SKKN một số cách khai thác giả thiết hai đường thẳng chéo nhau và vuông ngóc với nhau trong giải toán hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VNG GĨC VỚI NHAU TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Người thực hiện: Nguyễn Việt Dũng Chức vụ: Giáo viên Mơn học ứng dụng: Hình học THANH HÓA NĂM 2013 MỤC LỤC MỤC TRANG A Đặt vấn đề B Giải vấn đề I Cơ sở lí luận II Thực trạng vấn đề III Giải pháp tổ chức thực III.1 Định hướng phương pháp III.2 Tiến trình thực III.3 Các ví dụ điển hình III.4 Một số tập áp dụng IV Kết thực nghiệm C Kết luận D Tài liệu tham khảo 2 4 6 14 15 16 17 MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VNG GĨC VỚI NHAU TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong q trình ơn thi đại học, giải tốn hình học khơng gian tổng hợp, học sinh thường lúng túng gặp giả thiết tốn “cho trước hai đường thẳng chéo vng góc với nhau” Đa số học sinh nhận xét dạng tốn khó, học sinh thường khơng liên kết hai đường thẳng chéo quan hệ vng góc để từ dễ dàng suy luận kết phục vụ cho việc giải toán Đặc biệt, học “Định lý ba đường vng góc” học sinh biết áp dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc với mà khơng biết cách khai thác khác là: tạo mối liên hệ gần gũi hai đường thẳng chéo vng góc với Trên lí để tơi chọn đề tài: MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VNG GĨC VỚI NHAU TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí luận I.1 Góc hai đường thẳng khơng gian Hai đường thẳng vng góc + Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song ( trùng) với a b a’ a b’ I + Hai đường thẳng khơng gian gọi vng góc với góc chúng 900 b I.2 Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng + Nếu đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng cắt b c nằm mặt phẳng (P) đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) a b P I c I.3 Định lý ba đường vng góc + Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) đường thẳng b nằm mặt phẳng (P) Khi điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) B a A P A’ b B’ a’ II Thực trạng vấn đề Khi toán giả thiết cho trước hai đường thẳng chéo vng góc với Học sinh thường định hướng giải toán khơng liên kết hai đường thẳng chéo quan hệ vng góc để từ dễ dàng suy luận kết phục vụ cho việc giải toán III Giải pháp tổ chức thực III.1 Định hướng phương pháp Cho hai đường thẳng a, b chéo vng góc với (1) Để khai thác giả thiết áp dụng vào giải tốn, có hai hướng suy luận: Hướng 1: Từ giả thiết (1) , lập luận để hai đường thẳng cắt vng góc với Từ áp dụng tính chất hình học phẳng để giải toán ( Định lý Pytagore,….) Hướng 2: Từ giả thiết (1) suy đường thẳng vng góc với mặt phẳng Từ áp dụng tính chất đường thẳng vng góc với mặt phẳng để giải toán Để suy luận theo hai hướng ta đưa ba cách thực hiện: Cách 1: + Qua điểm I b, kẻ a’ // a Ta hai đường thẳng a’ b cắt vng góc với b I a’ a Cách 2: Áp dụng Định lý đường vuông góc + Nếu đường thẳng b nằm mặt phẳng (P), mà ta dễ dàng xác định hình chiếu vng góc a lên (P) ta dựng hình chiếu a’ a lên (P) Ta có kết quả: a ' ⊥ b B a A B’ a’ A’ b P Cách 3: + Nếu đường thẳng c cắt b c ⊥ a Suy a ⊥ mp(b, c) a b P I c III.2 Tiến trình thực + Cung cấp cho học sinh số kiến thức hình học không gian cách khai thác giả