Đồng điều đơn hình và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN  LƯƠNG THANH TOẠI ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn: TS LÊ HỒNG TRÍ Đà Nẵng – Năm 2015 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN  LƯƠNG THANH TOẠI ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn: T.S LÊ HỒNG TRÍ Đà Nẵng – Năm 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin dành trang để bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến q thầy khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng, người hết lòng dạy dỗ, truyền đạt kiến thức khoa học kinh nghiệm quý báu để em có ngày hơm Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS.Lê Hoàng Trí, người gợi ý hướng dẫn đề tài khóa luận “Đồng điều đơn hình ứng dụng” Thầy nhiệt tình hết lịng giúp đỡ suốt thời gian qua để em hồn thành khóa luận Cuối cùng, cho phép em cảm ơn thầy chủ tịch hội đồng, thầy cô phản biện ủy viên hội đồng giành thời gian quý báu để đọc, nhận xét, đánh giá tham gia hội đồng chấm khóa luận Đà Nẵng, ngày 27 tháng 04 năm 2015 Sinh viên thực LƯƠNG THANH TOẠI MỤC LỤC Mở đầu 03 Chương Đơn hình phức đơn hình 05 1.1 Đơn hình 05 1.2 Phức đơn hình 18 1.3 Thứ phân trọng tâm 31 1.4 Ánh xạ đơn hình xấp xỉ đơn hình 33 1.5 Nhóm Abel tự sinh tập hợp 35 Chương Nhóm đồng điều phức đơn hình ứng dụng 38 2.1 Nhóm đồng điều phức đơn hình 38 2.2 Ứng dụng 47 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một vấn đề topo việc xác định hai khơng gian topo có đồng phôi với hay không Để hai không gian topo đồng phôi với ta cần xây dựng song ánh liên tục với ánh xạ ngược liên tục từ không gian vào không gian Để hai không gian topo không đồng phôi với ta chứng minh ánh xạ khơng tồn Thường khó để thực điều Cách mà người ta thường làm tìm vài tính chất topo bất biến qua phép đồng phôi thỏa mãn cho không gian mà không thỏa mãn cho không gian Chẳng hạn, bỏ điểm bỏ điểm khơng đồng phơi với khơng cịn liên thơng nữa, liên thông Tuy nhiên, việc giải toán tổng quát cần nhiều kỹ thuật tinh vi Topo đại số bắt nguồn tư nỗ lực nhiều nhà toán học Poincaré Betti nhằm xây dựng bất biến topo Poincaré giới thiệu nhóm khơng gian topo Từ số lớp không gian topo quen thuộc mặt cầu, mặt xuyến, lọ Klein có nhóm khác nên chúng khơng đồng phơi với Trong đó, cách khác, Betti kết hợp không gian topo với dãy nhóm Abel, gọi nhóm đồng điều Với trường hợp này, chứng minh hiển nhiên mà không gian đồng phơi có nhóm đồng điều đẳng cấu với Những nhóm dùng để giải vấn đề toán đồng phôi Và điều thuận lợi chúng dễ tính nhóm Có vài cách khác để định nghĩa nhóm đồng điều, hai cách mà người ta thường xem xét nhóm đồng điều đơn hình nhóm đồng điều kỳ dị Trong khóa luận này, tơi xin trình bày nhóm đồng điều đơn hình số tính chất, ứng dụng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu tính chất topo đa diện thơng qua cấu trúc phức đơn hình chúng Tìm