cïng mét tam gi¸c nªn kh«ng vËn dông ®îc ®Þnh lÝ vÒ quan hÖ gi÷a gãc vµ c¹nh ®èi diÖn trong mét tam gi¸c... ChÝnh sù liªn hÖ nµy gîi ý cho ta vÏ tam gi¸c ®Òu BCM vµo trong tam gi¸c ABC..[r]
(1)Bài toán 1: Dựng tam giác biết độ dài ba cạnh a; b; c.
Giải: * Cách dựng:
- Dựng tia Ax
- Dựng đờng tròn(A; c) Gọi B giao điểm đờng tròn ( A; c) với tia Ax - Dựng đờng tròn (A; b) đờng tròn (B; a), gọi C giao điểm chúng Tam giác ABC tam giác phải dựng có AB = c; AC = b BC = a
- Chú ý: Nếu hai đờng tròn ( A; b) ( B; a) khơng cắt khơng dng -c tam giỏc ABC
Bài toán 2: Dựng mét gãc b»ng gãc cho tríc.
C¸ch dùng:
- Gọi xOy góc cho trớc Dựng đờng trịn (O; r) cắt Ox A cắt Oy B ta đợc OAB
- Dựng O’A’B’ = OAB ( c.c c) nh toán 1, ta đợc O ' O
Bài toán 3: Dựng tia phân giác góc xAy cho trớc.
Cách dựng:
- Dựng đờng tròn ( A; r ) cắt Ax B cắt Ay C
- Dựng đờng tròn ( B; r) ( C; r) chúng cắt nnhau D Tia AD tia phân giác xAy
ThËt vËy: ABD = ACD ( c- c- c) A1 A2 y x
O
A
B O’
A ’
B’
x
z A
B
D r
r r
2 c
b a
c b a
x C
(2)Bài toán 4: Dựng trung điểm đoạn thẳng AB cho trớc.
Cách dựng:
- Dựng hai đờng tròn ( A; AB ) ( B; BA )chúng cắt C, D Giao điểm CD AB trung điểm AB
*Chú ý: cách dựng đờng trung trực đoạn thẳng cho trớc.
Bài toán 5: Qua điểm O cho trớc, dựng đờng thẳng vng góc với đờng thẳng a cho trớc.
C¸ch dùng:
- Dựng đờng tròn ( O; r) cắt a A, B - Dựng đờng trung trực AB
- Đờng trung trực AB đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng a
Trên toán dựng hình bản, cần sử dụng mà không cần nhắc lại c¸ch dùng
Khi cần vẽ thêm đờng phụ để chứng minh phải vào đờng dựng để vẽ thêm không nên vẽ cách tuỳ tiện
II - C¬ së thùc tÕ
Ta biết hai tam giác suy đợc cặp cạnh tơng ứng nhau, cặp góc tơng ứng Đó lợi ích việc chứng minh hai tam giác
V× vËy muèn chøng minh hai đoạn thẳng (hay hai góc nhau) ta thờng làm theo cách gồm bớc sau:
Bớc 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) hai cạnh (hay hai góc)
y C
r r
D C
B A
a
A B
C
(3)thuộc hai tam giác nào?
Bc 2: Chng minh hai tam giác
Bíc 3: Tõ hai tam giác nhau, suy cặp cạnh ( hay cặp góc) tơng ứng
Tuy nhiờn thực tế giải tốn khơng phải lúc hai tam giác cần có đợc cho đề mà nhiều phải tạo thêm yếu tố phụ xuất đợc tam giác cần thiết có lợi cho việc giải tốn Vì yêu cầu đặt làm học sinh nhận biết cách vẽ thêm đợc yếu tố phụ để giải tốn hình học nói chung tốn hình học nói riêng Qua thực tế giảng dạy tơi tích luỹ đợc số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản thiết thực, hớng dẫn học sinh thực giải toán hiệu
III số phơng pháp vẽ yếu tố phụ
Cách 1: Vẽ trung điểm đoạn thẳng, vẽ tia phân giác góc
Bài toán 1: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 10 cm; BC = 12 cm, D trung điểm của cạnh AB VÏ DH vu«ng gãc víi BC ( H BC) th× DH = 4cm.
