Các tiên đề tách và định lý matheron

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thanh Lý CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ ĐỊNH LÝ MATHERON LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực đề tài, em gặp khơng khó khăn nhờ giúp đỡ thầy cơ, gia đình bè bạn với nổ lực thân , em học hỏi, bổ sung nhiều kiến thức bổ ích cho thân hoàn thành đề tài chọn Đầu tiên em xin phép bày tỏ lòng biết ơn vô đến thầy PGS.TS Đậu Thế Cấp, Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, giảng dạy, hướng dẫn nhiệt tình giúp đỡ, động viên em suốt trình thực đề tài Em xin kính gửi đến Q thầy Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ, cho em đánh giá, phê bình quý báu bảo nhiệt tình giúp em hồn thiện luận văn, lời cảm ơn chân thành trân trọng Em xin kính gửi lời cảm ơn chân thành trân trọng đến Q thầy ngồi trường ĐH Sư phạm TP Hồ Chí Minh giảng dạy, trang bị cho em kiến thức quý báu; cảm ơn Q thầy cán phịng KH CN Sau Đại học giúp đỡ trình học tập tổ chức bảo vệ đề tài Em xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban Giám Hiệu, Quý thầy cô đồng nghiệp trường Đại Học Đồng Tháp, nơi em công tác, tạo điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn Gia đình em nguồn động viên to lớn, giúp em vuợt qua khó khăn sống để hoàn thành luận văn Em xin ghi ơn tất cả! BẢNG KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG C  X ,  0,1 Tập số thực Tập số tự nhiên Tập số hữu tỷ Tập hàm liên tục từ X vào  0,1 A0 A bA 0  Phần A Bao đóng A Biên A Lực lượng tập đếm Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các tiên đề tách vấn đề trọng tâm Tơpơ đại cương, định lý Matheron có ứng dụng giải tích hàm lý thuyết độ đo tích phân, lý thuyết xác suất, có liên hệ chặt chẽ với tiên đề tách Đề tài nghiên cứu hai vấn đề thể thống Mục đích Cho tài liệu tổng quan tiên đề tách định lý Matheron, sở cho số nghiên cứu, tìm tịi Đối tượng nghiên cứu Tôpô đại cương, lý thuyết độ đo tích phân Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài cập nhật kết liên quan thời gian gần để giới có quan tâm tham khảo, cho vài kết Đề tài có khả áp dụng lý thuyết độ đo, tích phân xác suất Tổng quan đề tài 5.1 Sơ lược tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài Trong tôpô lĩnh vực có liên quan, tùy theo mục đích nghiên cứu ứng dụng ta cần thêm điều kiện để lớp khơng gian hẹp có tính chất mong muốn Trong điều kiện đưa vào có tiên đề tách Các tiên đề tách đề cập đến việc tách điểm, tách điểm tập đóng tách tập đóng Các tiên đề tách nghiên cứu T0 , T1 , T1 , T2 , T , T3 , T , T4 , T5 Có nhiều tài liệu tiên đề tách Tuy nhiên đa số tài liệu 2 trình bày số tiên đề tách trình bày theo cách rời rạc Thậm chí cịn số tiên đề tách có định nghĩa khác tài liệu khác Định lý Matheron có liên hệ chặt chẽ với tiên đề tách, đề cập đến không gian tập đóng Trong [5] Matheron chứng minh: Cho X không gian compăc địa phương, khả mêtric, đầy đủ khả ly Khi khơng gian miss-and-hit F X compăc, khả ly Hausdorff Từ nảy sinh vấn đề cách tự nhiên ta thay đổi số giả thuyết khơng gian X khơng gian miss-and-hit nào? Việc tìm