hiểu nhóm đồng điều phức đơn hình ứng dụng tính nhóm đồng điều số phức đơn hình Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để từ tổng hợp, chọn lọc kiến thức có liên quan để thực đề tài Nội dung nghiên cứu Nội dung khóa luận ngồi phần Mở đầu Kết luận gồm có hai chương:  Chương 1: Đơn hình phức đơn hình Chương trình bày đơn hình, phức đơn hình, ánh xạ đơn hình, xấp xỉ đơn hình nhóm Abel tự sinh tập hợp  Chương 2: Nhóm đồng điều phức đơn hình ứng dụng Chương trình bày nhóm đồng điều phức đơn hình ứng dụng tính nhóm đồng điều phức đơn phân loại topo giá chúng Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, hy vọng giúp người có nhìn trực quan kỹ thuật thiết lập hình ảnh đại số không gian topo việc phân loại lớp khơng gian topo có cấu trúc phức đơn hình Chương ĐƠN HÌNH VÀ PHỨC ĐƠN HÌNH 1.1 Đơn hình Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp a0 , a1, , an   N gọi độc lập hình học (hay độc lập affine) với  t0 , t1, , tn   n t a i 0 i i n1 n cho t i 0 i   suy t0  t1   tn  Nhận xét 1.1.2 (i) Tập điểm độc lập hình học (ii) Tập hợp a0 , a1, , an  (với n  ) độc lập hình học tập hợp a1  a0 , a2  a0 , , an  a0  độc lập tuyến tính Chứng minh: (ii) "  " : Giả sử a0 , a1, , an  độc lập hình học Với 1, , , n   n n cho   a  a   , ta có: i 1 i i n n  n    i   a0     i  a0   i i 1 i 1  i 1  n Đặt t0   i t j   j j  1, n , ta có i 1 n t j 0 j  n t a j 0 j j 0 Do a0 , a1, , an  độc lập hình học nên t0  t1   tn  , suy 1      n  Vậy a1  a0 , a2  a0 , , an  a0  độc lập tuyến tính "  " : Giả sử a1  a0 , a2  a0 , , an  a0 độc lập tuyến tính Với  t0 , t1, , tn   n1 n cho  ti  i 0 n t a i 0 i i  , ta có: n  n  ti   a0   ti   a0     ti  a0   ti   i 1 i 0 i 0  i 0  n n Do a1  a0 , a2  a0 , , an  a0 độc lập tuyến tính nên t1  t2   tn  , kết n hợp với điều kiện t i 0 i  suy t0  t1   tn  Vậy a0 , a1, , an  độc lập hình học Định nghĩa 1.1.3 Cho n  P   x   ti  i 0 a0 , a1, , an  N độc lập hình học Tập hợp  t   gọi n-phẳng P sinh a0 , a1, , an  , ký hiệu  i i 0  n P  Af a0 , a1, , an  Nhận xét 1.1.4 (i)  P i  0, n (ii) x  P, ! t0 , t1, , tn   n 1 n n i 0 i 0 ,  ti  cho x   ti (iii) P  a0  La1  a0 , a2  a0 , , an  a0  , với La1  a0 , a2  a0 , , an  a0 không gian sinh a1  a0 , a2  a0 , , an  a0 (iv) Nếu w  P w, a0 , a1, , an  độc lập hình học Chứng minh: (ii) Với x  P , tồn  t0 , t1 , , tn   Với  s0 , s1 , , sn   n 1 n i 0 i i i 0 i 0 i i i 0 n i i 0 i 0 t  s   t   s Ngoài ra: i 0 n t a   s a n n n n i i n ,  ti  cho x   ti ,  si  cho x   si , ta có: n i 0 n 1 i 0 i n    ti  si   i 0  11  Vì a0 , a1, , an  độc lập hình học nên ti  si  i  0, n , hay ti  si i  0, n Đây đpcm (iii) Đặt P  a0  La1  a0 , a2  a0 , , an  a0 + Với x  P , tồn  t0 , t1 , , tn   n 1 n n i 0 i 0 ,  ti  cho x   ti n n n n   Ta có: x  t0a0   ti  1   ti  a0   ti  a0   ti   a0  i 1 i 1  i 1 i 1  Suy x  P hay P  P + Ngược lại, với x  P , tồn  