Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

LUẬN VĂN ĐẠI HỌC ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN Đề tài: BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Giáo viên hƣớng dẫn : ThS Nguyễn Thị Sinh Sinh viên thực : Võ Thị Hạnh Ngành đào tạo : Sƣ phạm Toán Lớp : 11ST Đà Nẵng, tháng 5/2015 SVTH: Võ Thị Hạnh Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC MỤC LỤC PHẦN GIỚI THIỆU BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC PHẦN PHƢƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Phương pháp lượng giác 1.1 Phương pháp: 1.2 Các toán minh họa: Phương pháp đại số 16 2.1 Phương pháp: 16 2.2 Các toán minh họa: 16 Phương pháp giải tích 22 3.1 Phương pháp: 23 3.2 Các toán minh họa: 23 Phương pháp tọa độ 28 4.1 Sử dụng quy tắc ba điểm 28 4.2 Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối 29 4.3 Các toán minh họa: 29 PHẦN LƢỢNG GIÁC HÓA CÁC BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 35 Một số dấu hiệu nhận biết việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 35 SVTH: Võ Thị Hạnh Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC Các toán minh họa: 40 PHẦN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC BÀI TỐN CĨ CHỨA THAM SỐ 47 KẾT LUẬN 57 I Nhận xét đánh giá chung đề tài 57 Kết đạt 57 Hạn chế 57 II Hướng phát triển đề tài 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 SVTH: Võ Thị Hạnh Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC PHẦN GIỚI THIỆU BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Mục đích việc giảng dạy mơn tốn trường trung học phổ thơng dạy học sinh kiến thức toán, cách giải tập, rèn luyện kĩ giải toán, giúp học sinh khai thác hoạt động tiềm ẩn nội dung mơn tốn hình thành tư logic cho học sinh Vì vậy, người giáo viên cần phải dạy cho học sinh giải tập Từ đó, yêu cầu đặt giáo viên phải dạy cho học sinh phương pháp giải dạng tốn Chương trình tốn trung học phổ thơng có nhiều dạng tập khác Trong có nhiều dạng khó chứng minh bất đẳng thức, biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình Và dạng bài: “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng” nằm số Đây thực chun đề khó chương trình tốn trung học phổ thơng tốn cực trị phong phú, phạm vi nghiên cứu vấn đề rộng Và lại dạng toán quan tâm đến nhiều kì thi tuyển chọn học sinh giỏi nước quốc tế Thế nhưng, sách giáo khoa có tập dạng Do đó, việc hệ thống lại dạng tốn “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” cung cấp cho học sinh phương pháp giải dạng toán việc làm cần thiết, giúp em học sinh dễ dàng việc tiếp cận với tốn “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” Trước hết ta định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm số f xác định tập D ( D a) Nếu tồn điểm D cho với SVTH: Võ Thị Hạnh D Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC gọi giá trị lớn hàm số f D , kí hiệu số M  max f ( x ) xD b) Nếu tồn điểm D cho với D gọi giá trị nhỏ hàm số f D , kí hiệu số m  f ( x ) xD Việc giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ miền xác định D đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức hợp lí, nhiều độc đáo bất ngờ Nó đưa xích gần lại với tốn thường gặp thực tế tìm “ ” điều kiện định ( nhiều nhất, nhất, nhanh nhất, chậm nhất, ) Chính điều làm cho học sinh thấy tính thiết thực tốn học sống Đồng thời, tạo nên thích thú cho học sinh trình giải tốn Trong tương lai, vào đời học sinh buộc phải giải nhiều vấn đề sống thực tiễn đặt Cho nên, học sinh cần có cách giải tối ưu mang lại thành công sống (cách giải tối ưu phương án hao phí về: vật liệu, thời gian, cơng sức, lượng, chi phí thiệt hại ) Những lúc vậy, tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tỏ hữu ích Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ phong phú đa dạng Tuy nhiên, khuôn khổ luận văn đại học, chọn hàm số lượng giác để nghiên cứu với phạm vi nghiên cứu toán chương trình trung học phổ thơng Với lí với tư cách người giáo viên dạy tốn tương lai, tơi đưa phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác lượng giác hóa tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác SVTH: Võ Thị Hạnh Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC tập có chứa tham số thơng qua việc nghiên cứu đề tài: “Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lƣợng giác” chọn đề tài