Nâng cao chất lượng thi TN THPT môn toán học sinh qua bài toán gốc chương 1 giải tích 12, ở trường THPT năm học 2020 2021

Phần I: Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Rèn luyện, bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh nhiệm vụ quan trọng nhà trường phổ thơng, đặc biệt dạy học mơn tốn Theo PGS.TS Tôn Thân tư sáng tạo dạng tư độc lập, tạo ý tưởng mới, độc đáo có hiệu giải vấn đề cao Tư sáng tạo tư độc lập khơng bị gị bó, phụ thuộc vào có Ý tưởng thể khả tạo mới, phát vấn đề mới, tìm hướng mới, tạo kết Tính độc đáo ý tưởng thể giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc Những biểu sáng tạo học toán biết nhìn tốn theo khía cạnh mới, nhìn tốn nhiều góc độ khác nhau, nhiều cách giải khác nhau, biết đặt giả thuyết phải lý giải vấn đề, biết đề xuất giải pháp khác phải xử lý tình Tơi xin trình bày sáng kinh nghiệm chun môn: “ Nâng cao chất lượng thi TN THPT môn toán học sinh qua toán gốc chương giải tích 12, trường THPT năm học 2020 - 2021’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu Nâng cao khả tư duy, sáng tạo tốn học cho học sinh thơng qua toán gốc, nhằm đạt kết thi TN THPT mơn tốn 9.0 1.3 Đối tượng nghiên cứu Với ba toán gốc từ đề minh họa, giáo viên tổng hợp định hướng để học sinh giải hết tất câu hỏi đề minh họa thuộc vùng kiến thức chương giải tích 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp xây dựng sở lý thuyết + Phương pháp : Thực nghiệm Phần II: Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Cơ sở lý luận: Trong dạy học toán giáo viên học sinh thường quan tâm đến kết suy nghĩ, chẳng hạn đặt câu hỏi yêu cầu giải tập giáo viên thường quan tâm, đánh giá câu trả lời, lời giải đáp số mà vào hướng dẫn học sinh q trình suy nghĩ để có kết Tính mềm dẻo tư có đặc trưng: - Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa phương pháp suy luận quy nạp, suy diễn tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ gặp trở ngại… - Suy nghĩ không rập khuôn, khơng áp dụng cách máy móc kinh nghiệm, kiến thức kỹ có vào hồn cảnh mới, điều kiện có yếu tố thay đổi; có khả khỏi ảnh hưởng kìm hãm kinh nghiệm, phương pháp, cách nghĩ có từ trước - Nhận vấn đề điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức đối tượng quen biết Tính nhuần nhuyễn tư thể hai đặc trưng sau: - Tính đa dạng cách xử lý giải tốn; khả tìm nhiều giải pháp nhiều góc độ tình khác Đứng trước vấn đề phải giải quyết, người có tư nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm đề xuất nhiều phương án khác từ tìm phương án tối ưu - Khả xem xét đối tượng nhiều khía cạnh khác nhau; có nhìn sinh động từ nhiều phía vật tượng khơng phải nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc Tính độc đáo đặc trưng khả sau: - Khả tìm liên tưởng kết hợp - Khả tìm mối liên hệ kiện bên ngồi tưởng khơng có liên hệ với - Khả tìm giải pháp lạ biết giải pháp khác Các yếu tố không tách rời mà trái lại, chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho 2.1.2 Cơ sở thực tiễn: Trong cấu trúc đề minh