De thi du tru DH mon Toan 2007 So 1

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận của nó là hằng số.. Câu II:1[r]

Đề thi Dự trữ khối A-năm 2007 Đề I

Câu I: Cho hàm số

2

x 4x

y

x

  

  Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

2 Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số đến đường tiệm cận số

Câu II:

1 Giải phương trình:

1

sin 2x sin x 2cot g2x

2sin x sin 2x

   

2 Tìm m để phương trình:  

2

m x  2x 1  x(2 x) (2) 

có nghiệm x

0,1

 

 

 

Câu III: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) mặt phẳng (P): 2x - y + z + =

1 Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với mp (P) Tìm tọa độ điểm M  (P) cho MA + MB nhỏ

Câu IV:

1 Tính

4

2x

I dx

1 2x

 

 



2 Giải hệ phương trình:

¿

x+√x2−2x+2=3y−1+1

y+√y2−2y+2=3x −1+1 (x , y∈R)

¿{ ¿

Câu Va (cho chương trình THPT khơng phân ban):

1 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 = Đường tròn (C') tâm I (2,2) cắt

(C) điểm A, B cho AB 2 Viết phương trình đường thẳng AB.

2 Có số tự nhiên chẵn lớn 2007 mà số gồm chữ số khác nhau? Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban):

1 Giải bất phương trình: (log log x )logx  2 2x 0

2 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5 BAC❑ =120o

Bài giải Câu I:

1 Khảo sát vẽ đồ thị (Bạn đọc tự làm)

2 Gọi (C ) đồ thị hàm số M(x,y)  ( C ) 

7

y x

x   



Phương trình tiệm cận xiên yx 2  x y 0  

khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên

1

x y

d

2 x

 

 



khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d2  x

Ta có

1

7

d d x

2 x 2

  

 : số.

Câu II:

1 Giải phương trình :

1

sin 2x sin x 2cot g2x

2sin x sin 2x

   

(1) (1)   cos22x  cosxcos2x = 2cos2x sin2x  0

 cos2x 0v2 cos x cosx 0(VN)     cos2x = 

  

     

2x k x k

2

2 Đặt t x2 2x 2  t2  = x2  2x

Bpt (2) 



    



2

t

m (1 t 2),do x [0;1 3] t

Khảo sát

2

t g(t)

t

 

 với  t  2

g'(t)

2

t 2t 0 (t 1)

 

 

 Vậy g tăng [1,2]

Do đó, ycbt  bpt

2

t m

t

 

 có nghiệm t  [1,2]

  

  

t 1;2

2 m max g(t) g(2)

3

Câu III:

1 Ta có AB ( 2,4, 16)  



phương với   



mp(P) có PVT n (2, 1,1)  

Ta có  

[ n ,a] = (6 ;15 ;3) phương với (2;5;1)

Phương trình mp chứa AB vng góc với (P) : 2(x + 1) + 5(y  3) + 1(z + 2) =

 2x + 5y + z  11 =

2 Tìm M  (P) cho MA + MB nhỏ

Vì khoảng cách đại số A B dấu nên A, B phía với Mp (P) Gọi A' điểm đối xứng với A qua (P)

Pt AA' :

x y z

2 1

  

 



AA' cắt (P) H, tọa độ H nghiệm

    



 

   

 



 

2x y z

H(1,2, 1) x y z

2 1

Vì H trung điểm AA' nên ta có :

H A A '

H A A '

H A A '

2x x x

2y y y A'(3,1,0) 2z z z

 

 

  



  



Ta có A'B ( 6,6, 18)  



(cùng phương với (1;-1;3) ) Pt đường thẳng A'B :

 

 



x y z

1

Vậy tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình    

 

 

 



 

 



2x y z

M(2,2, 3) x y z

1

Câu IV:

1 Đặt t 2x 1  t2 2x 1  2tdt 2dx  dx tdt

Đổi cận t(4) = 3, t(0) =

Vậy

4 2

0 1

2x t

I dx dt t dt

1 t t

1 2x

  

