Một số vấn đề về vi phân của hàm lồi

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN BÙI NHƯ THÀNH NHÂN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VI PHÂN CỦA HÀM LỒI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐÀ NẴNG - 2015 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN BÙI NHƯ THÀNH NHÂN 11ST MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VI PHÂN CỦA HÀM LỒI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP CÁN BỘ HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN NIÊN KHĨA 2011-2015 LỜI CẢM ƠN Khóa luận hồn thành hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo TS Nguyễn Duy Thái Sơn Tôi xin phép gửi đến thầy kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tận tâm Thầy thân thời gian làm khóa luận mà cịn suốt q trình học tập Tôi xin phép gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Sư Phạm Tốn trường ĐHSP Đà Nẵng tồn thể q thầy Khoa Tốn trường ĐHSP Đà Nẵng, người cho kiến thức, quan tâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thời gian thực đề tài Bản khóa luận chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn sinh viên để khóa luận hồn chỉnh Cuối cùng, xin phép gửi lời cảm ơn đến người thân, bạn bè quan tâm động viên giúp đỡ suốt quãng đường học tập vừa qua Đà Nẵng, tháng năm 2015 Bùi Như Thành Nhân MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Mở đầu Chương Các kiến thức tập lồi hàm lồi 1.1 Tập lồi…………………………………………………………………….5 1.2 Hàm lồi………………………………………………………………… 10 1.2.1 Hàm lồi…………………………………………………………….10 1.2.2 Tính liên tục hàm lồi………………………………………… 15 1.2.3 Bao đóng hàm lồi…………………………………………… 16 1.2.4 Hàm liên hợp………………………………………………………16 Chương Vi phân hàm lồi 18 2.1 Đạo hàm theo hướng……………………………………………….……18 2.2 Dưới vi phân tính chất……………………………………….… 22 2.3 Vi phân hàm lồi tính chất………………………………… 29 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT : không gian Euclid n - chiều trường số thực; : tập số thực; : tập số thực mở rộng (   {-, }); : tập số tự nhiên; *  \ {0}; inf : Cận đúng; sup: Cận đúng; min: Cực tiểu; max: Cực đại; x  y : x  ( y, ) x dần đến y ; n Với véc-tơ cột x, y  n , ký hiệu: xi : tọa độ thứ i x ; xT : véc-tơ hàng (chuyển vị x ); n  x, y  x y  xy :  x j y j : tích vơ hướng hai véc-tơ x y ; T j 1 || x || : chuẩn Euclide – khoảng cách từ điểm x đến điểm gốc không gian vec-tơ Euclide, || x ||2   x, x ; Với tập A  n , ký hiệu: A : bao đóng A; conv A : bao lồi A; aff A : bao affine A; intA: phần A; Với hàm f n biến, ký hiệu: cl f : hàm bao đóng f ; dom f : miền hữu hiệu f ; f * : hàm liên hợp f ; epi f : đồ thị f ; f ( x) : vi phân f x ; f ( x) : gradient f x ; f ( x, d ) : đạo hàm theo hướng d f x MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Giải tích lồi mơn quan trọng giải tích phi tuyến đại Giải tích lồi nghiên cứu khía cạnh giải tích khái