Ứng dụng của tích phân vào diện tích và thể tích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH Người thực hiện: Lê Văn Nam Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Nông Cống I SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2021 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong thời đại cạnh tranh khốc liệt nay, người muốn hội nhập phát triển cần có khả tư sáng tạo Có thể nói rằng, dạy học sinh biết sáng tạo, có kỹ khả xử lí tình nhiệm vụ quan trọng người thầy Phải nói tích phân loại tốn hay khó, vận dụng nhiều lĩnh vực đời sống Trong chương trình ơn thi đại học năm trước (khoảng 2017 trở trước) tốn tích phân đề thi khơng nhiều số lượng thể loại Khi tốn tích phân thường tính tích phân xác định hàm đoạn ( thi TN cần bấm máy) tìm nguyên hàm hàm số cho trước.Tuy nhiên từ chuyển sang thi trắc nghiệm tích phân khai thác triệt để kiến thức THPT Chính độ khó tăng lên, dạng đa dạng Đặc biệt để hồn thành hết câu tích phân đề thi học sinh phải thành thạo kiến thức tích phân mà cịn biết tổng hợp kiến thức liên quan phải hiểu biết thực tế Trong dạng tích phân phần " Ứng dụng tích phân" có lẽ làm học sinh vất vả Bởi để xử lý toán học sinh cần thiết lập công thức, mà để thiết lập cơng thức cần nắm kiến thức bản, ứng dụng thực tế phải thực tinh tế phù hợp cho việc xử lý câu tích phân với thời gian ngắn Đây dạng toán mà em học sinh giỏi thích khám phá giáo viên dạy thích nghiên cứu nó, qua cách dạy" Ứng dụng tích phân ” giáo viên rèn luyện khả tư duy, khả độc lập làm việc đặc biệt khả thường xuyên tổng hợp kiến thức toán học, khả liên hệ thực tế qua tổng quát hóa vấn đề liên quan Do tơi định chọn đề tài SKKN: “ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH”nhằm giới thiệu với đồng nghiệp số kinh nghiệm thân việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh giải tốn ứng dụng tích phân, từ góp phần nâng cao chất lượng đại trà chất lượng mũi nhọn giảng dạy mơn tốn bậc THPT 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi ln trăn trở để em học sinh đại trà đam mê tốn hơn, sống có mục đích lý tưởng hơn, đặc biệt công tác ôn luyện đội tuyển việc ôn luyện học sinh nhân tố lấy điểm cao kỳ thi tốt nghiệp THPT, biết cách tư để định dạng phương pháp giải tốn tích phân liên quan đến ứng dụng tự tin với câu hỏi vận dụng cao kỳ thi TNTHPT kỳ thi chọn học sinh giỏi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong khuôn khổ SKKN, đề cập đến việc rèn luyện khả tư duy, kỹ xử lí tình liên hệ thực tế gặp số toán “ ứng dụng tích phân vào việc tính diện tích thể tích” Đối với học sinh đại trà, giỏi 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sau dạy xong phần lý thuyết " Ứng dụng tích phân vào tính diện tích thể tích", tơi cho học sinh thử làm số mức độ nhận biết, thơng hiểu thấy có nhiều học sinh giải được, làm tương đối tốt Tiếp tục giới thiệu số mức độ vận dụng vận dụng cao loại nàythì học sinh làm được, đối tượng lớp có nhiều em học sinh khá, giỏi nhà trường Phải đề khó quá, hay tâm lí em chưa tự tin Tơi cho đề thi khơng phải q khó, bám sát dạng Tuy nhiên có biến hố chút làm cho học sinh lúng túng khơng biết phương hướng giải Do dựa vào kinh nghiệm chưa đủ Điều quan trọng hàng đầu phải rèn luyện khả tư , liên hệ thực tế để giải vấn đề Chính tơi sử dụng " Phương pháp học nhóm" Phương pháp " Giải vấn đề" chủ yếu! Tôi chia