánh trái hỏng.” Ta có B, C xung khắc , A = B ∪ C Theo quy tắc cộng ta có P ( A ) = P ( B ) + P ( C ) = ( 0,1) 0,9 ( 0, 05 ) + ( 0,1) 0,95 ( 0, 05 ) = 0, 00016 2 b) Gọi D biến cố “máy bay bay an toàn” Suy D biến cố “máy bay bay khơng an tồn” Tức có động hỏng động hỏng ( ) ( ) P ( D ) = − P D = − ( 0,1) ( 0, 05 ) + 0, 00016 ≈ 0,99984 Bài 3.Có bơng hoa hồng bạch, hoa hồng nhung hoa cúc vàng Chọn ngẫu nhiên bơng hoa Tính xác suất để hoa chọn không loại Bài An Bình học hai nơi khác Xác suất để An Bình đạt điểm giỏi mơn tốn kỳ thi cuối năm tương ứng 0,92 0,88 a) Tính xác suất để An Bình đạt điểm giỏi b) Tính xác suất để An Bình khơng đạt điểm giỏi c) Tính xác suất để có hai bạn An Bình đạt điểm giỏi Hướng dẫn giải Bài Gọi A, B, C tương ứng biến cố “Chọn ba hoa hồng bạch” 29 “Chọn ba hoa hồng nhung”và “Chọn ba hoa cúc vàng” H biến cố “Chọn ba bơng hoa loại” Có A, B, C đôi xung khắc H = A ∪ B ∪ C ⇒ P ( H ) = P ( A ) + P ( B) + P ( C ) C3 với P ( A ) = C 35 16 P ( C) = C 34 C16 = 560 ( ) C3 35 P ( B) = 37 = , , 56 C16 560 Vậy P ( H ) = 80 Biến cố chọn ba hoa không loại Vậy = P H = 1− P ( H ) = 1− H 73 = 80 80 Bài a) Gọi A biến cố “An đạt điểm giỏi mơn tốn” Gọi B biến cố “Bình đạt điểm giỏi mơn tốn” Vì hai biến cố độc lập nên P ( AB ) = 0,92.0,88 = 0,8096 b) Xác suất để An Bình khơng đạt điểm giỏi: P ( AB ) = 0, 08.0,12 = 0, 0096 c) Xác suất để có hai bạn An Bình đạt điểm giỏi P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) = 0, 92 + 0,88 − 0,8096 = 0,9904 Các dạng tập trắc nghiệm Phương pháp giải Sử dụng quy tắc tính xác suất Bước 1:Xác định biến cố xác suất, gọi tên biến cố A; B; C; D để biểu diễn Bước 2:Tìm mối quan hệ biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian quan trọng biến cố đề u cầu tính xác suất thơng qua biến cố bước Bước 3: Sử dụng mối quan hệ vừa xác định bước để chọn công thức cộng hay công thức nhân phù hợp Bài 5.Một ôtô với hai động độc lập gặp trục trặc kĩ thuật Xác suất để động gặp trục trặc 0,5 Xác suất để động gặp trục trặc 0,4 Biết xe chạy hai động bị hỏng Tính xác suất để xe A 0, B 0,8 C 0,9 D 0,1 Hướng dẫn giải Gọi A biến cố “động bị hỏng”, gọi B biến cố “động bị hỏng” Suy AB biến cố “cả hai động bị hỏng” ⇔ “ xe không chạy nữa” Lại thấy hai động hoạt động độc lập nên A B hai biến cố độc lập ⇒ Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta xác suất để xe phải dừng lại đường P ( AB ) = 0,5.0, = 0, Vậy xác suất để xe − 0, = 0,8 2.3.3.2 Bài tập tự luyện 30 Bài Một thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi Mỗi câu hỏi có câu trả lời, có câu Mỗi câu trả lời điểm, câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm cách chọn hú hoạ câu trả lời Tính xác suất để: a/ Học sinh 13 điểm b/ Học sinh điểm âm Bài Trong lớp học có bóng đèn, bong xác suất bị cháy 0,25 Lớp học có đủ ánh sáng có bóng đèn Tính xác suất để lớp học khơng đủ ánh sáng Bài Một đồn tầu có toa đỗ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tầu, người độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có người, toa có người và2 toa cịn lại khơng có Bài Học sinh A thiết kế bảng điểu khiển điện tử mở phịng học lớp mình.Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ đến khơng có nút ghi số Để mở cửa cần nhấn nút khác cho số nút theo thứ tự nhấn tạo thành dãy số tăng có tổng 10 Học sinh B khơng biết quy tắc mở nhấn ngẫu nhiên liên tiếp nút khác bảng điều khiển Tính xác suất để B mở phịng học ( THPTQG 2016) Bài 10 Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố chọn ngẫu nhiên đội phòng chống dịch động số đội Trung tâm Y tế dự phòng thành phố 20 đội Trung tâm y tế sở để kiểm tra cơng tác chuẩn bị Tính xác suất để có đội Trung tâm y tế sở chọn ( THPTQG 2015) Bài 11 Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn (ĐH A2014) Bài 12 Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại (ĐH