niệm, tính chất tập lồi hàm lồi Dưới vi phân vi phân hàm lồi khái niệm quan trọng hàm lồi, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu đạt nhiều kết sâu sắc với ứng dụng quan trọng lĩnh vực khác Trong khóa luận “Một số vấn đề vi phân hàm lồi”, tìm hiểu kiến thức quan trọng vi phân vi phân hàm lồi Mục đích nghiên cứu Tơi mong muốn tìm kiếm nhiều tài liệu từ nguồn khác nhau, nghiên cứu kỹ tài liệu đó, cố gắng lĩnh hội đầy đủ kiến thức vi phân vi phân hàm lồi, để trình bày lại kiến thức khóa luận theo cách hiểu hy vọng sử dụng tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên trường đại học Trong chương khóa luận này, nghiên cứu kiến thức tập lồi hàm lồi Đây kiến thức bổ trợ cho chương khơng chứng minh khóa luận Trong chương 2, ta đề cập đến đạo hàm theo hướng, vi phân, vi phân hàm lồi số tính chất chúng Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Vi phân vi phân hàm lồi 3.2 Phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu tập lồi, hàm lồi không gian - Đạo hàm theo hướng vi phân hàm lồi n - Vi phân hàm lồi số tính chất quan trọng chúng Phương pháp nghiên cứu Cơ sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách tài liệu internet có liên quan đến đề tài khóa luận) để thu thập thơng tin trình bày nội dung, phục vụ cho yêu cầu đề tài Bố cục đề tài Mở đầu Chương 1: Các kiến thức tập lồi hàm lồi 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lồi Chương 2: Vi phân hàm lồi 2.1 Đạo hàm theo hướng 2.2 Dưới vi phân tính chất 2.3 Vi phân hàm lồi tính chất Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Các kiến thức tập lồi hàm lồi Trong khóa luận này, làm việc với không gian Euclid n - chiều trường số thực Khơng gian kí hiệu n Chương nhằm giới thiệu khái niệm tập lồi hàm lồi, với tính chất đặc trưng Các kiến thức chương lấy từ sách + “Convex Analysis” tác giả R Tyrrell Rockafellar + “Cơ sở giải tích lồi” tác giả Huỳnh Thế Phùng Do chương mang tính chất bổ trợ, nên ta không chứng minh kết nêu 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Đoạn thẳng nối hai điểm x y n tập hợp ký hiệu [x, y] có dạng: [x, y]  {(1   ) x   y |    1} Đoạn thẳng suy biến thành tập gồm điểm x  y Chú ý: [y, x]  [x, y] Định nghĩa 1.2 Tập C  n gọi lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm nó; tức là: C lồi x  C, y  C,   (0,1)   x  (1   ) y  C Có thể thay (0,1) [0,1] Hình 1.1 Tập lồi tập khơng lồi Ví dụ 1.1 (Về tập lồi) a) n ,  , {x} tập lồi n (với x  b) Tập C  [  1,3) tập lồi n n ) c) Các tam giác, hình trịn mặt phẳng tập lồi Ví dụ 1.2 (Về tập khơng lồi) a) Tập C  [  2,3)  (3,6) không tập lồi b) Tập C  {( x, y)  | xy  0} không tập lồi Định nghĩa 1.3 Ta nói x tổ hợp lồi điểm (véc-tơ) x1, x2 , , xm m x   i xi i  0, i  1, , m i 1 Định lý 1.1 Tập C  n m    i 1 i lồi C chứa tổ hợp lồi phần tử Định nghĩa 1.4 Siêu phẳng khơng gian {x  b  n n n tập