SKKN một số kinh nghiệm hay khi giảng dạy phần đạo hàm và tích phân

Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN A.PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài : Trong Chương trình giáo dục THPT nay, Đạo hàm tích phân với khái niệm khác góp phần quan trọng mơn Giải tích tốn học, sở để nghiên cứu Giải tích đại Muốn học sinh học tốt Đạo hàm tích phân người Giáo viên khơng phải truyền đạt, giảng giải theo tài liệu có sẵn Sách giáo khoa, sách hướng dẫn thiết kế giảng cách gập khuôn, máy móc, làm cho học sinh học tập cách thụ động Nếu dạy học việc học tập học sinh diễn thật đơn điệu, tẻ nhạt kết học tập không cao Nó nguyên nhân gây cản trở việc đào tạo em thành người động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với đổi diễn hàng ngày Yêu cầu giáo dục đòi hỏi phải đổi phương pháp dạy học mơn tốn theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Vì người giáo viên phải gây hứng thú học tập cho em cách tinh giản kiến thức, thiết kế giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế Các kiến thức khơng mang nặng tính hàn lâm, phải phù hợp với việc nhận thức em Thông qua kiến thức mà người giáo viên tinh lọc, qua ứng dụng, thục hành em lĩnh hội tri thức toán học cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức cách vững chắc, tạo cho em niềm say mê, hứng thú học tập, việc làm Khi tinh lọc kiến thức cách gọn gàng, ứng dụng thực tế cách thường xuyên, khoa học chắn chất lượng dạy học mơn tốn ngày nâng cao Riêng phần đạo hàm tích phân khơng nằm ngồi quy luật Chính lý nêu mà chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số kinh nghiệm dạy Đạo hàm tích phân” Mục đích nghiên cứu đề tài - Góp phần đổi phương pháp dạy học mơn tốn nói chung mơn Giải tích 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng - Góp phần gây hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh, mơn học coi khơ khan, hóc búa, khơng giúp, giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học mà giúp em củng cố khắc sâu tri thức Nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu : 3.1 Nhiệm vụ : - Tìm hiểu khái niệm Đạo hàm tích phân mơn giải tích 12 - Tìm hiểu thực trạng học sinh lớp 12 3.2 Phạm vi nghiên cứu : - Đối tượng : Chương Đạo hàm tích phân Giải tích lớp 12 - Tài liệu : Sách giáo khoa Giải tích lớp 12, sách hướng dẫn giáo viên Phương pháp nghiên cứu : Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau : Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung Đạo hàm tích phân - Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài B NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Vị trí mơn Tốn nhà trường : Mơn tốn mơn học khác cung cấp tri thức khoa học, nhận thức giới xung quanh nhằm phát triển lực nhận thức, hoạt động tư bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp người Mơn tốn trường THPT môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian chương trình học học sinh Mơn tốn có tầm quan trọng to lớn Nó mơn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên người Môn tốn có khả giáo dục lớn việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận lơgíc, thao tác tư cần