Phương trình , đường lối chung để giải một phương trình

www.VNMATH.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM HÙNG CƯỜNG PHƯƠNG TRÌ NH, ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM HÙNG CƯỜNG PHƯƠNG TRÌ NH, ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỢT PHƯƠNG TRÌNH CHUN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH PP TOÁN SƠ CẤP NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Tiến sĩ: Nguyễn Minh Hà Trường THPT Chuyên – ĐHSP Hà Nội Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com MỤC LỤC Trang Lời nói đầu…………………………………………………………… Chƣơng 1: ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH………………………… 1.1 Định nghĩa khái niệm biểu thức chứa ẩn…………………… 1.1.1 Đẳng thức 1.1.2 Phƣơng trình 1.2 Định nghĩa khái niệm hàm số 1.2.1 Mệnh đề, mệnh đề chứa biến 1.2.2 Hàm số 1.2.3 Phƣơng trình ẩn 1.3 Nhận xét Chƣơng 2: ĐƢỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƢƠNG TRÌNH 2.1 Bài tốn tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện……………………… 2.2 Bài tốn giải phƣơng trình……………………………………… 2.2.1 Đƣờng lối chung để giải phƣơng trình – Các ví dụ 2.2.2 Phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng………… 13 2.2.3 Phƣơng trình tham số……………………………………… 17 2.3 Đặt điều kiện tốn giải phƣơng trình…………………… 20 2.3.1 Tập xác định phƣơng trình– Điều kiện phƣơng trình 20 2.3.2 Hệ lụy khái niệm tập xác định phƣơng trình – điều kiện xác định phƣơng trình……………………………………… 20 2.3.3 Đặt điều kiện với phƣơng pháp biến đổi hệ thử lại… 29 2.3.4 Đặt điều kiện với phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng…… 35 2.4 Đặt điều kiện toán rút gọn biểu thức, toán chứng minh đẳng thức………………………………………………… 39 Kết luận………………………………………………………………… 43 Danh mục tài liệu tham khảo………………………………………… 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com LỜI NÓI ĐẦU “Phƣơng trình” vần đề quan trọng chƣơng trình tốn phổ thơng, xung quanh khái niệm “ Phƣơng trình” có nhiều vấn đề đáng quan tâm Đƣơng nhiên, vấn đề đƣợc quan tâm vẫn kỹ thuật giải phương trình Tuy nhiên, quan tâm tới kĩ thật giải phƣơng trình nên (SGK ngƣời giáo viên tốn) thƣờng khơng ý tới vấn đề khác: định nghĩa phương trình, đường lối chung để giải phương trình Với em học sinh, tình trạng dẫn đến hệ tất yếu: thấy mà không thấy rừng Rất nhiều học sinh không trả lời đƣợc câu hỏi nhƣ: “1=2 đẳng thức phƣơng trình?”; “Mục đích việc đặt điều kiện giải phƣơng trình?” … Chính lẽ đó, em chọn cho đề tài luận văn: “ Phƣơng trình, đƣờng lối chung để giải phƣơng trình” Luận văn nhằm phân tích cách định nghĩa phƣơng trình chƣơng trình Tốn phổ thơng để từ đƣa nhận xét nên sử dụng cách định nghĩa thuận lợi cho việc giải phƣơng trình phổ thơng Hình thành phƣơng pháp tổng quát giải phƣơng trình quen thuộc từ tốn tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện Phân tích vai trị bƣớc đặt điều kiện giải phƣơng trình đặt điều kiện nhƣ cho đơn giản thuận lợi Em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Minh Hà đã tận tì nh hƣớng dẫn , bảo em trình viết luận văn Đồng thời em xin đƣợc cảm ơn nhà trƣờng thầy giáo, cô giáo tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Chƣơng ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH Trong chƣơng trình tốn phổ thơng khái niệm phƣơng trình đƣợc định nghĩa hai lần hai cách khác 1.1 Định nghĩa khái niệm biểu thức chứa ẩn 1.1.1 Đẳng thức Hai biểu thức nối với dấu đƣợc gọi đẳng thức Mỗi biểu thức nói định nghĩa đƣợc gọi vế đẳng thức Dƣới vài ví dụ = (đẳng thức đúng) = (đẳng thức sai) 5x + = (đẳng thức, sai tuỳ theo giá trị biến x) 3x2 +xy3 = 5zy +z4 (đẳng thức sai tuỳ theo giá trị biến x, y, z) Chú ý: Việc biết đẳng thức hay sai nói chung khơng đơn giản, có biểu thức phức tạp nên để xét chúng hoàn tồn khơng dễ dàng Nhƣ câu hỏi “1 = phƣơng trình hay đẳng thức?” đƣợc trả lời Câu trả lời là: “1 = 2” đẳng thức (đẳng thức sai) phƣơng trình (phƣơng trình vơ nghiệm) 1.1.2 Phƣơng trình Hai biểu thức có chứa đại lƣợng chƣa biết (gọi ẩn) nối với dấu đƣợc gọi phƣơng trình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Mỗi biểu thức nói định nghĩa đƣợc gọi vế phƣơng trình Những giá trị ẩn làm cho phƣơng trình trở thành đẳng thức đƣợc gọi nghiệm phƣơng trình Dƣới vài ví dụ = (phƣơng trình nhận giá trị ẩn làm nghiệm) = (phƣơng trình vơ nghiệm) 5x + = (phƣơng trình (ẩn x) có nghiệm x = ) 3x2 +xy3 = 5zy +z4 (phƣơng trình ba ẩn x, y, z phƣơng trình có nhiều nghiệm, (x, y, z)=(0, 0, 0) nghiệm nó) Trừ số loại phƣơng trình đƣợc giới thiệu chƣơng trình tốn phổ thơng, nhìn chung việc tìm nghiệm phƣơng trình khơng đơn giản 1.2 Định nghĩa khái niệm hàm số 1.2.1 Mệnh đề, mệnh đề chứa biến Một câu khẳng định sai đƣợc gọi mệnh đề Câu khẳng định đƣợc gọi mệnh đề Câu khẳng định sai đƣợc gọi mệnh đề sai Mệnh đề chứa hay nhiều biến nhận giá trị tập X tính sai chúng tùy thuộc vào giá trị cụ thể biến đƣợc gọi mệnh đề chứa biến 1.2.2 Hàm số Cho tập số thực khác rỗng D Hàm số f xác định D quy tắc đặt tƣơng ứng số x thuộc D với số, kí hiệu f(x) Số f(x) đƣợc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com gọi giá trị f x Tập D đƣợc gọi tập xác định (hay miền xác định), x đƣợc gọi biến số hay đối số f 1.2.3 Phƣơng trình ẩn Cho hai hàm số y = f(x) y = g(x) có tập xác định lần lƣợt Df Dg Đặt D giao Df Dg Mệnh đề chứa biến “ f(x) = g(x)” đƣợc gọi phƣơng trình ẩn, x gọi ẩn số, D đƣợc gọi tập xác định phƣơng trình Số x0 thuộc D đƣợc gọi nghiệm phƣơng trình f(x) = g(x) “f(x0) = g(x0)” mệnh đề 1.3 Nhận xét Với em học sinh phổ thông, định nghĩa hai định nghĩa hợp lí? Ta phân tích để tìm câu trả lời Trong lịch sử toán học, khái niệm “Phƣơng trình” có trƣớc khái niệm “Hàm số” Nói cách khác, khơng có khái niệm hàm số, lồi ngƣời biết định nghĩa phƣơng trình (một cách chặt chẽ) khái niệm đẳng thức chứa ẩn Tất loại phƣơng trình đƣợc đề cập đến chƣơng trình Tốn phổ định nghĩa khái niệm đẳng thức chứa ẩn Định nghĩa khái niệm hàm số mở rộng thêm lớp phƣơng trình 2x  x  Ví dụ, phƣơng trình f(x) = g(x), f(x)   x  3x  x  g(x) = x2 – x + 3, định nghĩa khái niệm hàm số định nghĩ khái niệm đẳng thức chứa ẩn Tuy nhiên, SGK đại số 10, 11, 12 khơng có ví nhƣ ví dụ trên, đó, đa số học sinh thấy đƣợc ý nghĩa mở rộng nói Định nghĩa phƣơng trình khái niệm hàm số dễ dẫn đến khái niệm tập xác định phƣơng trình thực tế, SGK đại số 10 có khái niệm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Khi đƣa khái niệm toán học mới, tác giả khái niệm trƣớc hết phải trả lời đƣợc câu hỏi “Để làm gì?” Hình nhƣ tác giả khái niệm