luận văn tốt nghiệp SVTH: Võ Thị Hạnh Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC PHẦN PHƢƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC - Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác ta thường phải vận dụng kiến thức tổng hợp đa dạng phân mơn tốn lượng giác, đại số, giải tích - Phương pháp chung để giải dạng tốn thực theo bước sau: + Tìm miền xác định hàm số + Chọn lựa phương pháp: lượng giác, đại số, giải tích, tọa độ + Tiến hành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số + Kiểm tra lại kết như: Dấu đẳng thức có xảy khơng? Xảy giá trị biến số + Kết luận giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số - Luận văn đề cập đến phương pháp để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác Phƣơng pháp lƣợng giác 1.1 Phƣơng pháp: - Ta thường dùng biến đổi lượng giác sau để tìm GTLN GTNN hàm lượng giác cos x   cos x  cos x ; sin x  ; sin x  2sin x cos x 2 - Có thể dùng điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác (1) 2 (1) Có nghiệm  A  B  C SVTH: Võ Thị Hạnh Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC - Sử dụng tính bị chặn hàm số lượng giác 2n | sin x |  sin x  , với | cos x |  cos2n x  , với - Nếu hàm số có dạng y  a sin x  b cos x  c thì: a 'sin x  b 'cos x  c ' + Quy đồng bỏ mẫu, đưa phương trình dạng cổ điển; + Ứng dụng điều kiện có nghiệm phương trình cổ điển dạng a sin x  b cos x  c a  b2  c2 ; + Từ tìm giá trị lớn nhỏ hàm số Chú ý: - Nếu hàm số phân thức lượng giác mà chưa có dạng ta biến đổi để đưa dạng (nếu được); - Tuy nhiên, phương pháp bị hạn chế tìm khơng giá trị lớn nhất, nhỏ ẩn x bị giới hạn đoạn (khoảng) cho trước, trường hợp ta nên dùng phương pháp đạo hàm 1.2 Các toán minh họa: Bài toán 1: (Đại học Ngoại thương – 2000) Cho ABC Giả sử M điểm thay đổi cạnh BC Gọi R1 , R2 bán kính vịng trịn ngoại tiếp tam giác ABM ACM Hãy xác định vị trí M để R1  R2 nhỏ Giải: Áp dụng định lí hàm sin cho ABM ACM ta có: R1  SVTH: Võ Thị Hạnh AB 2sin AMB , R2  AC 2sin AMC  AC 2sin AMB Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC A B C M Do R1  R2  ( AB  AC ) Vì sin AMB   R1  R2  2sin AMB ( AB  AC ) Vậy min( R1  R2 )  ( AB  AC )  sin AMB   AM  BC Hay M hình chiếu vng góc A BC Bài tốn 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  sin10 x  cos10 x Giải: Ta đưa hàm số dạng   cos x    cos x  y      (1  10cos x  5cos x) 2     5  5(cos 2 x  1)   16 Ta lại có 1 5(0  1)2  4  y  5(1  1)  4   y  16 16 16 Suy max y  đạt cos 2 x   sin x   x  SVTH: Võ Thị Hạnh k ,k  Trang LUẬN VĂN ĐẠI HỌC y   k đạt cos x   x   ,k   16 Chú ý: Nếu tốn u cầu tìm giá trị lớn hàm số, ta 2n 2n sử dụng nhận xét sau cho dạng tổng quát: y  sin x  cos x , n nguyên dương lớn Ta có 2n  sin x  sin x  sin n  cos n  sin x  cos x   2n  cos x  cos x Vậy max y  đạt 2n  sin x  k sin x  sin x   sin x   x  ,k   2n  cos x    cos x  cos x 2 Bài toán 3: Chứng minh y  sin x  14sin x cos x  5cos x  33 nhận giá trị dương Giải: Ta có y  sin x  14sin x cos x  5cos x  3 33   cos x   cos x   7sin x     33 2    7sin x  3cos x  3 33  Vì  (7)2  (3)2  7sin x  3cos x  (7)2  (3)2 nên giá trị nhỏ 7 sin x  3cos x  58  y  3 33   58 Ta chứng minh y  Thật 3 33   58 SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 10 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC E 1   xy    2 x  y xy xy x  y xy Hay E  2 2 a  cos t  sin t  4a sin t cos t  sin 2t   2 2 2 sin t  sin t sin t    sin 2t 7 Như a  1 E    x y sin 2t  SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 46 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC PHẦN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC BÀI TỐN CĨ CHỨA THAM SỐ Phần giới thiệu số tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác có chứa tham số Đối với dạng tốn ta vận dụng phương pháp nêu phần 2, phần 3, kết hợp với giả thiết tốn để đưa phương pháp giải thích hợp Bài toán 29: (Đại học Bách khoa TP.HCM – 1996) Cho hàm số yk  2k cos x  k  cos x  sin x  Xác định tham số k cho giá trị lớn hàm số yk nhỏ Giải: Ta có yk  2k cos x  k  cos x  sin x    yk  2k  cos x  yk sin x  k   yk Phương trình có nghiệm  yk  2k   yk2   k   yk   yk2  yk  3k  2k    1 1 6k  4k   yk   6k  4k  2 Suy giá trị lớn yk SVTH: Võ Thị Hạnh A  1 6k  4k  2 Trang 47 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC Mặt khác  1 2 6k  4k     k         Vậy A nhỏ k  Bài toán 30: (Đại học Thương mại-2000) 6 Tùy theo m, tìm max, hàm số: y  sin x  cos x  m sin x cos x Giải: 6 Ta có y  sin x  cos x  m sin x cos x m   sin 2 x  sin x Đặt t  sin x ; điều kiện | t | m Xét hàm số f (t )   t  t m f '(t )   t  2 f '(t )   t  m Ta xét trường hợp xảy sau: a/ Trường hợp Nếu m  1  m  3 Bảng biến thiên t f '(t ) m  1   f (t ) SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 48 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC Từ bảng biến thiên ta được: max y  f ( 1)  m đạt t  1   sin x  1  x   y  f (1)   k m đạt t    sin x   x  b/ Nếu 1     k m   3  m  3 Bảng biến thiên t f '(t ) m 1   f (t ) m f( ) f ( 1) f (1) Từ bảng biến thiên ta m2 m max y  f     12 3 1 m m  y   f (1); f (1)    ;   4  - Nếu m m    0m3 4 Thì y  f ( 1)  m  - Nếu 3  m  y  f (1)  SVTH: Võ Thị Hạnh m  Trang 49 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC c/ Nếu m 1 m  3 Bảng biến thiên t 1   f '(t ) m f (t ) f (1) f ( 1) Từ bảng biến thiên ta y  f ( 1)  max y  f (1)  m  m  Kết luận:  m m ax y   + Nếu m  3  min y   m  m2 + Nếu 3  m  max y   12 + Nếu  m  y  m  + Nếu 3  m  y  m   m m ax y   + Nếu m   min y   m  SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 50 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC Bài toán 31: (Đại học Quốc gia TP.HCM-1999) Cho hàm số: f ( x)  cos x  2(sin x  cos x)  3sin x  m Tùy theo m, tìm giá trị lớn nhỏ f ( x ) Từ tìm m cho  f  x   36x Giải: Đặt t  sin x  cos x ; điều kiện:   t   t   sin x  sin x  t      Lúc f ( x ) trở thành g (t )   t   2t  t   m Hay g (t )  t  t  2t   m Ta có g '(t )  4t  6t  2t g '(t )   t  2t  3t  1   t    t 1  t   Bảng biến thiên t g '(t )  2    m3 g (t ) m34 2  m3 m 47 16 m4 3 Từ bảng biến thiên ta được: SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 51 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC g (t )  f ( x )  m   max g (t )  max f ( x)  m  Từ f  x   36  6  f ( x)   6  f ( x ) Bất đẳng thức với x   6  max f ( x )  m34  6  m3   3 m 3 Vậy giá trị m cần tìm là:   m  Bài toán 32: Cho hàm số: y  sin x  m cos x  Xác định m để hàm số nhận giá trị không âm x  Giải: Ta có y  sin x  m 1  sin x    sin x  m sin x  m  Đặt t  sin x ;  t  , ta f (t )  t  mt  m  f (t ) tam thức bậc hai có hồnh độ đỉnh t0  + Nếu  m hệ số a   m    m  m m y  f (t )  f      m 1   SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 52 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC Để hàm số ln khơng âm x f (t )  0t  [0,1]  f (t )    m2  m 1   m   giá trị m cần tìm là: m  + Nếu m  y  f (t )  f (0)  m  Để hàm số không âm x  f (t )  0t  [0,1]  f (t )   m    m  (loại) + Nếu m   m  y  f (t )  f (1)  Rõ ràng f (t )  0t  [0,1] nên y  0t  [0,1] Tóm lại giá trị m cần tìm m  Bài tốn 33: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y   sin x  a  cos x  a  với a tham số Giải: Ta có y   sin x  a  cos x  a   a  sin x  cos x   sin x cos x  a Đặt t  sin x  cos x ;   t  t 1  sin x cos x  Xét hàm số t 1 2 f (t )  at   a  t  at  a  2 f '(t )  t  a ; f '(t )   t  a Ta xét trường hợp sau: Trường hợp a    a  Bảng biến thiên SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 53 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC t  2 f '(t ) + f (t ) a  2a  a  2a  2  y  f ( t )  a  a   Ta suy  max y  max f (t )  a  2a   2 Trường hợp Bảng biến thiên t  f '(t ) a  + f (t ) a2  2 a2 Suy y  f (t )   2 max y  max f (t )  max  f ( 2); f ( 2)  1   max  a  2a  ; a  2a   2  - Nếu a  2a  1  a  2a  2   a  max y  a  2a  SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 54 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC   a  max y  a  2a  - Nếu Trường hợp a   a   Bảng biến thiên t  2  f '(t ) f (t ) Suy  y  f ( 2)  a  a     max y  f ( 2)  a  2a    Bài toán 34: Cho hàm số: y a  sin x  2cos x  sin x  cos x Xác định a để hàm số có giá trị nhỏ lớn a   4, 1 Giải: Gọi T miền giá trị hàm số y0 giá trị thuộc T Ta có: y0  a  sin x  2cos x  sin x  cos x  y0   (sin x  cos x)  a  sin x  2cos x   y0  1 sin x   y0   cos x  y0  a Phương trình có nghiệm   y0  1   y0     y0  a  2  y02   2a  3 y0  a   SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 55 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC 2a   2a  12a  19 2a   2a  12a  19   y0  2  2a   2a  12a  19 max y    2a   2a  12a  19  min y  Từ đó, ta suy y  Như ta xét  2a   2a  12a  19  