lớp học thành nhóm, thành phần đối tượng nhóm cố gắng giống nhau, để có tương tác qua lại giúp đỡ lẫn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến - Vấn đề: Nhiều học sinh lúng túng, tự tin tiếp cận phần " Úng dụng tích phân" - Mục tiêu: Để em học sinh tự tin linh hoạt tiếp cận phần " Ứng dụng tích phân" - Câu hỏi: Làm để em học sinh tự tin linh hoạt, giải xác nhanh thời gian ngắn Để làm tốt điều này, ln trăn trở tâm nghiên cứu, tìm tài liệu từ nguồn như: SGK, sách tập SGK, Đê thi THPT năm, tài liệu từ nhóm tốn tồn quốc, xin tài liệu từ thầy uy tín tỉnh nhà sau chọn lọc tổng hợp chọn cho phù hợp với " Phương pháp nhóm" " phương pháp giải vấn đề" mà đưa trước Làm cho học sinh dể tiếp cận đem lại hiệu cao Chúng ta biết tích phân có nhiều ứng dụng, nhiều dạng tốn Tuy nhiên khn khổ SKKN tơi xin đưa dạng tốn thường gặp kỳ thi quan trọng TNTHPT Chọn học sinh giỏi tỉnh nhà Dạng 1.Ứng dụng tích phân vào tính thể tích Hình (H ) phẳng giới hạn (C1 ) : y = f ( x )  (C2 ) : y = g ( x )  x = a , x = b (a < b )  diện tích b S = ∫ f ( x ) − g ( x) dx a (C1 ) : y = f ( x )  b (C2 ) : Ox : y = S = ∫ f ( x) dx  a Hình phẳng ( H ) giới hạn  x = a, x = b (a < b) diện tích Selip = π ab x2 y (E) : + = a b Hình thức đề thường hay cho Hình thức 1: Khơng cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y = f ( x), y = g ( x), x = a, x = b ( a < b)} b casio  → ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = a kết quả, so sánh với bốn đáp án Hình thức 2: Khơng cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y = f ( x), y = g ( x)} Giải f ( x) = g ( x) tìm nghiệm x1 , , xi , với x1 nhỏ nhất, xi lớn xi casio  → ∫ f ( x) − g ( x) dx x1 Hình thức 3: Cho hình vẽ, giải phương trình tìm tọa độ giao điểm (nếu chưa cho hình), chia diện tích nhỏ, xổ hình từ xuống, ghi cơng thức bấm máy tính Hình thức 4: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn y = f ( x), y = g ( x), y = h( x) ta nên vẽ hình Dạng2 Ứng dụng tích phân tính thể tích Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b, S ( x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x, (a ≤ x ≤ b) Giả sử S ( x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Khi đó, thể tích vật thể B xác định: b V = ∫ S ( x) dx a Thể tích khối trịn xoay a) Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f ( x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox : b) Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x = g ( y), trục hoành hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy : d O y c x  (C): x = g(y)   (Oy): x =   y= c  y = d d Vy = pị éêëg(y)ùúû dy c c)Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f ( x), y = g ( x) (cùng nằm phía so với Ox) hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox : y b V = π ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a Oa f ( x) g ( x) b x Dạng Ứng dụng tích phân để tính diện tích Câu Tính diện tích hình phẳng gạch chéo hình bên Lờigiải Bình luận: Đây mức độ thông hiểu, cho dạng hình vẽ học sinh nhận đưa cơng thức tính S = ∫ ( − x + ) − ( x − x − )  dx = ∫ ( −2 x + x + ) dx −1 −1 Câu 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x − y = x − Lờigiải Bình luận: Đây mức độ thông hiểu, Không cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y = f ( x), y = g ( x)} , nắm lý thuyết hs đưa công thức tính! x = x2 − = x − ⇔ x2 − x = ⇔  x =1 Ta có Phương trình hồnh độ giao điểm: 1 S = ∫ ( x − 3) − ( x − 3) dx = ∫ x − x dx = 0 Diện tích hình phẳng: Câu Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong OAB ) hình vẽ bên Lờigiải Bình luận:Đây mức độ thơng hiểu, Cho hình vẽ, giải phương trình tìm tọa độ giao điểm (nếu chưa cho hình), chia diện tích nhỏ, xổ hình từ xuống, ghi cơng thức bấm máy tính Phương trình hoành độ giao điểm  x =1 x = ( x − 2) ⇔ x2 − 5x + = ⇔  x = Dựa vào đồ thị, diện tích hình phẳng cần tìm S = ∫ xdx + ∫ ( x − ) dx = 1 + = S= Vậy Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = x , y = x − x + trục Ox Lờigiải Bình luận: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn y = f ( x), y = g ( x), y = h( x) ta nên vẽ hình Đối với loại học sinh thường bị lúng túng khơng vẽ hình mà xét pt hồnh độ giao điểm đua công thức Dựa vào hình vẽ ta thấy hình phẳng cần tính diện tích gồm phần: Phần 1: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục Ox , x = , x =1 Phần 2: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + , trục Ox , x =1, x = Do diện tích cần tính 2 S = ∫ x dx + ∫ x − x + dx = ∫ x 3dx + ∫ ( x − x + ) dx Sau đến với số câu vận dụng - VDC Câu 1 Cho hàm số f ( x) −5;3] xác định liên tục đoạn [ có đồ thị hình A , B , C , D vẽ bên Biết diện tích hình phẳng ( ) ( ) ( ) ( ) giới hạn đồ thị hàm số ∫ −3 y = f ( x) trục hoành 6; 3; 12; Tính tích phân  f ( x + 1) + 1dx 10 ( E1 ) : x2 y2 x2 y + =1 ( E2 ) : + = 1 Hai Elip có phương trình: Tọa độ giao điểm hai Elip góc phần tư thứ nghiệm phương trình: x2 1− = ⇔ x2 = ⇒ x = x2 + 5 S = π 22 − π 2.1 − Diện tích hình phẳng cần tìm: 5 ∫  x2  − x2 − −    ÷dx = 3, 71 ÷  Câu ( Thực tế) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tơ đậm 200.000 vnđ / m phần lại 100.000 vnđ / m Hỏi số tiền để sơn theo cách bao nhiêu? biết A1 A2 = 8m B1B2 = 6m , tứ giác MNPQ hình chữ nhật có MQ = 3m ? Lờigiải Bình luận: Cũng tính diện tích hình phẳng, nhiên kết hợp với thực tế lại đưa loại lên tầm cao mới, hay ý nghĩa với 12 sống vô Điều giúp học sinh biết lý thuyết thực tế gắn bó với nào? x2 y + =1 E Gọi phương trình tắc elip ( ) có dạng: a b  A1 A2 = = 2a a = x2 y2 ⇔  → E : ( ) + = ⇔ y = ± 16 − x B1 B2 = = 2b b =  16 Với Suy diên tích hình elip S( E ) = π a.b = 12π ( m )  3 MQ = → M  x; ÷∈ ( E )  2 Vì MNPQ hình chữ nhật x2 3  3  ⇒ + = ⇒ x = 12 → M  −2 3; ÷; N  3; ÷ 16 2  2  Gọi S1 ; S2 diện tích phần bị tơ màu khơng bị tơ màu Ta có: Suy ra: ( x = 4sin t S2 = ∫ 16 − x dx = ∫ 16 − x dx → S2 = 4π − ( m ) 42 3 S1 = S( E ) − S = 8π + ) ( ) Gọi T tổng chi phí Khi ta có T = 4π − 100 + 8π + 200 ; 7.322.000 (đồng) Câu ( Thực tế) Một cổng hình Parabol hình vẽ sau Chiều cao GH = 4m , chiều rộng AB = 4m , AC = BD = 0,9m Chủ nhà làm hai cánh cổng đóng lại hình chữ nhật CDEF tơ đậm có giá 1200000 đồng /m , cịn phần để 13 trắng làm xiên hoa có giá 900000 đồng /m Hỏi tổng số tiền để làm hai phần bao nhiêu? Lờigiải Gắn hệ trục tọa độ Oxy cho AB trùng Ox , A trùng O parabol có đỉnh G ( 2; ) qua gốc tọa độ Giả sử phương trình parabol có dạng y = ax + bx + c ( a ≠ 0) Vì parabol có đỉnh G ( 2; ) qua điểm O ( 0;0 ) nên ta có c =  b  a = −1  =2  − ⇔ b =  2a c = a.22 + b.2 + c =  Suy phương trình parabol y = f ( x) = − x + x  x3  32 S = ∫ ( − x + x ) dx =  − + x ÷ = m2 ) (  0 Diện tích cổng Mặt khác chiều cao CF = DE = f ( 0,9 ) = 2, 