điều liện đặt lên X để không gian miss-and-hit có tính chất tơt có ý nghĩa Vấn đề đựợc quan tâm nhiều tác giả Các tác giả giải vấn đề cho trường hợp X không gian mêtric có điểm khơng compắc địa phương [7] không gian tôpô tổng quát [3] Trong [2], tác giả tiếp tục giải vấn đề không gian tôpô cho nhiều kết thú vị 5.2 Nội dung đề tài Đề tài nghiên cứu tiên đề tách mở rộng định lý Matheron Cấu trúc đề tài gồm mở đầu, chương nội dung (1-3), kết luận tài liệu tham khảo Chương chương kiến thức chuẩn bị Chương trình bày tóm tắt, động số kiến thức tôpô đại cương số lý thuyết liên quan, sở để theo dõi chương sau Chương trình bày định nghĩa số tính chất đặc trưng tiên đề tách Đồng thời đưa phản ví dụ để làm rõ cho nội dung chương Chương xem ứng dụng chương Trình bày định lý Matheron mở rộng CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa Cho tập X Một họ  tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện:   X  thuộc  ;   Hợp tùy ý tập thuộc  thuộc  ;   Giao hữu hạn tập thuộc  thuộc  Một tập X với tôpô X gọi không gian tôpô Để rõ  tôpô không gian tôpô X, ta viết  X ,  Cho  X ,  không gian tôpô Tập G  gọi tập mở X Tập F X gọi tập đóng X\F tập mở Từ định nghĩa ta có: 1)  X tập đóng 2) Giao tùy ý tập đóng tập đóng 3) Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng Ví dụ Với tập X, P ( X )  G G  X  tôpô X, gọi tôpô rời rạc Tập X với tôpô rời rạc gọi khơng gian rời rạc Ví dụ Với tập vô hạn X, họ bao gồm tập  tất tập G X có X\G hữu hạn, tơpơ X Tơpơ gọi tơpơ Zariski Ví dụ Cho X tập Một hàm d : X2   mêtric X thỏa mãn điều kiện :  m1  d  x, y   0; d  x, y    x  y  m2  d  x, y   d  y, x   m1  d  x, z   d  x, y   d  y, z  , x, y, z  X Một tập X với mêtric d X gọi không gian mêtric  X , d  ; d  x, y  gọi khoảng cách từ x đến y   Với a  X   , đặt B  a,    x  X d  x, a    , B  a,   gọi hình cầu mở tâm a bán kính  Tập G X gọi tập mở với a  G tồn   cho B  a,    G Với không gian mêtric  X , d  , họ tập mở theo mêtric d tôpô X Tôpô gọi tôpô sinh mêtric d Không gian mêtric coi không gian tôpô với tôpô sinh mêtric 1.1.2 Cơ sở tiền sở Cho  tôpô X Một họ   gọi sở  tập thuộc  hợp họ tập thuộc  Nói cách khác, họ   sở  G  x  G tồn V   cho x V  G Một họ   gọi tiền sở  họ tất giao hữu hạn tập thuộc  sở  Một tơpơ hồn tồn xác định biết sở hay tiền sở Khơng gian tơpơ X gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai tơpơ có sở đếm 1.1.3 Lân cận sở lân cận Cho X không gian tôpô x  X , A  X Tập U X gọi lân cận điểm x tồn tập mở G cho x  G  U Nếu lân cận U x tập mở U gọi lân cận mở x Một họ Ux lân cận x gọi sở lân cận điểm x lân cận V x tồn lân cận U  Ux cho U  V Không gian tôpô X gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x  X có sở lân cận đếm Tập U X gọi lân cận tập A tồn tập mở G cho A  G  U Nếu lân cận U A tập mở U gọi lân cận mở A 1.1.4 Phần bao đóng Cho X không gian tôpô tập A X Ta gọi phần A hợp tất tập mở chứa A, kí hiệu A0 Từ định nghĩa ta có: A0 tập mở lớn chứa A; A  B A0  B A mở A  A0 Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng chứa A, kí hiệu A Từ định nghĩa ta có A tập đóng nhỏ chứa A; A  B A  B