Giáo trình Toán tài chính (Nghề: Kế toán doanh nghiệp và Tài chính doanh nghiệp) - CĐ Kinh tế Kỹ thuật TP.HCM

Toán Tài chính là một môn học nhằm giúp các bạn học sinh các ngành kinh tế, tài chính, kế toán nắm bắt được một số kiến thức cơ bản của toán tài chính với các ứng dụng thực tế trong tài chính, qua đó có thể tiếp tục tìm hiểu sâu thêm về lĩnh vực này. Nhằm phục vụ cho học sinh ngành tài chính và kế toán nên quyển giáo trình này có tính chất bổ túc các kiến thức về tài chính và đồng thời cố gắng giảm nhẹ hình thức toán học cho học sinh dễ tiếp cận và tiếp thu tốt hơn.

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  GIÁO TRÌNH MƠN HỌC: TỐN TÀI CHÍNH NGÀNH: KẾ TỐN DOANH NGHIỆP VÀ TÀI CHÍNH DOANH NGHIỆP TRÌNH ĐỘ: TRUNG CẤP Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2017 ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  GIÁO TRÌNH NGÀNH: KẾ TỐN DOANH NGHIỆP VÀ TÀI CHÍNH DOANH NGHIỆP TRÌNH ĐỘ: TRUNG CẤP THƠNG TIN CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI Họ tên: Nguyễn Thị Mai Thảo Học vị: Thạc sỹ Đơn vị: Khoa Kế toán Tài Email: nguyenthimaithao@hotec.edu.vn TRƯỞNG KHOA TỔ TRƯỞNG CHỦ NHIỆM BỘ MƠN ĐỀ TÀI HIỆU TRƯỞNG DUYỆT Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2017 TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu thuộc loại sách giáo trình nên nguồn thơng tin phép dùng ngun trích dùng cho mục đích đào tạo tham khảo Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh bị nghiêm cấm LỜI GIỚI THIỆU Tốn Tài môn học nhằm giúp bạn học sinh ngành kinh tế, tài chính, kế tốn nắm bắt số kiến thức toán tài với ứng dụng thực tế tài chính, qua tiếp tục tìm hiểu sâu thêm lĩnh vực Nhằm phục vụ cho học sinh ngành tài kế tốn nên giáo trình có tính chất bổ túc kiến thức tài đồng thời cố gắng giảm nhẹ hình thức toán học cho học sinh dễ tiếp cận tiếp thu tốt Cấu trúc giáo trình gồm chương tóm tắt lại nội dung để phù hợp với chương trình mơn học bậc trung cấp, tài liệu cần thiết cho học sinh ngành kinh tế, tài chính, kế tốn ứng dụng vào chương trình đào tạo giảng dạy Trường Cao đẳng Kinh tế kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh Chương 1: Lãi đơn Chương 2: Lài kép Chương 3: Chiết khấu giấy tờ có giá Chương 4: Tài khoản vãng lai Chương 5: Niên kim Chương 6: Vay vốn Trong chương ngồi nội dung lý thuyết cịn có ví dụ cụ thể để học sinh dễ dàng nắm bắt kiến thức nhanh hơn, sau chương cịn có phần tập để học sinh vận dụng kiến thức học để giải tập qua tiếp thu kiền thức sâu Mặc dù cố gắng, nhiên giáo trình khí tránh khỏi sai sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý bạn đọc để Giáo trình hồn thiện Thành phố Hồ Chí Minh, ngày… tháng …… năm 20… Chủ biên: Nguyễn Thị