skkn KĨ NĂNG CƠ BẢN TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Trong môn toán ở THPT phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp choj học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11A2, 11A4, 11A8 trường THPT Aaaaaaa năm học 20182019 rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian. Qua hai năm giảng dạy khối 11, tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung và môn hình học không gian nói riêng.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ………… TRƯỜNG THPT ……………… - - BÁO CÁO KẾT QUẢ SÁNG KIẾN cấp trường phục vụ thi đua khen thưởng năm 201 9-2020 GIẢI PHÁP: PHÁT TRIỂN KĨ NĂNG CƠ BẢN TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 – CHƯƠNG QUAN HỆ SONG SONG TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: Họ tên: ……………………… - Thạc sĩ, GV Toán ……………… , 2020 MỤC LỤC PHÁT TRIỂN KĨ NĂNG CƠ BẢN TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 – CHƯƠNG QUAN HỆ SONG SONG MỤC LỤC CHƯƠNG CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP 1.1 Sự cần thiết hình thành giải pháp Trong mơn tốn THPT phần hình học khơng gian giữ vai trò, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp choj học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh lớp 11A2, 11A4, 11A8 trường THPT Aaaaaaa năm học 2018-2019 e ngại học mơn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính mà có nhiều học sinh học yếu môn học này, phần giáo viên gặp không khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập hình học không gian Qua hai năm giảng dạy khối 11, đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng Ngồi tơi nhận thấy nhiều học sinh gặp toán chứng minh quan hệ song song hình học khơng gian em học sinh khơng biết vẽ hình, lúng túng, khơng phân loại dạng tốn, chưa định hướng cách giải Trong toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song hình học khơng gian có nhiều dạng tập khác nhau, chương trình hình học khơng gian 11 không nêu cách giải tổng quát cho dạng, bên cạnh thời lượng dành cho tiết luyện tập Qua việc khảo sát định kỳ nhận thấy nhiều học sinh trình bày lời giải chưa lôgic không làm tập liên quan đến chứng minh quan hệ song song hình học khơng gian Khi giải tốn hình học khơng gian giáo viên học sinh thường gặp số khó khăn với nguyên nhân sau: học sinh cần phải có trí tưởng tượng khơng gian tốt; học sinh quen với hình học phẳng nên học khái niệm hình khơng gian hay nhầm lẫn, chưa biết vận dụng tính chất hình học phẳng cho hình khơng gian; số tốn khơng gian mối liên hệ giả thiết kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng việ định hướng cách giải; Bên cạnh có nguyên nhân em chưa xác định động học tập Từ nguyên nhân mạnh dạn đưa “Giải pháp phát triển kỹ giải tốn hình học khơng gian lớp 11 – chương quan hệ song song” cho học sinh lớp 11A2, 11A4, 11A8 1.2 Mục tiêu giải pháp Mục tiêu giải pháp nâng cao trình độ chuyên môn cho thân, hướng đến nâng cao chất lượng giảng dạy cá nhân, góp phần nâng cao tỷ lệ học sinh đạt điểm cao mơn Tốn nhà trường kiểm tra 15 phút, tiết Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh lớp 11A2, 11A4, 11A8 có thêm số kỹ bản, phương pháp chứng minh số dạng tốn khơng