      

 

   

  

=

3

1

t t ln t 1 2 ln2

 

    

 

 

 





     

 

     



2 y

2 x

x x 2x (I) y y 2y

Đặt u = x  1, v = y 

(I) thành

   

 

   



2 v

2 u

u u (II)

v v

Xét hàm f(x)  x x21

f ´(x)

  

    

  

2

2 2

x x

x x x

1

x x x

Vậy f đồng biến nghiêm cách R

Nếu u > v  f(u) > f(v)  3v 3u v > u ( vô lý )

Tương tự v > u dẫn đến vô lý

Do hệ (II)

 

       

   

 

 

 

2 u u

u u 3 ( u u) (1)

u v u v

Đặt: g(u)3 ( uu 2 1 u)

 

       

 



 

u u

2

u g'(u) ln3( u u)

u

g '(u)=3u(√u2+1−u)(ln 3−

√u2+1)>0,∀u∈R Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách R

Ta có g(0) = Vậy u = nghiệm (1) Nên (II)  u = = v

Vậy (I)  x = y = Câu Va:

1.Đường thẳng OI nối tâm đường tròn (C), (C') đường phân giác y = x Do đó, đường AB  đường y = x  hệ số góc đường thẳng AB 

Vì AB  2  A, B phải giao điểm (C) với Ox, Oy.

Suy

A(0,1);B(1,0) A'( 1,0);B'(0, 1)



  



Suy phương trình AB : y =  x + y =  x 

Cách khác: phương trình AB có dạng: y =  x + m

Pt hoành độ giao điểm AB

(2) có   / m2 , gọi x1, x2 nghiệm (2) ta có :

      

2 2

1 2

AB 2(x x ) (x x )



      

/

2

4 1 2 m 1 m 1

a

Vậy phương trình AB : y =  x 1.

2 Gọi n a a a a 4 số cần lập.

TH1 : a4 = 0, ta có8 cách chọn a1 (vì a1  2)

cách chọn a2 cách chọn a3 (1 cách chọn a4 ) Vậy ta có 8.8.7.1 = 448 số n

TH2 : a4  a4 chẵn Ta có : cách chọn a4 cách chọn a1 cách chọn a2 cách chọn a3 Vậy ta có 4.7.8.7 = 1568 số n

Vậy trường hợp ta có : 448 + 1568 = 2016 số n Câu Vb:

1 Điều kiện x > , x  (1)

 

    

 

1 2 log x 1log 2x 0

log x

 

 

 

     

 

 

2

2

1 log x log x 1 0 log x

3

   

     

 

      

2 2

2

2

2

log x log x

(log x 3) 0

log x log x log x 1vlog x 0 x v x

2

2 (Bạn đọc tự vẽ hình)

Chọn hệ trục Axyz cho: A  0, C 2a,0,0 , A (0,0,2a 5)1

 

  

 

a a A(0;0;0),B ; ;0

2

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5

BM a ; ; , MA a(2;0; 5) 2

Ta có:      

                         

  2

1

BM.MA a ( 5) BM MA

Ta tích khối tứ diện AA1BM :



 

 

 

 

   

                                         

 

3

2

BMA1

1 a 15

V A A AB,AM

6

1

S MB,MA 3a

2

Suy khoảng cách từ A đến mp (BMA1)  

3V a

d

S

Cách khác:

+ Ta có A M1 A C1 12C M1 29a2

   

2 2

BC AB AC 2AB.AC.cos120 7a

  

2 2

BM BC CM 12a

    

2 2 2

1 1

A B A A AB 21a A M MB

 MB vng góc với MA1

+ Hình chóp MABA1 CABA1 có chung đáy tam giác ABA1 đường cao nên thể tích

 V V MABA1 VCABA1 1AA S1 ABC1a 153

3

 1   

MBA1

3V 6V a

d(a,(MBA ))

S MB.MA