Căn số và các dạng toán vô tỉ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN -  - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: CĂN SỐ VÀ CÁC DẠNG TOÁN VÔ TỈ Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực Lớp Chuyên ngành : Th.S Nguyễn Thị Sinh : Lương Trần Thảo Vy : 11CTUD1 : Toán ứng dụng Đà Nẵng, tháng năm 2015 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Căn số dạng tốn vơ tỉ MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU CHƯƠNG I : CĂN SỐ VÀ BIẾN ĐỔI VÔ TỈ I CĂN SỐ Định nghĩa Định lý số hệ Các tính chất phép khai hệ Quy đồng bậc II BIẾN ĐỔI VÔ TỈ Các khái niệm chung Các phép biến đổi vô tỉ thường gặp III CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ CĂN SỐ VÀ BIẾN ĐỔI VƠ TỈ THƯỜNG GẶP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG 11 Dạng 1: So sánh biểu thức có chứa 11 Dạng 2: Bài toán phép biến đổi vô tỉ thường gặp 13 Dạng 3: Bài toán nhân tử liên hợp 15 Dạng 4: Chứng minh đẳng thức số 18 CHƯƠNG II : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ 21 I ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 21 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ 21 Phương pháp lượng giác hóa 21 SVTH: Lương Trần Thảo Vy GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Căn số dạng tốn vơ tỉ Phương pháp xét chiều biến thiên hàm số 24 Phương pháp bất đẳng thức: .26 Phương pháp miền giá trị hàm số: 30 Phương pháp hình học đồ thị: 32 CHƯƠNG III : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ 36 I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 36 Định nghĩa phương trình, hệ phương trình vơ tỉ 36 Các phương trình vơ tỉ tương đương 37 Định nghĩa bất phương trình, hệ bất phương trình vơ tỉ 39 II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ: 41 Phương pháp đặt ẩn phụ: 41 Phương pháp nâng lên lũy thừa 47 Phương pháp nhân lượng liên hợp: 50 Phương pháp trị tuyệt đối hóa: 53 Phương pháp hàm số: 55 Phương pháp đánh giá 58 Phương pháp hình học 60 III CÁC BÀI TẬP BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ CĨ CHỨA THAM SỐ 63 IV CÁC PHƯƠNG PHÁP CHÍNH THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ: 67 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 SVTH: Lương Trần Thảo Vy GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Căn số dạng toán vô tỉ LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu bảo, hướng dẫn tận tình cô giáo Nguyễn Thị Sinh, đến luận văn tốt nghiệp em hoàn thành Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo Nguyễn Thị Sinh giúp đỡ em nhiều thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn tốt nghiệp Xin chân thành cảm ơn q thầy khoa Tốn, thư viện giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn tốt nghiệp SVTH: Lương Trần Thảo Vy GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Căn số dạng tốn vơ tỉ MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Căn số tốn vơ tỉ mảng kiến thức xuyên suốt trình giảng dạy học tập mơn Tốn trường Trung học Cơ sở Trung học Phổ thông Căn số tốn vơ tỉ dạng tốn khó, địi hỏi tính tư logic, lập luận chặt chẽ, phù hợp với mục đích tuyển chọn học sinh có khả khiếu tốn học Chính hầu hết kì thi chọn học sinh giỏi, kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm khai thác triệt để vấn đề Căn số tốn vơ tỉ nhiều dạng tốn phong phú, địi hỏi học sinh phải nắm tính chất, đặc trưng để đưa lời giải phù hợp “Căn số dạng tốn vơ tỉ’’ đề tài nghiên cứu với mong muốn xây dựng hệ thống đặc trưng số phương pháp giải phù hợp với yêu cầu loại tập tốn vơ tỉ, giúp cho học sinh củng cố lại toàn kiến thức số có nhìn tổng qt dạng tốn vô tỉ thường gặp Phạm vi nghiên cứu Đề tài “Căn số dạng tốn vơ tỉ’’ nghiên cứu giải số dạng tốn chương trình phổ thông SVTH: Lương Trần Thảo Vy GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Căn số dạng tốn vơ tỉ Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương: Chương I: Căn số biến đổi vô tỉ Chương trình bày khái niệm số, định lí bản, tính chất, hệ khái niệm chung biến đổi vô tỉ dạng biến đổi vô tỉ thường gặp Chương II: Giá trị lớn nhỏ hàm số vô tỉ Chương đề cập đến giá trị lớn nhỏ hàm số vô tỉ phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ hàm số vơ tỉ Chương III: Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình vơ tỉ Chương trình bày định nghĩa phương pháp giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình vơ tỉ Mỗi vấn đề bao gồm nhiều phương pháp giải dạng tập minh họa rõ ràng, mạch lạc SVTH: Lương Trần Thảo Vy GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Căn số dạng tốn vơ tỉ CHƯƠNG I CĂN SỐ VÀ BIẾN ĐỔI VÔ TỈ I CĂN SỐ Định nghĩa a Căn số số học Giả sử A số thực không âm (A≥ 0) Số thực x không âm cho 𝑥 𝑛 = 𝐴 gọi số số học bậc n (n ≥ 2) số A 𝑛 Kí hiệu: 𝑥 = √𝐴 Số n gọi bậc hay số số b Căn số Giả sử A số thực cho, n số tự nhiên ≥ Căn số bậc n số A số thực x (nếu có) cho 𝑥 𝑛 = 𝐴 Nếu x tồn tại, ta nói: số thực A có số (thực) bậc n x Định lí số hệ a Định lí số Mỗi số thực có số thực bậc lẻ dấu với Các số thực âm khơng có số thực bậc chẵn Mỗi số thực dương a có hai số thực bậc chẵn đối nhau, giá trị dương gọi số số học kí 2𝑘 hiệu √𝑎 Căn số bậc b Các hệ 𝑛  Nếu 𝑎 ≥ 𝑡ℎì √𝑎𝑛 = 𝑎  Với số thực a, ta có : 2𝑘+1 √𝑎2𝑘+1 = 𝑎 √𝑎2𝑘 = |𝑎| = { 𝑎 𝑛ế𝑢 𝑎 ≥ −𝑎 𝑛ế𝑢 𝑎 < 2𝑘  Với số thực a, ta