Chøng minh r»ng tam giác ABC cân A. 1) Phân tích toán:
Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC( H BC) DH = 4cm
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân A
2) Hớng suy nghÜ:
ABC cân A AB = AC Ta nghĩ đến điểm phụ K trung điểm AB Vậy yếu tố phụ cần vẽ trung điểm BC
3) Chøng minh:
GT
ABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm; DA=DB=1 2AB ; DH BC, DH = cm
KL ABC cân A.
Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC =
1
6 BC cm
L¹i cã: BD =
1
2 AB = cm ( D trung điểm AB)
Xét HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2
BH2 = BD2 - DH2 = 52 - 42 = BH = ( cm) Ta cã BH + HK = BK ( V× H nằm B K )
HK = BK – BH = 6–3 = (cm)
XÐt ABK cã BD = DA ( gt ) ; BH = HK ( = cm)
DH // AK ( đờng nối trung điểm
c¹nh cđa tam giác song song với cạnh thứ 3) Ta cã: DH BC, DH // AK AK BC
900
AKB AKC
XÐt ABK vµ ACK cã:
BK = KC ( theo cách lấy điểm K)
0
90
AKB AKC AK cạnh chung
Do ú ABK = ACK (c - g - c) AB = AC ABC cân A ( pcm)
(4)Bài toán 2: Cho tam gi¸c ABC cã B C ; chøng minh r»ng: AB = AC? (Giải bằng cách vận dụng trờng hợp góc cạnh góc hai tam giác). 1) Phân tích toán:
Bài cho: tam giác ABC có B C ; Yêu cầu: chứng minh AB = AC
2) Híng suy nghÜ:
§êng phụ cần vẽ thêm tia phân giác AI BAC ( I BC)
3) Chøng minh:
GT
ABC; B C
KL AB = AC
Vẽ tia phân giác AI BAC ( I BC)
1
1 2
A A BAC
(1)
áp dụng định lí tổng ba góc tam giác vào hai tam giác ABI ACI ta có:
1 1
*A B I 180 I 180 A B
2 2
*A C I 180 I 180 A C
MỈt kh¸c B C ( gt); A1 A ( theo (1) ) I1 I2 (2)
XÐt ABI vµ ACI ta cã:
1
I I
( theo (2)) C¹nh AI chung A1 A2 ( theo (1))
ABI = ACI ( g - c - g) AB = AC ( cạnh tơng ứng)
4) Nhận xét:
Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC cách kẻ thêm AI tia phân giác góc BAC để tạo hai tam giác
Cách 2: Trên tia cho trớc, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng cho tr-ớc.
Bài tốn 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vng, trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán tập 2)
1) Phân tích toán:
Bi cho Tam giỏc ABC vuông A, AM đờng trung tuyến ứng với cnh
huyền, yêu cầu chứng minh:
1
2 2
AM BC AM BC
2) Híng suy nghÜ:
Ta cần tạo đoạn thẳng 2.AM tìm cách chứng minh BC đoạn thẳng Nh dễ nhận rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm điểm D cho M trung điểm AD
3) Chøng minh:
GT ABC;
0
90
A ;
AM lµ trung tuyÕn
KL
2
AM BC
Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Xét MAC MDB ta có:
MA = MD ( theo c¸ch lÊy ®iÓm D)
M = M ( hai góc đối đỉnh)
2
2
C B
A
(5) MB = MC ( Theo gt)
MAC = MDB ( c - g - c) AB = CD (2 cạnh tơng ứng) (1)
1
A D
(2 gãc t¬ng øng) Tõ
1
A D
AB // CD ( có cặp góc so le nhau)
L¹i cã: AC AB ( gt) AC CD (Quan hệ tính song song vuông gãc)
900
ACD
BAC ACD 900 (2)
XÐt ABC vµ CDA cã:
AB = CD ( Theo (1))
0
90
BAC ACD ( Theo (2)) AC cạnh chung ABC = CDA ( c - g - c)
BC = AD ( cạnh tơng ứng ) Mà AM=1
2AD nên AM= 2BC
4) NhËn xÐt:
Trong cách giải tập trên, để chứng minh AM=1
2BC ta vẽ thêm đoạn thẳng MD tia AM cho MD = MA,
1
AM AD
Nh phải chứng minh AD = BC đa toán cho trở toán chứng minh hai đoạn thẳng
Bài toán 4:Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC. So sánh BAM &MAC ? ( Bài 7/ 24 SBT to¸n tËp )
2) Híng suy nghÜ:
Hai góc BAM MAC khơng thuộc tam giác Do ta tìm tam giác có hai góc hai góc BAM MAC liên quan đến AB, AC có AB < AC Từ dẫn đến việc lấy điểm D tia đối tia MA cho MD = MA Điểm D yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải đợc toán
3) Chøng minh:
GT M trung điểm BCABC; AB < AC
KL So s¸nh
&
BAM MAC?
Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Xét MAB MDC ta có:
MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
1
M M
( đối đỉnh)
MB = MC ( Theo gt)
MAB = MDC ( c - g - c)
AB = CD (2 cạnh tơng ứng) (1) A1 D (2 góc tơng ứng) (2)
Ta cã: AB = CD ( Theo (1)), mµ AB < AC ( gt) CD < AC.(3) XÐt ACD cã:
CD < AC ( theo (3))
A2 D (Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác)
Mµ A1 D ( theo (2)) nªn A A1 hay BAM MAC 4) NhËn xÐt:
(6)cùng tam giác nên khơng vận dụng đợc định lí quan hệ góc cạnh đối diện tam giác Ta chuyển góc A1&A2 một
tam giác cách vẽ đờng phụ nh giải, lúc A1 D , ta cịn
phải so sánh D &A2 tam giác ADC.
Cách 3: Nối hai điểm có sẵn hình vẽ thêm giao điểm hai đ ờng thẳng.
Bài toán 5: Cho hình vẽ, biÕt AB // CD; AC // BD. Chøng minh: AB = CD, AC = BD?
( Bµi 38/ 124 SGK To¸n tËp 1)
( Bài tốn cịn đợc phát biểu dới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bị chắn hai đờng thẳng song song nhau)
3) Chøng minh:
GT AB // CD; AC // BD
KL AB = CD; AC = BD XÐt ABD vµ DCA cã:
BAD CDA ( so le - AB // CD)
AD cạnh chung
ADB DAC ( so le - AC // BD)
ABD = DCA ( g - c - g)
AB = CD; AC = BD ( cạnh tơng øng)
4) NhËn xÐt:
ViÖc nèi AD làm xuất hình vẽ hai tam giác có cạnh chung AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chØ cÇn chøng minh
ABD = DCA Do hai tam giác có cạnh nhau( cạnh chung) nên cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh vận dụng đợc trờng hợp góc - cạnh - góc Điều thực đợc nhờ vận dụng tính chất hai đờng thẳng song song
Cách 4: Từ điểm cho trớc, vẽ đờng thẳng song song hay vng góc với đờng thẳng
Bài tốn 6: Tam giác ABC có đờng cao AH trung tuyến AM chia góc A thành ba góc
Chứng minh ABC tam giác vuông ABM tam giác đều?
1) Phân tích tốn: Bài cho ABC có đờng cao AH trung tuyến AM chia góc A thành ba góc Yêu cầu ta chứng minh ABC tam giác vuông ABM tam giác
2) Híng suy nghÜ:
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông A ta cần kẻ thêm đờng thẳng vuông góc với AC chứng minh đờng thẳng song song với AB, từ suy suy AB AC suy A = 900.
3) Chøng minh:
GT
ABC; AH BC; trung tuyÕn AM;
1
A A A
KL ABC vuông ; ABM đều
(7)
0
90
H I ( gt)
AM cạnh chung) MAI = MAH ( c¹nh hun - gãc nhän)
A2 A3 (gt) MI = MH ( cạnh tơng ứng) (1)
Xét ABH AMH cã:
0
1 90
H H ( gt)
AH cạnh chung ABH= AMH ( g - c - g)
A1 A2 ( gt) BH= MH ( c¹nh tơng ứng) (2)
Mặt khác: H BM , nên từ (1) (2)
1 2 MI MH BH BM
L¹i cã BM = CM (gt)
1 2
MI CM
Xét MIC vuông C có:
1 2
MI CM
nªn
0 30
C từ suy ra:
HAC 60
3 3.600 900
2 2
BAC HAC
VËy ABC vu«ng A Vì
0
30 60
C B
L¹i cã
1 2
AM BC
( tÝnh chÊt trung tun øng víi c¹nh hun tam
giác vuông) BM = MC 1 2 BC
( M trung điểm BC) suy AM = BM ABM cân A có góc 600 nên tam giác đều.