hợp điểm có dạng | b, x   }, véc-tơ khác   Véc-tơ b gọi véc-tơ pháp tuyến siêu phẳng Một siêu phẳng chia không gian hai nửa không gian Nửa không gian định nghĩa sau: Định nghĩa 1.5 Nửa không gian tập hợp có dạng b  n {x  n | b, x   } (1) {x  n | b, x   } (2) {x  n | b, x   } (3) {x  n | b, x   } (4) véc-tơ khác   Các tập có dạng (1), (2) gọi nửa khơng gian đóng; tập có dạng (3), (4) gọi nửa khơng gian mở Nếu b  tập số tập (1), (2), (3), (4)  n (không xem nửa không gian) Nhận xét: Các nửa không gian tập lồi Định lý 1.2 Giao họ tập lồi tập lồi Định nghĩa 1.5 Giao tất tập lồi n chứa tập S  n cho trước gọi bao lồi S kí hiệu conv S Rõ ràng theo định lí 1.2 , conv S tập lồi bé (trong Hình 1.2 Bao lồi tập n ) chứa S + Tại điểm x  , ta có: f (0)  {x*|  x*, x  0  f (0)  f ( x), x}  {x*|  x*, x  || x ||, x} Vì f (0) nên f (0)   , f khả vi phân + Với x  , ta có f ( x)  {x*|  x*, z  x  f ( x)  f ( z ), z}  {x*|  x*, z  x || x ||  || z ||, z} Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: || z ||   z, x.|| x ||1  || z ||  || x ||   z,|| x ||1 x || x || mà  x,|| x ||1 x  || x ||1  x, x  || x ||  || z ||  || x ||   z,|| x ||1 x   x,|| x ||1 x   z  x,|| x ||1 x  || x ||1 x f ( x)  f ( x)   Do f khả vi phân với x  2) Một trường hợp quan trọng định lý vi phân f hàm tập lồi C : Hàm  (.| C ) tập lồi C   có vi phân x  C nón pháp tuyến ngồi C x , tức  ( x | C )  NC ( x) Thật vậy: x* ( x | C )   x*, z  x   ( z | C ), z Nếu z  C  ( x | C )   , nên (1) ln Nếu z  C  ( x | C )  {x*|  x*, z  x  0, z  C}  NC ( x) 23 (1) 3) Cho hàm affine: f ( x)   x*, x   ( x*  Khi f ( x)  x * ( x  n n ,   ) ) Định lý sau nêu mối liên hệ vi phân đạo hàm theo hướng: Định lý 2.2 Cho f hàm lồi, x điểm mà f ( x) hữu hạn Khi x*f ( x)  f ( x; y)   x*, y, y Hơn nữa, cl( f ( x; y)) (bao đóng hàm lồi f  theo y ) hàm tựa tập lồi đóng f ( x) , tức cl( f ( x; y))   *( y | f ( x)) Chứng minh: “  ” Ta có: x* f ( x)   x*, z  x  f ( x)  f ( z ), z Giả sử x*f ( x) Với y , lấy z  x   y (   ), ta có  x*,  y  f ( x)  f ( x   y), y,     x*, y  f ( x   y )  f ( x)  mà f ( x; y)  inf , y,   f ( x   y )  f ( x)   0 suy  x*, y  f ( x; y) , y “  ” Giả sử f ( x; y)   x*, y, y ; tức  x*, y  f ( x   y )  f ( x)  y,   Lấy z áp dụng (2.1) với y  z  x   1, ta có  x*, z  x  f ( z )  f ( x) z Vậy x* f ( x) Cuối cùng, áp dụng Hệ 1.13.1 cho hàm f ( x; y) ta 24 (2.1) cl( f ( x; y))   *( y | f ( x)) Hệ 2.2.1 f ( x)   y f ( x;0) Trong  y vi phân f ( x; y) theo biến y Chứng minh: Do f ( x;0)  nên theo định lý 2.2, ta có x*f ( x)  f ( x; y)  f ( x;0)   x*, y  0 , y  x* y f ( x;0) Định lý 2.3 Cho f hàm lồi, x n điểm mà f ( x) hữu hạn Khi đó: i) Nếu f khả vi phân x f thường ii) Nếu f khơng khả vi phân x , tồn điểm y thỏa: f ( x; y)   f ( x;  y)   Chứng minh: i) f khả vi phân x   x*f ( x)   x*, z  x  f ( x)  f ( z ) z mà f ( x) hữu hạn nên f ( x)   , suy