c) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định, khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC. Vẽ các tiếp [r]
(1)PHẦN 1: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ BIỂU THỨC
Bài 1: Cho biểu thức
a
A
a a a a
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị a để A < Bài 2: Cho biểu thức
x x x x
B :
x x x x x
a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm giá trị x để B < Bài 3: Cho biểu thức
x 1 x x
C :
9x
3 x x x
a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị x để C
5
Bài 4: Cho biểu thức
a a
D :
a a a a a a
a) Rút gọn biểu thức D b) Tìm giá trị a để A <
c) Tính giá trị D a=19−8√3
Bài 5: Cho biểu thức
2 3
a (1 a) a a
E : a a
1 a a a
a) Rút gọn biểu thức E b) Xét dấu biểu thức W = a.(E – 12 )
Bài 6: Cho biểu thức
x 2x x x 2x x
F :
2x 2x 2x 2x
a) Rút gọn biểu thức F b) Tìm giá trị F
x 2
Bài 7: Cho biểu thức
2 x x
G :
x
x x x x x
a) Rút gọn biểu thức G b) Tìm giá trị x để G Bài 8: Cho biểu thức
3
2a a a
H a
a a 1 a
a
a) Rút gọn biểu thức H b) Xét dấu biểu thức: W H a .
Bài 9: Cho biểu thức
x x x
K 1:
x
x x x x
a) Rút gọn biểu thức K b) So sánh K với Bài 10: Cho biểu thức
1 a a a a
L a a
1 a a
a) Rút gọn biểu thức L b) Tìm giá trị a để L < 7−4√3 Bài 11: Cho biểu thức
2 x x 3x x
M :
x
x x x
(2)Bài 12: Cho biểu thức
x x x x x
N :
x x x x x
a) Rút gọn biểu thức N b) Tìm giá trị x để L < Bài 13: Cho biểu thức
15 x 11 x 2 x O
x x x x
a) Rút gọn biểu thức O
b) Tìm giá trị x để O = 12 c) Chứng minh P 32
Bài 14: Cho biểu thức
2
2 x x m
P
4x 4m
x m x m
với m > 0. a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính x theo m để P =
c) Xác định giá trị m để x tìm câu b thỏa mãn điều kiện x > Bài 15: Cho biểu thức
2
a a 2a a
Q
a a a
a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm a để Q =
c) Tìm giá trị nhỏ Q Bài 16: Cho biểu thức
a ab a a ab a
R :
ab ab ab ab
a) Rút gọn biểu thức R
b) Tính giá trị R a 2 3và
3 b c) Tính giá trị nhỏ R √a+√b=4
Bài 17: Cho biểu thức
a a a a 1 a a
S a
a a a a a a a
a) Rút gọn biểu thức S b) Với giá trị a S = 6; S > Bài 18: Cho biểu thức
2
a a a
T
2 a a a
a) Rút gọn biểu thức T b) Tìm giá trị a để P < 0; P = 2 Bài 19: Cho biểu thức
a b2 4 ab a b b a
U
a b ab
a) Tìm điều kiện để U có nghĩa b) Rút gọn U
c) Tính giá trị U a 2 3và b
Bài 20: Cho biểu thức
x x x
V :
2
x x x x 1 x
a) Rút gọn biểu thức V b) Chứng minh V > ∀ x Bài 21: Cho biểu thức
2 x x x
X :
x x x x x
(3)a) Rút gọn biểu thức X b) Tính X x 3
Bài 22: Cho biểu thức
3x
1 2
Y 1: :
4 x
2 x x x
a) Rút gọn biểu thức Y b) Tìm giá trị x để Y = 20
Bài 23: Cho biểu thức
2
3 x y xy
x y
x y
A :
y x
x y x y
a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh A Bài 24: Cho biểu thức
1 ab ab a b
B :
a b a a b b a b a a b b a ab b
a) Rút gọn biểu thức B b) Tính B a = 16 b = Bài 25: Cho biểu thức
2a a 2a a a a a a
C
1 a a a a
a) Rút gọn biểu thức C b) Cho P= √6
1+√6 tìm giá trị a c) Chứng minh P > 32
Bài 26: Cho biểu thức
x x 25 x x x
D :
x 25 x x 15 x x
a) Rút gọn biểu thức D
b) Với giá trị x D < Bài 27: Cho biểu thức
a a b
3 a 3a
E :
a ab b a a b b a b 2a ab 2b
a) Rút gọn biểu thức E
b) Tìm giá trị nguyên a để E có giá trị nguyên Bài 28: Cho biểu thức
1 a a
G :
a a a a
a) Rút gọn biểu thức G b) Tìm giá trị a để P > 61