4) Nhận xét: Trong toán có yếu tố tởng chừng nh khó giải, nhiên, đờng vẽ thêm ( MI AC) tốn lại trở lên dễ dàng, qua thấy rõ vai trò việc vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học
Bài tốn 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC) Từ trung điểm M BC kẻ đờng vng góc với tia phân giác góc A cắt tia H, cắt tia AB D AC E Chứng minh rng: BD = CE
1) Phân tích toán:
Bài cho ABC ( AB < AC) Từ trung điểm M BC kẻ đờng vng góc với tia phân giác góc A cắt tia H, cắt tia AB D AC E
Yêu cầu chứng minh: BD = CE
2) Hớng suy nghĩ: Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo đoạn thẳng thứ ba, chứng minh chúng đoạn thẳng thứ ba Đờng phụ cần vẽ thêm đờng thẳng qua B song song với AC cắt DE F, BF đoạn thẳng thứ ba
3) Chøng minh:
GT
ABC; AB < AC; MB=MC=1 2BC AH tia phân giác BAC;
DE AH KL BD = CE
Vẽ đờng thẳng qua B song song với AC, gọi F giao điểm đờng thẳng với đờng thẳng DE
(8)
MBF MCE ( so le - BF // CE)
MB = MC ( gt)
BMF CME ( đối đỉnh)
Do MBF = MCE (g -c - g)
BF = CE ( cạnh tơng ứng) (1)
Mt khỏc ADE có AH DE AH tia phân giác DAE ( gt) Do đó: ADE cân A BDF = AED
Mµ BF // CE ( theo c¸ch vÏ) BFD = AED
Do đó: BDF = BFD BDF cân B BF = BD (2) Từ (1) (2) suy ra: BD = CE ( đpcm )
Cách 5: Phơng pháp “ tam giác đều”
Đặc biệt tập tính số đo góc, trớc tiên ta cần hớng dẫn học sinh ý đến tam giác chứa góc có số đo xác định nh :
- Tam giác cân có góc xác định - Tam giỏc u
- Tam giác vuông cân
- Tam giác vng có góc nhọn biết hay cạnh góc vng nửa cạnh huyền
Ta h y xét toán điển hìnhà :
Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân A,
0
20
A Trên cạnh AB lấy điểm D
sao cho AD = BC Chøng minh r»ng
1
2
DCA A
1) Phân tích toán: Bài cho ABC cân A, A = 200 ; AD = BC ( D AB) Yêu cầu chứng minh:
1
2 DCA A
2) Hớng suy nghĩ: Đề cho tam giác cân ABC có góc đỉnh 200, suy ra góc đáy 800 Ta thấy 800 -200 = 600 số đo góc
tam giác Vẽ tam giác BMC
3) Chøng minh:
G
T ABC; AB = AC;
0
20
A AD = BC (D AB)
KL 1
2 DCA A
Ta cã: ABC; AB = AC;
0
20
A ( gt)
Suy ra:
1800 200 800
2
B C
Vẽ tam giác BCM ( M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC), ta đợc: AD = BC = CM đồng thời ABM = ACM = 80 - 60 = 20 0 Ta có MAB = MAC ( c - c - c) MAB = MAC = 20 : = 10 0
XÐt CAD vµ ACM cã: AD = CM ( chøng minh trªn)
200
CAD ACM
AC cạnh chung
(9) 1 DCA = BAC.