tập xác định chƣa nghĩ tới việc trả lời câu hỏi Sự xuất khái niệm tập xác phƣơng trình – điều kiện phƣơng trình kéo theo quan niệm sai lầm: trước giải phương trình cần phải tìm tập xác định phương trình – điều kiện phương trình Vì định nghĩa khái niệm hàm số nên SGK đại số 10 rơi vào tình trạng tiền hậu bất nhất: định nghĩa phƣơng trình ẩn khái niệm hàm số, định nghĩa phƣơng trình nhiều ẩn khái niệm biểu thức chứa ẩn Rất phản sƣ phạm! Tất lập luận giúp ta đến khẳng định: nhiều tốn giải phƣơng trình ta khơng thiết phải tìm tập xác định, điều kiện bắt tay vào giải, ta thực bƣớc tìm điều kiện nhƣ bƣớc lời giải Khẳng định đƣợc minh hoạ cụ thể ví dụ mục 2.3.2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Chƣơng ĐƢỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƢƠNG TRÌNH 2.1 Bài tốn tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện toán quen thuộc với tất Về hình thức, đƣợc phát biểu nhƣ sau Tìm tất đối tƣợng A(a ) Kí hiệu A(a ) biểu thị đối tƣợng A có tính chất a Cùng với kí hiệu A(a ), ta cịn dùng kí hiệu A(a ) để biểu thị đối tƣợng A khơng có tính chất a Các kí hiệu A(a ) A(a ) có hiệu lực tồn luận văn Trong tốn tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện, thuật ngữ “tìm” cần phải hiểu “tìm hết” khơng phải “tìm đƣợc” Nói cách xác, tìm tập hợp {A A(a )} Bài tốn tìm đối tượng thoả mãn điều kiện có ba phƣơng pháp giải, đƣợc mơ hình hố nhƣ sau Phƣơng pháp 1: biến đổi hệ quả thử lại* Bƣớc 1: biến đổi hệ quả* A(a ) Þ A Ỵ T Bƣớc 2: thử lại* A Ỵ T Þ A(a ) Phƣơng pháp 2: biến đổi tương đương* A(a ) Û A Ỵ T Chú ý: Về phƣơng diện logic, phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng pháp biến đổi hệ thử lại Tuy nhiên, lời giải tốn tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện cụ thể, sử dụng phƣơng pháp hai phƣơng pháp vấn đề khơng đơn giản địi hỏi ngƣời giải tốn phải có kĩ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Phƣơng pháp 3: đoán nhận khẳng định* Bƣớc 1: đoán nhận* Bằng cách T Ð {A(a )} Bƣớc 2: khẳng định* A Ï T Þ A(a ) A ẻ T ị A(a ) Chỳ ý: Nếu sử dụng phƣơng pháp đoán nhận khẳng định ta phải có cơng đoạn đốn nhận tập hợp T trƣớc tiến hành thao tác khẳng định: chứng minh A ẻ T ị A(a ) Nh vy, phng pháp đốn nhận khẳng định khơng tự nhiên phƣơng pháp biến đổi hệ quả thử lại Vì lí trên, phương pháp đốn nhận khẳng định đƣợc sử dụng phƣơng pháp biến đổi hệ quả thử lại Cần phải nói thêm rằng, để giải tốn tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện, phƣơng diện lôgic, song hành với phƣơng pháp 1, cịn có hai phƣơng pháp giải khác, đƣợc mơ hình hố nhƣ sau Phƣơng pháp 1’, bao gồm hai bƣớc Bƣớc A Ï T Þ A(a ) Bƣớc A(a ) Þ A Ï T Phƣơng pháp 3’, bao gồm hai bƣớc Bƣớc A(a ) Þ A Ỵ T Bƣớc A(a ) Þ A Ï T Tuy nhiên, thực tế giải toán, để giải tốn tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện, ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp 1, 2, 3, phƣơng pháp 1’, 3’ không đƣợc sử dụng 2.2 Bài tốn giải phƣơng trình 2.2.1 Đƣờng lối chung để giải phƣơng trình – Các ví dụ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com  5 x  x  3x   2x   x  3x   2x   x  5x      5 x   Ta có Ta có 5 5    2 2 Do x  5 khơng nghiệm (1) 2  5  5 5 2      2   Ta có Do x  5 nghiệm (1) Tóm lại (1) có nghiệm x  5 