Mai Thảo MỤC LỤC LỜI GIỚI THIỆU CHƯƠNG 1: LÃI ĐƠN 10 1.1 Phương pháp lãi đơn 10 1.2 Giải thích khái niệm 10 1.3 Các ký hiệu sử dụng chương 11 1.4 Dẫn nhập phương pháp lãi đơn 11 1.4.1 Bài toán đặt vấn đề 11 1.4.2 Lãi suất tương đương 13 1.4.3 Một số công thức vận dụng 14 1.4.3.1 Tính giá trị vốn đầu tư ban đầu Co 14 1.4.3.2 Tính thời hạn đầu tư n 15 1.4.3.3 Tính lãi suất r 16 1.5 Lãi suất trung bình 16 1.5.1 Lãi suất trung bình khoản vốn gốc cố định 16 1.5.1.1 Bài toán đặt vấn đề 16 1.5.1.2.Bài toán minh họa 16 1.5.2 Lãi suất trung bình nhiều khoản vốn khác 17 1.5.2.1 Bài toán đặt vấn đề 17 1.5.2.2 Bài toán minh họa 18 1.6 Lãi suất thực 19 1.6.1 Trường hợp trả lãi đầu kỳ 19 1.6.2 Trường hợp lãi ghép định kỳ 19 1.7 Bài tập chương 21 CHƯƠNG 2: LÃI KÉP 22 2.1 Phương pháp lãi kép 22 2.2 Dẫn nhập phương pháp lãi kép 22 2.2.1 Bài toán đặt vấn đề 22 2.2.2 Lãi suất tương đương 23 2.2.3 Các công thức 24 2.2.3.1 Tính giá trị vốn đầu tư ban đầu C0 24 2.2.3.2 Tính mức lãi suất đầu tư r 25 2.2.3.3 Tính thời hạn đầu tư n 25 2.2.4 Lãi suất trung bình 26 2.2.5 Lãi suất thực hay lãi suất hiệu dụng 27 2.2.5.1 Trường hợp ghép lãi với tần suất nhiều lần năm 27 2.2.5.2 Trường hợp toán lãi đầu kỳ 28 2.2.5.3 Trường hợp có chi phí ngồi lãi 28 2.3 So sánh lãi đơn lãi kép 29 2.3.1 Lãi kép đắt lãi đơn 29 2.3.2 Vận dụng phép toán lãi đơn lãi kép 31 2.3.2.1 Lựa chọn kỳ hạn tiền gởi 31 2.3.2.2 Phương pháp xây dựng biểu lãi suất tiết kiệm 32 2.4 Bài tập chương 33 CHƯƠNG 3: CHIẾT KHẤU GIẤY TỜ CÓ GIÁ 36 3.1 Tiếp cận khái niệm 36 3.2 Các giấy tờ ngắn hạn thường chiết khấu 37 3.2.1 Thương phiếu 37 3.2.2.Tín phiếu kho bạc 37 3.2.3 Tín phiếu ngân hàng trung ương 38 3.2.4 Chứng tiền gởi 38 3.2.5 Sổ tiết kiệm 38 3.3 Chiết khấu thương phiếu 38 3.3.1 Các ký hiệu: 38 3.3.2 Chiết khấu thương mại 38 3.3.2.1 Phí chiết khấu e 38 3.3.2.2 Thời giá thương phiếu a 39 3.3.3 Chiết khấu hợp lý 39 3.3.4 Thương phiếu tương đương 40 3.3.4.1 Xác định ngày đáo hạn 40 3.3.4.2 Xác định ngày ngang giá 41 3.3.5 Thời gian đáo hạn trung bình 41 3.3.6 Lãi suất chiết khấu hiệu dụng 42 3.3.7 Giá trị trao đổi chiết khấu (agio) 42 3.3.8 Tỷ suất chi phí chiết khấu thực tế 43 3.4 Chiết khấu tín phiếu kho bạc 44 3.4.1 Giá phát hành tín phiếu kho bạc: 44 3.4.2 Lãi suất tín phiếu kho bạc 45 3.4.3 Tỷ suất sinh lời tín phiếu 45 3.4.4 Giá bán lại tín phiếu 46 3.5 Chiết khấu chứng tiền gửi sổ tiết kiệm 46 3.5.1 Chứng tiền gửi (CDs): 46 3.5.2 Sổ tiết kiệm (SB) 47 3.6 Bài tập chương 48 CHƯƠNG 4: TÀI KHOẢN VÃNG LAI 51 4.1 Các khái niệm liên quan 51 4.2 Tài khoản vãng lai 51 4.2.1 Các nghiệp vụ tài khoản vãng lai 51 4.2.2 Số dư tài khoản vãng lai 51 4.2.3 Các yếu tố tài khoản vãng lai 51 4.2.3.1 Lãi suất 