thiết hai đường thẳng chéo nhau, vng góc với + Đưa ví dụ tốn hình học khơng gian tổng hợp có giả thiết hai đường thẳng chéo vng góc với nhau, phân tích để học sinh tự lựa chọn cách khai thác giả thiết dựa cách gợi ý + Yêu cầu học sinh nhận xét xem cịn dùng cách khác để khai thác giả thiết khơng, so sánh tính khả thi hiệu phương pháp III.3 Các ví dụ điển hình Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC cạnh a Gọi M N trung điểm SA, SC Tính thể tích khối chóp S.ABC biết BM ⊥ AN S K M N A C O B Phân tích: Khi tiếp cận với giả thiết BM ⊥ AN , dùng cách Lời giải: Gọi K trung điểm SN, suy MK // AN ( tính chất đường trung bình) Vì BM ⊥ AN ⇒ BM ⊥ MK ⇒V BMK vuông M ⇔ BM + MK = BK (*) Đặt SA = b ( b > 0) Theo công thức độ dài đường trung tuyến, ta có: 2 AB2 + SB2 SA2 a2 + b2 b2 2a2 + b2 2a + b BM = − = − = , tương tự: AN = 4 4 ⇒ MK = 2a2 + b2 16 Áp dụng ĐL Cosin, ta có: cos ·BSC = SB2 + SC − BC 2b2 − a2 = 2SB.SC 2b2 b2 b 2b2 − a 9b2 a2 · BK = SK + SB2 − 2SB.SK cos BSC = + b2 − 2b = + 16 2b2 16 Khi (*) ⇔ 2a2 + b2 2a2 + b2 9b2 a2 a + = + ⇔b= 16 16 Gọi O tâm tam giác ABC, suy SO ⊥ ( ABC ) , 2a a 6a2 3a2 a 42 2 AO = = ⇒ SO = SA − AO = − = 3 1 a 42 a2 a 14 = Suy ra: VS ABC = SO.S ABCD = (đvtt) 3 24 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, SA = a 3, SA ⊥ ( ABCD) Gọi M trung điểm SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BM, AC, biết BM ⊥ AC S M A Phân tích: F K D E BM ⊥ AC , dùng cách 2, thấy Khi tiếp B cận với giả thiết C việc dựng hình chiếu BM lên (ABCD) dễ dàng Lời giải: Gọi K trung điểm AD, suy MK // SA ⇒ MK ⊥ ( ABCD) Vì BM ⊥ AC ⇒ BK ⊥ AC (Theo ĐL đường vng góc) Khi đó, ta có ·ABK = ·ACB (vì phụ với ·BAC ) ⇒V BAC đồng dạng với V AKB ⇒ AB BC AD = ⇔ AB2 = AK BC ⇔ a2 = AD ⇔ AD = a AK AB 1 a3 Suy ra: VS ABCD = SA.S ABCD = a 3.a2 = (đvtt) 3 Gọi E = AC ∩ BK Kẻ EF ⊥ BM F Ta có EF ⊥ AC ( EF ⊂ ( BMK ) ⊥ AC ) Suy EF đoạn vng góc chung hai đường thẳng BM AC ⇒ d ( BM , AC ) = EF  a 2 a a Ta có BK = AB + AK = a +  , BE = BK = ÷ =  ÷ 3   2 ⇒ BM = BK + MK = 6a2 3a2 3a + = 4 a 6a EF MK BE.MK =a · = ⇔ EF = = Ta có sin BMK = 3a BE BM BM Vậy d ( BM , AC ) = EF = a Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC, tam giác SAC cân C, có ·SCA = 1200, SC = a Biết ( SAC ) ⊥ ( ABC ), SA ⊥ BC ·BAC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC S tính thể tích khối tứ diện SBCK, biết K điểm thuộc SA thỏa mãn CK vng góc với SB K A C H B Phân tích: Khi tiếp cận với giả thiết SA ⊥ BC , dùng cách 2, ( SAC ) ⊥ ( ABC ) nên hình chiếu SA lên (ABC) AC Lời giải: Vì ( SAC ) ⊥ ( ABC ) , suy AC hình chiếu vng góc AS lên mặt phẳng (ABC) Lại có SA ⊥ BC ⇒ AC ⊥ BC ( Theo ĐL đường vng góc) Suy tam giác ABC vuông C ⇒ BC = AC.tan 30 = a a2 ⇒ SV ABC = AC.BC = Kẻ SH ⊥ AC H, suy SH ⊥ ( ABC ) a Ta có ·SCH = 600 ⇒ SH = SA.sin 600 = 1 a a2 a = (đvtt) Suy VS ABCD = SH SV ABC = 3 12 Vì AC ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAC ) , suy SC hình chiếu vng góc SB lên mặt phẳng (SAC) Vì SB ⊥ CK ⇒ SC ⊥ CK ( Theo ĐL đường vuông góc) Khi ta có: SK = SC 2a = cos 30 Ta có: SA2 = SC + AC − 2SC AC.cos 1200 = 3a2 ⇒ SA = a 10 Ta có VS BCK VS ABC 2a SK SC SB 2 a (đvtt) = = = ⇒ VSBCK = VS ABC = SA SC SB a 3 18 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a, BD = a Biết