Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Bảng tích phân
ở viết cho hàm y = f(x) hàm y = f(u) làm tương tự
Hàm Cơ Bản Hàm Hợp
1
1 n
n x
x dx C
n
( n -1 )
1
ln
dx x C
x
x x
e dx e C
ln
x
x a
a dx C
a
sin x dx c x Cos
os sin
c x dx x C
2 tan
os
dx
x C
c x
2 cot
sin dx
x C x
1
1
n n u
u du C
n
( n
-1 ) 1
ln
du u C
u
u u
e du e C
ln
u
u a
a du C
a
sin u du c u Cos
os sin
c u du u C
2 1 t an tan
os
du
u du x C
c u
2 cot cot
sin
du
u du x C u
Những công thức sau muốn sử dụng phải chứng minh:
1. ln tan sin x dx C
x
Chưng minh: Đặt 2 1 1
tan tan
2 2 os 2 2
2
x x
t dt dx dx
x c
2 1
1 2
dt t dx
(2)2 2
2sin os 2 tan
2 2 2 2
sin , sin
1
sin os 1 tan
2 2 2
x x x
c t
x vi x
t x x x
c
2
2
2 1
ln ln tan
2 sin
1
x dt
t
dx dt
t C C
t
x t
t
2.
ln tan os
x
dx
C c x
Chứng minh:
Ta có
os sin
2
c x x
Làm tương tự trên: Đặt
2
1 1
tan tan
2 4 2 os 2 2 4
2 4
x x
t dt dx dx
x c
2 1
1 2
dt t dx
2
2
2 1
ln ln tan
2
os 2 4
1
dt t
dx dt x
t C C
t
c x t
t
(3)3. 2
ln 2a
dx a x
C
a x a x
( a 0 ) Chứng minh:
2
1 1 1
2a
1 1
ln ln ln
2a 2a
dx
dx
a x a x a x
a x
a x a x C
a x
4.
2
1 ln 2a
dx x a
C
x a x a
( a 0 ) Chứng minh:
2
1 1 1
2a
1 1
ln ln ln
2a 2a
dx
dx
x a x a x a
x a
x a x a C
x a
5
2
2 ln , 0
dx
x x a C a
x a
Chứng minh:
Đặt u x x2 a2
2
2 2
1 x x x a
du d dx
x a x a
2
du dx
(4)2
2 ln ln
dx du
u x x a C
u
x a
6.
2
2 ln , 0
dx
x x a C x a
x a
Chứng minh:
Đặt u x x2 a2
2
2 2
1 x x x a
du d dx
x a x a
2
du dx
u x a
2
2 ln ln
dx du
u x x a C
u x a
7
2 ln
2 2
x A
x Adx x A x x A C
Chứng minh:
Đặt
2
2
, x ,
u x A dv dx du v x
x A
2
2
2
x
x Adx x x A dx
x A
2
2
x A A
x x A dx
x A
(5)2
2
dx
x x A x Adx A
x A
2 2
2 x Adx x x A A ln x x A C
2 ln
2 2
x A
x Adx x A x x A C
Các phương pháp tính tích phân:
Phương pháp đổi biến: có hai phương pháp đổi biến Đổi biến dấu tích phân
Cần tính tích phân f x dx( ) Giả sử tìm hàm khả vi u( )x hàm g(u) cho biểu thức dấu tích phân f x dx( ) viết dạng:
' ( )
( ) ( ) ( ) ( )
u x
f x dx g f x x dx g u du
Phép biến đổi thường gọi phương pháp đổi biến u ( )x dấu tích phân, tức biến x thay biến u ( )x
Nhận xét: Mục đích phương pháp đổi biến u ( )x việc tính tích phân f x dx( ) đưa đến tí ch phân g u du( ) , thường đơn giản tích phân ban đầu Sau lấy tích phân, ta phải u( )x vào kết tìm
Phương pháp tính tích phân phần:
Nếu u(x) v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [ a ; b ] cơng thức tính tích phân phần sau thỏa mãn
' '
b b
b a
a a
u x v x dx u x v x u x v x dx
(6).
b b
b a
a a
udv u v vdu
Giải thích:
Ta có: dv v dx ' ,
' du u dx
Một sơ cách tính hay biến đổi tích phân
Biến đổi lượng giác
Nếu tích phân có chứa thức a2 x2 đặt x = asint,
2 a cos
a x t , dx a cos dt t
Nếu tích phân có chứa thức x2 a2 đặt x = atant,
2
cos
a
x a
a t
,
. os
a dt dx
c t