f ( z )  , z  n Vậy f thường ii) f không khả vi phân x f ( x)   ; tức hàm tựa f ( x) hàm  Theo định lý 2.2, hàm tựa cl( f ( x;.)) ; hàm  y0 , f ( x; y0 )   (Hệ 1.13.1) mà  f ( x;  y0 )  f ( x; y0 ) (Định lý 2.1)  f ( x; y0 )   f ( x;  y0 )   Định lý sau nêu lên mối liên hệ vi phân hàm liên hợp 25 Định lý 2.4 Cho f hàm lồi thường, cho x  n Khi với vectơ x * , hai phát biểu sau tương đương: i) x* f ( x) ii) f ( x)  f *( x*)   x, x* Nếu có thêm f đóng phát biểu sau tương đương với i), ii) i * ) x f *( x*) Chứng minh: “i)  ii)” Ta có: x* f ( x)   x*, z  x  f ( x)  f ( z), z  f ( x)   x*, x  f ( z)   x*, z, z   x*, x  f ( x)   x*, z  f ( z ), z   x*, x  f ( x)  sup{ x*, z  f ( z)} ; z n mà theo định nghĩa hàm liên hợp: f * ( x*)  sup{ x*, z  f ( z )} z n nên bất đẳng thức kéo theo  x*, x  f ( x)  f *( x*)  f ( x)  f *( x*)   x*, x Theo bất đẳng thức Fenchel: f ( x)  f *( x*)   x*, x Do đó: f ( x)  f *( x*)   x, x* “ii)  i)” Ta có: f *( x*)   x, x*  f ( x) Lại có: f * ( x*)  sup{ x*, z  f ( z )} z n  f *( x*)   x*, z  f ( z ), z 26 Do đó:  x, x*  f ( x)   x*, z  f ( z ) z   x*, z  x  f ( x)  f ( z), z  x*f ( x) “ i * )  ii)” Ta có: x f *( x*)   x, z  x*  f *( x*)  f *( z) z   x, z  f *( z )   x, x*  f *( x*) z  sup{ x, z  f *( z )}   x, x*  f *( x*) z n  f **( x)   x, x*  f *( x*) mà f **( x)   x, x*  f *( x*) (theo định nghĩa)  f **( x)   x, x*  f *( x*) Vì f đóng nên f **( x) = f ( x) (Định lý Fenchel – Moreau)  f ( x)   x, x*  f *( x*) “ii)  i * )” Vì f đóng nên f **( x) = f ( x) (Fenchel – Moreau) Ta có f **( x)  sup{ x, z  f *( z )} z n  f **( x)   x, z  f *( z)  z  f ( x)   x, z  f *( z)  z Do từ , f ( x)  f *( x*)   x, x* , ta suy  x, z  f *( z )  f *( x*)   x, x*  z Hay  x, z  x*  f *( x*)  f *( z) z Vậy x f *( x*) 27 Trường hợp f hàm lồi dương vi phân có tính chất nào, ta xem định lý sau Định lý 2.5 Cho f : n  hàm lồi dương Khi đó: f ( x0 )  {p  n |  p, x0   f ( x0 ),  p, x  f ( x) x} Chứng minh: Đặt S  {p  n |  p, x0   f ( x0 ),  p, x  f ( x) x} + Với p f ( x0 ) , ta có  p, x  x0   f ( x0 )  f ( x), x (2.2) Trong bất đẳng thức (2.2), ta cho x  x0 ,  p, x0   f ( x0 )  f (2 x0 )   p, x0   f ( x0 )  f ( x0 )   p, x0   f ( x0 ) (2.3) Trong bất đẳng thức (2.2), ta cho x  ,  p,  x0   f ( x0 )    p, x0   f ( x0 ) Từ (2.3) (2.4) ta  p, x0   f ( x0 ) (2.2)   p, x   p, x0   f ( x0 )  f ( x), x   p, x  f ( x), x Vậy p  S + Với p  S , ta có  p, x  x0   f ( x0 )   p, x  f ( x), x Suy p f ( x0 ) Vậy f ( x0 )  {p  n |  p, x0   f ( x0 ),  p, x  f ( x) x} 28 (2.4) 2.3 Vi phân hàm lồi tính chất Định nghĩa 2.3 Cho hàm f : n  , x n điểm mà f ( x) hữu hạn Hàm f gọi khả vi x tồn vec-tơ x*  lim zx n cho f ( z )  f ( x)   x*, z  x  || z  x || Một vec-tơ x * tồn gọi gradient f x , kí hiệu là: f ( x) Chú ý: + Mối quan hệ đạo hàm theo hướng vi phân hàm lồi: Giả sử f khả vi x ( f ( x) hữu