gian Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm làm tập Hy vọng với đề tài nhỏ giúp em học sinh có sở, phương pháp giải số toán bắt buộc sách giáo khoa Hình học lớp 11A2, 11A4, 11A8, cung cấp cho giáo viên số nội dung giảng dạy mơn hình học khơng gian lớp 11 cách có hiệu 1.3 Phương pháp thực Trong trình hình thành giải pháp cá nhân kết hợp phương pháp đây: Phương pháp phân tích: nghiên cứu thực trạng cách đọc đề, vẽ hình sử dụng phương pháp tìm giao tuyến, giao điểm, cách chứng minh tốn hình học khơng gian học sinh Phương pháp tổng hợp: sử dụng tài liệu tham khảo với thực tế diễn lớp, với đóng góp q thầy Phương pháp trao đổi thảo luận: nghiên cứu cung cấp kết thảo luận với thầy cô giáo tổ, với học sinh Phương pháp phân tích, thống kê số liệu: điều tra, khảo sát vấn học sinh lớp thực nghiệm lớp 11A2, 11A4, 11A8 1.4 Đối tượng phạm vi áp dụng: Nội dung giải pháp hướng đến đối tượng học sinh trung bình, lớp 11A2, 11A4 11A8 Trong trình giảng dạy giáo viên học sinh trao đổi lời giải tốn, phân tích để chọn lời giải hay lấy để tích luỹ kình nghiệm cho thân Ban đầu hình thành cho HS dạng có bước làm để hỗ trợ em hình thành kiến thức, tư Từ đó, em sáng tạo tìm hướng giải khác không tuân theo bước Tùy thuộc vào đặc điểm dạy học trường, tùy vào phương pháp lên lớp giáo viên để đưa cách thức khác để thực giải pháp Theo cá nhân tác giả thấy thực theo giải pháp học sinh giúp em dễ dàng tiếp cận trình bày làm tự luận cách khoa học CHƯƠNG QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH GIẢI PHÁP 2.1 Thực trạng 2.1.1 Thuận lợi Nhìn chung phần lớn học sinh trường THPT Aaaaaaa ngoan lễ phép, có ý thức kỹ luật học tập Đây sở quan trọng để giáo viên tiến hành giải pháp thúc đẩy trình dạy – học Đội ngũ giáo viên có nhiệt tình tận tụy với nghề nên có đầu tư lớn cơng tác bổi dưỡng học sinh giỏi phụ đạo học sinh trung bihf yếu Đặc biệt quan tâm nhà trường vào lớp 10 11 lớp cần xây dựng kiến thức vững chắc, tạo tảng cho lớp 12 sau 2.1.2 Khó khăn Học sinh có khác biệt cách nhận thức, hồn cảnh gia đình, kinh tế, lười học thiếu quan tâm cha mẹ, Những điều ảnh hưởng nhiều đến vấn đề học tập học sinh, từ dẫn đến em chán nản việc học, hỏng kiến thức Trong lớp học có nhiều đối tượng học sinh nên giáo viên khó quản lí bao qt loại học sinh, đặc biệt phân loại kiến thức cho phù hợp với cấp độ, lực đối tượng Mặt khác, học sinh bị ảnh hưởng cách truyền thụ trước đây, nên ỷ lại, lười suy nghĩ, khơng chuẩn bị nhà, học lơ không tập trung, làm giảm khả tư học sinh 2.2 Mâu thuẫn Nhìn chung, giáo viên chủ yếu đội ngũ trẻ, có lòng nhiệt tình say mê với nghề Ln có lòng mong muốn cống hiến Tuy nhiên,do kinh nghiệm non nên nhiều lúc chưa có định hướng rõ ràng phương pháp dạy Dẫn đến ngộ nhận lực học sinh nên thường có yêu cầu cao kiến thức học sinh, điều làm cho học sinh bị áp lực đơi học sinh rơi vào tình trạng “mất niềm tin” vào thân Đối với học sinh, em có tinh thần học tập, nhiên, chưa có định hướng cách học, phần em thụ động tiếp thu kiến thức thời gan dài (cấp 1, 2) điều dẫn đến số học sinh bị hổng kiến thức dó gặp vấn đề đòi hỏi phải có lập luận cao học sinh dễ thất bại Sau giải tốn xong thường hỏi “có cách khác không em?” điều đặt em thơi thúc tìm kiếm lời