Viết phương trình đường thẳng trong không gian

Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc - VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN (SKKN xếp loại C cấp tỉnh năm học 2009-2010) Tác giả: Trần Tuấn Ngọc Giáo viên trường THPT Nguyễn Quán Nho ĐẶT VẤN ĐỀ Năm học 2009-2010 năm học tiếp tục thực vận động “Học tập làm theo gương đạo đức Hồ Chí Minh”, “Hai khơng_bốn nội dung”, “Mỗi thầy cô gương đạo đức, tự học tự sáng tạo”, với chủ đề “Năm học đổi quản lí nâng cao chất lượng giáo dục” với phong trào xây dựng “trường học thân thiện, học sinh tích cực” Nghị TW2 khố VIII khẳng định “ Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy truyền thụ chiều, rèn luyện nều tư cho người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, đại vào q trình dạy học” Do q trình dạy học địi hỏi đội ngũ thầy giáo phải tích cực học tập, khơng ngừng nâng cao lực chuyên môn, đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, bồi dưỡng khả tự học, khả vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại say mê, hứng thú học tập cho học sinh Trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh gặp nhiều lúng túng việc giải tốn hình học tọa độ nói chung, có nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, theo tơi, ngun nhân chủ yếu học hình học toạ độ, học sinh “giải hình học đại số”, khơng để ý đến tính chất hình học Các phương pháp giải cịn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp tốn trọng tìm cách giải cho riêng tốn mà khơng có cách nhìn tổng qt Chính vậydẫn đến tình trạng em bị lúng túng trước câu hỏi câu hỏi xoay quanh vấn đề: Viết phương trình đường thẳng khơng gian Với vai trị giáo viên dạy Toán qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi thầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm hướng giải đơn giản cho toán, làm cho học sinh nhớ kiến thức sở để sáng tạo Tơi xin trình bày số kinh nghiệm việc giải tốn Viết phương trình đường thẳng khơng gian : “Phân dạng định hướng cách giải cho toán viết phương trình đường thẳng khơng gian” CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong chương trình Sách giáo khoa có đề cập đến hai dạng phương trình đường thẳng:Phương trình tham số phương trình tắc Như để xác định phương trình đường thẳng hai dạng trên, người học phải xác định được: +) Điểm mà đường thẳng qua +) Véctơ phương đường thẳng www.sangkienkinhnghiem.com ………… - -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc Nhưng trường hợp, ta tìm cách dễ dàng hai đại lượng nói trên, nhiều vấn đề khác toán học Bài toán viết phương trình đường thẳng chủ yếu có hai dạng: tường minh không tường minh Dạng tường minh: - Các đại lượng để giải tốn đề cho sẵn, dạng toán chủ yếu để người học củng cố cơng thức - Với tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian, dạng tường minh theo tơi là: Viết phương trình tham số (hoặc tắc)của đường thẳng biết: 1) Hai điểm mà đường thẳng qua 2) Một điểm mà đường thẳng qua véctơ phương Dạng không tường minh: - Các đại lượng để giải toán ẩn số điều kiện định đó, dạng tốn đòi hỏi người học phải biết kết hợp kiến thức, có tư logíc tốn học, vận dụng linh hoạt điều kiện có đề Trong đề tài tơi xin bàn dạng tốn khơng tường minh, dạng tốn chủ yếu xuất kì thi, học sinh thường găph phải khó khăn dạng tốn này, trước hết tơi xin chia nhỏ thành hai tốn: Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng khơng gian biết điểm qua Ở toán đề cho biết điểm qua,không cho trực tiếp phương đường thẳng, buộc học sinh phải xác định phương đường thẳng dựa vào điều kiện khác toán Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn số điều kiện cho trước Ở tốn đề khơng cho trực tiếp điểm qua phương đường thẳng, buộc học sinh phải xác định đại lượng dựa vào điều kiện tốn Ngồi việc phân dạng toán, cần phải hướng dẫn cho học sinh định hướng cách giai đứng trước tốn Trong tốn Viết phương trình đường thẳng không gian, người học cần ý đến điều kiện xác định đường thẳng không gian, đặc biệt ý đền hai điều kiện xác định đường thẳng sau: +) Biết hai điểm qua +) Biết hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Và hướng giải chủ yếu cho tốn mà tơi đưa ra: Định hướng thứ nhất: Tìm hai điểm mà đường thẳng qua Khi xác định hai điểm qua hiển nhiên ta có hai đại lượng cần thiết để hình thành phương trình dạng tham số dạng tắc Định hướng thứ hai: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Một