Sử dụng phương pháp hàm lặp để xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số trong chương trình môn toán lớp 11

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LẶP ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH MƠN TỐN LỚP 11 I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Dãy số khái niệm quan trọng Tốn học Vì kiến thức dãy số phần nội dung quan trọng chương trình tốn học phổ thơng giảng dạy chương trình mơn Toán lớp 11 Các toán liên quan đến dãy số thường xuất nhiều kì thi THPT Quốc gia kì thi học sinh giỏi mơn Toán cấp tỉnh, khu vực, quốc gia, quốc tế Học sinh thường phải đối mặt với nhiều tốn khó liên quan đến dạng gặp khó khăn vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát dãy số Đặc biệt số lớp tốn xác định cơng thức số hạng tổng qt tốn gần giải Với mong muốn cải thiện, nâng cao chất lượng học học sinh chia sẻ, học hỏi kinh nghiệm với đồng nghiệp, tơi tìm tịi, thực nghiệm viết nên đề tài “ Sử dụng phương pháp hàm lặp để xác định công thức số hạng tổng quát dãy số chương trình mơn Tốn lớp 11” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh giải số dạng tốn xác định cơng thức số hạng tổng quát dãy số phương pháp hàm lặp, đồng thời rèn luyện kĩ lập luận tư logic thơng qua q trình giải tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài toán xác định dãy số phương pháp hàm lặp dành cho học sinh học lớp 11, 12 THPT, đặc biệt hướng tới học sinh khá, giỏi 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Khám phá, tự tìm tịi, đưa vào thực nghiệm đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ thống theo mức độ từ dễ đến khó II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Bên cạnh số phương pháp xác định công thức số hạng tổng quát phương pháp quy nạp, phương pháp đổi biến, phương pháp sai phân…thì phương pháp hàm lặp sử dụng hiệu tốn xác định cơng thức số hạng tổng quát dãy số Để tìm số hạng tổng quát dãy số (un ) phương pháp lặp ta thường tìm hàm số f ( x) g( x) cho f (un )  g ( f (un1 )) Sử dụng (1) liên tiếp ta thu (1) (2) f (un )  g ( f (un 1 ))  g (g( f (un 2 )))  g ( f (un2 ))   g n ( f (u0 )) Từ (2) ta tìm (un ) Hàm số f gọi hàm số phụ, hàm số g gọi hàm lặp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sau nhiều năm giảng dạy mơn Tốn THPT có giảng dạy mơn Đại số Giải tích lớp 11, tơi nhận thấy nội dung chương dãy số có giảm tải đáng kể việc giảm tải tập trung chủ yếu vào phần tập Vì vậy, tập sách giáo khoa đơn giản khiến cho học sinh gặp tốn khó kì thi thường lúng túng cảm thấy khó khăn việc tìm lời giải tốn Trong q trình giảng dạy học sinh giải tập phần dãy số, cố gắng hệ thống dạng tập thường gặp với phương pháp, ví dụ cụ thể Phương pháp hàm lặp phương pháp dùng để giải dạng tốn tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số đưa vào giảng dạy, giúp học sinh tìm lời giải cách tự nhiên , khơng gượng ép máy móc NỘI DUNG CỤ THỂ Ta bắt đầu ba toán đơn giản sau thể đầy đủ phương pháp (u ) Bài