A đóng A  A Tập D gọi trù mật X D  X   Tập A X gọi không đâu trù mật A   Tập A B X gọi tách A  B   A  B   1.1.5 Lưới Ta gọi D tập định hướng D có quan hệ  thỏa mãn tính chất  sau: (i) (ii) (iii)    với   D     ,       với  ,  ,   D    Mọi  ,   D , tồn   D cho         Ta gọi lưới X ánh xạ từ tập định hướng D vào X, kí hiệu  x D Lưới  x D không gian tôpô X gọi hội tụ đến x  X , x gọi giới hạn lưới, lân cận V x, tồn a0 Ỵ D cho x0 V với    Kí hiệu x  x  1.1.6 Vị trí tương đối điểm tập Cho không gian tôpô X, tập A X điểm x thuộc X Điểm x gọi điểm A x có lân cận V cho V  A Điểm x gọi điểm ngồi A x có lân cận V cho V  A   Điểm x gọi điểm biên A lân cận V x có V  A   V  X \ A   Tập tất điểm biên A gọi biên A, kí hiệu bA Rõ ràng điểm x  X điểm A, điểm A điểm biên A Dễ dàng kiểm tra x điểm A x  A0 1.2 Ánh xạ liên tục 1.2.1 Định nghĩa Cho X, Y không gian tôpô ánh xạ f : X  Y Ánh xạ f gọi liên tục điểm x  X lân cận (mở) f ( x) Y tồn lân cận (mở) U x X cho f (U )  V , hay cách tương đương, f 1 (V ) lân cận x Ánh xạ gọi liên tục X liên tục x  X 1.2.2 Định lý Cho X, Y không gian tôpô ánh xạ f : X  Y Khi điều kiện sau tương đương (a) f liên tục X (b) f 1  G  mở X với tập G mở Y (c) f 1  G  mở X với tập G thuộc sở Y (d) f 1  G  mở X với tập G thuộc tiền sở Y (e) f 1  F  đóng X với tập F đóng Y   (f) f A  f  A  với tập A X   (g) f 1 B  f 1  B  với tập B Y 1.2.3 Định lý Ánh xạ f : Z   X  liên tục    f (với   :  X   X  phép  I  I chiếu thứ  ) liên tục với   I 1.3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng Phép đồng phơi 1.3.1 Định nghĩa Cho ánh xạ f : X  Y Ánh xạ f gọi mở tập mở G X, f  G  tập mở Y; gọi đóng tập đóng F X, f  F  tập mở Y Một song ánh f : X  Y gọi phép đồng phôi f f 1 ánh xạ liên tục 1.3.2 Định lý Cho f : X  Y song ánh, liên tục Khi điều kiện sau tương đương a) f phép đồng phôi b) f ánh xạ mở c) f ánh xạ đóng 1.4 Khơng gian 1.4.1 Định nghĩa Cho  X ,  không gian tôpô A tập X Khi họ  A  G  A | G   tôpô A, gọi tôpô cảm sinh tôpô X Không gian A với tôpô cảm sinh gọi không gian không gian X 1.4.2 Định lý (a) Tập mở tập mở mở X; tập đóng tập đóng đóng X (b) Tập E đóng A tồn tập F đóng X cho E  A  F (c) Nếu f : X  Y ánh xạ liên tục f | A liên tục Chứng minh (a) Giả sử A tập mở (đóng) X Nếu G tập mở (đóng) A G có dạng G  A  U , U tập mở (đóng) X Vì A U tập mở (đóng) X nên G tập mở (đóng) X (b) E đóng A  A \ E mở A  tồn V mở X cho A \ E  V  A  E  A \ V  A    X \ V   A ( F  X \ V đóng X) (c) Giả sử U tập mở Y Ta có  f |  U   A  f U  1 1 A Vì f liên tục nên f 1 U  mở X, A  f 1 U  mở A Vậy f | A liên tục tôpô A  1.5 Không gian khả ly 1.5.1 Định nghĩa Không gian X gọi khơng gian khả ly có tập đếm trù mật 1.5.2 Định lý Không gian tơpơ X có sở đếm khả ly 1.6 Không gian compăc 2.11.3 Tồn T1 - không gian không T - không gian Giả sử X tập vô hạn Trên X xét tơpơ có phần bù hữu hạn (hay tôpô Zariski), tức tôpô gồm tập rỗng tất tập X có phần bù hữu hạn Mọi a  X X \ {a} tập mở nên {a} tập đóng Vậy X T1 – không gian Dễ thấy tập vô hạn X trù mật X Ta kiểm tra tập K X compăc Thật vậy, K tập hữu hạn hiển nhiên K compăc Nếu K vơ hạn xét