2
4) NhËn xÐt:
* Đề cho tam giác cân ABC có góc đỉnh 200, suy góc đáy 800. Ta thấy 800 -200 = 600 số đo góc tam giác Chính liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác BCM vào tam giác ABC Với giả thiết AD = BC vẽ tam giác nh giúp ta có mối quan hệ AD với cạnh tam giác giúp cho việc chứng minh tam giác dễ dàng
* Ta giải toán cách vẽ tam giác kiểu khác:
600 200 800
EAC B- C¸ch 2:
Vẽ EAD nằm tam giác ABC, tạora
EAC B Khi EAC = CBA (c.g.c) vì: EA = BC (
ECA BAC AC = AB
CE = CA
Mặt khác CDA = CDE (c.c.c) v×: DA = DE CD chung CA = CE
VËy
1
DCA = BAC. 2
- C¸ch :
800
DAE B Vẽ tam giác EAC nằm ngồi tam giác ABC, tạo
Khi DAE = CBA (c.g.c) :
( 80 )0
DAE B AE = BA ( = AC )
AD = BC
1 1 20 ( 20 )
E A E do A
DE AC
60o 20o 40o
2
E
DE = AC mà AC = CE nên DE = CE DEC cân đỉnh E, có góc đỉnh
góc đáy ECD = (1800 - 400) : = 700
Do DCA DCE ACE 700 600 100 Từ ta có điều phải chứng minh.
- C¸ch :
Vẽđều ABE ( E,C nằm phía AB) tạo CBE 800 600 200 BAC
Khi CBE =DAC (c.c.c) : CB = AD (gt)
BE = AC ( =AB)
C1 E1
0
20
CBE BAC
Vậy để tìm C1 ta cần tính E1
C1C2 1ECA 1 BAC 100
(10)Ta có AE = AC (=AB) nên AEC cân A lại có góc đỉnh A =600- 200= 400 Nên góc đáy AE C = (1800– 400) : = 700
Mµ gãc
0 60
E (góc tam giác ABE)
0
1 70 60 10 10
E AEC E C
Hay ACD 100 VËy
DCA = BAC
Ví dụ đề cho hai cặp đoạn thẳng : AB = AC ;
AD = BC Nh giải cách : Vẽ tam giác có cạnh AC ; vẽ tam giác có cạnh AB ; vẽ tam giác có cạnh BC ; AD Qua ví dụ bớc đầu em định hình đợc phơng pháp vẽ tam giác cách triển khai theo phơng pháp
Ngồi cịn cách vẽ tam giác khác giúp ta tính đợc góc DCA dẫn tới điều phải chứng minh, cách khác tuỳ thuộc vào sáng tạo của ngời bắt nguồn từ việc u thích mơn Hỡnh hc.
Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông A, C = 150 Trên tia BA lÊy ®iĨm O sao cho BO = AC Chøng minh tam giác OBC cân.
1) Phân tích toán:
Bài cho tam giác ABC vuông A, C = 150 Trên tia BA lấy điểm O cho BO = AC
Yêu cầu chứng minh OBC cân O
2) Hớng suy nghÜ:
Ta thấy C = 150 suy A = 750 - 150 = 600 số đo góc tam giác
sử dụng phơng pháp tam giác vào việc giải toán
3) Chøng minh:
G T
ABC; A = 900; C = 150 O tia BA: BO = 2AC KL OBC cân O
Ta có: ABC; A = 900; C = 150 (gt) B = 750 Vẽ tam giác BCM
( M vµ A cïng thuéc mét nửa mặt phẳng bờ BC) Ta có: OBM ABC MBC 750 600 150
150
O
B C
A
M H
A
C B
(11)Gọi H trung điểm cña OB
1
HO HB OB
Mặt khác BO = 2AC (gt) nªn
1
AC OB
từ có AC = BH Xét HMB ABC có:
BH = AC (cmt)
150
HBM ACB
MB = BC ( cạnh BMC) Do HMB = ABC ( c -g -c)
0
90
H A MH OB
MOB có MH đờng cao đờng trung tuyến nên cân M, lại có góc đáy OBM 150 góc đỉnh
0 0
180 2.15 150
BMO
Từ
3600 1500 600 1500 1500
CMO CMO BMO
MOB MOC có : MB = MC ( cạnh BMC) CMO BMO (cmt)
OM chung Do MOB = MOC (c-g-c) OB = OC Vậy OBC cân O ( đpcm)
4) NhËn xÐt:
Trong toán ta sử dụng phơng pháp tam giác vào việc giải tốn phát thấy C = 150 suy A = 750 - 150 = 600 số đo góc tam giác đều, điều gợi ý cho ta vẽ tam giác BCM nh Nhờ có cạnh tam giác nhau, góc tam giác 600, ta chứng minh đợc HMB = ABC ( c - g- c); MOB = MOC ( c - g - c) dẫn tới
OBC cân O, tác dụng ca phng phỏp tam giỏc u
Bài toán 10 Cho ABC vuông, cân A, điểm E nằm tam gi¸c
cho EAC ECA = 150 TÝnh AEB ?