Bài 29: Cho biểu thức
3
3
x y x x y y
1 1
H :
x y
x y x y x y xy
a) Rút gọn biểu thức H
b) Cho x.y = 16 Xác định x; y để P đạt giá trị nhỏ Bài 30: Cho biểu thức
3
x 2x x
I
xy 2y x x xy y x
a) Rút gọn biểu thức I
b) Tìm tất số nguyên dương x để y = 625 I < 0,2
(4)-PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Bài 31: Cho phương trình ẩn x: m√2x −(√2−1)2=√2− x+m2
a) Giải phương trình m=√2+1
b) Tìm m để phuơng trình có nghiệm x=3−√2 c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương Bài 32: Cho phương trình ẩn x: (m−4)x2−2 mx+m−2=0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x=√2 Tìm nghiệm cịn lại b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tính x12+x22 theo m
Bài 33: Cho phương trình ẩn x: x2−2(m+1)x+m −4=0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt trái dấu với m c) Chứng minh biểu thức M = x1(1− x2)+x2(1− x1) khơng phụ thuộc vào m Bài 34: Tìm m để phương trình ẩn x:
a) x2− x
+2(m−1)=0 có hai nghiệm dương phân biệt b) 4x2+2x+m−1=0 có hai nghiệm âm phân biệt
c) (m2
+1)x2−2(m+1)x+2m−1=0 có hai nghiệm trái dấu Bài 35: Cho phương trình ẩn x: x2−(a−1)x −a2
+a −2=0
a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu với a
b) Gọi hai nghiệm phương trình x1 x2 Tìm giá trị a để x12+x22 đạt giá trị nhỏ
Bài 36: Cho b c hai số thỏa mãn hệ thức: 1b+1 c=
1
Chứng minh hai phương trình ax2 + bx + c = 0; x2 + cx + b = phải có nghiệm:
Bài 37: Với giá trị m hai phương trình sau có nghiệm số chung:
2
2x 3m x 12 (1) 4x 9m x 36 (2)
Bài 38: Cho phương trình ẩn x: 2x2−2 mx+m2−2=0
a) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
b) Giả sử phương trình có hai nghiệm kkhơng âm, tìm nghiệm dương lớn phương trình
Bài 39: Cho phương trình bậc hai tham số m: x2
+4x+m+1=0
a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện x12+x22=10 Bài 40: Cho phương trình ẩn x: x2−2(m−1)x
+2m−5=0
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm với m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dấu Khi hai nghiệm mang dấu gì? Bài 41: Cho phương trình ẩn x: x2−2(m+1)x+2m+10=0 (với m tham số)
a) Giải biện luận số nghiẹm phương trình
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt phân biệt x1; x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ x1; x2 mà khơng phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị m để 10x1x2+x12+x22 đạt giá trị nhỏ
Bài 42: Cho phương trình ẩn x: (m−1)x2−2 mx+m+1=0 với m tham số a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt ∀m≠1
b) Xác định giá trị m để phương trình có tích, từ tính tổng hai nghiệm phương trình
c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức:
x1 x2
+x2 x1
+5
(5)Bài 43: Cho phương trình ẩn x: x2−mx+m−1=0 (với m tham số)
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1; x2 với m Tính nghiệm kép (nếu có) phương trình giá trị m tương ứng
b) Đặt A x 12 x22 6x x1
1) Chứng minh A m 8m 8 2) Tìm m để A = 8. 3) Tìm giá trị nhỏ A giá trị m tương ứng
c) Tìm m cho phương trình có nghiệm hai lần nghiệm Bài 44: Cho phương trìnhẩnx: x2−2 mx+2m −1=0
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1; x2 với m b) Đặt A = 2(x12+x22)−5x1x2
1) Chứng minh rắng A 8m 18m 9 2) Tìm m cho A = 27 c) Tìm m cho phương trình có nghiệm hai nghiệm kia?