79(m) ; CD = − 2.0, = 2, ( m ) 14 Diện tích hai cánh cổng Diện tích phần xiên hoa SCDEF = CD.CF = 6,138 ( m ) S xh = S − SCDEF = 32 6793 − 6,14 = m2 ) ( 1500 6,138.1200000 + 6793 900000 = 11441400 1500 đồng Vậy tổng số tiền để làm cổng Bình luận: Tạm dừng hay đẹp dạng 1, tơi tiếp tục tìm hay dạng Dạng Ứng dụng tích phân để tính thể tích Câu Gọi D hình phẳng giới hạn đường y = e , y = , x = x = Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox bằng: Lờigiải Bình luận: Đây mức độ thông hiểu, nên hs không gặp vấn đề khó khăn nắm lý thuyết Ta tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox bằng: 3x 1 V = π ∫ ( e x ) dx = π ∫ e x dx Câu 2 H Cho hình phẳng ( ) giới hạn đường y = x + 3, y = 0, x = 0, x = H Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( ) xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng? Lờigiải 15 V = π ∫ ( x + 3) dx Câu Thể tích vật thể tạo nên Tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parapol (P): y = x đường thẳng d: y = x quay xung quanh trục Ox ? Lờigiải Bình luận: Đây tốn học sinh dể bị nhầm lẫn toán khác, nhiên q trình giảng dạy tơi ln tìm cách vẽ hình cho em dể tưởng tượng! Cơng việc hiệu em gặp tốn lạ mà đặc thù dùng hình xử lý 16 x = x2 = x ⇔  x = Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: Ta có: Câu (VD) 2 2 0 0 VOx = π ∫ (2 x) dx − π ∫ ( x ) dx = π ∫ x 2dx − π ∫ x 4dx y = ( x − 1) y = − x D) ( Cho hình phẳng giới hạn hai đường ; D Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành ( ) quay quanh trục Ox Lờigiải Bình luận: Thực chất khơng phải đơn giản cách tư duy, áp dụng máy móc cơng thức dẫn đến sai xót Nên mức độ ta xem vận dụng, hay sau vẽ hình, dựa vào hình nhận xét cho cơng thức tích phân vơ đẹp Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = ( x − 1) y = − x ( x − 1) = − x ⇔ x = ±1 Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = ( − x2 ) y = ( x − 1) qua trục Ox ta đồ thị hàm số ( − x ) ≥ − x , ∀x ∈ [ −1;1] Ta có Suy thể tích khối trịn xoay cần tìm 64π V = π ∫  ( x − 1)  dx = 15 −1 Câu ( VD) 17 Tính thể tích vật trịn xoay tạo miền hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x + , y = − x + , x = xoay quanh trục Ox Lờigiải Bình luận: Bài tương tự sau vẽ hình, nhiên lồng vào nhau, sau tính phần lồng vào thiếu phần hay hai nằm tinh tế đó, điều làm cho học sinh hiểu thêm ý nghĩa sống " Biết vươn tới hay đẹp để hoàn thiện thân"  x+3 = x+3= − x+3 ⇔  ⇔ x = −3 x + = −   Xét phương trình H Xét hình ( ) giới đồ thị hàm số y = x + ( −3 ≤ x ≤ −2 ) , y = x + ( −2 ≤ x ≤ 1) , y = x = Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm thể tích vật thể trịn xoay H thu quay quanh hình ( ) quanh trục Ox Do 18 −2 43π V = π ∫  x +  dx + π ∫ ( x + 3) dx =  −3  −2  Tương tự ta có Câu ( VD) S , S Cho hai mặt cầu ( ) ( ) có bán kính R = thỏa mãn tính chất tâm ( S1 ) thuộc ( S2 ) ngược lại Tính thể tích V phần chung hai khối S , S cầu tạo ( ) ( ) Lờigiải Phần chung hai khối cầu tạo ( S1 ) , ( S2 ) khối trịn xoay, tương đương phần hình phẳng OAO′ quay quanh trục OO′ hay hai lần phần mặt phẳng tạo AHO′ quay quanh trục OO′ O Đặt hệ trục hình phương trình đường trịn ( ) x + y = ⇒ y = − x , điểm H có hồnh độ ; O′ có hồnh độ nên thể tích : V =π∫ ( 9− x ) dx = = π ∫ ( − x )dx = 458 π 3 2 Câu ( VDC) Cho hình thang ABCD có AB song song CD AB = AD = BC = a, CD = 2a Tính thể tích khối