Cách Điều kiện 2x    x  Ta có  5 x  x  3x   2x   x  3x   2x   x  5x      5 x   Ta có 5 5   2 Do x  5 khơng nghiệm (1) 2 Ta có  5  5 5 2      2   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Do x  5 nghiệm (1) Tóm lại (1) có nghiệm x  5 Nhận xét Các phép biến đổi hệ  x   x  3x     x  x  3x   2x     x2 2x      x  2 “mịn” tất nhiên phức tạp phép biến đổi hệ x  3x   2x   2x    x  Tuy nhiên, hai có tác dụng: loại ngay, khơng phải thử trực tiếp vào (1), giá trị x  5 Do lời giải hay lời giải Ví dụ 2.3.3.2: Giải phƣơng trình x   x  (1) Lời giải Cách Điều kiện x  Ta có Ta có  5 x  x   x   x   x  4x   x  5x      5 x   5 5 3   1   2 Do x  5 5 x  thoả mãn điều kiện x 1  2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Ta có 5 1  Do x  Ta có  5  5        5 nghiệm (1) 5 1 5 2 0  2 Do x  5 nghiệm (1) Tóm lại (1) có nghiệm x  5 Lời giải Ta có  5 x  x   x   x   x  4x   x  5x      5 x   Ta có 5 1  Do x  Ta có  5  5        5 nghiệm (1) 5 1 2   2 Do đó, dù 5 5  vô nghĩa hay có nghĩa x  khơng phải 2 nghiệm (1) Tóm lại (1) có nghiệm x  5 Nhận xét Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Phép biến đổi hệ x   x   x   qúa “thơ” nên khơng có lợi việc tìm nghiệm (1) Do điều kiện x 1  làm cho lời giải dài cách không cần thiết Vì khơng sử dụng điều kiện x 1  nên lời giải ngắn gọn lời giải Ví dụ 2.3.3.3: Giải phƣơng trình x2  4x   x2 x2 (1) Lời giải Cách Điều kiện x  x2  4x   x2 x2  x2  x   x   x2  5x   ( x  5) x  x   x  Vì x = không thỏa mãn điều kiện, nên nghiệm Thử lại, x = thấy thỏa mãn (1) Vậy (1) có nghiệm x = Cách x2  4x   x2 x2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com  x2  x   x   x2  5x   ( x  5) x  x   x  Vì x = khơng thỏa mãn điều kiện, nên nghiệm Thử lại, x = thấy thỏa mãn (1) Vậy (1) có nghiệm x = Nhận xét Vì việc kiểm tra x = không thoả mãn điều kiện x > việc kiểm tra x x2  4x   x  dễ nhƣ nên lời giải = không thoả mãn điều kiện x2 lời giải có độ khó dễ nhƣ Nói cách khác, biến đổi hệ x2  4x   x   x    x  khơng có ý nghĩa việc giải x2 phƣơng trình (1) Ví dụ 2.3.3.4: Giải phƣơng trình x    x  sin x (1) Lời giải Cách Điều kiện x   x   1  x    x   sin x   Vì khơng có x thoả mãn điều kiện nên (1) vơ nghiệm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Cách x   x  x    x  sin x    1  x  x  Ta có Vì khơng có x thoả mãn điều kiện nên (1) vô nghiệm Cách x    x  sin x  x    x  x   x  sinx  x   x  sinx+1   x-2 1  x    sinx+1 Nhận xét Vì biến đổi hệ đổi hệ x   x   x    x  x  1  x    sin x   x   x   x  x    x  sin x    1  x  x  phức tạp biến nên cách hay cách Tuy nhiên cách cách giải tồi nhất, có cảm giác nhƣ khơng thể giải đƣợc phƣơng trình  x-2 1  x    s inx+1 2.3.4 Đặt điều kiện với phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng Nếu giải phƣơng trình phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng việc đặt điều kiện có vai trị hỗ trợ q trình biến đổi tƣơng đƣơng Hiểu rõ vấn đề này, ta biết cách đặt điều kiện cho hợp lí giải phƣơng trình phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng Nhận định đƣợc minh hoạ qua ví dụ có kèm theo nhận xét dƣới Ví dụ 2.3.4.1: Giải phƣơng trình x  3x   2x  (1) Lời giải Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Cách x  x  Điều kiện x  3x     Ta có  5 x  x  3x   2x   