Bài 45: Giả sử pt ax2 bx c 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Đặt Sn x1n x2n (n Z+)
a) Chứng minh rằng: a.Sn 2 bSn 1 cSn 0
b) Áp dụng: Tính giá trị biểu thức: A= (1+2√5)
+(1−√5 )
5
Bài 46: Cho f(x) = x2 2(m + 2)x + 6m +
a) Chứng minh phương trình f(x) = 0có nghiệm với m
b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t Tìm điều kiện m để pt f(x) = 0có hai nghiệm lớn
Bài 47: Cho phương trình ẩn x: x2 m x m 4m 0 a) Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm
b) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương
c) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối trài dấu
d) Gọi x1; x2 hia nghiệm có phương trình Tính x12+x22 theo m
Bài 48: Cho phương trình x2−4x√3+8=0 có hai nghiệm x1; x2 Khơng giải phương trình,
hãy tính giá trị biểu thức:
2
1 2
3
1 2
6x 10x x 6x W
5x x 5x x
Bài 49: Cho phương trình ẩn x: xx m x m 0 a) Giải phương trình m = 12
b) Tìm giá trị m m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị m để:
2
1 2
x (1 2x ) x (1 2x ) m
Bài 50: Cho phương trình ẩn x: x2 mx n 0 (1) (n, m tham số). a) Cho n = Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b) Tìm m n để hai nghiệm x1; x2 phương trình (1) thỏa mãn hệ: {
x1− x2=1 x12− x22=7 Bài 51: Cho phương trình ẩn x: x2 k x 2k 0 (k tham số)
a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị k b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị k cho: x12+x22=18 Bài 52: Cho phương trình ẩn x: 2m x 4mx 0 (1)
(6)Bài 53: Cho phươngtrình ẩn x: x2 2m x m 3m 0
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa 1<x1<x2<6
-PHẦN 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 54: Tìm giá trị m để hpt
m x y m
x m y
có nghiệm thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ
Bài 55: Giải hệ phương trình minh họa đồ thị hệ phương trình sau: a) {2|xy −|+15=y
=x b) {
x −|y|=2 x
4+ y 4=1
c) {|yy+1|=x −1 =3x −12
Bài 56: Cho hệ phương trình:
2x by
bx ay
a) Giải hệ phương trình ab
b) Xác định a b để hệ phương trình có nghiệm: (1; 2); ( √2−1;√2 ); có vơ số nghiệm Bài 57: Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m:
mx y 2m 4x my m
Bài 58: Với giá trị a hệ phương trình:
x ay ax· y
a) Có nghiệm b) Vơ nghiệm Bài 59: Giải hệ phương trình:
2
x xy y 19
x xy y
Bài 60: Tìm m cho hệ phương trình sau có nghiệm:
2
x y
x y m x y x y
Bài 61: Giải hệ phương trình: {2x
2
−xy+3y2=13 x2−4 xy−2y2
=−6
Bài 62: Cho a b thỏa mãn hệ phương trình:
3
2 2
a 2b 4b
a a b 2b
Tính a2 b2
Bài 63: Cho hệ phương trình:
(a 1)x y a.x y a
a) Giải hệ phương trình a = √2
(7)-PHẦN 4: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Bài 64: Cho hàm số (d) : y = (m 2)x + n Tìm giá trị m n để đồ thị (d) hàm số: a) Đi qua hai điểm A(1; 2) B(3; 4)
b) Cắt trục tung điểm có tung độ √2 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ + √2
c) Cắt đường thẳng 2y + x =
d) Song song với đường thẳng 3x + 2y = Bài 65: Cho hàm số: (P) : y = 2x2.
a) Vẽ đồ thị hàm số (P)
b) Tìm đồ thị điểm cách hai trục tọa độ
c) Xét số giao điểm (P) với đuờng thẳng (d): y = mx – theo m
d) Viết phương trình đường thẳng (d') qua điểm M(0; 2) tiếp xúc với (P) Bài 66: Cho (P): y = x2 đường thẳng (d): y = 2x + m.
1 Xác định m để hai đường đó:
a) Tiếp xúc Tìm tọa độ tiếp điểm
b) Cắt hai điểm phân biệt A B, điểm có hồnh độ x = 1 Tìm hồnh độ điểm cịn lại Tìm tọa độ A B
2 Trong trường hợp tổng quát, giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M N Tìm tọa độ trung điểm I đoạn MN theo m quỹ tích điểm I m thay đổi
Bài 67: Cho đường thẳng (d): 2(m 1)x (m 2)y 2
a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) y=x2 hai điểm phân biệt A B b) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng lớn d) Tìm điểm cố đ?nh mà (d) qua m thay đổi Bài 68: Cho (P): y = x2
a) Tìm tập hợp điểm M cho từ kẻ hai đường thẳng vng góc với tiếp xúc với (P)
b) Tìm (P) điểm cho khoảng cách tới gốc toạ độ √2 Bài 69: Cho đường thẳng (d) : y=3
4x −3 a) Vẽ đồ thị đường thẳng (d)
b) Tính diện tích tam giác tạo thành (d) hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Bài 70: Cho hàm số (d): y=|x −1|
a) Nhận xét dạng đồ thị Vẽ đồ thị đường thẳng (d)
b) Dùng đồ thị, biện luận số nghiệm phương trình x 1 m
Bài 71: Với giá trị m hai đường thẳng: (d) y (m 1)x 2 ; (d') y 3x 1 a) Song song với
b) Cắt
c) Vng góc với
Bài 72: Tìm giá trị a để ba đường thẳng: (d ) :y 2x 5;(d ) : y x 2;(d ) : y ax 121
đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ
Bài 73: Chứng minh m thay đổi (d): 2x + (m 1)y = qua điểm cố định Bài 74: Cho (P):
2
1
y x
2
đường thẳng (d): y = ax + b Xác định a b để đường thẳng (d) qua điểm A(1; 0) tiếp xúc với (P)
Bài 75: Cho hàm số yx 1 x 2 a) Vẽ đồ thị hàm số
(8)Bài 76: Cho (P): y = x2 đường thẳng (d): y = 2x + m.
