Hàm đơn diệp và một số tính chất của hàm đơn dịp

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN TẤN MINH HÀM ĐƠN DIỆP VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM ĐƠN DIỆP Chun ngành : Tốn Giải Tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CÁM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Cô hướng dẫn luận văn TS.LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG, nhiệt tình tận tâm hướng dẫn em suốt thời gian thực luận văn Em xin chân thành cám ơn tập thể quý Thầy Cô tham gia giảng dạy lớp Cao học giải tích K17 Q Thầy Cơ nhiệt tình giảng dạy, mang đến cho em kiến thức bổ ích thú vị, làm tăng thêm khả tìm tịi nghiên cứu khoa học em Em xin chân thành cám ơn quý Thầy Cơ đọc góp ý cho luận văn em thêm sâu sắc Cuối cùng, em xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Tốn, Phịng KHCN-SĐH trường ĐHSP TP.HCM, tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt thời gian học tập suốt thời gian thực luận văn Luận văn hẳn cịn thiếu sót Kính mong nhận góp ý nhiệt tình q Thầy Cơ LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài nghiên cứu em, số liệu, kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn MỞ ĐẦU Giải tích phức xuất nửa đầu kỉ XVIII, gắn liền với tên tuổi L.Ơle Đỉnh cao kỉ XIX, chủ yếu cơng trình Cauchy, Riemann, Weierstrass Đến ngày nay, phần cổ điển giải tích phức - lý thuyết hàm biến phức - phát triển gần trọn vẹn Song, điều này, thường xuất vấn đề chưa giải cách đặt toán toán học ứng dụng thực tiễn theo đà phát triển xã hội Hàm đơn diệp phận thiếu lý thuyết hàm biến phức Hàm đơn diệp có nhiều tính chất đẹp nhiều nhà toán học từ nhiều trường phái quan tâm nghiên cứu Việc tập hợp kết cách có hệ thống, rõ ràng, mạch lạc việc cần thiết cần phát thêm vấn đề từ việc nghiên cứu đề tài Đây lí em chọn đề tài Mục tiêu luận văn trình bày khái niệm hàm đơn diệp, số kết hàm đơn diệp, để từ nêu tích chất quan trọng hàm đơn diệp Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày khái niệm hàm đơn diệp kết hàm đơn diệp; định lí dùng để tính diện tích miền ảnh hàm đơn diệp; đánh giá cận môđun hệ số z khai triển hàm đơn diệp; cận môđun hàm đơn diệp Chương 2: Từ kết đạt chương 1, chương trình bày số tính chất hàm đơn diệp: tính chất hàm biểu diễn ánh xạ bảo giác từ hình trịn đơn vị lên miền đặc biệt; cực trị hàm biến miền thành hình tròn MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ Các khái niệm C mặt phẳng phức, X  C - Giả sử z0  C r > Ta gọi đĩa mở hay hình trịn mở tâm z0, bán kính r tập S(z0, r) = {z  C: |z-z0| < r} Hình trịn S(z0, r) thường gọi  - lân cận điểm z0 - Giả sử r > bất kỳ, tập hợp điểm z  C: < |z-z0| < r gọi  - lân cận thủng điểm z0  C - Tập X gọi mở z0  X, tồn hình trịn tâm z0, bán kính r > cho S(z0, r )  C - Điểm z0 gọi điểm biên X hình trịn S(z0, r), r > chứa điểm thuộc X điểm không thuộc X Tập tất điểm biên X gọi biên X, kí hiệu ∂X - Điểm z0 gọi điểm dính X hình trịn S(z0, r), r > chứa phần tử X Tập tất điểm dính X gọi bao đóng X, kí hiệu X - Điểm z0 gọi điểm X tồn r > cho S(z0, r)  X o Tập tất điểm X gọi phần X, kí hiệu X o X = X  ∂X, X = X\∂X Dễ thấy - Tập X gọi đóng X = X hay nói cách khác X  ∂X - Tập X gọi bị chặn có số dương R cho hình trịn |z| < R chứa tồn tập X - Điểm z0 gọi điểm cô lập X có lân cận thủng z0 khơng có điểm X - Tập X gọi liên thông không tồn hai tập hợp mở A, B cho X  A ≠  , X  B ≠  ; X  A  B =  ; X  A  B - Miền tập hợp X C có hai tính chất: i) Với điểm thuộc X ln tồn hình trịn đủ bé nhận điểm làm tâm nằm hồn tồn X (tính mở) ii) Có thể nối hai điểm thuộc X đường cong nằm hồn tồn X (tính liên thơng) - Miền X có biên tập liên thơng gọi miền đơn liên Ngược lại, miền X có biên tập không liên thông gọi miền đa liên - Một đường cong có điểm đầu điểm cuối trùng gọi đường cong đóng Đường cong khơng có điểm tự cắt gọi đường cong Jordan Đường cong Jordan đóng cịn gọi chu tuyến - Miền X gọi miền Jordan biên ∂X gồm đường cong Jordan đóng - Giả sử (t)  (t) hàm thực liên tục [a,b] đường thẳng thực Khi phương trình z = z(t) = (t) + i (t), a ≤ t ≤ b cho biểu diễn tham số đường cong L = z([a,b]) mặt phẳng phức C Đường cong L gọi trơn hàm (t),  (t) có đạo hàm liên tục đạo hàm không đồng thời với t  [a,b] Đường cong liên tục tạo số hữu hạn đường cong trơn gọi trơn khúc - Xét hàm số  = f(z), với giá trị đối số có giá trị hàm số gọi hàm số đơn trị Ngược lại, với giá trị đối số ta nhận nhiều giá trị hàm số gọi hàm số đa trị - Hàm giải tích: Nếu hàm số  = f(z) có đạo hàm z = z0 điểm lân cận điểm z0 f(z) giải tích z0 z0 điểm thường f(z) Một hàm giải tích điểm X gọi giải tích X - Điểm quy: Giả sử f giải tích miền (liên thông) X z0 điểm biên X Ta nói z0 điểm quy f tồn lân cận mở liên thông  z0 hàm g giải tích  cho g trùng với f tập hợp mở khác rỗng X   nhận z0 làm điểm biên Trong trường hợp ngược lại ta nói z0 điểm kì dị f - Điểm z0  C (mặt phẳng phức mở rộng) gọi điểm bất thường cô lập hàm số f(z) có lân cận thủng z0 (nếu z0 điểm hữu hạn lân cận thủng < |z-z0| < r, r > 0; z0 điểm vơ hạn lân cận thủng r < |z| < ∞, r > 0) hàm số f(z) giải tích, z0 hàm số khơng giải tích Điểm bất thường lập chia hành ba loại: i) Điểm bất thường bỏ lim f(z) = A ≠ ∞ z  z0 ii) Cực điểm lim f(z) = ∞ z  z0 iii) Điểm bất thường cốt yếu hàm f(z) giới hạn z  z0 i = +∞ - Chuỗi hàm i = +∞ f(z)=  (z-z0) i = -∞  ai(z-z0)i i = -∞ i = +∞ i =  i=0 gọi chuỗi hàm Laurent khai triển i = -1 i (z-z0) +  i = -∞ (z-z0)i lân cận thủng z0 gọi khai triển Laurent Chuỗi Laurent gồm hai phận: phận gồm số hạng có số mũ khơng âm, gọi phần đều; phận gồm số hạng có số mũ âm, gọi phần - Điểm bất thường lập z0 hàm số f(z) cực điểm phần khai triển Laurent f(z) lân cận thủng z0 chứa số hữu hạn số hạng i = +  i = -n (z-z0 )i, a-n ≠ f(z+∆z)-f(z) , z, ∆z  X Nếu z giới ∆z ∆z  - Cho hàm số f xác định miền X Xét lim hạn tồn gọi đạo hàm phức hàm f điểm z, kí hiệu f’(z) hay df(z) dz Hàm f có đạo hàm phức điểm z gọi khả vi phức hay C-khả vi z - Hàm số f xác định miền X gọi chỉnh hình điểm z0 tồn số dương r cho f C-khả vi z  S(z, r) Hàm f chỉnh hình điểm thuộc X gọi chỉnh hình X - Nếu mặt phẳng C điểm bất thường hàm số f(z) điểm cô lập điểm bất thường cốt yếu (nghĩa là điểm bất thường bỏ cực điểm) f(z) hàm phân hình - Ánh xạ f gọi bảo giác điểm tập mở X giải tích X f’(z) ≠ 0, z  X - Hàm số f(z) gọi khai triển điểm a phân tích thành chuỗi luỹ thừa theo (z-a) lân cận điểm a - Hàm số f(z) gọi chuẩn hoá điểm z0 f( z0 ) = f’( z0 ) = Một số định lí sử dụng luận văn - Định lí Ruse: Giả sử f g chỉnh hình miền đóng X với biên liên tục X giả sử f ( z ) > g ( z ) với z  X Khi hàm f (f + g) có số 0-điểm X - Định lí Hurwitz: Giả sử dãy hàm f n chỉnh hình miền X, hội tụ tập compắc K  X đến hàm f ≠ const Khi đó, f( z0 ) = hình trịn { z  z0 < r}  X hàm f n , hàm đó, bị triệt tiêu - Định lí