giải khác Vì việc hình thành giải pháp điều tất yếu 2.3 Giải pháp đề xuất Để giải hình học tố theo tơi nghĩ có số giải pháp tăng cường kỹ kiến thức cho học sinh là: Vẽ hình – trực quan gợi mở tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải tốn phát huy trí tưởng tượng khơng gian, phát huy tính tích cực niềm say mê học tập học sinh Vẽ – trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh sai lầm đáng tiếc Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ khái niệm hình học khơng gian : hình chóp; tứ diện; hình chóp đều; hình lăng trụ; hình hộp; hình hộp chữ nhật; ….; quan hệ song song hai đường thẳng; hai mặt phẳng; đường thẳng mặt phẳng,… Sử dụng đồ dùng dạy học cách hợp lý mơ hình không gian, phần mềm giảng dạy như: Cabir, GSP, … Dạy học theo chủ đề, dạng toán, mạch kiến thức mà giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu kiến thức mà có, vận dụng chúng cách tốt CHƯƠNG NỘI DUNG GIẢI PHÁP Khi giải tốn chứng minh quan hệ song song hình học khơng gian, ta phải đọc kỹ đề, phân tích giả thuyết, kết luận, vẽ hình đúng, … Ta cần phải ý đến yếu tố khác : Vẽ tốt chưa? Cần xác định thêm yếu tố hình khơng? Để giải vấn đề ta xuất phát từ đâu? Nội dung kiến thức liên quan đến tốn, ….có giúp ta giải nhiều tốn mà khơng gặp khó khăn Ngồi ta phải nắm vững kiến thức hình học phẳng, phương pháp chứng minh cho dạng tốn: tìm giao tuyến hai mặt phẳng, tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng 3.1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β) 3.1.1 Phương pháp: Cách 1: Xác định hai điểm chung hai mặt phẳng  A ∈ (α ) ∩ ( β ) Nếu  AB = (α ) ∩ ( β )  B ∈ (α ) ∩ ( β ) Cách 2: Xác định điểm chung song song với đường thẳng Dựa vào định lý sau: (α ) ∩ (γ ) = a a / /b / / c  Định Lí 2: (SGK trang 57) Nếu ( β ) ∩ (γ ) = b  ng quy  a, b, c ñoà (α ) ∩ ( β ) = c  a / /b  Hệ quả: Nếu a ⊂ (α ), b ⊂ ( β ) (α ) ∩ ( β ) = d  d / / a / /b  d trù ng vớ ia   d trù ng vớ ib Từ hệ quả, GV hình thành phương pháp cách tìm giao tuyến mặt phẳng có phát mặt phẳng có điểm chung có chứa đường thẳng song song  S ∈ (α ) ∩ ( β )  Sx / / a  ⇒ Sx = (α ) ∩ ( β ) với  a / /b  Sx / / b  a ⊂ (α ), b ⊂ ( β )  Từ định lí 2, GV hình thành cho HS phương pháp chứng minh đường thẳng đồng qui (α ) ∩ (γ ) = a ( β ) ∩ (γ ) = b  a, b, c đồng qui điểm M  (α ) ∩ ( β ) = c  M = a ∩ b Nhận xét: Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng có bước: Bước 1: Tìm điểm chung thứ hai mặt phẳng Bước 2: Tìm điểm chung thứ (nếu có) giải tốn theo cách Còn khơng tìm điểm chung thứ chắn hai mặt phẳng phải chứa hai đường thẳng song song với nhau, em giải tốn theo cách 3.1.2 Một số thí dụ Bài 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB CD cắt E, AC BD cắt F Gọi S điểm nằm ngồi mp(α) Tìm giao tuyến mp sau: a) (SAC) (SBD) b) (SAB) (SCD) c) (SEF) (SAD) Nhận xét: Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm giao tuyến Với câu c GV cần gợi ý cho HS phát điểm chung thứ hai Lời giải: a) Ta có S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (1) ; F = AC ∩ BD ⇒ F ∈ (SAC) ∩ (SBD) (2) Từ (1) (2) suy : SF = (SAC) ∩ (SBD) b) Ta có S ∈ (SAB) ∩ (SCD) (3) ; E = AB ∩ CD ⇒ E ∈ (SAB) ∩ (SCD) (4) Từ (3) (4) suy : SE = (SAB) ∩ (SCD) c) Trong