a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d) Bài 77: Cho (P):
2
x y
4
(d): y = x + m a) Vẽ đồ thị (P)
b) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B
c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) cắt (P) điểm có tung độ 4
d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vng g?c với (d') qua giao điểm (d') (P)
Bài 78: Cho hàm số (P): y = x2 hàm số (d): y = x + m.
a) Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B
b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vng góc với (d) tiếp xúc với (P)
c) Thiết lập công thức t?nh khoảng cách hai điểm áp dụng: Tìm m cho khoảng cách hai điểm A B 3√2
Bài 79: Cho điểm A(2; 2) đường thẳng (d) y = 2(x + 1) a) Điểm A có thuộc (d)? Vì sao?
b) Tìm a để hàm số (P): y = ax2 qua A.
c) Xác định phương trình đường thẳng (d1) qua A vng góc với (d)
d) Gọi A B giao điểm (P) (d1); C giao điểm (d) với trục tung Tìm toạ độ B C Tính diện tích tam giác ABC
Bài 80: Cho (P):
2
1
y x
4
đường thẳng (d) qua hai điểm A B (P) có hồnh độ lầm lượt 2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Viết phương trình đường thẳng (d)
c) Tìm điểm M cung AB (P) tương ứng hoành độ x∈[−2;4] cho tam giác MAB có diện tích lớn
(Gợi ý : cung AB (P) tương ứng hồnh độ x∈[−2;4] có nghĩa A(-2; yA ) B(4;yB) tính
yA ; yB)
Bài 81: Cho (P): y=−x
4 điểm M(1; 2)
a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M có hệ số góc m
b) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi c) Gọi xA; xB hoành độ A B Xác định m để
2
A B A B
x x x x đạt giáỉtị nhỏ tính giá trị nhỏ
d) Gọi A' B' hình chiếu A B trục hồnh S diện tích tứ giác AA'B'B
1) Tính S theo m
2) Xác định m để S = 4(8+m2√m2+m+2) Bài 82: Cho hàm số y=x2 (P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Gọi A, B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ 1 Viết phương trình đường thẳng AB
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) Bài 83: Trong hệ toạ độ Oxy cho Parabol (P): y=−1
4x
đường thẳng (d):y mx 2m 1 a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định
Bài 84: Cho (P) y=−1 4x
2
(9)a) Vẽ (P) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B, ∀m∈R
b) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn Bài 85: Cho (P): y=x
2
4 đường thẳng (d) qua điểm I(
2;1 ) có hệ số góc m a) Vẽ (P) viết phương trình (d)
b) Tìm m cho (d) tiếp xúc (P)
c) Tìm m cho (d) (P) có hai điểm chung phân biệt Bài 86: Cho (P): y=x
2
4 đường thẳng (d): y=− x 2+2 a) Vẽ (P) (d)
b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (d)
c) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đ? đường ti?p tuy?n (P) song song với (d)
Bài 87: Cho (P): y = x2 a) Vẽ (P)
b) Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ 1 Viết pt đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB ti?p xúc với (P)
Bài 88: Cho (P): y = x2 a) Vẽ (P)
b) Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ x = điểm B có hồnh độ x = Xác định giá trị m n để đường thẳng (d): y = mx + n tiếp xúc với (P) song song với AB
Bài 89: Xác định giá trị m để hai đường thẳng có phương trình (d1): x + y = m (d2): mx + y = cắt điểm (P):
2
y2x
-PHẦN : MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
1 CHUYỂN ĐỘNG
Bài 90: Hai tỉnh A B cách 180 km Cùng lúc, ôtô từ A đến B xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ơtơ hết giờ, cịn từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết đường AB hai xe chạy với vận tốc khơng đổi
Bài 91: Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B lại ngược dòng từ bến B bến A tất Tính vận tốc ca nơ nước n lặng, biết quãng sông AB dài 30 km vận tốc dòng nước km/h
Bài 92: Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngược dịng từ B trở A.Thời gian xi dịng thời gian ngược dòng 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nước km/h
(10)Bài 95: Một người xe đạp từ A đến B cách 33 Km với vận tốc xác định Khi tới B A người đường khác dài trước 29 Km với vận tốc lớn vận tốc lúc Km/h Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian nhiều thời gian 30 phút Bài 96: Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 Km ngược chiều Sau 40 phút gặp Tính vận tốc riêng ca nơ, biết vận tốc ca nô xuôi lớn vận tốc ca nơ ngược 9Km/h vận tốc dịng nước Km/h
Bài 97: Hai địa điểm A, B cách 56 Km Lúc 45 phút người xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h Sau người xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h Hỏi đến họ gặp chỗ gặp cách A Km?