52 4.2.3.2 Ngày khóa sổ tài khoản 52 4.2.3.3 Ngày giá trị 52 4.3 Phương pháp trình bày tài khoản vãng lai 52 4.3.1 Tài khoản vãng lai có lãi suất qua lại bất biến 52 4.3.1.1 Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp trực tiếp 53 4.3.1.2 Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp gián tiếp 54 4.3.1.3 Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp Hambourg 54 4.3.1.4 Trình bày theo thứ tự thời gian ngày giá trị 55 4.3.2 Tài khoản vãng lai có lãi suất không qua lại 56 4.4 Tài khoản tiền gởi toán 58 4.5 Tài khoản cho vay luân chuyển 59 4.5.1 Tài khoản cho vay ln chuyển khơng thu phí 59 4.5.1.1 Trường hợp tính lãi vào ngày cuối tháng 59 4.5.1.2 Trường hợp tính lãi vào ngày định kỳ tháng 60 4.5.2 Tài khoản cho vay luân chuyển có thu phí 60 4.6 Bài tập chương 61 CHƯƠNG 5: NIÊN KIM 63 5.1 Cơ sở lý thuyết thời giá tiền tệ 63 5.2 Giá trị tương lai giá trị 63 5.3 Phân biệt khoản tiền chuỗi tiền 63 5.3.1 Thời điểm phát sinh khoản tiền 63 5.3.2 Thời điểm phát sinh chuỗi tiền 63 5.3.3 Phân biệt chuỗi tiền 63 5.4 Các ký hiệu 64 5.5 Giá trị tương lai khoản tiền 65 5.5.1 Đặt vấn đề 65 5.5.2 Giá trị tương lai điều kiện lãi suất thay đổi 65 5.5.3 Giá trị tương lai khoản tiền đồng 65 5.5.4 Giá trị tương lai tần suất ghép lãi nhhiều lần năm 66 5.6 Giá trị khoản tiền 66 5.6.1 Giá trị điều kiện lãi suất thay đổi 67 5.6.2 Giá trị khoản tiền đồng 67 5.6.3 Giá trị tần suất ghép lãi nhiều lần năm 67 5.7 Giá trị tương lai chuỗi tiền 68 5.7.1 Giá trị tương lai chuỗi tiền cuối kỳ tổng quát 68 5.7.2 Giá trị tương lai chuỗi tiền 69 5.7.3 Chuỗi tiền ghép lãi liên tục 69 5.7.4 Giá trị tương lai chuỗi tiền đồng 70 5.7.5 Tính giá trị kỳ khoản cố định a 70 5.7.6 Tính số kỳ khoản n 70 5.7.7 Tính lãi suất chuỗi tiền r 71 5.7.8 Giá trị tương lai chuỗi tiền phát sinh đầu kỳ 72 5.7.8.1 Trường hợp chuỗi tiền tổng quát 72 5.7.8.2 Giá trị tương lai chuỗi tiền đầu kỳ 72 5.8 Giá trị chuỗi tiền 72 5.8.1 Giá trị chuỗi tiền tổng quát 73 5.8.2 Giá trị chuỗi tiền 73 5.8.3 Giá trị chuỗi tiền đồng 73 5.8.4 Giá trị chuỗi tiền vô hạn 74 5.8.5 Giá trị chuỗi tiền ghép lãi liên tục 74 5.8.6 Giá trị chuỗi tiền vô hạn ghép lãi liên tục 75 5.8.7 Giá trị chuỗi tiền 75 5.8.8 Tính giá trị chuỗi tiền a 76 5.8.9 Tính số kỳ khoản n 76 5.8.10 Lãi suất chuỗi tiền r 77 5.8.11 Giá trị chuỗi tiền đầu kỳ 77 5.9 Bài tập chương 78 CHƯƠNG 6: VAY VỐN 81 6.1 Các phương thức trả nợ 81 6.2 Trả nợ vay lãi lần đáo hạn 81 6.2.1 Vay ngắn hạn không ghép lãi 81 6.2.2 Vay ngắn hạn có ghép lãi 82 6.2.3 Vay dài hạn 82 6.2.3.1 Ghép lãi hàng năm 82 6.2.3.2 Ghép lãi nhiều lần năm 83 6.2.4 Trả lãi định kỳ 83 6.2.5 Trả lãi theo phương thức vốn lãi chia 84 6.3 Trả nợ theo phương thức