Liouville: Nếu hàm f chỉnh hình tồn mặt phẳng C giới nội số - Định lí Joukowski: Nếu a điểm bất thường cốt yếu hàm f với số b  C bất kì, ta tìm dãy điểm zn  a cho limf( zn ) = b - Định lí Weierstrass: Cho f1 , f ,…là dãy hàm giải tích tập mở A  C Giả sử dãy hàm hội tụ tập compắc A đến hàm f Khi f giải tích A Hơn nữa, dãy { f n' } hội tụ tập compắc A đến hàm f’ - Nguyên lí mơđun cực tiểu: Nếu hàm f chỉnh hình miền X khơng bị triệt tiêu miền f đạt cực tiểu (địa phương) X trường hợp f = const - Nguyên lí Argument: Giả sử hàm f phân hình miền X  C, G  X miền mà biên G đường cong liên tục G không chứa 0-điểm cực điểm f Gọi N P tổng số 0-điểm tổng số cực điểm f G Khi N - P =  G argf(z) 2 - Bổ đề Schwarz: Giả sử hàm f chỉnh hình hình trịn D: z < f ( z ) ≤ 1,  z  D, f(0) = Khi  z  D: f ( z ) ≤ z Đẳng thức xảy f(x) = ei z,  số thực - Bất đẳng thức Lebedev-Milin thứ hai: Gọi  hàm giải tích lân cận mà  (0) =  (z) =    k z k , gọi ψ(z) = e ( z ) = k 1 2,…thì   k ≤ (n + 1)exp{ k 0 1 n m (k  k  ) }  k n  m 1 k 1   k 0 k z k ,  = Khi đó, với n = 1, Chương 1: HÀM ĐƠN DIỆP 1.1 Khái niệm hàm đơn diệp 1.1.1 Hàm đơn diệp Một hàm biến phức z xác định tập A  C quy luật f, theo giá trị z  A đặt tương ứng giá trị f(z)  C Như vậy, hàm số f xác định A ánh xạ f: A  C, z  f(z): =  Khi đó, A gọi tập xác định f; tập hợp gồm tất giá trị  f(z) lấy A gọi tập giá trị Khi ánh xạ f: A  C đơn ánh hàm f gọi đơn diệp (hay 1-lá) Ví dụ: Ánh xạ a : D  D với D = {z C: |z| < 1} thoả mãn a (z) = za ,  a  D đơn diệp  az Có thể xảy hàm không đơn diệp C chia C thành miền D1, D2,…để D1, D2,…hàm f đơn diệp Khi miền Di, i = 1, 2,…được gọi miền đơn diệp f Ví dụ: Xét hàm  = zn, n ≥ Dễ thấy, A  C không chứa điểm z1, z2 cho |z1| = |z2| arg(z1 - z2) = k2  = zn đơn diệp A Nói riêng, tập An = {z = rei : ≤ r n 1; hàm w = cz  d z (ad-bc ≠ 0) đơn diệp C Dễ thấy rằng, hàm f(z) đơn diệp A đơn diệp A ngược lại f ( z) 1.1.2 Một số kết - Nếu hàm phân hình (trong trường hợp đặc biệt hàm giải tích)  = f(z) hàm đơn diệp miền A điểm quy miền đạo hàm khác khơng Thật vậy, điểm z0 mà f(z0) = a, f’(z0) = z0 a-điểm có bội lớn Khi theo hệ Định lí Ruse, với b đủ gần a, f(z) nhận giá trị b nhiều lần Điều trái với giả thiết đơn diệp Tuy nhiên, đạo hàm hàm w = f(z) khác tồn miền xác định A chưa đơn diệp Chẳng hạn, đạo hàm hàm w = f(z) = (z-1)n, n ≥ khác toàn miền D = {z  C: |z| < 1} khơng đơn diệp D - Hàm đơn diệp  = f(z) miền A có khơng nhiều cực điểm, cực điểm cực điểm đơn Thật vậy, z0 cực điểm hàm  = f(z) z0 0-điểm hàm Vì f(z) 1 hàm đơn diệp nên z0 0-điểm đơn hàm Suy z0 cực điểm đơn đối f(z) f(z) với hàm f(z) - Mọi hàm giải tích  = f(z) hàm đơn diệp lân cận đủ nhỏ điểm mà đạo hàm khác khơng Thật vậy, giả sử f’(z0) ≠ Nếu lân cận z0 mà f(z) khơng đơn diệp tồn hai dãy điểm an, bn cho an  z0, bn  z0; an ≠ bn, f(an) = f(bn) Khi đó, giả sử  đường trịn có tâm z0, bán kính , cho f(z) ≠ f(z0) với < |z-z0| ≤  Rõ ràng hàm f(z)f(z0) có 0-điểm bên  (kể bội) khơng có 0-điểm  Mặt khác, f(z)-f(an)  f(z)-f(z0)  nên theo Định lí Hurwitz, với n đủ lớn f(z)-f(an) có 0-điểm bên  (kể bội) Do ta thấy mâu thuẫn với n đủ lớn hàm có 0-điểm an, bn bên  Chú ý w = f(z) đơn diệp hàm số ngược z = f-1(w) giải tích lân 1   z  cận w0 = f(z0) Chẳng hạn, hàm số w = z giải tích miền A:  0  arg z  3  A có w’ = 2z ≠ Song, qua phép ánh xạ w = z2 biến A thành hình vành khăn  w  1, nửa hình vành khăn hàm số z = f-1(w) không đơn trị - Mọi hàm phân hình hàm đơn diệp lân cận đủ nhỏ cực điểm đơn d v  kv Hơn nữa, từ (1.17) ta thu dt =  t v 1 v 2 v dt Từ (1.24) ta có dt arg v( z, t ) ≤ v( z , t ) = Mặt khác, ta có arg z t  kv = 2dt v 1 v (2.2) (do (1.41))    arg v( z, )d v( z , ) t ≤ 2  k ( )v( z , ) d d = v ( z , )  ≤ 2  k ( )v( z , )  2dt v( z , )   v ( z , ) z = 2du  1 u = ln 1 r , z = r, z  D 1 r Cho t   sử dụng kết lim et v( z , t ) = f(z) ta arg t  f ( z) 1 r ≤ ln z 1 r Bước 2: Ta chứng minh tính chặt chẽ đánh giá (2.1) Ta cần với z  D\{0}, tìm hàm k liên tục với k (t ) = [0,+ ) cho hàm v = v(z,t) cho (1.15) thoả mãn t[0,+) Im[k(t)v(z,t)] =  v( z, t ) , (2.3) Thật vậy, (2.3) thoả mãn với k (t ) = Re[k(t)v(z,t)] = 0, t  [0,+ ) Khi (1.17), (1.24) trở thành:  v( z , t ) t =  v( z, t )  v( z , t )  v( z, t ) 2 v( z , t )  arg v( z , t ) = t  v( z , t ) (2.4) (2.5) Lấy tích phân từ đến t (2.4) ta t d t ln v dt = t 1 v  1 v 2 dt = t 2v  (1   v )dt = -t + t 2v 1 v dt d v 1 v (do (2.2) Re(kv) = 0) mà dt   t v 1 v (2.6) Do hay t t 0  dt ln v dt = -t +  Suy ln v( z , t )  v( z , t ) v( z , t ) z = 1 v = -t + ln et z 1 z 2 v 2 dt v  v( z , t ) 1 z (ở ta sử dụng v(z,0) = z) Phương trình xác định v( z , t ) hàm x tăng từ đến  x2  x  [0,1) ( ý v( z, 0) = z ) Sự xác định v( z, t ) sử dụng để xác định arg v( z, t ) với điều kiện ban đầu v(z,0) = z z Thật vậy, từ (2.5) (2.6) ta suy dt arg v( z, t ) =  2d t v ( z , t )  v( z , t ) Lấy tích phân hai vế đẳng thức từ đến t ta arg 1 z  v( z , t ) v( z, t ) = ln - ln z 1 z  v( z, t ) (ở ta sử dụng điều kiện v(z,0) = z) Từ xác định arg (2.7) v( z, t ) với điều kiện ban đầu z v(z,0) = z Cả môđun argument v(z,t) xác định rõ Vì thế, ta xác định hàm v(z,t) Theo (2.3) hàm k xác định phương trình k(t)v(z,t) = -i v( z, t ) , t ≥ Hàm liên tục [0,+ ) thoả mãn điều kiện k (t ) = [0,+) Rõ ràng phương trình vi phân Loewner (1.15), ứng với hàm k, có nghiệm v(z,t) xác định Hơn nữa, từ (2.7) lim et v( z , t ) = f(z) ta thu arg t  1 z f ( z) = ln Chứng minh z 1 z tính chặt chẽ cận (2.1) Hoàn toàn tương tự, chứng minh tính chặt chẽ cận (2.1) Một hệ trực tiếp Bổ đề đánh giá cận arg dàng Nhánh chọn thoả mãn arg kính f S zf '( z ) , f  S cách dễ f ( z) zf '( z ) = Kết dùng để xác định bán f ( z ) z 0 Bổ đề 3: Với f  S arg 1 r zf '( z ) ≤ ln , z = r, z  D f ( z) 1 r (2.8) Đánh giá chặt chẽ với z  D Chứng minh Cố định a  D\{0}, ta xét hàm fa (z) = za f( )  f (a )  az , z  D (1  a ) f '(a) Khi fa  S (xem chứng minh Định lí 5) Theo Bổ đề ta thu arg Mặt khác, dễ thấy đặc biệt arg fa ( z) 1 r ≤ ln , z  D z 1 r f a ( a ) f (a) = a af '(a )  a f a (a) af '(a) f (a) = arg( ) = arg a f (a ) af '(a )  a Từ suy arg 1 a af '(a) ≤ ln Suy (2.8) (đpcm) f (a ) 1 a Tính chặt chẽ (2.8) suy từ tính chặt chẽ (2.1) Bây ta chứng minh tính chất Nhận thấy ln  1  =  = 1  Từ Bổ đề ta suy Re  e 1  e 1 =  zf ' ( z ) > z <  Khi theo Tính chất f  K, tức f f ( z) biến hình trịn Dρ thành tập hình Chú ý kết sai z ≥  Vì r*(S):=  bán kính hình f S Tính chất 6: a) Cho f  S* z = r < r r ≤ f ( z) ≤ (1  r ) (1  r ) 1 r 1 r ≤ f '( z ) ≤ (1  r ) (1  r )3 Các đẳng thức xảy f phép quay thích hợp hàm Koebe (2.9) (2.10) Các kết hoàn toàn giống S b) Cho f  K z = r < i) r r ≤ f ( z) ≤ 1 r 1 r (2.11) ii) 1 ≤ f '( z ) ≤ (1  r ) (1  r ) (2.12) Các đẳng thức xảy f (z) = z ,   C,  = 1  z Chứng minh i) Vì f  K nên zf’(z)  S* (theo Tính chất 3) Suy r r ≤ zf '( z ) ≤ (1  r ) (1  r ) ii) Ta có f ( z ) ≤ r  (theo (2.9)) Suy (2.12) f '(  ei )ei d  ≤ r  (1   ) d  (theo bất đẳng thức bên phải (2.12)) ≤ r 1 r Bây ta chứng minh bất đẳng thức bên trái (2.11) Cố định z  D Vì f  K nên đoạn thẳng nối f(z) nằm f(D) Nếu ta gọi  nghịch ảnh đoạn thẳng  đường cong đơn nối z D Hình 10 Từ suy f ( z) =  f '( ) d ≥ r  f '(  ei ) d  ≥ r  (1   ) d  (theo bất đẳng thức bên trái (2.12)) ≥ r 1 r Nhận thấy đẳng thức xảy (2.11) (2.12) zf’(z) phép quay thích hợp hàm Koebe Từ ta có f (z) = z ,   C,  = 1  z Tính chất 7: i) Nếu f  S* f(D) chứa hồn tồn đĩa {w: w < } Kết hoàn toàn giống S ii) Nếu f  K f(D) chứa hoàn toàn đĩa {w: w < } Chứng minh Kết dễ dàng chứng minh cho r  bất đẳng thức bên trái (2.11) Ngồi ra, kết cịn chứng minh cách độc đáo cách sử dụng Định lí Ta rằng, w  f(D) w ≥ Gọi khai triển f S f(z) = z + a2 z + …, z  D Gọi g(z):= [f(z) - w]2 = [ w  z  a2 z + ]2 = w2  2wz  Ta có g(0) = w2 ; g’(0) = -2w g(z) ≠ D Ta chứng minh g(z) đơn diệp D Thật vậy: Nếu g( z1 ) = g( z2 ) f( z1 ) = f( z2 ) [f(z1 )+f(z )] = w (điều xảy f  K w f(D)) Suy z1 = z2 (do f đơn diệp) Vậy g đơn diệp D Gọi h(z) = w2  g ( z ) = z +…, z  D Ta chứng minh h  S 2w • Ta có h(0) = (vì g(0) = w2 ) h’(0) = (vì g’(0) = -2w ) • Dễ thấy h đơn diệp D (do g đơn diệp D) Từ suy h  S Mặt khác, h(z) ≠ hay w ≥ w 1 ≥ w (do g(z) ≠ D), nên theo Định lí ta suy 2 (đpcm) Kết bên hồn tồn chặt chẽ hàm ( z ) = D vào nửa mặt phẳng Re ( z ) >  z = z + z + …là ánh xạ bảo giác 1 z (đây tập lồi) Ta thấy rõ Hình 2 2.1.2 Cận mơđun hệ số khai triển hàm lồi hàm hình Phỏng đốn Bieberbach S S*, chứng minh lần năm 1920 R.Nevanlinna Định lí 13: Nếu f  S* có khai triển f(z) = z + a2 z + …+ an z n +…, z  D an ≤ n, n = 2, 3,….Đẳng thức xảy f phép quay hàm Koebe Chứng minh: Trước chứng minh định lí ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề (bổ đề Caratheodory): Giả sử ψ(z) giải tích D, có Re ψ(z) > D ψ(z) = +  b z n 1 bn ≤ 2, n = 1, 2,… n n (2.9) Chứng minh Gọi C = {z: z  rei , < r < 1, ≤  ≤ 2 } Theo cơng thức tích phân Cauchy ta có bn = 1  ( z) dz = n 1  2 i C z 2 r n 2   (re i )e  in d Suy bn r = 2 n Mặt khác ta có = 2 2   (re i )e  in d (2.10) 2   (re  i )e  in d (2.11) Cộng theo vế (2.10) (2.11) ta bn r n = Suy bn r n ≤  2 2 i  in  Re (re )e d = 2  Re (re i  2  Re (re i )e in d ) d = Cho r  ta bn ≤ 2, n = 1, 2,… (đpcm) Ta thấy hàm ψ(z) =  1 z = +  z n thoả mãn điều kiện Bổ đề Do đó, đánh giá 1 z n 1 (2.9) hoàn toàn chặt chẽ Bây ta chứng minh định lí 13 Cho f  S* gọi ψ(z) = zf '( z ) =1+ f ( z)  b z n 1 n n ,zD (2.12) Re ψ(z) > (theo Tính chất 1) bn ≤ 2, n = 1, 2,…(theo Bổ đề 4) Từ (2.12) suy zf’(z) = f(z)[1 +  b z n 1 z  2a2 z  3a3 z   nan z n  = Suy n n ] Suy (a2  b1 ) z  (a3  a2b1  b2 ) z   (an  an 1b1   bn 1 ) z n  a2 = b1 a3 = a2b1 + b2 … (n-1) an = an 1b1  an  2b2   bn 1 Ta chứng minh an ≤ n, n = 2, 3,…bằng quy nạp Ta có a2 = b1 ≤ Giả sử ak ≤ k, k = 2, 3,…, n-1 Khi (n-1) an = an 1b1  an 2b2   bn 1 ≤ 2[(n-1) + (n-2) + …+ 1] = n(n-1) Suy an ≤ n Vậy an ≤ n, n = 2, 3,…(đpcm) Dễ thấy rằng, an = n, n = 2, 3,…thì a2 = Khi f phép quay hàm Koebe (theo Định lí 3) Định lí 14: Nếu f  K có khai triển f(z) = z + a2 z + …+ an z n +…, z  D an ≤ 1, n = 2, 3,….