Bài 98: Một người xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h Sau thời gian, người xe máy xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h khơng có thay đổi đuổi kịp người xe máy B Nhưng sau nửa quãng đường AB, người xe đạp giảm bớt vận tốc Km/h nên hai ngưòi gặp C cách B 10 Km Tính quãng đường AB
Bài 99: Một người xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30 Km/h Khi đến B người nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình 24 Km/h Tính qng đường AB biết thời gian lẫn 50 phút
Bài 100: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h, sau ngược dịng từ bến B bến A Thời gian xi thời gian ngược 40 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nước Km/h vận tốc riêng ca nô không đổi
Bài 101: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 Km/h Lúc đầu tơ với vận tốc đó, cịn 60 Km nửa quãng đường AB, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h quãng đường cịn lại Do tơ đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đường AB
Bài 102: Hai ca nô khởi hành lúc chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h Trên đường ca nô II dừng lại 40 phút, sau tiếp tục chạy Tính chiều dài qng đường sơng AB biết hai ca nô đến B lúc Bài 103: Một người xe đạp từ A đến B cách 50 Km Sau 30 phút, người xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp
Bài 104: Một ca nô chạy sông giờ, xi dịng 108 Km ngược dịng 63 Km Một lần khác, ca nơ chạy giờ, xi dịng 81 Km ngược dịng 84 Km Tính vận tốc dòng nước chảy vận tốc riêng (thực) ca nô
Bài105: Một tầu thuỷ chạy khúc sông dài 80 Km, 20 phút Tính vận tốc tầu nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước Km/h
Bài 106: Một thuyền khởi hành từ bến sơng A Sau 20 phút chếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền điểm cách bến A 20 Km Hỏi vận tốc thuy?n, bi?t ca nô chạy nhanh thuy?n 12 Km/h
Bài 107: Một ôtô chuyển động với vận tốc định để hết quãng đường dài 120 Km thời gian định Đi nửa quãng đường xe nghỉ phút nên để đến nơi giờ, xe phải tăng vận tốc thêm Km/h nửa qng đường cịn lại Tính thời gian xe lăn bánh đường
Bài 108: Một ôtô dự định từ A đến B cách 120 Km thời gian quy định Sau ôtô bị chắn đường xe hoả 10 phút Do đó, để đến B hạn, xe phải tăng vận tốc thêm Km/h Tính vận tốc lúc đầu ôtô
Bài 109: Một người xe đạp từ A đến B thời gian định Khi cịn cách B 30 Km, người nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc đi, tăng vận tốc thêm Km/h tới đích sớm nửa Tính vận tốc xe đạp tren quãng đường lúc đầu
(11)Bài 110: Hai đội cơng nhân làm cơng việc làm xong Nếu đội làm để làm xong cơng việc ấy, đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai Hỏi đội làm xong công việc bao lâu?
Bài 111: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hồn thành kế hoạch 26 ngày Nhưng cải tiến kỹ thuật nên ngày vượt mức 6000 đơi giầy hoàn thành kế hoạch định 24 ngày mà cịn vượt mức 104 000 đơi giầy Tính số đơi giầy phải làm theo kế hoạch
Bài 112: Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt 20 cá, vượt mức tuần nên hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà cịn vượt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch định
Bài 113: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trước làm việc đội xe bổ xung thêm xe nên xe chở so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có xe? Biết số hàng chở tất xe có khối lượng
Bài 114: Hai tổ sản xuất nhận chung mức khoán Nếu làm chung hồn thành 32 mức khốn Nếu để tổ làm riêng tổ làm xong mức khốn tổ phải làm bao lâu?