Híng dÉn :
§iỊu toán HS phải phát tam giác AEC cân E có hai gãc b»ng 150
từ suy EA = EC
0 0
180 2.15 150
AEC
Còng nh toán 8, toán em
A B
C E
150
(12)sÏ sím ph¸t hiƯn thÊy
0
75 & 15
BAE EAC
mà 750 - 150 = 600 góc tam giác
( Còng cã em nhËn xÐt: BCA 450; ECA 150 vµ 450 + 150 = 600 ).
Cịn em cha xác định đợc điều ta gợi ý, hớng dẫn em tính số đo góc tìm mối liên quan góc Từ hớng dẫn em cách vẽ thêm tam giác nh sau :
Cách : Vẽ tam giác AKE nằm tam giác ABE tạo
900 600 150 150 150
BAK BAK EAC
Khi BAK = CAE (c.g.c) :
AB = AC (gt)
BAK EAC ( 15 ) AK = AE ( cạnh đều )
Từ dẫn đến ABK cân K có góc đáy 150 nên góc đỉnh
0
1 180 2.15 150
K
Mµ
0
60
AKE nªn
0
2 360 150 60 150
K
AKB = EKB (c.g.c) v× :
AK = EK ( cạnh AKE )
0
1 150 K K
BK chung
Từ suy ABK EBK 150 AB = EB dẫn đến ABE cân
B có góc đỉnh
150 150 300 1800 300 750
2
ABE BAE AEB
- Cách 2: Vẽ tam giác KCE ( nh hình vẽ ) nằm phía ngồi AEC, tạo ACK BAE750 Khi KCA = EAB (c.g.c) :
KC = AE ( = EC) ACK BAE ( 75 ) AC = AB ( gt )
AKC AEB
(*)
Lại có AEC cân Ecó góc đáy
?
1
150 150
K
E
C B
A
K
?
A B
C E
150
(13) 150 1800 2.150 1500 EAC ECA AEC
mµ
0 60
KEC nªn AEK 3600 (1500 60 ) 1500
XÐt AEC vµ AEK cã :
EC = EK ( Cạnh đều EKC)
0
( 150 )
AEK AEC
AE chung Do AEC = AEK (c.g.c)
AKE ACE 150 AKC 150 600 750
Mà AKC AEB ( theo (*)) nên AEB750 - C¸ch 3:
Vẽ tam giác AKB (K, C nằm phía AB) tạo KAE EAC 150
Khi : EAC = EAK (c.g.c) : AC = AK ( = AB)
KAE EAC ( 15 ) ; EA chung Từ suy EC = EK
XÐt ABE vµ KBE cã :
* AB = KB ( Cạnh ABK ) * AE = EK ( = EC )
* BE chung
VËy ABE = KBE (c.c.c)
ABE KBE
1 ABK 1.60o 30o
2
Nh BEA có ABE 300; BAE 750, áp dụng định lí tổng ba góc tam
gi¸c ta cã
0 75
AEB
- C¸ch :
Vẽ tam giác ACK phía ngồi ABC tạo EAK BAE 750
Khi BAE KAE có : AB = AK (=AC )
150 150
E
C B
A
?
(14)AE chung
BAE KAE Do BAE = KAE ( c.g.c)
BEA KEA
A C )
Mµ EK EK AEK CEK (c.c.c
nªn
1500 750
2 2
AEC
AEK CEK
VËy
0 75
AEB
- C¸ch 5:
Vẽ tam giác AKC trùm lên EAC, tạo KCB ECA 150
Từ K kẻ tia KM cho MKC 150 Dẫn đến KMC cân M có
150
KCM MKC
MK =MC
Lại có MKC = EAC (g.c.g) MC = EC = EA MK = AE Mặt khác ABK cân A ( AB = AK ) có góc đỉnh
900 600 300
BAK BAC CAK góc đáy
0 0
180 30 : 75
ABK BAK
Do KBM ABK ABC 750 450 300 Mà KMC 300( Góc ngồi M tam giác KMC cân M có góc đáy 150)
Thµnh thư KMB cân K KB = KM = AE VËy ABE = BAK (c.g.c) v×:
AB chung AE = BK
0
75
ABK BAE
AEBABK 750
ở toán đầu cho hai cặp đoạn thẳng là:
AB = AC; EA = EC Do giải tốn theo cách: Vẽ tam giác có cạnh AE; EC; AC
(15)Bài toán 11
Cho tam giỏc cõn ABC có đáy BC, góc đáy 500 Lấy điểm K tam
gi¸c, cho KBC 10 ;0 KCB 300. Tính số đo góc ABK.