phủ mở Gi iI K Chọn i0  I cho  Gi0  K   Do X \ Gi0 tập hữu hạn nên J  K  X \ Gi0   chọn i j  I cho j  Gi j Khi Gi j jJ    Gi0  tập hữu hạn Mọi j  J phủ hữu hạn K Vậy K compăc Chọn K tập vô hạn X cho X \ K tập vô hạn Ta có K tập compăc khơng đóng, tức X không T – không gian  2.11.4 Tồn T - không gian không T2 - không gian Giả sử X tập khơng đếm với tơpơ có phần bù đếm được, tức tôpô gồm tập rỗng tất tập X có phần bù (không quá) đếm Dễ dàng thấy X không T2 – không gian Ta X T – không gian Giả sử A tập vô hạn X Chọn dãy  xn  điểm phân biệt A Đặt Gn  X \ {xk : k  , k  n} Ta có Gn  phủ mở A khơng có phủ hữu hạn Do A khơng compăc Từ chứng minh suy tập K X compăc K tập hữu hạn Do tập compăc X đóng hay X T – không gian  2.11.5 Tồn T2 - không gian không T - không gian 2 Giả sử X  S   0,0  , 1,0  S tập điểm hình vng đơn vị Các điểm thuộc S có sở lân cận địa phương thông thường Các điểm  0,0  , 1,0  có sở lân cận địa phương tương ứng tập dạng 1  U n  0,0    0,0    x, y  |  x  ,  y   , n  1  U m 1,0   1,0    x, y  |  x  1,  y   Dễ thấy X không gian Hausdorff m  Nhưng X khơng hồn tồn Hausdorff  0,0  1,0  khơng có lân cận đóng rời  2.11.6 Tồn T - không gian không T3 - không gian 2 Trên tập X   0,1 , xét tôpô  có sở họ tập mở  0,1 với tôpô thông 1  thường tập dạng Ba   0, a  \  | n   với a,  a  Khi  X ,  T n  không gian Ta  X ,  không T3 - không gian Theo Định lý 2.7.3 ta lân 1  cận V   0,1 \  | n   không chứa lân cận đóng Thật vậy, U lân cận n  0, U  V tồn a  cho Ba  U Chọn n0 đủ lớn cho  a Khi n0 1 U V Do U  V  n0 n0 2.11.7 Tồn T3 - không gian không T - không gian Giả sử M tập nửa mặt phẳng P   x, y  | x, y  , y  0 z0 điểm có tọa độ  0, 1 Đặt M  M   z0  , L đường thẳng thực L   x,0  | x   Li   x,0   L | i   x  i , i  1, 2, Ta xây dựng để M T3 - không gian không T - không gian Với z  M Nếu z   x,0   L , ta kí hiệu A1  z    x, y   M |  y  2 , A2  z    x  y, y   M |  y  2 , đặt B  z  họ tập có dạng  A1  z   A2  z   \ B , B tập hữu hạn không chứa z Nếu z  M \ L , đặt B  z    z Nếu z  z0 , đặt B  z   U i  z0 i 1 ,  U i  z0    z0    x, y   M | x  i Ta có họ  B  z zM thỏa mãn tính chất sau (B1) Với z  M , B  z    ; với U  B  z  , z U (B2) Nếu u U  B  v  tồn V  B  v  cho V  U (B3) Với U1 ,U  B  z  tồn U  B  z  cho U  U1  U (B4) Với u , v  M , u  v tồn U  B  u  ,V  B  v  cho U  V   Từ ta dễ kiểm tra không gian M với tôpô sinh hệ lân cận  B  z zM khơng gian Hausdorff Do M T1 - khơng gian  Chứng minh M quy Trước tiên ta ý M không gian Hausdorff với z  M , họ B  z  tập vừa đóng vừa mở M Do đó, để chứng minh M quy ta cần chứng minh với tập đóng F M không chứa z0 , tồn tập mở U1 ,U thỏa z0 U1 , F  U U1  U   Thật vậy, với tập đóng F  M không chứa z0 , chọn U i0  z0  cho   F  U i0  z0    Đặt U1  U i0   z0  , U  M \ U i0   Li0  Li0 1 Ta có U1 ,U lân cận cần tìm  Chứng minh M khơng hồn tồn quy Xét hàm liên tục f : M   0,1 thỏa mãn f  L1   Ta chứng minh f  z0   Trước tiên ta chứng minh tập K i   z  Li | f  z   0 , i  1,2, vô hạn Thật vậy, ta có K1  L1 tập vô hạn Giả sử K n  0 ( 0 lực lượng tập đếm được) Xét tập vô hạn đếm K n  K n Với z  K n , tồn tập