họa năm 2021 rõ nội dung kiến thức kỹ chương giải tích 12 cho người dạy học cụ thể : - Tính đơn điệu hàm số: Câu ( Nhận biết), Câu 30 ( Thông hiểu) - Cực trị hàm số : Câu 4, Câu 5( Nhận biết) , Câu 46( Vận dụng cao) - GTLN – GTNN : Câu 31 ( Thông hiểu), Câu 39 (Vận dụng), - Tiệm cận : Câu ( Nhận biết) - Khảo sát vẽ đồ thị : Câu 7, Câu ( Nhận biết) Do điều kiện khách quan chủ quan thí sinh, chất lượng thi mơn tốn đặc biệt chất lượng mũi nhọn cịn gặp phải số vấn đề: - Học sinh có khả cao áp dụng kiến thức vào thi chưa linh hoạt Do tính sáng tạo học sinh cịn hạn chế - Kỹ tính tốn cịn yếu dẫn tới học sinh 0.2 điểm khơng đáng có 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong dạy học toán giáo viên học sinh thường quan tâm đến kết suy nghĩ, chẳng hạn đặt câu hỏi yêu cầu giải tập giáo viên thường quan tâm, đánh giá câu trả lời, lời giải đáp số mà vào hướng dẫn học sinh q trình suy nghĩ để có kết Để nâng cao chất lượng mũi nhọn mơn tốn giáo viên cần: - Bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh mục tiêu dạy học mơn Tốn trường phổ thông Bồi dưỡng tư sáng tạo cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả phát vấn đề mới, khả khơi dậy ý tưởng học sinh Bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh cần hướng dẫn cho học sinh tập dượt nghiên cứu, giáo viên cần tạo tình có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức - Trong thực hành giải Toán để rèn luyện tư sáng tạo, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tịi để phát vấn đề giải vấn đề Trong dạy học Toán, giáo viên cần yêu cầu học sinh giải tập rèn luyện yếu tố tư sáng tạo tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn tính độc đáo Sáng kiến kinh nghiệm viết trình dạy học Chương : Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao 2.3 Các giải pháp thực Để thực mục tiêu đề ra, SKKN đưa phương pháp tư duy, sáng tạo cho học sinh toán gốc 2.3.1.Bài toán gốc [1] Cho hàm số y mx  x  m ( m tham số thực) có giá trị nguyên m để hàm số cho đồng biến khoảng ( 0;+∞) A.5 B C D Cách giải Tập xác định D  �\  m y�  Ta có m   x  m  Để hàm số đồng biến � m   � y�  0, x � 0; � � � 0; �  m �0 � � 2  m �0 khoảng Kết luận: m có giá trị nguyên Nhận xét : Đây toán hội tụ nhiều kiến thức kỹ cần thiết học sinh lớp 12 Tuy nhiên biết cách đặt vấn đề ta tạo tốn từ dễ đến khó 2.3.1.1 Sáng tạo qua tốn gốc Bài 1: Cho hàm số f  x có bảng biến thiên sau: Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? �; 1 A  0;1 B   1;0  C  �;0  D  Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f�  x  1;0  1; � � khoảng   1;0  hàm số nghịch biến  Nhận xét : Qua giáo viên mô tả hình ảnh mối liên hệ giũa dấu f’(x) đồ thị Nhằm khắc sâu kiến thức cho học sinh Bài Cho hàm số f  x y  f ' x  xác định � có đồ thị hàm số đường cong hình bên Mệnh đề đúng? A Hàm số f  x đồng biến khoảng  1;  B Hàm số f  x nghịch biến khoảng C Hàm số f  x đồng biến khoảng  0;   2;1 D Hàm số f  x nghịch biến khoảng  1;1 Lời giải: Từ đồ thị ta có: f’(x) > khoảng ( -2 ;0) (2 ; +∞) f”(x) < khoảng ( - ∞;-2) ( ; 2) Nhận xét: Từ tốn trên, mục đích rèn luyện cho học sinh nắm vững kiến thức lý thuyết thực hành kỹ Từ giáo viên định hướng để học sinh có thêm khả sáng tạo Bài 3: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y   x  mx  (2m  3) x  m  nghịch biến  ? Lời giải Tập xác định: D  � Ta có y�  x  2mx  2m  Để hàm số nghịch biến � 1  a y� � � ��2 � 3 �m �1 y� �0, x ��� � � m  2m  �0  � � � Nhận xét: Với ý tưởng tạo tốn có tư mở, giáo viên phải toán nhằm tăng hứng thú tìm tịi cho học sinh Khi yêu cầu toán động biến nghịch biến khoảng ( đoạn) ? Bài Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  x  2(m  1) x  m  đồng biến khoảng (1;3) ? Lời giải Tập xác định D  � Ta có y '  x  4(m  1) x y ' 0, � x (1;3) � Hàm số đồng biến (1;3) ۳�� g ( x) x m, x (1;3) Lập bảng biến thiên g ( x) (1;3) x g + 10 g  g ( x ) Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m � m Nhận xét: Khi áp dụng toán gốc giáo viên cần đặc điểm khác biệt tập 1, tập tập Đó khả vận dụng linh hoạt kiến thức, chuyển đổi từ toán đồng biến nghịch biến, sang toán tìm: Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ khoảng ( đoạn) Bài Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y mx  xm nghịch �;1 biến khoảng  ? Giải Tập xác định D  �\   m y�  Ta có m2   x  m Để hàm số nghịch biến khoảng  �;1 � m2   � y�  0, x � �;1 � � �m � � 2  m �1 Nhận xét: Với việc giải toán trên, học sinh ôn luyện kiến thức khảo sát biến thiên hàm số, xét biến thiên hàm số miền D cho trước…Và qua giúp học sinh có nhìn tồn diện kiến thức mà học Sau xây dựng cho học sinh khả tư sáng tạo qua toán gốc đa số học sinh thực thành công câu số 42 đề thi THPT mơn tốn năm 2020 câu hỏi tính đơn điệu hàm số: Câu ( Nhận biết), Câu 30 ( Thông hiểu) đề minh họa năm 2021 [ ] Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y x2 xm đồng biến khoảng ( -∞; -5) A ( 2;+∞) B (2;5] C [2; 5) D ( 2;5) Xem đáp án Bộ Giáo Dục, ta thấy rõ ràng luyện dạng tập Nếu vùng kiến thức, có thêm câu hỏi sáng tạo học sinh gặp vấn đề làm Do dạy học toán cần rèn luyện khả phát vấn đề, khơi dậy ý tưởng mới, tạo tình có vấn đề cho học sinh tìm tịi, sáng tạo Một biện pháp rèn luyện khả tư sáng tạo cho học sinh “ Tập cho học sinh giải vấn đề nhiều phương pháp khác lựa chọn cách giải tối ưu” 2.3.2.Bài toán gốc [ ] Cho f  x hàm số bậc bốn thỏa mãn f    Hàm số f ' x có bảng biến thiên sau: Hàm số g  x   f  x3   x có điểm cực trị? A B C D Lời giải Xét hàm số Cho Đặt h  x   f  x   3x ta có h '  x   3x f '  x   h '  x   � 3x f '  x    � x f '  x    � f '  x   t  x3 � x  t � x    t f ' t   ta có   t x2  * k  t  Xét hàm số  t ta có k  t  t  5 � k '  t    t   3 t5 BBT: � t k ' t    � � � k  t Khi ta có đồ thị hàm số: 3 Dựa vào đồ thị ta thấy  * � t  a  � x  a � x  a � Hàm số h  x   f  x   3x có điểm cực trị BBT: x � h ' x  a � h h  � h x Dựa vào BBT ta thấy �  a  a   h  0  f    Do phương trình h  x   nghiệm phân biệt Vậy hàm số g  x  h  x có có tất điểm cực trị Nhận xét Qua toán gốc giáo viên cần