dư nợ giảm dần 84 6.3.1 Các ký hiệu 84 6.3.2 Bảng kế hoạch trả nợ 85 6.3.2.1 Cấu trúc 85 6.3.2.2 Đặc điểm bảng kế hoạch trả nợ 85 6.3.3 Trả nợ theo phương thức vốn gốc cố định 86 6.3.3.1 Đặt trưng phương thức trả nợ cố định phần vốn gốc 86 6.3.3.2 Tính tiêu tổng 88 6.3.4 Trả nợ theo phương thức kỳ khoản cố định 91 6.3.4.1 Xác định tổng số tiền trả kỳ 91 6.3.4.2 Xác định số nợ gốc trả kỳ 91 6.3.4.3 Xác định số nợ gốc trả kỳ sau 92 6.3.4.4 Quan hệ phần vốn gốc tổng số tiền trả nợ năm 93 6.3.4.5 Xác định tổng số nợ gốc trả hai kỳ 93 6.3.4.6 Xác định tổng số nợ gốc trả m đầu kỳ 94 6.3.4.7 Xác định số dư nợ vào đầu năm thứ m 94 6.3.4.8 Xác định số lãi năm thứ m 95 6.3.4.9 Xác định tổng số lãi trả hai kỳ 96 6.3.4.10 Xác định tổng số lãi trả hai kỳ 96 6.4 Bài tập chương 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO 100 Chương Vay vốn Tốn tài Tổng giá trị tương lai khoản trả nợ kỳ giá trị tương lai vốn gốc: PV (1  r ) n  a1 (1  r ) n1  a2 (1n  r ) n2   an1 (1  r )  an (6.14) Số dư nợ vào đầu kỳ khoản thứ m với (m  n) giá trị vốn vay gốc trừ tổng số nợ gốc trả (m-1) kỳ trước: m 1 Cm  PV   Pi (6.15) i 1 6.3.3 Trả nợ theo phương thức vốn gốc cố định Theo phương thức trả nợ phần vốn gốc PV, chia để trả suốt thời hạn trả nợ, n Nghĩa kỳ, i, trả phần vốn gốc cố định PV , cộng với phần tiền lãi n tính dư nợ thực tế giảm dần đầu kỳ Ví dụ: Số nợ vay 100 triệu đồng hoàn trả năm với mức lãi suất tính dư nợ thực tế đầu kỳ 10% năm Hãy lập bảng kế hoạch trả nợ Giải Phần vốn gốc trả năm là: 100.000.000/5 = 20.000.000 đồng Lập bảng kế hoạch trả nợ Kỳ khoản (i) Dư nợ đầu kỳ Tiền lãi (Ii) Vốn gốc (Pi) Tổng trả nợ (ai) (Ci) 100.000.000 10.000.000 20.000.000 30.000.000 80.000.000 8.000.000 20.000.000 28.000.000 60.000.000 6.000.000 20.000.000 26.000.000 40.000.000 4.000.000 20.000.000 24.000.000 20.000.000 2.000.000 20.000.000 22.000.000 Tổng cộng 300.000.000 30.000.000 100.000.000 130.000.000 Tổng giá trị khoản trả nợ năm giá trị vốn gốc: PV  30.000.000 28.000.000 26.000.000 24.000.000 22.000.000      100.000.000 (1  10%) (1  10%)2 (1  10%)3 (1  10%)4 (1  10%)5 Tổng gia trị tương lai khoản trả nợ giá trị tương lai phần nợ gốc (tr.đ) 30(1  10%)4  28(1  10%)3  26(1  10%)2  24(1  10%)  22  100(1  10%)5  161.051 6.3.3.1 Đặt trưng phương thức trả nợ cố định phần vốn gốc KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH 86 Chương Vay vốn Tốn tài Điều dễ nhận số dư nợ đầu kỳ, tiền lãi tổng trả nợ kỳ biến đổi theo cấp số cộng giảm dần Nói tóm lại, dư nợ biến đổi theo cấp số cộng có cơng sai ( PV ) n Tiền lãi biến đổi theo cấp số cộng có cơng sai là: ( PV xr ) n Do tiền lãi biến đổi theo cấp số cộng, phần vốn gốc toán kỳ cố định nên tổng toán