vấn đề đặt là: phương trình dạng tổng quát đường thẳng khơng trình bày sách giáo khoa, học sinh để dạng tổng qt có chấp nhận hay không? không chấp nhận làm nào? Các khắc phục khơng có khó khăn, bạn hướng dẫn học sinh chuển dạng tham số thơng qua ví dụ sau: Ví dụ 1: (Cách thứ nhất) Đường thẳng ∆ tập hợp điểm có tọa độ thoả mãn hệ: x − y + 2z − =  2 x + y + z − = Ta đặt ẩn làm tham số www.sangkienkinhnghiem.com ………… - -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc  x − y − + 2t = 3 x − + 3t =  x = − t ⇒ ⇒ Đặt: z = + t ⇒  2 x + y + t = 2 x + y + t =  y = −2 + t Vậy ta có phương trình dạng tham số ∆ x = 1− t   y = −2 + t ( t ∈ R ) z = 1+ t  Ví dụ 2: (Cách thứ hai) Đường thẳng ∆ tập hợp điểm có tọa độ thoả mãn hệ:  x − y + z − = ( α ) ( I)   x + y + z − = ( β ) +) Điểm qua: Với z = thay vào hệ (I) ta có: x − y = x = ⇔ ( I)  2 x + y =  y = −2 Suy ∆ qua M ( 1; −2;1) +) Đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng nên có véctơ phương tích có hướng hai mặt phẳng uur uur uur u∆ =  nα , nβ  = ( −3;3;3) Vậy ∆ có phương trình dạng tham số:  x = − 3t   y = −2 + 3t  z = + 3t  ( t ∈ R) Ngoài trường hợp cụ thể, với mối quan hệ toán cần hướng cho học sinh sáng tạo, tìm tịi cách giải CƠ SỞ THỰC TIỄN Sau nghiên cứu áp dụng vào tiết dạy cho học sinh, thấy học sinh khơng cịn lúng túng trước tốn hình học dạng nữa, mà sau số tập định, em nắm nguyên tắc để giải toán “ Xác địn điểm qua véctơ phương” Đa số em học sinh từ trung bình trở lên tự tin làm hết tập SGK tập sách tập hình học nâng cao 12 Các em tự đặt câu hỏi: Còn cách giải khác cho tốn khơng? Từ kích thích tị mị tìm cách giải cho tốn cụ thể có nhiều em tìm số lời giải độc đáo khác cho toán Biết kết hợp kiến thức học để giải tốn hình học khó NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI Trên sở kiến thức hình học giải tích trình bày sách giáo khoa Hình học 12 Kiến thức đường thẳng không gian lớp 11.Tôi xin trình bày nội dung đề tài số Bài toán mà phương pháp giải toán rút từ hai định hướng cớ nêu Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng không gian biết điểm qua +) Điểm qua cho đề +) Phương đường thẳng xác định thông qua đại lượng, mối quan hệ tốn Ví dụ www.sangkienkinhnghiem.com ………… - -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M ( 1; 2;3) vng góc với mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : M ( 1; 2;3) +) Mặt phẳng (α) ⇔ có tọa độ điểm thuộc mặt phẳng véctơ pháp tuyến: uur nα ( 2; −3;1) +) Quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Các cách giải: Cách 1: Vì đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (α) nên song song trùng với giá véctơ pháp uur tuyến mặt phẳng (α).Vậy ∆ nhận nα ( 2; −3;1) làm véctơ phương nên có phương trình dạng tham số:  x = + 2t  ( t ∈ R)  y = − 3t z = +1  Cách 2: Vì đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (α) nên ∆ tập hợp điểm N ( x; y; z ) cho: uuuu r uur  x − = 2t  x = + 2t  MN = tnα   ⇔  y − = −3t ⇔  y = − 3t ( t ∈ R ) ( I )  t ∈ R z − = t z = + t   Hệ (I) phương trình dạng tham số đường thẳng ∆ (Cách giải thứ đề xuất từ học sinh) Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M ( −1;2;5 ) song song với hai mặt phẳng: ( P ) :3 x + y − z + = ( Q ) :2 x − y + z − = Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : M ( −1; 2;5 ) +) Hai mặt phẳng : uur (P) ⇔ có véctơ pháp tuyến: nP ( 3;1; −5 ) uur (Q) ⇔ có véctơ pháp tuyến: nQ ( 2; −1;1) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ song song với hai mặt phẳng, suy có phương vng góc với hai véctơ pháp tuyến hai mặt phẳng 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Từ mối qua hệ đường thẳng ∆ với hai mặt phẳng (P) (Q) dẫn đến đường thẳng ∆ có r uur uur phương u =  nP ; nQ  = ( −4; −13; −5 ) Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tắc: www.sangkienkinhnghiem.com ………… - -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc x +1 y − z − ∆: = = −4 −13 −5 Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng qua điểm A ( −2;1;3) , cắt hai x −1 y − z +1 x + y − z +1 = = = = đường thẳng ∆1 : ∆ : −1 −1 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : A ( −2;1;3) ur +) Đường thẳng ∆1 qua điểm M ( 1; 2; −1) có véctơ phương u1 ( 1; −1;1) uu r +) Đường thẳng ∆ qua điểm N ( −2;3; −1) có véctơ phương u2 ( −1; 2;1) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng ∆1 ∆ 