x  3x   2x   x  5x      5 x   x  Kết hợp với điều kiện  , (1) có nghiệm x  x  5 Lời giải 2: Điều kiện 2x    x  Ta có  5 x  x  3x   2x   x  3x   2x   x  5x      5 x   Kết hợp với điều kiện x  , (1) có nghiệm x  5 Cách 1’ Ta có  x  3x   2x  x  3x   2x     x  3x    5  x    x  5x   5 5      x    x  x   x     x     x  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Lời giải 2’ Ta có  x  3x   2x  x  3x   2x    2x    5  x    x  5x   5      x    x  x      x   Nhận xét x  biến đổi x  Trong lời giải 1, khơng có điều kiện x  3x     tƣơng đƣơng x  3x   2x   x  3x   2x  không Trong lời giải 2, khơng có điều kiện 2x    x  biến đổi tƣơng đƣơng x  3x   2x   x  3x   2x  khơng Vì điều kiện 2x    x  đơn giản điều kiện x  nên lời giải đơn giản lời giải x  3x     x  Ta so sánh lời giải lời giải ví dụ 2.3.3.1 ví dụ 2.3.3.2 với ví dụ 2.3.3.1 mục 2.3.3 để thấy đƣợc tính ƣu việt phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng: thử lại nghiệm, cụ thể, khơng phải kiểm tra tính “đúng” đẳng thức 5 5 1   2 Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng cách cách 2, phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng điều kiện (đã đƣợc nói tới trong Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com mục 2.2.1 2.2.2) , dành cho làm quen với cách giải phƣơng trình phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng Cách 1’ cách 2’ hình thức thể khác cách cách 2, dành cho quen thuộc với cách giải phƣơng trình phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng Cách 1’ cách 2’ khẳng định nhận xét nêu “Nếu giải phƣơng trình phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng việc đặt điều kiện có vai trị hỗ trợ q trình biến đổi tƣơng đƣơng” Ví dụ 2.3.4.2 Giải phƣơng trình x  2x  2x  4x (1) Lời giải Cách x  2x  2x  4x   x   2x  2x  4x   Vì phƣơng trình = nhận x nghiệm nên (1) nhận x nghiệm Cách   x   x      x   x  Điều kiện 2x    2x  4x    x    x  Ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com x  2x  2x  4x   x   2x  2x  4x   Vì phƣơng trình = nhận x nghiêm nên, ý (1) nhận x2 x  2, suy nghiệm Cách Ta có x  2x  2x  4x  x   2x  2x  4x   x   x    x  Nhận xét Cách sai, biến đổi x  2x  2x  4x   x  2 2x  2x  4x không Cách đúng, điều kiện x  2, biến đổi x  2x  2x  4x   x  2 2x  2x  4x  x   2x  2x  4x   2x  4x  nên cách Vì  x   x   Đƣơng nhiên cách đơn giải cách 2.4 Đặt điều kiện toán rút gọn biểu thức, toán chứng minh đẳng thức Đẳng thức phƣơng trình hai khái niệm khác hồn tồn khác nhƣng mặt hình thức đẳng thức phƣơng trình lại giống Do đó, nhiều giáo viên tốn thƣờng bắt học sinh đặt điều kiện giải Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com toán: rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức Thậm chí, nhiều kì thi ngƣời làm đáp án có tính điểm phần đặt điều kiện toán: rút gọn biểu thức, chứng minh hẳng đẳng thức Phức tạp mà nhiều sách liệu tham khảo, trang có rút gọn biểu thức có phần đặt điều kiện, trang có chứng minh đẳng thức khơng có phần đặt điều kiện ngƣợc lại trang có rút gọn biểu thức khơng có phần đặt điều kiện, trang có chứng minh đẳng thức có phần đặt điều kiện ngƣợc lại Để chấm dứt tình trạng hỗn loạn nói trên, luận văn xin nêu hai ví dụ đơn giản có kèm theo nhận xét nhằm khẳng đị nh rằng: giải toán