có SVTH: Lương Trần Thảo Vy 2𝑘+1 √𝑎 xác định ta có: GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Căn số dạng tốn vơ tỉ 2𝑘+1 √−𝑎 = −  2𝑘+1 √𝑎 Giả sử a, b ≥ 0, ∀ 𝑛 ≥ Ta có: 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 √𝑎 = √𝑏 ⇔ 𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 √𝑎 < √𝑏 ⇔ 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎𝑛 < 𝑏𝑛 𝑛 𝑛 √𝑎 > √𝑏 ⇔ 𝑎 > 𝑏 ⇔ 𝑎𝑛 > 𝑏𝑛 Chú ý Nếu a, b số thực tùy ý n số chẵn mệnh đề khơng Các tính chất phép khai hệ Ta xét số số thực khơng âm: a Tính chất     𝑛 𝑛 𝑛 ̅̅̅̅̅ 𝑘 √𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 = √𝑎1 √𝑎2 … √𝑎𝑘 , ∀ 𝑎𝑖 ≥ ; 𝑖 = 1, 𝑛 𝑎 𝑛 √𝑏 = 𝑛 √𝑎 , ∀ 𝑎 ≥ , ∀ 𝑏 > 𝑛 √𝑏 𝑛𝑘 𝑛 √𝑎 = √𝑎𝑘 , ∀ 𝑎 ≥ 𝑛 𝑘 √ √𝑎 = 𝑛𝑘√𝑎 , ∀ 𝑎 ≥ b Hệ 𝑘 𝑛 𝑛  ( √𝑎) = √𝑎𝑘 , ∀ 𝑎 ≥  𝑛 𝑛 √𝑎𝑘 = ( √𝑎 )𝑘 , ∀ 𝑎 ≥ Công thức với a < 0, n lẻ, k tùy ý  𝑛 𝑛 √𝑎𝑛 𝑏 = 𝑎 √𝑏 , ∀ 𝑎, 𝑏 ≥ Công thức với a < 0, b < 0, n lẻ Còn 𝑏 ≥ 0, a tùy ý n chẵn (n = 2k), công thức trở thành: 2𝑘 2𝑘 √𝑎2𝑘 𝑏 = |𝑎| √𝑏 , ∀ 𝑎 ∈ 𝑅, ∀ 𝑏 ≥ 𝑛 𝑛  𝑎 √𝑏 = √𝑎𝑛 𝑏 , ∀ 𝑎, 𝑏 ≥  Giả sử A = √𝑎 + √𝑏 𝑣ớ𝑖 𝑎, 𝑏 ≥ Khi B = √𝑎 − √𝑏 gọi thừa số liên hợp A SVTH: Lương Trần Thảo Vy GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Căn số dạng tốn vơ tỉ Quy đồng bậc Mệnh đề Có thể đưa thức với bậc khác thức bậc mà giữ nguyên giá trị tương ứng chúng II BIẾN ĐỔI VÔ TỈ Các khái niệm chung a Biểu thức đại số vô tỉ Biểu thức đại số chứa phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa nguyên dương, thức đối số gọi biểu thức đại số vơ tỉ b Giá trị biểu thức, miền xác định biểu thức Cho biểu thức toán học 𝐴(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) với đối số 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛  Ta gọi giá trị biểu thức giá trị 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 đối số thuộc trường K kết việc thực tất phép tốn biểu thức trường K thay 𝑥1 = 𝑎1 , 𝑥2 = 𝑎2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑎𝑛  Miền xác định hay tập xác định biểu thức 𝐴(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) tập hợp tất giá trị thừa nhận 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 (trên K) đối số 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 phép toán thực c Biến đổi vô tỉ Việc thay biểu thức đại số vô tỉ biểu thức khác đồng với gọi phép biến đổi vơ tỉ d Nhân tử liên hợp Định nghĩa Giả sử S biểu thức vô tỉ Ta gọi nhân tử liên hợp S biểu thức M, không đồng khơng, cho tích SM biểu thức hữu tỉ (không chứa thức giảm bớt tầng thức) Khi biểu thức S nhân tử liên hợp biểu thức M Các phép biến đổi vô tỉ thường gặp a Phép giản lược thức tích 𝑘 Giả sử ta có biểu thức √𝑋 𝑚 𝑌 𝑛 … 𝑍 𝑝 , m = qk + u, n = rk + v, … , p = sk + w với u, v,…, w số nguyên không âm bé k Thế SVTH: Lương Trần Thảo Vy GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Căn số dạng tốn vơ tỉ k k k √X m Y n … ZP = √X qk X u Y rk Y v … Zsk Zw = X q Y r … Zs √X u Y v … Zw b Phép giản lược thức thương k Xm …Yn Giả sử ta có biểu thức √ ZP …Tq , với Z ≠ 0, …, T ≠ Nhân tử mẫu biểu thức với Zk−p … T k−q , ta có: k √ k X m … Y n Z k−p … T k−q Xm … Yn k m √ √X … Y n Zk−p … T k−q = = P q k k Z …T Z …T Z…T c Nâng thức lên lũy thừa: Với k < n, ta có: n ( √X) k n = √X k n n+k n 2n+k = X √X k n pn+k = √X pn+k = X p √X k ( √X ) n n = √X n X k = X √X k ( √X) n Tổng quát: ( √X ) n n d Luật phân phối: n n n n a √X + a √X + ⋯ + a k √X = ( a + a + ⋯ + a k ) √X Phép biến đổi gọi phép rút gọn thức đồng dạng e Nhân, chia thức có số bậc khác m n √X √Y = m √X n √Y = mn mn √X n √Y m = mn √ mn √X n Y m Xn mn n m(n−1) √X Y = Ym Y f Đa thức thức Xét 𝑓(𝑥) = a0 + a1 x + a2 x +…+ an x n + an+1 x n+1 +…+ am x m SVTH: Lương Trần Thảo Vy GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Căn số dạng tốn vơ tỉ  Giả sử 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 ); 𝑏⃗ = (𝑏1 , 𝑏2 )là vecto mặt phẳng tọa độ 0xy Ta có:  𝑎 = √𝑎21 + 𝑎2  𝑎 + 𝑏⃗ = (𝑎1 ± 𝑏1 ), (𝑎2 ± 𝑏2 )  𝑘𝑎 = (𝑘𝑎1 , 𝑘𝑎2 ) 𝑘 ∈ 𝑅  𝑎 𝑏⃗ = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2  𝑎 𝑏⃗ = |𝑎||𝑏⃗| cos(𝑎, 𝑏⃗)  (𝑎)2 = |𝑎|2 ≥  |𝑎 ⃗⃗⃗ 𝑏⃗| ≤ |𝑎||𝑏⃗|  |𝑎 + 𝑏⃗| ≤ |𝑎| + |𝑏⃗|  ||𝑎| − |𝑏⃗|| ≤ |𝑎 − 𝑏⃗| b Phương pháp hình học đồ thị  Trong tất đường gấp khúc nối điểm A, B đoạn thẳng A, B có độ dài nhỏ  Trong tam giác tổng cạnh lớn cạnh thứ  Độ dài đường vng góc hạ từ điểm M nằm đường thẳng d đến d ngắn đường xiên kẻ từ M đến đường thẳng  Trong tam giác nội tiếp đường trịn tam giác có chu vi diện tích lớn Bài tập 47 Giải phương trình: √𝑥 − 2𝑥 + + √4𝑥 + 12𝑥 + 25 = √9𝑥 + 12𝑥 + 29 (1) Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét vectơ: { ⃗u = (x − 1; 1) ⇒u ⃗ +v ⃗ = (3x + 2; 5) ⃗ = (2x + 3; 4) v SVTH: Lương Trần Thảo Vy 61 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Căn số dạng tốn vơ tỉ ⃗ | = √𝑥2 − 2𝑥 + |u ⇒ ⃗ | = √4𝑥2 + 12𝑥 + 25 |v ⃗ +v ⃗ | = √9𝑥2 + 12𝑥 + 29 {|u Suy phương trình (1) tương đương: |𝑢 ⃗ + 𝑣 | = |𝑢 ⃗ | + |𝑣 | ⇔ 𝑢 = 𝑘𝑣 ( 𝑘 > 0) 𝑥 − = 𝑘(2𝑥 + 3) ⇔{ ⇔{ = 𝑘 𝑥= 𝑘= Vậy phương trình (1) có nghiệm x  Bài tập 48 Giải bất phương trình: 𝑥 √𝑥 + + √3 − 𝑥 ≥ 2√𝑥 + Giải Điều kiện : −1 ≤ 𝑥 ≤ Trong mặt phẳng Oxy, đặt 𝑢 ⃗ = (𝑥; 1) ; 𝑣 = (√𝑥 + 1, √3 − 𝑥) Thì 𝑢 ⃗ 𝑣 = 𝑥 √𝑥 + + √3 − 𝑥 Và |𝑢 ⃗ | |𝑣 | = √𝑥 + √(𝑥 + 1) + (3 − 𝑥) = 2√𝑥 + Ta có 𝑢 ⃗ 𝑣 ≤ |𝑢 ⃗ | |𝑣 | nên từ bất phương trình cho dấu = xảy ra: ⃗⃗⃗𝑢 𝑣 = |𝑢 ⃗ | |𝑣 | ⇔ 𝑢 ⃗ , 𝑣 hướng ⇔ 𝑥 √𝑥 − = ≥0 √3 − 𝑥 ⇔{ 0≤𝑥