[r]
(1)Mở đầu.
Hin vic s dụng máy tính bỏ túi cho phép học sinh tính nhanh giá trị (hoặc gần đúng) nghiệm phơng trình ,giúp cho học sinh tránh đợc sai sót lời giải,kiểm tra nhanh kết tìm đợc
Phơng trình vơ tỉ dạng tốn khó học sinh cấp THCS, phần phơng trình nói chung,cả chơng trình toán đề thi.Đặc biêt kì thi HSG thi vào lớp 10 PTTH.Giải phơng trình vơ tỉ nói chung có nhiều phơng pháp đa dạng.Tuy nhiên đa số toán giải phơng trình vơ tỉ thờng gặp ,học sinh giải đợc cách áp dụng phơng pháp sau
Một vài phơng pháp giải phơng trình vụ t dng n gin.
I.Phơng pháp nâng lên lũy thừa
1 Ví dụ 1.
Giải phơng tr×nh X + √x −1₫ = Lêi gi¶i:
X + √x −1₫ =7 (1) §K: x ≥ (*)
(1) ⇔ √x −1₫ =7 x (2) ĐK:x (**)
Bình ph¬ng hai vÕ (2) ⇔ (7-x)2 = x-
⇔ x2 - 15x + 50 = 0
x1=5; x2=10 (loại) Tập nghiệm phơng trình là: S = {5}
Dùng máy tính kiểm tra kết quả:
(Ta thực lần lợt bớc từ xuống dới với máy CASIO fx-570MS)
*Bớc 1.
Viết phơng trình vào máy :
ALPHA X √ ( ALPHA X - ) ALPHA =
*Bớc2.Lệnh cho máy giải nh sau :
SHIFT SOLVE = SHIFT SOLVE
TiÕp tôc:
SHIFT SOLVE SHIFT SOLVE
+ √ ( _ 1 )
=
(2)lặp lại lệnh vơí nghiêm ± thứ thứ 2,………,thứ n,để máy tính giải…
*Bớc3.Chờ cho máy giải xong lấy kết quả,so sánh với đáp s ca li gii.
Máy tính cho kết phơng trình có nghiệm X = 5
Ghi nhớ là : Phơng trình bậc n có nghiệm ,thì có không n nghiệm
II Phơng pháp đặt ẩn phụ:
1.Dïng Èn phụ đa phơng trình bậc hai: Ví dụ1.
Giải phơng trình
x x21 +
√x+√x2−1 = (1)
Lêi gi¶i:
√x −√x2−1 +
√x+√x2−1 = (1)
Đặt x x2
1 = t ĐK: t > 0;
⇒ √x+√x2−1 =
t
(1) cã d¹ng: t +
t = (2)
(2) ⇔ t2- 2t +1 = 0
⇔ t =1 ⇔ √x −√x2
−1 =1 ⇔ x - = √x2
−1 ⇔ 1- 2x + x2 = x2- 1
⇔ 2x – = ⇔ x = S = {1}
*Sử dụng máy tính làm tơng tự ta có kết phơng trình cã mét nghiƯm nhÊt X= 1
3.Sư dụng ẩn phụ đa phơng trình tích a.Dùng ẩn phụ
Ví dụ1:
Giải phơng tr×nh: x2 +
(3)x2 +
√x+1 = (1) §K : x ≥ -1 (*)
⇔ x2-1+
√x+1 =0
⇔ (x+1)(x-1) + √x+1 =0
⇔ (x+1)(x+1-2) + √x+1 =0
Đặt x+1 = t ĐK: t
(1) ⇔ t2(t2-2)+t=0 ⇔ t [ t3-2t+1]=o
(1) ⇔ t(t-1)(t2+t-1) = 0 ⇔ hc t1 =
hc t2 =
hc t3 = −1+√5 t4 = 15
2 (loại)
S = { ; -1 ; 1−√5
2 } .
Kết máy tính là :
Một nghiệm X1 = hai nghiệm âm X2=-1 ;
x3≈- 0,618033908 ≈ (giá trị gần 1−√5
2 }
b.Sư dơng Èn phơ ®a phơng trình tích
Ví dụ 1.
Giải phơng trình
2(x2 + 2) = 5
x3
+1 (1)
Lêi gi¶i: 2(x2 + 2) = 5
√x3
+1 (1)
§K: x ≥ -1(*) Đặt : x+1 = u
x2 x
+1 = v
ĐK: U V ≥ (**) ⇒
(1) ⇔
U2 = x + 1
V2 = x2 – x +
⇔ (2u-v)(u-2v) =
⇔ hc u = 2v ,hc v = 2u
víi u = 2v ⇔ √x+1 = √x2
− x+1 ⇔ 4x2-5x +3 = 0 ; (2)
(4) Víi v = 2u ⇔ √x2− x+1 = √x+1 ; (3) ( 3) ⇔ x2 - 5x - = 0
x1 = 5+√37 x2 = 5−√37
2 S = {5+√37
2 ;
537
Kết Máy tính cho hai nghiệm lµ :
X1 = 5,541381265 ≈ 5+√37 X2 = - 0,541381265 ≈ 5−√37
2
4.Sử dụng ẩn phụ đa phơng trình đẳng cấp
VÝ dụ 1
Giải phơng trình 2x2 - 3x + = x.