rút gọn biểu thức tốn chứng minh đẳng thức, khơng cần có phần đặt điều kiện Ví dụ 2.4.1 Rút gọn biểu thức sau: A x2  x2 +) Lời giải đúng: Ta có: ( x  2)( x  2) x2  x2 A Nhận xét A đƣợc rút gọn, A = x + (tất nhiên điều kiện A có nghĩa) +) Lời giải chưa hồn thiện: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ( x  2)( x  4) A ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  4)  ( x  4)  x2 Nhận xét Lời giải chƣa hồn thiện, chứng minh đƣợc: A = x+ với x  2 Muốn hoàn thiện lời giải này, ta làm nhƣ sau: Khi x  2 , ta có A ( x  2)( x  4) ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  4)  ( x  4)  x2 Khi x = – 2, ta có A=0=x+2 Tóm lại, với x làm cho A có nghĩa, A = x + Khơng có lí buộc ngƣời làm toán phải đặt điều kiện x   Ví dụ 2.4.2 Chứng minh đẳng thức sau: x  2x  x  2x  Lời giải Vậy x2 2x   x   2x 2x  4x  2x  4x 2x  4x (khi x làm cho hai vế đẳng thức có nghĩa) Nhận xét Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Đẳng thức x2 2x  2x  4x điều kiện hai vế đẳng thức có nghĩa Khơng có lí buộc ngƣời làm toán phải đặt điều kiện   x   x      x   x  2x    x2 2x  4x      x  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com KẾT LUẬN Trên toàn luận văn em Luận văn nói đƣợc rõ định nghĩa phƣơng trình đẳng thức Để trả lời đƣợc câu hỏi: “1 = phƣơng trình hay đẳng thức?” mà ban đầu đặt Luận văn nói đƣợc sở tự nhiên để hình thành phƣơng pháp tổng quát để giải phƣơng trình Trong nhiều tốn giải phƣơng trình, luận văn phức tạp, rƣờm rà lời giải sử dụng khái niệm miền xác định phƣơng trình và vận dụng máy móc khái niệm miền xá c đị nh của phƣơng trì nh ; luận văn nêu đƣợc ý nghĩa đặt điều kiện giải phƣơng trình, đƣợc vai trị bƣớc đặt điều kiện toán giải phƣơng trình ta sử dụng phép biến đổi “tƣơng đƣơng” “biến đổi hệ thử lại” Từ mà học sinh biết đƣợc lúc nên đặt điều kiện phƣơng trình đặt điều kiện nhƣ cho đơn giản Từ việc đặt điều kiện giải phƣơng trình luận văn đề cập tới khía cạnh: tốn rút gọn, chứng minh đẳng thức có cần đặt điều kiện hay khơng? Và câu trả lời là: toán rút gọn, chứng minh đẳng thức ta không cần đặt điều kiện Luận văn cố gắng em Tuy nhiên thời gian lực có hạn nên luận văn em có nhiều thiếu sót Rất mong đƣợc đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Vĩnh Cận – Sai lầm phổ biến giải Toán – NXB GD - 1997 [2] Phạm Minh Phƣơng – Nguyễn Sơn Hà – Đề thi tuyển sinh THPT Chun mơn tốn 1998 – 2009 – NXB GD - 2009 [3] Đoàn Quỳnh – Đại số 10 (Nâng cao) – NXB GD - 2006 [4] Nguyễn Đức Tấn – Phƣơng trình Hệ phƣơng trình khơng mẫu mực – NXB GD - 1998 [5] Tôn Thân – Đại số – NXB GD - 2004 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Đƣờng lối chung để giải phƣơng trình – Các ví dụ 2.2.2 Phƣơng trình hệ qu? ?, phƣơng trình tƣơng đƣơng………… 13 2.2.3 Phƣơng trình tham số……………………………………… 17 2.3 Đặt điều kiện tốn giải phƣơng trình? ??…………………... nhiên, quan tâm tới kĩ thật giải phƣơng trình nên (SGK ngƣời giáo viên tốn) thƣờng khơng ý tới vấn đề khác: định nghĩa phương trình, đường lối chung để giải phương trình Với em học sinh, tình... “1=2 đẳng thức phƣơng trình? ”; “Mục đích việc đặt điều kiện giải phƣơng trình? ” … Chính lẽ đ? ?, em chọn cho đề tài luận văn: “ Phƣơng trình, đƣờng lối chung để giải phƣơng trình? ?? Luận văn nhằm