Bài 115: Hai tổ công nhân làm chung 12 hồn thành xong cơng việc định Họ làm chung với tổ thứ điều làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ thứ hai làm sau hồn thành cơng việc
Bài 116: Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm họ làm 25% công việc Hỏi người làm cơng việc xong
3 THỂ TÍCH
Bài 117: Hai vịi nước chảy vào bể không chứa nước làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riêng vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể?
Bài upload.123doc.net: Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng, vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai 30 phút Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể bao lâu?
Bài 119: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào bể chứa thời gian quy định phải bơm 10 m3 Sau bơm
3 thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn, bơm 15 m3 Do so với quy định, bể chứa bơm đầy trước 48 phút Tính thể tích bể chứa
Bài 120: Nếu hai vòi nước chảy vào bể chứa khơng có nước sau 30 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 15 phút khố lại mở vịi thứ hai chảy tiếp 20 phút 15 bể Hỏi vịi chảy riêng sau đầy bể?
Bài 121: Hai vòi nước chảy vào bể chứa khơng có nước sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể nhanh vịi thứ hai Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể bao lâu?
PHẦN 6: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÌNH HỌC
Bài 122: Cho hai đường trịn tâm O O’ có R > R’ tiếp xúc C Kẻ đường kính COA CO’B Qua trung điểm M AB, dựng DE AB
a) Tứ giác ADBE hình gì? Tại sao?
(12)d) Xét vị trí MF đường trịn tâm O’, vị trí AE với đường trịn ngoại tiếp tứ giác MCFE
Bài 123: Cho nửa đường tròn đường kính COD = 2R Dựng Cx, Dy vng góc với CD Từ điểm E nửa đường tròn, dựng tiếp tuyến với đường tròn, cắt Cx P, cắt Dy Q
a) Chứng minh POQ vng; POQ ∽ CED b) Tính tích CP.DQ theo R
c) Khi
R PC
2
Chứng minh
POQ 25 CED 16
d) Tính thể tích hình giới hạn nửa đường trịn tâm O hình thang vuông CPQD chúng quay theo chiều trọn vòng quanh CD
Bài 124: Cho đường trịn tâm O bán kính R có hai đường kính AOB, COD vng góc với Lấy điểm E OA, nối CE cắt đường trịn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đường tròn, qua E dựng Ey vng góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey
a) Chứng minh I, F, E, O nằm đường trịn b) Tứ giác CEIO hình gì?
c) Khi E chuyển động AB I chuyển động đường nào?
Bài 125: Cho đường tròn tâm O điểm A đường tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q bất kì, dựng tiếp tuyến QB
a) Chứng minh tứ giác QBOA nội tiếp
b) Gọi E trung điểm QO, tìm quỹ tích E Q chuyển động Ax
c) Hạ BK Ax, BK cắt QO H CMR tứ giác OBHA hình thoi suy quỹ tích điểm H
Bài 126: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Các đường cao AD, BK cắt H, BK kéo dài cắt đường F Vẽ đường kính BOE
a) Tứ giác AFEC hình gì? Tại sao?