trịn xoay quay hình thang ABCD quanh trục đường thẳng AB 19 Lờigiải Dễ thấy ABCE hình bình hành nên AE = BC = a Vậy ADE tam giác Có AH = a Xét hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Có phương trình CD : y = − a ; a  A  ;0 ÷ xD = 0, xC = 2a ; 2  Phương trình AD : y = x − a a a 2 a 3  a  3π a 3a  V = π ∫  − π x − = a − π x − ax + ÷  ÷ ÷ ∫0  ∫0  ÷ ÷ 4      Vậy 2a  3π a 3a 3a − 2π  x − x + 2  a  3π a3 a3 x÷ = − 2π = π a 0 Cách 2: Thể tích khối tròn xoay tạo theo đề thể tích khối trụ a có chiều cao 2a bán kính đáy trừ thể tích hai khối nón a a 2 có chiều cao bán kính đáy Vậy 2 a 3 a 3 a V = π  a − π ÷ ÷ = πa ÷  ÷    Câu ( VDC) 20 Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x = quanh trục Ox Đường thẳng x = a ( < a < 4) cắt đồ thị hàm số y = x M (hình vẽ) Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V = 2V1 Tính a ? Lờigiải Bình luận: Cái khó loại phải vẽ hình phân chia hợp lý Ta có: x2 V = π ∫ xdx = π = 8π 0 Mà V = 2V1 ⇒ V1 = 4π Gọi K hình chiếu M Ox ⇒ OK = a, KH = − a, MK = a Khi xoay tam giác OMH quanh Ox ta khối tròn xoay lắp ghép hai khối nón sinh tam giác OMK , MHK , hai khối nón có mặt đáy có tổng chiều cao OH = nên thể tích khối trịn V1 = π xoay ( a) = 4π a , từ suy a = Câu ( VDC) Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a, b, c, d ∈ ¡ , a ≠ ) có đồ thị ( C ) Biết đồ thị ( C ) tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số y = f ' ( x ) cho hình vẽ Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng H giới hạn đồ thị ( C ) trục hoành quay xung quanh trục Ox 21 Lờigiải ⇒ f ' ( x ) = ( x − 1) Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) Khi f ( x) = ∫ f ' ( x ) dx = x − 3x + C Điều kiện đồ thị hàm số f ( x ) tiếp xúc với đường thẳng y = là:  f ( x ) =  x = −1  x − 3x + C = ⇔ ⇔   C =  f ' ( x ) = 3 ( x − 1) = suy f ( x ) = x − 3x + ( C ) + ( C ) ∩ Ox ⇒ hoành độ giao điểm x = −2; x = V =π +Khi ∫( x −2 − 3x + ) dx = 729 π 35 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Trước áp đụng đề tài này, hoạt động lớp khơng đồng Một số em học TB hay bị nãn thiếu tự tin, ngược lại số em học tốt lại có ý cầm chừng, chưa phát huy hết khả Lớp chưa phát huy tinh thần học nhóm 2.3 Các SKKN giải pháp sử dụng giải vấn đề Trong đề tài, tập đưa theo mức độ tăng dần, chọn lọc kỹ từ nguồn tài liệu như: SGK, Tài liệu nhóm tốn VD-VDC, đề thi THPTQG trước Nên việc nhóm hoạt động tăng dần độ khó Để sử lý nhanh khơng kỹ phải tốt mà nhóm cịn phải đồn kết biết tôn trọng lắng nghe Các em khí vui vẻ tham gia đem lại kết tương đối nhanh xác Tuy nhiên mức độ số câu VDC em mức độ trung bình cịn nhiều khó khăn Tơi ln tìm cách giải thích thêm câu cho em em có yêu cầu.Trong suốt trình thực đề 22 tài tơi ln động viên khuyến khích em, khen thưởng nhóm làm nhanh xác, nhắc nhở nhóm chưa hoàn thành nhiệm vụ thời gian 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường Vì đặc thù nhà trường phân công dạy lớp chọn phân đứng đội tuyển nên có hội nhiều lần thực đề tài cấp độ khác với nhiều đối tượng khác Khi sử dụng đề tài lớp chọn em tốt tốn thích thú đặc biệt em đội tuyển toán nhà trường Và em học sinh mức độ trung bình tiếp thu tốt phần thơng hiểu vận dụng, phần VDC hạn chế Vì lớp thường tơi khai thác phần đề tài ( chủ yếu phần thông hiểu vận dụng) Riêng lớp chọn đội tuyển khai thác triệt để đề tài này! Cụ thể:Ôn luyện đội