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Từ mối quan hệ ta có hai hướng giải sau: Định hướng 1: +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 nên xác định mặt phẳng ( α ) +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆ nên xác định mặt phẳng ( β ) Vậy đường thẳng ∆ giao hai mặt phẳng ( α ) ( β ) Định hướng 2: +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 P +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆ Q Vậy đường thẳng ∆ đường thẳng PQ Từ dẫn đến cách giải Cách giải: Cách 1: • Gọi ( α ) mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt ∆ ∆1 uuuu r ur Vậy ( α ) có hai phương AM ( 3;1; −4 ) u1 ( 1; −1;1) , suy pháp tuyến ( α ) : uur uuuu r ur nα =  AM ; u1  = ( −3; −7; −4 ) • Gọi ( β ) mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt ∆ ∆ uuur uu r Vậy ( β ) có hai phương AN ( 0; 2; −4 ) u2 ( −1; 2;1) , suy pháp tuyến ( α ) : uur uuur uu r nβ =  AN ; u2  = ( 10; 4; ) r uur uur u =  nα ; nβ  = ( 2; −34;58 ) Suy đường thẳng cần tìm có phương:  x = −2 + t  Hay ∆ có phương trình: ∆ :  y = − 17t  z = + 29t  Cách 2: Gọi P giao điểm ∆ ∆1 P ∈ ∆1 ⇒ P ( + t ; − t ; −1 + t ) www.sangkienkinhnghiem.com ………… - -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc Gọi Q giao điểm ∆ ∆ Q ∈ ∆ ⇒ Q ( −2 − t ';3 + 2t '; −1 + t ' ) Mặt khác ba điểm P, A, Q thuộc đường thẳng ∆ nên thẳng hàng hay: uuu r uuu r QA ( t '; −2 − 2t '; − t ' ) , PA ( −3 − t ; −1 + t ; − t )  t ' = 15 t ' = −3k − tk t '+ 3k + tk =  uuu r uuu r    QA = k PA ⇔ −2 − 2t ' = −k + tk ⇔ 2t '− k + tk = −2 ⇔ k = 15 4 − t ' = 4k − tk t '+ 4k − tk =    26  tk = − 15  u u u r r  34 58  Với t ' = ta có : QA  ; − ; ÷ Hay đường thẳng ∆ có phương: u ( 1; −17; 29 ) qua 15  15 15 15  ∆1 x + y −1 z − ∆: = = A nên có phương trình: −17 29 P Cách 3: uuuu r ur uuur uu r Ta có:  AM ; u1  = ( −3; −7; −4 ) ,  AN ; u2  = ( 10; 4; ) • A r 2 Gọi u ( a; b; c ) a + b + c ≠ phương đường ∆2 Q thẳng ∆ cần tìm uuuu r ur r +) Ba vectơ AM , u1 , u đồng phẳng uuuu r ur r ⇔  AM , u1  u = ⇔ 3a + 7b + 4c = ( 1) uuur uu r r +) Ba vectơ AN , u2 , u đồng phẳng uuur uu r r ⇔  AN , u2  u = ⇔ 10a + 4b + 2c = ( ) Từ (1) (2): 3a + 7b + 4c = 3a + 7b − 20a − 8b = b = −17 a ⇔ ⇔  5a + 2b + c = c = −5a − 2b c = 29a r Vì a + b + c ≠ ⇒ a ≠ véctơ u ( a; −17 a; 29a ) hay đường thẳng cần tìm có phương r u ( 1; −17; 29 ) qua A nên có phương trình: x + y −1 z − ∆: = = −17 29 Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A ( 1; 2;3) đồng thời vuông ( )  x = − 2t x −1 y + z −  = = góc với d1 cắt d2:biết d1 :  y = + 4t , d : −1 z = − t  Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +)Điểm qua đường thẳng cần tìm : A ( 1; 2;3) ur +)Đường thẳng d1 qua điểm M ( 6;1; ) có véctơ phương u1 ( −2; 4; −1) www.sangkienkinhnghiem.com ………… - -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc uu r +) Đường thẳng d qua điểm N ( 1; −2;3) có véctơ phương u2 ( 2;1; −1) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt d Đường thẳng ∆ vng góc với d1 (có thể cắt không cắt) 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Từ mối quan hệ ta có hai hướng giải sau: Khơng thể dựa vào điều kiện ∆ cắt d1 mối qua hệ không chắn xảy Định hướng 1: (Xác định điểm qua) +)Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d P uuur ur uuur ur +)Đường thẳng ∆ vng góc với d1 nên AP ⊥ u1 ⇔ AP.u1 = Suy đường thẳng ∆ đường thẳng PA Định hướng 2: +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d nên xác định mặt phẳng ( α ) +) Đường thẳng ∆ vng góc với d1 nên xác định mặt phẳng ( β ) qua A vng góc với d1 Vậy đường thẳng ∆ giao hai mặt phẳng ( α ) ( β ) Từ dẫn đến cách giải Cách giải: Cách 1: Gọi giao đường thẳng ∆ với d P, suy P ∈ d hay P ( + 2t ; −2 + t ;3 − t ) uuur Véctơ AP ( 2t ; t − 4; −t ) Mặt khác ∆ vng góc với d1 nên: uuur ur uuur ur AP ⊥ u1 ⇔ AP.u1 = ⇔ −4t + 4t − 16 + t = ⇔ t = 16 uuur x −1 y − z − = = Suy AP ( 32;12; −16 ) , hay ∆ : −4 Cách 2: Gọi ( α ) mặt phẳng xác định ∆ d uur uuu r uu r nα =  NA, u2  = ( −4;0; −8 ) Mặt khác ( α ) chứa ∆ nên qua A ( α ) : x + z − = ur Gọi ( β ) mặt phẳng qua A vuông góc với d1 , nên nhận u1 ( −2; 4; −1) véctơ pháp tuyến ( β ) : 2x − y + z + = r uur uur Ví ∆ giao ( α ) ( β ) nên có phương u =  nα , nβ  = ( 8;3; −4 )  x = + 8t  Phương trình đường thẳng ∆ :  y = + 3t  z = − 4t  ( t ∈ R) Ngồi hai cách giải trên, ta cịn tìm trực tiếp véctơ phương r Cách 3: Gọi u ( a; b; c ) phương đường thẳng ∆ cần tìm a + b + c ≠ uuu r uu r r Vì ∆ cắt d nên ba véctơ NA; u2 u đồng phẳng: www.sangkienkinhnghiem.com ………… - -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc uuu r uu r r  NA, u2  u = ⇔ 4a + 8c = ⇔ a = −2c ( 1)   r ur Mặt khác ∆ ⊥ d1 ⇔ u.u1 = ⇔ −2a + 4b − c = ( 2) 3c + 4b = ⇔ 3c = −4b Từ (1) (2) ta có: b = Chọn c = −4 ⇒  a =  x = + 8t  Vậy ∆ có phương trình: ∆ :  y = + 3t  z = − 4t  ( t ∈ R) Cách 4: Gọi K ( x; y; z ) K thuộc đường thẳng cần tìm uuur uuu r uu r uuur uuu r uu r  AK  NA, u2  =  AK ; NA; u2 đồng   ( I)  uuur ur phẳng ⇔  uuur ur  AK u1 =  AK ⊥ u1 − x + 2z − =  ( x − 1) − ( z − 3) = ⇔ ⇔ 2 x − y + z + = −2 ( x − 1) + ( y − ) − ( z − 3) = Đặt z = t:  x = − 2t  x = − 2t  ⇔  17 14 − 4t − y + t + =  y = − t  4  x = − 2t  17  ∆ : Vậy, đường thẳng cần tìm có phương trình y = − t 4  t  z = ( t ∈ R) Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A ( 3; −2; −1) , vng góc x = 3+ t  cắt đường thẳng d :  y = − 5t  z = −1 + 2t  Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : A ( 3; −2; −1) r +) Đường thẳng d qua điểm M ( 3; 4; −1) có véctơ phương u ( 1; −5; ) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt d Đường thẳng ∆ vng góc với d 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Từ định hướng trên, học sinh giải Ví dụ5 với đầy đủ cách Ví dụ4 Cách giải:uuuu r AM ( 0;6;0 ) uur uuuu r r Gọi ( α ) mặt phẳng qua A chứa d nα =  AM , u  = ( 12;0; −6 ) www.sangkienkinhnghiem.com ………… - -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc uur r Gọi ( β ) mặt phẳng qua A vng góc với d nβ = u ( 1; −5; ) ur uur uur Vậy đường thẳng cần tìm có phương: u1 =  nα ; nβ  = ( −30; −30; −60 ) x − y + z +1 = = Phương trình đường thẳng ∆ : 1 Qua ví dụ cho thấy, tốn khơng phải có cách giải mà tốn, trường hợp, học sinh định hướng cho nhiều cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm tốn Có cách giải hiệu tốn gặp khó khăn tốn khác Như ví dụ sau: Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) : x − y + z + 17 = mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + ) = Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với mặt cầu (S) biết tiếp tuyến 2 qua M ( 1;8; ) song song với mặt phẳng (α) Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : M ( 1;8; ) uur +) Mặt phẳng ( α ) có véctơ pháp tuyến nα ( 2; −1; ) +) Mặt cầu ( S ) có tâm bán kính I ( 1;3; −2 ) , R = +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ / / ( α ) Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇔ khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ R 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Từ định hướng trên, học sinh giải Ví dụ5 với đầy đủ cách Ví dụ4 Cách giải: r Gọi u ( a; b; c ) phương đường thẳng ∆ cần tìm a + b + c ≠ Vì ∆ / / ( α ) nên ta có: r uur u.nα = ⇔ 2a − b + 2c = ⇔ b = 2a + 2c ( 1) uuur r uuur r +) IM ( 0;5; ) , u ( a; b; c ) ,  IM , u  = ( 5c − 4b; 4a; −5a ) Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) uuur r 2  IM , u  ( 5c − 4b ) + ( 4a ) + ( −5a )   d ( I, ∆) = R ⇔ =R⇔ =3 r u a + b2 + c2 ⇔ ( 5c − 4b ) + ( 4a ) + ( −5a ) = a + b + c ( 8a + 3c ) + ( 4a ) + ( −5a ) = a + ( 2a + 2c ) + c 2 ( 2) Từ (1) (2) ta có: ⇔ 2 ⇔ 105a + 48ac + 9c = 45a + 72ac + 45c www.sangkienkinhnghiem.com ………… - -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc a c =1 a = c 2 ⇔ ⇔ 5a − 2ac − 3c = ⇔  5a = −3c a = −  c 2 a ≠ Vì a + b + c ≠ suy b = x −1 y − z − = = Nếu a = c chọn a = ⇒  Tiếp tuyến cần tìm: ∆1 : c = b = x −1 y − z − = = Nếu 5a = −3c chọn a = −3 ⇒  Tiếp tuyến cần tìm: ∆ : −3 c = Vậy qua M có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề x −1 y − z − x −1 y − z − ∆1 : = = = = ∆ : −3 Như tốn giải khơng khó khăn!nhưng sử dụng cách khácthì giải được, nhiên phức tạp Ví ta dùng xác định hai điểm qua: Đề cho điểm nên ta chi cần xác định thêm điểm Điểm tìm tiếp điểm Cách khác: Gọi K ( x; y; z ) tọa độ tiếp điểm ta tìm K nhờ điều kiện sau: uuuu r uur uur uuuu r +) K ∈ ( S ) , +) MK nα = , +) IK MK = Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn số điều kiện cho trước Cả điểm qua phương đường thẳng xác định thông qua đại lượng cho trước mối quan hệ hình học Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ biết vng góc với mặt phẳng (P) : x + y − z − = cắt hai đường thẳng chéo nhau: x = − t  x = + 3t '   ∆1 :  y = + t ∆ :  y = − t '  z = − 2t z = t '   Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uur +) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến nP ( 1;1; −1) ur +) Đường thẳng ∆1 qua M ( −1;1; −2 ) có phương u1 ( 2;3;1) ur +) Đường thẳng ∆ qua M ( 2;1;0 ) có phương u1 ( 3; −1;1) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ ⊥ ( P ) Đường thẳng ∆ cắt ∆1 ∆ 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Cách 1: (Xác địng hai điểm qua) Gọi M, N giao điểm đường thẳng ∆ với hai đường thẳng ∆1 , ∆ www.sangkienkinhnghiem.com ………… - 10 -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc +) M ∈ ∆1 ⇒ M ( − t ;3 + t ;1 − 2t ) ∆ +) N ∈ ∆ ⇒ N ( + 3t ';1 − t '; t ' ) uuuu r +) MN ( 3t '+ t ; −2 − t '− t ; −1 + t '+ 2t ) •M Theo giả thiết ∆ ⊥ ( P ) nên: 3t '+ t = k 3t '+ t − k = t ' = −2 uuuu r uur    MN = k nP ⇔ −2 − t '− t = k ⇔ t '+ t + k = −2 ⇔ t = −1 + t '+ 2t = −k t '+ 2t + k = k = −3    uuuu r Vậy M ( −1;6; −5 ) , MN ( −3; −3;3) x +1 y − z + = = Đường thẳng có phương trình: 1 −1 Cách 2: (Giao hai mặt phẳng) Gọi ( α ) mặt phẳng chứa ∆1 vng góc với (P) uur uur ur nα =  nP , u1  = ( 4; −3;1) Mặt phẳng ( α ) có phương trình x − y + z + = ∆1 ∆2 • N P ∆ ∆1 ∆2 β Gọi ( β ) mặt phẳng chứa ∆ vng góc với (P) uur uur uu r nβ =  nP , u2  = ( 0; −4; −4 ) α P Mặt phẳng ( β ) có phương trình y + z − = Vậy đường thẳng ∆ tập hợp điểm có tọa độ thỏa mãn hệ 4 x − y + z + = Đặt z = t: ⇒ x = − − t ; y = − t  y + z −1 =   x = − − t  Đường thẳng có phương trình:  y = − t ( t ∈ R) z = t   Trong toán trên, véctơ phương đường thẳng xác định cách dễ dàng nhờ mặt phẳng (P) Vậy cần xác định điểm qua đủ Cách 3: Gọi (α) mặt phẳng chứa đường thẳng ∆1 vng góc với mặt phẳng (P) Vì ∆1 ∆ chéo nên ∆ cắt (α) M Mặt khác ∆1 khơng vng góc với (P) nên ∆1 cắt đường thẳng qua M vng góc với (P) Vây đường thẳng cần tìm ∆ đường thẳng qua M vng góc với mặt phẳng (P) Ta tìm M Mặt phẳng (α) qua M1 có pháp tuyến uur ur uur nα = u1 , nP  = ( −4;3; −1) suy ra: x + y − z − = ∆ M P ∆1 • ∆2 α www.sangkienkinhnghiem.com ………… - 11 -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc Tọa độ điểm M nghiệm hệ:  x = + 3t '  y = 1− t ' −3  ⇒ ( + 3t ') + ( − t ') − ( t ' ) − = ⇒ t ' =  z = t ' 4 x + y − z − = −3  3 ⇒ M  − ; ; − ÷ Suy đường thẳng có phương trình: Với t ' =  4 4 x+ y− z+ 4= 4= 1 −1 Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng: x − y − z − 10 x+4 y −3 z −4 ∆1 : = = = = ∆ : −1 −7 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: ur +)Đường thẳng ∆1 qua M ( 6;1;10 ) có phương u1 ( 1; 2; −1) uu r +)Đường thẳng ∆ qua M ( −4;3; ) có phương u2 ( −7; 2;3) +)Quan hệ: Đường thẳng ∆ vng góc cắt ∆ Đường thẳng ∆ vng góc cắt ∆ 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Cách 1: (Xác định hai điểm qua) Gọi M, N giao điểm đường thẳng ∆ với ∆1 ∆ +) M ∈ ∆1 ⇒ M ( + t ;1 + 2t ;10 − t ) +) N ∈ ∆ ⇒ N ( −4 − 7t ';3 + 2t '; + 3t ' ) uuuu r +) MN ( −10 − 7t '− t ; + 2t '− 2t ; −6 + 3t '+ t ) uuuu r ur uuuu r ur  MN ⊥ u1  MN u1 = ( −10 − 7t '− t ) + ( + 2t '− 2t ) − ( −6 + 3t '+ t ) = ⇔ ⇔ u u u u r u u r u u u u r u u r     −7 ( −10 − 7t '− t ) + ( + 2t '− 2t ) + ( −6 + 3t '+ t ) =  MN ⊥ u2  MN u2 = ( −10 − 7t '− t ) + ( + 2t '− 2t ) − ( −6 + 3t '+ t ) = t '+ t = t ' = −1 ⇔ ⇔ ⇔ 56 + 62t '+ 6t = t = −7 ( −10 − 7t '− t ) + ( + 2t '− 2t ) + ( −6 + 3t '+ t ) = uuuu r Suy M ( 7;3;9 ) , MN ( −4; −2; −8 ) , hay đường vng góc chung có phương trình:  x = + 2t  y = 3+t  z = + 4t  Cách 2: (Đường thẳng giao hai mặt phẳng) ur uu r r Ta có: u1 ; u2  = ( 8; 4;16 ) su đường vng góc chung có phương u ( 2;1; ) www.sangkienkinhnghiem.com ………… - 12 -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc Gọi (α) mặt phẳng xác định ∆ ∆1 Vậy (α) qua điểm M ( 6;1;10 ) có véctơ pháp uur r ur tuyến: nα = u; u1  = ( −9;6;3) nên có phương trình: 3x − y − z − = Gọi (β) mặt phẳng xác định ∆ ∆ Vậy (β) qua điểm M ( −4;3; ) có véctơ pháp uur r uu r tuyến: nβ = u; u2  = ( −5; −34;11) nên có phương trình: x + 34 y − 11z − 38 = Vậy đường vng góc chung tập hợp điểm có tọa độ thỏa mãn hệ: 3 x − y − z − =  5 x + 34 y − 11z − 38 = 3 x − y = 4t +  x = + 2t ⇔ Đặt: z = + 4t thay vào hệ ta có:  5 x + 34 y = 44t + 49  y = 1+ t Vậy đương vng góc chung cần tìm có phương trình: x − y −1 z −1 = = Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz x − y −1 z − = = Cho mặt phẳng (P) : x + y − z + = đường thẳng d : Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm (P), cắt vuông góc với d Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uur +) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến nP ( 1;3; −5 ) uu r +) Đường thẳng d qua M ( 2;1;7 ) có phương ud ( 1; 2;1) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ ⊂ ( P ) Đường thẳng ∆ cắt d d ⊥ ∆ 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: • Điểm qua: Vì đường thẳng ∆ cắt d nằm mặt phẳng (P) nên qu agiao điểm d va (P).Tọa độ giao điểm nghiệm hệ:  x + y − 5z + =  x = 14  x + y − 5z + =    ⇔  y = 25  x − y −1 z − ⇔  y = 2x −  = = z = x +  z = 19   Vậy ∆ qua điểm M ( 14; 25;19 ) •Véctơ phương: Cách 1: Vì ∆ nằm mặt phẳng (P) nên có phương vng góc với véctơ pháp tuyến (P), nên có phương: r uur uu r u =  nP ; ud  = ( 13; −6; −1) www.sangkienkinhnghiem.com ………… - 13 -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc  x = 14 + 13t  Suy ∆ có phương trình:  y = 25 − 6t  z = 19 − t  Cách 2: Gọi N ( x; y; z ) điểm thuộc đường thẳng ∆ cần tìm, đó: uuuu r MN ( x − 14; y − 25; z − 19 ) Ta có: uuuu r uur  MN n p =  MN ⊂ ( P ) ⇔  uuuu ∆ Mặt khác:  r uu r  MN ⊥ d  MN ud = ( x − 14 ) + ( y − 25 ) − ( z − 19 ) = ⇔ ( x − 14 ) + ( y − 25 ) + ( z − 19 ) =  x + y − 5z + =  x = 181 − 13z ⇔ ⇔  x + y + z − 83 =  y = −89 + z Đặt z = t , ta có phương trình tham số đường thẳng:  x = 181 − 13t  ⇔  y = −89 + 6t ( t ∈ R) z = t  d d ’ P (Trong cách 2, đường thẳng ∆ giao tuyến mặt phẳng (α) với mặt phẳng (P), (α) chứa d vơng góc với (P) ) Ví dụ 10 Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường phân giác hai đường thẳng:  x = + 4t x − y +1 z −  ∆1 : = = ∆ :  y = −3 −2  z = + 3t  Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: ur +) Đường thẳng ∆1 qua điểm M ( 2; −1;3) có phương u1 ( 1; 2; −2 ) uu r +) Đường thẳng ∆ qua M ( 1; −3;5 ) có phương u2 ( 4;0;3) +) Quan hệ: Đường phân giác ∆ tập hợp điểm nằm mặt phẳng xác định ∆1 ∆ đồng thời cách hai đường thẳng 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Đường phân giác qua giao điểm A hai đường thẳng ∆1 ∆ Tọa độ giao điểm A nghiệm hệ:  x = + 4t  x = + 4t x =  y = −3  y = −3     y = −3 ⇔  z = + 3t ⇔ ⇒ A ( 1; −3;5 )  z = + 3t   z =  x − = y +1 = z −  4t − = −2 = 3t + t =  −2  −2 www.sangkienkinhnghiem.com ………… - 14 -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc ur  ur u1  2  v1 = ur =  ; ; − ÷ u1  3   uu r Đặt  r u  3 vuu = = u u r  ;0; ÷  5 5 u  ur uu r  17  ur uu r  19  Ta có: v1 + v2 =  ; ; − ÷, v1 − v2 =  − ; ; − ÷  15 15   15 15  Hai đường thẳng cắt có hai phân giác d1 d ur uu r +) Phân giác d1 có phương phương với v1 + v2 có tọa độ: ( 17;10; −1) nên có phương x −1 y + z − = = trình: 17 10 −1 ur uu r +) Phân giác d có phương phương với v1 − v2 có tọa độ: ( −7; 2; −19 ) nên có phương trình: x −1 y + z − = = −7 10 −19 Ví dụ 11 Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng x = + 4t  d: y = 3+ 2t nằm mặt phẳng P : − x + y + 2z + = z = −3+ t  ( ) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P) cách d khoảng 14 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uur +) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến nP ( −1;1; ) r +) Đường thẳng d qua M ( 2;3; −3) có phương u ( 4; 2;1) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ ⊂ ( P ) Đường thẳng ∆ / /d 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: r Cách 1: Đường thẳng ∆ có phương u ( 4; 2;1) với d Điểm qua: Gọi A ( x0 ; y0 ; z0 ) hình chiếu M đường thẳng ∆, suy ra: ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( z0 + 3) = 14  AM = 14  AM = 14  uuuu rr   AM ⊥ d ⇔ AM u = ⇔    ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( z0 + ) = A∈ P A∈ P − x + y + z + = ( ) ( ) 0    ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( z0 + 3) = 14  ⇔ 4 x0 + y0 + z0 − 11 = − x + y + z + = 0  www.sangkienkinhnghiem.com ………… - 15 -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc Đặt z0 = 11 − 2t , ta có hệ: ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( 14 − 2t ) = 14 ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( 14 − 2t ) = 14   ⇔ 4 x0 + y0 − 2t = ⇔  y0 = −2 x0 + t − x + y + 22 − 4t + = −3x − 3t + 27 = 0   ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( 14 − 2t ) = 14 ( − t ) + ( 3t − 21) + ( 14 − 2t ) = 14   ⇔  y0 = −18 + 3t ⇔  y0 = −18 + 3t x = − t x = − t    t =  14t − 196t + 672 =  t =   ⇔  y0 = −18 + 3t ⇔  y0 = −18 + 3t x = − t x = − t     x0 =  Với t = ⇒  y0 = , ⇒ A ( 1;6; −5 )  z = −5  