nhắc lại nội dung kiến thức kiến thức + ) Điều kiện để hàm số có cực trị dấu hiệu nhận biết cực trị + ) Vận dụng sáng tạo tương giao đồ thị để biện luận số nghiệm phương trình 10 2.3.2.1 Sáng tạo tốn gốc Bài Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị hình vẽ: Đồ thị hàm số y  f ( x) có điểm cực trị? Lời giải Từ đồ thị hàm số ta có: Tập xác định hàm số x �R ; Với f�  x   � x  0; x  Từ đồ thị ta có: Hàm số đạt cực trị x= x = Nhận xét: - Với học sinh giải câu Câu 4, Câu ( Nhận biết) đề minh họa năm 2021 - Thông thường đa số học sinh biết giải “bài tốn” mà người khác đặt cho mình, mà tự đặt “vấn đề” khác tự giải Để tập dượt cho học sinh biết cách đặt “vấn đề”, xin nêu dạng toán ngược sau: Bài Cho hàm số y  f ( x) Hàm số y  f '( x) có đồ thị hình vẽ: 11 Khẳng định sau đúng? A Hàm số y  f ( x) đạt cực đại x  B Đồ thị hàm số y  f ( x) có điểm cực tiểu C Hàm số y  f ( x) đồng biến (�;1) D Đồ thị hàm số y  f ( x) có hai điểm cực trị Lời giải Tập xác định hàm số x �R � Dịch từ đồ thị hàm số y = f’(x) sang dấu f’(x) Ta có f  x   � x  1; x  Xét dấu f’(x): x -∞ +∞ f’(x) Vậy hàm số đạt cực tiểu x = - + Nhận xét: Cách nhìn nhận giả thiết tốn đưa kết luận xác đáp án điều quan trọng Với toán giáo viên dẫn dắt tư cho học sinh từ đồ thị hàm số y= f’(x) để có dấu f’(x) kết luận cực trị vấn đề Bài Hình vẽ đồ thị hàm số dương tham số m để hàm số y  f  x Gọi S tập hợp giá trị nguyên y  f  x  1  m có điểm cực trị Tính tổng giá trị tất phần tử S 12 Lời giải + Xác định đồ thị hàm số y  f  x  1 + Áp dụng tính chất: Đối xứng đồ thị hàm số qua trục Ox Ta có: Khi tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x sang phải đơn vị, ta đồ thị y  f  x  1 hàm số y  f  x  1 Do đồ thị hàm số có cực trị có giao điểm với Ox Để đồ thị hàm số hàm số y  f  x  1 y  f  x  m với m nguyên dương ta phải tịnh tiến đồ thị lên m đơn vị Để thỏa mãn điều kiện đề đồ thị hàm số y  f  x  1  m cắt Ox điểm (không phải điểm cực trị nó), 3�m � S   3;4;5 Tổng giá trị phần tử S 12 Nhận xét : Vận dụng nguyên tắc phân nhỏ Altshuller vào dạy học giải tập toán nhằm giúp HS rèn luyện, bồi dưỡng tư sáng tạo (thơng qua hoạt động như: phân tích, tổng hợp, cụ thể hóa, khái qt hóa, ), biết tích cực suy nghĩ, hứng thú học tập, say mê khám phá, tìm tịi để phát giải vấn đề, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn phổ thơng 2.3.3.Bài tốn gốc 3.[ ] 13 Câu 39 :Cho hàm số f  x , đồ thị hàm số y  f ' x đường cong �3 �  ; 2� � hình bên Giá trị lớn hàm số g  x   f  x   x đoạn � �bằng A f  0 B f  3  C f    D f    Lời giải Ta có: g '  x   f '  x   Cho g '  x   � f '  x    � f '  x   � f '  x   �3 �  ; 2� � y  f ' x �đường thẳng � Dựa vào đồ thị hàm số đề cho ta thấy y  cắt đồ thị hàm số y  f '  x  x  0, x  2, x  nghiệm kép Do f '  x   � x  � x  (không xét nghiệm kép x  qua nghiệm phương trình g ' x khơng đổi dấu f ' 1  Lấy x  ta có g '  1  f '  1     �3 �  ;1� � g ' x � Do ta có bảng xét dấu �như sau: 14 x  g ' x  g  1 g  x � 3� g � � � 2� max g  x   g  1  f    Với �3 �  ;1 � �2 � � 2.3.3.1 Sáng tạo toán gốc Bài Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f�  x Đồ thị hàm số y f�  x hình vẽ � 1�  ; � � g  x   f  3x   x � Tìm giá trị lớn hàm số đoạn 3 � Lời giải t � 1;1 g t  f  t   3t Đặt t  3x  ta đưa xét   t1  1 � � t2  g�  t  f �  t 3  � f �  t   3 � � � t3  � t4  � Ta có: 15 BBT: Từ BBT cho g�  t  1;1 , ta thấy đoạn  1;1 , hàm số g � t  đổi dấu từ  sang  qua t2  Vậy giá trị lớn hàm số g    f    Nhận xét: Qua toán học sinh hiểu rõ chất vấn đề, câu hỏi liên quan đến GTLN – GTNN cụ thể câu 31 đề minh họa năm 2021 Bài Cho hàm số f  x  liên tục �, có đồ thị hình vẽ � 8x � y  f � � a  �x  � Có tất giá trị nguyên tham số a để hàm số có giá trị lớn khơng vượt q 20? Lời giải Đặt t 8x x2  t' Ta có: 8 x  x  1 ; t '  � x  �1 Bảng biến thiên: 16 � t � 4; 4 h ' t  f ' t  Xét hàm số: h  t   f  t   a  1, t � 4; 4 , ta có:   � t 4 � 4; 4 � h ' t   � f ' t   � � t  2 � 4; 4 � t  � 4; 4 � Ta có : max h  t   Max  a  ; a    4;4 � 20 �a  �20 25 �a �15 � � �a  �20 �� �� �� � 15 �a �15 20 �a  �20 15 �a �25 a  �20 � � � u cầu tốn Vậy có tất 31 giá trị nguyên tham số a thỏa mãn yêu cầu toán Bài Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm  4 ; 4 , có điểm cực trị  4 ;  3 ;  ; ; có đồ thị hình vẽ Đặt hàm số y  g ( x)  f ( x  3x)  m với m tham số Gọi m1 giá trị m để max g ( x)  m  ;1 , giá trị m để g ( x )  2  1; 0 Tính: m1  m2 Lời giải 17 Ta có y  g ( x)  f ( x  3x)  m � x3  3x  3 � � x3  3x   �� �3 x  3x  � �3 x  3x  g '( x)  (3 x  3) f '( x  3x) Khi g '( x)  � f '( x3  3x)  �  1  2  3  4 Ta có bảng biến thiên hàm số y  x  x sau: Từ bảng biến thiên trên, ta có: x � 1;  - Phương trình  1 có nghiệm  x � 1;   x2  x1  - Phương trình   có nghiệm  , - Phương trình   có nghiệm x  x � 0;1 - Phương trình   có nghiệm   Bảng biến thiên hàm số y  g ( x) : max g ( x)   m   ;1 � m  Suy m1  18 g ( x)  1  m  2  1; 0 � m  1 Suy m2  1 Vậy m1  m2  Nhận xét: Bằng cách chia nhỏ vùng kiến thức, sau tổng hợp tốn cụ thể, theo mức độ khó đến dễ Khả thích ứng hứng thú học tập học sinh cao nhiều Lời bình Qua toán gốc tư sáng tạo tạo dạng tư độc lập người nhằm tạo ý tưởng mới, độc giải vấn đề Trong nguyên tắc sáng tạo ta có vận dụng để giải tập toán như: nguyên tắc phân nhỏ, nguyên tắc tách khỏi, nguyên tắc kết hợp, nguyên tắc chứa trong, nguyên tắc đảo ngược, nguyên tắc linh động, nguyên tắc sử dụng trung gian, nguyên tắc chép,… Cụ thể Nội dung nguyên tắc phân nhỏ dạy học toán là: - Phân chia tốn khó, phức tạp, thành toán nhỏ đơn giản, vừa sức để dễ giải hơn; - Biến đổi toán cho để toán dễ chia nhỏ vấn đề hơn; - Tăng dần mức độ khó chia nhỏ tốn Trong sáng kiến kinh nghiệm này, vận dụng nguyên tắc phân nhỏ vào dạy học giải số tập toán nhằm rèn luyện, bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh phổ thông 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Với trình xây dựng phát triển tư , sáng tạo cho học sinh từ toán gốc Phương pháp tạo khơi mở hứng thú học tập cho học sinh, tham gia trình học tập theo hình thức Học