tuyển năm học 2017 -2018 ôn tập cho 20 em học sinh nằm đội tuyển: Tốn, lý, hóa, sinh nhà trường Kết quả: Về kết đội tuyển Giải Nhất Nhì Ba KK Đội tuyển (5 HS) 1 Về kết ơn THPTQG ( Nhóm ôn luyện lớp dạy) Điểm cao Trên điểm Trên điểm Ghi 20 học sinh 15 ( 66%) ( 34%) Một em 9,8 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sau sử dụng đề tài để dạy cho học sinh đặc biệt nhóm học sinh giỏi ơn thi đội tuyển, nhận thấy em rèn khả tư tốt hơn, phán đoán nhanh nhẹn đặc biệt đem lại hiệu rõ rệt kỳ thi quan trọng, đồng thời sau sử dụng đề tài thấy học sinh linh hoạt công việc tự tin sống! 23 Mặc dù lực khả hạn chế, thiết nghĩ thời đại 4.0 việc rèn luyện kỹ sống qua học điều vô quan trọng cấp thiết Bên cạnh nhà trường có tồn phát triển mạnh hay khơng khâu mũi nhọn quan trọng Chính mà đề tài góp phần khơng nhỏ cho thành công nghiệp giáo dục cá nhân tơi nói riêng cho phát triển trường THPTNCI nói chung Có thể nói SKKN : “ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN” bước đầu thành cơng theo mục đích cá nhân tơi Tích phân có ứng dụng rộng lớn, nhiều dạng tốn ứng dụng tích phân, khn khổ đề tài tơi giới thiệu hai dạng Hai dạng hai dạng thực dụng đề thi TNTHPT Vì cố gắng song đề tài khó tránh khỏi bất hợp lí vài điểm Rất mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp, học sinh yêu thích tích phân để đề tài hoàn thiện hơn./ Trong trình thực đề tài tơi có tham khảo nguồn tài liệu từ nhóm tốn nước, cám ơn thầy ln tâm huyết giáo dục nước nhà! Hi vọng tài liệu bổ ích để đồng nghiệp tham khảo giảng dạy để học sinh vận dụng làm tập tìm tịi khám phá vẻ đẹp mn hình mn vẻ tích phân 3.2 Kiến nghị Mong thời gian tới tồn giới nói chung đất nước Việt Nam nói riêng vượt qua đại hoạn covic, để tất học sinh nước đến trường an toàn, để thảo sức đam mê nghiên cứu lĩnh vực đam mê có tốn học Tơi mong muốn lãnh đạo sở, lãnh đạo trường, tổ chuyên môn quan tâm tới thiết bị, mơ hình tốn học để học lý thuyết em vận dụng vào thực hành tốt nhiều Đặc biệt với tích phân có đầy đủ thiết bị mơ hình tơi nghĩ hiệu của đề tài " ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN" sinh động hiệu với em nhiều! Tôi xin chân thành cảm ơn! 24 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 08 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Văn Nam 25 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Lê Văn Nam Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Nông Cống T T Tên đề tài SKKN Kết Cấp đánh giá xếp đánh giá loại xếp loại Giải hệ phương pháp Sở GD&ĐT Thanh hàm Hóa Năm học đánh giá xếp loại C 2013 Giải hệ phương pháp Sở GD&ĐT Thanh đánh giá Hóa C 2020 Tích phân hàm ẩn C 2019 Sở GD&ĐT Thanh Hóa ... toán “ ứng dụng tích phân vào việc tính diện tích thể tích? ?? Đối với học sinh đại trà, giỏi 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sau dạy xong phần lý thuyết " Ứng dụng tích phân vào tính diện tích thể tích" ,... tài SKKN: ? ?ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH”nhằm giới thiệu với đồng nghiệp số kinh nghiệm thân việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh giải tốn ứng dụng tích phân, từ góp... THPTNCI nói chung Có thể nói SKKN : ? ?ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN” bước đầu thành cơng theo mục đích cá nhân tơi Tích phân có ứng dụng rộng lớn, nhiều dạng toán ứng dụng tích phân, khn khổ đề tài tơi