s1, s2 , , sn   n x  a0   si   a0  i 1 n n   Ta có: x  a0   si   a0   1   si  a0   si i 1 i 1 i 1   n n cho n   n Hơn nữa, 1   si    si  nên x  P hay P  P i 1   i 1 Vậy P  P (đpcm) (iv) Giả sử w, a0 , a1, , an  khơng độc lập hình học, w  a0 , a1  a0 , a2  a0 , , an  a0 phụ thuộc tuyến tính Vì a1  a0 , a2  a0 , , an  a0 độc lập tuyến tính nên tồn  s1, s2 , , sn   n n i 1 i 1 n cho w  a0   si   a0  , tức w  a0   si   a0  Suy w  P (mâu thuẫn với giả thiết w  P ) Vậy w, a0 , a1, , an  độc lập hình học Định nghĩa 1.1.5 Cho a0 , a1, , an  N độc lập hình học Tập hợp n n      x   ti ti  i  0, n ;  ti  1 gọi n-đơn hình σ sinh i 0 i 0   a0 , a1, , an  , ký hiệu σ  a0 , a1, , an  Với x  σ , số t0 , t1, , tn xác định gọi tọa độ trọng tâm x a0 , a1, , an Với i  0, n , hàm số: ti : σ n x  t ja j j 0  ti ( x)  ti gọi hàm tọa độ trọng tâm σ a0 , a1, , an Nhận xét 1.1.6 Với i 0,1, , n , ti ( x) hàm số liên tục Chứng minh: 44 Nhận xét 2.1.10 Với v  K (0) , đặt Cv  St w Khi Cv liên thơng vRw Cv vK ( 0) phân hoạch K Chứng minh: Rõ ràng Cv mở hợp tập mở, vRv Cv  Cv + Ta chứng minh Cv liên thông Với x  Cv  v  K 0 : vRv, x  St v  a0 , a1, , an   K   : a0  v, an  v, i  0, n  1, ai ; ai1   K Suy Rv i  0, n  St  Cv i  0, n Do  ; 1   Cv i  0, n   an , x  St an  Cv Suy tồn đường nối x v Do với x, y  Cv , tồn đường nối x y Vậy Cv liên thông + Tiếp theo ta chứng minh Cv  Cv Cv  Cv   Giả sử Cv  Cv   , tức x  Cv  Cv  u, u  K   :uRv, uRv, x  St u  St u   ,  K : u  , u  , x Int   Int          Do u; u  K , hay uRu Suy vRv , hay Cv  Cv (mâu thuẫn) Vậy Cv vK ( 0) phân hoạch K 45 Mệnh đề 2.1.11 Cho K phức đơn hình Khi đó, H  K  nhóm Abel tự Với thành phần liên thông C    K , ta chọn đỉnh v Khi H  K  có sở v  B0 ( K ) Chứng minh: + Với v  K 0 ,   : v  C  vRv  a0 , a1, , an   K   : a0  v, an  v , ai ; 1   K i  0, n  a0  v, an  v n 1 Khi v  v  1   , 1  i 0 n 1 Đặt  a , a   c i 0 i i 1 vv Ta có v  v  1cvv + Với c  C0 ( K ), ta có: c  n v   n  v   c    n v    n c vK   v vK    v vv Ta viết lại c   m v  1  vK    v vK    v vv  nc vK   v vv + Ta chứng minh với c   m v mà tồn m  c  B0 ( K )  Giả sử c  B0 ( K ) , suy d  C1 ( K ) : c  1d 46 Vì 1–đơn hình nằm C nên ta xem d   d ,   với d 1–xích có giá trị tất 1–đơn hình định hướng sinh 1–đơn hình khơng nằm C Suy c   1d , 1d có giá trị tất đỉnh không  thuộc C , 1d  m v   xác định  (v)  v  K 0 Xét đồng cấu  : C0 ( K )  Với d  C1 ( K ) d   v, v  , ta có:   1d     1  v, v     v  v    Do với   , ta có:    1d     m v   m (mâu thuẫn) Vậy c  B0 ( K ) + Ta có Z0 ( K )  C0 ( K ) nên H ( K )  C0 ( K ) / B0 ( K ) Với h  H0 ( K )  c  C0 ( K ) : h  c  B0 ( K ) Vì   m v  B0 ( K ) 1  h   m v  1    nc vK ( ) v vv  nc vK (0) v vv  B0 ( K ) nên ta có:  B0 ( K )   m v  B0 ( K )    m v  B0 ( K )        m  v  B0 ( K )    Giả sử h   r  v  B0 ( K )   Khi  m  r  v   m v   r v  B ( K )        47 Suy m  r    , hay m  r   Vậy v  