* Híng gi¶i qut:
ABK cã:ABK = 500 -100= 400
Vậy phải tính hai góc lại là:
&
BAK BKA.
Xem xét đầu ta thấy ABC cã c¸c gãc 500, 500, 800
KBC = 100, ABC = 500, mà 500 + 100 = 600 góc tam giác đều. Từ giải tốn theo cách sau (học sinh tìm giáo viên gợi ý):
- C¸ch 1:
Vẽ đều BCE trùm lên ABC, tạo
0
10
ABE KBC
Từ chứng minh EAB = EAC (c.c.c)
0
1
1 1
.60 30
2 2
E E BEC
Khi ABE = KBC (g.c.g) vì: 1
o
30
E KCB BE = BC
0
10
EBA KBC
AB = KB Do ABK cân B có góc đỉnh ABK 400
0 0
180 40 : 70
BAK BKA
VËy c¸c gãc ABK 400; 700; 700.
- Cách 2:
Vẽ ABE ( E, C nằm phía AB), tạo EBC KBC 100và
AEC cân A có AE = AC ( = AB ) có gócở đỉnh EAC800 600 200
Suy góc đáy
0 0
180 20 : 80
(16) 800 500 300 BCE ECA BCA
Do vËy KBC = EBC (g.c.g) v×: KBC EBC 100
BC chung
KCB BCE 300
BK = BE mµ BE = BA nªn BK = BA
Khi ABK cân B có góc đỉnh 400 nên hai góc cịn lại 700 700.
- C¸ch 3:
Vẽ AEC ( E, B nằm phía AC ) tạo BCEKBC 100vàABE cân A
có góc đỉnh 800- 600 = 200 góc đáy 800
800 500 300
EBC
Do KBC = ECB (g.c.g) vì:
0
10
BCE KBC
BC chung
0
30
EBC KCB
KB = EC mµ EC = AC = AB nên KB = AB ABK cân B Vậy góc cần tính là: 400; 700; 700.
Qua ví dụ này, cho học sinh thấy cách cách tơng đ-ơng nhau: tạo tam giác có cạnh hai cạnh bên tam giác cân cho, từ dẫn đến cạnh BK cạnh tam giác vừa tạo để suy tam giác ABK cân Còn vẽ tam giác có cạnh KC để tạo góc KCB vẽ tam giác có cạnh BK để tạo góc ABC khơng giải đợc tốn, khơng đủ kiện, học sinh cần phải thấy đợc điều để có cách vẽ cho thích hợp
Bài toán 12 Cho tam giác ABC có
0 75
C Đờng cao AH có độ dài bằng
(17)AHC vu«ng t¹i H cã C 750 CAH 150
Mà 750 - 150 = 600 góc tam giác đều.
Từ hớng dẫn HS vẽ thêm tam giác Có cách vẽ nh sau:
- C¸ch 1:
Vẽ tam giác AEC nằm ABC, tạo ra: ECB CAH 150
Kẻ EK BC (có thể hớng dẫn giải thích cho học sinh lại kẻ nh vậy) Khi vng EKC = vng CHA (cạnh huyền, góc nhọn) vì:
EC = AC
150
ECB CAH
KC = AH, mµ
1
AH BC KC BC
2
Vậy K trung điểm BC, lại có KE BC tam giác EBC cân E EBC ECB 150
Do : BEC = 1800 - 2.150= 1500
Từ có BEA = 3600 - (600 + 1500) = 1500 BEC = BEA (c.g.c) vì:
BE chung
BEC BEA1500 EC = EA
ABE CBE 150 ABC ABE CBE 150 150 300
(Hoặc từ BEC = BEA AB = BC ABC cân B có góc đáy 750
0 30 ABC
)
- C¸ch 2:
Vẽ tam giác BEC (E, A nằm phía BC) tạo
ACE 15 CAH
(18) vu«ng AKC = vu«ng CHA (c hun, g nhän) vì:
Cạnh huyền AC chung ACK CAH 150
KC AH, mµ AH 1 BC KC 1 BC 1 EC
2 2 2
Mà K EC nên K trung điểm EC
Vậy EAC có AK đờng cao đồng thời đờng trung tuyến nên cân A
AE = AC.