đếm A0  z   A2  z  cho f  A2  z  \ A0  z    0 Hình chiếu A hợp  A0  z  | z  K n  lên L đếm Bây với t  Ln1 , tập A1  t  cắt tập A2  z  \ A0  z  với z  K  f liên tục nên f  t   Kéo theo Ln1 \ A  K n1 Do K n1  0 Vậy K i   z  Li | f  z   0 , i  1, 2, tập vơ hạn Từ tính vơ hạn tập K i   z  Li | f  z   0 , i  1, 2, tính liên tục f , ta suy f  z0   Do M khơng hồn tồn quy  2.11.8 Tồn T - không gian không T4 - không gian Đặt X  P  L , L   x,0  | x  P   x, y  | x, y  , y  0 nửa mặt phẳng  đường thẳng thực Trên X ta xét tôpô  * gồm tập mở P tôpô thông thường  tập dạng  x  D , x  L , D dĩa mở P tiếp xúc với L x Ta có khơng gian  X , *  mở rộng không gian với tôpô thông thường  X Thật vậy, giả sử U  X , U mở với tôpô thông thường x U Nếu x  P , tồn lân cận V x mở theo  cho V  U Do V mở theo  * Nếu x  L , tồn dĩa  tâm x , bán kính r, mở toàn mặt phẳng,   X  U Khi đó, tồn dĩa 1  P bán kính r , tiếp xúc với L x Vì 1    P x U nên  x  1   U Từ ta dễ kiểm tra X T1 - khơng gian Ta chứng minh  X , *  hoàn tồn quy Giả sử A tập  * - đóng b  A Nếu b  P tồn lân cận mở U b, U  P cho U  X \ A Vì U mở  nên X\U đóng  Vì ( X , t) hồn tồn quy nên tồn hàm liên tục f : X   0,1 cho f  b   f  x   1, x  X \ U Do đó,    * nên f liên tục với  * f  b   f  x   1, x  A Nếu b  L tồn dĩa  bán kính  , tiếp xúc với L b   A   Ta định nghĩa hàm f sau: f : X   0,1 f (b) = , f  x   1, x    b f  x1 , x2   x  b   x2 2 x2 ,   x1 , x2    Ta có f liên tục f 1  0,    b  D , f 1   ,1  X \ D (    ) f 1   ,     D \ D (      ) tập mở, với D dĩa bán kính  tiếp xúc với L b D dĩa bán kính  tiếp xúc với L b Suy  X , *  hồn tồn quy Vậy  X , *  T - không gian Bây ta chứng minh X không chuẩn tắc Gọi Q I tập số hữu tỷ vơ tỷ L Ta có I Q tập đóng Giả sử U, V lân cận mở Q I tương ứng Với x V tồn dĩa Dx  V bán kính rx , tiếp xúc với L x 1  Đặt S n   x  I | rx   Khi Sn    xxQ tạo thành phủ không gian n   L,  Vì khơng gian  L,  thuộc phạm trù thứ hai nên tồn Sn khơng tập khơng đâu trù mật  L,  Do tồn n0 cho  a, b   S n0 Suy lân cận số hữu tỷ x   a, b  có giao với V Kéo theo U  V   Vậy X khơng chuẩn tắc nên khơng T4 - khơng gian  2.11.9 Tồn T4 - không gian không T5 - không gian Xét không gian P   0,     0,   ,  tự số khơng đếm đầu tiên,  tự số vô hạn Trên không gian  0,   ,  0,   ta xét tơpơ thứ tự Vì không gian  0,   ( với  tự số giới hạn đó) compăc Hausdorff nên P compăc Hausdorff Do theo Định lý 2.9.5 ta có P T4 - không gian Ta chứng minh P không T5 - khơng gian Vì P  P \  ,   không T4 - không gian nên theo Định lý 2.10.5 ta có P khơng T5 - khơng gian Thật vậy, đặt A   , n  |  n   , B   ,   |     Ta có A, B tập đóng P (vì phần bù chúng mở P ) Gọi U, V lân cận A B tương ứng P Với  , n   A , tồn tự số  n   cho  , n  |  n      U Nếu   biên chặn  n    Suy  ,     0,    U Suy lân cận     điểm   1,  có giao với U Vì   1,   B nên V  U   Vậy P khơng chuẩn tắc nên không T4 - không gian  CHƯƠNG ĐỊNH LÝ MATHERON 3.1 Tôpô miss-and-hit định lý Matheron 3.1.1 Định nghĩa Cho X không gian tôpô Ký hiệu F , K , G họ tập đóng, tập compăc tập mở X tương ứng Với A  E , đặt F A   F : F  F , F  A   ; F A   F : F  F , F  A   Với K  K họ hữu hạn G1 , G2 , , Gn G , đặt FGK1 ,G2 , ,Gn =F K  FG1  FG2   FGn Dễ dàng thấy với K  K , G1 , G2 , , Gn G FG  FG ,   F F XK   K   F  nếu K   F K FG1  FG2   FGn  FG1 ,G2 , ,Gn họ F K G1 ,G2 , ,Gn | K  K , G1 ,G2 , , Gn  G , n   sở tôpô F Ta gọi tôpô tôpô miss-and-hit F F với tôpô gọi khơng gian miss-and-hit X Chú ý Ta có F A lớp tập đóng có giao với A (trúng A) nguyên từ gốc “hit A“ F A lớp tập đóng cịn lại tức khơng có giao với A hay rời A (khơng trúng A) nguyên từ gốc “ miss A“ Từ người ta gọi tôpô xác định sở F K G1 ,G2 , ,Gn =F K  FG1  FG2   FGn | K  K , G1 ,G2 , , Gn  G , n  and-hit 3.1.2 Định lý (Định lý Matheron nguyên thủy)  tôpô miss- Cho X không gian compăc địa phương, khả mêtric, đầy đủ khả ly Khi không gian miss-and-hit F X compăc, khả ly Hausdorff Chú ý Định lý Matheron cho ta ba kết tính compăc, tính khả ly tính Hausdorff khơng gian miss-and-hit Bằng cách tách riêng kết quả, ta bước mở rộng định lý Matheron đến định lý xem tổng quát định lý Matheron 3.2 Các mở rộng định lý Matheron 3.2.1 Mệnh đề Cho X khơng gian tơpơ tùy ý Khi không gian miss-and-hit X T1 - không gian compăc Chứng minh Lấy F1 , F2  F , F1  F2 Ta giả thiết F2 \ F1   Chọn x  F2 \ F1 Khi U F1 =F   , U F2 =F X\ F1 lân cận F1 F2 tương ứng thỏa mãn F2 U F1 F1 U F2 x Vậy F T1 - không gian Để chứng minh F compăc, theo bổ đề Alexandrov ta cần chứng minh phủ     F dạng F Ki : Ki , i  I  FG j : G j G , j  J có phủ hữu hạn Đặt    G j Khi  mở Vì jJ   F   F Ki    FG j  iI  jJ  nên       F \F      F     F     F F    F \F Ki iI jJ Gj Gj Ki iI jJ  iI Ki   FKi iI Từ tồn i0  I cho K i0   Thật vậy, trái lại  X \    K i   với i Î I nên X \    FKi điều mâu thuẫn iI Do K i0 compăc nên tồn  j1 , j2 , , jn   J  cho G j1 , G j2 , , G jn  phủ K i0 Với F  F F  K i0   F  G jk   với k thuộc 1,2, , n Do F F Ki0  FG j   FG j  n 3.2.2 Mệnh đề Cho X T - khơng gian khả ly Khi khơng gian miss-and-hit X khả ly Chứng minh Giả sử A tập trù mật X Với F  F giả sử FGK1 ,G2 , ,Gn lân cận F Do K đóng nên Gi \ K  x1 , x2 , , xn   K   tập mở khác rỗng Chọn xi  A   Gi \ K  , ta có  x1 , x2 , , xn   Gi   với i  1,2, , n Ký hiệu I(A) họ tập hữu hạn A Ta có I (A)  F , I(A) đếm trù mật F với tôpô missand-hit  3.2.3 Mệnh đề Cho X khơng gian Hausdorff compăc địa phương Khi không gian miss-and-hit X Hausdorff Chứng minh Giả sử F , F   F , F  F  Khi giả thiết tồn a  F \ F  Theo Định lý 2.5.7 a), chọn V lân cận a cho V mở, V compăc V  F    Nếu F    F chọn U F  FV , U F   F V ; F    chọn U F  FV , U F   FEV\V , ta có U F lân cận F , U F  lân cận F  F , U F  U F     3.2.4 Hệ Nếu X khơng gian Hausdorff compăc địa phương khơng gian miss-and-hit X compăc T4 - không gian Chứng minh Do không gian Hausdorff compăc T4 - không gian nên từ Mệnh đề 3.2.1 Mệnh đề 3.2.3 ta suy điều phải chứng minh  3.2.5 Nhận xét Khi tách riêng tính chất khơng gian miss-and-hit F điều kiện đặt X giảm nhẹ Bây ta xét để không gian miss-and-hit F có đầy đủ ba tính chất compăc, khả ly Hausdorff điều kiện mở rộng cho X T - khơng gian (trong điều kiện cho X định lý Matheron phải khả mêtric đầy đủ) Tuy