hạn) Theo định nghĩa, với y  ta có lim  0 f ( x   y )  f ( x)  f ( x),  y 0  || y || f ( x   y )  f ( x)  lim  0   f ( x), y || y ||  Hay f ( x; y )  f ( x), y  || y || Suy f ( x; y)  f ( x), y y (2.5) Tức đạo hàm theo hướng f ( x; y) tồn hàm tuyến tính theo y + Giả sử x  ( x1, x2 , , xn ) , e j ( j  1, , n ) vec-tơ đơn vị thứ j j  1, , n ; ta có f ( x), e j   f ( x, e j )  lim  0 Suy 29 f ( x   e j )  f ( x)   f ( x) x j n Với  f  f f f ( x)   ( x), ( x), , ( x)  x2 xn  x1  Vậy với vec-tơ y  ( y1, y2 , , yn ) , ta có f ( x; y)  f f f ( x) y1  ( x) y2   ( x ) yn x1 x2 xn Ví dụ 2.3 Hàm chuẩn f ( x)  || x || ( x  n ) khả vi điểm x  , không khả vi x  Thật lim x0 f ( x)  f (0)  f ( x), x  0 || x || f ( x), x  lim 1 x0 || x  || || x || Trong ví dụ 2.2, ta biết hàm chuẩn f ( x)  || x || khả vi phân điểm Từ ta thấy vi phân mở rộng khái niệm vi phân (tại điểm hàm khơng khả vi) Điều thấy rõ định lý sau, định lý nêu lên mối quan hệ mật thiết vi phân vi phân, hàm lồi khả vi khái niệm vi phân trùng với khái niệm vi phân Định lý 2.6 Cho f : n   {} hàm lồi, cho x  dom f Khi đó: i) Nếu f khả vi x f ( x) gradient f x , tức f ( x)  f ( x), z  x  f ( z), z ii) Ngược lại, vec-tơ x*  n gradient f x hàm f khả vi x Chứng minh: i) Từ (2.5) ta f ( x; y)  f ( x), y, y Dùng định lý 2.2, x*  n gradient f x phải thỏa bất đẳng thức f ( x; y)   x*, y y Do 30 f ( x), y   x*, y, y  f ( x)  x*, y  0, y  f ( x)  x * Vậy f ( x) gradient f x ii) Ngược lại, giả sử ! x*f ( x) Đặt g ( y) : f ( x  y)  f ( x)   x*, y f khả vi x  lim y 0 f ( x  y)  f ( x)   x*, y g ( y)   lim  y 0 || y || || y || Ta cần chứng tỏ g ( y)  y 0 || y || lim Trước hết, ta chứng minh g (0)  {0} Ta có: x*f ( x)  f ( x)   x*, y  f ( x  y) y  g ( y)  y  g ( y)  g (0)  0, y  0 y Suy g (0) , tức g khả vi phân Lại có: y*g (0)   y*, z  g ( z ) z   y*, z  f ( x  z )  f ( x)   x*,z z   y *  x*, z  f ( x)  f ( x  z ) z Suy ( y *  x*) f ( x) Do tính vec-tơ x*f ( x) nên y *  x*  x *  y*  Vậy g (0)  {0} 31 Theo định lý 2.2, cl( g(0; u))   *(u | g (0)) mà  *(u | g (0))  sup{u, z | z g (0)}  suy cl( g (0; u))  ; hay g(0; u)  u Do lim g (u )  g (0)   0  lim g ( u )   0 0 0 Đặt h (u )  Ta có hàm g ( u )  g ( u )  ,   hàm đơn điệu không giảm với biến số  (Định lý 2.1), hàm h (u ) hội tụ  giảm dần 0, tức lim h (u )   0 Gọi B  {x || x | | 1} cầu đơn vị, {a1, a2 , , am} họ hữu hạn điểm cho conv{a1, a2 , , am}  B u  B  u  1a1  2a2   mam tổ hợp lồi m điểm ( i  1, , m ) Ta có: m  h (u )   i h (ai ) i 1  max{h (ai ) | i  1, , m} Do dãy hàm h (ai ) hội tụ  giảm dần 0, nên hàm h (u ) hội tụ hình cầu B  giảm dần Tức là:   0,   : 32 h (u )  y : || y ||    Đặt u  g ( u )     (0,  ], u  B g (|| y || u )   , u  B || y || y || u ||  u  B Do || y || g ( y)  || y || g ( y)  , tức f khả vi x y 0 || y || Vậy lim Hệ 2.6.1 Cho f hàm lồi, cho x  n Nếu f hữu hạn khả vi x f