XÐt AEB vµ ACB cã:
BE = BC (cạnh đều BCE) AB chung
AE = AC
Do AEB = ACB (c.c.c)
0
1
1 1
.60 30
2 2
B B EBC
VËy
0 30 ABC
( Và suy K giao điểm AB vµ EC)
ë vÝ dơ nµy cho cặp đoạn thẳng phải vẽ
tam giỏc u cho liờn hệ đợc kiện giả thiết
Nh qua ví dụ trên, giáo viên hình thành cho học sinh phơng pháp vẽ thêm tam giác từ việc liên hệ kiện giả thiết Và sau ví dụ này, giáo viên nên cho học sinh tự nhận xét, tổng kết dạng tập tính số đo góc giải phơng pháp vẽ tam giác đều, sau có
thĨ chốt lại cho em :
Khi xét mối liên quan góc, phát góc tam giác nên nghĩ đến cách vẽ thêm tam giác để tạo góc góc
đã
cho Hơn việc vẽ thêm tam giác tạo đợc đoạn thẳng nhau, tạo đợc đờng có nhiều tính chất, từ dễ dàng phát đợc yếu tố nhau, liên kết với để tìm lời giải
Cũng cần cho học sinh thấy kinh nghiệm việc vẽ thêm tam giác : Nếu vẽ thêm tam giác mà cạnh có với đoạn thẳng khác giải đợc toán
(19)
đơn giản
7.KÕt luËn
Trên đậy kinh nghiệm hớng dẫn em giải tập hình địi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ Việc vẽ thêm yếu tố phụ giúp cho em giải toán dễ dàng hơn, song việc vẽ thêm yếu tố phụ khó khăn, phức tạp địi hỏi học sinh phải có t logic, có trí tởng tợng phong phú óc sáng tạo linh hoạt, tinh thần phải nắm đợc kiến thức khai thác triệt để giả thiết tốn cho Tơi đa dạng tốn chứng minh, tính số đo góc mà thấy việc vẽ thêm yếu tố phụ phong phú, đa dạng thiếu việc giải tốn gặp nhiều khó khăn
Thơng qua sáng kiến kinh nghiệm tơi mong muốn đựoc đóng góp phần nhỏ bé công sức việc hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học, rèn luyện tính tích cực, phát triển t sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho em học toán
8 Kiến nghị đề xuất
Để dạy - học tốt bồi dỡng học sinh giỏi mơn tốn trờng THCS tơi xin đề xuất số vấn đề sau:
1, Tốn học mơn văn hố nhà trờng phổ thơng cần phải có nhận thức đắn vai trị, vị trí cấu trúc ch ơng trình
2, Tạo điều kiện sở vật chất, trang thiết bị, phơng tiện dạy - học để việc tổ chức tiết học t hiu qu
3, Nhân rộng phổ biến kinh nghiệm hay mô hình tốt có hiệu thiÕt thùc
4, Đầu t kinh phí hợp lý cho công tác nghiên cứu thực tế, nắm tốt thông tin từ giáo viên học sinh, đề chủ trơng, biện pháp khả thi thiết thực
5, Phịng Giáo dục nhà trờng nên có chơng trình học tập nâng cao trình độ chun mơn cho thầy cô giáo
Trên kinh nghiêm cá nhân hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải tốn hình học
Vì điều kiện thời gian có hạn, trình độ thân cịn hạn chế, nên tơi khơng tránh khỏi sai sót Rất mong đợc đóng góp bổ sung các cấp l nh đạo bạn bè đồng nghiệp để kinh nghiệm đã ợc hồn chỉnh hơn, đồng thời giúp đỡ tơi tiến giảng dạy.
T«i xin trân trọng cảm ơn !
(20)Tác giả sáng kiến