Đẳng thức xảy f hàm ( z ) = z phép quay thích hợp 1 z Chứng minh Từ f(z) = z + a2 z + …+ an z n +… suy zf’(z) = z + a2 z + …+ n an z n +… Vì f  K nên zf’  S* (theo Tính chất 3) theo Định lí 13 ta thu n an ≤ n Suy an ≤ 1, n = 2, 3,…(đpcm) Nhận thấy hàm ( z ) = (xem Hình 2) thoả mãn z '( z ) = z = 1 z  z n 1 n ánh xạ từ D lên nửa mặt phẳng Re(w) > 1 z (1  z ) Chú ý: Đối với hàm lồi yếu có đánh giá cận mơđun hệ số giống hàm hình Định lí 15: Nếu f hàm lồi yếu có khai triển f(z) = z+ a2 z +…+ an z n +…, z  D an ≤ n, n = 2, 3,….Đẳng thức xảy f phép quay hàm Koebe Chứng minh Vì f hàm lồi yếu nên tồn hàm lồi h cho Re gọi  = arg h '(0) giả sử  < Đặt g(z) =  f '( z ) > D Vì Re >0 h '( z ) h '(0) h( z )  h(0) , z  D Khi g  K h '(0) Xét hàm q(z) = f '( z ) = i e g '( z )  q z n 0 Hơn nữa, gọi p(z) = n n , q0 = ei Req(z) > 0, z  D q( z )  i sin  cos =1+  p z n 1 n n , z  D p(z) giải tích D, Rep(z) > p(0) = Dễ thấy q n = pn cos, n = 1, 2,… Gọi g(z) = z + c z +…+ cn z n +…, z  D So sánh hệ số f’(z) ei g’(z)q(z) ta nan = ei [ ncn e  i + (n  1)cn 1q1 + (n  2)cn  q2 + …+ 2c2 qn  + qn 1 ] Vì p(z) giải tích D, có Rep(z) > D p(z) = +  p z n 1 n n , z  D nên pn ≤ 2, n = 1, 2,…(theo Bổ đề 4) Suy qn ≤ 2cos ≤ Vì g  K nên cn ≤ 1, n = 2, 3,…(theo Định lí 14) Vì ta có n an ≤ n + 2(n-1) + 2(n-2) +…+ 2.2 + = n Do đó, an ≤ n, n = 2, 3,… Đẳng thức xảy f phép quay hàm Koebe 2.2 Cực trị hàm biến miền thành hình tròn 2.2.1 Bổ đề Đây bổ đề quan trọng để giải hai toán cực trị phần Nếu (z) hàm số khai triển hình trịn z <  đặt z = r ei , với r (0 < r < ) ta có Đẳng thức xảy (z) = const 2 2   (re i p p ) d ≥  (0) , p > (2.13) Chứng minh Trước hết ta xét trường hợp p = Theo khai triển Taylor, bên hình trịn z < , ta có (z) =  + 1 z + … +  n z n + …Từ suy 2 2   (rei ) d =  2 + 1 r + … +  n r n + …Rõ ràng biểu thức lớn  =  (0) Đẳng thức xảy (z) =  2 p Nếu p số ta xét hàm số [ ( z )] Nếu (z) khơng có 0-điểm bên hình p trịn arg hàm đơn trị, nhánh khác hàm  đơn trị Chọn số p chúng, ta có hàm  khai triển hình trịn z <  Khi áp dụng bổ đề cho hàm số với luỹ thừa 2, ta thu kết hàm (z) Do bổ đề chứng minh với p,  khơng có 0-điểm bên hình trịn Xét trường hợp  có 0-điểm bên hình trịn z < , ta giả sử (0) ≠ (vì trường hợp (0) = bổ đề hiển nhiên đúng) Xét hình trịn bán kính r (r <  ) Nếu bên hình trịn khơng có 0-điểm hàm số (z) bổ đề chứng minh với bán kính r Nếu có 0-điểm bên hình trịn z < r số lượng 0-điểm hữu hạn, ta kí hiệu chúng a , a , …, an (nếu 0-điểm bội k ta viết lại k lần) Để ý a1' , a2' , …, an' điểm đối xứng với a , a , …, an qua đường tròn z = r hàm số ( z  a1' )( z  a2' ) ( z  an' ) nhận giá trị đường trịn với mơđun ( z  a1 )( z  a2 ) ( z  an ) r r r … a1 a2 an = rn a1a2 an a1a2 an ( z  a1' )( z  a2' ) ( z  an' ) (z) khơng khơng hình trịn z ( z  a1 )( z  a2 ) ( z  an ) rn Suy hàm số 1 ( z ) = < r , đồng thời có giá trị đường tròn cho 1 ( z ) , ta 2 2   (re i p p ) d ≥ 1 (0) z = r với môđun (z) Áp dụng bổ đề Mặt khác ta có 1 (rei ) =  (rei ) a1' a2' an' a1a2 an a1' a2' an'  (0) =  (0) >  (0) 1 (0) = rn rn a1a2 an Do 2 2   (re i p p ) d >  (0) Bổ đề chứng minh xong hàm (z) ((0) ≠ ) có 0-điểm bên hình trịn z < r nên khơng phải hàm 2.2.2 Bài toán cực trị thứ Xét tất hàm số (z) khai triển miền đơn liên hữu hạn A chuẩn hoá điểm z0 , nghĩa thoả mãn điều kiện: ( z0 ) = 0,  ' ( z0 ) = (2.14) Đối với lớp hàm người ta đưa tốn: Chứng tỏ tích phân I p =   ( z ) p dxdy , p > có cực tiểu hàm  xác định hàm số A Chứng minh Giả sử w = f(z) thoả mãn (2.14) ánh xạ bảo giác 1-1 miền A lên hình tròn D : z <  z =  (w) hàm ngược Vì dz D ( x, y ) = D(u , v) dw 2 =  '( w) nên I p =  [ (w)] p  '(w) dudv D Đặt  (w) = [ (w)] w = r ei , ta Ip =  2 0  rdr  p 2 (rei )  '(rei ) d  ' khơng Do nhánh khác ( ') p đơn trị Chọn nhánh w = 0, [ (w)] hàm khai triển có 0-điểm đơn w = Suy  (w) ( ') = p hàm khai triển có 0-điểm đơn w = Đặt  (w) p  (w)[ '(w)] , (0) ≠ Khi ta có w 2  p 2 p  (rei )  '(rei ) d = r p   (rei ) d Theo Bổ đề 5, với r < ρ, ta 2  p  (rei )  '(rei ) d ≥ 2π r p  (0) p (2.15) Muốn tính  (0) ta để ý [ d (w) d = 1, ψ’(0) = =1 ]w0 = ( ) dw dz z  z0 f '( z0 ) p Suy Λ(w) = w +…, [ '(w)] = +…Điều có nghĩa Φ(w) = +…, tức Φ(0) = Từ (2.15) ta tính 2  p  (rei )  '(rei ) d ≥ 2π r p  Do I p ≥ 2π  r p 1dr = 2 2  p  Vậy I p ≥  p  Trong biểu thức dấu p2 p2 xảy (2.15) ta có dấu với r, theo Bổ đề điều xảy Φ(w) = const = Điều có nghĩa I p đạt cận Điều kiện Φ(w) = viết dạng λ[ψ(w)] = w [ '(w)] 2 p p p hay λ(z) = f(z) [ f '( z )] Ta xem [ f '( z )] nhánh đơn trị hàm số z = z0 Như ta chứng minh I p đạt cận 2  p  hàm số p2 p f p ( z ) = f(z) [ f '( z )] Ngoài ta cịn thấy giá trị trung bình [λ(z)] hạng p miền A m p = ( diện tích miền A Từ ta có m p ≥ ρ [ I p d p ) , d 2 p 2 p ] , m p = ρ [ ] ( p  2)d ( p  2)d hàm số f p ( z ) Khi p tiến đến vơ m p tiến đến ρ, f p ( z ) tiến đến hàm f(z) 2.2.3 Bài toán cực trị thứ hai Xét tất hàm số (z) khai triển miền đơn liên hữu hạn A chuẩn hoá điểm z0 , nghĩa thoả mãn điều kiện: ( z0 ) = 0,  ' ( z0 ) = Ta chứng minh tích phân J p =   '( z ) p (2.14) dxdy , p > có cực tiểu hàm A  xác định hàm số Ta giả sử w = f(z) thoả mãn (2.14) ánh xạ bảo giác 1-1 miền A lên hình trịn D : z <  z =  (w) hàm ngược Tương tự mục 2.2.2 ta J p =   '[ (w)] D r ei đặt λ’[ψ(w)] = 1 (w) = +…, ta Jp =  2 0  rdr  p 1 (rei )  '(rei ) d p Đặt 1 (w) = 1 (w)[ '(w)] , 1 (0) = p  '(w) dudv , chuyển qua toạ độ cực w = Ta có 2  p 1 (re )  '(re ) d = i i 2 p  2   (re i p ) d Theo Bổ đề ta suy 1 (rei )  '(rei ) d ≥ 2π  (0)  p = 2π Do J p ≥ 2π  rdr = π  p Đẳng thức xảy 1 (w) = const = 1, nghĩa 1 (w)[ '(w)] = hay 2 z λ’(z) = [f'(z)] p , ( [f'(z )] p = 1) Từ ta có λ(z) =  [f'(z)] p dz Đây hàm mà z0 hàm J p đạt cận π  Giá trị trung bình hạng p  ' m'p = ( m = ( ' p  d p Jp d )p ≥ (  d ) p , p ) hàm số λ’(z) = [f'(z)] Khi p tiến vơ m 'p tiến hàm số tiến z  z0 Nếu p = J p có ý nghĩa hình học sau: J diện tích mặt cong Riemann thu z ánh xạ miền A Để ý với p = 2, hàm số cực tiểu hoá λ(z) =  f'(z)dz = f(z) z0 Như vậy, số hàm khai triển miền hữu hạn A chuẩn hoá z0 tồn hàm số cực tiểu diện tích mặt cong Riemann tạo thành từ A, hàm số ánh xạ 1-1 bảo giác miền A lên hình trịn có tâm gốc toạ độ Để tìm cực tiểu diện tích với điều kiện cho diện tích tạo thành tìm cực tiểu  '( z0 ) Ta xét tất hàm số μ(z) khai triển miền A thoả mãn điều kiện μ( z0 ) = 0, μ’( z0 ) ≠ biến miền A thành mặt cong Riemann có diện tích ∆ cho trước Khi hàm số  ( z)  biến miền A thành mặt cong Riemann có diện tích , hàm chuẩn  '( z0 )  '( z0 ) hoá điểm z nên ta có miền A Suy  '( z ) ≤   '( z0 )   2 ≥ π  , ρ bán kính tương ứng với điểm z Khi  '( z ) ≤   Cực tiểu  '( z ) đạt  ( z) cho ta ánh xạ 1-1 bảo giác miền A lên hình trịn có tâm gốc tọa độ  '( z0 ) Nếu f(z) hàm số chuẩn hoá điểm z với ánh xạ điều kiện cần đủ để hàm số μ(z) cho ta cực đại  '( z ) diện tích tạo thành ∆ nên có dạng ei   2  ( z) = f(z) Suy μ(z) = cf(z) Theo giả thiết,  '( z0 ) c π  = ∆ Suy c =   Vậy hàm số cần tìm μ(z) f(z) Hàm số dạng