sinh tập trung theo dõi tham gia tích cực vào q trình chiếm lĩnh tri thức mới, có phát sâu sắc liên hệ thực tế phù hợp Kết cụ thể Cụ thể, việc lựa chọn toán gốc giúp học sinh phát triển tối đa khả tư sáng tạo, tư độc lập tốn có chung vùng kiến thức 19 khơng phụ thuộc vào có Ý tưởng thể khả tạo để giải vấn đề cách đa chiều toán học thực tế Một biểu sáng tạo dạy học toán biết nhìn tốn theo khía cạnh mới, nhiều góc độ khác nhau, biết đặt giả thuyết phải lí giải vấn đề đề xuất giải pháp khác xử lí tình huống; khơng áp dụng cách máy móc quy tắc, phương pháp biết vào tình 20 Phần III – Kết luận kiến nghị Kết luận Qua phần trình bày ta thấy để bồi dưỡng, phát triển khả tư sáng tạo cho học sinh, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức, vận dụng kỹ kỹ xảo giải tốn, khơng chấp nhận cách giải quen thuộc mà ln tìm cách giải mới, từ có nhiều cách giải tìm cách giải tối ưu, độc đáo gây hứng thú niềm say mê học tập mơn tốn Thơng qua hệ thống tập nhìn tốn nhiều khía cạnh khác Giáo viên rèn luyện cho học sinh khả vận dụng linh hoạt hoạt động trí tuệ phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa,…chuyển từ hoạt động tư sang hoạt động tư khác, không suy nghĩ rập khn máy móc Từ tạo hứng thú học tập, tìm tịi, khám phá, phát vấn đề giải khác góp phần bồi dưỡng, rèn luyện phát triển khả tư sáng tạo dạy học mơn Tốn Kiến nghị Thực q trình đổi cơng việc phức tạp, địi hỏi nhiều cơng sức tâm huyết giáo viên Trong trình dạy học, đổi địi hỏi phải có kết hợp đồng nhiều cấp độ Tổ nhóm chun mơn người thầy,cô cần quan tâm mức tới công việc thiết kế, sáng tạo áp dụng đổi hình thức tổ chức dạy học theo tinh thần đạo, không chủ quan ỷ vào kinh nghiệm, khả dạy vốn có khơng người lạc hậu trì trệ Trên vài kinh nghiệm ý kiến nhỏ tôi, không tránh khỏi sai sót, mong góp ý nhận xét 21 XÁC NHẬN CỦA THỦ Thanh Hoá, ngày 01 tháng năm 2021 TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin can đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Văn Trung Tài liệu tham khảo [1 ] Trích câu 39 đề minh họa mơn tốn lần 2, năm 2020 [ ] Trích câu 42 đề thi năm 2020) [ 3] Trích câu 46 đề minh họa mơn tốn ,năm 2021 [ ] Trích câu 39 đề minh họa mơn tốn năm 2021 SGK Giải tích 12 biên soạn tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất SGK Giải tích 12 nâng cao biên soạn tác giả: Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng 22 ... học sinh giải câu Câu 4, Câu ( Nhận biết) đề minh họa năm 20 21 - Thông thường đa số học sinh biết giải ? ?bài toán? ?? mà người khác đặt cho mình, mà tự đặt “vấn đề” khác tự giải Để tập dượt cho học. .. câu 42 đề thi năm 2020) [ 3] Trích câu 46 đề minh họa mơn tốn ,năm 20 21 [ ] Trích câu 39 đề minh họa mơn tốn năm 20 21 SGK Giải tích 12 biên soạn tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thi? ?n Hương,... tư sáng tạo qua toán gốc đa số học sinh thực thành công câu số 42 đề thi THPT mơn tốn năm 2020 câu hỏi tính đơn điệu hàm số: Câu ( Nhận biết), Câu 30 ( Thông hiểu) đề minh họa năm 20 21 [ ] Tập