thiết để người phát triển tồn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người lao động thời đại Đặc điểm tâm sinh lý học sinh THPT - Ở lứa tuổi THPT thể em thời kỳ phát triển hay nói cụ thể hệ quan gần hồn thiện, sức dẻo dai thể cao nên em hiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ - Học sinh THPT nghe giảng dễ hiểu quên chúng không tập trung cao độ Vì người giáo viên phải tạo hứng thú học tập phải thường xuyên luyện tập - Học sinh THPT dễ xúc động thích tiếp xúc với vật, tượng xung quanh việc mà em trực tiếp thực - Hiếu động, ham hiểu biết mới, thích tự tìm tịi, sáng tạo nên dạy học giáo viên phải lọc đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh Nhu cầu đổi phương pháp dạy học : Học sinh THPT có trí thơng minh nhạy bén sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú Đó tiền đề tốt cho việc phát triển tư toán học dễ bị phân tán, rối trí bị áp đặt, căng thẳng, tài Chính nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi điều xem nhẹ Đặc biệt học sinh lớp 12, lớp mà em vừa vượt qua mẻ ban đầu để trở thành người lớn, chuyển từ hoạt động vui chơi chủ đạo sang hoạt động học tập chủ đạo Lên đến lớp 10, 11 u cầu đặt thường xuyên em tất mơn học Như nói cách học, yêu cầu học học sinh THPT gặp phải thay đổi đột ngột mà đến cuối năm lớp 10 sang lớp 11, 12 em quen dần với cách học Do học trở nên nặng nề, khơng trì khả ý em người giáo viên cho em nghe làm theo có sách giáo khoa Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Muốn học có hiệu địi hỏi người giáo viên phải đổi phương pháp dạy học tức kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, sở hoạt động em Kiểu dạy người giáo viên phải thật người “đạo diễn” đầy nghệ thuật, người định hướng, tổ chức tình học tập kích thích óc tị mị tư độc lập, phải biết thiết kế giảng cho hợp lý, gọn nhẹ Muốn em học trước hết giáo viên phải nắm nội dung lựa chọn, vận dụng phương pháp cho phù hợp Hiển nhiên, người giáo viên muốn dạy giỏi phải trãi qua trình tự rèn luyện, phấn đấu khơng ngừng có Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm thân người qua tiết dạy, ngày tháng miệt mài khơng quan trọng, vừa giúp cho có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho hệ giáo viên sau có sở để học tập, học tập nâng cao tay nghề, góp phần vào nghiệp giáo dục nước nhà II Cơ sở thực tiển: Bên cạnh học sinh hiếu động, ham hiểu biết mới, thích tự tìm tịi, khám phá, sáng tạo lại có phận không nhỏ học sinh lại học yếu, lười suy nghĩ nên địi hỏi người giáo viên phải tâm huyết, có lực thật sự, đa dạng phương pháp, biết tổ chức, thiết kế trân trọng qua tiết dạy Theo chúng tôi, dạy đối tượng học sinh đại trà nay, người giáo viên phải thật cô đọng lý thuyết, xếp lại bố cục dạy, định hướng phương pháp, tăng cường ví dụ tập từ đơn giản đến nâng cao thep dạng chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN PHẦN ĐẠO HÀM Bài 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN Định nghĩa đạo hàm: ∆y hay f ( x0 + ∆x) − y ' = lim f ' ( x0 ) = lim ∆x →0 ∆x f ( x0 ) ∆x ∆x →0 Trong đó: ∆x = x − x : số gia đối ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) : số gia hàm