SA ⊥ BD, SB ⊥ AD (SBD) tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AC, SB theo a s F H K E D A O B C Phân tích: Bài tốn phức tạp cho hai cặp đường thẳng chéo vng góc với là: SA ⊥ BD, SB ⊥ AD +Ta để ý đến SA ⊥ BD trước, có AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (SAC ) (cách 3) Suy ( SAC ) ⊥ ( ABCD) , ta nghĩ đến việc dựng hình chiếu vng góc S lên (ABCD) Đây sở để ta dùng cách để khai thác giả thiết SB ⊥ AD Lời giải: Vì ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD , mà SA ⊥ BD , suy BD ⊥ (SAC ) ⇒ (SAC ) ⊥ ( ABCD) 11 Kẻ SH ⊥ AC H, suy SH ⊥ ( ABCD) Vì SB ⊥ AD ⇒ BH ⊥ AD ( Theo ĐL đường vng góc) Gọi AC ∩ BD = O , ta có BD ⊥ (SAC ) , suy góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) góc ·SOH = 600 Từ giả thiết, suy tam giác ABC ACD tam giác cạnh a · = 600 ⇒ OH = OB.tan 600 = Vì BH ⊥ AD ⇒ OBH Suy SH = OH tan 600 = a 3a 3= 2 3a 1 3a 3a a 3.a = Suy VS ABCD = SH S ABCD = (đvtt) 3 2 Tính d ( AC , SB) = ? Dựng hình bình hành OHEB, suy OHEB hình chữ nhật Ta có BE // AC, suy AC // (SBE) ⇒ d ( AC , SB) = d ( AC ,( SBE )) = d ( H ,( SBE )) Ta có BE ⊥ HE , BE ⊥ SH ⇒ BE ⊥ ( SHE ) ⇒ ( SBE ) ⊥ ( SHE ) Kẻ HF ⊥ SE F, suy HF ⊥ ( SBE ) 3a a ⇒ d ( H ,( SBE )) = HF = SH HE = SH2 HE = 2 2 = 3a 30 SE 20 SH + HE 27a 3a + 4 Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi M trung điểm B’C’ Biết AB’ vng góc với A’M AB’ = AM Cạnh bên AA’ hợp với đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a tính cosin góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’) Phân tích: Để ý A ' M ⊥ B ' C ' , từ giả thiết AB ' ⊥ A ' M ⇒ A ' M ⊥ ( AB ' C ') 12 Đây cách A C N B A’ C’ H B’ M Lời giải: Vì tam giác A’B’C’ nên A ' M ⊥ B ' C ' , lại có A ' M ⊥ AB ' ⇒ A ' M ⊥ ( AB ' C ') ⇒ ( AB ' C ') ⊥ ( A ' B ' C ') Gọi H trung điểm B’M, tam giác AB’M cân đỉnh A nên AH ⊥ B ' C ' ⇒ AH ⊥ ( A ' B ' C ') Suy góc AA’ (A’B’C’) góc ·AA ' H = 600 Ta có A ' H = A ' M + HM = Suy AH = A ' H tan 600 = 3a2 a2 a 13 + = 16 a 13 a 39 3= 4 Suy VABC A' B 'C ' = AH S A' B 'C ' = a 39 a2 3a3 13 = (đvtt) 4 16 Tính tính cosin góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’) Vì (ABC) // (A’B’C’) nên số đo góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’) số đo góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (ABC) Gọi N trung điểm BC, ta có AN ⊥ BC Vì AH ⊥ ( ABC ) ⇒ AH ⊥ BC 13 ) ( ( ABC ),( BCC ' B ') = ·ANH = α Suy ( ANH ) ⊥ BC ⇒ · Ta có tam giác ANH vng A, nên a 39 AH AH 13 221 cosα = = = = = NH 17 17 AH + AN 39a2 3a2 + 16 Ví dụ 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD hình vng cạnh a, AA ' = a Gọi M, N trung điểm cạnh BB’, AD Biết BN vng góc với CM, AA’ hợp với (ABCD) góc 60 Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ N A K D H B A’ D’ C M Phân tích: C’ K trung điểm AB Vì ABCD hình vng, ta liênB’tưởng đến tính chất : Gọi BN ⊥ CK , mà BN ⊥ CM ⇒ BN ⊥ (CKM ) , ta chọn cách Lời giải: Gọi K trung điểm AB Ta dễ dàng chứng minh BN ⊥ CK Vì BN ⊥ CM ⇒ BN ⊥ (CMK ) ⇒ (CMK ) ⊥ ( ABCD) Kẻ MH ⊥ CK H, suy MH ⊥ ( ABCD) 14 ) ( ( ) AA ',( ABCD) = · AA ',( ABCD) = ·MBH = 600 Vì AA’ // BB’ ⇒ · Suy MH = MB.sin 600 = a 3 3a = 2 Suy VABCD A'B 'C ' D ' = d ( B ',( ABCD)).S ABCD = 2d (M ,( ABCD)).S ABCD = MH S ABCD = 3a 3a a = (đvtt) 4 III.4 Một số tập áp