B2014) Bài 13 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số phân biệt chọn từ số 1;2;3;4;5;6;7 Xác định số phần tử S, tính xác suất để số chọn số chẵn (ĐH A2013-CB) 31 Bài 14 Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên Tính xác suất để lấy viên bi màu (ĐH B2013-CB) Bài 15 Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ (ĐH B2012-CB) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Như phần đặt vấn đề nêu, sáng kiến nhằm đưa giải pháp giúp học sinh trường THPT Thường Xuân giải thành thạo tốn tính xác suất Với tinh thần đó, q trình soạn, dạy dạng tốn tơi thực theo cách phân dạng định hướng cách giải cho dạng từ dễ đến khó dự theo định nghĩa cổ điển xác suất tính chất xác suất thơng qua tốn chọn lọc Khi tiến hành giải pháp lớp lớp 11A1, 11A3, 11A4, nhận thấy: - Học sinh tỏ hứng thú giải toán, khơng cịn thấy lúng túng, mơ hồ dạng tốn khơng - Giờ dạy tránh tính đơn điệu, nhàm chán theo lối mịn lâu - Học sinh có nhiều thay đổi tích cực phương pháp học tập tư giải tốn Kết cịn thể rõ rệt qua kiểm tra lớp 11A3 (vì lớp 11A3có chất lượng tương đương với lớp 11A2 năm học trước) Số Giỏi Khá TB Yếu Lớp SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) HS 11A3 38 18,4 20 53.1 11 28,5 Như thấy cách triển khai đề tài mang lại hiệu khả quan KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết thực đề tài Qua thời gian thực tế giảng dạy, nhận thấy chưa đưa chuyên đề vào giảng dạy, học sinh giải tập tính xác suất mức độ nhận biết thường gặp lúng túng giải tốn dạng thơng hiểu, vận dụng thấp vận dụng cao Sau học chuyên đề học sinh làm tốt tập khó, em hứng thú say mê học tập Qua khảo sát kết học tập em tăng lên rõ rệt 32 3.2 Kiến nghị a) Để học sinh có kết cao học tập giáo viên cần nghiên cứu, tìm tịi, phân loại xây dựng phương pháp giải toán cho học sinh dễ hiểu cách giải ngắn b) Giáo viên tăng cường kiểm tra, sửa chữa sai sót cho học sinh, đồng thời động viên em em tiến c) Giáo viên hướng dẫn cách tự đọc sách học sinh, động viên tìm tịi phương pháp hay, ngắn gọn d) Tơi thấy chuyên đề thực hiệu với đa số em học sinh khối 11 trường, nhà trường, tổ chuyên môn cần tạo điều kiện để chuyên đề triển khai tất lớp 11 năm học tới Trên vài ý kiến nhỏ cá nhân qua trình giảng dạy xác suất lớp 11 Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Rất mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Trọng Hạnh 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp dạy học mơn tốn – Nguyễn Bá Kimvà Vũ Dương Thụy Sách giáo khoa; sách tập Đại số& Giải tích lớp 11 (Chương 2) Tìm kiếm Internet chuyên đề ơn thi Đại học liên quan đến tốn tính xác suất, sưu tầm số toán tính xác suất đề thi Đại học, đề thi THPTQG năm gần 34 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Trọng Hạnh Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Thường Xuân TT Tên đề tài SKKN Dạy học hệ phương trình đối xứng với x y Hệ thống tập giúp học sinh làm quen giải tập giới hạn Một số biện pháp giúp đỡ học sinh yếu, toán 12 Ứng dụng máy tính KSIO giải tốn THPT Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Ngành GD cấp Tỉnh Ngành GD cấp Tỉnh Ngành GD cấp Tỉnh Ngành GD cấp Tỉnh Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại C 2006 C 2015 C 2018 C 2020 ... .4 2 .3 Các giải pháp tiến hành để giải vấn đề 2 .3. 1 Giải pháp 1: Tóm tắt lý thuyết 2 .3. 2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân loại tốn tính xác suất 2 .3. 3 Giải pháp 3: Bài tập áp... tốn xác suất nhiều học sinh thường lúng túng, khơng biết cách giải nào, chí có nhiều em làm xong khơng dám làm Từ lí tơi chọn đề tài: “ Một số phương pháp giúp học sinh trung bình, yếu Trường THPT. .. định tìm phương pháp để truyền dạy cho học sinh, phương pháp học đơn giản, phương pháp mà học sinh cảm thấy tự giác hứng thú học Để tiếp cận toán xác suất toán khác ta nên tập cho học sinh vận