Phương pháp tính đạo hàm định nghĩa: Cho x0 số gia ∆x tính ∆y = f(x0 +∆x) – f(x0) Lập tỉ số ∆y tính ∆x ∆y lim ∆x ∆x → ∆y Kết luận: f ' ( x0 ) = lim ∆x →0 ∆x Ví dụ: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y = f(x) = x2 x0 = Đạo hàm khoảng (a;b): f(x) có đạo hàm khoảng (a;b) ⇔∀x0 € (a;b): f ’(x0) xác định Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số: f(x) có đạo hàm x0 ⇒ f(x) liên tục x0 Ý nghĩa hình học đạo hàm: + f ’(x0) hsg tiếp tuyến M0T (C), với (C): y = f(x) M(x0;f(x0)) € (C) + Phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x) điểm M(x0;y0) là: y – y0 = f ’(x0)(x-x0) Ví dụ: Viết PTTT hàm số y = f(x) = x2 x0 = Bài 2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Đạo hàm hàm số đơn giản HSSC bản: Từ ĐN ta tính đạo hàm hàm số hệ thống bảng tóm tắc sau: (C)’ = , (C: số) (x)’ = (xα)’ = α.xα -1 ( x )' = x 1 ( )' = − x x (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN cos x (tgx )' = (cot gx)' = − 10 (ex)’ = ex (ax)’ = ax.lna 11 sin x x 12 (ln x )' = 13 (log a x )' = x ln a Các quy tắc tính đạo hàm: i/ (u + v)’ = u’ + v’ ii/ (u - v)’ = u’ - v’ Mở rộng: (u1 ± u ± ± u n )' = u1 '±u '± ± u n ' Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau: a y = x3 – x2 + x – 10 b y = ex + lnx + iii/ (u.v)’ = u’.v + v’.u Mở rộng: (u.v w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’ HQ: (k.u)’ = k.u’ (k số) Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau: a y = (x2 + 1)( x – 3) b y = (x2 + x +1).ex u '.v − v'.u v2 − v' HQ: ( )' = v v u v iv/ ( )' = Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau: a y = 3x + x −1 b y = x − 2x + x +1 * Lưu ý công thức (xem tập hướng dẫn hs chứng minh): ax + b ad − bc i/ ( cx + d )' = (cx + d ) ax + bx + c (ap − bm) x + 2(aq − cm) x + bq − cp )' = ii/ ( mx + px + q (mx + px + q) ax + bx + c apx + 2aqx + bq − cp )' = iii/ ( px + q ( px + q ) Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài 3: HÀM HỢP VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP Khái niệm hàm hợp: (Ta hình dung gọn khái niện hàm hợp sau) Cho hai hàm số y = f(u) u = g(x) Ta nói hàm số y = f(g(x)) hàm số hợp x qua hàm số trung gian u = g(x) Ví dụ: 1/ Cho hai hàm số y = f(u) = u5 u = g(x) = x2 + 3x – 7, ta nói hàm số y = f(g(x)) = (x2 + 3x – 7)5 hàm hàm số hợp x qua hàm trung gian u = g(x) = x2 + 3x - 2/ Cho hai hàm số y = f(u) = eu u = g(x) = 2x + 1, ta nói hàm số y = f(g(x)) = e2x + hàm hàm số hợp x qua hàm trung gian u = g(x) = 2x + (GV cho học sinh tự lấy nhiều ví dụ khác hay nhận dạng hàm hợp khác) Đạo hàm hàm số hợp: a/ Định lý: Nếu hàm số y = f(u) có đạo hàm theo biến u yu’ hàm số u = g(x) có đạo hàm theo biến x ux’ hàm số y = f(g(x)) có đạo hàm theo biến x yx’ yx’ = yu’.ux’ b/ Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau: y = (x2 + 3x – 7)5 y = e2x + Giải: Đặt u = x2 + 3x – y = u5, yu’ = 5u4 ; ux’ = 2x + Áp dụng cơng thức tính đạo hàm hàm hợp , ta có: yx’ = yu’.ux’ = 5u4.(2x + 3) = 5(x2 + 3x - 7)4.