kỳ biến đổi theo cấp số cộng với công sai là: ( PV xr ) n Như biết số nợ vay ta dễ dàng tính số dư nợ vào đầu kỳ khoản m bất kỳ: Cm  PV  (m  1) PV n Hay viết lại Cm  PV (1  (m  1) ) n (6.16) Tương tự biết tiền lãi trả kỳ ta tính tiền lãi trả kỳ thứ m I m  PVr  PVr 1 m n Hay viết gọn: I m  (1  Hoặc: I m  I1 (1  m 1 ) (6.17) n m 1 ) n (6.18) Đối với tổng số tiền trả nợ kỳ thứ m, ta có: am  PV  (n  m  1)r n (6.19) Ví dụ: Số nợ 560 triệu đồng hoàn trả năm với mức lãi suất 9% năm Hãy xác định số dư nợ vào đầu năm thứ 4, số lãi phải trả năm thứ 5, tổng toán nợ năm thứ Giải: Tính số dư nợ vào đầu năm thứ áp dụng công thức (6.16) C4  560.000.000 x(1  (4  1) )  350.000.000 đồng KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH 87 Chương Vay vốn Tốn tài Tính số lãi trả năm thứ 5, áp dụng công thức (6.17) I  560.000.000 x9% x(1  1 )  25.200.000 đồng Tổng toán năm thứ 6, áp dụng công thức (6.19) a6  560.000.000 x  (8   1)  88.900.000 đồng 6.3.3.2 Tính tiêu tổng a Tổng số lãi phải trả suốt thời hạn vay Do khoản tiền lãi lập thành cấp số cộng có cơng sai d   PV I r   , ta áp n n dụng cơng thức tính tổng chuỗi số biến đổi theo cấp số cộng n I i 1 i  nI1  ( I1 n(n  1) I (n  1) )  nI1  n 2 Hay viết lại: n I i 1 i  I1 ( n 1 ) (6.20) Ví dụ: Sử dụng lại tình ví dụ 6.10 để tính tổng số lãi phải trả Áp dụng cơng thức (6.20), có: I i  50.400.000 x( 1 )  226.800.000 đồng b Tổng số tiền trả nợ suốt thời gian vay Tổng số tiền trả nợ lập thành cấp số cộng có cơng sai d  PV r nên n có: n a i 1 i  na1  ( Mà: a1  PV n(n  1) I (n  1) r)  na1  n 2 PV  PVr n Nên: n a i 1 i  n( PV (n  1) n 1  PVr)  PVr  PV  PVr n 2 KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH 88 Chương Vay vốn Tốn tài Viết lại: n a i i 1  PV (1  n 1 r) (6.21) c Tổng số lãi phải trả m năm đầu Áp dụng cơng thức tính tổng chuỗi số biến đổi theo cấp số cộng suy công thức: m I i 1 i  mI1  d ( m(m  1) ) Trong d cơng bội có giá trị  m I i 1 i  mI1  I1 Thay d vào công thức ta được: n I1 (m(m  1) (m  1) ( )  mI1 (1  ) (6.22) n 2n Ví dụ: Sử dụng số liệu ví dụ để tính tổng lãi từ năm thứ đến năm thứ Áp dụng công thức (6.22), dễ dàng tính I i 1 i  x50.400 000 x(1  (5  1) )  189 000 000 đồng x8 d Tổng số tiền trả nợ m năm đầu Tổng số tiền trả nợ từ năm đầu đến năm thứ m tổng số nợ gốc trả m năm cộng với tổng số lãi trả từ đầu năm đến hết năm thứ m Nghĩa là: m m a  I i 1 i i 1 i m PV n Thay công thức (6.22) vào công thức ta được: m a i 1 i  mI1 (1  (m  1) PV )m 2n n (6.23) Ví dụ: Sử dụng số liệu ví dụ trên, tính tổng số tiền trả nợ từ năm thứ đến năm thứ Giải: Do tính tổng số lãi phát sinh thời hạn ví dụ 6.14 nên cần tính tổng số vốn gốc trả năm đầu: 5x 560.000.000  350.000.000 đồng KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH 89 Chương Vay vốn Tốn tài Vậy tổng số tiền trả nợ năm đầu: a i 1  189.000.000  350.000.000  539.000.000 đồng i e Tổng số lãi phải trả hai thời điểm Để tính tổng số lãi phải trả từ năm thứ m đến năm thứ p áp dụng cơng thức tính tổng cấp số cộng có hạng từ đầu Im , cơng sai d p I i m i  hIm  d ( h(h  1) ) (6.24) Trong đó: I m  I1  (m  1)d h  p  m 1 d  PV r n Ví dụ: Sử dụng số liệu ví dụ trên, tính tổng số tiền lãi phải trả từ năm thứ đến hết năm thứ Giải Tổng số lãi phải trả từ năm thứ đến hết năm thứ 6: I i 3 i  hI3  d ( Với d   h(h  1) ) 560.000.000 x9%  6.300.000 I  50.400.000  x6.300.000  37.800.000 h   1  Nên thay vào ta được: I i 3 i  x37.800 000  6.300 000 x( 4(4  1) )  113 400 000 đồng f Tính tổng số tiền trả nợ hai thời điểm Cách đơn giản để tính tổng số tiền trả nợ thời điểm tính tổng lãi phải trả thời điểm theo công thức (6.24) cộng với tổng vốn gốc thời điểm KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH 90 Chương Vay vốn Tốn tài p p p i m i m i m    I i   Pi (6.26) 6.3.4 Trả nợ theo phương thức kỳ khoản cố định Thay trả nợ theo phương thức vốn gốc cố định cách trả nợ khác trung hòa phần lãi phần gốc để trả suốt thời kỳ trả nợ 6.3.4.1 Xác định tổng số tiền trả kỳ Số tiền trả nợ hàng năm tính theo công thức: a PVr (6.27)  (1  r ) n Số tiền trả nợ hàng năm, a, bao gồm phần vốn gốc phần lãi phát sinh năm Ví dụ: Vay ngân hàng số tiền 100 triệu, trả dần năm, lãi suất 10% năm Hãy xác định số tiền trả năm? Giải: Số tiền trả năm a 100.000.000 x10%  26.379.748 đồng  (1  10%) 6.3.4.2 Xác định số nợ gốc trả kỳ Chúng ta biết P1  a  I1 Mà I1  PVr , a  (2*) PVr  (1  r ) n Thay vào (2*) ta tính P1 P1  PVr  PVr  (1  r ) n Hay viết lại P1  PVr (1  r ) n  (6.28) Ví dụ: Sử dụng số liệu ví dụ để ính số nợ gốc phải trả năm thứ Giải: KHOA KẾ TỐN TÀI CHÍNH 91 Chương Vay vốn Tốn tài Áp dụng cơng thức (6.28) P1  100.000.000 x10%  16.379.748 đồng (1  10%)5  6.3.4.3 Xác định số nợ gốc trả kỳ sau Điều đặc biệt với phương thức trả nợ theo kỳ khoản cố định số nợ gốc trả kỳ lập thành chuỗi số biến đổi theo cấp số nhân có cơng bội (1+r) Ta có: am  Pm  I m Và am1  Pm1  I m1 Do am  am1 nên Pm  I m  Pm1  I m1 (3*) Ta lại có: I m1  Cm1r  (Cm  Pm )r  Cm r  Pm r  I m  Pm r Thay vào (3*) ta được: Pm  I m  Pm1  I m  Pm r Hay: Pm1  Pm  Pm r  Pm (1  r ) (4*) Như với giá trị m giá trị vốn gốc tốn kỳ thứ (m+1) ln gấp (1+r) lần giá trị gốc toán kỳ thứ m Hay nói khác đi, khoản tốn nợ gốc lập thành cấp số nhân có cơng bội (1+r) Cụ thể hơn: Nếu m=1, ta có: P2  P1 (1  r ) Nếu m=2, ta có: P3  P2 (1  r )  P1 (1  r ) Nếu m=n ta có: Pn  P1 (1  r ) n1 (6.29) Một cách tổng quát hơn: Pp  Pm (1  r ) p m (với m