tốn Tìm số hạng tổng quát dãy số n cho sau: u1  3, un1  7un  1, n  1,2, Giải Ta có un 1  1 � 1�  7un    7un   � un  � , n  1,2, 6 � 6� Vậy un  1� � 1� � � � n1 17  7� un1  � � un  �  n1 � u1  � 6� � 6� � � 6� Do un  17 n1  , n  1,2, 6 Lưu ý Trong lời giải trên, quan trọng biết cách xét hiệu tìm sau: un1  1 Số un 1  m  7un   m   un  m   6m  Ta cần chọn m cho Bài toán Cho dãy số 6m   � m  (un ) xác định sau: u1  5, un1  Chứng minh n ��* 5un  , n  1,2, un  un �4 Tính u2021 Giải Ta có u1  �4 Giả sử n ��* un �4 Ta chứng minh un 1 �4 Thật vậy, un 1  5un   � 5un   4un  � un  un  mâu thuẫn với giả thiết Vậy n ��* un �4 Khi un   un   5un1  u 4   n1 un1  un 1  5un1  6(un1  1) 1  un1  un1  Suy un  u 1 u 1 u 1  n1  n2   6n1  6n un  un1  un2  u1  Do 4.6n  un   un  4.6 � un  n , n ��* 1 n Vậy n 4.62021  u2021  2021 1 Lưu ý Ta xét: un1  m  5un  m un  2m  � � 5m � � un  u   m � � n  Ta chọn m cho m  1 � 2m   m � m  3m   � � 5m �m  Nên lời giải ta xét un  un  Bài toán Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  xác định sau: u1  4, un 1    un    2un , n  1,2, Giải Từ giả thiết ta có un  với n 9un 1  un    2un � 18un1  2un    2un � 18un1   2un    2un  16 � 9(2un 1  1)    2un   � 2un1   2u n   4 v  v  � v  v  n  n n  n v  2un  Khi v1  3 Đặt n Khi vn1    � vn1      3 Như   Dó  1 1  1     vn2     n1  v1    n1 3 3 2 3n 1 Suy v 1 1 �1 � un  n    � n1  1� 2 �3 � Vậy số hạng tổng quát dãy số  un  cho là: 1 �1 � un    �n 1  1�, n  1,2, 2 �3 � Sau ta xây dựng số dạng toán, để từ tạo tốn xác định số hạng tổng quát dãy số phương pháp hàm lặp Dạng Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1   �� un 1  un  aun  b, n  1,2 Phương pháp: Xét lớp hàm h( x)  x  ax  b Ta có h( x)  m  x  ax  b  m Ta cần tìm a, b, m cho x  ax  b  m   x  m  � x  ax  b  m  x  2mx  m 2 �a  2m �� b  m  m2 �  1 Giải hệ ta tìm được m Khi un  m   un1  m    un  m     u1  m  22 2n1     m 2n1 Từ phương pháp nêu trên, ta cần cho a, b, m giá trị cụ thể ta có tốn tìm công thức số hạng tổng quát dãy số Chẳng hạn thay m  2, a  4,b  ta có tốn sau: Bài tốn Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1  un 1  un  4un  6, n  1, Giải Thay a  4, b  vào hệ  1 ta m  Khi un    un 1     un      u1   22 2n1    2 2n1  32 n 1 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho n 1 un   32 , n  1,2 Tuy nhiên có số tốn phải qua số bước biến đổi đưa dạng để giải Các tốn sau ví dụ: Bài tốn Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: un1  3un  4un  , n  1,2 u1  Giải Đặt un  � v1  3u1  Khi un1  3un  4un  � 1   4vn  2, n  1,2, Thay a  4, b  vào hệ  3 ta m  2 Khi    1     vn      v1   22 2n1    2 2n1  8n1 n1 �  2  2n1 82  � un  Vậy số hạng tổng quát dãy số cho n1 82  un  , n  1,2 Lưu ý Phép đặt Khi un  tìm sau: Ta đặt un  kvn , với k số kvn1  3k 2vn  4kvn  2 � 1  3kv n  v n  3k Ta cần tìm k thỏa mãn v 3k  � k  � un  n 3 Bài tốn Tìm số hạng tổng qt dãy số  un  cho sau: un 1  5un  4un  , n  1, u1  Giải Đặt un   � v1  5u1  20 Khi