√3x −2 (1) Lêi gi¶i:
2x2 - 3x + = x.
√3x −2 (1) §K : x ≥ 32
(1) ⇔ 2x2- (3x-2) = x.
3x 2 Đặt :y = 3x −2
§K : y ≥ (*)
(1) ⇔ 2x2-y2 = xy (2), Cã hai cách giải phơng trình (2) *Cách :Đặt y = tx
(2) ⇔ 2x2-t2x2 = tx2 ⇔ x2(2-t2-t) = 0
⇔ t1=1 t2 =-
*Víi t1= ⇔ √3x −2 = x ⇔ x2-3x+2 = 0
x1 = hc x2 =
*víi : t2 = - ⇔ y = -2x ⇔ y < (lo¹i) VËy S = {1;2}
*Cách 2 : (T ơng tự phần sau đây). Giải phơng trình bậc ẩn y ; (2) ⇔ y2 + xy -2x2 = (3)
⇔ hc y1 = x hc y2 =- 2x (lo¹i) + Víi y1 ta cã x1= ; x2 =
(5)Kết Máy tÝnh cịng cho hai nghiƯm lµ :
X1 = X2 =2
5.Dùng ẩn phụ đa phơng trình bậc ẩn phụ
VÝ dụ1 :
Giải phơng trình dạng : x2+
√x+a =a (1) Lêi gi¶i:
x2+
√x+a =a (1) §K : x≥ - a (*) (1) ⇔ √x+a = a-x2 §K: a- x2 ≥ (**)
Bình phơng hai vế ta đợc :
x+ a = a2 - 2.a.x2 + x4 (2)
(2) ⇔ a2 – (2x2 + 1).a + x4 – x = (3) Giải phơng trình bậc hai với ẩn a ta đợc hai nghiệm: Hoặc a1 = x2 + x + 1
*§K : (*) vµ (**) ; ta cã : x2 + x + – a = (I) Hc a2 = x2 – x
§K : (*) vµ (**) ; ta cã : x2 – x – a = (II)
Tiếp tục giải phơng trình bậc hai (I) (II) hoặc dùng dồ thị ta cã thĨ biƯn ln sè nghiƯm cđa ph¬ng trình (1) dễ dàng.
( Cú ph bn thị minh họa trang sau). 2.Ví dụ 2:
Gi¶i phơng trình
6x2 - 10x + - (4x – 1) √6x2−6x+5 = (1) Lêi gi¶i:
6x2 - 10x + - (4x – 1) √6x2−6x+5 = (1) Đặt 6x26x
+5 = t
§K : t ≥ (*)
(1) ⇔ t2 – (4x-1)t – 4x =
Giải phơng trình bậc hai đối ẩn t ta đợc : *Hoặc t1 = -1 .(loại)
* Hc t2= 4x , (2) Víi x ≥ (**)
(2) ⇔ √6x2
−6x+5 = 4x ⇔ 6x2 – 6x + = 16x2 ⇔ x = −3±√59
10 Kết hợp (*) (**) ta có : S = {−3+√59
(6)M¸y tÝnh cho kÕt qđa X ≈ 0,468114574…≈ −3+√59
10
6.Sư dơng hai ẩn phụ đa hệ phơng trình hai ẩn
a.Ví dụ 1
Giải phơng trình
x + √8− x = Lêi gi¶i:
√x + √8− x = (1) §K: ≤ x ≤ (*) Đặt: U = x
V = 8 x ĐK: U V (**).Phơng trình (1)
U + V =
U2 + V2 = 8 ⇔ U = V =
Hay √x = √8− x =
⇔ x =
S = {4} .
Phơng trình máy tính khơng giải đợc.
(Ta cho máy tìm nghiệm phơng trình √x = - √8− x đợc nghiệm x )
b.Ví dụ 2.
Giải phơng trình :
√97− x +
√x = Lêi gi¶i:
4
√97− x +
√x = , (1) §K: ≤ x ≤ 97 (*)
Đặt:
97 x = U
√x = V
§K: U ≥ vµ V≥ (**) Tõ (1) Ta cã hƯ:
U + V = U4 + V4 = 97
⇔ U1 = hc U2 = V1 =
(7)⇔ x1 = 81 x2 = 16.Kết hợp với (*) ta đợc :
S = {81;16}
M¸y tÝnh cho kết hai nghiệm là :16 81
***HếT***
Vĩnh Hùng,ngày tháng năm 2009. GV viết sáng kiến.
Trịnh Văn Dũng
Tài liệu tham khảo:
1.Hng dn sử dụng máy tính bỏ túi CASIO fx-570 MS tơng đơng 2.Đề thi HSG THCS thi vào lớp 10 THPT năm trớc 2009 3.Toán sơ cấp
4.Toán học& tuổi trẻ.