b) Gọi I trung điểm AC, chứng minh H, I, E thẳng hàng c) Chứng minh OI =
BH OI
2
H; F đối xứng qua AC
Bài 127: Cho (O; R) (O; R’) (với R > R’) tiếp xúc A Đường nối tâm cắt đường tròn O’ đường tròn O B C Qua trung điểm P BC dựng dây MN vng góc với BC Nối A với M cắt đường tròn O’ E
a) So sánh AMO với NMC
b) Chứng minh N, B, E thẳng hàng O’P = R; OP = R’ c) Xét vị trí PE với đường trịn tâm O’
Bài 128: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Lấy B làm tâm vẽ đường trịn bán kính OB Đường tròn cắt đường tròn O C D
a) Tứ giác ODBC hình gì? Tại sao? b) Chứng minh OC AD; OD AC
c) Chứng minh trực tâm tam giác CDB nằm đường tròn tâm B
Bài 129: Cho đường tròn tâm O đường thẳng d cắt đường trịn hai điểm cố định A B Từ điểm M đường thẳng d nằm đoạn AB người ta kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn MP MQ (P, Q tiếp điểm)
a) Tính góc MPQ biết góc hai tiếp tuyến MP MQ 450
b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh điểm M, P, Q, O, I nằm đường tròn
c) Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp MPQ M chạy d
Bài 130: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O, tia phân giác góc A cắt cạnh BC E cắt đường tròn M
a) Chứng minh OM BC
(13)(Hướng dẫn: áp dụng tính chất đường phân giác tam giác)
Bài 131: Cho ABC (AB = AC, Â < 900), cung tròn BC nằm ABC tiếp xúc với AB, AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đường vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, CA, AB Gọi P giao điểm MB, IK Q giao điểm MC, IH
a) Chứng minh tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp
b) Chứng minh tia đối tia MI phân giác góc HMK c) Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp Suy PQ BC
Bài 132: Cho ABC (AC > AB; BAC > 900) Gọi I, K theo thứ tự trung điểm AB, AC Các đường tròn đường kính AB, AC cắt điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) điểm thứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) điểm thứ hai F
a) Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy
d) Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với đường tròn ngoại tiếp AEF Hãy so sánh độ dài đoạn thẳng DH, DE
Bài 133: Cho đường tròn (O; R) điểm A với OA R 2 , đường thẳng (d) quay quanh
A cắt (O) M, N; gọi I trung điểm đoạn MN
a) Chứng minh OI MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B, C thuộc (O)
b) Tính theo R độ dài AB, AC Suy A, O, B, C bốn đỉnh hình vng
c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đoạn AB, AC cung nhỏ BC (O) Bài 134: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R, C trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF
a) AFC BEC có quan hệ với nào? Tại sao? b) Chứng minh FEC vuông cân
c) Gọi D giao điểm đường thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đường tròn Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp
Bài 135: Cho đường trịn (O; R) hai đường kính AB, CD vng góc với E điểm cung nhỏ BD (E B; E D) EC cắt AB M, EA cắt CD N
a) Chứng minh AMC ∽ ANC b) Chứng minh AM.CN = 2R2 c) Giả sử AM = 3MB Tính tỉ số
CN ND
Bài 136: Một điểm M nằm đường tròn tâm (O) đường kính AB Gọi H, I hai điểm cung AM, MB; gọi Q trung điểm dây MB, K giao điểm AM, HI
a) Tính độ lớn góc HKM
b) Vẽ IP AM P, Chứng minh IP tiếp xúc với đường tròn (O)
c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp điểm R M di động nửa đường tròn (O) đường kính AB
Bài 137: Gọi O trung điểm cạnh BC ABC Vẽ góc xOy = 600 cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB, AC M, N
a) Chứng minh OBM ∽ NCO, từ suy BC2 = 4BM.CN.
b) Chứng minh MO, NO theo thứ tự tia phân giác góc BMN, MNC
c) Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường trịn cố định, góc xOy quay xung quanh O cho tia Ox,Oy cắt cạnh AB, AC tam giác ABC Bài 138: Cho M điểm nửa đường trịn tâm (O) đường kính AB = 2R (M AB) Vẽ tiếp tuyến Ax, By, Mz nửa đường trịn Đường Mz cắt Ax, By N P Đường thẳng AM cắt By C đường thẳng BM cắt Ax D Chứng minh:
(14)c) AD.BC = 4R2.
d) Xác định vị trí M để tư giác ABCD có diện tích nhỏ
Bài 139: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tâm (O) I điểm cung AB (cung AB khơng chứa C D) Dây ID, IC cắt AB M N
a) Chứng minh tứ giác DMNC nội tiếp đường tròn
b) IC AD cắt E; ID BC cắt F Chứng minh EF // AB
Bài 140: Cho đường trịn tâm (O) đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B (B C) vẽ đường trịn tâm (O’) đường kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB, DC cắt đường trịn (O’) I
a) Tứ giác ADBE hình gì? Tại sao? b) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng
c) Chứng minh MI tiếp tuyến đường tròn (O’) MI2 = MB.MC.