(2x + 3) Lưu ý: (uα)’ = α.uα -1.u’ Đặt u = 2x + y = eu, yu’ = eu ; ux’ = Áp dụng cơng thức tính đạo hàm hàm hợp , ta có: yx’ = yu’.ux’ = eu = 2e2x + * Lưu ý: (eu)’ = eu.u’ Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bảng tóm tắc đạo hàm hssc hàm hợp: (GV cho học sinh tự suy luận CT đạo hàm hàm hợp) *BẢNG TĨM TẮT CƠNG THỨC ĐẠO HÀM: Đạo hàm HSSC Đạo hàm hàm số hợp 1.(C )' = ( C: số) 2.( x)' = 3.( x α )' = α x α −1 1 4.( )' = − x x 5.( x )' = 3.(u α )' = α u α −1 u ' 1 4.( )' = − u ' u u 5.( u )' = x u ' u 6.(sin x)' = cos x 6.(sin u )' = cos u.u ' 7.(cos x)' = − sin x 7.(cos u )' = − sin u.u ' 8.(tgx )' = = + tg x cos x 9.(cot gx)' = − = −(1 + cot g x ) sin x 8.(tgu )' = u ' = (1 + tg x).u ' cos u u ' = −(1 + cot g x ).u ' sin u 9.(cot gu )' = − 10.(e x )' = e x 10.(e u )' = e u u ' 11 (a x )' = a x ln a 11 (a u )' = a u ln a.u ' 12.(ln x )' = x 13.(log a x )' = 12.(ln u )' = x ln a u ' u 13.(log a u )' = u ' u ln a Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số: a) y = sin(2x-1) (Nhận dạng hàm số: sinu, với u = 2x-1 nhớ (sinu)’ = cosu.u’ ) b) y = x + 3x + (Nhận dạng hàm số: u , với u = x2 + 3x + nhớ ( u )' = u' u ) *BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP: Chọn đáp án câu sau: Câu 1: Hàm số y = sin(3x + 1) có : a y ' = cos(3x + 1) b y ' = sin(3x + 1) c y ' = cos(3x + 1) d y ' = −5 cos(3x + 1) Câu 2: Hàm số f ( x) = x + có f ' ( x) bằng: a c x b x2 +1 2x d x2 +1 x2 x2 +1 x2 +1 Câu 3: Hàm số y = ln( x + x + 4) có y’(0) bằng: a b 2 c d sin x Câu 4: Hàm số f ( x) = e có f ' (π ) bằng: a b e c − d π Câu 5: Hàm số f ( x) = cos (2 x) có f ' ( ) bằng: a c Câu 6: Hàm số y = ln (sin x) có: a y ' = ln (sin x) c y ' = 4tgx ln (sin x) b − d kết khác b y ' = cos x ln (sin x) d y ' = cot gx ln (sin x) x +1 Câu 7: Hàm số y = e x + có: x +1 x +1 a y = e x + b y = 5.e x + c Tất sai d y = ( x + 2) Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Câu 8: Cho hàm số f ( x) = e x − x +1 Phương trình f ' ( x) = có nghiệm: a x = b x = c x = e d x = e Câu 9*: Hàm số y = ( x + 1) sin x có: a y ' = sin x.( x + 1) sin x −1 b y ' = x sin x.( x + 1) sin x −1 c y ' = ( x + 1) sin x [cos x ln( x + 1) + 2x sin x ] x +1 d Tất sai Bài 4: ĐẠO HÀM CẤP CAO Định nghĩa: [ ] ' f ( n ) ( x) = f ( n−1) ( x) , ( n ≥ ) Ví dụ: a/ VD1: Tính đạo hàm cấp hàm số i y = x5 + 3x2 – ii y = (2x +1).ex b/ VD2: Cho hàm số f(x) = (x+2)7 Tính f ’’(1) c/ VD3: Tính đạo hàm cấp n hàm số i y = e3x ii y = sinx PHẦN TÍCH PHÂN Bài 1: NGUYÊN HÀM Định nghĩa nguyên hàm: F(x) nguyên hàm f(x) ⇔ F’(x) = f(x) * Định lí: + F(x) nguyên hàm f(x) ⇒ F(x) + C củng nguyên hàm với C số Kí hiệu: ∫ f ( x)dx (đọc tích phân bất định f(x)) Như vậy: ∫ f ( x)dx = F(x) + C + F(x) G(x) nguyên hàm f(x) ⇔ F(x) – G(x) = C (C: số) * Ví dụ 1: Cho F(x) = x3 f(x) = 3x2 Ta thấy F’(x) = 3x2 = f(x) Suy F(x) nguyên hàm f(x) F(x) + C củng nguyên hàm f(x) * Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số: a) y = 1/x b) y = ex c) y = xα Các tính chất nguyên hàm: ( ∫ f ( x)dx)' = f ( x) ∫ a f ( x)dx = a ∫ f ( x)dx ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx ∫ f (t )dt = F (t ) + C ⇒ ∫ f (u )du = F (u ) + C Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bảng tóm tắc cơng thức ngun hàm: (Ta tạm hiểu hssc mở rộng từ hssc ta thay biến x ax + b) Nguyên hàm hssc Nguyên hàm hssc mở rộng