De Dap An Olympic Toan 7

Gäi H lµ trung ®iÓm BC.. KÎ ®êng cao BK.[r]

đề thi Olympic năm học 2009-2010 Môn: tốn - lớp 7

(Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u1.

a.TÝnh:

0 1 14

2 :

2 25



   

  

   

   

b So s¸nh: A 2 12 20 30 42 B24 Câu 2:

c Cho 2 4

x y z

a b c  a b c   a b c Chøng minh r»ng:

2 4

a b c

x y z  x y z   x y z (Với abc0và mẫu khác o)

b Cho hm số: f x

 

xác đinh với moi giá tri x R Biết với x0 ta có

 

2

1

f x f x

x     

  TÝnh f

 

2 . Câu

a Tìm x biết:

x 5



x1



x 5



x11   

b T×m tÊt giá tri nguyên dơng x y cho: 1

5 x y  Câu 4:

Tìm giá trị nhỏ biểu thøc:

2008 2009 2010 2011 2008

A x  x  y  x 

C©u 5.

Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lần lợt lấy điểm M N cho BM=MN=NC Gọi H trung điểm BC

a Chøng minh: AM=AN vµ AHBC b Chøng minh MAN BAM

c Kẻ đờng cao BK Biết AK= 7cm; AB=9cm Tính độ dài BC

-Câu 1(4đ) 1.a(2đ) 1.b(2đ) Câu 2(4đ) 2.a(2đ) 2.b(2đ) Câu 3(4đ)

Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010 Môn: toán - lớp 7

Ta cú:

(

23:1

2

)

8+3

−2

9−7

(

14 25

)

0

+5

(

8 :1 2

)

1 8+

1

32 9−7 1+5 16

8+

9.9−7+5=1 Ta có:

A=√2+√6+√12+√20+√30+√42

√2,25+√6,25+√12,25+√20,25+√30,25+√40,25

¿1,5+2 5+3,5+4,5+5,5+6,5=24=B

Vậy A<B

Từ giả thiết suy ra:

¿

x a+2b+c=

2y

4a+2b−2c= z

4a −4b+c=

x+2y+z

9a (1)

2x

2a+4b+2c= y

2a+b −c= z

4a−4b+c=

2x+y − z

9b (2)

4x

4a+8b+4c=

4y

8a+4b−4c= z

4a −4b+c=

4x −4y+z

9c (3)

¿

Từ (1), (2), (3) ta có:

x+2y+z

9a =

2x+y − z

9b =

4x −4y+z

9c

Hay x 9a

+2y+z=

9b

2x+y − z=

9c

4x −4y+z

Vậy x a

+2y+z= b

2x+y − z= c

4x −4y+z

Với x=2 ta có: f (2)+2f

(

1

2

)

=4 Với x=1

2 ta có f

(

2

)

+2f (2)= Giải tìm f(2)=−7

3.a(2đ)

3.b(2đ)

Câu4(2đ)

Câu 5(6đ) 5.a(2đ) 5.b(2đ)

5.c(2đ)

(x 5)x+1=(x 5)x=11

⇔(x −5)x+1−(x −5)x+1(x −5)10=0

¿

⇔(x −5)x+1

[

1−(x −5)10

]

=0 (x −5)x+1=0

(x −5)10=1

¿ ⇔¿

Giải tìm x=4 x=5 x=6

Từ

1

x+

1

y=

1

⇒xy−5x −5y=0

⇔x(y −5)−5(y −5)=25

⇔(x −5) (y −5)=25

Vì x, y nguyên dương ⇒x −5; y −5 thuộc ước 25

Giải tìm cặp giá trị x; y nguyên dương thoả mãn điều kiện toán là: (x=30,y=6); (x=10, y=10);(x=6, y=30)

Áp dụng tính chất |a|=|− a| |a|+|b|≥|a+b| , dấu “=” xảy ab≥0 |a|≥0 dấu “=” xảy a=0 Ta có:

¿

|x −2008|+|x −2011|=|x −2008|+|2011− x|≥|x −2008+2011− x|=3

¿

Dấu “=” xảy 2008≤ x ≤2011

và |x −2009|≥0 dấu “=” xảy x=2009 |y −2010|≥0 dấu “=” xảy 2010

⇒ A ≥3+2008=2011 dấu “=” xảy x=2009 y=2010

Vậy giá trị nhỏ A 2011 x=2009 ; y=2010

-Chứng minh đựơc ABM=ACN(cgc) AM=AN - Chứng minh đựơc ABH=ACH(cgc)

0

90

AHB AHC AH BC

    

Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD=MA

Chứng minh đợc AMNDMB cgc





 MAN BDM AM=AN=BD

-Chứng minh đợc BA>AM BA>BD

-XÐt BAD cã BA>BD  BDA BAD hay MAN  BAM Vì AK A 900 nên có hai trờng hợp xảy

TH1:

-BAC nhọn k nằm hai điểm A,C Mà AC=AB AC 9cm KCAC AK

-AKB vuông K BK2 AB2 AK2 32 -AKC vuông K nên ta cã

0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5 1®

1®

H M B

A

C N

K

BC= BK2KC2 6cm TH2:

-BAC tï A nằm hai điểm K,C KC=AK+AC=16cm -ABK vuông K BK2 AB2 AK2 32

-BKC vu«ng tai K  BC  BK2KC2  288 VËy BC=6cm hc BC= 288cm