ánh xạ 1-1 bảo giác miền A lên hình trịn có tâm gốc tọa độ diện tích ∆ Từ suy ra: số hàm số μ(z) khai triển miền A, μ( z0 ) = 0, μ’( z0 ) ≠ biến miền A thành mặt cong Riemann có diện tích ∆ hàm số cho ta cực đại  '( z ) ánh xạ 1-1 bảo giác miền A lên hình trịn có tâm gốc tọa độ có diện tích ∆ KẾT LUẬN Trong chương 1, em trình bày rõ khái niệm hàm đơn diệp (có ví dụ minh hoạ cụ thể); kết hàm đơn diệp; hai định lí diện tích miền ảnh hàm đơn diệp; số Koebe định lí biến dạng; trình bày cận trên, cận mơđun hàm đơn diệp; định lí quay; cận mơđun hệ số hệ số thực khai triển hàm đơn diệp Có hình vẽ minh hoạ hay ví dụ cụ thể để kết luận văn chặt chẽ, dễ hiểu Trong chương 2, em trình bày rõ khái niệm hàm lồi hàm hình sao; tính chất quan trọng chúng; đánh giá cận môđun hệ số khai triển hàm lồi hàm hình sao; xem xét hai toán cực trị bổ đề quan trọng để giải hai tốn Tuy nhiên, lĩnh vực rộng, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, nên việc tổng hợp kết có phát thêm kết khác không dễ dàng Do khn khổ luận văn, em trình bày kết hàm đơn diệp, chưa đào sâu nghiên cứu quan hệ hàm đơn diệp với lĩnh vực toán học khác Nhận thấy rằng, hàm đa diệp lĩnh vực cần quan tâm nghiên cứu Đây lĩnh vực tổng quát hàm đơn diệp Vì thế, điều kiện cho phép, em thực đề tài cơng trình nghiên cứu sau TÀI LIỆU THAM KHẢO Chun Wen G (1992), Conformal mappings and boundary value problems, American Mathematical Society, USA Conway J.B (1978), Functions of one complex variable II, Springer-Verlag NewYork Inc, USA Duren P.L.(1983), Univalent Functions, Springer-Verlag NewYork Inc, USA Goluzin G.M (1969), Geometric theory of functions of a complex variable, American Mathematical Society, USA Graham I.R., Kohr G (2003), Geometric function theory in one and higher dimensions, Marcel Dekker Inc, NewYork Gonzalez M.O (1992), Complex analysis: Selected topics, Marcel Dekker Inc, NewYork Henrici P (1993), Applied and computational complex analysis, Diserete Fourier Analysis, Wiley Classical Library, NewYork Markushevich A.I., Silverman R.A (1965), Theory of functions of a complex variable I, Prentice-Hall Inc, London Privalov I.I (1997), Nhập môn lý thuyết hàm phức, NXB Khoa học, Mascova 10 Romannovski P.I (1980), Chuỗi Fourier, lý thuyết trường, hàm giải tích, phép biến đổi Laplace, NXB Khoa học, Mascova 11 Sabat B.V (1969), Nhập mơn giải tích phức, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà nội 12 Tamura I (1992), Topology of foliations: an introduction, American Mathematical Society, USA 13 Trần Anh Bảo (1978), Lý thuyết hàm số biến số phức, NXB GD, Hà nội 14 Đậu Thế Cấp (1999), Hàm biến phức, NXB GD, Hà nội 15 Nguyễn Văn Khuê, Vũ Tuấn (1990), Hàm số biến số phức, NXB GD, Hà Nội 16 Võ Đăng Thảo (1994), Hàm phức toán tử Laplace, ĐH Bách khoa Tp.HCM ... miền ảnh hàm đơn diệp; đánh giá cận môđun hệ số z khai triển hàm đơn diệp; cận môđun hàm đơn diệp Chương 2: Từ kết đạt chương 1, chương trình bày số tính chất hàm đơn diệp: tính chất hàm biểu... niệm hàm đơn diệp, số kết hàm đơn diệp, để từ nêu tích chất quan trọng hàm đơn diệp Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày khái niệm hàm đơn diệp kết hàm đơn diệp; định lí dùng để tính. .. n z Một hàm f gọi đơn diệp lân cận  g(z) = f( ) đơn diệp lân cận Ví dụ: Hàm w = z + az  b đơn diệp z > 1; hàm w = cz  d z (ad-bc ≠ 0) đơn diệp C Dễ thấy rằng, hàm f(z) đơn diệp A đơn diệp