thường x  int(dom f ) Chứng minh: Vì f khả vi x , nên theo định lý 2.6 ta có f ( z)  f ( x)  f ( x), z  x, z Do f hữu hạn x nên f ( z )  ,  z Vậy f thường Theo (2.5) ta có: f ( x; y)  f ( x), y y Do f ( x, ) hữu hạn toàn n Theo định lý 2.1, ta có f ( x; y)  inf f ( x   y )  f ( x) , y  n    f ( x; y), y  n   0 Theo định nghĩa infimum:   0,   : f ( x   y )  f ( x)  33  f ( x   y)   ( f ( x; y)   )  f ( x), y  n Do f hữu hạn x nên f ( x   y)  , y  Tức x   y  dom f , y  n n Dùng định lý 1.3 ta x  int (dom f ) Định lý 2.7 Cho f hàm lồi n , x n điểm mà f ( x) hữu hạn Khi đó, điều kiện cần đủ để f khả vi x đạo hàm theo hướng f ( x, ) tuyến tính Chứng minh: Điều kiện cần: Nếu f khả vi x theo (2.5) ta có f ( x; y)  f ( x), y y Do f ( x, y) hàm tuyến tính theo y Điều kiện đủ: Nếu f ( x, y) hàm tuyến tính theo y , hàm lồi, đóng Theo định lý 2.2 ta có cl( f ( x; y))   *( y | f ( x))  f ( x; y)   *( y | f ( x))  sup{ z, y | z f ( x)} Theo định nghĩa supremum:   0, z f ( x) :  z, y    f ( x; y), y x*f ( x) , từ định lý 2.2 suy f ( x; y)   x*, y, y Do  z, y     x*, y, y 34   z  x*, y    0, y Qua giới hạn    z  x*, y  0, y Suy z  x*  hay z  x * Vậy f ( x) chứa phần tử, nên theo định lý 2.6, hàm f khả vi x 35 KẾT LUẬN Như vậy, khóa luận trình bày cách hệ thống khái niệm, tính chất tập lồi hàm lồi số vấn đề đạo hàm theo hướng, vi phân, vi phân hàm lồi Khóa luận tập trung chủ yếu vào việc chứng minh cách cụ thể tính chất vi phân hàm lồi, nêu mối quan hệ mật thiết đạo hàm theo hướng, vi phân vi phân hàm lồi Em cố gắng xếp trình bày vấn đề theo cách hiểu rõ ràng trực quan có thể, đưa nhiều ví dụ hình vẽ cụ thể để minh họa cho khái niệm kiện đề cập tới khóa luận Do thời gian thực có hạn, lực thân nhiều hạn chế nên dù em cố gắng, khóa luận khó tránh khỏi sai sót Em kính mong q thầy bạn sinh viên góp ý cho khóa luận hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu – Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [2] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở giải tích lồi, Nhà xuất Giáo dục, Đà Nẵng Tiếng Anh [1] Hoang Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers, Boston/ London/ Dordrecht [2] R Tyrrell Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 37 ... Đối tượng nghiên cứu: Vi phân vi phân hàm lồi 3.2 Phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu tập lồi, hàm lồi không gian - Đạo hàm theo hướng vi phân hàm lồi n - Vi phân hàm lồi số tính chất quan trọng... theo định lý 2.6, hàm f khả vi x 35 KẾT LUẬN Như vậy, khóa luận trình bày cách hệ thống khái niệm, tính chất tập lồi hàm lồi số vấn đề đạo hàm theo hướng, vi phân, vi phân hàm lồi Khóa luận tập... trung chủ yếu vào vi? ??c chứng minh cách cụ thể tính chất vi phân hàm lồi, nêu mối quan hệ mật thiết đạo hàm theo hướng, vi phân vi phân hàm lồi Em cố gắng xếp trình bày vấn đề theo cách hiểu rõ