x −1 y − z + = = Đường thẳng cần tìm có phương trình: x =   Với t = ⇒  y0 = , ⇒ A ( 3;0; −1)  z = −1  x − y z +1 = = Đường thẳng cần tìm có phương trình: Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn có phương trình: x −1 y − z + x − y z +1 = = = = 4 Cách 2: (Giao hai mặt phẳng) Đường thẳng cần tìm giao mặt phẳng (P) với mặt phẳng (α) vng góc với (P) cách d khoảng 14 uur uu r uur Mặt phẳng (α) có véctơ pháp tuyến: nα = ud ; nP  = ( 3; −9;6 ) nên phương trình có dạng: x − y + 2z + d = Mặt khác: 2−9−6+ d d ( d , ( α ) ) = 14 ⇔ d ( M , ( α ) ) = 14 ⇔ = 14 1+ +  d = −1 ⇔ d − 13 = 14 ⇔   d = 27 Với d = −1 ⇒ ( α ) : x − y + z − = Đường thẳng cần tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ: www.sangkienkinhnghiem.com ………… - 16 -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc - y = x = x − 3y + 2z − 1=   ⇒  x + 2z − 1= ⇒  y =  −x + y + 2z + =  −x + 2z + = z = −1    x = + 4t  2t Đường thẳng có phương trình:  y =  z = −1 + t  Với d = 27 ⇒ ( α ) : x − y + z + 27 = Đường thẳng cần tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ: y = x = x − 3y + 2z + 27 =   ⇒ x + 2z + = ⇒ y =  −x + y + 2z + = −x + 2z + 11= z = −5    x = + 4t  2t Đường thẳng có phương trình:  y =  z = −1 + t   x = + 4t  x = + 4t   2t  y = 2t Vậy có hai đường thẳng cần tìm:  y =  z = −1 + t  z = −1 + t   Cách 3: (Sử dụng tập hợp điểm) Gọi K ( x '; y '; z ') điểm thuộc đường thẳng cần tìm Ta có: +) K ∈ ( P ) ⇔ − x '+ y '+ z '+ = (1) +) d ( K ; d ) = 14 (2) Gọi (β) mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng (P) uur uur r Mặt phẳng (β) có pháp tuyến qua M ( 2;3; −3) cóvéctơ pháp tuyến nβ =  nP , u  = ( −3;9; −6 ) có phương trình: x − y + z + 13 = Ta có: d ( K ; d ) = 14 ⇔ d ( K ; ( β ) ) = 14 ⇔ x '− y '+ z '+ 13 14  x '− y '+ z '+ 13 = 14 ⇔ x '− y '+ z '+ 13 = 14 ⇔   x '− y '+ z '+ 13 = −14  x '− y '+ z '− = ⇔  x '− y '+ z '+ 27 = = 14 ( 3) ( 4)  x '− y '+ + 6t − =  x ' = 11 + 12t ⇔ Từ (1) (3), đặt z ' = + 3t , ta được:   − x '+ y '+ + 6t + =  y ' = + 6t Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tham số: www.sangkienkinhnghiem.com ………… - 17 -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc  x = 11 + 12t   y = + 6t ( t ∈ R )  z = + 3t   x '− y '+ + 6t + 27 =  y ' = 18 + 6t ⇒ Từ (1) (3), đặt z ' = + 3t , ta được:   − x '+ y '+ + 6t + =  x ' = 25 + 12t Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tham số:  x = 25 + 12t   y = 18 + 6t ( t ∈ R )  z = + 3t  Ví dụ 12 Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình hình chiếu vng góc ∆ đường thẳng x = 1+ t  d: y = mặt phẳng ( α ) : x + y − z = z = 1+ t  Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uur +) Mặt phẳng (α): véctơ pháp tuyến nα ( 2;3; −1) ur +) Đường thẳng d qua A ( 1;1;1) có phương u1 ( 1;0;1) 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Cách 1: (Xác định hai điểm qua) Để xác định hai điểm qua đường thẳng ∆: +) Nếu d cắt (α) N N điểm qua ∆, lấy điểm M d khơng thuộc (α), xác định hình chiếu M’ M (α) Ta có hai điểm qua ∆ +)Nếu d khơng cắt (α) lấy hai điểm phân biệt M, Ntrên d, xác định hinhd chiếu M’, N’ M N (α) Ta có hai điểm qua ∆ Để xét tương giao d (α), ta xét hệ: x = 1+ t x = 1+ t x = 1+ t x = −3 y =   y =  y = y = I : ⇔ ⇔ ⇔ ( ) z = 1+ t z = 1+ t     z = 1+ t z = −3 2x + 3y − z =  2( 1+ t) + 3− ( 1+ t) =   2 + 2t + 3− 1− t =  t = −4 ( ) Vậy d giao với (α) N −3;1; −3 , đường thẳng ∆ qua điểm N Gọi d’ đường thẳng qua A vng góc với (α), nhận véctơ pháp tuyến (α) phương Có phương trình:  x = + 2t1   y = + 3t1 ( t1 ∈ R ) z = 1− t  Hình chiếu vng góc M mặt phẳng (α) giao điểm đường thẳng d’ với mặt phẳng (α).Có tọa độ nghiệm hệ: www.sangkienkinhnghiem.com ………… - 18 -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc  x = + 2t1  x = + 2t1   y = + 3t x = , y = , z =  y = + 3t    7 ⇔ ⇔  z = − t  z = − t1  t = −   x + y − z =  ( + 2t1 ) + ( + 3t1 ) − ( − t1 ) =  3 9 suy M '  ; ; ÷ 7 7 Đường thẳng ∆ đường thẳng NM’ qua N −3;1; −3 có phương uuuuu r  24 30  NM '  ; − ; ÷ có phương trình: 7   x = −3+ 4t2  t2 ∈ R y = 1− t2 z = −3+ 5t  ( ( ) ) Cách 2: (Xác định hai mặt phẳng có giao đường thẳng cần tìm) Gọi ( β ) mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) , uur uur ur mp ( β ) qua A ( 1;1;1) có véctơ pháp tuyến nβ =  nα ; u1  = ( 3; −3; −3) , phương trình x − y − z +1 = Hình chiếu vng góc cần tìm giao (α) ( β ) , thỏa mãn hệ: Đặt z = + t , ta có: x − y − z +1 =  2 x + y − z = 1  y = − t x − y − t = 2 x − y − 2t =  5 ⇒ ⇒   x + y − − t = 2 x + y − − t =  x = + t  5 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình:  x = + 4t    y = −t   z = + 5t   Cách 3: (Sử dụng tập hợp điểm) Gọi M điểm thuộc đường thẳng d, M 1+ t;1;1+ t Hình chiếu d’ d tập dợp điểm hình chiếu M mặt phẳng ( α ) ( ) www.sangkienkinhnghiem.com ………… - 19 -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình hình chiếu vng góc ∆ đường thẳng x = 1+ t  d: y = mặt phẳng z = 1+ t  Ví dụ 13 Trong không gian tọa độ Oxyz Cho đường thẳng ∆ : (α) : x + y + z −3 = x −1 y +1 z +1 = = mặt phẳng −1 1.Viết phương trình hình chiếu vng góc d ∆ mặt phẳng (α) x + y z +1 = = 2.Viết phương trình hình chiếu song song theo phương l : đường thẳng ∆ −1 mặt phẳng (α) Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uur +)Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến nP ( 1;1; −1) ur +)Đường thẳng ∆1 qua M ( −1;1; −2 ) có phương u1 ( 2;3;1) ur +)Đường thẳng ∆ qua M ( 2;1;0 ) có phương u1 ( 3; −1;1) +)Quan hệ: Đường thẳng ∆ ⊥ ( P ) Đường thẳng ∆ cắt ∆1 ∆ 2)Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Ví dụ 14 Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: ( P) :2x + y − z − = x+ y z+ mặt phẳng = = −2 1.Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng (P) 2.Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng (P) Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: ur +)Đường thẳng d qua M ( −2;0; −3) có phương u1 ( 1; −2; ) r +)Mặt phẳng ( P ) có pháp tuyến n ( 2;1; −1) +)Quan hệ: Đường thẳng d ' đối xứng với d qua mặt phẳng ( P ) Đường thẳng d cắt mặt phẳng ( P ) 2)Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: www.sangkienkinhnghiem.com ………… - 20 -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc - Ví dụ 15 Trong khơng gian tọa độ Oxyz Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng:  x = + 2t x + y −1 z +1 x − y +1 z −1  ∆ :y = t ( t ∈ R ) , ∆1 : = = = = ∆ : 1 −1  z = −2 + t  Viết phương trình đường thẳng d1 , d đối xứng với ∆1 , ∆ qua ∆ Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: r +) Đường thẳng ∆ qua M ( 1;0; −2 ) có phương u ( 2;1;1) ur +) Đường thẳng ∆1 qua M ( −3;1; −1) có phương u1 ( 2;1;1) uu r +) Đường thẳng ∆ qua M ( 2; −1;1) có phương u2 ( 2; −1;1) +) Quan hệ: 1) Quan hệ đại lượng cho: ∆ ∆1 song song với ∆ ∆ cắt nhau 2) Quan hệ đại lượng cần tìm với đại lượng cho d1 đối xứng với ∆1 qua đường thẳng ∆ d đối xứng với ∆ qua đường thẳng ∆ 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng cần tìm Cách giải: 1) Xác định đường thẳng d1 ∆1 Cách 1: (Xác định điểm qua) M1 Lấy hai điểm M ( −3;1; −1) ∈ ∆1 M ( 1;0; −2 ) ∈ ∆ • Gọi B1 ( x1 ; y1 ; z1 ) điểm đối xứng với A1 qua M uuuur uuuuur Ta có: MB1 ( x1 − 1; y1 ; z1 + ) , M 1M ( 4; −1; −1) Vì B1 đối xứng với A1 qua I nên I trung điểm A1 B1 , hay  x1 − =  x1 = uuuur uuuuur   MB1 = M 1M ⇔  y1 = −1 ⇔  y1 = −1 ⇒ B1 ( 5; −1; −3)  z + = −1  z = −   ∆ M • d1 • B1 www.sangkienkinhnghiem.com ………… - 21 -Năm học 2009_2010 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc Mặt khác ∆ ∆1 song song với nên d1 song song với ∆ , hay d1 có phương với ∆  x = + 2t  Vậy d1 có phương trình: d1 :  y = − + t ( t ∈ R )  z = −3 + t  Cách 2: (Sử dụng tập hợp điểm) Lấy A ( 1;0; −2 ) ∈ ∆ Gọi K ∈ ∆1 , suy ra: K ( −3 + 2t ;1 + t ; −1 + t ) d1 tập hợp điểm K1 ( x1 ; y1 ; z1 ) đối xứng với K qua A Vậy: 4 − 2t = x1 −  − 2t = x1 −  x1 = − 2t uuu r uuuur    ⇔ −1 + t = y1 KA = AK1 ⇔ −1 − t = y1 ⇔  y1 = −1 + t  −1 − t = z +  −1 − t = z +  z = −3 − t 1    hay đường thẳng cần tìm có phương trình:  x = − 2t   y = −1 + t  z = −3 − t  Đăng ngày 04 tháng năm 2011 Lê Hoà Bình www.sangkienkinhnghiem.com ………… - 22 -Năm học 2009_2010 ... Với tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian, dạng tường minh theo tơi là: Viết phương trình tham số (hoặc tắc)của đường thẳng biết: 1) Hai điểm mà đường thẳng qua 2) Một điểm mà đường thẳng. .. đứng trước toán Trong toán Viết phương trình đường thẳng khơng gian, người học cần ý đến điều kiện xác định đường thẳng không gian, đặc biệt ý đền hai điều kiện xác định đường thẳng sau: +) Biết... +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆ nên xác định mặt phẳng ( β ) Vậy đường thẳng ∆ giao hai mặt phẳng ( α ) ( β ) Định hướng 2: +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 P +) Đường thẳng ∆ cắt đường