nhiên X phải thỏa tiên đề đếm thứ hai Ta có định lý sau 3.2.6 Định lý Cho X T – không gian, compăc địa phương thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Khi không gian miss-and-hit X compăc, khả ly Hausdorff Chứng minh Theo Định lý 2.5.6 X Hausdorff nên định lý suy từ Mệnh đề 3.2.2 Mệnh đề 3.2.3  3.3 Tính khả mêtric tơpơ miss-and-hit 3.3.1 Mệnh đề Cho X T – không gian compăc địa phương thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Khi khơng gian miss-and-hit X compăc, T4 - không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Chứng minh Theo Định lý 2.5.6 X Hausdorff nên từ Hệ 3.2.4 ta cần chứng minh F với tôpô miss-and-hit thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Do X compăc địa phương thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai nên ta giả thiết X có sở tôpô  đếm được, chứa tập rỗng có bao đóng tập thuộc  compăc Giả sử C tập mở F F C Ta xét hai trường hợp sau 10) Tồn K  K G1 , G2 , , Gn G cho F  FGK1 ,G2 , ,Gn  C Chọn  F  Gi Bi   cho  Bi  Gi , Bi  K  , i  1,2, , n Với x  K ,   chọn Bx   cho Bx  F   Do K compăc nên tồn phủ hữu hạn Bx j m j 1 K Đặt B*j  Bx j , ta có m K   B*j  X \ F , j i m  B*j compăc j i Dễ dàng kiểm tra * * F  FBB11, , Bn Bm  FGK1 , ,Gn 20) Tồn K  K cho F  F K  C Nếu F  X K   , F  F   C  F m Nếu F  X K  X \ F Do tồn B1* , , Bm*   cho K   B*j  X \ F j i Khi ta có * * F  F B1   Bm  F K Từ 10) 20) suy họ F B1*   Bm* B1 , , Bn * * , F B1   Bm  B1 , , Bn , B1* , , Bm*  sở tôpô đếm F với tôpô miss-and-hit  Xét trường hợp đặc biệt X không gian mêtric Khi từ Mệnh đề 3.3.1, ta có kết thú vị sau 3.3.2 Định lý Cho X không gian mêtric compăc địa phương khả ly Khi khơng gian miss-and-hit X compăc khả mêtric Chứng minh Do không gian mêtric khả ly thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai T3 không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai khả mêtric nên từ Mệnh đề 3.3.1 ta suy định lý chứng minh  3.4 Mối quan hệ không gian X không gian F 3.4.1 Tính compăc địa phương X tính Hausdorff F Nếu X không compăc địa phương điểm khơng gian miss-and-hit X không Hausdorff Chứng minh Giả sử X không compăc địa phương x0  X Lấy tùy ý x1  X \  x0  Đặt F   x0 , x1 , F    x1 Ta chứng minh lân cận U F =FGK1 ,G2 , ,Gn F U F  =FGK,G  , ,G  F  có U F  U F    m n Nếu x0   Gi F  Gi   với i  1, , n nên x1  Gi với i  1, , n Từ i 1 F  U F F  U F  U F  n Nếu x0   Gi đặt G   Gi : i  1, , n, x0  Gi  Ta có G mở chứa x0 Do i 1 G  K  K  (vì trái lại K  K  lân cận compăc x0 ) nên tồn x2  G \  K  K   Đặt F    x1 , x2  Dễ thấy F   K   F   K    Mặt khác, F   Gi   với i  1, , n , Gi chứa x1 x2 , nên F  U F ; F   Gj   với j  1, , m Gj chứa x1 nên F  U F  Do trường hợp ta có U F  U F     3.4.2 Hệ Cho X khơng gian Hausdorff Khi X compăc địa phương không gian miss-and-hit X Hausdorff Chứng minh Suy từ Mệnh đề 3.4.1 Mệnh đề 3.2.3  3.4.3 Tính T – khơng gian X tính Hausdorff F Cho X tập vơ hạn với tơpơ có phần bù hữu hạn Khi X khơng T – không gian không gian miss-and-hit X Hausdorff Chứng minh Theo ví dụ 2.11.3, X không T – không gian Giả sử F , F   F , F  F  Ta cần xét hai trường