Bài 141: Cho đường trịn tâm (O) đường kính AB = 2R điểm M di động nửa đường tròn Người ta vẽ đường tròn tâm (E) tiếp xúc với đường tròn (O) M tiếp xúc với đường k?nh AB N Đường tròn cắt MA, MB điểm thứ hai C, D
a) Chứng minh CD // AB
b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đường thẳng MN ln qua điểm K cố định
c) Chứng minh tích KM.KN khơng đổi
Bài 142: Cho đường trịn đường kính AB, điểm C, D đường trịn cho C, D khơng nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC, AD M, N; giao điểm MN với AC, AD H, I; giao điểm MD với CN K
a) Chứng minh NKD; MAK cân
b) Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp Suy KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK
Bài 143: Cho ba điểm A, B, C đường thẳng theo thứ tự đường thẳng (d) vng góc với AC A Vẽ đường trịn đường kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đường thẳng d D; tia AM cắt đường tròn điểm thứ hai N; tia DB cắt đường tròn điểm thứ hai P
a) Chứng minh tứ giác ABMD nội tiếp
b) Chứng minh CM.CD khơng phụ thuộc vị trí M c) Tứ giác APND hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAC chạy đường tròn cố định M di động
Bài 144: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Một điểm M nằm cung AB; gọi H điểm cung AM Tia BH cắt AM điểm I cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) điểm K Các tia AH; BM cắt S
a) Tam giác BAS tam giác gì? Tại sao? Suy điểm S nằm đường tròn cố định b) Xác định vị trí tương đối đường thẳng KS với đường tròn (B; BA)
c) Đường tròn qua B, I, S cắt đường tròn (B;BA) điểm N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định M di động cung AB
d) Xác định vị trícủa M cho MKA 90 ˆ 0.
Bài 145: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn P điểm cung AB khơng chứa C D Hai dây PC PD cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I; dây BC PD kéo dài cắt K Chứng minh rằng:
a) Góc CID góc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp c) IK // AB
(15)Bài 146: Cho hai đường tròn (O1) (O2) tiếp xúc với A, kẻ tiếp tuyến chung Ax Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) điểm B, C cắt Ax điểm M Kẻ đường kính BO1D CO2E
a) Chứng minh M trung điểm BC b) Chứng minh Δ O1MO2 vuông
c) Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng
d) Gọi I trung điểm DE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng d
Bài 147: Cho (O; R) có dây AB = R √2 cố định điểm M di động cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB; P, Q giao điểm thứ hai đường thẳng AH, BH với đường tròn (O); S giao điểm đường thẳng PB, QA
a) Chứng minh PQ đường kính đường trịn (O) b) Tứ giác AMBS hình gì? Tại sao?
c) Chứng minh độ dài SH không đổi
d) Gọi I giao điểm đường thẳng SH, PQ Chứng minh I chạy đường tròn cố định
Bài 148: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M tiếp điểm)
a) Chứng minh BM // OP
b) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Tứ giác OBNP hình gì? Tại sao? c) Gọi K giao điểm AN với OP; I giao điểm ON với PM; J giao điểm PN với OM Chứng minh K, I, J thẳng hàng
d) Xác định vị trí P cho K nằm đường tròn (O)
Bài 149: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB CD vng góc Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đường tròn (O) điểm P
a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO hình gì? Tại sao? c) Chứng minh tích CM.CN khơng đổi
d) Chứng minh M di động đoạn AB P chạy mộtđường thẳng cố định Bài 150: Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt hai điểm A B Các đường thẳng AO, AO’ cắt đường tròn (O) điểm thứ hai C, D cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai E, F
a) Chứng minh B, F, C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp
c) Chứng minh A tâm đường trịn nội tiếp tam giác BDE
d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung đường tròn (O), (O’)
Bài 151: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R điểm M nửa đường tròn (M khác A B) Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn M cắt đường trung trực đoạn AB I Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d C D (D nằm góc BOM)
a) Chứng minh tia OC, OD tia phân giác góc AOM, BOM b) Chứng minh CA DB vng góc với AB
c) Chứng minh AMB ∽ COD d) Chứng minh AC.BD = R2.
Bài 152: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB điểm M đường tròn Gọi điểm cung AM, MB H, I Cãc dây AM HI cắt K
a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi
b) Hạ IP AM Chứng minh IP tiếp tuyến (O;R)
(16)d) Chứng minh M di động thì đường thẳng HI luôn tiếp xúc với đường tròn cố định
Bài 153: Cho nửa đường tròn (O) đường k?nh AB hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn cho cung AC < 900 COD 90 0 Gọi M điểm nửa đường trịn cho C điểm cung AM Các dây AM, BM cắt OC, OD E F
a) Tứ giác OEMF hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh D điểm cung MB
c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn M cắt tia OC, OD I, K Chứng minh tứ giác OBKM; OAIM nội tiếp
d) Giả sử tia AM cắt tia BD S Xác định vị trí C D cho điểm M, O, B, K, S thuộc đường tròn
Bài 154: Cho ABC (AB = AC), cung tròn BC nằm bên tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC B, C cho A tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ đường vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, CA, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q
a) Chứng minh tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp b) Chứng minh MI2 = MH MK
c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp Suy PQ MI d) Chứng minh KI = KB IH = IC