TÝnh gãc AHM.[r]
(1)đề thi Olympic năm học 2009 - 2010 Mơn: tốn - lớp 8
(Thêi gian làm 120 phút) -Câu1: Cho biểu thức: A = (
1− x+
2
x+1−
5− x
1− x2):
1−2x x3− x
a) Tìm điều kiện xác định A, rút gọn biểu thức A b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
C©u2: a) Ph©n tích đa thức thành nhân tử: (3x 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3
b) áp dụng giải phơng trình:
(3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3
Câu3: a) Giải phơng trình: ||2x|1| = 2x + b) Cho sè thùc x tho· m·n: x
x2− x+1=
1 Tính giá trị biểu thức: B = x
4−3x3
+18x −1 x3−2x2
+x+1 C©u4: Cho x, y số thực không âm thoà mÃn:
x2 – 2xy + x - 2y Tính giá trị lớn biẻu thøc:
M = x2 – 5y2 + 3x
Câu5: Cho tam giác ABC vuông A( AC > AB), đờng cao AH Trên tia HC lấy HD = HA Đờng vng góc với BC D cắt AC E
a) Chøng minh: AE = AB
b) Gọi M trung điểm BE TÝnh gãc AHM
-Híng dÉn chÊm thi Olympic năm học 2009-2010 Môn: toán - lớp 8
Câu1: (3đ)
a) (2đ) +)Điều kiện:
x ≠ ±1
x ≠0
x ≠1
2 ¿{ {
¿
+) Quy đồng mẫu số biến đổi đợc: A = 2x 1−2x b) (1đ) Ta có A = 2x
1−2x = -1 +
1−2x Suy A nhận giá trị nguyên – 2x = ±1 ⇔ x = hc x =
Đối chiếu ĐK ban đầu x = x = không thoà mÃn Vậy giá trị x thoà mÃn yêu cầu toán
Câu2:(4đ)
a) (2đ) Chứng minh: Nếu a + b + c = th× a3 + b3 + c3 = 3abc
¸p dơng ta cã: (3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3
= (3x – 2)3 + ( - x + 3)3 + ( - 2x - 1)3
= 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1) b) (2®) Ta cã: (3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3
(2)⇔ 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1) = ⇔ x =
3 hc x = hc x = - Câu3:(4đ)
a)(2) +) Vi x 0: Phơng trình cho trở thành |2x −1| = 2x + Giải đợc x =
+) Với x 0: Phơng trình cho trở thành |2x+1| = 2x + Giải đợc x −1
2 Suy nghiệm phơng trình cho là: −1
2 ≤ x ≤0 b)(2đ) Từ giả thiết suy x2 x + = 2x hay x2 = 3x – 1.
Suy x vµ x3 = (3x – 1)x = 3x2 – x = 8x – 3
x4 = (8x – 3)x = 8x2 – 3x = 21x -8
Do B = x 4−3x3
+18x −1 x3−2x2+x+1 =
21x −8−3(8x −3)+18x −1
8x −3−2(3x −1)+x+1 =
15x
3x =
15
3 =5
Câu4: (3đ) Ta cã x2 – 2xy + x - 2y =(x – 2y)(x + 1) 0 ¿
⇒x ≤2y¿ v× x
nªn x + > 0)
Do M = x2 – 5y2 + 3x 4y2 – 5y2 + 6y = -y2 + 6y = -(y – 3)2 + 9
M = vµ chØ y = 3, x = Vậy giá trị lớn M Câu5: (6đ)
a)(3đ) Ta có CDE ~ CAB(hai tam giác vuông có góc C chung) ⇒CE
CB= CD
CA ⇒ΔCAD ~ ΔCBE⇒^A1=^B1⇒^E1=^D1=45° (Vì AHD vuông cân) ABE vuông cân AE = AB(đfcm)
b)(3đ) Từ ABE vuông cân kết hợp với GT suy AM BE.Kéo dài AM cắt BC t¹i K Ta cã: Δ AHK ~ Δ BMK ⇒ AK
BK = HK
MK ⇒ΔAKB ~ Δ HKM
⇒∠MHK =∠BAK=45∘ (vì Δ ABE vng cân nên AM vừa lầ đờng trung tuyến vừa đờng phân giác suy ∠BAK=45∘ ) ⇒∠AHM=45∘
A
C
B H
E
D K
M
1 CA