B0 ( K ) sở H ( K ) Hệ 2.1.12 Cho K phức đơn hình K liên thơng đường H ( K )  2.2 Ứng dụng Tính nhóm đồng điều phức đơn hình phân loại topo giá chúng Ví dụ 2.2.1 Cho phức đơn hình K Hình 2.1.1 (Hình 2.1.1) 0 2 1 Xét dãy đồng cấu   C1 ( K )   C0 ( K )  0 (i) Ta có H1 ( K )  Z1 ( K ) p  Z1 ( K ) , p có dạng: p  1 (a, b)   (b, c)  3 (c, a), i  1 p    1 (b  a)   (c  b)   (a  c)    1  a  1    b      c i  1,3 48   1    1     1           Suy Z1 ( K )     a, b    b, c    c, a   |    Vậy H1 ( K )  Z1 ( K )  (ii) Vì K liên thông đường nên H ( K )  Ví dụ 2.2.2 Cho phức đơn hình L Hình 2.2.2 (Hình 2.2.2) 3 0 2 1 Xét dãy đồng cấu   C2 ( L)   C1 ( L)   C0 ( L)  0 (i) Ta có H ( L)  Z ( L) p  Z1 ( L) , p có dạng p     (a, b, c)  p      b, c    a, c    a, b      Do H ( L)  49 (ii) Ta tính H1 ( L)  Z1 ( L) / B1 ( L) p  Z1 ( L) , p có dạng p  1 (a, b)   (b, c)  3 (c, a),  i  i  1,3 1 p    1 (b  a)   (c  b)  3 (a  c)  3  1  a  1    b    3  c   1    1     1          Mà  a, b    b, c    c, a    a, b    b, c    a, c    2 nên Z1 ( L)  B1 ( L) Suy H1 ( L)  (iii) Vì L liên thông đường nên H ( L)  Ví dụ 2.2.3 Cho phức đơn hình M gồm mặt thực 3–đơn hình (Hình 2.2.3) (Hình 2.2.3) 3 0 2 1 Xét dãy đồng cấu   C2 (M )   C1 (M )   C0 (M )  0 50 (i) Ta có H  M   Z  M  p  Z  M  , p có dạng p  11   2  3   4 ,i  i  1,4 2 p    1 2   2 2   3 2   4 2  1 (e1  e4  e3 )   (e5  e2  e1 )   (e2  e3  e6 )   (e4  e5  e6 )  1    e1      e2   1    e3  1    e4      e5       e6 1         1      1                      Suy Z  M    1          Vậy H  M    (ii) Ta tính H1  M   Z1  M  / B1  M  p  Z1  M  , p có dạng p   i ei ,  i  i 1 i  1,6 1 p  Đặt p1  p   1  1      p  p1   2q , với q  1  1     1 p  1  p1   2q   1 p1   21q  1 p1 Do 1 p   1 p1  51 Ta có: p1  p   1  1       i ei  1  e5  e2  e1   1     e2  e3  e6  i 1  1      e3   e4  1    e5  1      e6   1 p1  1       a4  a1     a2  a1   1    a3  a2   1      a1  a3          a1    1    a2        a3  1      a4       1                            1      1    p1  1 (e4  e5  e6 ) Mà e4  e5  e6   2 nên p1   21 Suy p   1  q   B1  M  Do Z1  M   B1  M  Suy H1  M   (iii) Vì M liên thơng đường nên H  M   Ví dụ 2.2.4 Cho phức đơn hình K Hình 2.2.4 52 (Hình 2.2.4) 0 2 1 Xét dãy đồng cấu   C1 ( K )   C0 ( K )  0 (i) Ta có H1 ( K )  Z1 ( K ) p  Z1 ( K ) , p có dạng: p  1 (a, b)   (b, c)  3  c, d     d , a  , i  i  1,4 1 p    1 (b  a)   (c  b)    d  c     a  d     1  a  1    b      c      d   1         1                 p  1   a, b    b, c    c, d    d , a    Suy Z1 ( K )     a, b    b, c    c, d    d , a   |   Vậy H1 ( K )  (ii) Vì K liên thơng đường nên H ( K )   53 Ví dụ 2.2.5 Cho phức đơn hình K Hình 2.2.5 (Hình 2.2.5) 3 0 2 1 Xét dãy đồng cấu   C2 ( K )   C1 ( K )   C0 ( K )  0 (i) Ta có H ( K )  Z ( K ) p  C2 ( K ) , p có dạng p    c, b, d   p       b, d    c, d    c, b      b, d     c, d     c, b      Z2 ( K )  Vậy H ( K )  (ii) Ta tính H1 ( K )  Z1 ( K ) / B1 ( K ) Theo trên, ta có B1 ( K )     b, d    c, d    c, b   |    p  Z1 ( K ) , p có dạng: p  1  a, c     c, b   3  b, d     c, d   5  d , a  và 1 p  54   1  c  a     b  c     d  b     d  c     a  d     1  a      b  1      c        d   1  1              1                    Z1 ( K )  1   a, c    c, d    d , a       c, b   b, d    c, d   | 1,  Với h  H1 ( K )  p  Z1 ( K ) : h  p  B1 ( K )  h  1   a, c    c, d    d , a       c, b    b, d    c, d    B1 ( K )  1   a, c    c, d    d , a    B1 ( K )   H1 ( K )  1   a, c    c, d    d , a    B1 ( K ) | 1  Suy H1 ( K )  (iii) Vì K liên thông đường nên H ( K )  Ví dụ 2.2.6 Cho phức đơn hình L Hình 2.2.6 (Hình 2.2.6)   55 3 0 2 1 Xét dãy đồng cấu   C2 ( L)   C1 ( L)   C0 ( L)  0 (i) Ta có H ( L)  Z  L  p  Z ( L) , p có dạng: p  1  a, b, c     a, c, d  , 1,   p   1   b, c    a, c    a, b       c, d    d , a    a, c     1    a, c   1  b, c   1  a, b     c, d     d , a  1      1   1        Z ( L)  Vậy H ( L)  (ii) Ta tính H1 ( L)  Z1 ( L) / B1 ( L) p  Z1 ( L) , p có dạng: p  1  a, b     b, c   3  c, d     d , a   5  a, c  , i  i  1,5 1 p    1  b  a     c  b     d  c     a  d     c  a    1      a  1    b        c      d 1      1                               56  p  1   a, b    b, c    a, c       c, d    d , a    a, c    1  a, b, c    2  a, c, d    1  a, b, c     a, c, d    p  B1 ( L) Suy Z1 ( L)  B1 ( L) Vậy H1 ( L)  (iii) Vì L liên thơng đường nên H ( L)  57 KẾT LUẬN Khóa luận chủ yếu đọc hiểu làm rõ số nội dung sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm, định nghĩa, định lý đơn hình, phức đơn hình, ánh xạ đơn hình nhóm Abel tự sinh tập; từ tìm hiểu tính chất topo đa diện thơng qua cấu trúc phức đơn hình chúng Trình bày việc xây dựng nhóm đồng điều phức đơn hình ứng dụng tính nhóm đồng điều số phức đơn hình Trong q trình làm khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vậy kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để khóa luận hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG ANH [1] Albrecht Dold, Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1980 [2] Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001 [3] James R Munkres, Elements of Algebraic Topology, New York: Perseus Books Pub., 1993 ...  Chương 1: Đơn hình phức đơn hình Chương trình bày đơn hình, phức đơn hình, ánh xạ đơn hình, xấp xỉ đơn hình nhóm Abel tự sinh tập hợp  Chương 2: Nhóm đồng điều phức đơn hình ứng dụng Chương... A 38 Chương NHĨM ĐỒNG ĐIỀU CỦA MỘT PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Nhóm đồng điều phức đơn hình Cho σ đơn hình,   a0 , a1, , an  Mỗi hoán vị α 0,1, , n xác định   đơn hình thứ tự ao ,... phức đơn hình Định nghĩa 1.2.6 Cho K phức đơn hình phức đơn hình K N N ,   L  K Nếu L L gọi phức đơn hình 22 Mệnh đề 1.2.7 Cho K phức đơn hình N ,   L  K Khi L phức đơn hình K với đơn hình