mp(ADE) gọi N = EF ∩ AD ⇒ N ∈ ( SAD) ∩ ( SEF ) (5) Ta có: S ∈ (SAD) ∩ (SEF) (6) Từ (5) (6) suy ra: SN = (SAD) ∩ (SEF) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang (AB // CD) a) Tìm giao tuyến hai (SAD) (SBC) b) Tìm giao tuyến hai (SAB) (SDC) Lời giải: a) Ta có S điểm chung thứ hai (SAD) (SBC) Trong (ABCD) có E E = AD ∩ BC ⇒ E ∈ ( SAD) ∩ ( SBC ) Suy : SE = (SAD) ∩ (SBC) Nhận xét: hai mặt phẳng (SAD) (SBC) có điểm chung thứ S, việc lại ta tìm điểm chung thứ Do đó, đường thẳng SA, SD, SC, SB cắt S chúng khơng cắt nữa, đường thẳng AD BC Từ đó, mặt phẳng (ABCD) ta cần gọi E điểm giao đường thẳng b)  S ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD)   AB ⊂ ( SAB ), CD ⊂ ( SCD ) ⇒ ( SAB) ∩ ( SCD ) = S x với S x / / AB / / CD  AB / / CD  Nhận xét: hai mặt phẳng (SAB) (SCD) có điểm chung thứ S, việc lại ta tìm điểm chung thứ Tương tự, ta thấy AB CD lại song song với nên ta áp dụng cách để trình bày tốn Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AD BC a) Tìm giao tuyến hai mp(IBC) (JAD) b) M điểm đoạn AB, N điểm đoạn AC Tìm giao tuyến mp(IBC) (DMN) Lời giải: A I D B J C a) Ta có: I ∈ AD ⇒ I ∈ (JAD) Vậy I điểm chung mp(IBC) (JAD) Ta có: J ∈ BC ⇒ J ∈ (IBC) Vậy J điểm chung mp(IBC) (JAD) Từ (1) (2) ta có : IJ = (IBC) ∩ (JAD) A M I F E N D B C b) Trong mp(ACD) gọi E = CI ∩ DN Vậy E điểm chung hai mp(IBC) (DMN) Trong mp(ABD) có : BI cắt DM F Vậy F điểm chung hai mp(IBC) (DMN) Từ (3) (4) ta có : EF = (IBC) ∩ (DMN) 3.2 Tìm giao điểm đường thẳng d mp(α) 10 (3) (4) (1) (2) Hình Hình 3.2.1 Phương pháp :Tìm giao điểm đường thẳng d với mp(α) Bước : Chọn mặt phẳng phụ ( β ) chứa đường thẳng d Bước : Tìm giao tuyến mặt phẳng (α ) ( β ) Giả sử giao tuyến tìm đường thẳng a (Hình 9) Bước : Trong ( β ) gọi A = d ∩ a Suy A = d ∩ (α ) Nhận xét : Vấn đề toán xác định cho đường thẳng a Vậy vấn đề chọn cho mặt phẳng phụ ( β ) hợp lí nhất, để việc tìm giao tuyến mặt phẳng (α ) ( β ) dễ dàng Nếu chọn không tốt công việc tìm giao tuyến khó dài GV giúp học sinh tư cách nên chọn mặt phẳng phụ hợp lí ? 3.2.2 Một số thí dụ Bài : Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB AD cho AJ = AD Tìm giao điểm đường thẳng IJ với mp(BCD) Nhận xét : - HS dễ dàng phát đường thẳng a đường thẳng BD - GV cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt hai đường thẳng phải nằm mặt phẳng không song song Lời giải : AJ AI = ≠ = , Suy ra: IJ không song song BD AD AB  K ∈ IJ Trong ( ABD) gọi K = IJ ∩ BD ⇒   K ∈ BD ⊂ ( BCD ) Trong ∆ABD có : Vậy K = IJ ∩ (BCD) Nhận xét: 11 Theo phương pháp giáo viên đưa học sinh phải trải qua bước, học sinh có cách nhìn nhận vấn đề tốt khơng cần trải qua ba bước, mà học sinh giải toán cách thẳng vào vấn đề Trong trường hợp HS chưa nhận đường thẳng a BD ta phải hướng dẫn học sinh qua ba bước Bước 1: Chọn mặt phẳng phụ ( ABD) chứa IJ Bước 2: ( ABD) ∩ ( BCD) = BD Bước 3: Trong ( ABD) gọi K = IJ ∩ BD Suy K = IJ ∩ (BCD) Vậy K giao điểm cần tìm Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AB // CD) Gọi I, J trung điểm SA SB, M điểm tùy ý thuộc đoạn SD a) Tìm giao điểm đường thẳng BM với mp(SAC) b) Tìm giao điểm đường thẳng IM với mp(SBC) c) Tìm giao điểm đường thẳng SC với mp(IJM) Nhận xét: Câu a: - HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC Khơng nhìn đường thẳng nằm mp(SAC) để cắt BM - GV gợi ý cho HS biết chọn mp phụ chứa BM mp(SBD) xác định giao tuyến 2mp(SBD) (SAC) Câu b: - HS gặp khó khăn khơng nhìn đường nằm mp(SBC) để cắt IM - GV cần hướng dẫn HS chọn mp phụ thích hợp chứa IM 12 Câu c: - Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SC tìm giao tuyến mp với mp(IJM) Có mp chứa SC? - GV hướng dẫn HS chọn mp cho việc tìm giao tuyến với (IJM) thuận lợi Lời giải: a) Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa BM Xét mp(SAC) (SBD) có S điểm chung thứ (1) Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O điểm chung thứ hai (2) Từ (1) (2) ⇒ SO = (SAC) ∩ (SBD) Trong mp(SBD) có BM cắt SO P Vậy P = BM ∩ (SAC) b) Chọn mặt phẳng phụ (SAD) chứa IM Xét hai mp(SAD) (SBC) có: S điểm chung thứ Gọi E = AD ∩ BC ⇒ E điểm chung thứ hai ⇒ SE = (SAD) ∩ (SBC) Trong mp(SAE) có IM cắt SE F Vậy F = IM ∩ (SBC) c) Chọn mặt phẳng phụ (SBC) chứa SC Xét mp(IJM) (SBC) ta có : JF = (IJM) ∩ (SBC) Trong mp(SBE) có JF cắt SC H Vậy H = SC ∩ (IJM) Bài : Cho hình chóp S.ABCD có AB CD không song song Gọi M điểm thuộc miền ∆SCD a) Tìm giao điểm N đường thẳng CD mp(SBM) b) Tìm giao tuyến hai mp(SBM) (SAC) c) Tìm giao điểm I đường thẳng BM mp(SAC) d) Tìm giao điểm P đường thẳng SC mp(ABM), từ suy giao tuyến hai mp(SCD) (ABM) e) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(ABM) Lời giải : a) Trong mp(SCD) có SM cắt CD N  N ∈ SM  N ∈ ( SBM ) ⇒ ⇒ ⇒ N = CD ∩ ( SBM )  N ∈ CD  N ∈ CD b) Trong mp(ABCD), ta có: AC ∩ BD = O 13 O ∈ AC O ∈ ( SAC ) ⇒ ⇒ ⇒ SO = ( SAC ) ∩ ( SBN ) c) Trong mp(SBN), ta có BM O ∈ BN O ∈ ( SBN ) cắt SO I Mà SO ⊂ (SAC) ⇒ I = BM ∩ (SAC) d) Trong mp(SAC), ta có SC cắt AI P Mà AI ⊂ (ABM) ⇒ P = SC ∩ (ABM) Trong mp(SCD), ta có PM cắt SD K  K ∈ PM  K ∈ ( ABM ) ⇒ ⇒ ⇒ PK = ( ABM ) ∩ ( SCD)  K ∈ SD  K ∈ ( SCD ) (ABM) ∩ (ABCD) = AB (ABM) ∩ (SBC) = BP (ABM) ∩ (SCD) = PK (ABM) ∩ (SAD) = KA Vậy tứ giác ABPK thiết diện cần tìm e) Ta có : 3.2.3 Bài tập rèn luyện thêm: Bài : Cho hình bình hành ABCD nằm mp(P) điểm S nằm mp(P) Gọi M điểm nằm S A; N điểm nằm S B; giao điểm hai đường thẳng AC BD O a) Tìm giao điểm đường thẳng SO với mp(CMN) b) Tìm giao tuyến hai mp(SAD) (CMN) c) Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mp(CMN) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD.Trong ∆SBC lấy điểm M, ∆SCD lấy điểm N a) Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp(SAC) b) Tìm giao điểm SC với mp(AMN) c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mp(AMN) Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Gọi E điểm thuộc đoạn AN ( không trung điểm AN) Q điểm thuộc đoạn BC a) Tìm giao điểm EM với mp(BCD) b) Tìm giao tuyến hai mp(EMQ) (BCD) ; (EMQ) (ABD) c) Tìm thiết diện cắt tứ diện mp(EMQ) 3.3 Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α) 3.3.1 Phương pháp: (Định lí SGK trang 61)  d ⊄ (α )  Tóm tắt: Nếu d / / a d // (α)  a ⊂ (α )  Nhận xét: Vấn đề nêu lên đường thẳng a có hình vẽ hay chưa, xác định nào, làm để xác định GV cần làm cho HS biết hướng giải toán dựa vào giả thiết toán mà xác định đường thẳng a cho phù hợp 14  a / /(α )  Định lí 2: (SGK trang 61) Nếu a ⊂ ( β ) (α ) ∩ ( β ) = b  a // b (α ) / / d  Hệ quả: Nếu ( β ) / / d (α ) ∩ ( β ) = a  (hình 6) a // d (hình 5) 3.3.2 Một số thí dụ Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ACB.