un 1  5un  4un  � 1   4vn  6, n  1,2, Thay a  4, b  vào hệ  3 ta m  Khi    1     2      v1   22 2n1   20   2n1  (18) n1 n 1 �   (18) 2n1 ( 18)  � un   Vậy số hạng tổng quát dãy số cho n 1 (18)  un  , n  1,2 Dạng Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1   �� un 1  un  aun  bun  c, n  1, Phương pháp: Xét lớp hàm h( x)  x  ax  bx  c Ta có h( x)  m  x  ax  bx  c  m Ta cần tìm a,b, c,m cho x  ax  bx  m   x  m  � x  ax  bx  c  m  x  3mx  3m x  m 3 � a  3m � � � b  3m � c  m  m �  2 Giải hệ ta tìm được m Khi un  m   un1  m    un2  m     u1  m  32 3n1     m 3n1 Ta áp dụng phương pháp thông qua tốn sau đây: Bài tốn Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1  �� un1  un  3un  3un , n  1, Giải Thay a  3, b  3, c  vào hệ   ta m  1 Khi un    un1  1   un2  1    u1  1 32 3n1    1 3n1 n 1  33 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho n 1 un  33  1, n  1,2 Bài tốn Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1  5 un 1  25un  15un  3u n , n  1, Giải Đặt un  � v1  5u1  25 Khi un 1  25un  15un  3un � 1   3vn  3vn , n  1,2, � v n 1     1 (Thay a  3, b  3, c  vào hệ   ta m  ) Khi    vn1  1   vn  1    v1  1 32 3n1   25  1 3n1 n 1  (26)3 n1 �   (26) 3n1 ( 26)3  � un  Vậy số hạng tổng quát dãy số cho n1 (26)3  un  , n  1, Dạng Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1   �� un 1  aun , n  1, 2, b  c 2un Phương pháp: Ta xét lớp hàm h( x )  ax b  c2 x2 Ta có ax mb  mc x  ax m  h( x )  m   b  c2 x2 b  c2 x2 Ta cần chọn a, b, c,m cho mb  ax  mc x   m  x   m  2mx  x 2 � �b  m mb  m � � � � �a  2m � � a  2m �mc  � � �c  � m  3 Ta áp dụng phương pháp vào giải toán sau đây: Bài toán Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: 10 u1   �� un1  2un , n  1, 2,  un Giải Thay a  2, b  1, c  vào   ta m  Nếu   1 un  1, n  1, 2, Nếu  �1 Ta có 2un1  un1  1  un     un21   un21  2un 1  un1  1  un     un21   un21  Xét hàm số f  x  1 x  x Ta có 2 2  un � 1 u � f  un    � n 1 � � f u  f u   f u � � � � �       n 1 � � n2 � � �  un �  un1 � � n 1 2n1 1 � � � f   �   � � � � 1 � � 2n1 2n1 1 � � �   u n     un  � � 1 � � 2n1 � un  1 � � 1 � � 1 � � 2n1 1 � � 1 � � 1 � � Vậy Nếu   1 un  1, n  1, 2, 11 2n1 un  Nếu  �1 1 � � 1 � � 1  � � 2n1 1 � � 1 � � 1  � � , n  1,2, Từ tốn ta có số nhận xét: Nếu chọn  số thực tùy ý ta có tốn tương ứng lớp hàm Bài tốn 10 Tìm số hạng tổng qt dãy số  un  cho sau: u1  un 1  8un , n  1,2,  un Giải Thay a  8, b  4, c  vào   ta m  Ta có  un1   8un 1  un     un 1   un21  2  un 1   8un 1  un     un 1   un21  Xét hàm số f  x  2 x  x Ta có 12 2 2  un �2  un 1 � f  un   � f  un1  � � f  un 2  �   � f  u1  � � � � � � � � �  un �2  un 1 � 2n1 n1 2n1 �2  � �1 � � �f  1 � �  �1  �  �2 � � � �� 2n1 2n1 �1 � �   un     u n  � � �2 � 2n1 � un  �1 � 2[1  � � ] �2 � n 1 �1 � 1 � � �2 �   n1  22  n 1 22  Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un   n 1  , n  1,2, 22  n1 22  Nhận xét: Nếu đổi biến un  kvn  n với k , n �� ta có tốn khác dạng