hợp sau: - Nếu F   chọn U F  F X , U F   F X - Nếu F   , F    F \ F    chọn U F  F XX\ \FF , U F   F XX \ F  Ta có U F lân cận F , U F  lân cận F  U F  U F     3.4.4 Nhận xét Từ kết mục 3.4.3 ta suy Mệnh đề 3.2.3 điều kiện đủ để F Hausdorff 3.4.5 Tính khả ly X tính khả ly F Cho X tập không đếm với tơpơ có phần bù hữu hạn Khi X compăc, khả ly không gian miss-and-hit X không khả ly Chứng minh Lấy tập đếm tùy ý D F Ta chứng minh D không trù mật F Đặt R    F : F D , F  X  Do F  F , F  X tập hữu hạn nên R tập đếm Do X \ R   Chọn x  E \ R Ta có U x =F XR lân cận  x F , D  U x   Do D không trù mật F  3.4.6 Nhận xét Từ kết mục 3.4.5 ta suy tính T – không gian X Mệnh đề 3.2.2 cốt yếu KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề tiên đề tách định lý Matheron thể thống Đối với tiên đề tách, thống trình tự tiên đề cách có hệ thống Các khái niệm, tính chất, trình bày chi tiết, có hệ thống đầy đủ ví dụ nhằm làm rõ làm phong phú thêm cho phần lý thuyết Đặc biệt, bổ sung vào hệ thống tiên đề tách tiên đề T Các kết Định nghĩa 2.4.1, Định lý 2.5.6 Tiên đề có liên hệ chặt chẽ với nội dung mở rộng định lý Matheron Đối với định lý Matheron, giải triệt để vấn đề mở rộng định lý không gian tôpô thu số kết Các kết Mệnh đề 3.2.2, Hệ 3.2.4, Định lý 3.2.6, Mệnh đề 3.3.1, Định lý 3.3.2, Hệ 3.4.2, mục 3.4.3 tính T – khơng gian X tính Hausdorff F , mục 3.4.5 tính khả ly X tính khả ly F TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2008), Tôpô đại cương, NXB Giá dục [2] Đậu Thế Cấp, Bùi Đình Thắng, Nguyễn Thị Thanh Lý (2010), ” T - khơng gian định lý Matheron”, Tạp chí khoa học Đại học Sài Gòn [3] Phún Xuân Lan (2009), Các Tiên Đề Tách, Khóa luận tốt nghiệp đại học, Trường Đại học Sư phạm TP HCM Tiếng Anh [1] Dau The Cap, Bui Dinh Thang, “On the matheron theorem for topological spaces”, VNU Journal of science, Mathematics – Physics 23, pp 194-200 [2] J.L Kelly (1995), General Topology, Van Nostrand, Princeton, N.J [3] G Matheron (1975), Random sets and intergral geometry, John Willey and Sons, NewYork [4] Lynn A Steen, J Arthur Seebach, Jr (1970), Counterexample in Topology, Holt, Rinehart and Winston, Inc [5] Nguyen Nhuy and Vu Hong Thanh (1999), “On Matheron theorem for non – locally compact metric space”, Vietnam Journal of Mathematics 27, pp 115-118 [6]Rysazard Engelking (1989), General Topology, Heldermann Verlag, Berlin [7] Steven A Gaal (1964), Point Set Topology Volume XVI, Academic Press, New York and London, ... phần lý thuyết Đặc biệt, bổ sung vào hệ thống tiên đề tách tiên đề T Các kết Định nghĩa 2.4.1, Định lý 2.5.6 Tiên đề có liên hệ chặt chẽ với nội dung mở rộng định lý Matheron Đối với định lý Matheron, ... vào có tiên đề tách Các tiên đề tách đề cập đến việc tách điểm, tách điểm tập đóng tách tập đóng Các tiên đề tách nghiên cứu T0 , T1 , T1 , T2 , T , T3 , T , T4 , T5 Có nhiều tài liệu tiên đề. .. không gian X Mệnh đề 3.2.2 cốt yếu KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề tiên đề tách định lý Matheron thể thống Đối với tiên đề tách, chúng tơi thống trình tự tiên đề cách có hệ thống Các khái niệm,