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’ a) Tìm giao tuyến hai mp(AB’C’) (ABC) b) Chứng minh CB’ // (AHC’) Lời giải:  A ∈ ( AB ' C ')  A ∈ ( ABC ) C' a) Ta có :  H A' B' ⇒A điểm chung (AB’C’) (ABC)  B ' C '/ / BC  Mà  B ' C ' ⊂ ( AB ' C ')  BC ⊂ ( ABC )  I nên (AB’C’) ∩ (ABC) = Ax Ax // BC // B’C’ b) Ta có tứ giác AA’CC’ hình bình hành Suy A’C cắt AC’ trung điểm I đường Do IH // CB’ (IH đường trung bình C A x ∆CB’A’) B Mặt khác IH ⊂ (AHC’) nên CB’ // (AHC’) Bài : Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trọng tâm ∆ABD ∆ACD Chứng minh : a) MN // (BCD) b) MN // A (ABC) Lời giải : a) Gọi E trung điểm BD ; F trung điểm CD Trong ∆ABD ta có: AM = (M trọng tâm ∆ABD) AE 15 M N B E D F C Trong ∆ACD ta có: Vậy AN = (N trọng tâm ∆ACD) AF AM AN = ⇒ MN / / EF AE AF Mà EF ⊂ (BCD) ⇒ MN // (BCD) b) Trong ∆BCD có : EF đường trung bình ⇒ EF // BC ⇒ MN // EF // BC ⇒ MN // (ABC) Bài 3: (Bài trang 63 sgk) Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng a) Gọi O O’ tâm ABCD ABEF Chứng minh OO’ song song với (ADF) (BCE) b) Gọi M N trọng tâm ∆ABD ∆ABE Chứng minh : MM // (CEF) Lời giải: C D O A B O' F E a) Ta có : OO’ // DF (OO’ đường trung bình ∆BDF ) Mà DF ⊂ (ADF) ⇒ OO’ // (ADF) Ta có : OO’ // CE (OO’ đường trung bình ∆ACE ) Mà CE ⊂ (BCE) ⇒ OO’ // (BCE) C D O M H A B N O' F E b) Gọi H trung điểm AB Ta có : HM HN = = HD HE ⇒ MN // DE mà DE ⊂ (CEFD) ≡ (CEF) Vậy MN // (CEF) 16 3.4 Chứng minh hai mp(α) mp(β) song song 3.4.1 Phương pháp : (Định lí SGK trang 64) Tóm tắt :  a, b ⊂ ( P )  Nếu a ∩ b = I (P) // (Q)  a / /(Q), b / /(Q)  * Nhận xét : Tương tự toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, vấn đề đặt chọn hai đường thẳng a, b nào? Nằm mặt phẳng (P) hay mp(Q)? GV cần hướng dẫn, gợi mở cho HS phát vấn đề tốn Khi ta có bước : Bước : Chứng minh đường thẳng a / /(Q) Bước : Chứng minh đường thẳng b / /(Q) Bước : Kết luận Lưu ý : đường thẳng a b phải cắt chứa mặt phẳng ( P) (α ) / /( β ) (γ ) ∩ ( β ) = b  (γ ) ∩ (α ) = a a / /b Định lí 3: Nếu  3.4.2 Một số thí dụ Bài : Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD, AC cắt BD O Gọi M, N trung điểm SC, CD Chứng minh (MNO) // (SAD) Lời giải : Trong ∆SCD có MN đường trung bình ⇒ MN // SD mà SD ⊂ (SAD) ⇒ MN // (SAD) (1) Trong ∆SAC có MO đường trung bình ⇒ MO // SA mà SA ⊂ (SAD) ⇒ MO // (SAD) (2) Từ (1) (2) suy (MNO) // (SAD) Bài 2: Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N cắt AD AF M’ N’ Chứng minh rằng: a) mp(ADF) // mp(BCE) b) mp(DEF) // mp(MM’N’N) Nhận xét: HS dễ dàng chứng minh câu a, câu b GV nên hướng dẫn cho HS biết cách vẽ hình, nhận xét hai đường thẳng AC BF 17 nhau, từ gợi mở cho HS biết chứng minh hai đường thẳng MM’ M’N’ song song với mp(DEF) dựa vào định lí Talét đảo Lời giải: AF // BE ⊂ (BCE) AD // BC ⊂ (BCE) ⇒AF AD song song với mp(BCE) Mà AF, AD ⊂ (ADF), Suy ra: (ADF) // (BCE) b) Ta có: MM’ // AB mà AB // EF ⇒ MM’ // EF ⊂ (DEF) a) Ta có: AM ' AM (1) = AD AC AN ' BN (2) = NN’ // AB ⇒ AF BF AM BN (3) = Mà AM = BN, AC = BF ⇒ AC BF AM ' AN ' = ⇒ M ' N '/ / DE ⊂ ( DEF ) Từ (1), (2) (3) ⇒ AD AF (*) Mặt khác : MM’ // CD ⇒ (**) Mà MM’, M’N’ ⊂ (MM’N’N) (***) Từ (*), (**), (***) ⇒ (DEF) // (MM’N’N) Bài 3: (Bài trang 71 sgk) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh hai mp(BDA’) (B’D’C) song song b) Chứng minh đường chéo AC’ qua trọng tâm G G2 hai tam giác BDA’ B’D’C Lời giải:  BD / / B ' D ' ⇒ BD / /(CB ' D ')  B ' D ' ⊂ (CB ' D ')  A' D / / B 'C ⇒ A ' D / /(CB ' D ')   B ' C ⊂ (CB ' D ') a) Ta có:  18  BD, A ' D / /(CB ' D ') ⇒ ( BDA ') / /(CB ' D ')  BD, A ' D ⊂ ( BDA ') Ta có :  b) Ta có : CC’ // BB’ // AA’ CC’ = BB’ = AA’ nên AA’C’C hình bình hành Gọi I tâm hình bình hành AA’C’C Gọi O, O’ tâm hình bình hành ABCD A’B’C’D’ Trong mp(AA’C’C) gọi G1 = AC’ ∩ A’O ; G2 = AC’ ∩ CO’ ⇒ G1 , G2 trọng tâm ∆AA’C CC’A’ ⇒A’G = 2G1O CG2 = 2G2O’ (*) Xét hai ∆BDA’ B’D’C có A’O CO’ hai trung tuyến nên từ (*) suy G , G2 trọng tâm ∆BDA’ ∆B’D’C 3.4.3 Bài tập rèn luyện thêm Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA 1) Xác định giao tuyến d hai mp (MBD) (SAC) Chứng tỏ d // mp(SCD) 2) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp (MBC) Thiết diện hình gì? Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi E điểm thuộc miền tam giác SCD 1) Tìm giao tuyến hai mp(SAC) (SBE) Tìm giao điểm BE với (SAC) 2) Xác định thiết diện tạo hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (ABE) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SB, SC 1) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Tìm giao điểm H đường thẳng AN mặt phẳng (SBD) 2) Gọi I giao điểm AM DN Chứng minh SI // (ABCD) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SC 1) Tìm giao tuyến mp(ABM) mp(SBD) 2) Gọi N giao điểm SD với mp(ABM).Chứng minh MN // mp(SAB) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O 1) Xác định giao tuyến mp ( SAB ) (SCD) Gọi I trung điểm SA , tìm giao điểm IC mp(SBD) 2) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(IBC) Bài 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy lớn Gọi M, N hai điểm hai cạnh SA , SB cho AM = 2SM 3SN = SB 1) Tìm giao tuyến (SAD) (SBC), (SAB) (SCD) 2) Chứng minh MN song song với mp(SCD) Bài 7: Cho hình chóp đỉnh S có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh SB SC 1) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng : (SAD) (SBC) 2) Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) 3) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMN) 19 Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD cạnh đáy không song song Gọi M điểm nằm mặt phẳng (SCD) 1) Tìm giao tuyến hai mặt (SAB) (SCD) 2) Tìm thiết diện mặt phẳng (P) qua M song song với CD SA Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD hình bình hành Trên hai cạnh SA, SB lấy hai điểm M, N cho: SM SN = SA SB 1) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng : (SAC) (SBD) ; (ADN) (SBC) 2) Chứng minh MN // (SCD) 3.5 Hiệu giải pháp: Qua trình giảng dạy đúc kết kinh nghiệm nhận thấy để dạy cho học sinh học tốt mơn hình học khơng gian cần phải hệ thống lại kiến thức, nắm phương pháp chứng minh, lập luận chặt chẽ, lơgíc,…Ngồi cần giúp cho học sinh tư hình ảnh, rèn kỹ vẽ hình Từ giúp học sinh tiếp thu kiến thức ngày tốt hơn, hiệu giảng