Chẳng hạn ta đổi biến un  3vn  , dãy số (vn ) thỏa mãn 3vn 1   8(3vn  1) 24vn   9vn2  6vn    3vn  1 24v  3v  6vn  � vn1  ( n  1)  n2 9vn  6vn  9vn  6vn  Từ ta có tốn sau đây: Bài tốn 11 Tìm số hạng tổng quát dãy số   cho sau: 3vn2  6vn  v  , n  1, 2, v1  n 1 v  v  n n 13 Để giải toán theo phương pháp nêu ta cần thực phép biến đổi aun2 un   để đưa dãy số dạng b  c un Tuy nhiên tốn cịn có cách giải khác phạm vi viết đề cập đến số dạng tốn tìm cơng thức số hạng tổng quát sử dụng phương pháp hàm lặp Dạng Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1    un1 un3  aun  , n  1, 2, bun  c Phương pháp: Ta xét lớp hàm h x  x  ax bx  c Ta có x  ax x  mbx  mc  ax h( x )  m  m bx  c bx  c Ta cần chọn a, b, c,m cho x  mbx  ax  mc   x  m  � x  mbx  ax  mc  x  3mx  3m x  m3 mb  3m � b  � � � � �a  3m � � a  3m �mc  m3 �c  m � �  4 Ta áp dụng phương pháp vào giải toán sau đây: Bài tốn 12 Tìm số hạng tổng qt dãy số  un  cho sau: un3  12un un1  , n  1,2, 3un  u1    14 Giải Thay a  12, b  3, c  vào   ta m  Ta có un3  12un 1  u  2 un     n 21 3un1  3un1  u  12un 1  u  2 un   n   n21 3un1  3un1  Xét hàm số f  x  x2 x  Ta có 3 3 u  �un1  � f  un   n � f u  f u   f u  f  � � � � � � �         � � n  n  � � � � � � � un  �un 1  � � n 1 n 1 �  un      un  [f    ]3 n 1 3n1  2[h    ]3 � un    [h    ]3 n1  2� �  2� �  2� �  2� � 1 � �  2� � Vậy số hạng tổng quát dãy số cho n 1 n 1 3n1  2� �  2� �  2� � un  , n  1,2,  2� � 1 � �  2� � n 1 Nhận xét: Khi cho  nhận giá trị dương cụ thể đổi biến un   k với k �� ta có thêm tốn Bài tốn 13 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: un3  9un un1  , n  1, 2, 3un  u1    15 Giải Thay a  9, b  3, c  vào   ta m  Ta có Xét hàm số f  x   un 1    un 1   un   u  9un 1  3 3un21  3un21  un   u  9un 1  3 3un21  3un21  3 n n x x  Ta có 3 3 u  �un1  � f  un   n � f u  f u   f u  f  � � � � � � �         � � � n1 � � n 2 � � � � � un  �un1  �     n1 n 1 � un   un  [f    ]3 n1 3n1 �   3�  � �   3  3[f    ]3 � � � un   3  [f    ] �   3� 1 � �   3� � Vậy số hạng tổng quát dãy số cho n 1 n 1 n 1 3n1 �  �  3� �   3� � un  , n  1,2, �  � 1 � �   3� � n 1 Dạng Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1    un1 un4  aun2  b  , n  1, 2, cun  dun 16 Phương pháp: Ta xét lớp hàm x  ax  b h( x )  cx  dx Ta có x  ax  b x  mcx  ax  mdc  b h( x )  m  m cx  dx cx  dx Ta cần chọn a, b, c, d ,m cho x  cmx  ax  dmx  b   x  m  � x  cmx  ax  dmx  b  x  4mx  6m x  4m3 x  m �cm  4m �c  �a  6m �a  6m � � �� �� dm  4m d  4m � � 4 � � �b  m �b  m  5 Ta áp dụng phương pháp vào giải tốn sau đây: Bài tốn 14 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: un4  6un2  un 1  , n  1,2, 4un  4un u1    Giải Thay a  6, b  1, c  4, d  vào hệ   ta m  Ta có un41  6un21   u  1 un     n1 4un1  4un1 4un1  4un1 u  6u   u  1 un   n 1 n 1   n 1 4un1  4un1 4un1  4un1 Xét hàm số f  x  x 1 x  Ta có 17 4 4 u  �un1  � f  un   n � f  un 1  � � f  un 2  �   � f  u1  � � f � � � � � � � � � � � un  �un 1  � �  un  1   un  1 [f    ]4 n 1 n 1 n 1 4n1  [f    ]4 � un    [f    ]4 n1 n1  1� � 1 � �  1� � 4n1  1� � 1 � �  1� � Vậy số hạng tổng quát dãy số cho 4n1 un   1� � 1 � �  1� � 4n1  1� � 1 � �  1� � , n  1, 2, BÀI KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1  un 1  un  6un  6, n  1,2 Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1  2 un 1  un  2un  2, n  1,2 Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1  un 1  un  8un  20, n  1,2 Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1  �� un 1  un  6un  12u n  6, n  1,2 Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: 18 u1  �� un1  un  3un  3un , n  1,2 Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: un1  u1  �� 4un , n  1,2, 2  un Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1  1�� un 1  18un , n  1,2,  un Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1  un 1  un3  6un , n  1, 2, 3un  Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: u1  un1  un3  9un  , n  1, 2, 3un  6un 1  Bài 10 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho sau: un4  12un2  un1  , n  1,2, 4un  8un u1    19 III KẾT LUẬN 1.Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm Sau thời gian áp dụng phương pháp, qua kiểm tra đánh giá hiệu đề tài tơi nhận thấy học sinh hiểu giải dạng toán dãy số nhanh hiệu Kết thực nghiệm cho thấy học sinh có hào hứng với học, sơi có cách nhìn nhận để đưa lập luận tìm lời giải cho tốn tốt Một số đề xuất Mơn Tốn mơn học địi hỏi nhiều kĩ lập luận tư logic, cần trang bị nhiều kĩ để tiếp cận tốt với dạng tốn phương pháp giải Điều địi hỏi tạo điều kiện cấp quản lý việc tăng cường tài liệu học tập, thiết bị hỗ trợ trình học, thi thử giúp học sinh tiếp cận đề thi từ nhiều kênh học tập khác Trên nội dung sáng kiến kinh nghiệm mà thân áp dụng hiệu q trình giảng dạy mơn Tốn bậc THPT Trong q trình nghiên cứu, thực khơng tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý quý cấp quản lý đồng nghiệp 20 Tôi cam kết sáng kiến thân thực hiện, không chép tổ chức cá nhân Tôi xin cam đoan thông tin trung thực, thật Xin chân thành cảm ơn! Nông Cống, ngày 10 tháng năm 2021 CƠ QUAN ĐƠN VỊ XÁC NHẬN Người viết SKKN Bùi Thị Hoa TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK Đại số giải tích 11 nâng cao – NXBGD, 2015 Chuyên khảo dãy số, Nguyễn Tài Chung, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2019 21 22 ... pháp sai phân…thì phương pháp hàm lặp sử dụng hiệu toán xác định công thức số hạng tổng quát dãy số Để tìm số hạng tổng quát dãy số (un ) phương pháp lặp ta thường tìm hàm số f ( x) g( x) cho... � Vậy số hạng tổng quát dãy số  un  cho là: 1 �1 � un    �n 1  1�, n  1,2, 2 �3 � Sau ta xây dựng số dạng tốn, để từ tạo toán xác định số hạng tổng quát dãy số phương pháp hàm lặp Dạng... NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Bên cạnh số phương pháp xác định công thức số hạng tổng quát phương pháp quy nạp, phương pháp đổi biến, phương pháp sai