Nguyên hàm hàm số thường gặp thường gặp hợp (với u = u(x) ) ∫ dx = x + C ∫ du = u + C ( ax + b) α +1 +C a α +1 x α +1 x dx = +C ∫ α +1 α ∫ (ax + b) dx = ∫ x dx = ln x + C ∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C ∫e ∫x ax + b ∫a px + q α x dx = e x + C x ∫ a dx = ax +C ln a 1 dx = ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C x ∫ sin x dx = tgx + C dx = − cot gx + C ∫e ∫ sin au +C ln a ∫ sin udu = − cos u + C 1 dx = tg (ax + b) + C a (ax + b) du = e u + C ∫ cos udu = sin u + C ∫ cos u u ∫ a du = ∫ sin xdx = − cos x + C 1 a px + q dx = +C p ln a ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C u α +1 +C α +1 ∫ u du = ln u + C ax +b e +C a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos α ∫ u du = ∫ cos 1 dx = − cot g (ax + b) + C a (ax + b) u ∫ sin u du = tgu + C du = − cot gu + C Ví dụ: Tìm tích phân sau: )dx sin x a ∫ ( x + 3x − 2)dx b ∫ (2 cos x + d ∫ (3x + 2) dx e ∫ sin x cos xdx sin x g ∫ e cos xdx 10 c ∫ x x dx f ∫ + ln x dx x Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài TÍCH PHÂN b I Định nghĩa: ∫ f ( x)dx = F(x) | b a = F(b) – F(a) a Ví dụ: Tính tích phân : ∫ x dx π x ∫ e dx ∫ cos xdx 0 II Các tính chất: (SGK trang 124, Giải tích 12) ( Chốt kỹ tính chất lưu ý ví dụ phù hợp tính chất) Bài CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.Phương pháp tính tích phân hàm dạng mở rộng: Ví dụ: Tính tích phân sau: x +1 ∫ e dx π 2 ∫ (3x − 1) dx ∫ cos(2 x + 5)dx ∫ 3x + 10 dx Phương pháp đổi biến: a Đổi biến dạng 1: x = ϕ(t), a = ϕ(α), b = ϕ(β), β b ∫ f ( x)dx = α∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt a * Lưu ý: Đặt x hàm theo biến t, đổi dấu nhớ đổi cận Ví dụ: Tính tích phân sau: 1 ∫ 1 − x dx ∫1+ x dx b Đổi biến dạng 2: *Dấu hiệu sử dụng tích phân đổi biến dạng 2: Hàm số dấu tích phân thường có dạng tích hàm, hàm biểu thức hàm có đạo hàm gần hàm số lại ( sai khác số) Ta sử dụng phương pháp tích phân đổi biến dạng * Ví dụ: Tính tích phân sau: π ∫ e e + ln x dx ∫ x e sin x cos xdx ∫x 2x + dx +x+2 Phương pháp tích phân phần: b b ∫ udv = [ uv] − ∫ vdu a b a a * Lưu ý: Thường ưu tiên đặt u theo thứ tự: Lô, đại, mũ, lượng 11 Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN * Ví dụ: Tính tích phân sau: 1 ∫ xe x dx π 2 x sin xdx ∫ π e x cos xdx ∫ π x ∫ cos x dx C KẾT LUẬN Thời gian tầm nhìn có hạn Trên vài kinh nghiệm nhỏ phương pháp giảng dạy “đạo hàm tích phân” Rất mong đựoc q thầy bạn đồng nghiệp có nhiều ý kiến đóng góp, trao đổi để lần sau hoàn thiện 12 ... Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài 3: HÀM HỢP VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP Khái niệm hàm hợp: (Ta hình dung gọn khái niện hàm hợp sau) Cho hai hàm số y = f(u) u = g(x) Ta nói hàm số y = f(g(x))... nhận dạng hàm hợp khác) Đạo hàm hàm số hợp: a/ Định lý: Nếu hàm số y = f(u) có đạo hàm theo biến u yu’ hàm số u = g(x) có đạo hàm theo biến x ux’ hàm số y = f(g(x)) có đạo hàm theo biến x yx’ yx’... Sáng kiến kinh nghiệm: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số: a) y = sin(2x-1) (Nhận dạng hàm số: sinu, với u = 2x-1 nhớ (sinu)’ = cosu.u’ ) b) y = x + 3x + (Nhận dạng hàm số: u , với