dạy giáo viên nâng dần Kết thực nghiệm: Kết kiểm tra đánh giá sau ôn tập nội dung cho lớp 11A2, 11A4, 11A8 năm học 2018 – 2019 sau: (kết kiểm tra tiết hình học – lần 3) Lớp 11A2 11A4 11A8 Tỉ lệ Sĩ số X < 3.5 3.5 ≤ X < 5.0 5.0 ≤ X < 6.5 6.5 ≤ X < 8.0 8.0 ≤ X 32 31 33 0,0 0,0 15,15 3,13 16,13 18,18 28,13 48,39 24,24 43,75 25,81 33,33 25,0 9,68 9,09 CHƯƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 4.1 Ý nghĩa giải pháp: 20 Trên TB 96,88 83,87 66,67 Nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập, góp phần nâng cao hiệu giảng dạy cho thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng rộng rãi cho học sinh khối 11 Khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm phương pháp đặt vấn đề, phân tích, hướng dẫn học sinh giải vấn đề 4.2 Bài học kinh nghiệm hướng phát triển Như nêu trên, muốn cho học sinh học tốt mơn hình học khơng gian giáo viên cần phải có số kỹ sau: - Kỹ vẽ hình trình bày lời giải - Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề, giúp học sinh biết tư trực quan hình vẽ Giáo viên phải tâm huyết, nhiệt tình, gương mẫu quan tâm đến học sinh, giúp đỡ em để em không cảm thấy áp lực học tập Ln tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập học sinh Phải thường xuyên học hỏi trau dồi chuyên môn để tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh 4.3 Đề xuất kiến nghị Nhằm giúp cho học sinh học tốt với mơn hình học khơng gian, thân kiến nghị với Ban giám hiệu có kế hoạch mua bổ sung thiết bị dạy học, trang bị thêm phòng giáo án điện tử,… Tổ chuyên môn cần tổ chức hội giảng, buổi trao đổi phương pháp giảng dạy, nhằm giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi Trong dạy học cần bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, nhấn mạnh kiến thức trọng tâm, phương pháp chứng minh phục vụ trình làm tập Ngồi cần hình thành cho học sinh kỹ vẽ hình Nắm vững yếu tố giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày tốt Từ góp phần nâng cao hiệu giảng dạy TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồng Đức, Bài Giải Và Lời Giải Chi Tiết Hình Học 11, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Trần Văn Hạo, Sách Giáo Khoa Hình Học 11, NXB giáo dục Việt Nam Nguyễn Văn Nho, Phương Pháp Giải Toán Chuyên Đề Hình Học 11, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 21 Lê Hồnh Phò, Phương Pháp Giải Các Chủ Đề Căn Bản Hình Học 11, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Quang Sơn, Các Chuyên Đề Và Nâng Cao Phát Triển Hình Học 11, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 22 ... TRIỂN KĨ NĂNG CƠ BẢN TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 – CHƯƠNG QUAN HỆ SONG SONG MỤC LỤC CHƯƠNG CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP 1.1 Sự cần thiết hình thành giải pháp Trong. .. Khoa Hình Học 11, NXB giáo dục Việt Nam Nguyễn Văn Nho, Phương Pháp Giải Toán Chuyên Đề Hình Học 11, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 21 Lê Hồnh Phò, Phương Pháp Giải Các Chủ Đề Căn Bản Hình Học 11, ... nhỏ giúp em học sinh có sở, phương pháp giải số tốn bắt buộc sách giáo khoa Hình học lớp 11A2, 11A4, 11A8, cung cấp cho giáo viên số nội dung giảng dạy mơn hình học khơng gian lớp 11 cách có hiệu