dụng Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có AB = a Gọi M trung điểm cạnh SD Biết SA ⊥ CM Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB CM Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, AC = a Gọi M thuộc đoạn CD cho MC = 2MD Biết SA ⊥ BD, SM ⊥ BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ C đến (SAB) Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC tam giác vuông B, · AC = a, BAC = 600 Biết AB ' ⊥ A ' C ', AA ' ⊥ B ' M , với M trung điểm A’C’; mặt phẳng (BCC’B’) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Bài 4: Cho hình chóp SABC có ABC tam giác vuông cân tai B, AC = 2a Tam · giác SAC vuông S, SAC = 600 ; ( SAC ) ⊥ ( ABC ) Gọi M trung điểm BC, N điểm thuộc đường thẳng SC thỏa mãn BN ⊥ AM Tính thể tích khối tứ diện SBMN IV Kết thực nghiệm 1) Trong khuôn khổ viết đưa ví dụ điển hình Từ ví dụ hướng dẫn giáo, học sinh tìm tịi lời giải tốn Sau giải tốn, tơi hướng dẫn học trị thay đổi cách 15 tiếp cận toán, để đưa so sánh tính khả thi hiệu phương pháp Trong q trình tìm tịi học sinh khơng phấn chấn, tự giác tiếp nhận kiến thức kỹ giải tốn dạng mà cịn hình thành cho em cách nhìn nhận Định lý, tính chất hình học nhiều góc độ khác nhau, biết cách phân tích vấn đề nhiều góc độ 2) Trong lớp 12C8, 12C9, 12C10 dạy năm nay, giao Ví dụ Ví dụ nhà cho lớp 12C8, 12C9 12C10 chưa phương pháp khai thác giải thiết hai đường thẳng chéo vng góc với Kết số học sinh giải sau: Lớp 12C8 12C9 12C10 Sĩ số 51 51 45 Số học sinh giải Tỉ lệ % học sinh giải 12(VD1) 23,5%(VD1) 7(VD2) 13,7%(VD2) 16(VD1) 31,4%(VD1) 10(VD2) 19,6%(VD2) 7(VD1) 15,6%(VD1) 5(VD2) 11,1%(VD2) Sau hướng dẫn phương pháp, phân tích hai ví dụ: Ví dụ Ví dụ lớp u cầu học sinh làm ví dụ cịn lại sở gợi mở, phân tích Hầu hết học sinh lớp hiểu, nắm phương pháp giải ví dụ 3,4,5,6 Khi giao bài tập nhà Kết số học sinh giải tập sau: Lớp Sĩ số Số học sinh giải Tỉ lệ % học sinh giải 12C8 51 38 74,5% 16 12C9 51 42 82,4% 12C10 45 30 58,8% C KẾT LUẬN Quá trình dạy học trình tìm tịi suy nghĩ để khơng ngừng đúc rút kinh nghiệm nâng cao hiệu dạy Kinh nghiệm trình bày ứng dụng nhỏ rèn luyện kỹ giải tốn hình học khơng gian Nhưng dù qua trình nêu hình thành cho học sinh phương pháp luận; rèn luyện cho học sinh cách nhìn nhận vận dụng lý thuyết vào giải toán, tạo cho học sinh hứng thú tìm tịi, hứng thú học tốn Trên kinh nghiệm rút từ trình giảng dạy thân, mong đồng nghiệp bổ sung, góp ý để áp dụng rộng rãi hiệu dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2013 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 17 Nguyễn Việt Dũng D.TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Hình học 11, nâng cao, NXBGD 18 ... 16 17 MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VNG GĨC VỚI NHAU TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong q trình ơn thi đại học, giải tốn hình học khơng gian tổng... hai đường thẳng chéo vuông góc với Trên lí để chọn đề tài: MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VNG GĨC VỚI NHAU TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ... 12C10 chưa phương pháp khai thác giải thiết hai đường thẳng chéo vng góc với Kết số học sinh giải sau: Lớp 12C8 12C9 12C10 Sĩ số 51 51 45 Số học sinh giải Tỉ lệ % học sinh giải 12(VD1) 23,5%(VD1)