Đặt f (a)  2a   2a  12a  19 với 4  a  f '(a)   2a  2a  12a  19 2 2a  12a  19   a  3 2a  12a  19 f '(a)   2a  12a  19  a  2  2a  12a  19   a  3   a  3 a  6a  10   phương trình vơ nghiệm a  3 Bảng biến thiên a 4 f '(a) 1 + 2 f (a) 5  Từ bảng biến thiên max f (a)  2 đạt a  1 Vậy giá trị nhỏ hàm số lớn là: max min y  1 đạt a  1 SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 56 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC KẾT LUẬN I Nhận xét đánh giá chung đề tài Kết đạt đƣợc Đề tài liệt kê phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác lượng giác hóa tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác tập có chứa tham số Trình bày phương pháp: phương pháp lượng giác, phương pháp đại số, phương pháp giải tích, phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác đưa dấu hiệu nhận biết việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Các toán đưa chọn lọc gần gũi với tốn phổ thơng có lời giải cụ thể cho toán Hạn chế Với kiến thức có hạn thời gian cịn hạn chế, đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót chưa khai thác hết dạng toán liên quan phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác II Hƣớng phát triển đề tài Hi vọng đề tài tiếp tục nghiên cứu mở rộng để bổ sung thêm dạng tốn liên quan đến phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác cách vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác vào giải tốn chương trình phổ thông Tôi mong nhận ủng hộ, đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo bạn để đề tài ngày hoàn thiện SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 57 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Quang Ánh – Nguyễn Thành Dũng – Trần Thái Hùng – Phạm Tấn Phước, 1996, Giải đề thi đại học chuyên đề Lượng giác, NXB Thành Phố Hồ Chí Minh [2] Trần Văn Hạo (Chủ biên) – Nguyễn Cam – Nguyễn Mộng Hy – Trần Đức Huyên – Cam Duy Lễ – Nguyễn Sinh Nguyên – Nguyễn Vũ Thanh, 2008, Chuyên đề luyện thi vào đại học Lượng giác, NXB Giáo Dục Việt Nam [3] Trần Văn Kỷ, 2002, Chọn lọc 394 toán bất đẳng thức giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, NXB Thành Phố Hồ Chí Minh [4] Mai Thị Lý, 2013, Luận văn “ Phương pháp Lượng giác hóa Đại số” [5] Lê Bích Ngọc (chủ biên) – Lê Hồng Đức, 2007, Học ơn tốn Lượng giác 11, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [6] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) – Trần Phương Dung – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 – Nâng cao, NXB Giáo dục [7] Huỳnh Cơng Thái, 2002, Phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ chứng minh bất đẳng thức Lượng giác, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh [8] Trang web doc.edu.vn SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 58 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC MỤC LỤC PHẦN GIỚI THIỆU BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC PHẦN PHƢƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Phương pháp lượng giác 1.1 Phương pháp: 1.2 Các toán minh họa: Phương pháp đại số 16 2.1 Phương pháp: 16 2.2 Các toán minh họa: 16 Phương pháp giải tích 22 3.1 Phương pháp: 23 3.2 Các toán minh họa: 23 Phương pháp tọa độ 28 4.1 Sử dụng quy tắc ba điểm 28 4.2 Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối 29 4.3 Các toán minh họa: 29 PHẦN LƢỢNG GIÁC HĨA CÁC BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 35 Một số dấu hiệu nhận biết việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 35 SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 59 LUẬN VĂN ĐẠI HỌC Các toán minh họa: 40 PHẦN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ 47 KẾT LUẬN 57 I Nhận xét đánh giá chung đề tài 57 Kết đạt 57 Hạn chế 57 II Hướng phát triển đề tài 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 SVTH: Võ Thị Hạnh Trang 60 ... THIỆU BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC PHẦN PHƢƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Phương pháp lượng giác. .. PHẦN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC BÀI TỐN CĨ CHỨA THAM SỐ Phần giới thiệu số toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác có chứa tham số Đối... LƢỢNG GIÁC HÓA CÁC BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 35 Một số dấu hiệu nhận biết việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số